La realidad de la escuela cubana es otra, no se puede plantear categóricamente que se comporta así, existen mejoras en el proceder, pero no escapamos totalmente de esta situación a pesar de la preocupación del Ministerio de Educación, con el perfeccionamiento permanente de los planes y programas de estudio, las facilidades para la superación de los docentes por diferentes vías, aún existen docentes que se resisten al cambio y no transforman su modo de actuación a pesar de las exigencias de los nuevos programas y orientaciones metodológicas, las cuales les recomendamos que estudien detenidamente y luego socialicen con los otros colegas para que lleguen a acuerdos sobre la forma en que emprenderán el diseño y ejecución del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática.
Respecto a la enseñanza de la matemática por problemas, los colegas MSc. Deysi Fraga Cedré. Lic. Manuel Acosta Cordero (2001) del ISPEJV expresa que:
"El deseo de mejorar el aprendizaje de la Matemática y de las ciencias en general ha hecho que surgieran, como alternativas a la enseñanza tradicional, diversos modelos didácticos de enseñanza; entre ellos se puede citar a la Enseñanza de la Matemática por Problemas.
La autora reconoce la tradición de reconocer el enseñar y aprender a resolver problemas como uno de los ejes centrales en la enseñanza de la Matemática.
Luego ofrece una clasificación de los problemas y lo hace atendiendo a diversos criterios:
> Según el campo del conocimiento implicado:
Esta dado por la diferencia entre los problemas que se plantean en la enseñanza de la ciencia y aquellos que tienen lugar en la vida cotidiana. En el primer caso lo importante no es la obtención de la solución sino más bien el proceso para llegar a ellas. En cambio, ocurre lo contrario en los problemas cotidianos.
> Según el tipo de tarea:
Se pueden dividir en problemas cualitativos y problemas cuantitativos.
Se entiende por problemas cualitativos aquellos que en su resolución no se precisa recurrir a determinaciones numéricas, debiendo resolverse de forma verbal / escrita, normalmente se refieren a la interpretación científica de fenómenos reales.
Por el contrario, los problemas cuantitativos, o simplemente "problemas", exigen cálculos numéricos efectuados a partir de las ecuaciones correspondientes y de los datos disponibles en el enunciado.
> Según la naturaleza del enunciado y características del proceso de solución:
Se pueden dividir en problemas cerrados y problemas abiertos.
Los problemas cerrados son aquellas tareas que contienen toda la información precisa y son resolubles mediante el empleo de un cierto algoritmo por parte del solucionador.
Los problemas abiertos, por el contrario, implican la existencia de una o varias etapas en su resolución que deben ser aportadas por el solucionador mediante la acción de pensamiento productivo. Bajo este criterio, los problemas cualitativos pueden ser considerados en la mayoría de los casos como problemas abiertos y los cuantitativos como cerrados. (Palacios, 1993).
Manifiesta la existencia de otros elementos a tener en cuenta como son las variables a considerar en la resolución de problemas. Y expone: Éstas se agrupan entorno a:
> La naturaleza del problema:
Las variables que se contemplan fundamentalmente se refieren a los aspectos formales del problema, tales como: precisión, estructura, y lenguaje del enunciado, complejidad y tipo de tarea requerida en la resolución, solución abierta o cerrada, conocida o desconocida.
> El contexto de la resolución del problema:
En este caso habría que reparar en aquellas variables que intervienen en el proceso de resolución, sin tener en cuenta al propio resolutor. Así cabría hablar de la manipulación o no de objetos reales, la consulta o no de fuentes de información, la verbalización o no de la resolución, si se suministra o no el algoritmo puesto en juego, tiempo de resolución, etc.
> El solucionador del problema:
Se incluyen aquí las características del solucionador, tales como: conocimiento teórico, habilidades cognitivas, creatividad, actitud, ansiedad, edad, sexo, etc. Igualmente se podría hablar del resolutor individual o grupal.
La autora realiza una síntesis de las pautas metodológicas para la resolución de problemas y comenta que estas son dadas al estilo de las ofrecidas por Polya en su libro "¿Cómo plantear y resolver problemas?". (Polya, 1965). reconociendo que tienen su basamento especial en la Heurística y los resume como sigue:
> Comprender el problema.
Familiarizarse con el problema. Trabajar para una mejor comprensión. El alumno debe comprender y desear resolver el problema; el problema debe escogerse adecuadamente y se debe dedicar un tiempo a exponerlo; deberá ser comprendido. Se le pedirá a los alumnos que interpreten el enunciado. También separarán la incógnita de los datos.
El alumno debe considerar las principales partes del problema atentamente, repetidas veces, y bajo diversos ángulos. Si hay alguna figura relacionada con el problema, se debe dibujar y destacar en ella la incógnita y los datos, dar nombre a dichos elementos e introducir una notación adecuada.
> Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnita. De no encontrarse relación inmediata puede considerarse un problema auxiliar. Obtener finalmente un plan de solución.
Se tiene un plan cuando se sabe, al menos a grosso modo, qué cálculos, razonamientos, o construcciones hay que efectuar para determinar la incógnita.
Se debe cambiar, transformar o modificar el problema. Determinar si puede enunciarse el problema de forma diferente.
El problema puede ser variado mediante medios específicos, tales como: la generalización, la particularización, el empleo de analogías, y el descartar una parte de las condiciones.
Si no se puede resolver el problema propuesto, se debe tratar de resolver primero algún problema relacionado con él.
> Ejecutar el plan y comprobar cada paso.
Para ejecutar el plan hace falta una serie de circunstancias: conocimientos ya adquiridos, concentración, etc.
Hace falta examinar los detalles unos tras otros, para evitar cualquier error. El profesor debe insistir en que se verifique cada paso. Lo esencial es que el alumnos este seguro de la exactitud de cada paso.
El profesor debe recalcar la diferencia entre "ver" y "demostrar".
> Examinar la solución obtenida.
Visión retrospectiva, verificar el resultado, ver si se puede obtener el resultado de forma diferente, y si se puede emplear el resultado o el método en otro problema.
Aunque el alumno haya llevado a cabo su plan y obtenido la solución es recomendable verificarla. Al reconsiderar la solución se obtiene la oportunidad de investigar las relaciones para no dar la impresión de que los problemas matemáticos no tienen relación entre sí, ni con el mundo físico.
Debe verse en qué caso si es posible utilizar de nuevo el mismo proceso de razonamiento o aplicar el resultado obtenido.
Según Schoenfeld (1989b), los principios epistemológicos de la resolución de problemas deben ser reconocidos por los estudiantes. Éstos consisten en lo siguiente:
> Encontrar la solución de un problema matemático no es el final de una empresa matemática, sino el punto inicial para encontrar otras soluciones, extensiones, y generalizaciones del problema.
> Aprender Matemáticas es un proceso activo que requiere discusiones de conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los estudiantes al desarrollo de nuevas ideas matemáticas; es necesario considerar actividades de aprendizaje que sean consistentes con los principios epistemológicos.
> La resolución de problemas es una aptitud cognitiva compleja que caracteriza una de las actividades humanas inteligentes. La teoría sistemática sobre los mecanismos de la resolución de problemas es un avance relativamente reciente de la Psicología Cognitiva.
El autor referido señala las ventajas y limitaciones de la resolución de problemas y cita:
Ventajas
> Resulta un componente importante en el estudio del conocimiento matemático.
> Posibilita desarrollar conceptos y teorías matemáticas, a partir de la propia resolución del problema.
> Contribuye a la solidez de los conocimientos.
> Contribuye al desarrollo del pensamiento lógico y creador de los alumnos.
Limitaciones
> La preparación y motivación de los alumnos para ese tipo, tan exigente, de actividad.
> El tiempo disponible para trabajar con el programa.
Se vuelve a insistir en que el eje central de la resolución de problemas es la heurística, y la necesidad de tenar en cuenta los pasos metodológicos dados anteriormente, y recomienda ser utilizados por los alumnos de forma sistemática.
