Una de estas problemáticas es la relacionada con la resolución de problemas, la que ha sido tenida en cuenta por la Matemática Educativa cubana en las nuevas transformaciones de su enfoque metodológico. Así dentro de los cuatros objetivos generales de la asignatura se plantea "formular y resolver con los recursos de la matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo, así como con fenómenos y procesos científico ambientales que conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida". Esto ha hecho que en los programas de estudios de la enseñanza general se propone la presentación y tratamiento de los contenidos a partir de problemas prácticos de carácter político–ideológico, económico–laboral y científico-ambiental.
El interés de presentar y dar tratamiento a los nuevos contenidos a partir de problemas prácticos con frecuencia se ve afectado ya que en lo general, los alumnos no poseen una actitud adecuada hacia los problemas matemáticos, o sea, no se motivan y/o no poseen las habilidades necesarias para enfrentar esta tarea docente, de esta forma podría crearse en la clase dos problemas para el estudiante, uno, resolver el problema matemático y el otro apropiarse del nuevo conocimiento. Esta cuestión significa garantizar que todas las actividades que se realizan en la escuela, incluyendo el elemento fundamental del contenido de la enseñanza, están relacionadas con la realidad social que rodea al estudiante.
Para contribuir al cumplimiento de este fin, se debe lograr una vinculación del contenido de los programas con el contexto que rodea al estudiante, los programas educativos, los problemas cotidianos y con el conocimiento del acontecer nacional e internacional, propiciando de esta forma un aprendizaje vivencial. Lo anterior se sustenta en la concepción, de que mediante la resolución de problemas es que se alcanza un pleno dominio del aparato conceptual de la Matemática, de los elementos de carácter metodológico para la aplicación creadora de estos conocimientos y de los recursos matemáticos necesarios para ello.
No obstante, en observaciones al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero", de Media Luna, en la revisión de instrumentos aplicados en concursos de conocimientos y la interrelación con los estudiantes se ha podido constatar que aún se presentan dificultades relacionadas con el insuficiente dominio de los conceptos básicos, dificultad en considerar puntos de vista alternativos o manejar diferentes fuentes de información, incapacidad al elaborar estrategias para resolver problemas y abandono ante la primera dificultad encontrada, no son capaces, en su mayoría de analizar con éxito situaciones distintas a las analizadas en las clases.
Pobre dominio metodológico y de las vías para resolver problemas por parte de los maestros, no son aprovechadas al máximo las potencialidades que brinda la asignatura para desarrollar el pensamiento lógico de los alumnos, dificultades en la elaboración de los problemas que se les proponen al no ser totalmente contextualizados.
Se ha podido comprobar, que en los programas de estudio, los problemas contextualizados son insuficientes y aparecen después de ser tratada la unidad temática o epígrafe sobre un determinado contenido matemático, o sea se tratan de forma elemental por parte de los docentes, los conocimientos y conceptos que como muchos autores han señalados se necesitan para enfrentar la actividad de resolver problemas matemáticos, sin embargo es muy frecuente que en la mayoría de los casos, los alumnos no encuentran una solución adecuada, en muchos casos las respuestas que brindan no tienen que ver con la interrogante que se le plantea.
Todo lo anterior constituye un punto de análisis en la investigación que hace el autor, que atenta de una forma u otra, con las insuficiencias metodológicas para desarrollar en los estudiantes el pensamiento lógico y propiciar que estos lleguen a la búsqueda de relaciones viables en la solución de problemas matemáticos, todas estas insuficiencias de forma general producen un desbalance en el aprendizaje de los escolares en la resolución de problemas.
Por todo lo anteriormente planteado y tomando como referente la experiencia del autor nos conduce al siguiente problema científico: ¿Cómo favorecer la búsqueda de relaciones, en la solución de los problemas matemáticos en los escolares del quinto grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero"? El cual se manifiesta en el objeto de investigación: El proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos con números naturales.
Para dar solución al problema planteado se declara como objetivo: Elaborar un sistema de ejercicios que favorezca la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción con números naturales, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
El objeto y objetivo delimita como campo de acción: La búsqueda de relaciones en la solución de los problemas matemáticos de adición y sustracción con números naturales.
En correspondencia con el objetivo anterior se formularon las siguientes preguntas científicas:
¿Cuáles son los antecedentes históricos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria?
¿Qué referentes teóricos sustentan el proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria?
3- ¿Cuáles son las principales dificultades presentadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje en la búsqueda de relaciones para la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
4- ¿Qué elementos se deben de tener en cuenta al elaborar el sistema de ejercicios para que favorezca la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero"?
5- ¿Qué efectividad se alcanzará con la puesta en práctica del sistema de ejercicios para favorecer la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos?
Para dar respuesta a las interrogantes planteadas se cumplieron las siguientes tareas científicas:
1. Determinación de los antecedentes históricos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.
2. Valoración de los referentes filosóficos y psicopedagógicos que sustentan el proceso de enseñanza-aprendizaje de la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.
3. Diagnóstico para la precisión de las principales dificultades presentadas en la búsqueda de relaciones para la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
4. Elaboración de un sistema de ejercicios que favorezca la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
5. Intervención en la práctica educativa de los escolares para comprobar la efectividad de la aplicación del sistema de ejercicios propuesto.
En el desarrollo de este trabajo se utilizaron los siguientes métodos, técnicas e instrumentos:
Métodos teóricos.
Histórico-lógico: para el estudio del desarrollo que ha tenido el problema de investigación y las necesidades que han provocado las distintas transformaciones.
Analítico-sintético: en la revisión y profundización de los diferentes aspectos que componen el proceso de comprensión del problema matemático.
Inductivo-deductivo: para determinar las dificultades que se manifiestan en el proceso de comprensión de los problemas matemáticos.
Sistémico – estructural funcional: en la explicación y argumentación del sistema de actividades que se propone hasta llegar a su aplicación en la práctica educativa de los escolares seleccionados como muestra.
Métodos empíricos.
Observación pedagógica: participativa para conocer el estado inicial del problema partiendo de las necesidades de aprendizaje de los escolares expuesto en el banco de problemas de la escuela, determinar cómo asimilan el conocimiento durante la clase los escolares y las carencias que en el orden metodológico poseen los docentes para dar tratamiento a la solución de problemas.
La encuesta: a maestros para determinar el nivel de conocimiento que poseen en el tratamiento metodológico en cuanto a la búsqueda de relaciones en la solución de problemas.
La entrevista: a maestros para determinar el nivel de información que poseen respecto al tema y problema de la investigación.
Prueba Pedagógica: para conocer el grado de desarrollo en la búsqueda de relaciones en la solución de problemas de adición y sustracción con números naturales.
Método experimental: se empleó la fase de pre-experimento, jugando un papel importante la aplicación y valoración de la prueba pre-test y pos-test para determinar el estado en que se encuentra el conocimiento referido a la búsqueda de relaciones en la solución de problemas, antes y después, de aplicada la propuesta de solución.
Métodos estadísticos-matemáticos.
Estadística descriptiva: en la representación de datos a través de tablas y gráficos de barra para arribar a conclusiones posterior al análisis estadístico de los mismos.
El procedimiento matemático del cálculo porcentual para representar en por cientos datos que son necesarios para el análisis estadísticos.
Se incursiona en la fase de comprensión de los problemas matemáticos, proponiendo un sistema de ejercicios para facilitar este proceso, así como un grupo de problemas con características totalmente nuevas y diferentes a los que se plantean en el programa de Matemática, que estimulan la búsqueda de relaciones apartando a los alumnos de las tendencias ejecutivistas.
El trabajo responde a la línea de investigación No 2 "Problemas del aprendizaje en nivel primario" y se incluye dentro del contenido del Programa Ramal No 3 de la enseñanza. "El cambio educativo en la escuela primaria": actualidad y perspectiva para contribuir a la formación integral de la personalidad del escolar.
El aporte práctico radica en el sistema de ejercicios para favorecer la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción con números naturales, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
La novedad científica se da en que los problemas concebidos dentro del sistema de ejercicios promueven en su solución la búsqueda de relaciones, logrando de esta forma un aprendizaje desarrollador; partiendo además de que estos son elaborados por el profesor en razón de la contextualización de los ejercicios para que les resulten más motivadores a los escolares y se apropien, por ende, de la relación que tiene la Matemática con la vida o el medio del escolar.
