Algunos apuntes sobre didáctica de la matemática

Introducción

La publicación de este trabajo es para saldar una deuda que teníamos con varios de los colegas que tutoramos en estudios relacionados con la Didáctica de la Matemática. Ellos nos decían que habían utilizado para sus proyectos de investigaciones una copia que dejamos en el año 2003 en el Instituto Superior Pedagógico de nuestra provincia. Sin embargo, como hemos trabajado también con estudiantes extranjeros de postgrado que han solicitado tener acceso desde sus países, aprovechamos la oportunidad que nos brinda esta plataforma de publicación para ponerlo a disposición de los interesados en cualquier parte del mundo.

La Didáctica, según nuestra posición, es una ciencia que forma parte de la Pedagogía y tiene por objeto el proceso docente – educativo o el proceso de enseñanza – aprendizaje, dirigido a resolver la problemática que se le plantea a la escuela: la formación de un adolescente que responda al encargo social, lo que trae como consecuencia que el proceso docente – educativo se transforme en el instrumento fundamental, dado su carácter de sistema, para satisfacer la demanda de la sociedad.

La didáctica está caracterizada por una serie de cualidades o componentes: el problema, el objetivo, el contenido, el método, la forma, los medios y la evaluación. Luego la tarea fundamental de la didáctica consiste en estructurar estos componentes de manera que permitan satisfacer el encargo social de la manera más eficiente. Siendo así que las didácticas específicas de las diferentes asignaturas transfieran esta tarea a su campo de acción.

En el caso particular del la Didáctica de La Matemática tendría como objeto el proceso docente – educativo que se opera en la transmisión y apropiación de los conocimientos, habilidades, capacidades y valores matemáticos.

La idea central de este material sería poner en sus manos algunos aspectos teóricos y ejemplificaciones aportados por diferentes especialistas e investigadores de la Matemática y su didáctica, así como reflexiones propias de los autores del mismo, de forma tal que pueda perfeccionar su modo de actuación profesional, ante los nuevos retos que las transformaciones de la Secundaria Básica nos plantea de manera que el proceso sea más pertinente.

Consideraciones generales

Antes de adentrarnos en aspectos propios del proceso docente – educativo (enseñanza – aprendizaje) de la Matemática, lo invito a usted y a sus colegas que reflexionaran y contestaran, en alta voz, la siguiente pregunta: ¿qué es para usted la Matemática?.

Con seguridad las respuestas serán disímiles, veamos que podemos aportar a dicha reflexión.

¿Qué es la Matemática?

Matemáticas, viene del griego Máthema, en latín Mathematium, que significa conocimiento.

Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la Geometría), a los números (como en la Aritmética), o a la generalización de ambos (como en el Álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la Lógica Matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. (Enciclopedia Encarta 2002)

Apoyándome en reflexiones realizadas al respecto por el Master Paulino Murillo De León (2000) este refiere a algunos autores, en particular a Francisco Cerda cuando expresa:

"- Las matemáticas constituyen una actividad de resolución de situaciones problemáticas de una cierta índole, socialmente compartida; estas situaciones problemáticas se pueden referir al mundo natural y social, o bien pueden ser internas a la propia matemática; como respuesta o solución a estos problemas externos o internos surgen y evolucionan progresivamente los objetos matemáticos (conceptos, procedimientos, teorías).

– Las matemáticas son un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones problemáticas y las soluciones encontradas; al igual que la música son un lenguaje universal en el que los signos empleados, su semántica y sintaxis son compartidas en los diferentes grupos humanos; como todo lenguaje implica unas reglas de uso que hay que conocer y su aprendizaje ocasiona dificultades similares al aprendizaje de otro lenguaje no materno.