Sin embargo, reconoce la dificultad en la enseñanza de la heurística el problema de saber cuándo aplicar un procedimiento determinado, dada la generalidad de las heurísticas que no aportan nada, en ciertos campos, a quien no tiene suficientes conocimientos.
Presenta, de manera general, algunos problemas que pudieran dar la idea del tratamiento de la Matemática a través de problemas que también se los ofrecemos para vuestra valoración
Ejemplos:
1-Juan tiene siete naranjas. Le da tres a María. ¿Cuántas naranjas le quedan a Juan?
Ejercicios de este tipo colocan las matemáticas en el contexto del mundo real, y la resolución de tareas que toman como modelo tales situaciones tiene, por supuesto, más relevancia que el resolver ejercicios numéricos como 7 – 3 =4
2- ¿Cuál es el valor de la suma de los coeficientes de (x+1)2003?
El elemento del problema que se debe tener claro es el binomio a una potencia determinada. La clave para resolver este problema es encontrar patrones inductivos; es decir, considerar ejemplos particulares sustituyendo consecutivamente enteros positivos en el tipo de expresión que contiene el problema y observar su comportamiento.
Al desarrollar ese binomio para los primeros casos se obtiene:
Ahora volvemos a Juan Antonio García Cruz, quién hace una interesante reflexión ante la interrogante: ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas? El cual expondré a continuación sin ninguna interrupción, pero sí llamo la atención en el interés que le presta a las acciones de ejecución y control, desde luego le faltaría adentrarse en la fase de motivación y orientación sin las cuales sería, como hemos venido valorando, imposible trabajar en las siguientes. El autor nos dice:
"Los trabajos de Schoenfeld (1985), son una búsqueda de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas, quien propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.
Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.
Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.
Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.
Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la Matemática y cómo trabajar en ella.
Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas de los resolutores reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles.
Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución.
Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las creencias.
En un lugar importante están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas.
Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.
Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo a comprender mejor el problema y a progresar hacia su solución.
Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:
Buscar un problema relacionado.
Resolver un problema similar más sencillo.
Dividir el problema en partes.
Considerar un caso particular.
Hacer una tabla.
Buscar regularidades.
Empezar el problema desde atrás.
Variar las condiciones del problema.
Sin embargo, como señala Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis:
1. Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística: señala una dirección de trabajo, se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.
2. Considerar un caso sí es un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de Polya (1962, vol 2. p.84))
3. Hacer una tabla se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas.
La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso–a–paso sino más bien un proceso titubeante.
En el proceso de resolución, Schoenfeld señala que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema.
La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.
Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolución del problema.
Son decisiones ejecutivas:
– Hacer un plan.
– Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.
– Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema.
– Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.
– Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.
Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar.
El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con el que aquí tratamos.
Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.
Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas: ¿Qué estoy haciendo? ¿Por qué lo hago? ¿Para qué lo hago? ¿Cómo lo usaré después? mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.
La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de un problema.
La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución.
Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre ellas cabe destacar:
– Inflexibilidad para considerar alternativas.
Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.
– Rigidez en la ejecución de procedimientos.
Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.
– Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.
Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?
– El efecto "túnel".
Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se esta realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de una acción.
Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason [et al.] (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heurísticas.
La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.
Un modelo para la ocupación con problema(Miguel de Guzmán, 1991, p.80)
Familiarízate con el problema
Trata de entender a fondo la situación
Con paz, con tranquilidad a tu ritmo
Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo
Búsqueda de estrategias
Empieza por lo fácil
Experimenta
Hazte un esquema, una figura, un diagrama
Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada
Busca un problema semejante
Inducción
Supongamos el problema resuelto
Supongamos que no
Lleva adelante tu estrategia
Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior
Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.
¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
Revisa el proceso y saca consecuencias de él
Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?
Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.
Mira si encuentras un camino más simple
Mira hasta dónde llega el método
Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro."
Hasta aquí las reflexiones de Juan Antonio García Cruz.
Además tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulación precisa de los mismos.
Es por ello que facilitamos una alternativa metodológica para la formulación de problemas a la luz de las transformaciones en la asignatura Matemática en secundaria básica, elaborada por una serie de autores cubanos: Lic. Iraida Fuentes Toledano. Lic. Denis Borras Pérez. Dr. Elpidio López Arias, del Instituto Superior Pedagógico "Frank País " Santiago De Cuba, que fue presentada en el evento internacional Compumat"2001.
Los cuales realizan previamente una fundamentación del por qué incluir este aspecto en la línea directriz, para luego proponer el tratamiento que debe darse a este aspecto.
Tratamiento de la formulación de problemas por los estudiantes
En los programas de matemática del primer ciclo de la educación primaria se plantea como una exigencia la preparación de los alumnos para la formulación de ejercicios con texto y problemas. Los problemas deben tener una formulación sencilla, en oraciones cortas y la pregunta debe estar expresada con claridad.
La formulación de problemas la hacen primero partiendo de ilustraciones y luego de igualdades, teniendo en cuenta modelos o situaciones dadas.
En el segundo ciclo no se declara como objetivo continuar la preparación de los estudiantes para formular problemas, ni en los libros de textos aparecen ejercicios con esta finalidad.
En la secundaria básica aparejada a las transformaciones aparece como habilidad a alcanzar por los estudiantes formular problemas, declarada en los objetivos para noveno grado y en cada una de las unidades que se tratan, si embargo, no ofrecen recomendaciones precisas ni explícitas para poder abordar satisfactoriamente este propósito y garantizar la debida contribución al desarrollo del pensamiento creador, al razonamiento y la independencia cognoscitiva.
Somos del criterio de que a pesar de ser una dirección de trabajo relativamente nueva y poca bibliografía, por la significación importancia que tiene, dada su contribución al desarrollo intelectual y de la personalidad del alumno, así como el aporte que brinda a la formación matemática en particular, es necesario que se profundice en esta línea de trabajo con vista a lograr el cumplimiento objetivo de los fines que persigue su inclusión en noveno grado de la enseñanza general media; ofreciendo orientaciones precisas para su tratamiento. Las ideas expuestas en este trabajo, consideramos puede contribuir a lograrlo.
La formulación de problemas debe ocupar un espacio en la Didáctica de la Matemática, en el tratamiento de la situación típica "Ejercicios con Textos y de Aplicación ", y brindar orientaciones precisas para su tratamiento como aparece para la resolución de problemas, con este fin brindamos las siguientes consideraciones metodológicas.
El proceso de formulación de problemas tiene dos fases esenciales:
_ Ejercicios Preparatorios
_ Elaboración de Problemas
Fase de ejercicios preparatorios
Las actividades preparatorias para la formulación de problemas, es necesario que se inicien desde séptimo grado. Mediante ellas los alumnos deben familiarizarse con los elementos estructurales de un problema, actividades que estarán en correspondencia con los objetivos y contenidos propio de cada grado; así los alumnos podrán identificar en un problema dado, la pregunta, los datos y las condiciones.
Algunas de esas actividades pueden ser las siguientes:
_ Ejercicios destinados a señalar los datos, la pregunta y las condiciones del problema.
Esta actividad puede realizarse en la clase donde se presenta el sistema de problemas a resolver en cada una de las clases del sistema, donde el alumno debe identificar cada uno de estos elementos estructurales.
_ Análisis crítico de textos de problemas.
El alumno debe desarrollar un carácter crítico ante el análisis de textos de problemas. Para ello deben presentárseles problemas cuyos textos se hallen incorrectamente redactados (situaciones y datos absurdos), o los datos que en ellos se ofrecen resulten insuficientes o adicionales para solucionar los problemas. La actividad consiste en determinar de forma crítica las posibles incorrecciones.
_ Reformulación de problemas.
Derivada de la actividad anterior la acción de los alumnos debe ir dirigida al perfeccionamiento del texto del problema y al completamiento de los datos en caso de ser necesario.
Otras actividades preparatorias pueden ser:
– Proponer la elaboración de otras preguntas a partir de un problema dado.