Su actualidad está dada en que se aborda la solución de una de las líneas priorizadas de investigación del Ministerio de Educación: "Vínculo del contenido de la enseñanza con la práctica social en la clase", partiendo del papel que debe desempeñar la enseñanza en el desarrollo pleno de los procesos cognoscitivos y en particular el pensamiento, como expresión de la personalidad que debe desarrollarse mediante un proceso pedagógico efectivo, el cual puede lograrse con el perfeccionamiento del proceso de enseñanza de la solución de problemas matemáticos en el nivel primario.
El material docente se estructura en introducción, desarrollo, conclusiones, recomendaciones, bibliografía y un cuerpo de anexos.
DESARROLLO
En la presente temática el autor refiere un acercamiento a concepciones encaminadas al proceso de asimilación de conocimientos sobre la resolución de problemas en la escuela primaria, tomando como punto de partida antecedentes históricos de este proceso; así como las nociones filosóficas y psicopedagógicas sobre la teoría del conocimiento acerca del tema objeto de estudio, asumiendo posiciones propias ante cada temática abordada.
Breve referencia a los antecedentes históricos del proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas en la escuela primaria.
La resolución de problemas es consustancial a la propia existencia del hombre como ser social. Sócrates, matemático de la antigüedad es considerado como el precursor de la enseñanza por medio de la solución de problemas.
La Didáctica de la Matemática que se enseña en Cuba, se caracteriza por un marcado saber constructivista, esto está dado por el hecho de que al abordar el tratamiento de cada una de las llamadas situaciones típicas (tratamiento metodológico de los conceptos y sus definiciones, tratamiento de los teoremas y sus demostraciones, tratamiento de las construcciones geométricas y tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto); se utiliza el llamado Programa Heurístico General, que contempla en la fase de "trabajo con el problema" la "búsqueda de la idea de solución", esto es, propiciar que los alumnos participen activamente en la búsqueda del conocimiento matemático, realizando su propia construcción.
Para comprender el significado de la Matemática y su enseñanza hay que conocer su desarrollo histórico, el cual muestra que los conocimientos matemáticos surgidos de la necesidad práctica del hombre mediante un largo proceso de abstracción, tiene un gran valor para la vida. Los fundamentos de la ciencia matemática devienen en instrumento imprescindibles para conocer y transformar el mundo, se desprende la necesidad de que los estudiantes aprendan las fases de esta ciencia de modo que puedan resolver los innumerables problemas que le plantea la práctica y en cuya solución se necesita utilizar el andamiaje matemático.
La preparación Matemática en la escuela actual adquiere una mayor importancia para la actividad práctica exterior, pues el papel de ésta en la vida social aumenta de forma rápida, el progreso científico y la complejidad técnica de la producción exige la preparación de las nuevas generaciones.
Para realizar el análisis histórico se tuvieron en cuenta los siguientes indicadores:
1. Desarrollo histórico de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática desde el Triunfo de la Revolución hasta la actualidad.
2. Regularidades de cada etapa.
3. Principales tendencias de la etapa.
Para ello se definieron las siguientes etapas:
1. Primera Etapa: Desde 1959 hasta el año 1989 (Primer plan de Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación).
2. Segunda Etapa: Desde 1990 hasta el año 1999 (Segundo Plan de Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación).
3. Tercera Etapa: Inicia en el 2000 hasta la actualidad. (Tercera Revolución Educacional).
Primera Etapa: Inicia en 1959 hasta el año 1989. Primer Plan de Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación.
Con el triunfo revolucionario en Cuba, se inician profundas transformaciones económicas y sociales, y el enfrentamiento a los problemas educacionales se ubica como prioridad. Fue necesario, llevar a cabo la alfabetización de muchos cubanos sumidos en la ignorancia y que debían adquirir la instrucción que los preparara desde el punto de vista social y cultural.
Necesaria fue una reforma general de la educación, adoptándose medidas como la nacionalización de las escuelas privadas, el establecimiento del carácter gratuito de la enseñanza, la transformación de los cuarteles en escuelas, la ampliación de los planes de estudio y la formación emergente de maestros para suplir la necesidad de personal preparado para llevar adelante los nuevos programas educacionales.
Desde la década de los setenta ha sido una tendencia en la enseñanza de la Matemática la de fortalecer la habilidad para plantear y resolver problemas, antecedido de un fuerte movimiento de innovación surgido en los años 60 con la introducción de la Matemática moderna que ubicó en un primer plano el estudio de estructuras algebraicas abstractas, acentuando los aspectos lógicos sobre los aspectos prácticos, los ejercicios formales en detrimento de los problemas prácticos, que produjo un crecimiento en el estudio de las nociones algebraicas.
El objeto de la actividad matemática en esta etapa estuvo más encaminado a la comprensión de las estructuras matemáticas, el rigor en la fundamentación de proposiciones y, en menor medida, a la resolución de problemas, lo que tuvo sus antecedentes en los auges del formalismo que presenta a la Matemática como un cuerpo estructurado de conocimientos. Hasta hace algunos años, la resolución de problemas se realizaba de manera rutinaria y era el maestro quien desempeñaba un papel protagónico, llegando incluso a realizar él la presentación y resolución del problema para mostrar su dominio del tema.
La resolución de problemas ha constituido, desde el surgimiento de la escuela, un recurso pedagógico para acercar a los objetivos que intervienen en el proceso docente educativo a su entorno social. El avance de la ciencia y la técnica en el mundo actual demanda de la escuela la tarea de "enseñar a pensar" a los alumnos, pues resulta imposible acumular todos los conocimientos que se derivan del desarrollo científico técnico en las diferentes esferas de la vida. El éxito de la enseñanza, por tanto, dependerá no sólo de la apropiación de un sistema de conocimientos, sino del nivel de desarrollo de capacidades, habilidades y hábitos que alcancen los alumnos.
La resolución de problemas resulta ser una de las problemáticas que en estos últimos tiempos está siendo abordada con gran interés y preocupación por la investigación educativa. Hablar de problemas implica considerar aquellas situaciones que demandan reflexión, búsqueda, investigación y donde para responder hay que pensar en las soluciones y definir una estrategia de resolución que no conduce precisamente a una respuesta rápida e inmediata.
La aparición del enfoque de resolución de problemas como preocupación didáctica surge como consecuencia de considerar el aprendizaje como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones con base en un proceso creativo y generativo. La enseñanza desde esta perspectiva pretende poner el acento en actividades que plantean situaciones problémicas cuya resolución requiere analizar, descubrir, reflexionar, argumentar y comunicar ideas.
En la etapa se puede destacar como principal regularidad la siguiente:
La concepción pedagógica que impera es la Tecnología Educativa, la cual se inserta en la actividad matemática, pero se siguen observando en la enseñanza y en el aprendizaje los rasgos de la Escuela Tradicional.
De la etapa analizada se determinan las siguientes tendencias:
El contenido de la enseñanza sigue desvinculado de la vida y se estructura a partir del conocimiento sistematizado; el maestro continúa impartiendo las clases auxiliado por tabloides, prevalece el papel activo del maestro por lo que el escolar todavía no es considerado sujeto de su propio aprendizaje.
Segunda Etapa: Desde 1990 hasta el año 1999 (Segundo Plan de Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación).
En esta etapa se produce el Segundo Plan de Perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación, donde se produce una descarga considerable del contenido de los programas de Matemática como vía para que los estudiantes logren la sistematización de los conocimientos y el desarrollo de las habilidades.
Desde el punto de vista pedagógico se comienzan a introducir la concepción didáctica denominada Dialéctico Materialista o Integradora derivada de los postulados de la Escuela Histórico Cultural, pero aún se observa que continúa el predominio a separar la educación de la instrucción, no aprovechándose las potencialidades que brindan tanto el contenido como el propio proceso para lograr el desarrollo de la personalidad del escolar.
En los documentos normativos del Ministerio de Educación y específicamente en las Orientaciones Metodológicas de la Matemática y el Programa Director de la Matemática, vigente desde el curso escolar 1997-1998, se insiste en el desarrollo de la habilidad resolver problemas. Además es preocupación de maestros y profesores, pues históricamente, en diferentes evaluaciones realizadas, es una de las habilidades que presenta mayor dificultad. La resolución de problemas matemáticos es una de las capacidades importantes que deben trabajarse en la escuela como parte de la situación típica de la enseñanza de la Matemática.
