Una aproximación teórica a la resolución de problemas matemáticos (página 3)

El mismo Aristóteles afirma que el inventor de la Lógica fue Sócrates con lo que quiere reconocer que el origen de su trabajo, la exposición formal, la reducción a silogismos de aspectos del lenguaje, hay que buscarlo precisamente en los diálogos socráticos (p.32).

Aristóteles no fue un matemático propiamente dicho pero hizo importantes contribuciones a la misma al sistematizar la Lógica Hipotético- Deductiva. Consideró la matemática como una de las tres ciencias teóricas junto con la filosofía y la física teórica y reconoció la importancia de su estudio, como lo indican O`Connors y Robertson (2003): "pensó que un hombre no podía reclamar el conocimiento de una materia a menos que fuera capaz de trasmitirlo a otros…" Así mismo Heath, en O`Connors y Robertson (op.cit.), apunta "la importancia de una verdadera comprensión de las matemáticas en Aristóteles radica principalmente en el hecho que la mayoría de sus ilustraciones del método científico son tomadas de la matemática".

Euclides de Alejandría (365 a.c – 300 ? a.c), discípulo de Platón, escribió la obra matemática, al decir de muchos historiadores de la misma, más grande de todos los tiempos al punto de trascender hasta nuestros días sin mayores cambios. Se tiene poca información de su vida y lo que se sabe es principalmente por Arquímedes, quien lo menciona en su obra y, por Proclo en el 450 d.c. Existen tres teorías principales acerca de la existencia de este personaje: la primera considera realmente su existencia como tal y fundó una escuela en Alejandría; la segunda considera su existencia y la continuación de su obra por parte de sus discípulos escribiendo los últimos tomos de Los Elementos; y, la tercera sostiene que su vida fue una invención como la realizada por Weil, Dieudonné, Cartan, Chevalley y Grothendieck cuando escribieron numerosos artículos y trabajos bajo el seudónimo Bourbaki. Las más recientes investigaciones se inclinan por la primera de las hipótesis señaladas.

Los Elementos comienzan con las definiciones de punto, línea, superficie, ángulo, entre otras, y cinco postulados que constituyen la Geometría Euclídea. Entre ellos, el estudio y negación del V Postulado desembocó en el nacimiento, en el siglo XIX, de las geometrías no-euclídeas. El método utilizado para las demostraciones de sus teoremas fue el deductivo. En este sentido, González (op.cit.) acota:

Para la demostración de sus teoremas Euclídes recomendaba comenzar por peguntarse ¿qué se pide? ¿qué se busca?, aclarado esto procedía a realizar una representación gráfica de la situación introduciendo líneas auxiliares si ello resultaba necesario; finalmente, efectuaba la verificación correspondiente (p.146).

Puede notarse en esta forma de enfrentar un problema una primera aproximación a lo que en el futuro constituirían las técnicas de resolución de problemas. Rodríguez (op.cit.) se refiere a ello: "con Euclídes accedemos a la formalización que se convertirá a lo largo de la historia del pensamiento matemático en un método legitimador por excelencia del saber matemático" (p.32).

Arquímedes de Siracusa (287 a.c – 212 a.c) fue uno de los grandes matemáticos griegos de la época de oro la cual prácticamente culmina con Apolonio de Perga hacia el 200 d.c. La obra de este genio que con mayor exactitud ha llegado hasta nuestros días es El Método donde presenta una aproximación al valor del número pi como 3.1428… al señalar la relación entre el área del círculo y el cuadrado de su diámetro como 11 : 14. Bell (op.cit) señala así: "toda la obra de Arquímedes se caracteriza por el rigor, la imaginación y la fuerza. Puede llamársele correctamente el segundo físico-matemático en la historia y uno de los más excelsos. El primero fue Pitágoras" (p.84). Utilizó el método de exhaución para demostrar la cuadratura de la parábola produciéndose el descubrimiento del cálculo integral.

Por medio de la mecánica demostró algunos de sus teoremas aún cuando, en este sentido señala Jiménez (op.cit.), al referirse a Arquímedes:

Yo mismo, algunas de las cosas que descubrí primero por vía mecánica, las demostré luego geométricamente, ya que la investigación hecha por este método no implica verdadera demostración. Pero es más fácil, una vez adquirido por este método un cierto conocimiento de los problemas, dar luego la demostración, que buscarla sin ningún conocimiento previo (p.137).

La época de oro de la matemática griega prácticamente culmina su esplendor con la obra de Apolonio relativa a las cónicas produciéndose un ligero despertar o último estertor, según se mire, con Ptolomeo, Herón, Pappus y Diofanto cubriendo un período hasta aproximadamente el siglo III de nuestra era. Una posible razón de este hecho, lo constituye la absorción de Egipto por Roma hacia el 30 a.c y la creciente presión de la cultura romana sobre el resto del mundo.

Inmenso, realmente grande, fue el legado de la matemática griega al resto del mundo occidental. Con la presentación y resolución de problemas y teoremas, a lo largo de casi cinco siglos, desde Thales y Pitágoras hasta Apolonio, se sentaron las bases de lo que serían las "matemáticas modernas": la geometría proyectiva y diferencial, el cálculo de variaciones, el cálculo integral, la continuidad infinita, la teoría de números, entre otras. Sería sumamente largo y extenso, lejos del objetivo de la investigación, enumerar y analizar los alcances de la matemática griega de este período fuera del contexto de la resolución de problemas.

La Matemática Post – Helénica

La matemática, después del siglo III de nuestra era, entra en un período de aletargamiento como bien lo señala Turnbull (1968):

Después de la muerte de Pappus, la matemática griega y, en realidad, la europea, permaneció inactiva por casi mil años. La historia de la ciencia pasó, casi en su totalidad, a la India y Arabia; y la introducción de la notación decimal de la India en Europa fue, con mucho, el acontecimiento más importante de este largo período (p.45).

En este mismo sentido se pronuncia Jiménez (op.cit) :

la matemática vivió una larga noche durante los siglos de la dominación romana; larga noche que comenzó a iluminarse por las aisladas hogueras prendidas por los divulgadores árabes que devolvieron a Europa el legado griego. A partir de aquí se puede observar que los países que empiezan a gozar de importantes resurgimientos culturales, se hacen cada vez más fuertes en matemática (p.127).

Ciertamente fue muy larga la noche experimentada en el desarrollo de la matemática. La asunción de Roma al trono del mundo – siglo I a.c; las contínuas invasiones bárbaras a occidente; la división del imperio en Occidente y Oriente; la caída de Roma – siglo V d.c; la destrucción de Alejandría y su famosa biblioteca hacia el 642 d.c, son algunos de los hechos resaltantes que permitieron el sueño de la matemática durante esa larga noche. Otro aspecto resaltante, en este mismo sentido, lo constituyó el hecho del poder absolutista de los Papas de la Iglesia Católica los cuales ejercieron un amplio poder directo o indirecto sobre reyes y monarquías en todo el transcurso de la Edad Media y quienes, en un dogmatismo tergiversado, condenaron al ostracismo de los conventos todo lo relacionado con el estudio de las ciencias. Harto conocido es el hecho de la condena de Copérnico por la Santa Inquisición al negarse a aceptar el sistema ptolomeico, dogma de fe de la Iglesia, cuando tuvo la osadía de criticarlo.

Este aspecto se explicita muy bien en las palabras de Bell (op.cit) al referirse al período de la media edad media:

Se había olvidado por completo la importancia de las matemáticas como sistema deductivo. Puesto que la ciencia se había hundido hasta el nivel de la superstición, la otra mitad de la visión pitagórica no sobrevivía sino en los fantásticos absurdos de la numerología sagrada y profana, ya que el número reinaba en el oscuro universo de la Europa de la Edad Media (p.99).

Si algo puede considerarse como desarrollo de la matemática durante la dominación musulmana en Europa a partir del 711, fue el hecho de llevar consigo las traducciones de la aritmética y álgebra hindú y griega las cuales, a su vez, fueron traducidas al latín por algunos eruditos europeos. No hay nada, al decir de historiadores de la matemática, que valga realmente la pena en el progreso de esta ciencia en este oscuro período de la historia de la humanidad. No es sino hasta el siglo XVI cuando comienzan a asomar las mentes matemáticas de diversos pensadores quienes iniciaron el avance o desarrollo que actualmente posee esta ciencia. La transición entre una matemática que parece fenecer y otra la cual pugna por nacer, no es espontánea. Durante la Edad Media – a partir del siglo VIII – la matemática conserva su formación hindú-griega-árabe con un álgebra retórica y, en algunos casos sincopada, donde no hay mayor crecimiento o desarrollo salvo contadas excepciones como el caso de Leonardo de Pisa o Fibonacci.