Dado los datos, las condiciones y la pregunta, vincularlos adecuadamente mediante la narración de un hecho, formulando de esta manera el problema.
EJEMPLO:
Plan de producción diaria: 90 latas de café
Producción del 20 de septiembre: 85,5 latas de café. ¿Cuál fue el por ciento de latas de café recogidas ese día?
Dado los datos y las condiciones elaborar la(s) pregunta(s) y vincula los elementos de la estructura mediante una narración, formulando el problema.
EJEMPLO:
Plan de producción diaria: 90 latas de café
Producción del 20 de septiembre: 4,5 latas de café menos que las que se produjeron diariamente.
Dado los datos, elabora las condiciones, o sea establece las relaciones matemáticas deseadas, elabora la pregunta, vincula los elementos de la estructura de un problema, formulándolo de esta manera, mediante una narración.
EJEMPLO:
90 latas de café. 60 alumnos
Dada la pregunta, el alumno busca los datos y las condiciones, establece los vínculos entre los elementos de la estructura del problema, quedando formulado.
EJEMPLO:
¿Cuál es el área del autoconsumo de la escuela? ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercarlo?
Esta propuesta de actividades contribuye a que los estudiantes se entrenen en el reconocimiento y utilización de los elementos estructurales de un problema; así como los prepara para enfrentar de manera independiente esta tarea.
Fase de elaboracion de problemas
En cuanto a la fase de elaboración de problemas, es racional y efectivamente posible para su tratamiento metodológico considerar los siguientes pasos:
_ Recopilación de datos
_ Establecimiento de relaciones matemáticas deseadas con los datos
_ Formulación del problema
_ Comprobación de la formulación del problema
Como parte de la comprobación también, el problema debe ser resuelto por el que lo elabora y por otras personas.
Una forma de comprobar la formulación independiente de problemas por parte de los alumnos es entregando a un compañero el problema formulado por otro, con el fin de que este lo valore y de ser necesario haga las correcciones pertinentes y lo resuelva.
A modo de ejemplo presentamos a continuación el tratamiento metodológico de la formulación de un problema que conlleva al planteamiento de una ecuación de segundo grado, señalando las actividades del profesor(P) y los alumnos(A), como transcurriera en el marco de una clase.
P:_ ¿Cuál es el modelo matemático a que debe conducir al problema?
A:_ El problema debe conducir a una ecuación cuadrática.
P:_ ¿Qué características tienen los problemas tratados en clases que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado?
A:_ Son problemas relacionados con áreas de figuras geométricas, fórmula física de velocidad, etc.
P:_ ¿De acuerdo con lo que tengo en la comunidad cuál de las variantes puedo utilizar? ¿Qué temática tratar?
A:_ Puede ser sobre áreas de figuras geométricas porque en la zona donde vivo hay organopónicos que tienen forma rectangular y estos tienen gran importancia en la agricultura urbana.
P:_ ¿Conocen las dimensiones del organopónico? , ¿ Pueden calcularse?
A:_ El organopónico de forma rectangular tiene 78,0 m de largo y 45,0 m de ancho.
P:_ ¿Qué magnitudes darían u cuáles pedirían?
A:_ Como el problema tiene que conducir a una ecuación de segundo grado puede pedirse las dimensiones del organopónico y dar su área.
P:_ ¿Se conoce el área? ¿Puede calcularse?
A:_ Sí, el área del organopónico es de 33375 m2
P:_ ¿Cómo expresar la longitud de largo y el ancho?
A:_ Una de estas magnitudes (largo o ancho) debe ser desconocida y la otra relacionarla con ella.
P:_ Consideremos desconocido el ancho. ¿Qué relación plantear entre el largo y el ancho? ¿Qué palabras claves utilizar?
A:_ Si el largo mide 78,0 m y el ancho 25,0 m. Entonces 78 = 3 . 25 + 8, entonces las palabras claves pueden ser: triplo, excede, aumentado, tres veces, etc.
P:_ ¿Cómo expresar estas relaciones utilizando el lenguaje común?
A:_ El largo del organopónico es el triplo del ancho aumentado en 8.
P:_ ¿Qué datos tenemos? ¿Puede ya elaborarse un problema?
A:_ Tenemos un organopónico de forma rectangular, su área y la relación entre su largo y el ancho.
P:_ Expresen estos datos en un texto adecuado.
A:_ Fomentando la agricultura urbana, en el distrito José Martí se han creado organopónicos uno de los ubicados en Micro 9, tiene forma rectangular y su largo es el triplo del ancho aumentado en 8,0 m. Si la superficie del mismo es de 3 375 m2. ¿Cuáles son las dimensiones del organopónico? y ¿Cuántos metros de cerca se necesitan para cercarlo completamente?
Finalmente él realiza las preguntas de comprobación correspondientes a este paso, y orienta a los alumnos resolver el problema.
La estructuración de la formulación de problemas siguiendo estos pasos brinda a los estudiantes un modelo con carácter heurístico para su proceder de manera independiente.
Todo lo cual les permitió arribar a las siguientes conclusiones.
La formulación de problemas por estudiantes, es un proceso cognoscitivo, a través de su dirección eficiente por parte de los docentes se contribuye al cumplimiento de los objetivos formativos propuestos para el nivel medio.
Las actividades de formulación de problemas deben partir de acciones previas, que constituyen la etapa propedéutica en que los alumnos se entrenan para lograr el objetivo deseado, mediante las actividades iniciales propuestas con ese fin.
Los pasos propuestos para enseñar a los estudiantes a formular problemas, así como los impulsos correspondientes a cada paso, entrenan al alumno en esta actividad llegando a trabajar de forma independiente.
El proceder metodológico brindado, constituye para el profesor un instrumento general de dirección y para el alumno el fundamento para su orientación en el trabajo de formulación de problemas matemáticos.
Recopilar datos
La recopilación de datos abarca la selección de la temática a tratar, si no ha sido dada, sobre situaciones prácticas de carácter político, económico, ideológico, científico y ambiental de la comunidad, provincia, país, etc; así como la búsqueda de datos relacionados con la temática escogida.
Para establecer relaciones matemáticas deseadas con los datos, hay que tener en cuenta el modelo matemático a utilizar y los datos seleccionados para buscar relaciones que permitan su planteamiento.
La formulación de problema, abarca la redacción del texto del mismo , para lo que debe contextualizarse las relaciones encontradas; es decir relacionar los elementos estructurales de un problema en una temática.
Finalmente en la comprobación de la formulación del problema se debe comprobar si ésta es correcta, valorando:
Correspondencia entre las relaciones matemáticas y su expresión en el lenguaje común
– Si se utilizó adecuadamente la lengua materna y el vocabulario técnico
La veracidad de la información que brinda el texto del problema
Geometría y trabajo con magnitudes
En este aspecto les recomiendo adentrarse en una teoría que, de tenerse en cuenta su aplicación en el proceso de enseñanza – aprendizaje vinculado con la teoría de Galperín y perfeccionado por otros como Talízina, de la formación por etapa de las acciones mentales, se lograrían avances en el tratamiento de la Geometría. Nos estamos refiriendo al modelo de Van Hiele para el desarrollo del pensamiento geométrico en los alumnos.
¿En qué consiste el Modelo de Van Hiele?
El modelo de Van Hiele (Proviene de sus creadores los profesores Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele Geldof) está formado por dos partes: La primera de ellas es descriptiva, donde se identifica una secuencia de tipos de razonamiento, llamados "niveles de razonamiento" , a través de los cuales progresa la capacidad de razonamiento de los individuos desde que inicia el aprendizaje hasta que llegan a su máximo grado de desarrollo intelectual . La otra parte del modelo aporta a los profesores directrices sobre cómo pueden ayudar a sus alumnos para que puedan alcanzar con más facilidad un nivel de superior de razonamiento, estas directrices se conocen con el nombre de "fases de aprendizaje".