La formulación y resolución de problemas matemáticos ha estado presente siempre en los contenidos de la asignatura, en años anteriores se trabajaba por parte del profesor, pero en su mayoría no le daban un uso correcto al Programa Heurístico General para la resolución de problemas, trabajaba algunos de los ejercicios que aparecían en los textos y muy pocos motivaban a los alumnos para la resolución independiente de los mismos, se les daba solución en muchos casos por parte del profesor.
En cuanto a la concepción didáctica de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, en esta etapa se observa el auge de la enseñanza basada en la resolución de problemas. Se destaca la manifestación del comprometimiento de las investigaciones pedagógicas relacionadas con la enseñanza de la Matemática en la búsqueda de alternativas didácticas y su introducción en la práctica iniciándose así la corriente denominada Matemática Educativa. Todavía se observa en la clase el tratamiento del contenido de la enseñanza desvinculado de la vida y su estructuración se realiza a partir del conocimiento sistematizado.
En la etapa se puede destacar como principal regularidad la siguiente:
El objeto de la Matemática en esta etapa estuvo más encaminado a la comprensión de estructuras matemáticas, a la fundamentación de proposiciones y en menor medida, a la resolución de problemas.
De la etapa analizada se determinan las siguientes tendencias:
1. Se introducen nuevos programas, orientaciones metodológicas y libros de texto.
2. Tratamiento del contenido de la enseñanza desvinculado de la vida y su estructuración se realiza a partir del conocimiento sistematizado.
Tercera Etapa: Desde el 2000, hasta la actualidad. Transformaciones en las educaciones (Tercera Revolución Educacional)
En esta etapa prosigue la enseñanza–aprendizaje de la Matemática basada en la resolución de problemas y de la concepción de la enseñanza basada en la Didáctica Integradora, la cual es enriquecida con las mayores tradiciones pedagógicas nacionales y extranjeras y se continúa desarrollando la corriente denominada Matemática Educativa.
Con la Tercera Revolución Educacional, se introducen nuevos cambios en los programas, en los cuales los problemas que aparecen están relacionados en su mayoría con la vida práctica, muchos de ellos se trabajan en forma de ítems y se les evalúa a los alumnos en los operativos de este modo, trayendo consigo pobre desarrollo de habilidades.
En la escuela cubana se introducen las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), incorporando a la dinámica de la clase la TV Educativa, la video-clase y los software educativos concibiéndose un proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador, potenciando la instrucción, educación y desarrollo integral de la personalidad de los estudiantes.
Se comienzan a apreciar los primeros intentos por la ubicación del estudiante como sujeto de su propio aprendizaje y en la enseñanza, se observa cada vez con mayor fuerza, la utilización de métodos activos. No obstante a estos avances en la concepción didáctica de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, se observa que todavía el contenido de la enseñanza se sigue planificando y estructurando a partir del conocimiento sistematizado, y la resolución de problemas se realiza al finalizar los sistemas de clases y unidades temáticas, por lo que de esta manera la apropiación de conocimientos y el desarrollo del pensamiento lógico no se logra de forma integrada trayendo como consecuencia la fragmentación en la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos, procedimientos, relaciones y proposiciones matemáticas.
En la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero", la resolución de problemas ha sido tradicionalmente uno de los contenidos más afectados, demostrado en los últimos tiempos en las comprobaciones de conocimientos, operativos provinciales de evaluación de la calidad, visitas a clases y evaluaciones sistemáticas. En el 5to grado, en la Unidad 1 "Los números naturales", en la resolución de problemas los alumnos se detienen en la búsqueda de relaciones, pues no poseen profundidad en los conocimientos asimilados, dado en: no establecen relaciones entre los elementos que se dan y lo que se busca, no establecen analogías en procedimientos y algoritmos para la búsqueda de la vía de solución con ejercicios ya conocidos. El tratamiento de este contenido no se realiza por parte del maestro como está establecido, es decir, no se aplica el Programa Heurístico General para la resolución de problemas, los maestros no tienen en cuenta principios ni reglas heurísticas para motivar a los escolares en la resolución de problemas.
Principales regularidades de esta etapa:
Se introducen nuevas tecnologías: video-clases, software educativo que posibilitan un aprendizaje desarrollador y una mayor motivación hacia los contenidos que se imparten.
La resolución de problemas se realiza al finalizar los sistemas de clases y unidades temáticas.
De la etapa analizada se determinan las siguientes tendencias:
1. Estructurar el contenido de la enseñanza a partir del conocimiento sistematizado y estructurar el proceso de enseñanza-aprendizaje, tratando un contenido diferente para cada grado que conforma la combinación.
2. Una dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática centrada en el papel protagónico de los estudiantes, considerándolo sujeto de su propio aprendizaje.
Valoración de los referentes filosóficos y psicopedagógicos que sustentan el proceso de enseñanza-aprendizaje de búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos en la escuela primaria.
Referentes filosóficos.
El tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto (Identificación, formulación y resolución, es decir, resolución de problemas), tiene sus fundamentos filosóficos, psicológicos y pedagógicos en la Didáctica de la Matemática como didáctica pedagógica y por consiguiente tiene su fundamento filosófico en el Materialismo Dialéctico e Histórico y particularmente en la Teoría del conocimiento, específicamente en la dialéctica de lo objetivo y lo subjetivo a la verdad.
El conocimiento es un proceso que se realiza en los marcos de la relación mutua entre el sujeto y el objeto. Por eso, depende no sólo de las propiedades, relaciones y regularidades del objeto, sino también de la actividad del sujeto, de su experiencia individual, así como de los medios materiales que se dispone. El proceso del conocimiento en la Matemática se basa en conocimientos ya existentes, obtenidos por el alumno a lo largo de su desarrollo.
La propuesta del autor en la presente investigación se apoya en este enfoque dialéctico-materialista al tener en cuenta que el alumno como sujeto del conocimiento no puede lograr la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos, lo que constituye objeto de su conocimiento sino dispone de medios intelectuales para ello, pues no depende solamente de él como sujeto, estos medios se los ofrece el docente a través de muchas vías como estrategias metodológicas que contribuye a que aplique correctamente la estructura interna de la habilidad resolver problemas matemáticos, la modelación de este material docente está concebida con ese objetivo, necesidad del sujeto cognoscente: 5to grado de la Escuela Primaria. "Manuel Fajardo Rivero".
Durante las diferentes épocas del desarrollo de la sociedad, han imperado distintas tendencias sobre cuáles deben ser las características del proceso enseñanza-aprendizaje. Esto siempre ha respondido al desarrollo alcanzado por la sociedad, al régimen social existente y al nivel que han logrado las ciencias en las que se sustentan este proceso. Lo anteriormente expuesto se fundamenta en que todo responde al tipo de hombre que se desea formar en dependencia de lo que la sociedad le exige a la escuela, pues el proceso de educación es un fenómeno social y para analizar el fenómeno educativo debe tenerse en cuenta la formación económica social, la base filosófica, los fundamentos ecológicos y las corrientes y teorías pedagógicas.
Existen dos criterios filosóficos fundamentales respecto a la cognoscibilidad del mundo y los diferentes fenómenos y procesos que en él se desarrollan. Desde el punto de vista de los agnósticos, en el mundo, o bien no todo es cognoscible o, al menos, no se sabe, qué se puede conocer o cuándo. Desde el punto de vista dialéctico, el mundo es cognoscible, es por ello que se afirma que todo problema matemático tiene solución a pesar de que en determinado momento histórico pueden no estar dadas las condiciones necesarias para encontrar su solución.
Es necesario que el profesor dirija la Matemática de modo que los alumnos comprendan y puedan llevar a cabo los procesos que permitan "encontrar", "reconocer" y "resolver" problemas, que se les acceda encontrar inconvenientes que les hagan comprender la necesidad de buscar otra vía y enfrentar problemas que no tengan solución según las condiciones planteadas. Todo ello hace evidente la dialéctica de la Matemática.