– Las matemáticas constituyen un sistema conceptual, lógicamente organizado y socialmente compartido; la organización lógica de los conceptos, teoremas y propiedades explican también gran número de las dificultades en el aprendizaje; un sistema no puede reducirse a sus componentes aislados, ya que las interrelaciones entre los mismos son una parte esencial. "

Respecto a estos puntos de vistas Murillo reflexiona y ante la primera posición dice estar de acuerdo ya que cada vez que nos enfrentamos, en el diario vivir a diversas actividades o situaciones problemáticas, en la que la Matemática juega un papel importante para la solución de los mismos, hacemos y utilizamos la Matemática, no importa de que se trate la actividad desde comprar un artículo hasta diseñar un plano o quizás sacar cuentas para nuestros gastos encontramos allí a la Matemática como ciencia viva, el mundo natural esta lleno de situaciones problemáticas, en donde el sumar, restar, medir y realizar todo tipo de operación matemática es ya una tarea rutinaria.

Para el segundo caso manifiesta que la mayoría de nuestros problemas son resueltos por la Matemática y que podemos partir de la situación planteada en un lenguaje verbal hasta expresarla en expresiones matemáticas para luego buscar su solución, es decir matematizar la situación (modelar), mediante datos e incógnitas y que para nosotros eso es rutinario como para los compositores los signos musicales, esto es un carácter universal de la Matemática.

En el tercer caso nos dice que como bien plantea el autor, el conjunto de signos, teoremas, axioma, proposiciones, conceptos, etc. lógicamente organizados, constituye lo que conocemos como Matemática, este conjunto organizado de carácter universal es entendido por todos los conocedores de esta ciencia en la que todo aparece relacionado entre sí de un modo exacto, puede entenderse la Matemática como este conjunto organizado que facilita la solución de numerosos problemas que surgen en la actividad humana.

Como puedes percatarte de una u otra manera siempre se asume en algún momento que la Matemática es resolver problemas el por qué, sería recomendable valorarlo.

Según Murillo "Conocer" o "saber" matemáticas, por parte de una persona, no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedades de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. La atribución de un sentido pleno a los objetos matemáticos está estrechamente ligada a las situaciones de las que emergieron, por esto se postula la necesidad de "establecer puentes" entre la matemática y la realidad natural y social que rodea a los jóvenes.

Ante esta problemática sería bueno precisar:

¿Cuál es el objetivo fundamental de la enseñanza de la Matemática?

Esto aparece en los textos de Metodología de la Enseñanza de la Matemática (MEM), pero dadas las condiciones actuales en el mundo y en particular en nuestro país, investigadores cubanos realizan precisiones al respecto, como los que a continuación referimos.

Luis Campistrous y Celia Rizo (2002) manifiestan que ante la pregunta: ¿Qué se pretende al incluir la Matemática entre las materias escolares fundamentales desde que se inició la escuela hasta ahora? La respuesta es casi unánime lograr dotar a los alumnos de un "saber matemático" pero que casi nadie sabe precisar el uso que hará el ciudadano corriente con ese saber matemático.

Manifiestan además que si se indagara sobre:

¿Qué es el saber matemático?

Pueden existir diferentes respuestas, tales como:

• Es un conjunto de hechos (ejemplo el Teorema de Pitágoras)

• Es un sistema de herramientas, que sirven para realizar cálculos cuya utilidad escapa de un gran parte de la población (ejemplo la resolución de triángulos)

• Es un formalismo (Ejemplo el que aparece en la teoría de Euclides)

• Es una forma de pensamiento

Esta última opción es la que casi nadie considera y sin embargo es precisamente la tarea de la enseñanza de la Matemática: formar un pensamiento matemático.

¿En qué consiste formar un pensamiento matemático?

Muchos autores han dado respuesta a esta interrogante pero, siendo consecuente con nuestro contexto optamos por acoger la considerada por un grupo de investigadores cubanos cuando plantean que el pensamiento matemático consiste en lo fundamental en:

• Interpretar datos de la vida diaria y tomar decisiones en función de esa interpretación.

• Usar la Matemática en forma práctica desde simples sumas algorítmicas hasta análisis complejos (incluyendo estadísticos) y usar la modelación.

• Poseer un pensamiento flexible y repertorio de técnicas para enfrentarse a situaciones y problemas nuevos.

• Poseer un pensamiento crítico y analítico tanto al razonar como al considerar razonamientos de otros.

Se plantea además que para lograr esto se requiere:

• Buscar soluciones, no memorizar procedimientos.