El verdadero despertar o renacer de la matemática ocurre hacia finales de la Edad Media por una serie de razones singulares las cuales se venían gestando desde tres o cuatro siglos antes, como fueron: la formación de ciudades a partir de los burgos quienes promovieron el desarrollo de las artes y las ciencias; la aparición de una nueva clase social – la burguesía – la cual reclamó el mismo derecho al estudio que la realeza; la creación de las universidades a partir de las escuelas catedralicias donde se enseñaban los conocimientos antiguos y actuales; la aparición de una nueva forma de trabajo como fue la de educador o profesor y, hacia finales de esa era oscurantista: el resurgimiento de ciencias y artes con el Renacimiento; los viajes de descubrimiento quienes permitieron un enriquecimiento con culturas foráneas y la invención de la imprenta que permitió el acceso a los trabajos de investigación en forma más universal.

Nombres como Ferro (1465-1526) , Fontana o Tartaglia (1500-1557) , Cardano (1501-1576), Copérnico (1473-1543), Viéte (1540-1603), Napier (1550-1617) , Galileo (1564-1642), Kepler (1571-1630), Cavalieri (1598-1647), son solo algunos de los más importantes científicos: matemáticos, astrónomos o físicos que cubrieron con su conocimiento la ciencia del Renacimiento en el siglo XVI. Específicamente en la matemática: resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas, matemática aplicada, perfeccionamiento de la notación algebraica, los logaritmos, la notación exponencial, perfeccionamiento de la geometría, astronomía dinámica, son solo algunos de los adelantos matemáticos en esta época. Con Viéte se accede a la notación simbólica en el álgebra y a la transición de lo particular a lo general que tantos avances produjo en la matemática de la época. Su método de resolución de problemas consistía en, Bell (op.cit) "reducir un problema no resuelto a la solución sucesiva de problemas ya solucionados" (p.129).

Este principio de desarrollo, iniciado por los mencionados, deja el escenario servido a los grandes pensadores – filósofos y matemáticos – del siglo siguiente: Desargues (1593-1662) , Descartes (1596-1650) , Fermat (1601-1665) , Pascal (1623-1662) , Wallis (1616-1703) , Barrow (1630-1677) , Newton (1642- 1727) , Leibnitz (1646-1716) , Jacques Bernoulli (1654-1705) , Johan Bernoulli (1667-1748), son sólo algunos de esos grandes pensadores que tanto y tan maravilloso conocimiento aportaron al desarrollo de la ciencia.

A partir del siglo XVII se inicia el gran desarrollo de la matemática el cual ha continuado ininterrumpidamente hasta nuestros días. En lo que continúa y siguiendo los objetivos de la investigación, el trabajo se circunscribirá al estudio histórico de la resolución de problemas dejando de lado todos esos magníficos descubrimientos y adelantos experimentados por la matemática a partir del siglo mencionado.

Con Descartes (1596-1650) puede señalarse el comienzo de la historia moderna de la resolución de problemas, como metodología. Su gran obra: El Discurso del Método o El Discurso, plasma la grandeza de su pensamiento que se constituiría en una filosofía – el racionalismo – que tanta influencia tuvo y aún conserva en el pensamiento científico humano. Esta obra, a la par de Las Reglas para la Dirección de la Mente, las escribe hacia 1628-1629 si bien la primera en publicarse es El Discurso el cual forma un volumen junto con la Dióptrica, los Meteoros y la Geometría.

Su filosofía puede resumirse, como lo señala Rodríguez Huéscar (1983) en el prólogo del Discurso del Método, en lo siguiente: "he aquí que de lo único que no puedo dudar, por más que apure y extreme mi voluntad de hacerlo, es de que estoy dudando. Pero dudar es pensar, y pensar es ser. Estoy dudando, estoy pensando; luego soy, existo" (p.25). Esta frase recogida como cogito ergo sum muestra el principio fundamental de la filosofía cartesiana y le permitió establecer los preceptos principales con los cuales pretendía resolver cualquier problema de la vida, incluyendo los matemáticos, como se desprende de lo comentado por el propio filósofo en su obra fundamental – El Discurso (1983):

en lugar de ese gran número de preceptos de que la lógica está compuesta, creí yo que tendría bastante con los cuatro siguientes… era el primero no aceptar nunca cosa alguna como verdadera que no la conociese evidentemente como tal, es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención y no admitir en mis juicios nada más que lo que se presentase a mi espíritu tan clara y distintamente, que no tuviese ocasión alguna de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como fuera posible y como se requiriese para su mejor resolución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, comenzando por los objetos más simples y fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más complejos, suponiendo, incluso, un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todas partes enumeraciones tan completas y revistas tan generales que estuviese seguro de no omitir nada (pp.59-60).

Al referirse a la matemática, específicamente el análisis geométrico y el álgebra, y la forma de resolver problemas relativos a ellos por medio del Método, Descartes (op.cit.) hace la siguiente aseveración:

me atrevo a decir que la exacta observación de estos pocos preceptos que había elegido me dio tal facilidad para desentrañar todas las cuestiones a que estas dos ciencias se extienden, que en dos o tres meses que empleé para examinarlas, habiendo comenzado por las más simples y generales, y constituyendo cada verdad que encontraba una regla que me servía después para encontrar otras, no solo resolví varias que había juzgado antes como muy difíciles, sino que, al final, me pareció también que podía determinar, aún en las mismas que ignoraba, porqué medios y hasta donde era posible resolverlas (p.61).

Este método fue, por decirlo así, desglosado en su obra Reglas para la Dirección de la Mente donde presenta veintiuna de ellas con información precisa de los pasos a seguir para resolver algún problema. Con ellas y los preceptos del Método, Descartes sienta las bases de lo que a la vuelta de unos tres siglos, constituirían las heurísticas de resolución de problemas.

Hacia 1600 – comienzos del siglo XVII – se afirma con Bacon una corriente filosófica en la cual se propone que toda ciencia ha de basarse en la experiencia como única forma de conocer. Esta corriente – empirismo – fue llevada a su máxima expresión por Hume hacia 1740 cuando afirmaba que todo conocimiento proviene de la experiencia ya sea la externa – los sentidos – o la interna la cual llamó autoexperiencia – reflexiva – en oposición al racionalismo cartesiano. Estas corrientes filosóficas, primero el racionalismo y luego el empirismo, signan la investigación científica de los siglos XVII al XIX pasando por el apriorismo de Kant que concluye con el idealismo donde lo importante es el sujeto cognoscente.

Hacer mención a las corrientes filosóficas de estos siglos es de singular importancia puesto que las mismas señalaron la pauta para la creación científica en general y la matemática, en particular. En esencia, es el racionalismo cartesiano con los preceptos del Método quien señala las pautas a seguir en la creación de conocimiento de la época hasta mediados del siglo XIX con el Positivismo de Comte el cual se consolida en el primer cuarto del siglo XX con el Positivismo Lógico y Neopositivismo. Para esta época, dos de sus más grandes exponentes matemáticos fueron Poincaré (1854-1912) y Hadamard (1865-1947). Respecto a Poincaré, Miguel de Guzmán (op.cit.) se manifiesta así:

Es el gran ejemplo de matemático convencido de que las formas propias del pensamiento matemático presentan influencias profundas para el conjunto de la cultura humana. Poincaré no solo enriqueció muchas ramas de la ciencia matemática, la mecánica, la astronomía, la física… sino que los mismos psicólogos en uno de los congresos más importantes de principio de siglo, le pidieron que los iluminara sobre la naturaleza de la invención matemática.

En González (op.cit) se encuentra, referido a este matemático, lo que pudiera considerarse una heurística de resolución de problemas cuando afirmaba:

La creación o invención matemática atraviesa varios momentos: una actividad consciente y prolongada, seguida de un período de descanso durante el cual resulta muy conveniente dedicarse a otra cosa, dejando que el inconsciente trabaje libremente; es durante este período cuando puede producirse una súbita iluminación del pensamiento ( cuando se prende el bombillo) y, repentinamente, surge una idea que puede conducir a la solución; cuando esto ocurre se vuelve al esfuerzo consciente, tratando de verificar que la idea repentina efectivamente funciona (p.147).

