Una aproximación teórica a la resolución de problemas matemáticos (página 2)

Es menester entender que la hermenéutica constituye una búsqueda de la verdad plasmada en los textos por un determinado autor. Es, como señala Morales (op.cit), "plantear objetivamente la intencionalidad del texto no es reducir simplemente a contemplar o admirar el objeto, es entender claramente lo referido por el autor, de tal manera que sea entendible para todo un universo" (p.38). Es en este sentido como se plantea la utilización de la hermenéutica en la presente investigación. Existe un conocimiento plasmado en el texto por un autor el cual debe ser objetivamente interpretado y descontextualizado para ser reconstruido a la luz de un nuevo contexto de tal forma de permitir que ese conocimiento sea adquirido e internalizado por el intérprete.

A manera de clarificar que la hermenéutica es utilizada en el sentido señalado en el párrafo anterior es conveniente revisar, aunque de manera muy sucinta, el pensamiento de Gadamer considerado como el padre de la hermenéutica moderna o neohermenéutica. En un primer momento, Lugo (s.f), Gadamer "considera que el conocimiento es fundamental para la existencia humana, la persona sólo desde su propio horizonte de interpretación, que se construye constantemente, puede comprenderse y comprender su contexto". Con esta perspectiva, Gadamer da a entender que el hombre intenta comprender su pasado lo que le lleva a comprender su propia realidad situándose en el momento histórico del acontecer y formando parte de él.

En un momento posterior considera, Lugo (op.cit.), cómo " la manera esencial de comprender del hombre consiste en la interpretación… una comprensión antropológica o traducción de una realidad externa a la propia realidad subjetiva". Esa interpretación a la que se hace referencia puede considerarse como un diálogo permanente entre texto e intérprete, diálogo que terminará cuando ambos alcancen la "verdad"; pero esta verdad sólo lo será para un determinado individuo dejando la puerta abierta a futuras interpretaciones puesto que dicho proceso es fundamentalmente subjetivo. El círculo hermenéutico, fundamento del método hermenéutico, se presenta así en Gadamer, Lugo (op.cit.): " la realidad del autor del texto y del texto mismo y la realidad del intérprete se conjugan en un diálogo…"

Es así como se comprenden tres elementos o aspectos fundamentales en la interpretación hermenéutica, como lo señala Palencia (2002): "el texto que tiene que ver con el significado que encierra y que transmite; el autor, quien le da un contenido significativo al texto; y el intérprete, que a través de un código, descifra el contenido significativo que le dio el autor…" (p.161).

El objetivo principal de la presente investigación consiste en "señalar pistas", o realizar una aproximación teórica, que ayude a la conformación de una teoría del aprendizaje de la matemática la cual tome en cuenta los aspectos motivacionales y cognitivos del aprendiz cuando resuelve problemas matemáticos utilizando para ello el paradigma constructivista.

Kilpatrick (1990) presenta su punto de vista:

La visión del constructivismo incluye dos principios: 1.- el conocimiento es constructivamente activado por el conocimiento subjetivo, no recibido pasivamente por el medio ambiente. 2.- llegar a saber es un proceso adaptativo que organiza un mundo experimental, no descubierto e independiente. Un mundo preexistente fuera de la mente del conocedor. (p.40).

El conocimiento, desde el punto de vista kantiano puede ser: puro o empírico. El primero se desliga de la experiencia y la sensibilidad y, al anteceder a toda experimentación, es un conocimiento "a priori". El segundo, se basa en la experimentación, constituye un conocimiento "a posteriori". Kant señala también, que las proposiciones matemáticas constituyen un conocimiento "a priori".

Esta visión apriorística del conocimiento matemático será tomada en cuenta al asumir la postura constructivista. Existe un saber matemático (axiomático) no conocido por el aprendiz al cual debe acceder para construir su aprendizaje. El docente, más que un facilitador, será el medio utilizado para alcanzarlo, es decir, se asume al constructivismo desde un punto de vista pedagógico y no desde su concepción radical.

El análisis de las teorías cognitivas y motivacionales, indicada en los objetivos de la investigación, fue realizada de acuerdo a la metodología planteada, es decir, una revisión del arte de las mismas mediante lectura crítica y síntesis utilizando la hermenéutica, posteriormente, como vehículo interpretativo

Capítulos de la Investigación

La presente investigación consta, básicamente, de siete capítulos que se detallan a continuación:

Capítulo I: Una visión general, en el cual se hace el planteamiento del problema, la justificación de la investigación, el objetivo de la misma y la metodología utilizada.

Capítulo II: El problema del problema, donde se presenta el nacimiento del problema en la especie humana y su definición desde diferentes puntos de vista: general, social, psicológico y matemático tomando en cuenta las diferentes acepciones que sobre el mismo han realizado diversos autores.

Capítulo III: La Resolución de Problemas: una historia sin fin, donde se hace una revisión bibliográfica teórico- exhaustiva de la evolución histórica de la Resolución de Problemas desde las civilizaciones más antiguas – incluyendo la Grecia clásica – hasta nuestros días señalando los diferentes enfoques: cognitivo, motivacional, aptitudinal que han marcado a ésta actividad.

Capítulo IV: Teorías de la ciencia, planteándose el problema del conocimiento en sus diferentes facetas: posibilidad, origen, esencia, forma y veracidad; así mismo, se presenta una visión de la ciencia como sistema de conocimientos.

Capítulo V: Teorías del aprendizaje, donde además del concepto de teoría se plantean las diferentes corrientes cognitivas que se han constituido en teorías del aprendizaje como las conductistas, mediacionales, de procesamiento de la información, psicogenéticas y constructivistas.

Capítulo VI: Teorías motivacionales, donde se plantea la definición de motivación y las diferentes teorías que se basan en el constructo incluyendo la teoría atribucional de Weiner,la teoría motivacional de Pintrich y la metacognición.

Capítulo VII: Una teoría confluyente, donde a modo de conclusión se hacen confluir las teorías cognitivas del aprendizaje con las motivacionales y la metacognición utilizando el constructivismo pedagógico en la resolución de problemas como manera de lograr un cambio conceptual en el estudiante.

CAPITULO II

El problema del problema

Introducción

"Al principio creó Dios el cielo y la tierra. La tierra era confusión y caos, y tinieblas cubrían la faz del abismo, más el espíritu de Dios se movía sobre las aguas…" (Sagrada Biblia, Génesis:1,2). Esta bella forma poética narra, desde el punto de vista bíblico, la creación del Universo y la Tierra. Todas las civilizaciones y culturas en el planeta han propuesto en algún momento de su historia, una manera o teoría plausible acerca de la creación del mundo. Dentro de estas teorías o explicaciones, ya sean míticas o científicas, se encuentra la hermosa presentación de Heráclito (2000) : " este mundo, el mismo para todos, ningún Dios ni hombre lo hizo, sino que fue siempre, es y será fuego siempre vivo que se enciende según medidas y se apaga según medidas" (p.14).

En ese mismo orden de ideas, la teoría actual con más asidero científico lo constituye la singularidad del Big-Bang – término acuñado por el astrofísico británico Fred Hoyle hacia 1.940 – la cuál establece que el Universo actual provino de una "gran explosión" acaecida en un "átomo primitivo" o "huevo cósmico", hace alrededor de 15 mil millones de años, promoviendo la formación de galaxias, estrellas, planetas y todos los cuerpos celestes conocidos. Respecto a esta teoría, el físico y astrónomo norteamericano Sagan (1992) considera al Big-Bang como "una explicación lógica del origen del universo conocido a partir de un instante después del estallido pero que no nos dice nada acerca de lo que había antes" (p.20).

En el largo discurrir del tiempo que transcurre entre el Génesis (Biblia), pasando por el siglo V a.c (Heráclito) y alcanzando el siglo XX (Sagan), son numerosas las teorías o explicaciones que se han generado acerca del origen del Universo y este planeta el cual sirve de morada a la especie humana. Teorías, al fin y al cabo, tal como señala Prigogine (1992), las cuales son " hipótesis provisionales, formulaciones personales, sometidas a la prueba del tiempo" (p.38).

La idea subyacente en los párrafos anteriores es la de hacer un preámbulo a la solución de otro problema que, así como el anterior, ha ocupado a la especie humana durante su existencia, cuál es su propio origen.

"Después dijo Dios: Hagamos al hombre a imagen nuestra, según nuestra semejanza… Y creó Dios al hombre a imagen suya; a imagen de Dios lo creó; mujer y varón los creó…" (Sagrada Biblia, Génesis: 1,26, 27). Esta interesante versión poética con la cual la Biblia señala la creación del hombre puede considerarse como una teoría religiosa entre las tantas que han tratado de explicar la aparición del hombre en el escenario del planeta. Todas las culturas, pueblos y civilizaciones, en algún momento de su historia, en un afán de comprender el pasado, oscuro y misterioso, han propuesto leyendas y mitos con la intención de clarificarlo. De la misma manera como se han formulado variadas y diferentes teorías acerca de la creación del Universo y la Tierra, así también diversas se han formulado sobre la creación y aparición de la vida y, consecuentemente, del hombre.