Realicemos una breve descripción de ambas partes e ilustraremos estas para que puedan comprender mejor los dos componentes del modelo.
Los niveles de razonamiento
Nivel 1 (de reconocimiento)
Es el nivel más elemental de razonamiento, típico de preescolar y primeros cursos de Enseñanza General Básica. No obstante no es exclusivo suyo; en realidad, cada vez que se presente a los estudiantes algún concepto geométrico nuevo, éstos va a pasar por el nivel 1, aunque a veces este paso sea muy rápido.
Los estudiantes perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como unidades, pudiendo incluir atributos irrelevantes en las descripciones.
Perciben las figuras como objetos individuales, es decir no son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de la misma clase.
Los estudiantes se limitan a describir el aspecto físico de las figuras, los reconocimientos, diferenciaciones o clasificaciones de las figuras que realizan se basan en semejanzas o diferencias físicas globales entre ellas.
En muchas ocasiones las descripciones de las figuras están basadas en su semejanza con otros objetos (no necesariamente geométricos) que se conocen; suele usar frasea como "… se parece a…", "… tiene forma de …", etc.
Los estudiantes no suelen reconocer explícitamente las partes de que se componen las figuras, ni sus propiedades matemáticas.
Nivel 2 (de análisis)
Este nivel se diferencia del nivel anterior, lo cual podrán apreciar a través de las características que se enumerarán a continuación, ya los estudiantes tendrán otra forma de mirar la las figuras geométricas, ya son conscientes de que pueden estar formadas por elementos y de que son portadoras de ciertas propiedades.
Otro avance importante respecto al nivel 1, está en la capacidad para reconocer que las figuras concretas que están manipulando son (o pueden ser) representantes de unas familias. Este nivel es el primero que puede decirse ofrece un razonamiento "matemático" pues es el primero en el que el estudiante puede descubrir y generalizar (necesariamente a partir dela observación y la manipulación) propiedades que todavía no conocían, aunque utilicen estas propiedades de una figura como si fueran independientes entre sí.(Ejemplo no relacionarían la existencia de ángulos de 900, la perpendicularidad o el paralelismo de lados).
Los estudiantes se dan cuenta de que las figuras geométricas están formadas por partes o elementos y de que están dotadas de propiedades matemáticas, pueden describir las partes que integran una figura y enunciar sus propiedades, siempre de manera informal.
Además de reconocer las propiedades matemáticas mediante la observación de las figuras y sus elementos, los estudiantes pueden deducir otras propiedades generalizándolas a partir de la experimentación.
Sin embargo, no son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que no pueden hacer clasificaciones lógicas de figuras basándose en sus elementos o propiedades.
Nivel 3 (de clasificación)
Comienza la capacidad de razonamiento formal (matemático) de los estudiantes, ya son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de descubrir esas implicaciones, en particular, pueden clasificar lógicamente las diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. (sus razonamientos siguen apoyándose en la manipulación).
Pueden describir una figura de manera formal, es decir pueden dar definiciones matemáticamente correctas, comprenden el papel de las definiciones y los requisitos de una definición correcta.
Si bien los estudiantes comprenden en los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal, los ven de forma aislada, ya no comprenden la necesidad del encadenamiento de estos pasos ni entienden la estructura de una demostración: entienden la demostración explicada por el profesor o desarrollada en el libro de texto, pero no son capaces de construirla por sí mismos.
No comprenden la estructura axiomática de las matemáticas.
Nivel 4 (de deducción formal o rigor)
En este nivel se logra la plena capacidad de razonamiento lógico matemático y al mismo tiempo, la capacidad para tener una visión globalizadora del área que se está estudiando.
Los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales; las demostraciones (de varios pasos) ya tiene sentido para ellos y sienten la necesidad como único medio para verificar la veracidad de la afirmación.
Pueden comprender la estructura axiomática de las matemáticas, el sentido y la utilidad de términos no definidos, axiomas, teoremas, …
Aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultado desde diferentes premisas (existencia de demostraciones alternativas del mismo teorema), la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto, …
Principales características de los niveles
1. Jerarquización y secuencialidad de los niveles.
Cada nivel se apoya en el anterior, tiene una estructura recursiva, por lo que se deben plantear tareas que impliquen la sistematización constante de los niveles de razonamientos precedentes. No se puede alcanzar un nivel de razonamiento sin antes haber superado el nivel inferior.
2. Hay una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles.
Las diferentes capacidades de razonamiento asociadas a los cuatro niveles no se reflejan en la forma de resolver los problemas propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a determinado vocabulario. (ejemplo a la palabra demostrar) Por lo que a cada nivel le corresponde un tipo de lenguaje específico.
3. El paso de un nivel a otro se produce de manera continua.
El paso de un nivel a otro se produce de manera gradual y durante algún tiempo el estudiante se encontrará en un período de transición en el que combinará razonamientos de un nivel y de otro.
Generalmente se plantea por los investigadores que han desarrollado esta teoría en la práctica que en la enseñanza secundaria básica sólo se logra alcanzar hasta el nivel tres, con lo cual coincidimos atendiendo a las características descritas.
Pasemos a analizar ahora las fases del modelo de Van Hiele.
Fases del modelo de Van Hiele
1ra fase: Información. Se trata de una fase de toma de contacto donde se informa al alumno el campo de estudio en el que se va trabajar, los tipos de problemas que se abordarán, con qué materiales van a trabajar y de motivación. Aquí existirá un trabajo de intercambio con el estudiante posibilitándole al docente saber el nivel en que se encuentran, los conocimientos previos sobre el tema.
2da fase: Orientación dirigida. Tiene como objetivo fundamental que los alumnos descubran, comprendan y aprendan, conceptos, propiedades de figuras, entre otros aspectos, apoyándose en los materiales facilitados por el docente. Por lo que se les deben proponer tareas dirigidas hacia estos aspectos y debidamente graduadas en un orden progresivo.
3ra fase: Explicitación. Tiene como finalidad que los estudiantes socialicen sus resultados, intercambien, se autovaloren, covaloren. Aquí los alumnos realizan revisión del trabajo hecho antes, ponen a punto las conclusiones a las que arriban y perfeccionan la forma de expresarse.
4ta fase: Orientación libre. Los alumnos aplican los conocimientos y lenguaje que acaban de adquirir a situaciones diferentes a las anteriores. Aunque conocen el campo de estudio deben perfeccionar éste, para ello el docente debe plantearles problemas que tengan varias soluciones. Las tareas deben contemplar la utilización y combinación de los nuevos conceptos, propiedades y formas de razonamiento. Algunos problemas de esta fase deben presentar situaciones nuevas, ser abiertos, con varios caminos.
5ta fase: Integración. Aquí deben proponerse tareas que le posibiliten al estudiante aplicar los nuevos conocimientos y combinarlos con otro aprendidos anteriormente, se trata de condensar todo lo aprendido, propiciando comprensiones globales dentro del todo lo conocido hasta el momento.
Si estos elementos teóricos son combinados con la teoría de la actividad (motivación, orientación, ejecución y control) y la concepción de Galperín, Talízina y otros investigadores sobre el desarrollo por etapas de las acciones mentales se podría asegurar un avance sobre bases científicas, para el desarrollo del pensamiento geométrico de nuestros alumnos.
A continuación mostramos ejemplos de actividades concebidas por unos colegas españoles donde se emplean estos niveles y fases en el tratamiento de los cuadriláteros, de manera que ilustran lo que teóricamente expusimos con anterioridad.
Según Corberán, R. [et.-al.] (1994), las actividades se restringen al completamiento del nivel 2 y a garantizar el tránsito al nivel 3 dado que en la etapa de diagnóstico se arrojó que para este contenido ya los alumnos habían vencido el nivel 1.
Ejemplo con cuadriláteros
NIVEL 2
Fase de Información
Tarea .
Observa detenidamente coda una de las figuras siguientes. Indica aquellas que no son cuadriláteros. Diga en qué se basa para cada caso.
Fase de orientación dirigida.
