Indice1. Álgebra Lineal. 2. Geometría Analítica. 3. Límite y Continuidad.
Tema 1.1 Espacio Vectorial. Definición: Será un trió ordenado (E,+,·) con E ¹ F . Si, x · y Î E ; x + y Î E ; l Î Â con l · x Î E. Ejemplo 1: (Â ,+,·) 3 Î Â ; 3,5 Î Â ; 3 · 3,5 Î Â Matriz. Matriz: Es un sistema aij {i, j = 1,2,3…n} en forma ordenada en una tabla rectangular de (p) filas y (n) columnas. Las matrices se representan con letras mayúsculas A, B, C…
Ejemplo 2: A = A2,3 ; a2,2 = -1
Matriz Fila: A =()
Matriz Columna: B =
Matriz Nula: C =
Matriz Idéntica: Los elementos de la diagonal serán (1) y el restos (0).
D = 
Matriz Simétrica: Será la que al cambiar el orden de las filas y las columnas se convertirá en la misma matriz inicial.
H = 
Matriz Traspuesta: Se toman las filas y se convierten en columnas y viceversa.
K = 
KT = 
Operaciones con matrices. Suma de matrices: Para realizar la suma las matrices tienen que tener el mismo índice y se va a realizar la operación sumando cada elemento de la fila por el que le corresponde en la matriz siguiente.
Ejemplo 3: H + K = 
.
Multiplicaciones de matrices: Para poder multiplicar, la columna (n) de la primera matriz tiene que tener el mismo índice que la fila (p) de la segunda matriz.
Ejemplo 4:
· 
= 
.
Nota 1: Este desarrollo se realiza de la siguiente manera: Se multiplica filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz (este proceso siempre se realiza elemento por elemento y se van sumando los elementos resultantes de la multiplicación). Nota 2: El número de filas de la matriz (2era) debe coincidir con el número de columnas de la matriz (1da) e índice de la matriz resultante va a ser el número de filas de la matriz (1era) con el número de columnas de la matriz (2da).
Ejemplo 5: A = 
B = 
C = 
A matriz 2x2, B matriz 2x2, C matriz 2x2. Determinante: El determinante solo se le calcula a matrices cuadradas n x n. Nota 3: Esto se desarrolla de la siguiente manera: Caso 2×2: Se multiplica los elementos de la diagonal principal (va a ser la diagonal que parte del primer elemento de la primera fila hasta el ultimo elemento de la ultima columna)y se le resta el elemento resultante del producto de la diagonal secundaria.
Ejemplo 6: |A| = 
= 3×3 – 2×2 = 5.
Caso 3×3(Método de Sarrus): Se repiten las dos primeras filas al final de la matriz, se multiplican los elementos de las diagonales (la principal y las diagonales inferiores sumando cada multiplicación) y se le resta al elemento de sumar la cada multiplicación de la diagonal secundaria por las inferiores. Nota 4: Este método se utiliza para matrices 3×3 y 4×4. · Método de desarrollo por menores. Forma ordinaria: Se tapa la 1era fila y la 1era columna y se le halla el determinante a la matriz resultante, nuevamente se tapa la 1era fila y la 2era columna y se le halla el determinante a la matriz resultante y así sucesivamente. Nota 5: Se suma cada determinante resultante cambiando en signo de cada operación (+,-,+,-,+,-…).Si la matriz resultante no es 2×2, 3×3, 4×4 se le vuelve aplicar el método del que se está hablando. Matriz Inversa: Solo se le puede hallar a matrices cuadradas.
· 
= 
Es decir el inverso de la matriz (1era) va a ser la matriz segunda.
= 
Sistemas de ecuaciones lineales.
- SEL es Homogéneo: Cuando los elementos (bi) son todos iguales a (0).
- SEL no Homogéneo: Cuando los elementos (bi) al menos uno es diferente de (0).
- Sea (n) el # de incógnitas (x1,x2,x3,…xn)
- Sea r(A) rango de la matriz del sistema o de la matriz asociada.