Mencionar este hecho obliga a pensar en nombres como Lamarck, Darwin y Oparin, y más recientemente en Teilhard de Chardin, Kimura y Gould, entre otros. Oparin, en 1.924, formuló una teoría donde señalaba al origen de la vida como una combinación de los elementos químicos presentes en la primitiva atmósfera terrestre. Así mismo, Kimura (1992) considera la aparición de la vida "como una reacción química provocada por los rayos del sol que creó en la sopa original la primera célula capaz de duplicarse" (p.76). Las teorías señaladas, coincidentes en varios aspectos, son las explicaciones más plausibles que se tienen acerca de la aparición de la vida en el planeta con la excepción de los que plantean su origen extraterrestre.

En un "breve lapso de tiempo" de unos 3.500 millones de años, esa primigenia proteína desarrolla cambios y mutaciones, es decir, evoluciona hacia formas más complejas de vida pasando por la aparición, hace unos 4 millones de años de los primeros homínidos bípedos y, culminando, hace unos 50.000 años, con la presencia del hombre moderno.

La transformación de la vida en el planeta ha sido y es materia de numerosas investigaciones mediante las cuales se ha tratado de explicar cómo y de qué manera ha evolucionado hasta la actualidad siendo de singular importancia las relativas al hombre, es decir, en qué forma y manera se produjo, dentro de la evolución de las especies, ese fenómeno llamado hombre.

Hablar de la evolución de las especies es hablar de Darwin. No se desea afirmar la no existencia de estudios o investigaciones previos al respecto sino mencionar que la Teoría Evolucionista, así denominada por el propio autor, provee de una manera sencilla una explicación plausible acerca de los cambios ocurridos en las especies. Tan sencilla y completa es la misma que el mismo Popper, en Arsuaga (2001), condenó el darwinismo al ostracismo científico: "he llegado a la conclusión de que el darwinismo no es una teoría científica testable o contrastable, sino un programa metafísico de investigación, un posible marco para teorías contrastables" (p.376). Arsuaga (op.cit.), al mostrar la posición entre científicos en general, incluidos biólogos y paleontólogos, comenta el hecho del furor alcanzado por la doctrina, según la cual:

sólo es buena ciencia ( o incluso sólo es ciencia) aquella que sigue el modelo hipotético-deductivo, que es el que mejor describe la forma de trabajar en física: se parte de unas proposiciones (llámense también postulados, axiomas o premisas) y a partir de ellas se deducen ( por lógica) una serie de hipótesis (conclusiones, implicaciones o predicciones) que pueden ser sometidos a contrastación con los hechos ( que pueden ser "falsados" se dice), por medio de la experimentación o por medio de la observación…" (p.375).

La condena de Popper es, por tanto entendible, al no poder falsar la teoría evolucionista de Darwin como lo señalan Grant y Ruse, en Arsuaga (op.cit.),cuando afirman: "procede de una mala interpretación de la esencia del razonamiento darwinista: el mecanismo de la selección natural. El error consiste en igualar la selección natural a la "supervivencia de los más aptos", utilizando una fórmula que no es original de Darwin, sino de Herbert Spencer" (p.377). La teoría evolucionista de Darwin tiene a su favor dos criterios importantes : la simplicidad, puesto que una teoría sencilla siempre es preferible a una basada en una gran cantidad de postulados; y la capacidad para extenderse a campos diferentes de aquel para la cual fue creada. En este sentido no cabe duda que la mencionada teoría cumple las dos premisas: una gran sencillez al presentar la selección natural como modo de evolución y su extensión a otras ramas de la ciencia cómo la sociología, la psicología, entre otras.

En el transcurso del tiempo, el darwinismo estricto se fisura con la aparición de nuevas teorías: el evolucionismo teísta o finalismo , donde se mantiene el principio evolucionista pero dejando a salvo el principio del propósito divino de la creación; el neolamarckismo quien defiende la tesis de la evolución en línea recta; la teoría de la mutación también llamada saltacionismo, la cual admite la aparición súbita de nuevos tipos biológicos sin pasar por la selección natural; ortogénesis, la cual propugna una evolución impulsada por fuerzas internas de los propios organismos. Las teorías mencionadas, referenciadas en la obra de Arsuaga, tienen, cómo es lógico, defensores y detractores aún cuando han ido cayendo en el desuso. Las tendencias actuales se polarizan entre un neodarwinismo o teoría sintética de la evolución, quien surge como combinación del darwinismo con el mendelismo (síntesis) con una visión gradual de la evolución; y la teoría del equilibrio puntuado, la cual defiende un modelo de selección natural actuando a varios niveles incluido el nivel de especiación.

Los párrafos anteriores hacen notar cómo en diferentes épocas de la historia de la humanidad se han planteado teorías científicas o pseudocientíficas donde se ha pretendido explicar, de alguna manera, la historia de la vida en el planeta. El hecho cierto es que, independientemente de la posición asumida, en algún momento, en algún instante y quién sabe porqué razón, si la hay, apareció un Universo, una Tierra y una vida.

Nace el problema

Al comienzo del capítulo se señaló el origen bíblico del hombre como una de las teorías religiosas que sustentan esa aproximación; así mismo, la teoría evolucionista y otras tantas quienes plantean diferentes puntos de vista respecto al nacimiento de la vida y su posterior evolución en el planeta. La pregunta lógica a formular en este momento es, ¿en qué momento de la evolución de la vida aparece el hombre ?. Y más aún, ¿por qué aparece?

Respecto a este punto surgen las más variadas y controversiales opiniones o teorías que tratan de dar una adecuada respuesta a las interrogantes previas: por una parte los evolucionistas finalistas o teístas como Teilhard de Chardín, Broom, Von Koenigswald, entre otros, quienes ven la intervención divina en la creación del hombre considerándola, incluso, como el acto final de la evolución; y, por otra parte, los que adoptan la teoría sintética y, más recientemente la teoría del equilibrio puntuado, como Elredge, Gould, Washburn, entre otros, que ven la creación como una evolución adaptacionista en preparación para la llegada del hombre.

Cualquiera sea la versión real o la teoría apropiada para explicar este proceso, lo cierto es, cómo se señala en la pregunta, que en algún momento de la evolución apareció un homínido o protohomínido precursor del hombre tal como se conoce en la actualidad. Ese momento, según registros fósiles, data de unos 6 millones de años, para algunos paleoantropólogos, y para otros, unos 4 a 4.5 millones de años. Este "animal" que vive en los árboles, por diferentes motivos como lo señalan las hipótesis existentes al respecto – teoría de la sabana, teoría del mosaico de bosques y teoría de la variabilidad – abandona su vida en el bosque, se va a la sabana, y se convierte en un ser bípedo en lo que constituye, para algunos investigadores, un primer paso hacia su transformación en hombre. Otros investigadores consideran que esa transformación no ocurre sino hasta la aparición del lenguaje o de alguna otra forma de comunicación.

Autores como Huxley, Wilson, Teilhard de Chardín, entre otros, han defendido la tesis según la cual la noción de progreso es inherente al proceso evolutivo y que la vida evolucionó hacia formas más complejas y perfectas. Esta razón explica porqué Huxley, por ejemplo, en Arzuaga (op.cit.), afirma : "la nuestra era la única vía de acceso hasta la inteligencia" (p.165).Las diferentes ramas del frondoso árbol genealógico de los primates muestran como se separó el hombre de éstos y cómo evolucionó hasta transformarse en el "hombre moderno". En un momento no determinado, el homínido desciende del árbol, va a la sabana, se yergue y comienza una nueva vida, lejos de la seguridad del bosque, produciéndose un reacomodo o cambio en su ancestral modo de vida. Entre 6 y 4 millones de años separan a ese primate, que se aventuró a vivir en un ambiente diferente a su nicho primitivo, del hombre actual.

De gran interés resulta, en este proceso evolutivo, saber a ciencia cierta cuando realmente nace el hombre. La postura bípeda ha sido señalada por algunos paleoantropólogos cómo inicio o nacimiento del hombre aún cuando, actualmente, hay otras posiciones con más asidero científico al considerar el nacimiento de la especie humana cuando ésta desarrolló alguna forma de comunicación o lenguaje para finalmente constituir una nueva especie. Es así cómo, con una distancia de 50.000 a 80.000 años, se consiguen los primeros vestigios de adornos y utensilios hechos a mano en lo que constituye un primer intento de separación de especies.