Respecto a Hadamard, de Guzmán (op.cit.) señala: "se encargó de continuar y profundizar la labor de Poincaré con su magnífico trabajo Psicología de la Invención en el Campo Matemático". En esta obra Hadamard detalla más el proceso creativo del matemático y así lo confirma González (op.cit.) cuando se refiere a su heurística de varias etapas:

a) documentación (informarse, leer previamente, discutir); b) preparación (jugar con los datos, tratar conscientemente varias vías, diversas hipótesis, dar marcha atrás, reiniciar el razonamiento con nuevas hipótesis; si no tenemos éxito, es recomendable detenerse por algún momento y dedicarse a otra cosa, por ejemplo, tocar violín (como lo hacía Einstein); c) incubación (dejar que trabaje el inconsciente); d) iluminación (estar atento a la idea repentina, al eureka arquimedeano, al encendido del bombillito); e) verificación (someter a análisis, comprobar, probar, verificar la idea repentina); f) conclusión (formular resultados) (pp.147-148).

La Resolución de Problemas en el Siglo XX

Los comienzos del siglo XX se enriquecen con las ideas del filósofo norteamericano Dewey (1859-1952) quien publica en 1909 su obra titulada How we Think – Cómo pensamos – en la cual plasma su pensamiento reflexivo como un objetivo de la educación. Este trabajo constituyó el primer intento, en la educación norteamericana, de plantear la resolución de problemas como un propósito importante del currículo. Tan grande fue la importancia del pensamiento reflexivo – razonamiento crítico o reflexivo – que constituyó la base epistemológica de la doctrina pragmática con su marcada influencia en los Estados Unidos y el mundo en la primera mitad de siglo pasado.

Los postulados del razonamiento crítico de Dewey pueden sintetizarse en:

• El encuentro que tiene el hombre al moverse activamente por la vida con un problema.

• Intelectuación de la situación problemática.

• Inventario de las posibles soluciones.

• Puesta en práctica de la posible solución.

• Comprobación de la solución.

Al referirse al pensamiento reflexivo de Dewey, González (op.cit.) señala los pasos a seguir en la resolución de un problema:

• a) Definir el problema.

• b) Considerar las condiciones que envuelve el problema.

• c) Formular hipótesis para la posible solución del problema.

• d) Considerar el valor probable de las diferentes hipótesis.

• e) Definir en relación a cuál es la mejor idea para la solución del problema (p.254).

Los comienzos de siglo fueron fuertemente influenciados por el Positivismo Lógico o Neopositivismo y el Pragmatismo como doctrina de esa filosofía. Igualmente, en el campo de la psicología, surgió una corriente conocida como Conductismo gracias a los trabajos de Hull, Tolman y Skinner quienes pretendieron establecer reglas fijas para relacionar el estímulo con la respuesta de tal forma que se pueda prever el comportamiento si se conoce el estímulo.

En la continuación de esta revisión histórica acerca de la resolución de problemas se seguirá el orden establecido por Perales (op.cit.), quien indica en su investigación cuales han sido las distintas corrientes psicológicas que la han acogido:

Psicología conductista.

Psicología de la Gestalt.

Psicología cognitiva: teoría del procesamiento de la información.

Psicología cognitiva: teoría de Piaget.

Psicología cognitiva: constructivismo (p.171).

Psicología conductista

El conductismo nace en América con los trabajos de Watson (1878-1958) como una reacción contra el estructuralismo de Hundt (1832-1920) y Titchener (1867-1927) y el funcionalismo de James (1842-1910) , Dewey (1859-1952) y Carr (1873-1954) , principalmente. Aragón (2001), al referirse a esta corriente psicológica, afirma que su objetivo es "teniendo un estímulo (E), poder producir la respuesta ( R ) o, conociendo una respuesta, poder inferir el estímulo que la produjo" (p.46).

En el marco de esta Psicología del aprendizaje y relacionado con la solución de problemas, Perales (op.cit.) acota: "las primeras investigaciones se basaron en la identificación – a través de la observación – de las estrategias de resolución de problemas empleadas por distintas personas en un intento de buscar similitudes entre ellas" (p.172). Siguiendo este enfoque, Wallas, en González (1981), presenta un método de resolución de problemas conformado por cuatro etapas: preparación o acumulación de la información; incubación o apartarse temporalmente del problema; iluminación o un darse cuenta repentino – el eureka arquimedeano; y el hallazgo de la solución.

Contemporáneo al anterior, Polya, en Contreras (op.cit.), "anunció, en 1931, en Zurich, ante la Sociedad Suiza de Profesores de Matemática, un nuevo método de enseñanza bajo el título ¿cómo buscar la solución de un problema de matemáticas?" (p.149); este trabajo fue publicado posteriormente en su obra How we solve it en 1944. Esta obra de Polya es quizás la investigación sobre resolución de problemas que más influencia ha ejercido en esta área de la matemática. La mayoría de los modelos propuestos y las investigaciones realizadas en dicha área han recibido, en mayor o menor grado hasta el presente, la decidida influencia de la metodología de Polya.

Este método, Polya (1987), consiste en:

Comprender el problema

·) ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?

·) ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Concebir un plan

·) ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

·) ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.

·) He aquí un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría falta a usted introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

·) ¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las definiciones.

·) Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero algún problema similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considere sólo una parte de la condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? En qué forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?

·) ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Ejecución del plan

·) Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno de los pasos.

·) ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?

Visión retrospectiva

·) ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?

·) ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema? (p.19).

El conductismo ha tenido y conservado, en algunos casos, marcada influencia en la psicología del aprendizaje y no tardó en ser atacado sobre todo por su reduccionismo; de eso se encargaría, principalmente, la psicología de la Gestalt.

Psicología de la gestalt

Esta corriente psicológica surge en Europa, específicamente Alemania, de las manos de Wertheimer (1880-1943) así como Köhler (1887-1967) y Koffka (1886-1941). Aragón (op.cit.) se refiere a esta corriente:

El gestaltismo se oponía al reduccionismo y atomismo procedente tanto del estructuralismo, como del behaviorismo… para los gestaltistas, no cabía la posibilidad de estudiar la conciencia o la vida mental analizándola en sus elementos más simples, dado que ello destruía su característica fundamental: su estructura, su unidad, es decir, el hecho de ser una totalidad organizada, un todo organizado o gestalt (p.47).

Los psicólogos de la Gestalt, contemporáneos de los conductistas, ya habían detectado la tendencia que presentaban los solucionadores de problemas a dividir o fraccionar el problema en etapas o fases con miras a facilitar su solución. Este señalamiento lo hace Duncker, en su investigación On problem solving, y es destacado por Perales (op.cit.)

La mayor contribución del enfoque gestáltico ha sido el énfasis puesto en la vertiente perceptual del proceso; para los seguidores de esta corriente la aprehensión apropiada de las partes del problema asegura que las "fuerzas de la organización" produzcan la solución. De cualquier modo, no se especifica con exactitud que son esas fuerzas de organización (p.172).

Otra contribución de los teóricos de la Gestalt es la valoración de las posibles soluciones de un problema lo cual tiene, como se sabe, suma importancia en los procesos de toma de decisiones.

El aprendizaje por contigüidad de Guthrie (1938,1952); la teoría hipotético-deductiva de Hull (1943,1951); el conductismo propositivo de Tolman (1932,1951);

la teoría del reforzamiento de Miller y Dollard (1941,1950); el condicionamiento operante de Skinner (1953), constituyeron junto al conexionismo de Thorndike (1911) y el condicionamiento clásico de Pavlov (1927,1928), entre otras, citados por Aragón (op.cit.), las principales tendencias psicológicas que de una u otra forma influyeron en el proceso de aprendizaje en la primera mitad del siglo pasado.

Psicología cognitiva: teoría del procesamiento de la información.

No es posible señalar con precisión cuando comenzó la influencia de la psicología cognitiva en la resolución de problemas. Los trabajos de Rotter, en 1954, al integrar las teorías del aprendizaje con las de la personalidad, marcan un deslinde con el conductismo y sientan base a la formulación de las teorías cognoscitivas sociales como las de Bandura y Rosenthal y Zimmerman, donde se considera el aprendizaje desde una perspectiva cognitiva-conductual.

