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Exámenes de Álgebra Lineal

Enviado por ivan_escalona

     

    Departamento de ciencias básicas – Academia De Matemáticas 3er. Examen departamental de álgebra lineal Turno: matutino fecha: 14/vi/2000 Examen propuesto por los profesores integrantes de la academia de álgebra lineal. Presidente: Ing. Arturo Ledesma González. Nota: resolver solamente cinco problemas. 1.- Encuentre una base ortogonal para  3 a partir de

    2.- Dadas las bases

    y

    para  2 a. Encuentre la matriz de coordenadas del vector , con respecto a la base B’ usando la matriz de transición de la base B a la base B’.

    3.- Sea T: Â 3 ® Â 3 una función definida por

    Determine si T es una transformación lineal. NOTA: JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.

    4.- Sea T: Â 3 ® Â 4 una transformación lineal definida por:

    encuentre:

    1. Una base para el recorrido y su dimensión
    2. Una base para el núcleo y su dimensión

    5.- Sea T: Â 3 ® Â 4 una transformación lineal y considere que

    ,

    6.- Encuentre Una matriz P que diagonalice a la matriz A y compruebe que D = P-1AP es una matriz diagonal si:

    1.- En  2 se obtienen dos bases

    y

    1. Obtenga la matriz de transición de la base B a la base B’
    2. Para una vector v, su matriz de coordenadas con respecto a la base B es (-2, -4),

    Obtenga la matriz de coordenadas son o no lineales (Justificando si respuesta)

    2.- Decida si las siguientes correspondencias son o no lineales (justificando su respuesta).

    1. T: Â 2 ® M2´ 2 ;
    2. T: M2´ 2 ® Â ;

    3.- .- Se tiene una transformación lineal T: Â 2 ® P2 tal que

    , , obtenga y

    4.- La matriz asociada a una transformación lineal T: Â 3 ® Â 3 es

    ¿El Vector (4, 5, -2) pertenece a el Recorrido de la transformación? ¿Porqué?

    5.- Determine si la matriz dada es o no diagonalizable y en caso de que si lo sea obtenga la matriz P que la diagonaliza.

    1.- Determine todo los valores de "a" para los cuales el sistema lineal resultante

    1. No tenga solución x + y = 0
    2. Tenga una única solución x + (a2 – 8)y = a
    3. Tenga una infinidad de soluciones

    2.- a) Encuentre un vector ortogonal al vector u = (1, 2, -3) y que tenga norma 5 b) Sean los vectores u = (1, 2, -3), v = (1, 3, -1) calcules el ángulo q que forman 3.- a) Sea V = M3´ 3 Determine si W es un subespacio de V si: W es el conjunto de todas las matrices antisimétrica de 3 ´ 3 de elementos reales. b) Sea P una matriz invertible fija y sea T: Mmn ® Mmn una función definida por: T(A) = P-1AP. Determine si T es una transformación lineal.

    NOTA: EN CADA CASO JUSTIFIQUE SU RESPUESTA 4.- Sea T: Â 3 ® Â 4 una transformación lineal y considere que

    ,

    encuentre una expresión para T

    5.- Sea T: Â 3 ® Â 5 una transformación lineal definida por:

    encuentre:

    1. El núcleo de T y su dimensión
    2. El Recorrido de T y su dimensión

    6.- encuentre una matriz A de 3 x 3 cuyos valores propios sean l 1 = -3, l 2 = 6 y l 3 = -5 con sus vectores propios asociados

    , y

    respectivamente.

    1.- Determine los valores de k para los cuales el sistema dado sea consistente x + y – z = 2k 2x + 3y = 2k – 1 x + y + (k2 – 10)z = 3k – 3

    2.- Justificando su respuesta, responda a cada pregunta dada

    1. W = {A / A es invertibles} Ì M2x2 ¿Es un subespacio vectorial?

      3.- Usando vectores en el plano, obtenga:

      1. El ángulo entre las rectas cuyas ecuaciones son y = 3x y y = 5x.
      2. Dos vectores ortogonales a la recta y = 5x, cuya norma sea =
    2. T: Mmn ® Mmn ; tal que T(A) = At ¿Es una transformación lineal?

    4.- Encuentre una base y la dimensión para el recorrido de una transformación lineal cuya matriz asociada es:

    5.- Decida si la matriz dada es o no diagonalizable y explique su respuesta.

     

    1.- a) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (2, -3, 4) cuya norma sea igual a b) Obtenga dos vectores ortogonales al vector u = (5, -3) cuya norma sea igual a 2.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta 3.- Exprese el vector u = (3, 0, 3) como una combinación lineal de los vectores

    u1 = (-2, -1, 1), u2 = (-1, 1, 2) y u3 = (2, -1, 1). 4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados forman un conjunto linealmente independiente en  3

    donde:

    , y

    5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman una base del espacio solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo siguiente: -5x + 10y – 15z = 0 – x + 2y – 3z = 0 3x – 6y + 9z = 0

     1.- a) Encuentre el ángulo agudo entre las rectas

    y

    b) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (5, -1) cuya norma sea igual a 2.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta 3.- Obtener dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector u = (3, -4). 4.- Obtenga el conjunto generador del siguiente subespacio

    5.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados forman una base de  3

    donde:

    , y

    1.- Sena A(1, -2, 3); B(2, 3, -1) y C(-1, 0, 3) los vértices de un triángulo. Encuentre:

    1. Sus ángulos interiores
    2. Su Perímetro

    2.- Dado el vector u = (1, 3) obtenga dos vectores ortogonales al vector u de dirección opuesta y de norma 10. 3.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta 4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados forman un conjunto linealmente independiente en  3

    donde:

    , y

    5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman una base del espacio solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo siguiente: 2y + 10z – 10w = 0 2x – 3y + 13z – 11w = 0 x – 2y + z – 3w = 0 – 2x + 5y – 3z + w = 0

    1.- Encuentre un vector que sea ortogonal tanto al vector al vector u = (3, -2, 3, 4) como la vector v = (-2, 4, -5, -3) y que tenga norma 5. 2.- Sea V = Â 3 determine si W es un subespacio de V si:

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta 3.- Determine cuales de los vectores dados pertenecen al subespacio de  4 generado por W si: W = {(1, -2, 3, 1), (2, 1, 0, 2), (1, -1, 3, 2)} a) (1, -1, 3, 5) b) (-1, 1, -3, -2) c) (2, -2, 0, 3) Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta 4.- Determine si el conjunto W =

    u1 = (1, -2, 0, 1), u2 = (2, 3, -1, 2) y u3 = (0, -1, 5, 3).

    Es linealmente independiente en  4, cualquiera que sea su respuesta justifíquela. 5.- encuentre una base y la dimensión del conjunto del sistema homogéneo dado 2x – 2z – t = 0 – y – w + 4t = 0 3x + y – 3z = 0

     

     

     

     

     

    Autor:

    Iván Escalona Moreno

    Ocupación: Estudiante Materia: álgebra Lineal Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la U.N.A.M.) Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias sociales y Administrativas (UPIICSA) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.) Ciudad de Origen: México, Distrito Federal Fecha de elaboración e investigación: Noviembre del 2002 Profesor que revisó trabajo: Carrillo Castrejón Alberto (Profesor de la Academia de Matemáticas de la UPIICSA)