Ejemplo ante el problema: Encontrar el número de dos cifras cuyo cubo es otro número de cinco cifras de manera tal que entre los dos números no se repitan cifras.

En este caso utilizando técnicas y estrategias tales como casos límite, el tanteo inteligente, el cálculo (auxiliándose de la calculadora) se puede llegar a la solución del problema.

Para el análisis del problema primero reflexionemos en las condiciones, que de la propia lectura del problema podemos extraer y mediante la modelación referimos que se trata de buscar dos números y que entre ambos tienen siete cifras, modelando esto sería:

( _ _ )3 = _ _ _ _ _

Luego con auxilio de la calculadora, sería conveniente ver los casos límite, es decir, a partir de qué número de dos cifras distintas su cubo es un número de cinco cifras, esto ocurre con el 23 pues:

(23)3 = 12167

y el mayor número de dos cifras cuyo cubo es un número de cinco cifras, este sería el 46, pues:

(46)3 = 97336

La otra condición del problema está dada por no poder repetirse ninguna cifra entre el número y su cubo, habría que realizar un tanteo inteligente entre los números de dos cifras no repetidas que se encuentran en este intervalo [23 – 46] y sus cubos, pero no sería necesario realizar el cálculo de todas los cubos de los veinticuatro casos, si reflexionemos en esta condición podemos despreciar algunos números en los que sucedería eso, como por ejemplo los terminados: en 0, pues sus cubos terminarían en 0; en 1 cuyos cubos terminarían en 1, en 4 pues siempre terminarían en 4, en 5 pues terminarían en 5; en 6 terminarían en 6; en 9 terminarían en 9. Además de despreciar el primero y el último por ya haber realizado su cálculo y constatar que se repiten cifras.

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46

Así solo nos quedaría calcular el cubo de siete números: 27, 28, 32, 37, 38, 42 y 43. Comprobando que es el 27 el número que satisface las condiciones del problema; ya que:

(27)3 = 19683

• Explorar patrones, no memorizar fórmulas.

Ejemplo en la siguiente situación, el estudiante puede destacar y construir conexiones matemáticas, en una clase sobre medición para formular y resolver el problema a la vez que se exploran ideas geométricas, algebraicas y de medición.

Se le ofrece al alumno una hoja de trabajo con la situación siguiente para que mida, complete los espacios en blanco de la tabla y describa el patrón.

• Formular conjeturas, no solo hacer ejercicios.

En el ejercicio anterior se le puede solicitar a los estudiantes que realicen conjeturas y convenzan a los demás de que sus ideas son válidas.

Como se puede apreciar ligado al "saber matemático" se encuentra el "poder matemático" y lo referido al intelecto y la educación ideológica por lo que cuando se precise el componente rector del proceso: el objetivo, éste debe contemplar todos estos elementos.

¿Con qué objetos trabaja la Matemática?

La Matemática actúa con objetos abstractos (números, variables, puntos, rectas, planos), de ahí que se considere una ciencia abstracta, pero ello no implica que debemos accionar de la misma manera y ese precisamente ha sido uno de los errores que se ha venido presentando en la escuela, se ha pasado precipitadamente de la intuición a la deducción, del momento materializado a la abstracción; es por eso que existe un reclamo por quienes se ocupan de la Educación Matemática, en acudir a la historia de la ciencia, de su epistemología, en el cómo actuaron los hombres ante las problemáticas de la vida (la empiria) que dieron origen al conocimiento matemático y a su aplicación práctica tanto en la vida cotidiana como en otras ciencias como la Biología, la Química, la Física, entre otras, que de su integración están surgiendo en la actualidad.