Tarea .
Observa detenidamente la colección de cuadriláteros y determina qué propiedades y características poseen. Confecciona una lista con todas ellas.
El objetivo será analizar los diferentes cuadriláteros con el fin de confeccionar un listado de propiedades. La relevancia o no de las características o propiedades, inicialmente, no será lo importante. Lo verdaderamente importante será que aporten el mayor número de ellas.
Se ordenará confeccionar fichas con las propiedades, de manera que puedan obtener una ordenación de las propiedades del tipo:
Fase de orientación libre.
¿De qué cuadrilátero se trata?
Para cada propiedad enunciada, dibuja todos los cuadriláteros que la cumplan.
1- Con lados paralelos dos a dos.
2- Con cuatro ángulos rectos.
3- Con un solo par de lados paralelos.
4- Con diagonales de igual longitud.
5- Con diagonales que se cortan en sus puntos medios.
Embaldosados.
¿Con qué cuadriláteros podemos recubrir el plano?
Diagonales
¿Qué relación encuentras entre las distintas longitudes de las diagonales y los distintos tipos de cuadriláteros?
Transformar.
Para transformar un rombo en un cuadrado, ¿qué propiedades cambiarías?¿y un paralelogramo en un rectángulo?
Cálculo de medidas.
Calcula la medida de los ángulos de un rombo si el ángulo obtuso mide 108 grados.
Fase de Integración.
Aquí el trabajo tendrá como objetivo la recogida y ordenación de propiedades.
Se incluirán actividades como las siguientes:
Y cuestiones como las que siguen:
¿Qué cuadriláteros cumplen que sus diagonales se cortan perpendicularmente y en su punto medio?
Dibuja todos los cuadriláteros que tengan sus cuatro lados iguales.
¿Qué cuadriláteros tienen dos ángulos agudos y dos obtusos?
¿Cómo le describirías verbalmente a un amigo un trapecio isósceles?
NIVEL 3
Fase de Orientación Dirigida.
Tarea 1.
Agrupa las fichas de cartulina que contengan las propiedades que posee el rectángulo.
¿Podríamos eliminar algunas de estas fichas de manera que el rectángulo quedase bien caracterizado?
En esta tarea se pretende el análisis de las propiedades relevantes e irrelevantes que nos llevará a una definición de rectángulo. El procedimiento usado se repetirá para cada uno de los tipos de cuadriláteros.
Tarea 2.
Completa las tablas siguientes esbozando cuadriláteros que verifiquen simultáneamente las características que se indican:
Al utilizar en esta tarea tablas de doble entrad estaremos propiciando un estudio sistematizado de la relación entre dos propiedades como paso previo a tareas de clasificación.
Tarea 3.
Completa las siguientes proposiciones:
Si los cuatro lados son iguales los lados opuestos son _________________
Si las diagonales son iguales entonces sus lados son __________________
Si tienen dos ángulos (opuestos) rectos los lados son __________________
Con estas proposiciones se analizan relaciones de implicación.
Tarea 4.
Cada casilla de intersección de una fila y una columna. Anota en cada casilla las propiedades comunes a los cuadriláteros de las correspondientes fila y columna.
El objetivo de esta tarea, es propiciar en los alumnos la realización de clasificaciones inclusivas. En el desarrollo de la misma nos parece interesante formular explícitamente cuestiones como:
¿Un cuadrado es un rectángulo?
¿Un rectángulo es un cuadrado?
Los cuadrados, ¿son rombos? ¿y viceversa?
¿Un rectángulo es un paralelogramo?
Los paralelogramos, ¿son trapecios?¿y viceversa?
Tarea 5.
Completa las siguientes proposiciones, eligiendo y justificando la respuesta que das:
"Lados paralelos dos a dos implica ______________"
Lados a) congruentes b)no congruentes c)congruentes dos a dos.
Busca contraejemplos si es necesario.
¿Es cierto el recíproco?
"Pares de lados paralelos dos a dos implica ______________"
Ángulos a) iguales b)desiguales dos a dos c)opuestos iguales dos a dos
Busca contraejemplos si es necesario.
¿Es cierto el recíproco?
Se persigue el establecimiento de condiciones necesarias y suficientes.
Fase de orientación libre.
Problema
En la figura, O es el centro de la circunferencia. El cuadrilátero OCBA es un rectángulo, donde OA = 5 y AP = 1. ¿Cuánto mide CA?. Razona la respuesta.
Definiciones.
Justifica que cualquiera de las tres definiciones siguientes caracterizan a un cuadrado:
Un cuadrado es un paralelogramo con un ángulo recto y con diagonales perpendiculares.
Un cuadrado es un rombo con diagonales de igual longitud.
Un cuadrado es un rectángulo con lados de igual longitud.
Fase de integración.
Se propone realizar un análisis reflexivo de las proposiciones ya estudiadas en las fases anteriores que relacionan propiedades y la equivalencia entre ellas.
El vínculo de las tres áreas de la Matemática
Otro elemento importante a tener presente en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática es el vínculo de las tres áreas que para el caso de nuestros programas constituyen esenciales: Aritmética, Álgebra y Geometría.
La orientaciones precisan que es necesario que toda actividad que se diseñe, siempre que sea posible vincule las tres áreas para hacer ver a los alumnos que la Matemática es una sola independientemente que se estructure o se le de un orden para su estudio. De esta manera siempre que se busque una situación problémica par enfrentar el nuevo contenido realizarlo con la óptica que permita el vínculo de las tres áreas.
EJEMPLO:
Plantear problemas, siempre que sea posible, con características similares a este:
Un IPA de la provincia está responsabilizado con la producción de 6 cab. de tierra. Si la cantidad que faltan por sembrar es el doble de las sembradas, ¿qué cantidad de tierra tiene disponible para la siembra?.
Si el terreno que falta por sembrar tuviera forma rectangular, determina posibles estimaciones del largo y el ancho del mismo.
En este ejemplo se verifica la integración entre las tres áreas porque necesita apoyarse en el Álgebra para resolver la situación inicial. (cantidad de tierra que no se ha sembrado).
Como aparece una sola variable es necesaria una sola ecuación que se encuentra a partir de que si a la cantidad de caballerías sembradas le adicionamos la cantidad que falta por sembrar se obtiene el total de tierra que tiene el IPA bajo su responsabilidad (6 cab), o sea, x + 2x = 6 de donde se obtiene que la cantidad de tierra que falta por sembrar es 4 cab.
Pero el problema no termina, para resolver la segunda situación debemos apoyarnos en los conocimientos de Geometría. Si el terreno tuviera forma rectangular , donde se debe tener en cuenta la relación de inclusión del cuadrado como un caso particular, su área se determina multiplicando el largo por ancho.
La Aritmética se utiliza en reconocer que si el área es 4 y se encuentra multiplicando sus dimensiones, entonces lo que se busca son parejas de números que multiplicados su producto sea 4: (4;1), (2;2), (8;1/2), (12; 1/3), (7; 4/7), (19;4/19), entre otros que se pueden generalizar utilizando el Álgebra y planteando: toda pareja de números que tenga la forma (4a; 1/a) o la forma (a; 4/a) su producto es 4, o sea: 4a· 1/a = 4 ó a · 4/a = 4.
De ahí que en la segunda situación del problema se puedan realizar infinitas estimaciones para el largo y el ancho.
Aquí también se propicia el trabajo con el sistema internacional de unidades, solicitando la conversión a otras unidades.
El uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas
El desarrollo de métodos y materiales nuevos se han incrementado notablemente en las últimas décadas, siendo la enseñanza asistida por computadoras las más sobresalientes de ellas (Vaquero A. Y Chamizo C.F., 1987) Es un hecho real que en el mundo de hoy hay actualmente unos potentes programas de software de matemáticas, que corren sobre PCs, que se manejan por medio de interfaces cada vez más sencillas y son utilizados para aprender o hacer matemáticas y para resolver profesionalmente problemas.