En su evolucionar, el hombre atravesó diferentes fases durante las cuales su cerebro se hizo más grande y complejo sucediendo un día el milagro de la inteligencia o razón. Un día en el cual este humanoide toma conciencia de constituir una nueva especie, de poseer algo que lo diferencia de los otros animales y de su capacidad para dominar y cambiar el ambiente. Darwin siempre pensó que el origen de la mente humana había de ser buscado en la evolución. Otros autores, como Wallace, en Arsuaga (op.cit.), "pensaban que la mente humana estaba ahí porque una "inteligencia superior" había guiado nuestra evolución con un propósito específico; un regalo divino, no un producto de la evolución orgánica" (p.297).

Estas posturas tan disímiles tienen eco hoy día en autores modernos que aún cuando abandonan el sentido espiritualista de su origen, mantienen la posición de la aparición súbita. Tal vez de estos investigadores los más renombrados sean Chomsky y Gould quienes defienden la tesis, el primero, de la existencia de "un órgano para el lenguaje" en el cerebro humano que no surgió por selección natural; y, el segundo, que mente y lenguaje humano no son producto de la selección natural ordinaria.

Intermedia de las teorías mencionadas, la emergentista, Arsuaga (op.cit.), indica: "las propiedades de un sistema, definido como un conjunto de elementos interrelacionados, dependen en gran medida de cómo interactúen los diferentes elementos entre sí" (p.300). Autores como Lorentz, Huxley, Tattersall, Klein, entre otros, fueron o son partidarios de esta teoría. Específicamente Lorentz, en Arsuaga (op.cit.)

La palabra evolución hace referencia al desarrollo o despliegue de algo que ya estaba presente de alguna manera, como "la flor en el capullo y el pollito en el huevo", por eso utilizo la palabra fulguración (del latín fulguratio, resplandor del relámpago)… cuando se conectan dos sistemas independientes entre sí, surgen de repente unas propiedades sistémicas totalmente nuevas, que antes no existían, ni siquiera a modo de sugerencias (p.301).

Esta posición de Lorentz la comparte Klein, en Arsuaga (op.cit.) "cuando todos los volantes y ruedas de la maquinaria cerebral acertaron a engranarse correctamente, entonces el complicado reloj mental se puso en marcha. Y surgió, como un prodigio de la naturaleza, inesperado pero sin embargo viable, una nueva maravilla de la evolución" (p.304).

En el mismo orden de ideas, Mitchen, en su influyente teoría, en la obra reseñada, afirma:

En la evolución de la mente humana hubo primero una etapa, similar a aquella en la que se encuentran los chimpancés actuales, en la que dominaba "una inteligencia general". En una fase posterior se desarrollaron una serie de "módulos mentales" que funcionaban como si fueran "órganos mentales" independientes y especializados en funciones diferentes: un "módulo de historia natural" para relacionarse con los otros seres vivos, un "módulo social" para relacionarse con los otros miembros del mismo grupo, y un "módulo" para entender las propiedades físicas de los objetos, que dio lugar a un "módulo" para la tecnología de la piedra… la mente humana moderna no se manifestó hasta que, en una tercera y última fase, se abrieron ventanas y puertas en los muros que mantenían aislados las diferentes "inteligencias". Así surgió, únicamente en nuestra especie, una "fluidez cognitiva" que ponía en comunicación la "inteligencia general" con las diferentes "inteligencias" especializadas (p.305).

Detractores de esta teoría sistémica se han manifestado hoy día, sobre todo a raíz de los últimos descubrimientos fósiles que comprobarían la existencia de una mente moderna entendiéndose con ello la parición del raciocinio, como forma superior de la inteligencia, antes de la confluencia de las "inteligencias especializadas" con la "inteligencia general". La utilización de adornos así como el tallado manual de objetos – cultura lítica – señala para muchos el nacimiento de una conciencia, de una inteligencia o de una razón que produjo, en ese Adán, un desarrollo vertiginoso de habilidades cognitivas que le llevan, en su complejización, a constituir el hombre actual.

Independientemente de la teoría asumida: evolucionista, creacionista o sistémica, el hecho real es la aparición de una inteligencia en la especie humana, superior a la "inteligencia general" del tronco común. Es esta inteligencia, y no otra cosa, la que separa al hombre de los humanoides impulsándole a progresar al hacerle capaz de enfrentar situaciones – básicas, sociales, culturales y espirituales – y resolverlas. Esas situaciones problemáticas, a las que todo ser viviente se enfrenta, se solucionan por evolución o adaptación, pero es sólo la especie humana quien, utilizando ese don tan preciado que posee, las resuelve de otro modo: las razona, las enfrenta y las vence. Es un proceso contínuo, inacabado, donde por un lado se solucionan los problemas y, por el otro, se les crea, produciéndose así un avance o complejización del hombre y de la sociedad que lo cobija.

Creación del Conocimiento

En la introducción del presente capítulo, puede observarse como a partir de una conjunción de circunstancias – posiblemente irrepetibles – surgió la vida en un mundo en gestación y como fue evolucionando hasta la aparición del hombre, tal como se conoce hoy día. El antecesor del hombre, de la misma forma que el resto de los animales de su entorno, enfrentó situaciones que pudieran llamarse problémicas, sobre todo en lo tocante a su supervivencia: alimentación, defensa, abrigo, entre otras, los que pudieron haber sido los aspectos fundamentales a solucionar. En el devenir del tiempo, este "humanoide" se hace humano al adquirir conciencia o inteligencia. De esta manera, las situaciones problemáticas a resolver serán ahora enfocadas o enfrentadas de manera diferente.

Al producirse la sedentarización del hombre, con el descubrimiento de la agricultura, comienza una complejización de su incipiente sociedad que lo llevará a plantearse y solucionar problemas: primero, los relativos a alimentación, defensa y abrigo – necesidades básicas – y después, lo tocante a educación y culturización -necesidades superiores. Es decir, continúa el proceso evolutivo con la diferencia, como la considera Gould (1992) de que: "a partir de ahí, el hombre ha escapado a la ley de la selección natural para entrar en un nuevo orden, el de la cultura" (p.63).

Piaget (1986), destacó el papel desempeñado por el comportamiento del individuo en el proceso evolutivo cuando lo describió como "el conjunto de acciones que los organismos ejercen sobre el medio exterior para modificar algunos de sus estados o para alterar su propia situación con relación a aquel…" (p.7). Así mismo, Popper y Eccles (1980), defienden la tesis según la cual "la actividad, las preferencias, la habilidad y las idiosincrasias del animal individual pueden influir indirectamente sobre las presiones selectivas a las que está expuesto y con ellas puede influir sobre el resultado de la selección natural." (p.14). De esta manera, la conducta o comportamiento del individuo producida como consecuencia de su interacción con el medio ambiente no sólo afectará a éste sino también ocasionará un cambio conductual en el propio individuo en un proceso evolutivo contínuo e inacabado.

En un largo periplo para la existencia humana pero sumamente breve en la historia de la vida, durante un período que abarca desde, aproximadamente, 4.5 a 6 millones de años hasta hace escasos 50.000 a 80.000 años, el hombre evolucionó y desarrolló características propias que lo diferenciaron y diferencian de las demás especies. A título de ejemplo se puede mencionar el famoso caso del esqueleto "Lucy" – del cual se conserva un 40% – encontrado en 1974 por Jonson en Etiopía, quien contribuyó a dilucidar parte del enigma de la evolución humana. Este esqueleto pertenece a un ser completamente bípedo pero sin un gran cerebro ni tecnología lítica, siendo datado a unos 3.6 millones de años. Posteriormente Leaky descubre – 1.978 y 1.979 – otros restos fósiles en Tanzania de ciertos homínidos que caminaban erguidos y supuestamente pertenecen a la misma especie de "Lucy". Estos fósiles son, hasta la actualidad, los más antiguos descubiertos y permitieron a los expertos retrotraer el origen del hombre hasta la cifra de 4.5 – 6 millones de años.

La inteligencia con la que el hombre fue dotado por la naturaleza, en algún momento de su evolución, permitió que la especie sobreviviera al poder encarar y resolver las nuevas situaciones al utilizar una fuerte dosis de creatividad. Esa creatividad a la que se alude, en una evolución cultural como afirma Gould (op.cit.) en su teoría, se tradujo en la creación de conocimiento. Una creatividad necesaria para detectar problemas, para sugerir una posible solución, para poner a prueba la hipótesis asumida y para rehacer el esquema si el intento fue fallido.