Al respecto Miguel de Guzmán (2001) plantea que la Educación Matemática debe ser concebida como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático, que es necesario cuidar y cultivar la intuición en general, la manipulación operativa del espacio y de los símbolos. Refiere que es preciso no abandonar la comprensión e inteligencia de lo que se hace, pero que no se debe permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a un segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemáticos. En realidad sugiere que la inmersión en ella se realice teniendo en cuenta mucho más intensamente la experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge, " a cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histórica a cada nivel científico, le corresponde su propio rigor" (Guzmán, M. 2001, 5)

Destaca de igual manera, que el centro de la Educación Matemática está en los procesos del pensamiento matemático, aspecto que ya habíamos valorado anteriormente según los planteamientos de Luis Campistrous y Celia Rizo, por lo que reconoce que es debido a ello que se le concede una gran importancia al estudio de las cuestiones que tiene que ver con los procesos mentales de resolución de problemas y afirma que en la situación de transformación vertiginosa en la que nos encontramos es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes, al respecto expresa:

"En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten ideas que forman un pasado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas presentes" (Guzmán, M. 2001, 5)

Esta posición se reafirma en los estándares elaborados por National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edición de 1992, pero que viene elaborada desde 1989, donde se plantea:

"la sociedad de hoy exige que la escuela asegure a todos los estudiantes la oportunidad de poseer una cultura matemática, ser capaces de ampliar su aprendizaje, tener igualdad de oportunidades para aprender y ser ciudadanos bien informados, capaces de entender las cuestiones propias de una sociedad tecnológica. A medida que cambia la sociedad, deben asimismo cambiar las escuelas." (NCTM, 1992, p. 5)

En los estándares se proponen cinco fines generales para todos los estudiantes:

• 1. Que aprendan a valorar la Matemática.

• 2. Que se sientan seguros de su capacidad para hacer matemáticas.

• 3. Que lleguen a resolver problemas matemáticos.

• 4. Que aprendan a comunicarse mediante las matemáticas.

• 5. Que aprendan a razonar matemáticamente.

Como se puede observar estos fines tiene muchos puntos de contacto, por no decir que coinciden, con las exigencias de nuestros programas y orientaciones didácticas o metodológicas de cómo deben ser tratados los contenidos matemáticos en el proceso de enseñanza – aprendizaje y con la pedagogía del optimismo con que tenemos que afrontar nuestra labor formativa, humanizando cada vez más el proceso.

Los Métodos en el proceso de Enseñanza – Aprendizaje de la Matemática

Siendo consecuente con lo que hemos venido analizando anteriormente, podemos afirmar que los métodos que deben emplearse en la enseñanza – aprendizaje de la Matemática deben propiciar cumplir con las exigencias planteadas, deben contribuir en lo esencial al desarrollo del pensamiento del alumno.

Los métodos lógicos del pensamiento deben estar presente: método del análisis, la síntesis, la observación, la comparación, la generalización, la inducción, la deducción, la formulación de conjeturas e hipótesis, la reflexión , el debate. Deben de ser los métodos fundamentales que debemos emplear, estos desde luego combinados con los de elaboración conjunta e investigativos de manera que exista espacio para el trabajo individual y colectivo.

No obstante, sería bueno plantear que los procedimientos heurísticos desempeñan un importante papel en la enseñanza de la Matemática, por lo que facilitamos algunos aspectos teóricos que pueden ayudar, aunque recomendamos consultar estos aspectos en el texto de Metodología de la Enseñanza de la Matemática Tomo I y II , donde aparecen además ilustrados con ejemplos los diferentes métodos.

Papel de la heurística en la enseñanza de la Matemática

A la enseñanza de la Matemática se le formulan exigencias que trascienden la elemental y no menos importante transmisión de los conocimientos y al desarrollo de habilidades intelectuales, sino también respecto a su contribución al desarrollo de la capacidad para la generalización, para la formación, formulación y posterior aplicación de conceptos y sus definiciones, para el reconocimiento de las relaciones y para la sistematización. La obtención y definición de proposiciones matemáticas, así como su posterior demostración mediante la aplicación de reglas de inferencia lógica, constituye también una exigencia a cumplir en la enseñanza de la Matemática.

Mediante su enseñanza los alumnos deben desarrollar habilidades tales que les permitan: fundamentar, describir y explicar, perfeccionar el vocabulario matemático, sentir la necesidad de expresarse con exactitud sobre los contenidos matemáticos, desarrollar la agilidad mental y lograr una mayor independencia cognoscitiva y por ende una realización de las tareas docentes en forma cada vez más independiente.