La historia del uso de las computadoras en la educación se inicia al final de los años 50, aunque en esa época algunas universidades las utilizaban con propósitos administrativos. De manera aislada surgieron grupos que realizaban investigaciones relacionadas con el empleo de la computadora en el proceso de enseñanza. Surgió entonces, en la década de los 60, una tendencia pedagógica de nominada Tecnología Educativa donde el centro de su interés consistía en elaborar una"tecnología de la instrucción" similar al concepto de la tecnología de la producción material, por ello, la atención se dirigió a los métodos y medios más que a los contenidos.
Las primeras aplicaciones para la enseñanza desarrolladas en computadoras tuvieron, desde el punto de vista de las teorías del aprendizaje, su base científica en el conductismo. Las generaciones siguientes de aplicaciones para la enseñanza desarrolladas en computadoras recibieron la influencia de la Psicología Cognitiva y la Inteligencia Artificial surgiendo así una nueva generación de software educativos denominada "Instrucción Inteligente Asistida por Computadoras". (Rodríguez, C. E y otros, 2002)
Según Antonio Vaquero (1987), el uso de la computadora en sus diversas modalidades ofrecen, sobre otros métodos de enseñanza, ventajas tales como:
Participación activa del alumno en la construcción de su propio aprendizaje
Interacción entre el alumno y la máquina
La posibilidad de dar una atención individual al estudiante
La posibilidad de crear micro mundos que le permiten explorar y conjeturar
Permite el desarrollo cognitivo del estudiante
Control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el alumno
A través de la retroalimentación inmediata y efectiva, el alumno puede aprender de sus errores.
¿Cuán sería el comportamiento ante esta problemática en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática?
" La Educación Matemática tiene el reto ineludible de sintonizar con el mundo nuevo. Eso quiere decir usar de manera normal los nuevos medios, aceptando calculadoras y computadoras y abandonando quizás unos modelos unidos a la computación manual o a la descripción cuantitativa del mundo físico para poder entender unos modelos más unidos a problemas de la información, análisis más cualitativos, etc." … "Nuestra educación debe irse conservando y actualizando lo que siempre será válido, pero debe abrir las puertas a las nuevas tendencias."(Alsina, 1996)
"Aunque la tecnología no es la solución a los problemas de la enseñanza – aprendizaje de las Matemáticas, hay indicios de que ella se convertirá paulatinamente en un agente catalizador del proceso de cambio en la Educación Matemática. Gracias a las posibilidades que ofrece de manejar dinámicamente interactivos, la tecnología abre espacios para que el estudiante pueda vivir nuevas experiencias matemáticas (difíciles de lograr por medios tradicionales como el lápiz y el papel), en las que él puede manipular directamente los objetos matemáticos dentro de un ambiente de exploración. Estas experiencias matemáticas son fructíferas siempre que se tenga en cuenta la complejidad del contenido matemático a enseñar, la complejidad de los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas y el papel fundamental que deben jugar los diseñadores del currículo y los profesores en el diseño e implantación de situaciones didácticas que , teniendo en cuenta las dificultades y necesidades de los estudiantes, aprovechen la tecnología para crear espacios en los que el estudiante pueda construir un conocimiento matemático más amplio y más potente. El principal aporte de la tecnología consiste en que la interacción entre el profesor y el estudiante está cambiando la visión que los actores tienen del contenido matemático y del proceso didáctico."(Gómez, 1997)
En los Estándares Curriculares del National Council of Teachers of Mathematies. (NCTM) se ha venido planteando desde hace varios años lo referido a la incorporación de las nuevas tecnologías a la enseñanza de las Matemáticas.
Ya desde 1990, estos estándares indican que en todas las aulas debiera existir una computadora con fines ilustrativos, que todos los estudiantes debieran tener acceso a una computadora para trabajar individualmente y en grupo y que los estudiantes debieran aprender el manejo de la computadora como herramienta para procesar información y realizar cálculos en las investigaciones y resoluciones de problemas. Señalan además que la nueva tecnología no solo ha hecho más fáciles los cálculos y la elaboración de gráficas sino que también ha cambiado la naturaleza misma de los problemas que interesan a la Matemática y los métodos que usan los matemáticos para investigarlos.
En la versión 2000, plantean el tema desde tres puntos de vista bien diferenciados: el principio de la tecnología, la posibilidad que ofrece la tecnología de ampliar el aprendizaje de la matemática y cómo la tecnología influye en qué matemática se debe enseñar.
El principio de la tecnología: Las tecnologías electrónicas son herramientas esenciales para enseñar, aprender y hacer matemáticas. Proporciona imágenes visuales de ideas matemáticas, facilita la organización y análisis de datos y realiza cálculos eficientemente y con exactitud. soporta investigaciones de los alumnos en todas las áreas de la matemática. La existencia, versatilidad y poder de la tecnología exige reexaminar tanto qué matemática deben aprender los estudiantes como de qué manera pueden aprenderla mejor.
La tecnología amplía el aprendizaje de la Matemática: Con calculadoras y computadoras los alumnos pueden examinar más ejemplos o formas de representación que las posibles de realizar a mano, por lo tanto pueden hacer y explorar conjeturas fácilmente. El poder gráfico de las herramientas tecnológicas dan acceso a modelos gráficos que son más poderosos pero que muchos alumnos son incapaces o están imposibilitados de generar independientemente. La capacidad computacional de las herramientas tecnológicas extiende el rango de problemas accesible a los alumnos y además le permite ejecutar procedimientos rutinarios rápidamente y con exactitud, permitiendo así más tiempo para la modelación y la conceptualización.
La tecnología influye en qué Matemática es enseñada: La tecnología no solo influye en cómo la Matemática es enseñada y aprendida. Con la tecnología a mano, los jóvenes pueden explorar y resolver problemas que involucran grandes números o pueden investigar características de figuras usando software dinámico de Geometría. Los alumnos de la escuela elemental pueden organizar y analizar grandes conjuntos de datos. Alumnos de los grados medios pueden estudiar relaciones lineales y las ideas de recubrimientos y cambio uniforme con representaciones por computadoras y realizando experimentos físicos con sistemas de laboratorios.
Son diversos los usos que se le ha dado a la computadora en la enseñanza de la matemática, algunos con mayor efectividad que otros, pero todos contribuyentes a enriquecer el proceso de aprendizaje. Entre ellos tenemos:
COMPUTADORA COMO PIZARRÓN ELECTRÓNICO
El uso de la computadora como pizarrón electrónico podemos enmarcarlo dentro de la modalidad Computador como herramienta.
Para que tanto docentes como estudiantes puedan utilizar la computadora como pizarrón electrónico, se requiere de un diseño de software especial. Su objetivo principal es escribir, dibujar y calcular con el fin de mostrar e ilustrar conceptos. Se pueden mostrar procedimientos en detalle o evitar cálculos tediosos. Generalmente, en esta aplicación hay un solo computador en el aula el cual se utiliza para hacer la demostración a todos los estudiantes.
COMPUTADORA COMO TUTOR
Esta es una de las modalidades más utilizadas en Matemática debido, a que ayudan a solucionar algunos problemas educativos tales cómo:
Numerosa población estudiantil que impide la atención de las diferencias individuales
El alto índice de fracasos debido a la falta de uniformidad en el desarrollo cognitivo de los integrantes de los grupos
Falta de motivación hacia el estudio de la materia
La posibilidad de una rápida actualización de los materiales educativos
Falta de instrucción de alta calidad, accesible a gran escala
En Matemática, se han aplicado desde los más rudimentarios tutores lineales** hasta los más sofisticados tutores inteligentes. "Algunos de ellos, técnicamente muy bien realizados, con diseños de pantallas sumamente atractivos, pero con objetivos restringidos que llevaban únicamente a la mecanización. Otros, la mayoría realizado por investigadores en educación matemática, con diseños de pantallas que no llegan a competir en espectacularidad pero que consideran elementos valiosos de análisis de errores y experimentación" (Hit, 1991).