Solucionar o resolver problemas es entonces la actividad propia de la evolución cultural del hombre. De solucionar problemas relativos a necesidades primarias, sólo mediante la adquisición de habilidades para asegurar una supervivencia propia del contexto donde se desenvuelve, a resolver problemas originados por necesidades superiores o espirituales, ha siso la historia del hombre. Una historia de evolución a través de pocos millones de años la cual, lenta al principio pero vertiginosa después, propició la aparición del hombre moderno – no mas de 50.000 años – quien con inteligencia, creatividad y raciocinio creó toda una ciencia basada en el conocimiento y en la superación de obstáculos o barreras.

En la teoría del conocimiento, existen factores que durante cierto tiempo frenan u obstaculizan el avance de la ciencia: Bachellard los denominó obstáculos epistemológicos en tanto Kuhn los llamó ciencia normal. Así mismo, también existen situaciones que aceleran ese avance a las que el primero llamó ruptura epistemológica y el segundo, crisis de los paradigmas. En este orden de ideas se pronuncia Graterol (op.cit.) : "los procesos de creación de conocimiento o saber están relacionados con la solución de problemas teóricos o prácticos que en una u otra forma afectan a un grupo social o a una comunidad que se desenvuelve en un espacio-tiempo" (p.18). Así mismo, Varela y Martínez (op.cit.) afirman: "desde un punto de vista epistemológico, la ciencia como actividad humana, está dirigida fundamentalmente a resolver problemas" (p.173).

¿Qué es un Problema?

Con cierta frecuencia, un individuo se encuentra ante una situación donde debe responder una pregunta a partir de algún dato específico o de algún otro tipo de información. Claxton, en Pozo y Pérez (1999), narra una anécdota entre un maestro y un niño de un barrio marginal en los Estados Unidos: "el maestro pregunta al niño ¿cuantas patas tiene un saltamontes? El niño miró tristemente a su maestro y le contestó ¡Ojalá tuviera yo los mismos problemas que Ud.!". De esta anécdota se puede inferir que un problema se entiende de diferentes maneras dependiendo de la situación o contexto en el que se encuentran los actores involucrados, de la información que se maneje o disponga, es decir, de una serie de factores intrínsecos o no al problema en si.

Responder la pregunta ¿qué es un problema? no es una cuestión tan sencilla de realizar. Depende de diferentes y diversos factores que involucran personas, situaciones, contextos, características individuales o colectivas, en fin, una multiplicidad de aspectos ya sea que se considere, dicho problema, desde diferentes puntos de vista: general, social, psicológico o matemático, entre otros. Kilpatrick (1982) al referirse a la pregunta antes formulada hace la siguiente consideración: "esta no es una pregunta que pueda contestarse en un artículo corto, ni siquiera en un libro largo" (p.1). Es así como se confirma que un problema es algo sumamente complejo de definir y es menester contextualizarlo desde diferentes puntos de vista.

El problema desde el punto de vista general

A lo largo del tiempo y desde que el hombre es hombre – cuando nace el problema – se han presentado a la especie humana situaciones contentivas de un problema – situaciones problemáticas – haciéndole utilizar aptitudes y habilidades, es decir, creatividad e inteligencia, para resolverlas. Al comienzo, situaciones de solucionar necesidades básicas o primarias y, posteriormente, la resolución de necesidades espirituales y superiores.

Diversos autores ha tratado de definir lo que es un problema: Nieto (1993) lo define como "un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que requiere ser aclarada" (p.105).

González (op.cit.): "puede concebirse como sinónimo de dificultad; ésta se presenta cuando a alguien se le plantea una interrogante, al tiempo que se le exige una respuesta o solución" (p.251).

Soto Guzmán, en Medina (op.cit.), define un problema como "una discrepancia entre una situación actual observada y una situación deseada" (p.8).

Escalante (1984): "una situación problemática existe cuando habiendo un objetivo que debe ser logrado, el mismo aparece tan vagamente definido que el individuo no logra determinar con toda precisión y claridad los medios relevantes para resolverla" (p.1).

Polya, en García (op.cit.), "enfoca el problema como la manera de salir de una dificultad, de evitar un obstáculo, de lograr un fin que no era inmediatamente obtenible" (p.97).

García (1996) establece el concepto de problema como

Una situación que presenta una oportunidad de poner en juego los esquemas de conocimiento, que exige una solución que aún no se tiene y en la cual se deben hallar interrelaciones expresas y tácitas entre un grupo de factores y variables, búsqueda que implica la reflexión cualitativa, el cuestionamiento de propias ideas, la construcción de nuevas relaciones, esquemas y modelos mentales, es decir, y en suma, la elaboración de nuevas explicaciones que constituyen la solución al problema.

García (1998), señala lo siguiente: "en el lenguaje común, problema es una cuestión en la que hay que averiguar o que provoca preocupación".

Garret (op.cit.) afirma:"una situación puede convertirse en problema, solamente cuando ha sido reconocido como tal, es decir, cuando corresponden a una duda carente de respuesta".

De Guzmán (1996) indica: "se tiene un verdadero problema cuando se encuentra en una situación desde la que quiere llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfiladas, y no se conoce el camino que puede llevar de una a otra".

La revisión de un amplio espectro de literatura sobre problemas y resolución de problemas permitió entresacar las anteriores definiciones de investigadores de reconocida trayectoria que contemplan al problema desde un punto de vista general. En este sentido puede observarse, de un análisis de las mismas, que involucran una serie de términos comunes: obstáculo, dificultad, objetivo y respuesta, así como la imposibilidad de separar al sujeto de la propia definición. Etimológicamente, obstáculo significa hacer difícil o imposible el paso o lo que impide la realización de algo. Así mismo, difícil significa que se requiere inteligencia, habilidad y esfuerzo para lograr o superar algo. Se puede señalar así que en un problema se encuentran presentes los siguientes aspectos: un obstáculo para alcanzar una meta, una dificultad propia del obstáculo que impide la consecución de la meta, una meta u objetivo a alcanzar y una respuesta como solución al mismo.

El problema desde el punto de vista social

En algún momento de su evolución hacia formas superiores de vida, el hombre siente o experimenta la necesidad de agruparse con otros miembros de su especie con el fin de solucionar problemas comunes a su incipiente sociedad. Hobbes (2000), considera a este respecto:

La experiencia inmediata o histórica del hombre y su manera de vivir y mantenerse sobre la tierra presenta un dato radical: los seres humanos se buscan entre si y construyen espacios comunes en los cuales viven y se reproducen… la soledad absoluta le es imposible al ser humano y, pese a las enormes dificultades que encuentra en compartir su cotidianidad con otros, cualquier esfuerzo resulta válido con el fin de conjurar el aislamiento… (p.130).

¿Qué razón tan poderosa impulsó al hombre a relegar a un segundo plano uno de los dones más preciados con el que fue dotado por la naturaleza, cual es la libertad? La complejización de la evolución en el sentido de enfrentarse día a día con situaciones problemáticas más difíciles ocasionadas por su afán de conocimiento, por la solución de sus requerimientos básicos y por el deseo intrínseco de alcanzar la felicidad, le llevan a sacrificar, al menos parcialmente, su sentido de libertad heredado de su propia naturaleza. Locke (2000) se pregunta: "¿cómo decidieron los hombres, originalmente libres y entregados a la absoluta soberanía, coartar sus privilegios individuales y entregarse a una convivencia de la cual redundarían tantas contradicciones?" (p.170)

Las razones mencionadas producen la aparición de una forma de vida donde el individuo no sólo debe resolver sus propios problemas sino otros en comunión con los demás de su especie, avocándose a solucionar situaciones comunes: nace así la sociedad como ente aglutinador de seres con una visión común en lo relativo al logro de la felicidad. Liazos (1982) así lo considera:

los problemas, desde el punto de vista social, pueden incluirse en dos grandes bloques según sea la perspectiva teórica que adopte: por una parte, estarían las definiciones que resaltan los aspectos objetivos perjudiciales de los problemas, aunque éstos no sean identificables por sectores amplios de población como situaciones susceptibles de ser cambiadas… y, por la otra, aquellas definiciones que entienden que solo existe un problema social cuando un grupo significativo de la sociedad percibe y define ciertas condiciones como problema y pone en marcha acciones para solucionarlas.

Diversos investigadores como Fuller y Myers, Merton, Blumer, Kohn , Sullivan y cols.entre otros, reseñados por Liazos (op.cit.), muestran importantes elementos para identificar un problema social. En primer lugar, debe existir consenso entre los miembros de la sociedad de cuales son los problemas en general; en segundo lugar, determinar los grupos quienes definen el problema social puesto que son ellos los interesados en resolverlo; en tercer lugar, las razones que definen el problema; y, por último, estar conscientes que un problema social atañe a todos y no a individualidades.

Identificado como tal, un problema social debe ser resuelto con el aporte de la sociedad. Aspectos cómo: la fuerza de los números (grupo con acceso a mayor cantidad de personas); organización; acceso a recursos; autoridad, entre otros, son rasgos resaltantes y fundamentales en la solución de un problema social.