Numerosos especialistas ven la necesidad de dar una mayor y mejor utilización a aquellos métodos que favorecen la actividad de búsqueda del conocimiento por los alumnos, y tratan de establecer un cierto equilibrio en la utilización de los métodos deductivo y reductivo en la Matemática; estos últimos estrechamente vinculados con los procedimientos heurísticos.

Esto señala la responsabilidad del profesor de Matemática de pertrechar a sus alumnos no sólo de conocimientos y habilidades, sino también de los métodos y técnicas que propicien la actividad mental y práctica de los mismos y que les permitan, previo entrenamiento, utilizar estrategias, métodos y procedimientos de solución, que les faciliten conducirse eficazmente ante cualquier situación de aprendizaje y poder aplicar sus conocimientos frente a situaciones nuevas de distinta índole, a manera de problemas.

Las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática (STEM)

(Zillmer, 1981) define una situación típica como: "…la clase ( clase de abstracción) de todas aquellas situaciones reales en la enseñanza de una o de varias asignaturas que poseen semejanza con respecto a la estructura de los objetivos y a la estructura objetivo-materia; por eso, estas situaciones permiten un proceder semejante en la aplicación de una determinada estrategia de conducción y de los procedimientos metodológicos organizativos.

Este autor establece como STEM las siguientes:

– Formación de conceptos y sus definiciones.

– Tratamiento de teoremas y sus demostraciones.

– La resolución de ejercicios y problemas.

– Elaboración de procedimientos de solución algorítmicos.

– Resolución de ejercicios geométricos de construcción.

El autor, después de analizar las definiciones de STEM dadas por autores como (Zilmer,1981) y (Jungk,1981), asume la dada por (González, 1999), la que establece la siguiente clasificación:

• La formación de conceptos y sus definiciones.

• Las demostraciones matemáticas:

. tratamiento de teoremas y sus demostraciones.

. tratamiento de ejercicios de demostración.

• El tratamiento de ejercicios y problemas.

• El tratamiento de ejercicios de construcciones geométricas.

El autor coincide con (González, 1998) en considerar como STEM a las demostraciones matemáticas por razones tales como:

– La frecuencia con que aparecen en los textos y programas de la asignatura Matemática en la Secundaria Básica

• En la escuela, los teoremas se tratan por la vía de la deducción y/o de la demostración. Los ejercicios de demostración no se corresponden con ninguno de esos grupos.

• En la escuela el trabajo con las demostraciones de teoremas es mínimo, por lo que si se consideran los ejercicios de demostración dentro de esta situación típica, su tratamiento quedaría discriminado.

• Los ejercicios de demostración no están incluidos en la situación típica "tratamiento de problemas". Es obvio que esto ocurra así, porque en esta situación típica tradicionalmente se tratan los ejercicios de aplicación y los ejercicios con texto.(Zillmer, 1981).

De esta forma, los ejercicios de demostración quedan en el mismo plano que las situaciones típicas que tradicionalmente se han tratado en la disciplina Metodología de la Enseñanza de la Matemática.

La Instrucción Heurística en la clase de Matemática

En el transcurso de las últimas décadas se han puesto en práctica en Cuba nuevas y variadas concepciones sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática; sobre estas cuestiones se han generalizado en las escuelas múltiples trabajos de especialistas nacionales y extranjeros en torno al tratamiento de determinadas STEM, fundamentalmente sobre el trabajo con problemas. Algunos de esos especialistas abogan por utilizar los recursos heurísticos en el tratamiento de las mismas.

(Müller, 1987 ) destaca en su obra la gran importancia que tiene el trabajo heurístico para la resolución independiente por los alumnos de ejercicios de diferentes tipos y que no tienen carácter algorítmico. Señala la necesidad de que los alumnos aprendan a aplicar los elementos heurísticos a la resolución de ejercicios y problemas.