En este mismo sentido se pronuncia Arrieta (op.cit.) cuando se refiere a la resolución de problemas: "se suele considerar el año 1956 como una fecha clave para el desarrollo del tema desde una perspectiva cognitiva… "(p.63). Es una década de transición en la cual los modelos de resolución de problemas son aún de marcado corte conductista como el de O`Brien, 1956, en Medina (op.cit.) quien considera un modelo constituido por tres etapas: ¿qué se ha obtenido?, ¿qué se desea obtener?, y ¿de qué forma?, usando lo obtenido, se puede lograr lo deseado. Otro modelo perteneciente a esta década es el de Kinney, 1959, en Medina (op.cit.),consistente en siete etapas: ¿qué se desea?; ¿cuáles son los datos?; ¿cuáles son los datos adicionales que pueden inferirse de los datos dados?; ¿cuáles datos serán usados para lograr lo deseado?; ¿cuáles serán las operaciones necesarias para lograr una respuesta?; considérese una respuesta razonable; explórense las vías para lograr dicha respuesta.

La influencia de la psicología cognitiva en la resolución de problemas está estrechamente unida a la creación de las primeras computadoras. La analogía establecida entre las mismas y la forma como los humanos aprenden, permitió la aparición de las Teorías de Procesamiento de la Información y su rápida adaptación a la resolución de problemas. En 1969 nació el Solucionador General de Problemas –GPS– de Ernst y Newell el cual es, según Perales (op.cit.):

Un modelo general de estrategia para la resolución de problemas sin tener en cuenta el contenido al que se aplicaban. Para su creación tanto Ernst y Newell como más tarde Newell y Simon (1972) se apoyaron en la verbalización de la resolución de problemas por parte de diversos solucionadores para extraer, seguidamente, la estrategia subyacente y tratar de generalizarla (p.172)

Al comentar sobre el modelo de Newell y Simon, Rodríguez (1992) dice: "los mismos se propusieron obtener un resolvedor (sic) general de problemas, y lograron diseñar un algoritmo de demostración de proposiciones lógicas, con el que demostraron hasta el 80% de las proposiciones del Principia Matemática de Russell y Whitehead" (p.62). La utilización de las teorías del procesamiento de la información en la resolución de problemas permitió un avance significativo en el área al permitir interconectar la definición del problema con los procesos de solución al reconocer la influencia del contenido.

Psicología cognitiva: teoría de Piaget.

Considerar esta teoría por separado se debe a la gran influencia ejercida por este investigador en las teorías del aprendizaje marcando, por así decirlo, el comienzo del construccionismo social aún cuando ya Vigotsky, en 1924, había planteado algunos de sus principios en su Teoría Sociocultural. No es el objetivo en este momento analizar la teoría de Piaget lo cual se efectuará en el capítulo siguiente al considerar las teorías cognitivas del aprendizaje pero si cabe señalar en este momento que Piaget consideraba, en una primera etapa – 1955 – que cualquier individuo con acceso a las operaciones formales podía resolver cualquier problema independientemente del contenido aún cuando posteriormente, hubo de reconocer la influencia de dicho contenido en la resolución de un problema. Perales (op.cit.) lo confirma: "la perspectiva piagetiana o postpiagetiana pone su acento en la necesidad de potenciar el desarrollo cognitivo a través de la resolución de problemas" (p.173).

Psicología cognitiva: construccionismo.

Esta concepción filosófica y psicológica sostiene la premisa según la cual es el propio sujeto quien elabora, construye o produce sus propios conocimientos y aprendizajes. No existe uniformidad entre los teóricos de la corriente hasta el punto, Aragón (op.cit.) "algunos afirman que fuera de nuestra mente no existe ninguna realidad… otros piensan que las estructuras mentales que elaboramos reflejan esa realidad… (p.250). Sobre este tema se volverá en los capítulos siguientes pero es menester conocer, en esta visión histórica, como se relaciona dicha corriente con la resolución de problemas. Perales (op.cit.) señala en este sentido: "el punto de partida de la toma de posición del constructivismo en el seno de la resolución de problemas hay que buscarlo en la dependencia entre dicho proceso y el contenido en el que se contextualiza el problema" (p.173). Asuntos como la diferencia entre expertos y novatos, las concepciones o conocimientos previos del aprendiz, la cantidad de información procesada por el individuo, son entre otras, cuestiones inherentes a la construcción del aprendizaje sobre la base de la resolución de problemas.

Como fue considerado, la separación entre el enfoque conductista y cognitivo en la resolución de problemas se sitúa epocalmente en el año 1956 con el lanzamiento del primer Sputnik por parte de la Unión Soviética, lo que obligó a los "aliados" a revisar sus programas de educación sobre todo en lo referente a la matemática. Los estudios y modelos o heurísticas planteados en el área toman fuerza y aún cuando mantienen un marcado acento conductista se nota en ellos la aparición de los aspectos cognoscitivos que operan en el individuo.

Puig Adam, 1959, citado por Arrieta (op.cit.), critica el modelo de Polya :

Todo cuanto se llega a sacar de esta metodología clásica de los problemas es una cierta costumbre de trazar, de tender caminos que enlacen la solución buscada a las premisas establecidas en la red más o menos vasta de implicaciones lógicas en que están inmersas. Pero a medida que el campo se ensancha y los puntos de partida y de llegada se alejan de las perspectivas corrientes, estos sabios consejos metodológicos muestran una insuficiencia a su generalidad (p.66).

Esta separación entre conductismo y cognitivismo se acentúa hacia finales de la década de los sesenta – 60`s – con la cada vez mayor influencia de la inteligencia artificial. En 1965, Menchinskaya y Moro, citados por Moral (1993), en una investigación independiente, publican en la Unión Soviética una obra dedicada a la enseñanza de la aritmética escolar donde presentan una serie de reglas coincidentes con las ideas de Polya. Hacia finales de la década comienza un estudio más serio sobre resolución de problemas teniendo como norte el procesamiento humano de la información.

Los años setenta – 70`s – se inician con el modelo de Newell y Simon el cual considera, según Moral (op.cit.):

Que la resolución de problemas es un proceso de búsqueda a través de un espacio de posibles soluciones o planes para alcanzar la meta final. La tarea de la persona que resuelve problemas consiste en reducir el espacio problema para incluir solamente las soluciones válidas, mediante estrategias como el análisis medios-fines, la planificación o la división en submetas (p.302).

Este modelo supera en algo el enfoque conductista de ensayo-error y fue modificado posteriormente por Sacerdoty en 1977, al hacer una distinción entre la planificación y la ejecución del plan aún cuando mantiene una interrelación entre ellos.

Contemporáneo -1970 – al modelo medios-fines de Newell y Simon se encuentra el modelo de Earp quien establece cinco etapas para la resolución de problemas. Medina (op.cit.) reseña este modelo de la siguiente manera:

• a) Obtenga una visión general del problema a través de una primera lectura.

• b) Lea nuevamente el problema, poniendo especial énfasis en lograr cuáles son los datos y que se desea lograr. Esto será fundamental en la elaboración del plan de resolución del problema.

• c) Revise el vocabulario y los conceptos relacionados.

• d) Lea otra vez a objeto de planificar la resolución del problema.

• e) Lea finalmente a objeto de verificar los procedimientos y la solución obtenida (p.48).

Troutman y Lichtenberg, 1974, proponen un modelo resultante de la combinación de diversos trabajos. Este modelo, Medina (op.cit.), consta de cinco etapas:

• a) Estar consciente del problema. Para ello es necesario leerlo en varias oportunidades, y asegurarse de que se ha entendido.

• b) Determinar que es lo que se desea obtener. Para ello se debe expresar el problema en términos familiares.

• c) Generar información y estrategias diversas para la solución del problema.

• d) Decidir acerca de las estrategias necesarias para la resolución, así como la correspondiente implementación.

• e) Evaluar los resultados obtenidos (p.49).

Correspondiente también a esta década, el modelo de Wickelgren, 1974, citado por Medina (op.cit.):

Sugiere métodos para ayudar a mejorar las habilidades para la resolución de problemas. Tomando muchos conceptos sobre inteligencia artificial intenta estudiar la resolución de problemas desde un punto de vista teórico. En su opinión, un problema consta de información relacionada con

1.- datos suministrados.

2.- operaciones.

3.- metas (p.53).

El modelo de Kruteskii en 1976 estuvo relacionado principalmente con las habilidades para la resolución de problemas. Medina (op.cit.) señala las diferentes fases del modelo:

I. Obteniendo información matemática.

Habilidad para la percepción formalizada de material matemático, entendiendo la estructura de un problema.