El propio salón o aula de clases, con las interacciones entre docente y alumno, adquiere de este modo una dimensión de hecho social. González (op.cit.) lo confirma de la siguiente manera: "la enseñanza puede ser concebida como una situación social que se produce en un determinado contexto o escenario (aula de clases), donde un grupo de actores (profesor y alumnos) llevan a cabo un conjunto de acciones o actividades" (p.13). En la misma tónica se manifiesta Kilpatrick (op.cit.), "es una construcción social con significado por cada participante en el proceso" (p.9). El docente plantea un problema al alumno o a un grupo de ellos en la espera de su solución con lo que se genera una búsqueda de pistas, por parte del o los solucionadores donde se indaga si el problema tiene toda la información pertinente, si la solución es inmediata o no, si es menester esforzarse en la búsqueda de esa solución o si involucra algún otro aspecto del entorno mismo.

El problema desde el punto de vista psicológico

La definición clásica de problema, desde la perspectiva psicológica es, Kilpatrick (op.cit.), "una situación en la que se debe alcanzar una meta, pero en la cual está bloqueada una ruta directa" (p.7). Así mismo señala: "los psicólogos añaden con rapidez que un problema requiere un individuo dentro de la situación – alguien que tiene el problema" (p.7). La vertiente psicológica del problema no difiere de la concepción general más que en la presencia del individuo cognoscente del mismo. Es así como al señalar la presencia en un problema del obstáculo, la dificultad, la meta y la respuesta, desde esta aproximación psicológica es necesario establecer que deben ser enfocados y solucionados en función de los objetivos propuestos, con inteligencia, creatividad y raciocinio los cuales no son más que atributos de la especie humana.

Los aspectos psicológicos, propios del individuo solucionador del problema, se consideraron firmemente en los estudios, a partir de la década de los 50`s, cuando el pragmatismo y el conductismo ceden paso a investigaciones relacionadas con los aspectos motivacionales propios del individuo. De esta manera se encuentran las definiciones de problema de Thorndike, en Kilpatrick (op.cit.), como:

Se orienta al individuo hacia un objetivo particular y se le motiva para alcanzarlo. Se tiene un fin en perspectiva… está bloqueado el progreso hacia el objetivo… los patrones de respuesta habituales no son adecuados para permitir que el individuo supere el obstáculo y proceda hacia su objetivo (p.7).

La formulación de Brownel, en la obra citada, se refiere:

a) a tareas conceptuales y perceptivas, b) la naturaleza de las cuales es capaz de comprender el individuo en virtud de naturaleza (sic) original, de aprendizaje previo, o de organización de la tarea, pero c) para los cuales por el momento él no conoce un medio de satisfacción directo. d) El individuo se siente perplejo en la situación del problema, pero no experimenta una confusión total.(p.7).

De igual manera, Henderson y Pingry, en Kilpatrick (op.cit.), expresaron la subjetividad del problema en términos sencillos: "lo que puede ser un problema para un individuo puede no serlo para otro individuo. Un problema para un individuo particular en el día de hoy, puede no ser un problema para él mañana" (p.8).

Luria (1945) considera el problema como "una actividad intelectual de modo organizado que se apoya en un programa lógico de operaciones relacionadas entre sí, donde dichas operaciones están determinadas por un cierto objetivo, una cierta pregunta a la que es imposible dar una respuesta inmediata".

Kinsella, en Medina (op.cit.), coincide con la definición de Henderson y Pingry

"un individuo está en una situación problemática cuando determina un objetivo particular y está motivado a lograrlo pero está, al menos de manera temporal, frustrado en el ataque de su tarea trazada" (p.10).

Perales (op.cit.) define al problema como "cualquier situación prevista o espontánea que produce, por un lado, un cierto grado de incertidumbre y, por el otro, una conducta tendente a la búsqueda de su solución" (p.170).

Pozo, Postigo y Gómez (1995) definen el problema como "una situación nueva o sorprendente, a ser posible interesante o inquietante en la que se conoce el punto de partida y donde se quiere llegar, pero no los procesos mediante los que se puede llegar" (p.17).

Las diferentes acepciones de problema señaladas poseen aspectos psicológicos básicos como: perplejidad, confusión, frustración, incertidumbre, entre otros, los cuales son propios, no del problema o situación en sí, sino del sujeto que enfrenta o trata de resolver el problema. Es así como se entiende el concepto de problema desde el punto de vista de la presente investigación. No puede desligarse del aspecto psicológico puesto que al tratar sobre resolución de problemas es intrínseca la presencia del solucionador.

El problema desde el punto de vista matemático

La matemática se ha construído, en gran parte, sobre la base de resolver problemas: el de la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo – por mencionar sólo problemas famosos de la antigüedad – y sus implicaciones en la creación y desarrollo posterior de nuevas ramas de la misma. El teorema de los Cuatro Colores y el Último Teorema de Fermat son ejemplos de problemas matemáticos resueltos hace poco tiempo – última década del siglo pasado – los cuales se habían constituído en verdaderos retos para el investigador. La Conjetura de Goldbach, la Conjetura de Poincaré y la Hipótesis de Riemann son ejemplos de problemas existentes en la matemática en espera de una solución.

En apartes anteriores se definió el problema desde diferentes aspectos: general, sociológico y psicológico. Común a todas esas definiciones son las ideas de obstáculo, de dificultad, de meta y de solución del problema, con la inclusión de un solucionador. Desde el punto de vista de la perspectiva matemática, la definición de problema no es diferente salvo que "está involucrada la noción de matemática." En este sentido, Svechikev, en García (op.cit.), lo conceptualiza como

Una narración clave en el que el valor de algunas magnitudes está implícito y se necesita hallar otro valor de la magnitud, dependiente de los valores dados, con los que mantiene ciertas relaciones que están señaladas en las condiciones del problema" (p.97).

El Módulo Tutorial sobre Resolución de Problemas del CENAMEC (1986), en García (op.cit.), define un problema como "una situación que es nueva, debe ser resuelta y se llega a su solución mediante la aplicación de herramientas matemáticas" (p.97). De la misma manera, Parra (op.cit.) define el problema como "una situación no resuelta donde la matemática juega un papel fundamental para la resolución del mismo" (p.26).

Al considerar nuevamente la importancia que tienen los problemas en el desarrollo de la matemática, el famoso matemático Halmos al referirse a la constitución de ella como: axiomas, teoremas, pruebas, conceptos, definiciones, métodos, fórmulas o teorías, señaló, Beyer (1998):

La matemática seguramente no existiría sin estos ingredientes; ellos son todos esenciales. Es sin embargo, un punto de vista tentador que ninguno de ellos es el corazón de la disciplina, que la razón principal de existir del matemático es resolver problemas, y que, por lo tanto, de lo que realmente consiste la matemática es de problemas y soluciones (p.43).

Hacer matemática es resolver problemas, de acuerdo a lo anterior. Pero esa solución o búsqueda de ella no transita sola: se requiere un solucionador quien, en un determinado ambiente o contexto, busque la meta a través de aptitudes, habilidades y conocimiento. Cabe destacar, de lo señalado, la confluencia de lo sociológico con lo psicológico en el proceso de resolver un problema. Es menester, sin embargo, considerar el aspecto pedagógico del problema puesto qué en el mecanismo de apropiación del conocimiento, en un aula de clase, está implícito dicho aspecto.

Entre los objetivos de la investigación está el de señalar pistas para conformar una teoría del aprendizaje de la matemática utilizando el constructivismo como estrategia pedagógica, de tal forma que la consideración del problema desde el punto de vista matemático debe llevar implícito el componente pedagógico. Revuz, en Parra (1991), menciona este aspecto cuando considera al problema como " un tema de investigación de dificultad suficiente sin ser excesiva y al cual el alumno podrá consagrar un tiempo suficiente" (p.59).

Introducir problemas en la clase involucra varios aspectos pedagógicos: apropiación, por parte del alumno, de conocimientos preexistentes con el docente como mediador; fijación de esos conocimientos al compararlos con situaciones reales o con la estructura cognitiva propia del aprendiz; desarrollo de aptitudes y habilidades para el aprendizaje, entre otros. En conclusión, el problema matemático no debe verse sólo desde esta perspectiva: los conceptos sociológicos y psicológicos están íntimamente relacionados al existir un solucionador del problema en un contexto social. De igual manera, la concepción pedagógica es parte integral del mismo al asumirse la presencia de un docente mediador entre conocimiento y aprendizaje.

CAPITULO III

La resolución de problemas: una historia sin fin

Introducción

El capítulo anterior se dedicó muy someramente, a la par de la definición de problema, a la presentación de las teorías o concepciones más resaltantes y actuales acerca de la creación del Universo y la vida en el planeta así como las hipótesis principales sobre la creación o aparición del hombre en el mismo.