El autor comparte la opinión de varios autores con relación a la posibilidad de explicitar los procedimientos heurísticos, proponiendo que los docentes no sólo utilicen los procedimientos heurísticos en la solución de ejercicios, sino que los declaren explícitamente, de manera que los alumnos sepan cuándo están utilizando un principio u otro, una regla u otra; lo cual favorece grandemente el desarrollo del pensamiento, ya que constituyen recursos que el alumno puede utilizar cuando le sea necesario.

De esta forma queda explícita la importancia y el papel que tiene la utilización de recursos heurísticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el nivel medio, sobre la base del tratamiento de las STEM.

La instrucción heurística de la Matemática

Con relación a la instrucción heurística se han encontrado referencias en la literatura nacional y extranjera. Para una mejor comprensión del término "instrucción heurística" hay que partir de lo que se entiende por instrucción, lo cual se define como: (proceso y resultado de la asimilación de los conocimientos, hábitos y habilidades. Se caracteriza por el nivel de desarrollo del intelecto y de las capacidades creadoras. Presupone determinado nivel de preparación en una u otra esfera de la actividad social" (Albarrán, 1998).

(Ballester y otros, 1990) definen IHM como: "… la enseñanza consciente y planificada de reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas".

En este trabajo, el autor, partiendo de la clasificación dada por (Torres, 1993) con relación a los procedimientos heurísticos esenciales y elementales para el tratamiento de cada STEM, establece la siguiente:

Las Líneas Directrices

Otros de los aspectos recomendables a conocer por parte de los docentes que impartirán Matemática lo constituye las denominadas Líneas Directrices, ¿Qué son? ¿Para qué le sirven al docente? ¿Cómo se manifiestan estas en los programas actuales? Son entre otras las preguntas que sería bueno valorar en el colectivo de profesores.

Las Líneas Directrices (LD) son agrupamiento de la materia de enseñanza por aspectos principales referidos a la transmisión de conocimientos, el desarrollo de capacidades y la formación de convicciones a partir de los objetivos de la formación general y tienen una especial significación ya que le permiten al profesor reconocer los principios más importantes que determinan el currículo escolar de la Matemática, evitando que se pierda entre la numerosidad de conceptos, procedimientos y complejos de contenidos que se establecen en los programas y esta es la razón que dio origen a este.

Las mismas fundamentan su existencia en la información que le proporciona a los docentes sobre:

• La forma en que trabajan los conceptos.

• Las condiciones previas de que se dispone para el tratamiento de los nuevos conocimientos y los que deben ser creados para el aprendizaje de conocimientos posteriores.

• La contribución que debe aportarse con el tratamiento de cada unidad a objetivos generales de la signatura.

• Forma en que deben trabajarse conceptos, procedimientos y proposiciones importantes.

• Las potencialidades para la motivación que ofrece el tratamiento del contenido en unidades precedentes.

Desde el establecimiento de manera formal de las LD en los programas de Matemática escolar cubana a partir de la década del 70 hasta la fecha han sufrido variaciones en su denominación y en cuantía, es por ello que solo haremos referencia a las que recientemente exponen autores cubanos de experiencia en la didáctica de las matemáticas, como por ejemplo lo es el Dr. Sergio Ballester Pedroso (2002), quien unido a un grupo de profesores de MEM del ISP "Enrique José Varona" realizaron recientemente la publicación de un texto donde ponen de manifiesto el transcurso de estas en los programas de Matemática, el cual se vuelve obligatoria su lectura y así lo recomendamos.

Este autor resume que en los programas actuales se reconocen las siguientes Líneas Directrices:

• Dominios numéricos.

• Trabajo con variables, ecuaciones y sistemas.

• Geometría y trabajo con magnitudes.

• Planteo, formulación y resolución de problemas.

• Correspondencia y funciones.

• Técnicas de la actividad mental y práctica en el aprendizaje de la Matemática.

• Educación ciudadana, patriótica e internacionalista.

En este material haremos referencia a dos de estas líneas directrices que consideramos las más apremiantes que debes conocer y que aporten otros elementos que no se incluyen en el mencionado texto.

Planteo, formulación y resolución de problemas

¿Qué se entiende por problema?