II. Procesando información matemática.

• a) Habilidad para el pensamiento lógico, considerando relaciones tipo espacial y cuantitativo… habilidad para pensar en símbolos matemáticos.

• b) Habilidad para una generalización amplia y rápida de objetivos matemáticos, de relaciones y de operaciones.

• c) Habilidad para resumir el proceso de razonamiento matemático y el sistema de operaciones correspondiente; habilidad para pensar en estructuras resumidas.

• d) Flexibilidad de los procesos mentales en la actividad matemática.

• e) Esfuerzo por claridad, simplicidad, economía y racionalidad de soluciones.

• f) Habilidad para manejar la reversibilidad de los procesos mentales en el razonamiento matemático.

III. Reteniendo información matemática.

Memoria matemática (memoria generalizada para relaciones matemáticas, características tipo, esquema de razonamiento y pruebas, métodos de resolución de `problemas y principios de enfoque).

IV. Componente sintético general.

Molde matemático de la mente (pp.50-51).

Los modelos mencionados para esta década poseen un sabor conductista y una línea de acción continuadora del modelo de Polya a excepción del modelo de Kruteskii el cual plantea el uso de habilidades cognitivas. Si bien se comienza a notar un distanciamiento con el conductismo, esta corriente seguirá marcando los trabajos del resto de la década así como una continuación en la utilización de la heurística de Polya.

La segunda mitad de la década presenta, entre otros, el modelo de Wheatley en 1977. A este respecto, Medina ( op.cit.) señala que el autor :

Discute la resolución de problemas desde el punto de vista de la teoría de la especialización de los hemisferios. Sugiere que la habilidad para la resolución de problemas puede ser mejorada por medio de un mayor uso del hemisferio derecho del cerebro, y existe evidencia de que el hemisferio izquierdo es mejor en actividades como leer, hablar, razonamiento analítico y aritmético… (p.68).

Contemporáneamente, LeBlanc propone el uso de dos estrategias, Medina (op.cit.), para afrontar y resolver problemas:

• a. Los problemas típicos de los libros de texto. Con ello se busca, fundamentalmente, reforzar el entendimiento de un concepto o usar una habilidad aprendida previamente en una situación de la vida real.

• b. Un tipo de problema que él llama problema de proceso, porque se contemplan todos los procedimientos relacionados con la resolución de un problema…los llamados problemas de proceso requieren, normalmente, muy poca matemática formal. Se resuelven en varias formas, en la mayoría de los casos (pp.68-69).

En el año 1978, se encuentran los modelos de resolución de problemas de Bell y Greeno. El primero de ellos, González (op.cit):

Está enmarcado dentro de la línea propuesta por Polya. Bell también divide en pasos el proceso de resolución de un problema y sugiere, en cada una de éstas, un conjunto de técnicas o estrategias cuya implementación, potencialmente, conduce a la solución…

Paso 1: Presentar el problema en forma general.

El problema no debe ser planteado en una forma explícita sino de forma tal que estimule el pensamiento creativo y divergente y así el estudiante o potencial solucionador del problema pueda descubrirlo o percatarse de su existencia…

Paso 2: Reformular el problema en forma operacional.

Este paso consiste en reformular el problema en una forma más accesible, estableciéndolo en otros términos a fin de incrementar las oportunidades de encontrar un método para resolverlo…

Paso 3: Formular hipótesis y procedimientos alternativos para atacar el problema.

En este paso de lo que se trata es de buscar enfoques que probablemente conduzcan a la solución del problema.

Paso 4: Probar las hipótesis y llevar a cabo procedimientos que permitan obtener una solución o conjunto de soluciones.

Esta es la etapa crucial según el modelo de Bell, porque es durante ésta cuando realmente se resuelve el problema o se aprueban o rechazan las conjeturas que el solucionador se haya planteado en torno al problema. Las técnicas que Bell propone para desarrollar este paso coinciden por las sugeridas por Polya, pero este último las ha propuesto en fases diferentes.

Paso5: Analizar y evaluar las soluciones, las estrategias usadas para obtenerlas y los métodos que condujeron al descubrimiento de estrategias para resolver el problema.

En este paso se pretende analizar y evaluar el método empleado para resolver el problema con el fin de determinar cuan eficiente es, si puede ser mejorado o no y si puede ser aplicado a una clase general de problemas (pp. 256-257-258).

El segundo de los modelos señalados, el de Greeno, como lo plantea Mayorga (1987),

El primer estadio de solución culmina en un árbol cognoscitivo formado por componentes que corresponden a los elementos del problema. El proceso de formulación de un plan de solución corresponde a la construcción de una red de relaciones entre las variables (elementos) del problema, de tal manera que las incógnitas se vinculan con la información dada (p.23).

En el mismo año de 1978, Upton, Samson y Farmer, como lo reseñan Laprea y Ruiz (op.cit.), presentan un modelo de resolución de problemas complejos: "el modelo consta de tres etapas fundamentales: planificación, ejecución y evaluación. Cada una de estas etapas tiene subdivisiones, por ejemplo, la etapa de planificación implica planificación de la ejecución y de la evaluación" (p.32).

Al año siguiente, 1979, y dentro de la línea de investigación planteada por Newell y Simon – modificada posteriormente por Sacerdoty – se encuentra el modelo de Hayes-Roth, B. y Hayes-Roth, F. en el cual Moral ( op.cit.) :

Proponen un nuevo modelo de planificación para la resolución de problemas. Su modelo considera la planificación bajo una perspectiva "oportunista", es decir, en cada punto del proceso las decisiones tomadas por la persona que planifica y el tipo de observaciones que va haciendo conforme se desarrolla el plan son consideradas oportunidades para que el plan vaya creciendo o cambiando según sea oportuno (p.303).

El modelo señalado consta de dos etapas: la primera de ellas consiste en la planificación de las acciones que conducen a alcanzar la meta; la segunda es la de dirección y guía para la correcta ejecución del plan. Como los mismos autores señalan estas fases son interdependientes en un mismo "proceso oportunista".

Como puede verse en los modelos mencionados – son posiblemente los más representativos de esta década – la influencia conductista se separa un tanto para permitir el acceso de las concepciones cognitivas pero todavía bajo la marcada influencia del modelo multietapas de Polya. Si bien es cierto que hasta la fecha señalada la influencia cognitiva es cada vez mayor, también es cierto que los aspectos afectivo-motivacionales del solucionador son muy poco tomados en cuenta.

La década siguiente – 80`s – es considerada por la mayoría de los investigadores como realmente significativa en el empleo de la resolución de problemas como instrumento de aprendizaje. En el metaanálisis realizado al investigar el desarrollo de la resolución de problemas en la década indicada, se observó un marcado acento cognitivista dejando de lado, salvo algunas excepciones, al conductismo como corriente principal; así mismo se observó una continuación en el empleo de la heurística multietapas de Polya como modelo preponderante en las investigaciones realizadas. Se ha tratado de resumir por años los principales trabajos efectuados en la década, a sabiendas que los reportes, informes, investigaciones, publicaciones y libros sobre el tema se cuentan por millares. Se está en el inicio de la verdadera investigación sobre resolución de problemas y así lo indica Arrieta (op.cit.): "no ha sido hasta finales de los 70 cuando han comenzado a desarrollarse de manera sistemática las investigaciones sobre R.P (sic.) matemáticos, con planteamientos comunes y mejor coordinados" (p.67).

En 1980, LeBlanc y cols. proponen un modelo instructivo para la resolución de problemas en las escuelas elementales basado literalmente en las ideas de Polya; Schoem y Oemhke, en el campo de la evaluación, desarrollan el Iowa Problem Solving Test; Larkin y Reif proponen un modelo de cómo los sujetos resuelven problemas con una orientación expertos/novatos; Goldstein propone buscar representaciones alternativas; Hayes, en Pomés (1991), sistematiza las tareas para resolver un problema en seis etapas:

• 1) Hallazgo del problema (reconocimiento de que existe un problema).

• 2) Representación del problema (comprensión del foso que hay que cruzar)

• 3) Planificación de la solución (escoger un método para cruzar el foso).

• 4) Llevar adelante el plan.

• 5) Evaluación de la solución (bondad del resultado).

• 6) Consolidación del aprendizaje obtenido desde la experiencia de la resolución de un problema (p.80).