El hecho, prácticamente indiscutible, radica en la premisa de que el hombre desciende de un tronco común quien en un determinado momento de su evolución dejó una vida arborícola, definida por la seguridad del bosque, para aventurarse a una nueva experiencia en la sabana. Pero así como existe amplio consenso en lo indicado, existen contradicciones e hipótesis encontradas entre los investigadores en lo referente al "momento", al "instante", cuando ese homínido se transformó en hombre. Un periplo de vida de unos dos millones de años separan ese "momento" de la aparición de las primeras formas culturales – collares y cuentas, herramientas líticas, ritos religiosos – en un lento proceso de adecuación, cuyo principal motivo fue la invención de la agricultura que transformó una sociedad nómada en otra sedentaria.

La dispersión del hombre por el mundo conocido no sucede en igualdad de condiciones para los diferentes grupos existentes. En algunos casos las condiciones de medio ambiente – nicho ecológico – y de genotipo de la especie causaron diferentes formas o tipos de evolución tanto biológica como cultural, produciéndose la desaparición o extinción de algunos de esos grupos o un mayor proceso evolutivo en otros. Ejemplo típico lo constituye la extinción en Europa del hombre deNeardental y su sustitución por el hombre de Crogmañón que pertenecía a otra especie humana.

El Oriente Medio, en regiones que hoy día constituyen los países de Egipto, Siria, Afganistán, Pakistán, entre otros, y principalmente Irak e Irán, la raza humana experimentó un vertiginoso crecimiento social y cultural mayormente motivado al desarrollo de la agricultura en la rica zona de la Mesopotamia comprendida entre los ríos Tigris y Eufrates. Este gran desarrollo de la actividad tanto agrícola como pecuaria, produjo un autoabastecimiento de las sociedades sitas en dicha región generando una nueva actividad – el comercio – al negociarse los excedentes con poblaciones vecinas lo cual trajo como consecuencia un mayor desarrollo social, económico y cultural con una expansión en las artes y las ciencias.

Las actividades científicas en estas primeras civilizaciones se concentraron principalmente en la astronomía y la matemática. Bell (1995) acertadamente se refiere a este punto:

Todos los pueblos civilizados, en el transcurso de su historia han dirigido sus esfuerzos hacia el estudio de la matemática. Los orígenes prehistóricos de éstos son tan ignotos como los del lenguaje y el arte, y aún de su primera etapa civilizada solo pueden hacerse conjeturas basándose en las características de los pueblos primitivos de hoy (p.13).

En lo siguiente no se pretende realizar o escribir una historia de la matemática al existir, en este sentido, una bibliografía abundante y de excelente calidad sino resaltar en cada una de las civilizaciones prehistóricas, al principio, los mayores desarrollos alcanzados en el planteamiento y solución de problemas matemáticos y su influencia en el desarrollo posterior de la actividad y, posteriormente cubrir desde ese mismo punto de vista, el gran auge alcanzado por la misma durante el período griego básicamente hasta el año 300 d.c. Prosiguiendo con la investigación se analizará la historia de la Resolución de Problemas matemáticos desde comienzos de la edad media hasta los grandes descubrimientos de los siglos XVI al XIX continuando con su desarrollo desde el siglo XX hasta nuestros días donde se presentan diferentes facetas o vertientes desde donde se enfoca dicha actividad.

El Problema Matemático y su Solución en los Albores de la Civilización

Es de amplio consenso la consideración de que la civilización propiamente dicha comenzó con la invención de la agricultura y con la utilización de una forma superior de comunicación como lo es el lenguaje escrito. La agricultura, como ya se indicó, permitió un mayor intercambio económico con otros pueblos la cual unida al lenguaje, ocasionó un crecimiento de la actividad cultural y científica en los mismos.

Las primeras civilizaciones propiamente dichas de las cuales se tiene noticia, en occidente, datan de unos 6.000 años a.c – alrededor de 4.000 años después de la aparición de la agricultura. Sin embargo, algunos descubrimientos recientes en el occidente de la India ponen en duda lo antes señalado al datarse algunos restos arqueológicos hasta el 8.000 a.c – hacia el final de la última glaciación – aún cuando este hecho no es compartido por la totalidad de los arqueólogos. Las civilizaciones de las cuales se tienen los más antiguos registros matemáticos son: la mesopotámica – incluida Sumeria y Babilonia – hacia el 5.700 a.c y, la egipcia hacia el 4.300 a.c. Al referirse a estas civilizaciones, Bell (op.cit.) se pronuncia de esta forma:

Por el año 5.700 a.c los sumerios, predecesores de los babilonios semíticos, empezaron a contar su año a partir del equinoccio de primavera. Mil años más tarde, el primer mes del año recibió el nombre de Toro, estando el sol en la constelación de Taurus en el equinoccio de primavera hacia 4.700 a.c. De esta manera los habitantes de Mesopotamia debieron de haber tenido una aritmética elemental útil (p.35).

Como fue mencionado, el auge del comercio entre los pueblos mesopotámicos y otros, ya no tan cercanos, ocasionó un intercambio cultural más rápido y dinámico. Hacia el 2.500 a.c ya los sumerios estaban familiarizados con pesas y medidas utilizando una base de numeración sexagesimal – base 60 – con algo del sistema decimal – base 10. En este sistema el valor dependía de la posición y así, con los adecuados caracteres cuneiformes, en Bell (op.cit.):

17, 35; 6, 1, 43 en que el punto y coma indica el principio de la parte fraccionaria significa 17 x 60 + 35 + 6/60 + 1/602 + 43/603 … de acuerdo con el humor del escriba, un espacio en blanco podía o no indicar la falta de la potencia correspondiente de 60. (p.40).

Los babilonios por su parte contribuyeron a la aritmética de este período configurando tablas matemáticas donde tabulaban 1/n para enteros n llevados a base 60. Otro aporte babilonio lo constituyó las tablas de multiplicar para diferentes multiplicadores las cuales convenientemente utilizadas, servían para calcular raíces cuadradas.

En el transcurso del tiempo la civilización sumeria es absorbida por la babilonia con todo su bagaje de conocimientos produciéndose lo que muchos historiadores de la matemática han considerado el adelanto más notable en el desarrollo de las matemáticas cual es la demostración aún cuando otros consideran que no existió como tal sino como una "intuición muda".

Diversos problemas fueron legados por los babilonios los cuales lograron sobrevivir hasta nuestros días gracias al hecho de haber sido escritos en tablas de arcilla. Algunos de los más importantes tal vez hayan sido: resolución de ecuaciones del tipo x3 + ax2 + b = 0; sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas; ecuaciones simultáneas de segundo grado del tipo pq = 600, (ap + bq)2 + cp + dq = e; ecuaciones de segundo grado donde obtenían una sola raíz aún cuando hay un ejemplo donde se dan las dos raíces positivas.

Respecto a la geometría y el análisis, los babilonios resolvían problemas relativos a cilindros rectos y troncos piramidales. Así mismo ya era conocido por ellos lo que después se llamaría el Teorema de Pitágoras y, lo que Bell (op.cit.) denomina "el vestigio registrado más antiguo que se posee sobre los orígenes del análisis matemático: los lados de los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales" (p.49). Grande fue realmente el legado del pueblo babilonio al desarrollo de la matemática en lo que respecta a la aritmética y la geometría al punto que conocían un valor de pi como 3 lo que permitió una medición primitiva del círculo.

Otra civilización contemporánea con la anterior, donde se produjo también un avance de las matemáticas, fue la egipcia. Se sitúan los registros más antiguos que se poseen hacia el año 4.300 a.c y se supone coinciden con la aparición del primer calendario de 365 días por año donde se señalaban las inundaciones periódicas del Nilo base, por así decirlo, del progreso y auge que experimentó este pueblo en tan temprana edad de las civilizaciones. Bell (op.cit) confirma que "ya en 3.500 a.c los egipcios manejaban libremente números del orden de los cientos de millar; los jeroglíficos de aquella lejana fecha registran la captura de 120.000 prisioneros humanos, 400.000 bueyes y 1.422.000 cabras" (p.41). Así mismo se ha adjudicado a los egipcios el hecho de ser grandes geómetras vistas las maravillosas construcciones realizadas – pirámides, obeliscos, templos – lo cual no parece tan cierto a luz de recientes descubrimientos.