Veamos qué escribió al respecto García Cruz, Juan A. y que se encuentra en línea en internet (http://nti.educa.rcanaria.es/rtee/rtee.htm). El mismo inicia con la pregunta: ¿Qué es un problema? y escribe algunas definiciones dadas por otros autores:

Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. (Polya, 1961)

Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cuál no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).

De ambas definiciones, el autor de este material, infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:

• 1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.

Esto es lo que nosotros denominamos el estar motivado para resolver el problema.

• 2) Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.

Aquí referimos la existencia de una contradicción entre lo que el estudiante conoce y lo que desconoce.

• 3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.

Significaría la búsqueda de nuevos conocimientos, procedimientos y técnicas para poder abordar el problema y llegar a una solución.

También expresa que ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auténtico problema, manifestando que lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos o algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio, reconoce así que esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problemas.

Por otra parte, García Cruz, J. A. refiriéndose a R. Borasi (1986), expresa que en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés en mejorar la enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas:

• > El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo.

• > La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar.

• > El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema.

• > El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.

Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación:

Ejemplos

Problema con texto:

María ha merendado una hamburguesa y un refresco gaseado y para pagar su consumición entrega al camarero un billete de 5:00 pesos. La hamburguesa cuesta 1:60 pesos y el refresco gaseado 1:00 pesos. ¿Cuánto le devolverá?

Ejercicio:

Calcular 4: 2+6. 3.

Puzzle:

A partir de seis cerillas (fósforos) construir cuatro triángulos equiláteros.

Prueba de una conjetura:

Demostrar que si a, b y c son enteros impares, las raíces de la ecuación ax2+bx +c no son racionales.

Problemas de la vida real:

Queremos enlozar una habitación cuya forma es irregular. Deseamos estimar la cantidad de metros cuadrados de lozas que debemos adquirir.

Situación problemática:

Un teorema fundamental establece que la descomposición de un número natural en producto de números primos es única. ¿Qué ocurre si cambiamos en dicho enunciado la palabra producto por la palabra suma?

Situación:

Considere las siguientes parejas de números primos gemelos (3,5) (5,7) (11,13), (17,19) (29,31) (41,43) (71,73).

Entre otras formas de conceptualizar qué es un problema Miguel de Guzmán (2001) plantea que se está ante un verdadero problema cuando se encuentra en una situación desde la que quiere llegar a otra, una veces bien conocida otras un tanto confusamente perfilada y no conoce el camino que lo puede llevar de una a otra.

Otra definición de problema está planteada por Palacios: "El problema puede ser definido como cualquier situación, que produce por un lado un cierto grado de incertidumbre y, por otro lado, una conducta tendente a la búsqueda de su solución" . (Palacios, 1993)

Así Luis Campistrous y Celia Rizo (1996) plantean que en la literatura existen diversa acepciones del concepto problema, atendiendo cada una a diferentes puntos de vista, pero ellos asumen como problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo. Insisten en que la vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida; pues cuando es conocida deja de ser un problema.

De una u otra manera, las diferentes acepciones que aquí se han manejado no dejen dudas que el problema es un recurso muy importante en la didáctica por cuanto la selección de los problemas requiere además de tener en cuenta la naturaleza de la tarea el nivel de necesidades de los alumnos, pues lo que para unos es un problemas para otros no lo es. A esto se une la motivación, pues la persona que se enfrente a un problema debe tener el deseo de querer hacer las transformaciones que permiten resolver el problema, lo que generará voluntad y perseverancia, pues de lo contrario también deja de ser un problema.

Es por ello que Campistrous, L. y Rizo, C. (1996) plantean que en la resolución de problemas hay al menos dos condiciones que son necesarias:

• La vía tiene que ser desconocida.

• El individuo quiere resolver el problema.

La resolución de problemas como propuesta didáctica

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década de los 80 la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar: En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.

¿Qué significa "poner el enfoque en la resolución de problemas"?

Cabe al menos tres interpretaciones:

Enseñar para resolver problemas

Proponer a los alumnos más problemas.

Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.

No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos. Ejemplos de esta última interpretación se pueden hallar en Callejo (1994), Mason et al. (1988) y Guzmán (1991), Bagazgoitia et al. (1997).