- Sea r(A,B) rango de la matriz completada o matriz ampliada.
- Sea (k) cuando r(A) = r(A,B).
(k) o r(A) o r(A,B) es el # de filas donde al menos un elemento sea diferente de 0.(Rango).
Ahora:
- Cuando en el sistema k = n es el sistema es Compatible determinado y tiene solución única (esto es siempre y cuando las ecuaciones sean todas linealmente independientes).
- Cuando k < n el sistema es Compatible indeterminado.
- Cuando r(A) ≠ r(A,B) el sistema es indeterminado.
- Matriz Asociada: Es la matriz que dado un sistema de ecuaciones se toman los coeficientes de las ecuaciones.
Ejemplo 7: 2x – y = 0
2x – 3y = 5 La matriz asociada es: 
Matriz asociada ampliada: 2x – y = 0
2x – 3y = 5
La matriz asociada ampliada es:
.
Método de Gauss: Es el método general para la solucion de SEL, esto quiere decir que su aplicación nos permitirá determinar si el sistema es o no compatible y en caso de serlo (compatible), si es determinado o indeterminado y desde luego permitirá obtener la solucion en casos en que esta exista.
Ejemplo 8: X1 – x2 + 2×3 = 3 -x1+ 3×2 + x3 + 3×4 = 2 x2 – x3 = 0 -3×2 +x3 =2
~ 
Esta matriz es la escalonada. Para comenzar a hacer ceros los elementos por debajo del escalón es necesario (si se va eliminar algún elemento de la primera columna) trabajar con la fila correspondiente en número. Es decir voy a eliminar un elemento de la primera columna tomo la primera fila y así sucesivamente.
Ejemplo:
F1+ F2 = F2’ ~ 
-2 F3+ F2’ = F3’ ~ 
3F2’ + 2F4 = F4’ ~ 
-11F3’ + 5F4’ = F4’’~ 
.
r(A) = 4, r(A,B) = 4; r(A) = r(A,B) = k Compatible.
Como k = n = 4 Determinado.
S = {(x1, x2, x3, x4)Î Â 4| x4 = 
, x3 = -1, x2 = -1, x1 = 4}.
Método de Cramer: Sea un SEL con (n) ecuaciones y (n) número de incógnitas tal que el determinante de la matriz del sistema sea diferente de (0); entonces el sistema tendrá solución única determinada por las siguientes formulas:
x1 = 
,x2 = 
,… xi = 
;donde (D) es el determinante de la matriz del sistema y Dj (j = 1, 2, …i) es el determinante de la matriz que resulta al sustituir la columna (j) de la matriz del sistema, por la columna formada por los términos independientes.
Para resolver un sistema de (n) ecuaciones lineales con (n) incógnitas:
- Calcule el determinante (D) de la matriz del sistema. Si D≠ 0, entonces:
- Calcule cada uno de los determinantes D1, D2, …Dn. Recuerde que para las incógnitas xi el determinante Di se obtiene sustituyendo en el determinante D la i-ésima columna por la columna de los términos independientes.
- Formule la solución del sistema de ecuaciones.
2. Geometría Analítica.
Tema 2.1 Ecuación del plano. A x + B y + C z + D = 0 Ejemplo 9: x + y + z + 1 = 0 Para hallar los interceptos y de paso graficar un plano se realiza lo siguiente: Eje x: y = z = 0 x + 1 = 0, x = -1 (-1, 0, 0). Eje y: x = z = 0 y + 1 = 0, y = -1 (0, -1, 0). Eje z: x = y = 0 z + 1 = 0, z = -1 (0, 0, -1). El gráfico (Figura 1) es la representación del plano anterior.
Figura 1 Trazas: Con respecto a: x y, z = 0 {x + y + 1 = 0
{z = 0
Con respecto a: y z, x = 0 {y + z + 1 = 0
{x = 0
Con respecto a: x z, y = 0 {x + z + 1 = 0
{y = 0
Tipos de planos:
- D ≠ 0
A = B = 0; C ≠ 0; z + D = 0 Paralelo al plano x y.