La geometría utilizada por dicho pueblo se basaba en la practicidad y en la experiencia de muchos años de construcción más que en el ingenio mostrado, por ejemplo, por los babilonios. Se sabe como usaban una cuerda con varios nudos espaciados regularmente para conocer, por ejemplo, "si en un lado del triángulo había tres nudos, y en el otro cuatro, entonces el otro lado debía tener cinco". Ese procedimiento fue utilizado por los agrimensores egipcios para medir las parcelas de los agricultores y determinar así el monto del impuesto a pagar. Pero no existe ninguna prueba para demostrar el conocimiento que el cuadrado de un lado sumado al cuadrado del otro, en ese triángulo rectángulo, diera como resultado el cuadrado de la hipotenusa o Teorema de Pitágoras, como actualmente se le conoce.

La prueba más fehaciente existente en la actualidad del desarrollo de la matemática egipcia se encuentra en el llamado Papiro Rhind, actualmente en el Museo Británico, y en el Papiro Golenischev, en Moscú. En el primero de ellos, el más conocido, un sacerdote egipcio llamado Ahmes escribió un documento "Orientaciones para conocer todas las cosas ocultas" – hacia 1.700 a.c – donde presentaba una colección de problemas matemáticos aún cuando se tiene fuerte sospecha que fue copiado de otro anterior. En este documento pueden verse gran diversidad de problemas donde se visualiza el tipo de matemática utilizada por los egipcios hasta la desconcertante petrificación y posterior desaparición de su civilización en un hecho aún no satisfactoriamente explicado.

Como ejemplo de la matemática egipcia se pueden señalar algunos de los problemas contenidos en el mencionado documento, reseñados por Newman (1968):

· reducir expresiones de la forma 2/ 2n + 1 a fracciones con numerador unidad, por ejemplo, 2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232

· "distribución panes 9 para hombres 10" lo que quiere decir "dividir 9 panes entre 10 hombres". Este problema lo resuelven reduciendo, como se señaló, la expresión a fracciones de unidad como numerador. Así 9/10 = 27/30 = 2/3 + 1/5 + 1/30 ( ya era conocida la fracción 2/3 ).

· "panes 100 para hombres 5, 1/7 de 3 superior para hombre 2 estos inferior ¿cuál es la diferencia de porción?. Traducido quiere decir: reparta 100 panes entre 5 hombres, de tal modo que las porciones que reciban estén en progresión aritmética y que 1/7 de la suma de las 3 porciones mayores sea igual a la suma de las 2 menores ¿ cuál es la diferencia de las porciones?. El Papiro presenta una solución como 5 1/2.

· "un granero cilíndrico de diámetro 9 y altura 6 ¿ cuál es la cantidad de grano que puede contener?. En su resolución se usa una regla para determinar el área del círculo como A= (8/9 d)2, donde d es el diámetro de la circunferencia.(p.102)

Los problemas mostrados dan una idea del tipo de matemática utilizada por los egipcios. Se infiere, como señalan estudiosos del tema, que dicha matemática era experimental y los problemas se resolvían por tanteo. Ejemplo típico lo constituye el hecho de dividir una circunferencia en cinco o siete partes utilizando compás: los egipcios lo hacían en sus edificaciones. De igual modo conocían la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide como V = (h/3)( a2 + ab + b2 ), donde a y b son los lados de los cuadrados de las bases y h, la altura. Esta fórmula es considerada la obra maestra de la geometría egipcia.

El Legado chino-hindú

En lo señalado hasta el momento en el presente capítulo, se ha concentrado el estudio en lo referente a las civilizaciones mesopotámicas y egipcia sin hacer señalamiento de otros pueblos, quizás tan antiguos como los mencionados, donde existió también el florecer de una cultura matemática. Pueden mencionarse en este sentido: el pueblo Maya, en el Nuevo Continente; la civilización hindú; las civilizaciones del Lejano Oriente, como las más importantes.

El pueblo maya, en América Central, poseía un sistema de numeración en base 20 así como un calendario muy preciso que se remonta a su más lejana antigüedad posiblemente antes de su propia existencia hacia el 3.400 a.c.

El pueblo chino tuvo conocimientos matemáticos como la resolución de ciertas ecuaciones numéricas pero por su lejanía y aislamiento del mundo de la época no fueron conocidos sino hasta ya entrada la edad media. El texto chino de matemática más antiguo que se conoce data del 1.105 a.c llamado Chou-péi de autor desconocido. Contiene asuntos matemáticos presentados en forma de diálogos parecidos a los sutras hindúes, donde se tratan los números místicos, las medidas y la astronomía. Algunos ejemplos de estos diálogos son:

• El arte de los números se deriva del círculo y el cuadrado

• Las formas son redondas o agudas; los números son pares o impares. El cielo se mueve en un círculo cuyos números subordinados son pares; la tierra reposa sobre un cuadrado cuyos números subordinados son impares.

El libro clásico de la matemática china es el Kiu-chang Suan-shu ó Aritmética en Nueves Secciones, de fecha y autor desconocidos. Esta obra contiene nueve capítulos:

• Cuadriculando las formas, donde aparecen fórmulas correctas para calcular áreas de triángulos, trapezoides y círculos.

• Cálculo de cereales, donde se tratan porcentajes y proporciones.

• Cálculo de reparticiones, donde se plantean sociedades y regla de tres.

• Cálculo de longitudes, donde se calculan lados de figuras incluyendo raíces cuadradas y cúbicas.

• Cálculo de volúmenes.

• Aligación, relativo a problemas de movimiento.

• Exceso y deficiencia, referido a la regla de falsa posición.

• Ecuación, donde se plantea la solución simultánea de ecuaciones lineales con alguna noción de determinantes.

• Triángulo recto, donde se contempla el triángulo pitagórico.

Como bien puede observarse eran amplios y de profundidad los conocimientos matemáticos chinos sin que se tenga, al igual que los pueblos babilonio y egipcio, certeza de la utilización del método deductivo tan profusamente desarrollado por los griegos a partir principalmente del 600 a.c.

El pueblo hindú, por su parte, desarrolló una matemática propia pese a su cercanía con la civilización mesopotámica hasta el punto de considerarse que la invención del cero se debe a ellos. Utilizaron un sistema numérico posicional el cual fue transferido a los árabes a comienzos de la era cristiana. La información matemática más importante que se tiene de este pueblo se encuentra en los vedangas los cuales forman parte de los llamados vedas. Estos vedangas se clasifican en seis ramas del conocimiento:

• Fonética: la ciencia de la articulación y pronunciación.

• Gramática.

• Etimología.

• Metronomía ó chandah: el arte de la prosodia

• Astronomía.

• Reglas para rituales y ceremonias ( kalpa ).

La información matemática contenida en los vedangas está normalmente en forma de sutras – parecido a los diálogos chinos – la cual era una forma peculiar de escribir que ayuda por su brevedad y forma poética al capturar la esencia de un argumento. Los kalpasutras – reglas para rituales y ceremonias – incluyen el srauta-sutra con indicaciones para construir piras de sacrificio en diferentes épocas del año. Parte de esta literatura tiene que ver con la medición de esos altares de sacrificio y se conocen como sulbasutras donde sulba se refiere a la cuerda utilizada para medir dichos altares. La antigüedad de esta literatura no se conoce a ciencia cierta pero los brahmanas que contienen los kalpasutras datan del 1.000 al 800 a.c.

Realmente interesante es esta corta revisión de la historia matemática de los pueblos tratados. Un hecho notorio, entre otros, se refiere al conocimiento de lo que después, en el transcurso del tiempo, se llamaría el Teorema de Pitágoras aún cuando no existe ningún tipo de certeza para confirmar algún tipo de contacto físico entre dichos pueblos y sin embargo desarrollaron una cultura matemática afín en muchos aspectos.

La historia de la matemática es la historia de sus problemas y su solución. Bell, en su importante obra, mencionaba que todos los pueblos han dirigido sus esfuerzos al estudio de la matemática. Engañoso sería considerar su desarrollo como transcurrido por un camino suave y mullido exento de asperezas y dificultades. Lenta al principio, de una manera utilitaria e intuitiva, y vigorosa después, la matemática ascendió peldaños hasta alcanzar – antes de la era cristiana – su mayor apogeo con la civilización griega.

Con babilonios y egipcios se accede a las primeras formas de demostración si bien no por deducción hipotética propiamente dicha sino por una deducción intuitiva que asombra todavía por su contenido. En este sentido, Jiménez (1999) indica, refiriéndose al Papiro Rhind: "esta colección de problemas nos da una indicación, más o menos clara, de los métodos egipcios, pero no podemos obtener de dichos métodos de resolución una pista, ni siquiera difusa, acerca de sus hábitos de razonamiento lógico" (p.99).

La matemática avanza de esta manera desde un comienzo oscuro e inescrutable, posiblemente en el inicio mismo de la civilización en lo que se pudiera denominar etapa primigenia, hasta aproximadamente el 600 a.c donde, con la civilización griega, se produce una eclosión del pensamiento matemático. Es un plantear y resolver problemas quien produce este inexorable avance como lo confirma Wiles, solucionador del Ultimo Teorema de Fermat, cuando apunta en Jiménez (op.cit.): "un buen problema matemático se define más por la matemática que genera que por él mismo" (p.86).