Enseñar sobre la resolución de problemas

Enseñanza de la heurística. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas.

Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente. Sin embargo, parece ser que las destrezas heurísticas son las más apropiadas para tal fin.

Enseñar vía la resolución de problemas

Enseñar la matemática a través de problemas.

En un seminario celebrado en La Laguna en 1982 e impartido por el profesor Gaulin al ser preguntados por objetivos de la resolución de problemas, los profesores asistentes enumeraron los siguientes:

Desarrollo de la capacidad de razonamiento.

Aplicación de la teoría previamente expuesta.

Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.

La primera propuesta, aunque durante mucho tiempo fue un argumento aceptado sobre las virtudes de la educación matemática, con el paso del tiempo se ha convertido en un mito. (M. Fernández 1982),

Las dos últimas caen dentro de la primera interpretación anterior. M. Fernández que actuó como informador del seminario, concluye con la siguiente redacción:

Al final, pareciéndome que el profesor buscaba algo más, me aventuré a indicar lo que creo suele olvidarse:

la propuesta de problemas con el fin de elaborar una teoría, esto es, para explorar y aprender nuevos conceptos.

En efecto, comentó, pese a ser eminentemente formativa, no es frecuente que se tenga en cuenta por el profesorado. Esta es claramente la interpretación tercera de las enumeradas más arriba. Pero, el comentario del Profesor Gaulin deja las cosas de nuevo en su sitio. ¿Por qué no se tiene en cuenta por el profesorado?

En nuestro caso Luis Campistrous y Celia Rizo se encaminaron al enfoque de enseñar para resolver problemas, pues la idea es de trabajar con diferentes estrategias para que el alumno enriquezca sus capacidades para enfrentar diferentes problemas. De ahí su libro "aprender a resolver problemas aritméticos".

No obstante, soy del criterio que las tres formas pueden ser aceptadas en nuestro proceder de manera integrada, pues si realizamos el tratamiento del nuevo contenido a partir del planteamiento de una situación problémica de la vida cotidiana que implique la necesidad de buscar nuevos conceptos, procedimientos, y técnicas; una vez adquiridos estos aplicamos la heurística, mostrando la manera de abordar o atacar el problema y luego realizamos el planteamientos de diversas situaciones nuevas que posibiliten aplicar estas estrategias y los conocimientos adquiridos, logrando la participación activa, la reflexión individual y colectiva, tanto oral como escrita, estamos siendo consecuente con las exigencias que se nos está planteando en la actualidad.

¿Existe algún patrón que caracterice la práctica educativa? Es otra de las preguntas realizadas por García Cruz, Juan A y al respecto cita a dos autores (Stigler y Hiebert, 1997).

Lo más característico es el énfasis en enseñar procedimientos, en especial procedimientos de cálculo.

Se presta poca atención a ayudar a los alumnos a desarrollar ideas conceptuales, o incluso a conectar los procedimientos que están aprendiendo con los conceptos que muestran por qué aquellos funcionan.

Según (Dossey et al. 1988), comenta más adelante, la instrucción matemática en las aulas de secundaria puede caracterizarse con ligeras variaciones, como la actividad que consiste en:

la explicación del contenido por el profesor, trabajo individual de los alumnos sobre las tareas propuestas y corrección de las mismas, dirigidas al gran grupo, en la pizarra.

Es esta la razón, que en este sentido, García Cruz, Juan A concluye exponiendo:

La mayoría de las veces, debido a la dificultad del contenido o al tiempo disponible, la explicación se dirige hacia un nivel medio de la clase, cuando no al más alto, y hacia el aprendizaje directo de determinados algoritmos o definiciones.

El resultado de tal práctica es, por lo general, una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado, y la construcción de esquemas conceptuales débiles por los alumnos, que se manifiestan en una pobre actuación, sobre contenidos supuestamente aprendidos, después de un cierto tiempo.

Los maestros y los profesores enseñan de la misma forma en que fueron enseñados en la escuela.

Lo expuesto, creo que explica en parte por qué no se enseña matemáticas a través de la resolución de problemas.