La pedagogía marxista-leninista plantea que los procesos de instrucción y educación transcurren regularmente y que, en principio, están en condiciones de descubrir sus leyes. Una de las cuales plantea que el desarrollo de la personalidad depende de las condiciones sociales. Para poder comprender correctamente los procesos pedagógicos como procesos sociales, y de ellos derivar conclusiones para la propia actividad pedagógica; se necesitan amplios conocimientos prácticos del marxismo-leninismo, por lo que es necesario que los docentes se preparen pedagógicamente, teniendo en cuenta el objeto de la clase, los aspectos psicológicos y la vía dialéctica del conocimiento de la realidad objetiva.
Los postulados de la teoría marxista del conocimiento permiten comprender el papel de la práctica en el proceso cognoscitivo demostrando que esta es la base más importante del proceso que lleva a descubrir la esencia de los objetos del mundo material, como único criterio de la verdad de todo nuestro conocimiento y el objetivo final del mismo.
Por medio de las clases de Matemática se puede ejercer una influencia en la educación político moral mediante el trabajo con ejercicios y problemas relacionados con la vida que se resuelven con medios matemáticos, es necesario discutir sobre su contenido, valorar la situación planteada a lo que ella pueda inferirse y en lo posible acompañarla de datos adicionales que aporten elementos para la toma de posiciones por los alumnos.
Referentes psicopedagógicos.
A partir de un análisis realizado en la bibliografía especializada sobre la temática, resolución de problemas, se aprecian divergencias en los criterios psicológicos acerca de la naturaleza de la misma. Su definición es un problema abierto para la psicología, por lo que se manifiestan diferentes posiciones con sus lógicas consecuentes. S.L. Rubinstein señaló que la psiquis desempeña una doble función: refleja y reguladora. En esta última caracterizó dos formas funcionales: la regulación inductora y la ejecutora.
Mediante la regulación inductora se puede responder al por qué y al para qué de la actuación del sujeto, es la que determina lo que se realiza, y pertenecen predominantemente, a esta formación de regulación todos los fenómenos psíquicos que movilizan, conducen y sostienen la actuación del sujeto o son expresión de todo esto: motivaciones, vivencias afectivas, voluntad. Mediante la regulación ejecutora se puede responder al cómo y con qué de la actuación del sujeto, en dependencia de las condiciones en que se desarrolla. Pertenecen predominantemente a esta regulación todos los fenómenos psíquicos que posibiliten tomar en consideración las condiciones en que transcurre la actuación del sujeto: cognición, hábitos, habilidades, capacidades.
Algunas de las bases psicológicas para estimular la función desarrolladora del proceso de enseñanza-aprendizaje de la formulación y resolución de problemas matemáticos, se encuentran en la teoría psicológica de la actividad, desarrollada por L. S. Vigotski, S. L. Rubinstein y A. N. Leontiev. Este último planteó que la interacción entre el sujeto y el objeto, gracias a la cual se origina el reflejo psíquico que media y regula esta interacción, se da en forma de actividad.
En la psicología se acepta la premisa general de que el conocimiento es posible gracias a la actividad. Teniendo en cuenta la importancia que tiene la resolución de problemas para el desarrollo psicológico y cognoscitivo del estudiante, los problemas deben tener un carácter desarrollador, o sea, no deben orientarse al nivel de desarrollo actual del alumno sino a un estadío superior. El resolutor debe partir de lo conocido (lo dado) hacia lo desconocido (lo buscado). Cada problema resuelto pasa a formar parte del conocimiento del alumno, lo que servirá para resolver nuevos problemas dirigidos a un nivel superior de desarrollo psíquico y cognitivo; de esta forma la actividad planificada de resolver problemas matemáticos conduce al desarrollo de procesos mentales y estos a su vez facilitan la resolución de dicha tarea docente. En esto se manifiesta la teoría de Vigotski sobre la "Zona de desarrollo Próximo" (ZDP), que expresa la relación interna entre enseñanza y desarrollo.
Vigotski define la Zona de Desarrollo Próximo(ZDP) como la distancia que existe entre la capacidad individual de un alumno (lo que puede hacer por sí solo) y la capacidad que tiene para ejecutar algo con ayuda (lo que hace con ayuda de otros más capaces), la distancia entre el nivel real del desarrollo, determinado por la resolución de problemas de manera individual, y el nivel de desarrollo potencial determinado mediante la solución de problemas con la guía de un adulto o en colaboración con compañeros más capaces.
En la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos, se manifiesta este principio vigotskiano, cuando el alumno para resolver un problema, debe tener habilidades, el cálculo con números naturales, la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa, pero no logra por sí solo traducir la situación práctica al lenguaje algebraico y con ayuda de los diferentes impulsos y estrategias de trabajo que puede utilizar el profesor, el alumno debe llegar a plantear relaciones que solucione el problema planteado.
Desde este punto de vista psicológico la posición que asume el autor es el enfoque histórico-cultural de Vigotski, según el cual una educación desarrolladora es la que conduce al desarrollo, va delante de él, guiándolo, orientando, estimulando. Es también aquella que tiene en cuenta el desarrollo actual para ampliar continuamente los límites de la zona de desarrollo próximo y los progresivos niveles de desarrollo del sujeto. Es la que promueve y potencia aprendizajes desarrolladores.
Han surgido diferentes concepciones del proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador. Sus posiciones generales respecto a las relaciones entre la enseñanza, el aprendizaje y el desarrollo son afines, y responden a expectativas sociales y necesidades educativas comunes. Tienen como base común:
a) un enfoque dialéctico y humanista del proceso de enseñanza-aprendizaje, considerando la unidad de lo afectivo y lo cognitivo y de lo instructivo y lo educativo,
b) el papel otorgado al desarrollo de la conciencia y la autoconciencia en la formación de la personalidad,
c) el esclarecimiento de los momentos funcionales de la actividad (orientación, ejecución y control) que determinan y expresan diferentes formas del funcionamiento y de la estimulación del desarrollo.
La actividad es un proceso mediante el cual el sujeto interactúa con el medio que lo rodea incluyendo a otros sujetos, incidiendo en él, transformando y en el mismo tiempo recibiendo sus influencias en mayor o menor medida también transforman al propio sujeto, es entendida esta como "aquellos procesos mediante los cuales el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona con la realidad, adoptando determinada actitud hacia las mismas" [1]La actividad humana y su estructura presentan en unidad las dos formas funcionales de regulación: inductora y ejecutora. Es importante recalcar que el carácter regulador de la psiquis no es solo inductor ni exclusivamente ejecutor. Ambas formas funcionales de regulación, se manifiestan como una unidad, ellas se interpenetran, se influyen recíprocamente, pero no se pueden reducir la una a la otra y no se deben dejar de reconocer sus especificidades.
Desde el punto de vista pedagógico se aspira a desarrollar en los alumnos una actitud de aceptación hacia las matemáticas, al lograr una mayor motivación por la misma por medio del planteo de situaciones problemáticas, tanto de carácter intramatemático como de la vida que le muestre una utilidad inmediata de lo que está aprendiendo en la escuela. Para el logro de tal objetivo el docente debe contar con una caracterización lo más precisa posible de lo que es un problema matemático.
La Matemática tiene su origen en los fenómenos de la realidad objetiva y mediante abstracciones, idealizaciones, generalizaciones u otros procedimientos específicos, conduce a conceptos, proposiciones, estructuras, sistemas de ideas, que a menudo están muy lejos de su origen en la realidad. La dialéctica de la Matemática se expresa en la aplicación de la Matemática a la solución de problemas. En tales casos no siempre es fácil encontrar la vía de solución sin fracasos y errores. Con frecuencia la vía seleccionada no conduce a la solución, por diferentes razones (las inferencias no son correctas, se usan condiciones no dadas en el problema, se deja de considerar alguna condición dada), entonces es necesario retornar al punto de partida, hasta que una vez hallada la idea de solución, ésta se desarrolla en forma segura dentro del marco del formalismo matemático.
El profesor necesita conocimientos sólidos y bien fundamentados, de Economía Política y del Comunismo Científico, para lograr que los alumnos adquieran conocimientos político-ideológicos. Sobre esta base el educador selecciona el material numérico para la clase de Matemática y contribuye a que los alumnos comprendan cada vez mejor las relaciones cuantitativas de su medio y que obtengan las primeras nociones sobre las leyes económicas y de otro tipo, de los procesos sociales. Esto permite apreciar claramente que todo pedagogo en el sistema social socialista solo puede cumplir su tarea cuando profundiza y amplia constantemente sus conocimientos.