De igual manera, Kantowsky propone una heurística, reseñada en Bañuelos (1995), la cual puede ser utilizada en la resolución de problemas matemáticos:

• 1. Dibujar un diagrama (figura, esquema, tabla).

• 2. Examinar un caso especial.

• 3. Identificar lo que se busca y lo que se da.

• 4. Identificar información relevante e irrelevante (examinar toda la información dada).

• 5. Trabajar hacia adelante desde el principio con la información dada.

• 6. Trabajar hacia atrás desde la conclusión.

• 7. Buscar un patrón o encontrar una generalización.

• 8. Buscar un problema relacionado (énfasis en estructura similar).

• 9. Buscar un teorema, definición, operación o algoritmo que se aplique al teorema.

• 10. Resolver parte del problema.

• 11. Verificar la solución.

• 12. Examinar si existe otra manera de encontrar la solución (soluciones alternas).

• 13. Examinar si se puede obtener otra solución.

• 14. Estudiar el proceso de resolución (pp.54-55).

En el año 1981, Papert señala que las ideas de Polya se aprenden mejor al utilizar su geometría de la tortuga en la computadora, es decir, buscar un problema más simple; Chi y cols. presentan un modelo de cómo los sujetos resuelven problemas con una orientación expertos/novatos; Hayes sugiere trabajar en sentido inverso: de la meta a los datos; Mc. Kenzie y Herrington proponen hacer preguntas para resolver problemas.

En 1982, Charles y Lester proponen una guía basada en el modelo de Polya y especifican la labor a realizar por el docente antes, durante y después de la resolución del problema propuesto así como un sistema de puntuación para evaluar el trabajo de los estudiantes en la resolución de problemas; Chiappetta y Russell presentan un modelo de tres etapas: (a) presentación del problema, (b) identificación y agrupación de la información necesaria para la resolución y, (c) análisis de la información y producción de la solución; Reif y Séller proponen un modelo al estilo de Chi.

Durante el año 1983, Fennell presenta un modelo basado en el de Polya para los grados primarios; Mayer propone trabajar por pasos; Lenat y Mayer indican que la eficiencia en resolución de problemas está relacionada con el conocimiento específico del área en cuestión; Webb dice permitir la verbalización durante la solución del problema y promueve el trabajo en grupos.

En el año 1984, lo trabajos más resaltantes, entre otros, son los de Golden y Mc.Clintock y Frederiksen. Los primeros, en torno al análisis específico de las variables sintácticas, de contenido y de contexto, estructurales y heurísticas que inciden en la dificultad de las tareas matemáticas. El segundo presenta un modelo, mencionado por Laprea y Ruiz (op.cit.), de resolución donde "se requiere de un "pensamiento productivo" para su solución, es decir, los procedimientos deben generarse o reorganizarse en la representación del problema" (p.31). Las etapas del modelo son: generación de una o varias hipótesis que surgen de la búsqueda de información en la memoria, seguida de una selección de hipótesis y de una comprobación de las mismas.

En la segunda mitad de la década se pueden encontrar los trabajos del Grupo Cero de Valencia donde, en Arrieta (op.cit.):

Se enfatiza la importancia de la resolución de problemas y las capacidades básicas que se consolidan mediante la actividad matemática: generalizar, abstraer, hacer hipótesis y someterlas a pruebas, explorar, tomar decisiones, proponer ideas nuevas, hacer frente a situaciones problemáticas con la confianza de que pueden ser comprendidas y, en su caso, resueltas (p.66).

Otros trabajos para esta fecha son los de Garófalo y Lejter quienes afirman que hasta ese momento – 1985 – la instrucción en resolución de problemas se ha centrado, con relativo poco éxito, en las heurísticas de resolución; Gick y Holyoak proponen como ayuda en la solución de un problema, buscar problemas análogos; Puente propone utilizar el aprendizaje por descubrimiento versus el aprendizaje expositivo.

Los años finales en la década se enriquecen con los trabajos de Miguel de Guzmán y Gick, en 1986, quienes presentan, el primero, un esquema para favorecer el desarrollo heurístico a través de los juegos basándose en el modelo de Polya y, el segundo, presenta un método guiado por esquemas (conocimiento específico del tema) y un método guiado por estrategias generales (metaconocimiento). En los tres años finales, Coillot y Dumas proponen estrategias metodológicas para enseñar a los estudiantes a resolver problemas (1987); Kramers y Pilot señalan lo mismo que los anteriores en 1988 y, Minsky, el mismo año, señala el principio del progreso así como el ensayo y error y la división en metas y submetas para resolver un problema.

De singular importancia en la década mencionada, por la relevancia del personaje, son los trabajos de Alan Schoenfeld quien fundamenta su propuesta en lo que denomina la adopción de una "microcosmo matemático" en el salón de clases; es decir, motivar a los estudiantes a desarrollar matemática, en el aula de clase, de manera similar a los matemáticos. Schoenfeld presenta un modelo de etapas, al estilo de Polya, el cual consiste, Bañuelos (op.cit.), de:

Análisis

• 1) Trazar un diagrama si es posible.

• 2) Examinar casos particulares.

• 3) Probar a simplificar el problema.

Exploración

• 1) Examinar problemas esencialmente equivalentes.

• 2) Examinar problemas ligeramente modificados.

• 3) Examinar problemas ampliamente modificados.

Comprobación de la solución obtenida

• 1) ¿Verifica la solución obtenida los criterios específicos siguientes?

a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes?

b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?

c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?

2) ¿Verifica los criterios generales siguientes?

a) ¿Es posible obtener la solución por otro método?

b) ¿Puede quedar concretada en casos particulares?

c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?

d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? (p.54).

La década de los ochenta – 80`s – fue particularmente pródiga en estudios e investigaciones sobre resolución de problemas. El aspecto cognitivo adquiere particular relevancia al igual que el enfoque constructivista. Así mismo es menester hacer mención acerca del punto de vista relativamente nuevo que ejerció fuerte influencia en las investigaciones pertinentes, cual fue la metacognición.

El término metacognición aparece en 1970 de la mano del psicólogo Flavell y colaboradores. Esta corriente de la psicología del aprendizaje inicialmente pasa desapercibida del panorama educativo principalmente por la gran influencia que ejercía, para la época, el diseño instruccional – instructional design – de Gagné y es sólo hasta la década siguiente cuando comienza a experimentar un auge inusitado con la aparición del constructivismo en los modelos de enseñanza y aprendizaje. Se produce, como señala Humphrey en 1983, una nueva reconquista de la conciencia.

Los antecedentes de la metacognición es necesario buscarlos en Dewey con su pensamiento reflexivo a comienzos del siglo XX y en Piaget, en los setenta, con la epistemología genética de abstracción reflexiva. Estos antecedentes unidos al trabajo de Flavell – Developmental Changes in Memorization Proceses – en 1970, dan forma a esta nueva área de la investigación en el aprendizaje de las ciencias. La década de los ochenta -80`s – es particularmente rica en investigaciones sobre este tema: Kail (1979); Melot y Nguyen (1981); Aebli (1982); Humphrey (1983); Churchland (1984); Sternberg, Weinstein y Mayer (1985); Schoenfeld, Schön y Brown (1987); Bandura (1989). Así mismo, la primera parte de la década de los noventa -90`s – presenta los trabajos de Joms e Idol y Otero (1990); Mateos (1991); Prawling y Law, Bradley y Parr (1993); Barberá, Monereo y Gunstone y Northfield (1994).

Al referirse al gran desarrollo de estas investigaciones, Monereo (1995) señala:

Una simple comparación de las citas bibliográficas que se obtenían hace apenas cinco años – cuando seleccionábamos las referencias de la base de datos ERIC por el término metacognition (sic) – con las que se obtienen en estos momentos, nos dan una indicación bastante precisa de la trascendencia del tema: ¡ de apenas una docena a más de mil referencias! (p.77).

La segunda mitad de la última década del siglo pasado se enriquece con los trabajos de Nissani (1995); Campanario y cols., Roth y cols. (1997); Campanario y Moya (1998), entre otros, lo que reafirma la importancia concedida a los fenómenos metacognitivos en el proceso de aprendizaje.