A = C = 0; B ≠ 0; y + D = 0.Paralelo al plano x z.
B = C = 0, A ≠ 0; x + D = 0.Paralelo al plano y z.
- D = 0
A = 0; B, C ≠ 0; y + z = 0.
B = 0; A, C ≠ 0; x + z = 0.
C = 0; A, B ≠ 0; x + y = 0.
Paralelismo y planos.
Forma canónica: A x + B y + C z + D = 0
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Si 
Entonces los planos son paralelos.
Ejemplo 10. x + y + z + 1 = 0
2x + 2y + 2z + 3 = 0 Estos dos planos son paralelos por cumplir las propiedad anterior y solo quiero dar a conocer con este ejemplo es que la distancia que hay dentro los dos planos va a ser igual al modulo de la diferencia entre las elementos Di de cada plano. Dos planos son perpendiculares si AA1 + BB1 + CC1 = 0.
Tema 2.2 Ecuación de la recta. En el espacio es la intersección de dos planos 3x + 4y + z + 1 = 0 2x – y + z + 3 = 0
Forma simétrica de la ecuación de la recta. La ecuación de la recta se puede determinar con un trabajo algebraico con dos puntos anteriormente dado. Dado: P1(x1, y1, z1); P2(x2, y2, z2).
Esta es la forma simétrica de la recta.
Cuádricas. La forma general es la siguiente: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K =0
Clasificaciones: Céntricas: Todos los componentes estarán no lineales. No Céntricas: Cuando al menos uno de los componentes sea lineal. Céntricas: Mx2 + Ny2 + Pz2 = R. Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico >0 + Elipsoide. Si (M = N = P) Esfera.
Elipse en el primer optante.
Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
>0 Dos +, uno – Hiperboloide de una hoja.
>0 Dos -, uno + Hiperboloide de dos hojas. >0 Uno 0, uno +, uno – Cilindro hiperbólico recto. >0 Uno 0, dos + Cilindro elíptico recto =0 Dos +, uno – Cono No céntricas: Mx2 + Ny2= Rz. Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico >0 Mismo signo Paraboloide elíptico. >0 Signos diferentes Paraboloide hiperbólico. >0 Uno Cero Cilindro parabólico.
Una cuádrica es simétrica con respecto a los ejes si al sustituir: (x) por (-x) ;(y) por (-y); (z) por (-z) la ecuación no se altera. Si se sustituyen simultáneamente la ecuación es simétrica con respecto al eje de coordenadas.
Curvas Las curvas no son más que la intercesión de Cuádricas. Cuando tenemos una cuádrica con el signo de > (<) quiere decir que es por fuera (dentro).
3. Límite y Continuidad.
Idea intuitiva del límite. Dada una función f(x) y el punto x = a, nos interesa saber donde se acerca x = a a f(x).
Nota 6. El acercamiento puede ser por la izquierda o por la derecha.
Definición: Se dice que el límite de f(x) es L para (x) cuando tiende a (a) (x ® a) si para todo e > 0 existe un l > 0 que depende de e tal: |x – a| < l Þ |f(x) – L| < e
Notación:
(Limite de f(x) cuando tiende a (a) igual L).
Limite lateral izquierdo:
Limite lateral derecho: 
Nota 11: Los limites laterales pueden o no coincidir (en caso que no coincidan de dice que el limite no existe).
Ejemplo 7: f(x) = 
Limite de una función en el infinito:
Limite de f(x) en un valor infinito (
) se dice que el limite 
Si " e > 0 $ H que depende e tal que " x > H Þ |f(x) – L|< e
Ejemplo 8: Calcular 
Como al sustituir 
= 0 entonces:
= 1.
Nota 12:
; 
;
Esto es un convenio para los límites.
Operaciones con límites.
· 
, k Î Â . El límite de una constante es igual a la constante.