La Metodología de la Enseñanza de la Matemática se ocupa del contenido, las regularidades y la estructuración que se deducen de ellos, de todos los procesos pedagógicos como la enseñanza y el aprendizaje para la asimilación de conocimientos y el desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas que sirven a la asimilación del saber y el poder matemáticos. Los conocimientos que la metodología de la Enseñanza de la Matemática imparte, deben verse, por una parte, como especificación y concreción de los contenidos de Pedagogía, esto es válido específicamente para la Didáctica. Esta metodología muestra cómo se pueden cumplir en la clase los principios didácticos generales, como: la unidad de la instrucción y la educación, la unidad de lo científico y lo partidista, la unión de la escuela con la vida y la sistematización de la enseñaza.
Ésta enseña cómo debe guiarse el proceso de abstracción para que se puedan comprender los conceptos matemáticos desde el punto de vista del contenido, un profesor de Matemática debe tener amplios conocimientos, pero esto no es suficiente para ser un buen profesor, debe amar al niño, conocer sus capacidades y condiciones si les quiere transmitir saber y poder matemáticos.
El autor considera pertinente destacar que en el tratamiento de ejercicios de aplicación o con texto, en la búsqueda de relaciones en la solución de problemas, predomina la función desarrolladora; ya que esta está encaminada a fomentar el pensamiento de los alumnos (en particular, la formación en ellos del pensamiento científico y teórico) y a dotarlos de métodos efectivos de actividad intelectual. Otro aspecto a tener en cuenta es su contribución a la formación y desarrollo del pensamiento lógico de los escolares, lo cual se realiza cuando este analiza distintas vías de solución del ejercicio, cuando analiza uno u otro método de solución, cuando aprende a extraer y utilizar la información contenida en él, cuando es capaz de construir ejercicios sobre la base de uno dado.
Esta función es rectora en el caso de ejercicios destinado a la búsqueda de relaciones donde el escolar utiliza los métodos del conocimiento científico (observación, comparación, experimentación, análisis y síntesis, generalización) como método de aprendizaje.
Esta función está presente en la mayor parte de los ejercicios, esencialmente en la solución de problemas, donde los escolares aprovechan conocimientos anteriormente asimilados para modelar situaciones o aprovechar modelos conocidos para su solución.
Relacionado con la resolución de problemas se han desarrollado en nuestra provincia interesantes trabajos entre los cabe destacar el realizado por José Luis Lizabeth, quien propone una estrategia didáctica para establecer el vínculo del contenido de la enseñanza con la práctica social, a través del proceso de enseñanza de la resolución de problemas matemáticos, 1998.
El autor de esta investigación asume los postulados abordados en la propuesta anterior, considerando que un elemento importante en la solución de problemas, tiene que ver con el tratamiento metodológico que se le da a la temática desde los primeros grados de la enseñanza primaria, así como habilidades esenciales que se deben tratar no sólo en la signatura Matemática, sino, en todas las que componen el plan de estudio de este nivel de enseñanza, como son interpretar, explicar entre otras.
Otro aspecto a considerar en el proceso de solución de problemas es el pensamiento lógico en los estudiantes. El docente debe dedicar su atención a los procesos lógicos del pensamiento que son necesarios a la hora de seleccionar diferentes problemas y además en las cualidades del pensamiento que hacen posible una mayor efectividad al resolver problemas como son:
La independencia del pensamiento que se pone de manifiesto, ante todo, en la habilidad de ver y plantearse una cuestión, un nuevo problema, y después resolverlos por sí mismo. El carácter creador del pensamiento se expresa clara y precisamente en esta independencia.
La flexibilidad del pensamiento que consiste en la habilidad para variar una vía o plan trazado previamente parta la solución de las paresa si no satisface las condiciones del problema que se va analizando durante el proceso de solución y que no fue posible tener en cuenta desde el principio.
La rapidez del pensamiento es necesario especialmente cuando del hombre se exige adoptar decisiones en un corto período de tiempo.
Todas las cualidades del pensamiento enumeradas y muchas otras, están estrechamente relacionadas con su cualidad o característica fundamental. La característica o cualidad básica de todo pensamiento–independientemente de las cualidades aisladas, individuales–es la habilidad para destacar lo esencial para arribar independientemente a nuevas generalizaciones. Cuando el hombre piensa, no se limita a la constatación de uno u otro acontecimiento o hecho aislado, por muy claro, interesante, nuevo e inesperado que resulte. El pensamiento debe ir hacia adelante, profundizando en la esencia del fenómeno dado y descubriendo la ley general de desarrollo de todos los fenómenos homogéneos (uniformes), que exteriormente no se diferencian entre sí.
Este pensamiento lógico se manifiesta a través de ideas, que poseen una determinada estructura, estas se refieren a las formas lógicas del pensamiento: los conceptos, juicios y razonamientos, de ahí que el desarrollo del mismo debe ser un objetivo global de todo el trabajo de la escuela, pues iniciar desde los primeros grados con este objetivo ofrece la posibilidad de lograr que el niño razone, conozca, interprete, valore de manera consciente cada situación y llegue a comprender la esencia de los objetos y fenómenos de la realidad. Respecto a lo anterior se coincide con Teresa Sans ( 1989 ) cuando al referirse al pensamiento lógico lo considera como un nivel superior en la actividad cognoscitiva del hombre.
La resolución de problemas en el municipio Media Luna, no ha sido suficientemente abordada por el personal de este nivel de enseñanza. Aunque se han realizado investigaciones dirigidas al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y al desarrollo de habilidades en las etapas de este proceso; no se han realizado estudios sobre la óptica de la búsqueda de relaciones en su solución, máxime si se tiene en cuenta que durante la culminación de estudio del dominio numérico de los números naturales ya el escolar tiene que haber asimilado todo el sistema de conocimiento, haber desarrollado habilidades, hábitos y capacidades para operar con dicho dominio.
Se puede citar la investigación realizada por Ciro Borges Riverón, quien propone: Un sistema de ejercicios matemáticos contextualizados para favorecer la asimilación de conocimientos y el desarrollo de habilidades en los escolares de multigrado combinado 5to – 6to de la escuela primaria. El autor de la presente investigación le concede gran importancia a la temática investigada anteriormente, ya que aborda una problemática que para muchos ha sido la investigación pendiente en el subsistema de la educación primaria, por tratar: ¿el cómo hacer en la enseñanza del multigrado propiciando un aprendizaje desarrollador?
Otra investigación relacionada con el tema es la realizada por Claudio Yero García quien dirige su investigación hacia: Un sistema de ejercicios para favorecer el desarrollo de la habilidad de cálculo multiplicar por el número natural 6 en escolares de segundo grado de la escuela primaria. Si se analiza esta investigación se puede concluir que el punto de contacto con el presente material docente es la importancia que tiene la habilidad de cálculo en la operación multiplicar para la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos y que para llegar a comprender y aplicar bien esta operación es necesario seguir un grupo de sucesiones de indicaciones con carácter algorítmico (SICA) al igual que para resolver problemas. El autor del presente trabajo considera que la anterior investigación pudo abarcar un campo más abierto y no referirse solamente, al número 6, teniendo en cuenta que se trata de un periodo del escolar donde se goza de actitudes y potencialidades para el saber.
La Pedagogía Cubana se ha enriquecido por trabajos desarrollados de los investigadores nacionales que gozan de un merecido prestigio, además se han creado grupos de trabajos que se dedican específicamente al tratamiento de los problemas matemáticos.
En el establecimiento de relaciones, en la solución de problemas, se tienen en cuenta también los niveles de desempeño declarados por el Sistema de Evaluación de la Calidad de la Educación (ICCP, 2003). En el caso, de este material docente se propone el trabajo con escolares del tercer nivel de asimilación, a razón de que el tema abordado es típico del mismo. En este proceso investigativo no se obvian los escolares de los restantes niveles; pues la dinámica del proceso enseñanza-aprendizaje, permite atender las diferencias individuales. En correspondencia con los escolares del tercer, nivel estos son capaces de resolver problemas propiamente dichos donde la vía general no es conocida para la mayoría. Los alumnos son capaces de reconocer estructuras matemáticas más complejas (MSc. Silvia Puig, 2004)
El planteamiento de problemas se comprende como un medio para estimular en el alumno la interpretación de una determinada situación, al analizar las condiciones que se dan para luego discernir las vías de solución, partiendo de los conceptos, teoremas y procedimientos que son los instrumentos de que dispone y los modos de sistematizarlos en función de un objetivo (estrategias) según la interpretación realizada.