Referente a la resolución de problemas, en la última década del pasado siglo, las investigaciones van estrechamente unidas a los aspectos metacognitivos que operan en el solucionador. Definitivamente el aspecto meramente cognitivo que prevaleció hasta la década de los ochenta – 80`s – cede paso a los aspectos motivacionales y metacognitivos en las investigaciones en el área de resolución de problemas. Así se encuentran los trabajos de Alsina (1990) sobre estudiantes dependientes e independientes de campo; Parra (1990) discute el papel de la representación del problema; Lawson y Séller (1990) concluyen que la cantidad de conocimiento específico es un determinante primordial en el rendimiento en solución de problemas; Dijkstra (1991) estudia el papel de la memoria a corto y largo plazo en la resolución de problemas y su implicación en la adquisición y construcción del conocimiento; Gil y cols.(1991); Schunk (1991) señala que el aprendizaje implica adquisición y modificación de conocimientos, estrategias, habilidades, creencias y actitudes.

El año 1992 se hace presente con las investigaciones de González y Tourón sobre el uso que los estudiantes hacen de sus estrategias de aprendizaje y su relación con sus características motivacionales. En 1995, el trabajo de DeCorte formula una interesante propuesta aplicada al aprendizaje y enseñanza de la matemática donde los define como un proceso de conocimiento y construcción de significados: constructivo, acumulativo, autorregulado, orientado a una meta, situado, cooperativo y diferente individualmente; Slisko y Krokhin (1995). En los años siguientes: Leonard y cols. (1996,1999); Dufresne y cols. (1997); Torp y Saye (1999).

En nuestro país, los trabajos e investigaciones sobre resolución de problemas se inician prácticamente en la década de los ochenta – 80`s – siguiendo el enfoque cognitivista que prevalecía para la época a nivel mundial. En esta primera etapa se pueden señalar los siguientes: Proyectos del CENAMEC (1975,1986); las experiencias de Rodríguez (1979-1980) y las investigaciones de Mayorga (1984) en el Instituto Pedagógico de Caracas; el modelo de resolución de problemas de Andrés (1985) de cinco etapas; las experiencias llevadas a cabo por el Dr. Eduardo Lima de Sá (1983) en la Universidad Simón Bolívar; el Seminario Nacional Permanente sobre didáctica de la matemática (1983-1987); seminarios y tesis de grado en el programa de maestría en Psicología de la Instrucción en la Facultad de Humanidades y Educación de la U.C.V (1987).

En la década siguiente se encuentran, entre otros, los trabajos de Itriago y Cruz (1992) con una estrategia metodológica llamada Propósito-Meta-Objetivo. Diversas investigaciones presentadas en el segundo Congreso Venezolano de Educación Matemática, tales como: Zambrano – la estrategia heurística general propuesta por Mason, Burton y Stacey para la solución de problemas y su relación con el desempeño estudiantil; Ganuza y Fermín – el alumno como sujeto activo aprendiendo a resolver problemas; Castillo – diferencias entre novatos y expertos al resolver un problema lógico-matemático; Delgado – resolución de problemas; Beyer – la resolución de problemas y su implementación en el aula; Cuicas – procesos metacognitivos desarrollados por los alumnos cuando resuelven problemas matemáticos; Mosquera – un caso a favor del uso de métodos gráficos y numéricos para resolver problemas matemáticos; Fermín y Ganuza – metodología generalizada para la resolución de problemas matemáticos.

Otros trabajos de singular importancia hacia finales de la década señalada lo constituyen: Cruz (1997) sobre estrategias metacognitivas para la evaluación de los aprendizajes matemáticos; González (1997) al considerar, en su tesis doctoral, los aspectos cognitivos y metacognitivos en estudiantes universitarios en Venezuela; Meriño (1997) sobre la autopercepción de la estrategia resolución de problemas y la actitud hacia la matemática.

La tendencia actual, comienzos del siglo XXI, en las investigaciones sobre resolución de problemas ha ido centrándose en la consideración de los aspectos cognitivos y motivacionales que operan en el aprendiz, más no de una manera reduccionista, como prevaleció hasta hace poco tiempo, sino integrándose en un todo – junto a la metacognición – a modo y manera de producir un aprendizaje significativo en el sentido ausubeliano. El constructivismo, paradigma emergente en el aprendizaje de la matemática, ha hecho una especie de simbiosis con la resolución de problemas constituyéndose en una plataforma para la conformación de los nuevos modelos de aprendizaje, por ejemplo, el cambio conceptual. Las investigaciones al respecto continúan. Se considera afirmativamente que la resolución de problemas promueve una manera exitosa de acceder al conocimiento matemático y los futuros estudios sobre el tema deberán considerar los aspectos mencionados integrados holísticamente así como avances en otras ramas del saber: psicología, neurociencias, entre otras.

CAPITULO IV

Teorìas de la ciencia

Fulguración

El capítulo II de la presente investigación se dedicó, entre otros, a plantear el nacimiento del problema. Es la opinión del autor de la presente investigación que el problema nace con el hombre en el momento de la especiación, es decir, en el instante cuando se da cuenta, cuando toma conciencia que constituye una nueva especie con capacidad para modificar el ambiente. En este sentido son diversas las teorías existentes que tratan de explicar este fenómeno y posiblemente tienen su origen en la posición de Wallace cuando afirmaba que la inteligencia humana estaba ahí porque una mente superior así lo determinó, es decir, un regalo divino y no el producto de una evolución.

Autores modernos como Chomsky y Gould están en sintonía con las ideas de Wallace y aún cuando abandonan el sentido espiritualista de éste, concuerdan con el hecho de la aparición súbita de la mente humana. Otros autores en la actualidad, citados por Arsuaga (op.cit.), tales como Stringer, Gamble, Noble, Davidson y Tattersall "no conceden a otras especies de homínidos distinta de la nuestra (como por ejemplo los neardentales) la capacidad de manejar símbolos y ni siquiera la de planificar el futuro no inmediato" (p.299).

Pareciese muy sencillo explicar la aparición de la mente humana, algo tan complejo y maravilloso, a la luz de las teorías anteriores. Surge así una nueva teoría denominada emergentista o sistémica la cual trata de explicar el fenómeno predicando que las propiedades de un sistema dependen de cómo interactúen sus partes relacionadas. Es lo contrario del reduccionismo quien trata de explicar las propiedades del sistema a través de las propiedades de las partes. Así la mente humana surge, como lo señala Arsuaga (op.cit.), "literalmente, cuando a un antepasado nuestro (un Adán o una Eva) "se le cruzaron los cables" y aparecieron conexiones nuevas entre circuitos preexistentes" (p.300).

Como fue reseñado en el mencionado capítulo, Konrad Lorentz llama a este proceso "fulguración" – de donde se tomó el encabezado – para señalar la aparición de algo completamente nuevo, algo que antes no existía. Lorentz considera, en Arsuaga (op.cit.): "cuando se conectan dos sistemas independientes entre sí, surgen de repente unas propiedades sistémicas totalmente nuevas, que antes no existían, ni siquiera a modo de sugerencias" (p.301). La mayoría de arqueólogos y paleoantropólogos en la actualidad siguen la corriente emergentista. Klein, Tattersall, Mitchen, entre otros, señalan, en Arsuaga (op.cit): el primero, "cuando todos los volantes y ruedas de la maquinaria cerebral acertaron a engranarse correctamente, entonces el complicado reloj mental se puso en marcha". El segundo, "las grandes novedades biológicas siempre aparecen como por sorpresa". Para el tercero, "la mente humana no se manifestó hasta que se abrieron ventanas y puertas en los muros que mantenían aisladas las diferentes inteligencias" (p.305).

Puede verse de lo anterior la profusión de teorías que explican o tratan de explicar la aparición de la mente humana. Todas tienen detractores y seguidores pero son sólo eso, simples teorías que, basadas en la experiencia e inteligencia de sus creadores, han emitido o plasmado sus ideas acerca del punto en cuestión. El hecho cierto se presenta cuando en un determinado instante de su evolución, el "hombre" cae en cuenta que constituye una nueva especie y debido a esa razón o inteligencia se sabe y siente superior al resto de los animales. Comienza así un nuevo proceso evolutivo – evolución cultural – donde a través de diversos mecanismos aprehende a los objetos que le rodean en un proceso de creación de conocimiento.

Origen y Creación del Conocimiento

Especular acerca del origen del conocimiento es remontarse al momento mismo cuando el hombre toma conciencia de su naturaleza humana. A partir de ese instante se abre la ventana de la realidad y su primitiva conciencia entiende ahora el porqué la necesidad de cubrir sus requerimientos básicos: alimentación, abrigo, procreación, entre otros. No es ya simplemente el animal que se alimenta porque siente hambre ni el que se junta con cualquier hembra de la manada por cuestiones naturales de conservación de la especie ni el que no tiene una manera de comunicarse con otros miembros del grupo que no sea por señas; no es ya el animal inferior que actúa por instinto natural sino un ser superior al resto con conciencia o inteligencia propia lo cual lo identifica como el dueño de la creación con poder de modificación y cambio del ambiente que le rodea.