PARA EJERCITACIÓN Y PRÁCTICA
Esta modalidad es la más aplicada en Matemática, debido a la naturaleza misma de la materia. Según Galvis (Galvis,1986), esta modalidad permite reforzar las dos fases finales del proceso de instrucción: aplicación y retroinformación, utilizando la técnica de repetición. A través de este tipo de software el alumno puede complementar el estudio comprensión de conceptos a los que el profesor no podrá dedicarle más tiempo en el aula.
Para que esta modalidad realmente sea efectiva, previo al uso de un software de este tipo, el estudiante ha debido adquirir los conocimientos de conceptos y destrezas que va a practicar.
En Matemática es importante que el software contemple no solamente la práctica sino que proporcione al estudiante ayuda en la solución de los problemas y brinde una retroinformación completa, sin limitarse a indicar que se ha cometido un error, sino brindando información acerca del tipo de error.
EN LA SIMULACIÓN
La simulación de fenómenos naturales con el uso de la computadora la convierten en un elemento importante en educación. Debido a que los softwares de este tipo apoyan el aprendizaje por descubrimiento, en matemática son utilizados con gran frecuencia para propiciar el establecimiento de reglas y demostración de proposiciones y teoremas.
Una de las cualidades que posee este tipo de software es el alto grado de motivación que logra en el aprendiza a través del ensayo y error (orientado por el profesor) que le permite descubrir cosas que posteriormente confirma son correctas y fueron descubiertas por brillantes matemáticos quizás algunos siglos atrás.
Con la ayuda del simulador y la orientación del profesor, el alumno descubre cosas que fijará en su estructura cognitiva de manera más natural que si le son proporcionadas en clases sólo para que las entienda y las recuerde para luego aplicarlas. Esta herramienta permite al estudiante ir construyendo un puente entre las ideas intuitivas y los conceptos formales.
La autora también incluye otros dos aspectos que entendemos no son necesarios agregarlos aquí atendiendo a nuestros propósitos.
¿Cuál es el rol del profesor ante la incorporación de la nuevas tecnologías en las clases de Matemática?
Una manera simplificada de realizar una representación de cómo se da en el proceso docente educativo, la relación Profesor, la Tecnología Educativa y el Alumno(a), es viendo a estos, formando los vértices de un triángulo PTA.
Durante 500 años, el libro, la pizarra y el laboratorio o taller han sido la tecnología educativa, los instrumentos de los que el profesor en persona se auxiliaba para montar sus procesos de transmisión de ideas y conocimientos o de desarrollar habilidades en el alumno(a). Al ir cambiando la tecnología se alteran inevitablemente las relaciones bi-direccionales, de modo que se hace imprescindible rediseñar el proceso docente educativo y montar unas nuevas relaciones, donde se tengan en cuenta el cambio y las potencialidades de las nuevas tecnologías educativas, para mantenernos a la altura del tiempo que nos ha tocado vivir y prepara a los estudiantes para enfrentar esa realidad y resolver los problemas que se les presentarán. Desde luego implicará también el cambio de roles que uno u otro han venido desarrollando dentro del proceso.
En el uso de las computadoras para la enseñanza de la Matemática, se presentan dos alternativas que tienen implicación pedagógicas y económicas diferentes. Una es el aula de computadoras (lo que denominamos laboratorio de computación), donde van los alumnos a trabajar con programas. Otra es una computadora con proyector en el aula, donde esta se convierte en una herramienta integrada en el desarrollo de la clase a la que se puede acceder cuando haga falta, utilizándola como herramienta principal o accesoria.
Independientemente de la forma de uso de la tecnología adoptada por el docente, tanto los estándares curriculares como los contenidos básicos comunes y muchos autores, coinciden en que el uso efectivo de la tecnología en la clase de Matemática dependen del docente, que la tecnología no es una panacea, que como toda herramienta de enseñanza, se puede usar bien o pobremente y, por sobre todo, que los docentes deben usar la tecnología para mejorar las oportunidades de aprendizaje seleccionando o creando tareas matemáticas que tomen en cuenta las ventajas que la tecnología ofrece para resolverlas en forma más eficiente (graficar, visualizar, calcular).
Por otra parte también coinciden en que la tecnología no remplaza al profesor de Matemática sino que los docentes juegan importantes roles en la clase, tomando decisiones que afectan el aprendizaje de los alumnos de forma que puedan vivir experiencias que aporten a la construcción o reconstrucción de su conocimiento matemático. Los docentes deben decidir cuándo y cómo va a ser utilizada la tecnología. Por otro lado, cuando los alumnos utilizan computadoras, los docentes tienen la oportunidad de observarlos y focalizar su atención en sus razonamientos ya que cuando los alumnos trabajan con tecnología, muestran formas de pensamiento matemático que de otra manera no son observables. Así la tecnología ayuda en la evaluación, permitiendo a los docentes examinar el proceso usado por los alumnos. (M. Astiz [et-al], 2002)
"El profesor como el alumno, al enfrentarse a estas nueva situaciones puede construir una nueva visión del contenido matemático, del proceso de enseñanza – aprendizaje y del papel que cada uno de ellos puede jugar en la construcción del conocimiento" (Gómez, 1997)
En nuestro país, parte de estas exigencias ya se han convertido en realidad, en el sentido que ya todas las escuelas de la Enseñanza General Politécnica y Laboral cuentan con un laboratorio de computación, además de los TV y videos. Ahora nos corresponde trabajar de manera intensiva y creadora para realizar un uso óptimo y provechoso de esta tecnología, ya que la falta de preparación, por una parte y la resistencia a romper cánones tradicionales para la cual no fuimos formados, por otra, ofrece resistencia de nuestro docentes al empleo de estas tecnologías, por lo que se buscan diferentes excusas y justificaciones: no hay tiempo, el laboratorio siempre está ocupado, se hace difícil trasladar al grupo, la matrícula es demasiado grande, entre otros. Cuestión que impide cambiar su rol dentro del proceso de enseñanza – aprendizaje y por ende ofrecer nuevas oportunidades a los alumnos que desarrollen sus potencialidades al enfrentarse a una nueva forma de percibir las Matemáticas.
Ya autores cubanos de la educación superior han propuesto una estrategia para el uso de la informática en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática (Carlos Rodríguez Casaña, 2000, Colectivo de autores). Dicha estrategia considera la utilización de la computadora en tres formas, las que hemos adecuado a las condiciones de las Secundaria Básica:
Como medio de enseñanza, en las clases para mostrar ejemplos, introducir conceptos y sus definiciones, utilizando software o los denominados asistentes matemáticos (DERIVE, MATEMÁTICA, MATLAB, MATHCAB, REDUCE, SCILAB, MAPLE LATEX, CABRI, GEÓMETRA, entre otros).
Como medio de aprendizaje, mediante tutoreales o entrenadores en el trabajo independiente del alumno. A partir del banco que se han situado en las escuelas.
Como herramientas de cálculo, en la resolución de ejercicios de aplicación donde los cálculos pueden ser engorrosos, mediante asistentes en laboratorios y trabajos independientes haciendo uso del tiempo de máquinas.
La estrategia propone además la necesidad de realizar un análisis del currículo con la finalidad de perfeccionarlo, para ello es necesario un adecuado diagnóstico de los objetivos y contenidos que deben ser modificados a partir del uso de la computadora en el proceso de enseñanza – aprendizaje, y la determinación de en cuáles el uso de softwares educativo contribuyen a alcanzar resultados superiores.
Luis Campistrous y Celia Rizo (2002) realizaron una propuesta para el empleo de esta concepción en la enseñanza – aprendizaje de la Geometría ante el planteamiento de algunas interrogantes tales como: ¿Cuáles son los cambios en el sistema de trabajo que habría que producir y en qué edades? ¿Cuál sería el objetivo de introducción en cada caso? ¿Qué instrumentación didáctica realizar para que sea exitosa su introducción?¿Qué recursos tecnológicos emplear y como hacerlo?