Considerar los instrumentos y las estrategias en el concepto de la habilidad para resolver problemas matemáticos y no considerar uno como parte del otro obedece a que los alumnos pueden dominar un modo de actuar ante un problema y no disponer de los instrumentos necesarios y viceversa, tener la información y no poder estructurarla a través de una estrategia para cumplir el objetivo.
Enfoque del proceso enseñanza-aprendizaje en la resolución de problemas matemáticos
Los ejercicios en la Enseñanza de la Matemática
Ejercicios: Actividad intelectual o trabajo aplicado a las clases que se imparten. [2]
Existen diferentes criterios del concepto ejercicio, la mayoría de los autores lo definen como una exigencia para la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, entre otras. Sergio Ballester Pedroso plantea, que entre los ejercicios se consideran ejercicios portadores de información, aquellos que una vez resueltos dejan mostrado un nuevo conocimiento de utilidad para la solución de otros ejercicios.
Horst M?ller entiende como ejercicio en la Enseñanza de la Matemática una exigencia para actuar que se caracteriza por:
1. El objetivo de las acciones;
2. El contenido de las acciones;
3. Las condiciones para las acciones.
El objetivo de todas las acciones en la resolución de un ejercicio es, en cada caso transformar, una situación inicial en una situación final.
El contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio está caracterizado por:
Objeto de las acciones, que puede estar dados por los elementos de la materia Matemática; la correspondencia entre situaciones extramatemáticas y elementos de la materia matemáticos y los procedimientos heurísticos.
Tipos de acciones: identificar, realizar, comparar, clasificar, fundamentar, aplicar.
Las condiciones, las exigencias que el ejercicio plantea al alumno, expresada por el grado de dificultad del ejercicio.
Teniendo en cuenta lo antes planteado, el autor considera que los ejercicios son un medio de repetición constante, orientados y dirigidos de determinada actividad con el objetivo de asimilar conscientemente los conocimientos, habilidades y hábitos, es decir, ejercicios es aquella tarea en la que el educando conoce los procedimientos para realizarla y el enunciado de la misma le brinda la vía para resolverlo.
Los ejercicios que existen en la enseñanza de la Matemática se pueden clasificar bajo distintos aspectos. Como concepto superior seleccionaremos el siguiente:
Ejercicios de aplicación: Son problemas que surgen en la práctica, pero para su solución se aplican procedimientos matemáticos.
A los ejercicios de aplicación y con textos se les denomina problemas en el sentido más restringido.
Los ejercicios de aplicación y con textos, se resuelven en todos los grados de la educación, los objetivos del tratamiento de este tipo de ejercicios se recoge en las exigencias de los programas de la enseñanza, en los que se plantea que mediante la solución de estos ejercicios:
Deben ser fijados conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos.
Cumplirse los objetivos planteados a la escuela con respecto a la educación y formación politécnica.
Desarrollar las capacidades de los alumnos para aplicar la Matemática aprendida.
Los ejercicios de aplicación y con textos tienen una gran significación para la educación ideológica en la enseñanza de la Matemática, estas potencialidades educativas están en los ejercicios de la vida económica, política y social.
Para la solución de este tipo de ejercicios la escuela cubana sigue el modelo de las ideas de Polya y que Campistrous y Celia Rizo hacen referencia.
Las dificultades que presentan los alumnos en la asignatura, en su mayoría, se relacionan con el pobre dominio que poseen en la resolución de problemas matemáticos, influenciado esto en la insuficiente aplicación por parte de los profesores del Programa Heurístico General para la resolución de problemas, pues para lograr que el alumno resuelva los mismos es necesario hacer uso de diferentes impulsos. La enseñanza de la Matemática en la escuela primaria tiene entre otras funciones, el desarrollo en los alumnos de un pensamiento lógico a partir de la solución de problemas, de modo tal que le permita analizar y comprender el medio social en que se desenvuelve.
La Didáctica de la Matemática que se utiliza en Cuba está fundamentada en las teorías constructivistas, sin embargo, al estructurar la enseñanza por medio de las funciones didácticas, se tiene en cuenta un aspecto no considerado por esas posiciones en su total dimensión: las condiciones histórico-culturales en las que se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje, esto es, tener en cuenta el desarrollo alcanzado por los alumnos, sus potencialidades, la necesidad de una adecuada motivación y orientación hacia el objetivo que se persigue.
En las tendencias contemporáneas de la enseñanza de la Matemática, las epistemologías constructivistas sustentan la enseñanza por resolución de problemas que pone énfasis en los procesos del pensamiento que tienen como eje principal la actividad del alumno colocándolo en la situación de participar en el descubrimiento del nuevo conocimiento como afirma Miguel de Guzmán (1992), en el método de enseñanza por resolución de problemas se trata de armonizar adecuadamente la componente heurística (atención a los procesos de pensamiento) y los contenidos específicos del pensamiento matemático, sin embargo, en este sentido critica la falta de modelos adecuados que orienten al profesor en la integración de los contenidos y procesos en un todo armonioso en la dirección del aprendizaje.
Son muchas las definiciones que se han dado de problema matemático, tanto desde el punto de vista psicológico como pedagógico.
Para Parra (1990), un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata.
El Dr. S. Ballester Pedroso lo define como "un ejercicio que refleja determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige de medios matemáticos para la solución. Se caracteriza por tener una situación inicial conocida (datos, elementos dados), mientras que su vía de solución también desconocida se obtiene con ayuda de procedimientos heurísticos". (Ballester et. 1992, p. 407).
"Un problema tiene ese carácter, ante todo, porque nos presenta puntos desconocidos en los que es necesario poner lo que falta". [3]
"Un problema matemático con texto puede considerarse como una exposición en el lenguaje cotidiano, de determinado hecho, proceso u objeto, del cual nos dan directamente ciertas características y se nos pide hallar otras, que no son directamente ofrecidas en el enunciado". [4]
"Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a trasformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer hacer la transformación". [5]
"Un ejercicio es un problema si y solo si la vía de solución es desconocida por la persona". [6]
El Dr. Luis Campistrous y la Dra. Celia Rizo en su libro Didáctica y resolución de problemas ratifican que cuando la vía de solución es conocida, el ejercicio deja de ser un problema.
El autor asume el concepto de problema matemático dado por el Dr. S. Ballester por considerar que es un ejercicio que refleja determinadas situaciones de la vida práctica y que para solucionarlo requiere de medios matemáticos.
El carácter de problema de un ejercicio está en dependencia del escolar a que se encuentra dirigido. En un sentido didáctico, se requiere que:
El escolar tenga disposición interna, interés, motivos para enfrentar el ejercicio.
Los medios necesarios y suficientes para la solución, y los recursos intelectuales que permiten solucionar el ejercicio, estén en el entorno entre lo conocido y lo posible por conocer de forma independiente, o con una ayuda comprensible.
La Línea Directriz: planteo, formulación y resolución de problemas.
El concepto de línea directriz se formula en los Programas de Matemática escolar cubana a partir de la década del 70, con el perfeccionamiento de los planes de estudio y programas de Educación General.
La línea directriz planteo, formulación y resolución de problemas retoma aspectos positivos de la directriz "Matematizar problemas extramatemáticos" y le incorpora nuevos elementos en correspondencia con un enfoque sociocultural, que pretende dar realce a la búsqueda de problemas y su formulación como una fase previa a su resolución. Los problemas se presentan como punto de partida ante los nuevos conocimientos y no sólo como ejercicios de particular importancia para la fijación de estos.
El autor concluye con el estudio psicológico y pedagógico realizado que los alumnos no están óptimamente preparados para enfrentar la búsqueda de relaciones al resolver problemas.
Labarrere (1990), caracteriza las principales dificultades de los estudiantes al resolver problemas, las cuales, como se ha planteado, son al mismo tiempo dificultades del pensamiento que se manifiestan en las limitadas capacidades creativas. Las dificultades siguientes son las más típicas y las más comunes:
Análisis superficial y fragmentado de los problemas (la situación, las relaciones y la exigencia).