Sea f(x), g(x) funciones y 
;
Entonces:
· 
· 
· 
· 
· 
· 
Ejemplo 9:
;
Nota 13:
Cuando el límite de una función sobre otra función cuando tiende a ± ¥ (funciones polinómicas):
Cuando tiende a ¥ : Si el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador el límite es igual a la división de los coeficientes de cada polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite será infinito, viceversa será 0.
Cuando tiende a – ¥ : Si el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio del denominador el límite es igual a la división de los coeficientes de cada polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador se realiza el siguiente análisis:
Se analiza la resta de los grados (el grado del numerador – el grado del denominador) y si es un numero impar se pone un signo de – en el resultado (que va a ser infinito) también se analiza la división de los coeficientes y se pone el signo en el resultado.
Viceversa el límite es 0.
Ejemplo 10:
Continuidad: Se dice que una función es continua en un punto (x = a) si: · Si esta definida en el punto (x = a) la función. · Si existe el limite cuando x ® a. · Si limite es igual a la función evaluada en el punto.
Tema 3.3 Tipos de discontinuidades. Las funciones que no son continuas se clasifican en funciones discontinuas evitables y no evitables. Evitables: Son aquellas en que los limites laterales existen son iguales (en este caso se dice que el limite existe) pero incumple la tercera condición. No evitable: Son aquellas que el límite no existe, estas tienen una nueva clasificación; las de salto finito o primera especie y las de salto infinito o segunda especie. 1era Especie: Los límites laterales existen pero no son iguales. 2da Especie: Los límites laterales al menos uno no existe (sea igual a infinito).
Ejemplo 11: Analizar la continuidad en x = 1.
Primero, la función en el punto esta definida.
Segundo, 
, 
.
Como los límites laterales no son iguales se dice que el límite no existe y por tanto la función no es continua.
Algunos tipos de indeterminaciones.
Si 
y 
,
· 
· 
Si 
y 
,
· 
Es decir que siempre que nos encontramos expresiones como las que pondré a continuaciones nos encontramos antes indeterminaciones que no son mas que resultados de los limites anteriores y habrá que aplicar algunos métodos que los presento en breve.
Tipos de indeterminaciones:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Método de Cancelación. Elimina el factor que me indeterminada la función. Lo primero que se realiza a la hora de calcular un límite es evaluar en el punto.
Ejemplo 12:
Este límite es de la forma indeterminada .
.Por Método de cancelación.
Tema 3.5 Limites fundamentales.
· 
Es decir siempre que en algún limite aparezca la división de un factor trigonométrico con uno polinomico se pueden simplificar. Siempre y cuando el límite tiende a 0.
sen(x) — x
· 
.Como la tangente es seno sobre coseno sucede lo mismo que en el primero.
tan(x) — x con (x > 0)
Forma General
· 
.Si 
.
Ejemplo 13:
.
Límite fundamental algebraico.
Siempre y cuando 
y 
.
4. Cálculo Diferencial.
Propiedades de la derivación. El significado de la (’) es la primera derivada.
- [c]’ = 0
- [c · f(x)]’ = c · [f(x)]’
- [f(x)± g(x)]’ = [f(x)]’± [g(x)]’
- [f(x)·g(x)]’ = [f(x)]’·g(x) + f(x)·[g(x)]’
Reglas:
1- [fn(x)]’ = n·fn-1(x)·[f(x)]’
2- 
10- 
Extremos de una función real en variable real. Definición: Se dice que x0 es un mínimo (máximo) local de una función f(x) si $ l > 0:" x Î (x0-d , x0+d ) se tiene que f(x0) ³ f(x) ( f(x0) £ f(x) ). Definición: Se dice que x0 es un mínimo (máximo) global, si cumple las siguientes condiciones:
- Ser un extremo local.
- Es de los máximos (mínimos) locales el de mayor (menor) valor al evaluarse en la función.
Ejemplo: f(x)=x2. Supongamos que los puntos x0= 2 y 3 son extremos locales de la función Nos hacemos una pregunta: ¿Cómo determinar los extremos locales de una función? Teorema: Si x0 es un punto de extremo local de f(x) y f(x) es derivable en x0 Þ f’(x) = 0. Definición: Llamaremos puntos estacionarios a todo punto x0 que cumpla que f’(x) = 0. Definición: Llamemos puntos críticos si no en dicho punto (± f’(x0) Ù x0 Î Dom (f(x))).