Ellos reflexionaron la necesidad de discutir cómo se ha estado enseñando la Geometría durante miles de años y cómo se puede iniciar un proceso de cambio en ello para pasar de una manera estática a una dinámica, incluyeron además el análisis de los cambios curriculares para el uso tanto de la calculadora como la computadora desde la enseñanza primaria, sin límites de edad siempre y cuando se precisen los propósitos de su uso atendiendo a las características de los escolares según sus edad, siempre que su uso esté orientado a:
Concentrarse en el proceso de resolución de problemas y solo en el cálculo formal clásico de la geometría, como es el caso de perímetros, áreas, volúmenes, entre otros;
Explorar, desarrollar y reforzar conceptos y relaciones geométricas;
Utilizarla como medio heurístico, para la búsqueda de relaciones, el planteo de conjeturas de modo de dar acceso a otras formas de pensamiento que van más allá de los algoritmos propiamente dichos.
Para objetivar vías de demostración de propiedades de las figuras geométricas.
Los cambios en conocimientos y habilidades que ellos proponen introducir; sin obviar las clásicas del trabajo en la geometría y algunos recursos didácticos pertinentes, en una primera aproximación, de cómo estructurar los contenidos por etapas son:
PRIMER MOMENTO DEL DESARROLLO (6 a 7 años)
Etapa preparatoria
Inicio de las primeras ideas sobre la movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente relaciones de congruencia. Uso de clavijelos y ligas para ir desarrollando la habilidad de "mover" en una figura (GEOPLANO como entrenador). Reproducción en papel cuadriculado. Superponer, medir, comparar.
SEGUNDO MOMENTO DEL DESARROLLO (8 a 9 años)
Etapa preparatoria y de exploración
Continuación del trabajo intuitivo operativo con figuras geométricas elementales. Igualdad por superposición. Relaciones de paralelismo y perpendicularidad. Mover figuras sobre otras. Mover una figura. Conservación de propiedades cuando se producen movimientos en una figura. Primeras ideas sobre simetrías de figuras y sobre el perímetro y áreas de figuras simétricas. Ampliación de las ideas sobre movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente relaciones de congruencia, y conservación de otras propiedades como el paralelismo y la perpendicularidad. Continuación del uso del geoplano para ir desarrollando la habilidad de "mover" en una figura. Reproducir en papel cuadriculado. Superponer, medir, comparar.
TERCER MOMENTO DEL DESARROLLO (10 a 12 años)
Etapa de exploración, hacer conjeturas y pruebas
Inicio de la etapa deductiva. Igualdad por movimientos geométricos del plano (simetrías y traslaciones). Mover en una figura. Exploración de propiedades que se conservan cuando se producen movimientos en una figura. Propiedades básicas de las figuras elementales. Búsqueda de teoremas relacionados con la congruencia. Cálculo de perímetros, áreas, volúmenes. Búsqueda de propiedades asociadas a estos conceptos. Continuación de la ampliación de las ideas sobre movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente, y formalmente, relaciones de congruencia y conservación de otras propiedades como igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad. Búsqueda de elementos simétricos en una figura y en par de figuras. Continuación del uso del geoplano para ir desarrollando la habilidad "mover" en figuras. Uso de supercalculadoras (principalmente por el docente) como medio heurístico de apoyo a la exploración, comprensión y búsqueda de casos particulares y límites en la demostración de propiedades. Reproducción (simulación) del alumno usando el geoplano. Uso de la calculadora en la solución de problemas geométricos de cálculo y demostración.
SECUNDARIA ( 12 a 14 años)
Continuación de la etapa deductiva. Hacer conjeturas. Búsqueda y demostración de propiedades. Sistematización de las figuras geométricas elementales y sus propiedades. Igualdad por movimientos geométricos del plano (simetrías y traslaciones). Mover en una figura. Exploración de propiedades que se conservan cuando se producen movimientos en una figura. Propiedades básicas de las figuras elementales. Búsqueda de teoremas relacionados con la congruencia. Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. Búsqueda de propiedades asociadas a estos conceptos. Primeras ideas sobre semejanza de figuras. Continuación de la ampliación de las ideas sobre movilidad de las figuras para comprobar experimentalmente y formalmente, relaciones de congruencia y conservación de otras propiedades como la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad. Búsqueda de elementos simétricos en una figura y en par de figuras. Uso de las supercalculadoras por el docente como medio heurístico de apoyo en la exploración, comprensión y búsqueda de casos particulares y límites en la demostración de propiedades y por el alumno para continuar desarrollando la habilidad "mover" en una figura y también como recurso para la búsqueda de propiedades y de ideas para su demostración y en la solución de problemas geométricos de demostración, de construcción y de cálculo. Búsqueda de figuras semejantes y de propiedades asociadas a esta relación.
En relación con la organización del contenido en esta última etapa los autores referidos plantean que sería deseable que el contenido geométrico clásico que se ha estado trabajando desde los primeros grados, se sistematizara de una manera diferente para propiciar el proceso de búsqueda y evitar vuelvan a trabajar de una manera clásica los contenidos. Los problemas que se escojan deben ser problemas abiertos que permitan las búsquedas de los alumnos y la obtención de múltiples propiedades de estas figuras que se irán sistematizando en la medida que se van obteniendo.
Después de valorar esta propuesta podemos apreciar que ello implica una nueva manera de concebir la enseñanza y el aprendizaje y de presentar la ejercitación, no como una forma acabada sino que esta posibilite la exploración, búsqueda, formación de conjeturas, pruebas, entre otros aspectos, de manera que se podrá desarrollar un pensamiento flexible, despertará el interés en los alumnos por investigar, y obtener nuevas cosas para él y sus compañeros. Desde luego algunas de estas ideas pueden ser introducidas en la enseñanza sin esperar que se realice desde instancias superiores una modificación del currículo, porque lo que si es una realidades que ya tenemos en nuestras manos la nueva tecnología y los modelos de enseñanza se están caducando, ante esta realidad.
Algunos autores del Instituto Superior Pedagógico de Holguín (Estrada Duallo, M.; Negrón Segura, C. [et.-al.] (2002)) han propuestos y experimentado una serie de pasos para trabajar con el contenido de geometría empleando la computadora en la Secundaria Básica. A continuación le facilitamos los mismos para reflexionen al respecto entre ustedes de manera que vean la factibilidad de ser utilizados en la práctica, a partir de nuestra realidad.
Pasos para trabajar el contenido de Geometría, empleando la computadora, en la secundaria básica.
Estudio y selección de los contenidos que emplearán con el auxilio de la computadora en su desarrollo.
Lo primero es hacer un estudio minuciosos del programa, donde se analicen los objetivos propuestos para el grado, la unidad y las actividades docentes, pues se debe tener bien claro qué habilidades matemáticas deben desarrollarse con el programa. Luego se hará un análisis de los contenidos de Geometría que se impertirán y cuáles serán abordados en el programa de Geometría Dinámica, ya que los contenidos que se imparten en la Secundaria Básica hay que escoger los más eficientes para el aprendizaje de la Geometría con la computadora, es decir no todos los contenidos objetos de estudio deben trabajarse por esa vía.
Tener en cuenta las diferencias individuales de los estudiantes.
Es importante conocer la situación real de cada alumno, pues en función de ello se planificarán las actividades, se pretende lograr una enseñanza diferenciada, de modo que se actúe no solo sobre los aspectos que no domina el estudiante, sino también sobre los aspectos que conoce y sobre el potencial de cada uno, es decir la Zona de desarrollo próximo.
Tener presente las condiciones del Laboratorio de computación.
Hay que considerar la cantidad de máquinas disponibles para el desarrollo de la actividad docente, pues en dependencia de la cantidad de máquinas y de alumnos se diseñarán las tareas para desarrollar la clase, aspecto este que tiene relación con lo referido a las diferencias individuales, ya que así serán distribuidos los alumnos por máquinas.
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