Fuerte tendencia a operar con los datos, a hacer cálculos sin la suficiente conciencia de la lógica que los sustenta (tendencia al ejecutivismo).
Poco desarrollo de las habilidades de monitoreo y control de la actividad de resolución (faltan habilidades metacognitivas).
Atenuación de los motivos para el trabajo intelectual de la resolución de problemas.
Resulta evidentemente que los aspectos señalados tienen que ver directamente con el pensamiento de los alumnos estudiados en éste material docente y que afectan el desarrollo de la capacidad creativa y la sensibilidad a la búsqueda de relaciones.
Otras investigaciones realizadas sobre el proceso de resolución de problemas reflejan que muchas de las formas de trabajo de los escolares expresan dificultades del pensamiento que coinciden con las señaladas por Labarrere.
El proceso de enseñanza–aprendizaje de las Matemáticas en la escuela primaria se subordina a las leyes de la dialéctica, es internamente contradictorio, donde estos aspectos son: enseñanza – aprendizaje, forma – contenido, lo viejo – lo nuevo, esencia – fenómeno, es por tanto, necesaria su organización aplicando las leyes de la dialéctica.
La tarea docente de resolver problemas matemáticos debe transitar por las formas del pensamiento lógico como es la formación de conceptos, con una educación desarrolladora que guía, orienta y estimula al estudiante la medida.
Para fundamentar el papel de la resolución de problemas en el desarrollo del pensamiento lógico y como fuente del conocimiento, atendiendo a que el proceso de aprendizaje no consiste solamente en que los estudiantes asimilen conocimientos acerca de los fenómenos, los objetos y los procesos, sino que además deben desarrollar capacidades para actuar en consecuencia con estos en un contexto determinado, asimilar los procedimientos de actividad que encierra los mismos, incluyendo la adquisición de experiencia en la actividad creadora, descubrir intereses personales, adquirir conocimientos de sus capacidades y posibilidades intelectuales, en esencia configurar una personalidad en correspondencia con las exigencias de la sociedad, se valora el uso de la resolución de problemas, como vía para aprender durante el proceso de enseñanza – aprendizaje de las Ciencias en la Secundaria Básica.
La solución de problemas contribuye de manera significativa al desarrollo del pensamiento de los estudiantes, ya que es una compleja actividad mental que obliga a pensar y por consiguiente a la activación de diferentes operaciones del pensamiento, como el análisis-síntesis, la comparación y las generalizaciones, en esto radica la función desarrolladora de la solución de problemas.
En la aplicación, el tratamiento de problemas se puede organizar en atención a diferentes modelos. La escuela cubana tiene tradición en la aplicación del modelo que se basa en las ideas de Polya, estructuradas como un programa heurístico general para la resolución de problemas, que consta de de las siguientes etapas: orientación hacia el problema, trabajo en el problema, solución del problema y evaluación de la solución y la vía (Jungk, 1981, p. 111).
Las acciones principales que corresponden a cada etapa, son:
Orientación hacia el problema. Esta etapa comprende la motivación del problema, el planteamiento del problema y comprensión del enunciado del problema. El estudiante comprende el enunciado del problema cuando es capaz de reproducirlo con sus propias palabras y analizar cuáles son sus componentes esenciales. El profesor debe dirigir sus acciones a que el estudiante comprenda el mismo, para lo cual es necesario responder una serie de preguntas:
¿De qué trata el problema?, ¿qué datos se dan?, ¿qué se busca?
¿Determinan los datos la solución del problema?, ¿son suficientes?, ¿sobran?
¿Podría proponerse el problema de otra manera?, ¿puede hacerse un esbozo o gráfico que esclarezca la situación?
Trabajo en el problema. En esta etapa se precisa el problema, se analizan los medios, se busca una idea de solución. El encontrar una idea de solución (o vía de solución) es un proceso de análisis para el cual se pueden sugerir algunas actividades como:
Formular las relaciones entre los datos y la incógnita.
Tratar de relacionar el problema con otro conocido y cuya solución sea más simple o inmediata.
Transformar o introducir una nueva incógnita, acercándola a los datos.
Transformar los datos, obtener (o deducir) nuevos elementos más próximos a la incógnita.
Recordar la solución de ejercicios análogos.
Analizar si se han tenido en cuenta todos los datos.
Generalizar el problema, si es posible.
Analizar casos particulares.
Resolver problemas parciales (considerar solo una parte de las condiciones).
Hacer gráficos que ilustren las relaciones encontradas.
Solución del problema. En esta etapa se ejecuta el plan de solución obtenido en la fase anterior y se representa la solución del problema. Este es un proceso de síntesis y se debe fundamentar la corrección de cada paso, realizar los cálculos necesarios, resolver ecuaciones, simplificar, transformar expresiones, etcétera.
Evaluación de la solución y la vía. Esta etapa comprende la comprobación de la solución, la determinación del número de soluciones, se señalan casos especiales, posibilidad de transferir la vía de solución a otros ejercicios.
Estas ideas constituyen una sucesión de indicaciones que ayudan a reflexionar, a buscar los medios matemáticos y la idea de solución. Este modelo, complementado por las técnicas propuestas por el Dr. Campistrous, debe orientar la estructuración metodológica de la aplicación por el docente y las acciones de los estudiantes cuando se enfrentan a la solución de problemas. La dirección de la resolución de problemas en correspondencia con este modelo, contribuye a la formación y el desarrollo de hábitos y habilidades y crea condiciones para la solución independiente de problemas por los estudiantes.
Entre las etapas por las que transcurre el proceso de solución de problemas y las fases previstas para su tratamiento metodológico hay muy pocas diferencias, y estas radican fundamentalmente en las acciones que debe realizar el profesor para propiciar la actividad del estudiante en la solución de problemas, o sea, que se tiene en cuenta su accionar para la motivación de la actividad, así como el empleo de medios y procedimientos heurísticos para propiciar la actividad del estudiante, e inducirlos al uso de estos elementos como herramientas para la resolución de problemas.
Diagnóstico para la precisión de las principales dificultades presentadas en la búsqueda de relaciones para la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
Para dar a conocer el estado inicial en que se encuentra la búsqueda de relaciones para la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero", se aplicaron métodos, técnicas e instrumentos empíricos a la muestra seleccionada. Con estos se obtuvieron los siguientes resultados:
En la observación inicial a clases se obtuvieron los siguientes resultados (ver anexo 1):
Generalmente no siempre se posee dominio total del contenido a impartir.
Habitualmente no se realiza una estructuración lógica-metodológica en la planificación y orientación de los ejercicios.
No se observa el uso de ejercicios relacionados con el entorno del escolar para lograr la motivación e interés en su solución.
Generalmente no se realiza una adecuada preparación de los alumnos para enfrentar la solución de problemas.
Predominio general del método reproductivo de aprendizaje al emplearse ejercicios, con exigencias mínimas en el contenido para los diferentes tipos de escolares según el aprendizaje y descontextualizados.
La encuesta inicial al maestro arrojó los resultados siguientes: (ver anexo 3)
El encuestado tiene como prioridad en la realización del diagnóstico el tipo de aprendizaje y la obtención de un resultado, ubicando en penúltima opción la aplicación del contenido a situaciones de la práctica.
Expresa que los ejercicios que propone a los alumnos son del libro de texto, los de la teleclase, y ejercicios del software educativo. Es significativo que no propone ejercicios relacionados con el contexto de los escolares.
El docente encuestado refiere que los aspectos por orden de prioridad que el maestro debe asumir en el proceso de solución de un ejercicios son:
1. Resultado final del ejercicio.
2. El proceder inmediato en su solución.
3. No constituye para él una prioridad la reflexión de la utilidad y aplicación del ejercicio a situaciones del entorno.
El maestro manifiesta no planificar ni orientar ejercicios contextualizados en las clases al referir pobre dominio de datos estadísticos y de la metodología para elaborar ejercicios.
En la entrevista inicial al maestro se obtuvieron los resultados siguientes: (ver anexos 4).
Manifiesta no tener dominio suficiente para impartir el contenido, ni estar orientado sobre los métodos que deben aplicar para lograr en los escolares avances en la asimilación de conocimientos y la búsqueda de relaciones en la solución de problemas.