Criterio de la primera derivada: Decimos que un punto de máximo (mínimo) local si: f ’(x) > 0 ( f ’(x) < 0 ) para x0-d < x < x0 y f ’(x) < 0 ( f ’(x) > 0 ) para x0 < x x0+d .
Criterio de la segunda derivada: Decimos que un punto x0 máximo (mínimo) local si f ’’(x) < 0 (f ’’(x) > 0). Ejemplo: y = x3-x2+1. Primero calculamos su primera derivada: y’ = 3×2-2x. Segundo la igualamos a cero: 3×2-2x = 0, con esto hallamos los puntos estacionarios x0 = 0 y 2/3.
Para la ayuda visual hagamos un gráfico de la siguiente forma:
En este gráfico vemos que hemos comenzado con el signo de + por el hecho que la función tiene como signo de la variable de mayor exponente el signo +. Si la función dada tiene el signo + (-) comenzará con ese mismo signo. Si tenemos que la función es fraccionaria miramos el signo de la función del numerador y la del denominador y ponemos el signo de la división al igual que dividir dos números racionales.
Trazado de curvas. El trazado de curvas lo veremos de la siguiente manera o orden de trabajo. · Monotonía: Se dice que una función es monótona creciente(decreciente) en un intervalo (a,b) si la f ’(x) ³ 0 (f ’(x) £ 0). Si (f) es continua en [a,b] ,derivable en (a,b) y f ’(x) > 0 (f ’(x) < 0) Þ (f) es creciente(decreciente) en [a,b]. En el ejemplo anterior la función es creciente en el intervalo: Creciente en (-¥ ,0) Ú (2/3, ¥ ). Decreciente en el intervalo restante. · Concavidad: Si f ’’(x) > 0 (f ’’(x) < 0) " x Î (a,b) la función es cóncava hacia arriba (abajo). Asíntotas: Se denomina asíntota de la curva y = f(x) la rama infinita a una recta (L), tal que la distancia entre el punto (m) de la curva y dicha recta (L) tiende a (0) al alejarse infinitamente del origen de coordenadas.
- Vertical: Tiene la forma x= a.
- Oblicua: y= m x + n
- horizontal: y = a
Para el calculo de las asíntotas verticales tomamos los valores del dominio para los cuales la función no esta definida y calculamos en dichos puntos los limites de la función por la izquierda y la derecha. Si dicho límites dan 
entonces podemos decir que en dicho punto hay una asíntota vertical.
Para determinar las asíntotas oblicuas tenemos que resolver los siguientes limites, el primero va a ser igual a la pendiente de la recta y el segundo el intercepto con el eje Y: m = 
, n = 
. Si dicho límites existen entonces podemos decir que la función tiene asíntotas horizontales y ustedes se preguntaran porque digo asíntota en plural, ya que los límites cuando tienden a más o a menos infinito podrían ser diferentes. Siempre con la condición que existen dichos limites.
Ejemplo: f(x) = 
Determinemos primero las asíntotas verticales, como el punto x = 2 no pertenece al dominio de definición de la función se toma este punto para el análisis de las asíntotas verticales. 
= + ¥ , 
= – ¥ . Por tanto como los limites son iguales a: ± ¥ la función f(x) tiene una asintota vertical en el punto x = 2 y es la recta x = 2.
Determinemos las asintota oblicuas, como este tipo de asintota tiene la forma y = m x + n, el objetivo es calcular m, n.
m = 
= 0 n = 
= 
.
Es decir que la asintota va a tener la forma y= 1. Para englobar todos los temas hablados en este tema existen pasos a seguir para la determinación de la grafica de una curva (función).
Autor:
Mijail Andrés Saralain Figueredo
Estudiante Licenciatura Matemática UCLV. Villa Clara Cuba 2003