En la medida según la cual esta nueva especie evoluciona, adquiere más "conocimiento" de su medio ambiente y aprende nuevas manera de cazar, de curtir pieles, de abrigarse, entre otras, que lo hacen elevarse más y separarse más en la escala animal a la cual pertenecía y lo van transformando en un ser más complejo con una más compleja forma de vida ya que en la misma medida que soluciona inteligentemente sus problemas va creando otros los cuales requieren mayor dosis de raciocinio para su solución. Si bien es cierto que el hombre ha adquirido conocimiento de la naturaleza, primariamente para la satisfacción de sus necesidades básicas, también es cierto que es menester indagar la forma como se ha apropiado del mismo de forma de entender como ha evolucionado culturalmente en el tiempo hasta la complejización de hoy día.

En el proceso de sedentarización del hombre, como se señaló en capítulos anteriores, debido principalmente a la invención de la agricultura, se fue gestando en él una nueva forma de vida la cual permitió un mayor contacto con otros grupos sociales y en aquellos sitios donde la cosecha y cría eran abundantes, la aparición de un nuevo "modus vivendi" cual fue el comercio al intercambiar sus productos por otros que no producía. Esta nueva actividad produjo un crecimiento cultural y una complejización social mayor que prácticamente le forzó a la adquisición de nuevos y más profundos conocimientos y a la creación de una ciencia que, como ya se mencionó, fue la pionera -sobre todo en matemática – de lo que posteriormente vendría con egipcios y griegos.

El hecho de establecer sociedades sedentarias produjo un aceleramiento en las formas de comunicación quienes pasaron de la emisión de simples gruñidos y señas a una forma más alta de intercambio de información como lo fue el lenguaje onomatopéyico. Gutierrez (2003) considera

Al lograr que los sonidos emitidos fueran reconocidos por los demás, tácitamente acordaron la relación de los signos sonoros emitidos con fenómenos particulares… se estableció un relación de abstracción o representatividad entre el signo y el hecho. Cada vez que un sonido nos estimula, aparece la imagen simultáneamente en nuestro cerebro.

La imagen plasmada en la mente del hombre es la interpretación hecha de la realidad y en la medida según la cual dicha interpretación es común a los otros miembros del grupo, en esa misma medida surge el lenguaje comunicacional. Este lenguaje considerado como una expresión superior de la inteligencia provee al hombre de una herramienta maravillosa que, por una parte lo diferencia definitivamente del mundo animal-ancestral al cual pertenecía y por la otra, le permite una evolución más acelerada no ya desde el punto de vista darwinista, sino desde el punto de vista cultural.

En esa incesante e imperecedera relación del hombre con el medio que lo circunda se da otro proceso – de índole superior – cual es la creación del conocimiento. El hombre se construye a si mismo al relacionarse sensorialmente con la realidad así como a través de algo natural, distinto a los sentidos, que le permite tomar conciencia de esa realidad e interpretarla adecuadamente. Este es el problema inicial con el que se enfrenta una rama de la filosofía – filosofía de la ciencia – conocida como epistemología, teoría del conocimiento o gnoseología, según diversos autores. Interpretar esa realidad conlleva una serie de etapas – conscientes o inconscientes – que se suceden en la correlación objeto-sujeto: observación fenomenológica, formulación de supuestos, instrumentación, análisis y comprobación de resultados y discusión.

Observación fenomenológica. De acuerdo a lo visto hasta el momento, en todo proceso de creación de conocimiento existe una relación biunívoca entre realidad – objeto – y conciencia – sujeto. Esta relación, como señala Hessen (2000) se presenta "entre estos dos miembros que permanecen en ella eternamente separados el uno del otro" (p.20). Así se puede afirmar que en todo conocimiento existen cuatro elementos: el sujeto cognoscente, el objeto conocido, la operación de conocer y la información obtenida acerca del objeto.

Cada sujeto cognoscente posee sus propias características culturales, sociales, necesidades, carencias, intereses, entre otros, originando una interpretación propia de la realidad posiblemente diferente a los otros miembros del grupo. Es así como se puede interpretar a esta aprehensión de la realidad como subjetiva ya que es un hecho voluntario del individuo sujeto a las características que les son propias. El objeto es así aprehendido por el sujeto y como el mismo Hessen (op.cit.) cita: "el sujeto sólo es sujeto para un objeto y el objeto sólo es objeto para un sujeto. Ambos sólo son lo que son en cuanto son para el otro" (p.20).

La observación fenomenológica implica por tanto una compenetración con la realidad y una necesidad de aprehensión por parte del sujeto. En la misma medida mediante la cual se recibe información del objeto, se produce la creación de una imagen de la misma en el sujeto la cual posee las características del primero. Pero esta aprehensión es necesario observarla desde dos puntos de vista: uno es desde el punto de vista del sujeto y el otro, desde el objeto. Desde el punto de vista del sujeto, éste se apropia de las características del objeto más no del objeto en sí produciéndose, como se indicó, la aparición de una imagen. Desde el punto de vista del objeto, se produce una transferencia hacia el sujeto de las características del primero. En el primer caso se habla de conocimiento subjetivo y en el segundo de conocimiento objetivo.

Formulación de supuestos. En esta fase el sujeto cognoscente produce voluntariamente una o varias hipótesis explicativas del fenómeno observado. Cada hipótesis señala una vía interpretativa y un curso de acción a seguir. Con ella se trata de explicar las causas de la observación fenomenológica y un camino que permita la interpretación de la realidad a la cual se refiere.

Instrumentación. Esta fase explicita los instrumentos con los cuales se trata de comprobar la hipótesis o plan de acción seleccionado en la fase anterior. Se definen conceptos y variables que permitirán interpretar la realidad a que se refieren con el fin de obtener resultados.

Análisis y comprobación de resultados. Se refiere esta fase a la recolección de la información pertinente proveniente del objeto, su análisis posterior y la comprobación final de la hipótesis supuesta.

Discusión. Esta fase final de la interpretación de la realidad está estrechamente vinculada con el carácter de verdad del conocimiento. Observado un fenómeno, determinada una vía para su interpretación, obtenida una respuesta y alcanzado un conocimiento, surge la pregunta o duda sobre la veracidad o falsedad del mismo. En este sentido Fingermann (1981) acota: "ante todo, debemos hacer notar que la verdad siempre se expresa en un juicio; por consiguiente, sólo los juicios pueden ser verdaderos o falsos. Los objetos no son ni verdaderos ni falsos: son reales, ideales o imaginarios" (p.139). Si la verdad de un conocimiento no radica en el objeto debe radicar entonces en la relación entre objeto y sujeto; en la concordancia entre las características del primero y la imagen que de él construye el segundo. Este punto se verá más explicitado en el aparte siguiente: el problema del conocimiento.

El Problema del Conocimiento

En el aparte anterior se consideró que el conocimiento se presenta como una relación entre sujeto y objeto en la cual el primero aprehende las características del segundo manteniendo su propia identidad, es decir, el sujeto forma una imagen contentiva de las propiedades del objeto. Pero así mismo puede ocurrir que sea el objeto quien transfiera sus propiedades al sujeto, es decir, el objeto es determinante y el sujeto determinado. En el primer caso la imagen formada es subjetiva y en el segundo, objetiva. Este señalamiento lleva al planteamiento de la dificultad que experimenta el ser humano al tratar de comprender lo relativo al conocimiento y lo que él conlleva. Todo conocimiento presenta tres elementos perfectamente diferenciados: el sujeto, la imagen y el objeto. El estudio del conocimiento es, entonces, el estudio de estos tres elementos.

Desde el punto de vista del sujeto el conocimiento es estudiado por la psicología. En este sentido Hessen (op.cit.) señala: "el conocimiento es una aprehensión espiritual de un objeto… la psicología, al investigar los procesos del pensamiento, prescinde por completo de esta referencia al objeto" (p.23). La psicología se dirige hacia el sujeto cognoscente y los procesos que ocurren en él para apropiarse de un conocimiento pero no dice nada acerca del origen y veracidad del mismo, por tanto no resuelve el problema del conocimiento.