Se muestra inconforme al no planificarse ni desarrollarse acciones desde el Consejo Técnico que le permita recibir una preparación metodológica adecuada para favorecer la asimilación de conocimientos y la búsqueda de relaciones en la solución de problemas.
Conoce las insuficiencias de sus escolares por elementos del conocimiento en la solución de problemas, pero carece de procedimientos para darles seguimiento de forma diferenciada.
Descuida los pasos lógicos o algorítmicos para la búsqueda de relaciones en la solución de problemas, al sólo referirse a la obtención de un resultado.
Al aplicar la prueba pedagógica pretest se obtuvieron los siguientes resultados (ver resultados del anexo 5, tabla 3).
Sólo el 38,8% de los escolares identifican ejercicios relacionados con la vida práctica y en específico los relacionados con su entorno.
Sólo el 50% de los escolares saben plantear la vía de solución de los problemas.
El 27,7% de los alumnos llegan a solucionar los problemas.
Sólo el 11,1% de los escolares comprueban la solución del problema y realizan un análisis de la vía o vías de solución aplicada.
En correspondencia con la búsqueda de relaciones:(ver anexo 5, tabla 4)
Sólo el 44,4% de los escolares manifiestan independencia en la solución de los problemas.
El 27,7% de los alumnos logran trabajar con rapidez en la solución de los problemas.
Sólo 11,1% de los escolares llegan a adquirir flexibilidad en la búsqueda de relaciones.
Tomando en consideración los resultados de la prueba pretest se concluye que los docentes inicialmente se ubican en las siguientes categorías en la búsqueda de relaciones para la solución de problemas:
13 se ubican en la categoría de bajo.
3 en la categoría de medio.
2 en la categoría de alto.
Estos resultados permiten inferir que hay que incidir en el objeto de investigación propuesto para poder transformar la realidad actual de proceso enseñanza-aprendizaje en la solución de problemas de adición y sustracción con números naturales.
Para lograr el objetivo antes planteado se propone un sistema de ejercicios para favorecer la búsqueda de relaciones en la solución de problemas.
Sistema de ejercicios para favorecer la búsqueda de relaciones en la solución de problemas matemáticos de adición y sustracción, en los escolares de 5to grado de la Escuela Primaria: "Manuel Fajardo Rivero".
Fundamentación teórica y metodológica del sistema de ejercicios.
La asignatura Matemática se estudia en todos los grados de la escuela primaria y se ha concebido de manera tal que tanto su contenido como el enfoque ideológico y metodológico de su tratamiento, ilustran el papel de esta ciencia como un instrumento para conocer y transformar el mundo.
Didáctica Particular
El autor asume en este sistema los componentes del proceso docente educativo declarados por Álvarez de Zaya. El problema, el objetivo, el contenido, el método, el medio y la forma y organización, el dominio y aplicación consecuente de estos componentes por el educador le permitirán hacer eficiente el proceso docente educativo, es decir, lograr el objetivo propuesto con el empleo mínimo de recursos materiales y humanos. Todo ello contribuye a que la calidad del aprendizaje en los educandos de referencia adquiera un carácter científico y consciente, teniendo en cuenta el encargo social que la sociedad le plantea a la escuela, de preparar al hombre para la vida, constituyendo este el fin de la educación cubana.
La naturaleza misma del fenómeno y consciente del papel que juega en la educación la preparación del hombre para la vida , en el componente objetivo del proceso docente-educativo, se considera necesario abordar a la luz de un aprendizaje consciente y desarrollador que no se limite solamente a la posibilidad que brinda el programa de estudio de la asignatura en el grado, sino que se trate con intencionalidad, teniendo claridad de la importancia que tiene la resolución de problemas en tal sentido, lo que presupone en su explicación los nexos existentes entre los componentes del sistema de ejercicios matizados por el carácter rector de los objetivos.
Partiendo de la posición que ocupa el objetivo como componente rector del proceso, no se puede hablar de una educación desarrolladora si sus objetivos en sí mismo, no lo son, pues son ellos los que determinan la actuación consciente del hombre en cualquier circunstancia.
En el proceso de formación de los estudiantes de referencia, adquiere una trascendental importancia: el objetivo es rector en tanto se subordinan a él, por jerarquía los elementos componentes del proceso contenido, método, medio, evaluación, pero también el alumno subordina su actuación a un objetivo concebido por él o por el educador en correspondencia con el nivel de desarrollo alcanzado por el educando en un momento dado para la actuación en los marcos de una actividad, pero al cual el maestro también subordina su actuación en el proceso de dirección de la misma. Las formas de Organización de la enseñanza: (¿Cómo organizar el proceso de enseñar y aprender?) constituyen la estructura externa que dinamiza el proceso pedagógico (J. Zilberstein, 1999); en ellas intervienen los componentes personales y no personales. La forma de organización de la enseñanza predominante en esta propuesta será:
La clase, como forma fundamental de organización del proceso de enseñanza-aprendizaje se realizará a través de:
La enseñanza frontal: en la cual el docente se dirige a todos los alumnos del aula para transmitir información comunes y permite además, que todos los alumnos de la clase realicen determinada tarea de aprendizaje de forma simultanea bajo su dirección independientemente que existan diferencias en las competencias cognoscitivas, cuando se elabora la materia y cuando se comprueba el resultado de la fijación, entre otras actividades, con todos los alumnos.
La enseñanza en grupos cooperativos: se emplea en la elaboración de nuevos conocimientos, en la solución comentada de ejercicios entre sí, en la solución de ejercicios parciales, formando pequeños grupos de diferente competencia cognoscitiva estableciendo la interacción del experto-novato en la cual colaboran los alumnos entre sí con un alumno líder, trasmitiendo las experiencias y conocimientos de los expertos a los novatos, las tareas asignadas pueden ser iguales para todos los del colectivo o diferentes, es importante que cada colectivo expongas sus resultados del trabajo realizado y así ser evaluados. Para hacer efectiva esta forma de organización es importante la utilización de medios de enseñanza que den la posibilidad al alumno de consultar con el grupo de trabajo las posibles soluciones que pueden tener determinado problema. Se trata de lograr un aprendizaje consciente y duradero en los educandos, por lo que no se puede disminuir la importancia que tiene la utilización de estos ya que constituyen los recursos para enseñar y aprender, los cuales integran el sistema y que son vitales para alcanzar los objetivos propuestos en cada actividad, la importancia de este integrante del proceso se acrecienta cuando se analiza partiendo de la teoría marxista-leninista del conocimiento, en la cual los medios de enseñanza alcanzan un lugar relevante.
El autor de esta investigación considera importante la utilización del método de exposición problémica como elemento esencial para lograr el cumplimiento de los objetivos propuestos en cada uno de los ejercicios que se propone ya que este permite desarrollar todas las capacidades de los escolares. Este método por su esencia, consiste en hacer que los problemas más importantes de la enseñanza se conviertan también en un problema para los escolares, exige por parte de los maestros, conocer qué conocimientos del programa se prestan para presentarlos como una situación conflictiva, o sea, de lo que se trata es, de utilizar , elementos de la enseñanza problémica en el método de la exposición problémica por parte del maestro , quien junto con la transmisión de conocimientos muestra la vía para solucionar determinado problema.
El sistema de ejercicios que se propone se fundamenta en los siguientes presupuestos teóricos:
1. Desde lo filosófico: Se asumen los fundamentos de la teoría Dialéctico Materialista del conocimiento y la teoría general de los sistemas: el hecho de que cada ejercicio es un eslabón de la cadena del sistema. Los ejercicios reúnen un sistema de criterios científicos, ideológicos y metodológicos, es decir, son un todo armónico desde el punto de vista de los objetivos, del contenido, de los métodos y de las medidas organizativas necesarias para la enseñanza (Pedagogía. Colectivo de autores: Pág. 285).
2. Desde las tendencias actuales de la pedagogía: que aborda como objeto el proceso conscientemente dirigido a la formación integral de la personalidad.
3. Desde la Didáctica: en sus leyes:
Primera ley: la escuela en la vida, que establece las relaciones del proceso docente-educativo con el contexto social. Esta establece la dirección del desarrollo del mismo, siendo el objetivo la categoría rectora. Constituye un pilar fundamental en el sistema de ejercicios docentes. En su estructura lógica concibe el problema, el objeto y el objetivo.
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