El álgebra y la geometría, y hasta rudimentos de análisis, tuvieron su origen en estas civilizaciones: resolución de ecuaciones simultáneas, potenciación y radicación, cálculo de áreas y volúmenes, intuición de los irracionales incluyendo el número pi, son sólo algunos de los legados de estos pueblos. Pudiera decirse que las técnicas de resolución de problemas matemáticos tienen su origen en esta época – desarrolladas extraordinariamente con posterioridad por los griegos – cuando al decir de Bell (op.cit.):

Un problema relativamente difícil es reducido por transformaciones reversibles a otro más fácil de resolver; la solución de este último se enlaza entonces con la del anterior y con la de todos los problemas de los que es el tipo. La reducción babilónica de las ecuaciones de tercer grado parece ser el primer caso registrado de esta metodología" (p.45).

La Matemática Griega

Ha sido señalado con certeza el gran desarrollo experimentado por esta ciencia a partir de la civilización griega tomando como punto de partida el siglo VI a.c con la figura legendaria de Thales de Mileto (627 a.c – 546 a.c). Este personaje, comerciante, dedicó gran parte de su tiempo a realizar viajes por Egipto y el Oriente Medio ilustrándose, se supone, con los conocimientos matemáticos de esos pueblos. Diversos teoremas se atribuyen a su autoría:

• Un círculo es bisecado por su diámetro.

• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

• Si dos líneas rectas se intersecan, los ángulos opuestos que se forman son iguales.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos y un lado iguales, los triángulos son iguales en todo sentido.

Rodríguez (1994) se refiere a este personaje de la siguiente manera:

Con Tales observamos el concepto de proporción, representación y si se quiere, demostración. Recordemos que a Kant le impresionó la demostración de Tales de la igualdad de dos ángulos del triángulo isósceles. La demostración, en principio, también lo enseña Tales, va unida a la representación, la que a su vez es inseparable de nuestra visión (p.31).

Cabe notar en lo reseñado por Rodríguez que con Thales se accede a una de las primeras formas de resolución de problemas matemáticos cual es la representación gráfica. Se conjetura que esta forma de demostración la utilizó para calcular la altura de la Gran Pirámide cuando se encontraba en Egipto, al establecer una aplicación de triángulos semejantes a la sombra de la pirámide y la de su cayado cuando lo sostenía perpendicular al suelo. Otro ejemplo de esta forma de resolución lo constituye la medición de la distancia entre un barco y la costa.

Contemporáneo con Thales se tiene la presencia de Pitágoras de Samos (570 a.c -480 a.c) al cual se le atribuyen diversos teoremas:

• La suma de los ángulos de un triángulo suman dos ángulos rectos.

• Teorema de Pitágoras

• Descubrimiento de los irracionales.

• Definición de cinco sólidos regulares – poliedros.

• Desarrollo y uso del álgebra geométrica lo que permitió resolver ecuaciones del tipo x2 + x + 1 = 0 y x3 + x2 +x + 1 = 0.

Prolija y extensa fue la obra de este matemático en esta época de comienzo del desarrollo de la matemática occidental. Relaciona los tonos de las notas emitidas por cuerdas de una misma clase con las longitudes de las mismas lo que constituye el primer problema de la física-matemática. Este descubrimiento le lleva a pensar que el Universo se rige por los números – matematización de los fenómenos naturales – y junto a la matemática como sistema deductible planteada por Thales, constituyen los avances más notables de esta primigenia fase de la matemática griega. En lo que respecta a la resolución de problemas, como señala Rodríguez (op.cit.) "accedemos a una nueva técnica matemática, el principio de reducción al absurdo como consecuencia de la determinación del carácter inconmensurable de la raíz cuadrada de dos" (p.32).

Posterior a Pitágoras, Hipócrates de Chios (470 a.c – ¿ a.c) demostró la fuerza, como método de solucionar problemas, de la técnica del método indirecto o reductio ad absurdum como deducción de una contradicción partiendo de una hipótesis supuesta que se quiere refutar. Bell (op.cit.) se refiere así al método: "la validez universal de este método permaneció inalterable hasta el siglo XX, cuando se hicieron objeciones a usarlo sin discernir al razonar sobre clases infinitas" (p.67).

Zenón de Elea (485 a.c – 430 a.c), con sus famosas paradojas, marcó un determinante avance en la matemática al señalar la indivisibilidad infinita del espacio y tiempo lo cual con el devenir del tiempo se constituiría en el principio de continuidad. De gran agudeza filosófica y de gran ingenio matemático son las dos primeras de estas aporías: la pista de carreras y Aquiles y la tortuga. En ellas indica que para alcanzar una determinada meta es necesario recorrer primero la mitad de la distancia, después la mitad de la mitad faltante, y así sucesivamente por lo cual no era posible alcanzar dicha meta. Este hecho le llevó a concluir que al haber infinitos puntos en una línea dada no podían tocarse, uno a uno, en un tiempo finito.

Las otras dos paradojas de Zenón plantean, Bell (op.cit.), "si espacios y tiempos finitos contienen solamente un número finito de puntos e instantes, deducimos de nuevo una consecuencia que contradice la experiencia" (p.73). Se puede observar en las paradojas de Zenón el uso del método deductivo hipotético y la reducción al absurdo para la resolución del problema.

Sócrates (470 a.c – 399 a.c) no pertenece a la pléyade de matemáticos de la era de oro puesto que sencillamente, no lo era: era filósofo. No dejó obras escritas y sólo se conoce su existencia a través de otros personajes: el comediógrafo Aristófanes quien lo ataca en su obra Las Nubes (423 a.c); el filósofo Jenofonte, quien lo nombra en su obra Memorables de Sócrates; y su discípulo Platón, quien lo incluye en sus Diálogos.

La razón de incluir a Sócrates en este periplo por la matemática griega obedece al hecho de desarrollar un método de enseñanza transferible a la resolución de problemas matemáticos. En este método interroga a la par de enseñar – ironía socrática – para descubrir lo que su aprendiz creía ignorar – mayéutica o arte de iluminar los espíritus – haciéndolo avanzar en el descubrimiento de la verdad – dialéctica. Este método de enseñanza puede ser ampliado y mejor entendido al revisar las palabras de González (1995 a):

Sócrates para hallar la verdad, planteó un método cuyo propósito no es confundir al adversario sino ayudarlo en su búsqueda cognoscitiva; este método consiste en extraer del espíritu, mediante una serie de interrogantes, la verdad que se sabe oscuramente. En una primera etapa se da por supuesta la verdad de las afirmaciones del interlocutor para luego obligarlo con hábiles preguntas a deducir conclusiones lógicas pero falsas que lo llevan a reconocer su error, en una especie de reducción al absurdo. Posteriormente, también mediante la formulación de un interrogatorio, se ayuda al interlocutor a descubrir por si mismo la verdad que yacía en su espíritu (p.147).

La mayéutica socrática, como trascendió en el tiempo este método de enseñanza, constituye otro hito en la larga historia de la resolución de problemas lo cual se infiere del Diálogo de Platón, Menón, en el cual Sócrates conduce heurísticamente a un esclavo a que determine el lado de un cuadrado de área doble a la de uno dado en una especie de constructivismo pedagógico.

Platón (427 a.c – 348 a.c) trasciende a la historia con su filosofía la cual presenta en sus Diálogos – unos 30 – donde enfrenta sus adversarios con Sócrates. Era firme creyente en que un sólido conocimiento de la geometría y la matemática era esencial para entender la verdadera dirección de la filosofía al considerar que podían constituir una base para iluminar en la mente ideas no notadas de otra forma.

Definió dos métodos intelectuales para el desarrollo del pensamiento geométrico y matemático. En el primer método, se inicia planteando una hipótesis sin agregar hipótesis adicionales pero en su lugar se construyen diagramas e imágenes hasta que se puede rechazar o probar dicha hipótesis. En el segundo método, la hipótesis original se construye con un número adicional de hipótesis hasta alcanzar un principio donde no hay nada hipotético; cuando se le alcanza es posible retroceder a las etapas previas y probar la hipótesis. En Platón se observa, como se señaló en sus métodos, la utilización de diagramas e imágenes como ayuda para la resolución de un problema; así mismo, un enfoque deductivo-hipotético en la solución de los mismos.

Aristóteles de Estagira (384 a.c – 322 a.c), discípulo de Platón, fue el creador del Liceo de Atenas y de toda una obra filosófica basada en la lógica formal que signaría esta ciencia hasta el siglo XIX. En Rodríguez (op.cit.) puede leerse: