Propuesta Didáctica Constructivista para la Enseñanza de la Geometria (página 2)

BASES TEÓRICAS

En las bases teóricas se señalan las teorías, las definiciones y los conceptos que guardan relación con las variables objeto de estudio y que sustentan la problemática expuesta, en este caso: constructivismo, estrategias didácticas y conocimiento geométrico. Por tal razón, el autor de la presente investigación consultó material bibliográfico relacionado con el tema para establecer un marco teórico conceptual y que a continuación se desarrolla.

Aproximación Constructivista la Enseñanza y el Aprendizaje

Hoy en día no basta con hablar de constructivismo en singular, es necesario decir a qué clase de constructivismo se está haciendo referencia. Es decir, hace falta el contexto de origen, teorización y aplicación. En realidad existe una gran variedad de posturas que pueden calificarse genéricamente como constructivistas, desde las cuales se indaga e interviene no solo en el ámbito educativo, sino también en el

epistemológico, la psicología del desarrollo y la clínica entre otras disciplinas sociales En sus orígenes el constructivismo surge como una corriente epistemológica, preocupada por discernir los problemas de la formulación del conocimiento en el ser humano. Según Delval (citado por Díaz y Hernández, 2002), se encuentran algunos elementos del constructivismo en el pensamiento de autores como Vico, Kant, Marx o Darwin. En estos autores, así como en los actuales exponentes del constructivismo, en sus múltiples variantes, existe la convicción de que los seres humanos son producto de su capacidad para adquirir conocimientos y para reflexionar sobre los mismos, lo que les ha permitido anticipar, explicar y controlar propositivamente la naturaleza y construir la cultura. Destaca la convicción de que el conocimiento se construye activamente por sujetos cognoscentes, no se recibe pasivamente del

ambiente.

Algunos autores se centran en el estudio del funcionamiento y el contenido la mente de los individuos, por ejemplo, el constructivismo psicogenético de Piaget, quien desarrolló un modelo explicativo y metodológico para explicar la génesis y evolución de las formas de organización del conocimiento, situándose sobre todo en el interior del sujeto epistémico.

No puede pasarse desapercibido el impacto del pensamiento piagetiano en la educación, en sus finalidades, en el rescate del estudiante como aprendiz activo y autónomo, en la concepción del papel antiautoritario del profesor, en las metodologías didácticas por descubrimiento, en la selección y organización del contenido curricular, tomando en cuenta las capacidades cognitivas de los estudiantes.

Otro constructivista, Ausubel (1979) propone su teoría del aprendizaje significativo el cual define como el proceso que ocurre en el interior del individuo donde la actividad perceptiva le permite incorporar nuevas ideas, hechos y circunstancias a su estructura cognitiva y a su vez matizarlas exponiéndolas con las actividades derivadas de las estrategias metodológicas planificadas por el facilitador y/o sus particulares estrategias de aprendizaje.

El aprendizaje significativo es aquel en el que la nueva información adquiere

significados para el aprendiz por interacción con alguna información relevante ya existente en la estructura cognitiva del estudiante con un cierto grado de estabilidad, claridad y diferenciación. Dentro de este contexto Ausubel (ob. cit) manifestó que: "si tuviese que reducir la Psicología Educativa a un solo principio, enunciaría éste: de todos los factores que influyen en el aprendizaje, consiste en lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente". (p. 6).

Aunado a lo anterior, Ausubel (1983) concibe al "alumno" como un procesador activo de la información y dice que el aprendizaje es sistemático y organizado, señala la importancia que tiene el aprendizaje por descubrimiento (dado que el alumno descubre nuevos hechos, forma conceptos, infiere relaciones, genera productos originales entre otros).

En sus últimos trabajos, Ausubel (1983) sugiere la existencia de dos ejes en la definición de campo global del aprendizaje: por una parte, el que enlaza el aprendizaje por repetición en un extremo con el aprendizaje significativo en el otro. Y el otro eje enlaza el aprendizaje por recepción con el aprendizaje por descubrimiento, con dos etapas: aprendizaje guiado y aprendizaje autónomo. De esta forma, puede entenderse que pueden cruzarse ambos ejes, de manera que es posible aprender significativamente tanto por recepción como por descubrimiento.

El aprendizaje significativo por recepción involucra la adquisición de significados nuevos; es importante en la educación porque es el mecanismo humano por excelencia que se utiliza para adquirir y almacenar la vasta cantidad de ideas e información representada por cualquier campo del conocimiento. Pueden distinguirse tres tipos de aprendizaje significativo por recepción:

• 1. El aprendizaje de representaciones: Es el más cercano al aprendizaje por repetición. Ocurre cuando se igualan en significados de símbolos arbitrarios con sus referentes y significantes para el alumno cualquier significado al que sus referentes aludan. El aprendizaje de representaciones es significativo porque tales proporciones de equivalencia representacional pueden ser relacionadas de manera no arbitraria, como ejemplares de una generalización presentes en todas las estructuras cognoscitivas de la gente aproximadamente en el quinto año de la vida que todo tiene

un nombre y este significa lo que su referente implica para el alumno en particular.

• 2. El aprendizaje de propociones: Se asemeja al de representaciones en que los significados de palabras y los nuevos significados surgen después de relacionar e interactuar tareas de aprendizaje potencialmente significativas con ideas pertinentes de la estructura cognoscitiva; pero en este caso la tarea de aprendizaje, o a la proposición potencialmente significativa, consiste en una idea compuesta que se expresa verbalmente en forma de una orientación que contiene así los significados denotativo y connotativo de las palabras como sus funciones sintácticas y sus relaciones.

• 3. El aprendizaje de conceptos: Se definen los conceptos como objetos, eventos, situaciones o propiedades que poseen atributos de criterios comunes y que se designan mediante algún símbolo o signo. En la formación de conceptos, los atributos de criterios del concepto se adquieren a través de la experiencia directa, a través de etapas sucesivas de la generación de hipótesis, la comprobación y la generalización.

Uno de los planteamientos iníciales llevados a cabo por Ausubel (ob. cit), es el de intentar clasificar los tipos de aprendizaje que mejor definen las situaciones educativas escolares. Estos intentos vienen dados, tal como sugiere García (2001, p. 46), por el hecho de que con frecuencia los psicólogos han intentado incluir un solo modelo explicativo de clases de aprendizaje cualitativamente diferentes.

En este sentido Ausubel (ob. cit), establece dos dimensiones que dan lugar a cuatro tipos diferentes de aprendizaje que se dan en las situaciones escolares. La primera dimensión denominada significatividad -repetitiva, que consiste en la forma como se adquiere la formación en la estructura cognitiva, es decir, a partir de cómo se asimila un determinado contenido, el aprendizaje puede ser significativo o puramente repetitivo o memorístico. La segunda dimensión denominada recepción- descubrimiento, la cual tiene mucha relación con el enfoque instruccional empleado por recepción o por descubrimiento. Ausubel, quiere demostrar que aunque el aprendizaje y la instrucción interactúan, son relativamente independientes, de tal manera que ciertas formas de enseñanza no conducen por fuerza a un tipo determinado de aprendizaje.

En cuanto a las ventajas e inconvenientes de cada uno de los enfoques instruccionales empleados (por recepción o por descubrimiento), analizado las situaciones escolares se pueden apreciar que la mayor parte de los conocimientos que adquieren los alumnos en las clases vienen determinados por un aprendizaje por recepción. Por lo tanto, no necesita ningún descubrimiento más allá de la compresión y asimilación de los mismos de manera que sea capaz de reproducirlos cuando sea requerido. En el aprendizaje por descubrimiento el contenido no se da en forma acabada, sino que debe ser descubierto por el alumno.

Existe una gran diferencia entre aprender un contenido de manera significativa o aprenderlo de forma mecánica o repetitiva. Esta consiste en el hecho de las relaciones y vínculos que se puedan establecer con los conocimientos previos de los que dispone el alumno. Es decir, aprender significativamente según Ausubel quiere decir poder atribuir significado al material objeto de aprendizaje, y dicha atribución solo puede efectuarse a partir de lo que ya se conoce. Por lo tanto, mientras más rica en elementos y relaciones, es la estructura cognitiva del alumno, más posibilidades tiene de aprender significativamente nuevos contenidos.

En este aprendizaje el contenido u objeto de conocimiento no se le da al estudiante, sino que debe ser descubierto por él. Ya sea en la formación de conceptos o principios o en la resolución de problemas. En este caso la estrategia de instrucción debe tener como objetivo que el estudiante efectué el descubrimiento.

Características y condiciones del aprendizaje significativo

Según Ausubel (ob. cit) el aprendizaje significativo es un proceso por el que se relaciona nueva información con algún aspecto ya existente en la estructura cognitiva y que sea relevante para el nuevo contenido que se intenta aprender. Se requiere tanto que el alumno muestre una actitud positiva hacia dicho aprendizaje como que el nuevo material de aprendizaje sea potencialmente significativo, relacionado intencional y sustancialmente con la estructura cognitiva del alumno. Este aprendizaje depende de dos factores:

• 1. De la naturaleza del contenido que se va aprender y de la significativad

lógica del material de aprendizaje.

• 2. De la estructura cognitiva del alumno, es decir, para que realmente se produzca el aprendizaje significativo no basta con que el nuevo contenido se relacione con la formación pertinente de la estructura cognitiva del alumno, en el sentido abstracto del término, sino que también es preciso que el conocimiento o contenido relevante exista en dicha estructura cognitiva. Intentando resumir lo anteriormente señalado, para que se produzca un aprendizaje significativo deben darse tres condiciones:

• Los nuevos contenidos deben ser lo suficientemente sustantivos y no arbitrarios para ser relacionados con ideas relevantes del alumno. Como afirma Pozo (1989), solo podrán comprenderse aquellos materiales que estén internamente organizados, es decir, en los que cada parte del material tenga una conexión lógica o conceptual con el resto de las partes.

• El alumno debe disponer de los contenidos previos pertinentes para poder ser relacionados con el nuevo contenido de aprendizaje.

• El alumno debe manifestar una actitud favorable a la adquisición de aprendizajes significativos. Como señalan Coll y Rochera (1991), cuando la intencionalidad del alumno es escasa se limitara a memorizar lo aprendido de una forma un tanto mecánica y repetitiva; por el contrario, cuando la intencionalidad es elevada, el alumno establecerá múltiples relaciones entre lo nuevo y lo que ya conoce.

A partir de estas tres condiciones del aprendizaje significativo se pone de manifestó el rasgo central de la teoría de Ausubel que es el hecho en que la adquisición de nueva información que produce el aprendizaje significativo es un proceso que depende fundamentalmente de las ideas relevantes que ya posee el sujeto, y se produce a través de la interacción entre la nueva información e ideas relevantes ya existentes en la estructura cognitiva. Pero eso exige por parte del estudiante un esfuerzo intencional para vincular y relacionar los nuevos contenidos con los conocimientos previos que posee, lo cual pasa por atribuirle un significado y un sentido a lo que está aprendiendo, es decir, que encuentre que está relacionado con

lo que ve y le rodea, que tiene sentido esforzarse por comprender.

El sentido o intencionalidad con la que aborda una actividad de aprendizaje un determinado estudiante depende de múltiples factores: autoconcepto, expectativas, actitudes, entre otras; y también del grado de interés que dicha situación representa para el estudiante. En realidad, la predisposición favorable hacia la comprensión, unida a la búsqueda de significados y sentido de lo que se aprende son, junto con los conocimientos previos pertinentes, los factores relativos al estudiante que mayor relación tiene con la realización de aprendizajes significativos.

Para otros como Vigotsky el foco de interés se ubica en el desarrollo de dominios de origen social. Vigotsky (1979) señala que el individuo cambia su comportamiento acorde con la cultura, lo cual deja como resultado la elaboración de nuevas formas de comportamiento, por tanto, los procesos pedagógicos se orientan por los procesos culturales. Así mismo, define la construcción del conocimiento como un proceso de transformación de las representaciones, que tienen como punto de partida la actividad material, práctica y social.

Por otro lado, Von Glaserfeld (1990) defensor del constructivismo radical, sostiene que la construcción del conocimiento es enteramente subjetiva, por lo que no es posibles formar representaciones objetivas ni verdaderas de la realidad, solo existen formas viables o efectivas de actuar sobre la misma.

Como resultado, de las distintas corrientes del constructivismo señaladas en los párrafos anteriores surgen las siguientes interrogantes: ¿La mente está en la cabeza o en la sociedad?, ¿El desarrollo es un proceso de organización cognitiva o más bien de aprendizaje cultural dentro de una comunidad de práctica?, ¿Qué papel juega la interacción mediada por el lenguaje o interacción comunicativa con la actividad autoestructurante del individuo?, ¿Cómo saber quiénes son realmente autores constructivistas? Delval (ob. cit.) dice que "hoy todos son constructivistas", tal vez en un intento de estar con la corriente educativa de moda.

Para los efectos de la presente investigación, se aceptara la definición de constructivismo de Coll (1996), quien afirma que:

La postura constructivista en educación se alimenta de las aportaciones de

diversas corrientes psicológicas: el enfoque piagetiano, la teoría de los esquemas cognitivos, la teoría ausubeliana de asimilación y el aprendizaje significativo, la psicología sociocultural vigotskiana, así como algunas teorías instruccionales entre otras. El constructivismo postula la existencia y prevalencia de procesos activos en la construcción del conocimiento. Habla de un sujeto cognitivo aportante, que claramente rebasa a través de su labor constructiva lo que le ofrece su entorno. (p.81).

Es así como el paradigma constructivista brinda grandes aportes al campo educativo y fundamentalmente al nivel de Educación Media General. Por ello, los docentes comprometidos con su crecimiento profesional, deben buscar alternativas didácticas que redunden en el logro de aprendizajes significativos en sus estudiantes.

En consecuencia, han de tomar en cuenta los factores motivacionales y afectivos, subyacentes al aprendizaje de sus estudiantes, para planificar y diseñar estrategias novedosas y efectivas a ser aplicadas en el contexto del aula. Y en apego a los principios de globalización, interrelación e interdisciplinariedad de este nivel educativo, es necesario pensar que los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática, en el caso particular de la geometría, debe conducirse vinculándola con otras áreas del saber, en concordancia con las experiencias, expectativas y vivencias del educando.

Fases de los Procesos Cognitivos Asociados al Aprendizaje

A los fines del presente trabajo, es importante señalar, que estas teorías han contribuido a comprender los factores cognoscitivos que inciden en el aprendizaje de los estudiantes, ya que estos mecanismos o procesos cognoscitivos operan sobre la información, y este interactuar dinámico de información con procesos cognoscitivos, se traduce, tal como lo señala Heller (1998):

En acciones o manifestaciones externas que puedan ser calificadas como inteligentes, acertadas, eficientes, varían de una persona a otra, dependiendo de las estrategias que cada quien utilice para cambiar y aplicar esos procesos cognoscitivos de mecanismo internos (p.26).

Es así como adquiere gran significado el hecho de que los procesos cognoscitivos se combinen de distintas maneras para producir variedad de respuestas y ajustes a diferentes exigencias intelectuales, es claro, que la educación debe ayudar al individuo a descubrir cuales utiliza cuando se enfrenta determinadas tareas y que estrategias le dan mejor resultado, según sea el caso, desarrollándose de una manera más armónica, a la vez que ampliará las diversas potencialidades existentes en el sujeto. La actividad mental, según lo señala Heller (1998), se considera como un sistema, que sigue diversas fases, y el cual se describe a continuación del siguiente modo:

Cada una de estas fases, según Heller (1998), "involucra procesos, operaciones y funciones identificadas como significativas en el buen desempeño intelectual" (p.27). A los efectos de una mejor compresión aparece reflejado el siguiente esquema:

De lo expuesto en los párrafos anteriores se puede inferir que el aprendizaje significativo ocurre cuando el estudiante relaciona la nueva información con lo que ya conoce. Una estrategia didáctica que podría ayudar en este sentido son las actividades constructivistas ya el estudiante entra en contacto con el objeto de aprendizaje, lo ve, lo palpa, relaciona lo nuevo con sus conocimientos previos. Todas estas acciones le permiten de manera práctica aprender conceptos matemáticos.

Modelo de Van Hiele

Otra teoría que sirve de apoyo a la presente investigación es la del modelo de Van Hiele, que según Jaime y Gutiérrez (1990) tiene su origen en las disertaciones doctorales de Dina Van Hiele Geldof y su esposo Pierre Van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda en 1957. Lamentablemente Dina murió poco después de presentar su disertación, y Pierre fue quien desarrolló y difundió la teoría en publicaciones posteriores. Mientras que la disertación de Pierre trataba de explicar por qué los alumnos tienen problemas para aprender geometría, el discurso de Dina se centró en un experimento de enseñanza y en este sentido es más prescriptiva sobre el orden del contenido geométrico y las actividades de aprendizaje de los alumnos. La característica más obvia de la teoría es la distinción de cinco niveles de pensamiento con respecto al desarrollo de la comprensión geométrica de los alumnos.

La principal razón del fracaso del currículo tradicional de geometría fue atribuida por los esposos Van Hiele al hecho de que el currículo se presentaba a un nivel más alto del de los alumnos; en otras palabras el alumno no podía entender al profesor ni el profesor podía entender porque no entendían sus estudiantes. La teoría de Van Hiele distingue cinco niveles de pensamiento geométrico que se caracterizan de la siguiente manera:

Nivel 1: Reconocimiento

En este nivel los estudiantes tienen una percepción global de las figuras geométricas, prestando atención casi exclusiva a sus propiedades visuales o físicas.

Aunque identifican lados, ángulos y algunas propiedades básicas, el significado que dan a estos elementos es más físico que matemático. Los estudiantes también tienen una percepción individual de las figuras, de manera que las propiedades descubiertas en una figura no se generalizan a otras figuras de la misma familia.

Nivel 2: Análisis

En este nivel, los estudiantes reconocen que las figuras geométricas están dotadas de elementos y propiedades matemáticos, si bien perciben las propiedades como independientes de las otras. Las definiciones y clasificaciones se basan en estas propiedades matemáticas. Aparece la capacidad de generalización, de forma que los estudiantes consideran una propiedad observada en unos pocos ejemplos (muchas veces en un solo ejemplo) como verdadera para toda la familia.

Análogamente, la demostración de la veracidad de una conjetura se hace verificándola en casos concretos. Se empiezan a comprender y utilizar las partículas lógicas sencillas ("y", "no", "siempre", entre otras.), pero hay dificultad con las más complejas ("o", "a veces", "por lo menos", entre otras.). Aprenden la terminología técnica apropiada para describirlas, pero no relacionan las figuras o las propiedades de las figuras.

Nivel 3: Ordenamiento

Los estudiantes perciben las relaciones de implicación que ligan las propiedades de las figuras geométricas. También son capaces de usar correctamente las diferentes partículas lógicas y de realizar implicaciones sencillas en un contexto abstracto. En consecuencia, pueden realizar tanto clasificaciones inclusivas como exclusivas de familias, dependiendo de las definiciones usadas y basadas en el análisis de éstas. Sus demostraciones consisten en argumentos deductivos abstractos, aunque no formales, que pueden estar basados en la observación de ejemplos concretos. Son capaces de comprender demostraciones formales sencillas explicadas por el profesor y de reproducirlas con pequeñas variaciones, pero no pueden realizar demostraciones

formales de manera autónoma.

Nivel 4: Deducción

Los estudiantes son capaces de usar el razonamiento matemático formal y, por tanto, de realizar y comprender demostraciones formales de manera autónoma. Admiten la existencia de definiciones equivalentes de un concepto y de distintas demostraciones del mismo teorema. También pueden manejar adecuadamente los diferentes elementos de un sistema axiomático: axiomas, definiciones, teoremas, y las demostraciones

En las publicaciones primitivas sobre el modelo de Van Hiele se describe el quinto nivel de razonamiento, caracterizado por la capacidad para trabajar con diferentes sistemas axiomáticos (por ejemplo con dos geometrías, la euclídea y una no euclídea). No hay investigaciones que hayan proporcionado resultados experimentales en los que se pueda observar claramente este nivel. Por este motivo, los investigadores actuales tienden a rechazar la existencia de este nivel o, como mínimo, a ignorarlo.

Como resultado de diversos estudios experimentales resumidos en Clements y Battista, (1992) los niveles de razonamiento son secuenciales, es decir que el desarrollo de un estudiante debe pasar por lo sucesivos niveles, desde el primero, sin posibilidad de saltar ninguno de ellos. Además, cada nivel tiene un lenguaje propio, en el que determinados términos tienen significados diferentes de los que tienen en otros niveles. Por este motivo, si un profesor y sus estudiantes se sitúan en niveles diferentes, surgirán problemas de comunicación entre ellos. Un ejemplo típico es el de un profesor de Secundaria que plantea problemas de demostración esperando que sus alumnos den justificaciones abstractas de la veracidad de la hipótesis (nivel 3 ó 4), mientras que éstos se limitan a verificarla en algunos ejemplos (nivel 2). El profesor rechaza las respuestas de los estudiantes por insuficientes, mientras que éstos no comprenden el motivo del rechazo ya que para ellos esas respuestas son válidas. Por tanto, el lenguaje juega un papel muy importante en la adquisición de los niveles de razonamiento, pues ésta no es posible sin el aprendizaje de su lenguaje específico.

El modelo de Van Hiele plantea que el paso a un nivel superior de razonamiento se logra adquiriendo experiencia en el uso de esa forma de pensamiento, dentro de un contexto adecuado de enseñanza que proporcione a los estudiantes la posibilidad de adquirir esa experiencia. Para ayudar a los profesores a crear estos contextos, el modelo de Van Hiele propone organizar la actividad de los estudiantes en cinco fases de aprendizaje que se describen a continuación:

Fase 1 (información): Los estudiantes toman contacto con el nuevo tema que van a empezar a estudiar, y los profesores averiguan qué conocimientos previos tienen sus alumnos de este tema y en qué nivel de razonamiento se desenvuelven.

Fase 2 (orientación dirigida): Los estudiantes resuelven actividades y problemas para aprender los contenidos básicos del nuevo tema. Las actividades deben estar enfocadas a objetivos concretos. El papel del profesor es ayudar a sus estudiantes a superar las dificultades y dirigir su trabajo hacia el objetivo buscado cuando se desvíen demasiado del mismo.

Fase 3 (explicitación): Durante su trabajo, los estudiantes deben expresar verbalmente o por escrito sus ideas y sus formas de resolver los problemas, debatir, preguntar, entre otras. De esta manera, practicarán los nuevos términos matemáticos que están aprendiendo. Al principio los estudiantes tienen la tendencia a usar sus propios términos extraescolares, pero poco a poco deben abandonarlos para sustituirlos, con la ayuda del profesor, por los términos matemáticos correctos. En todo caso, el uso de vocabulario matemático nunca debe convertirse en un obstáculo para el aprendizaje y la comprensión de los conceptos.

Fase 4 (orientación libre): Los estudiantes resuelven actividades y problemas para profundizar en su conocimiento del nuevo tema y en el uso del nuevo tipo de razonamiento aprendiendo contenidos más complejos. Las actividades deben ser variadas y requerir la combinación de los conocimientos de formas nuevas, evitando la simple aplicación de una fórmula o algoritmo. Por otra parte, es interesante que las actividades sean abiertas, admitan varias vías de resolución y, a veces, tengan varias soluciones o ninguna. En esta fase se hace necesario que el profesor deje a los estudiantes explorar sus propias ideas y formas de resolución, pues generalmente lo

importante no es llegar a la solución correcta, sino trabajar en la resolución de los problemas.

Fase 5 (integración): El profesor y sus estudiantes realizan un repaso global de todo lo aprendido en el tema que han estado estudiando y, si es procedente, lo conectan con conocimientos anteriores del mismo tema u otros relacionados.

No se debe interpretar la fase 3 como un tiempo entre las fases 2 y 4 dedicado al diálogo, sino como una actitud permanente, es decir, superpuesta a las otras cuatro fases. Su objetivo es fomentar, siempre que sea oportuno, el diálogo y que los estudiantes expresen sus ideas utilizando la terminología adecuada.

La utilidad del modelo de Van Hiele para los profesores es doble. Por una parte, los niveles de razonamiento sirven de guía para valorar el progreso de las y los estudiantes en sus estrategias de pensamiento. Por otra parte, los niveles y las fases constituyen un marco de referencia para la organización de las clases de geometría (y de cualquier otro tema de matemáticas). Hay numerosos ejemplos interesantes de implementaciones curriculares basadas en el modelo de Van Hiele abarcando pequeñas unidades de enseñanza para un tema concreto (Grupo Construir las Matemáticas, 2001), otras de mayor extensión para temas que pueden llegar a abarcar varios cursos (Corberán, Gutiérrez y otros 1994; Jaime, Gutiérrez, 1996; Guillén, 1997), y la organización de un currículum completo de la enseñanza no universitaria (NCTM, 2000).

Estructura del Conocimiento Geométrico

Los procesos de pensamiento geométrico estimulan el aprendizaje práctico que le permite al estudiante relacionar los conocimientos geométricos, establecer categorías y generalizaciones teóricas modificables en lo particular, para adquirir experiencia en la resolución de los problemas específicos de esta rama de la matemática.

Ahora bien, tomando en consideración que el conocimiento se puede categorizar en declarativo, procedimental (Ryle, 1949), estratégico (Gagné, 1993) y metacognitivo (Flavell, 1981), hay que identificar estas categorías para la geometría.

El Conocimiento Geométrico Declarativo

El conocimiento declarativo consiste en relaciones semánticas entre conceptos, las cuales no son más que ideas o formas que concibe el entendimiento o pensamiento sobre un objeto en particular, expresado con palabras o símbolos (términos). Este conocimiento se puede representar en la mente de cuatro maneras: Proposiciones, imágenes, ordenaciones lineales (nivel elemental) y esquemas (nivel superior).

Sin embargo, para poder intercambiar estas representaciones debe existir un mínimo de entendimiento mutuo sobre el significado de las palabras y símbolos que se usa en un discurso, lo cual se traduce en un requerimiento de entrada en la medida que se usan consistentemente términos familiares. Al usar un término no familiar, surge el derecho a demandar una definición del mismo, que no puede darse arbitrariamente sino que debe estar sujeta a reglas de razonamiento colectivo.

Conocimiento Geométrico Procedimental

El conocimiento geométrico procedimental trata sobre cómo hacer las cosas en geometría, representado por un sistema de producción donde cada producción contiene una condición y una acción. De acuerdo con esta definición existen los siguientes algoritmo geométricos, entre otros: medición, construcción gráfica, construcción volumétrica, localización geométrica, operaciones con ángulos, métodos para construir ecuaciones empíricas, geometría demostrativa o geometría racional o deductiva, traslación y rotación de ejes, transformación de coordenadas, demostración axiomática, principio de superposición, postulados de Euclides, teorema de Pitágoras, teoremas del seno y del coseno ,geometría neutral, demostración formal, axiomas de Hilbert, axiomas de congruencia y de continuidad, axiomas de separación.

Por su parte, la resolución de ejercicios y de problemas geométricos requiere de la aplicación de los algoritmos mencionados anteriormente y de las proposiciones y teoremas necesarios para su resolución, así como las demostraciones correspondientes. En todos los casos, estos procesos se revisten de un razonamiento lógico, deductivo, formal y correcto, y un uso adecuado del discurso geométrico.

Conocimiento Geométrico Estratégico

El conocimiento geométrico estratégico surge de la habilidad y destreza de cada individuo para construir gráficamente figuras planas y espaciales, así como sus elementos que las conforman: medir, comprender y manipular las relaciones matemáticas existentes entre ellos. De la misma manera, este conocimiento contempla la capacidad para trasformar dichas figuras mediantes la traslación y rotación de los ejes específicos de acuerdo a las coordenadas de referencia; además de aplicar el razonamiento lógico- deductivo y el proceso axiomático en la construcción de esquemas geométricos y del conocimiento geométrico procedimental.

En este sentido, las diferencias individuales en cuanto a la visualización, graficación, razonamiento y axiomatización, determinan el desempeño académico del estudiante sobre esta sub área de la matemática.

La geometría se caracteriza por ser visual, con un conocimiento declarativo eminentemente gráfico y por desarrollar procesos de demostraciones lógicas, coherente y bien hilvanado, es fundamental al desarrollar los siguientes conocimientos estratégicos que pudieran organizar, estructurar y comprender, con mejor pronóstico, el aprendizaje geométrico y, por ende, su evaluación:

• 1. Una observación cuidadosa y permanente, por parte del estudiante, sobre los signos, símbolos y términos que conforman el conocimiento geométrico; una lectura minuciosa del discurso gráfico y escrito para una mayor apreciación e interpretación; y la destreza para dibujar, con lo cual se promueve la visualización del conocimiento declarativo y la precisión en el trazo.

• 2. El empleo preciso del lenguaje geométrico, para la cual el discurso oral del conocimiento geométrico es imprescindible, porque permite relacionar el sonido con el símbolo geométrico, los fonemas con las sílabas, la palabra con la frase geométrica, y la frase con oración geométrica. De esta manera, con la cabal compresión conceptual del lenguaje geométrico, el estudiante podrá entender y construir significativamente sus conocimientos geométricos declarativos y procedimentales.

• 3. La capacidad creativa para construir gráfica y axiomáticamente el conocimiento geométrico, lo cual se logra con el pensamiento visual e imaginario y la concentración, relacionando los nuevos contenidos con los anteriores, seleccionando las tareas complejas y esquematizando dicho conocimiento.

• 4. La capacidad recuperativa, con la cual el estudiante pueda hilvanar, de manera lógica y deductiva, los conocimientos geométricos construidos gráfica y axiomáticamente, resaltando los conceptos más importantes y los elementos claves, además de desarrollar la capacidad de conectarlos y aplicarlos en la construcción de otros conocimientos geométricos.

• 5. El orden en el material escrito como definiciones, dibujos, gráficas, teoremas y demostraciones escritos en cuadernos, lo cual es fundamental para organizar el conocimiento geométrico, resaltando las ideas capitales, confeccionando auto preguntas y elaborando resúmenes.

• 6. La habilidad para resolver problemas geométricos involucrados en el contexto de otras disciplinas, aplicando los conocimientos geométricos de manera lógica y precisa.

Como estrategia de procedimientos son importantes:

• 1. La repetición, para lo cual la técnica de preguntas y respuesta es muy útil, así como restablecer y parafrasear el discurso propio del conocimiento geométrico.

• 2. Elaborar conexiones de las ideas principales, organizándolas en estructuras tales como redes y árboles.

• 3. Establecer analogías con el conocimiento de otras ciencias, de tal manera que el conocimiento geométrico sea un vehículo que le permita la solución de los problemas reales, específicamente aquellos referidos a la ingeniería, la arquitectura entre otras disciplinas.

Las estrategias de personalización del conocimiento geométrico comprenden:

• El pensamiento deductivo y axiomático para entender y comprender el enunciado de problemas y las demostraciones de teoremas geométricos, y poder así

identificar la estrategia de solución en cada uno de ellos que involucre el conocimiento geométrico más adecuado.

• El pensamiento creativo, orientador del trabajo para la solución de problemas arquitectónicos y de ingeniería, aplicado los diferentes métodos y técnicas de la geometría que mejor se adapten a las diferencias individuales.

Conocimiento Geométrico Metacognitivo

Para construir y desarrollar el conocimiento geométrico metacognitivo es fundamental tomar en consideración el metalenguaje y metaatención. El primero se refiere al aprendizaje de la fonología, la sintaxis y la semántica que caracterizan al conocimiento geométrico, dando el uso de un lenguaje muy particular; y la segunda, a una estrategia que tome en consideración la actitud, motivación, interés y esfuerzo del estudiante durante el desarrollo de tareas y estrategias de aprendizaje y de evaluación. De igual manera, para construir y desarrollar este conocimiento es fundamental considerar el razonamiento lógico y deductivo, con el cual el estudiante está claramente consciente de la precisión y rigurosidad axiomática en la secuencia de

ideas geométricas, demostraciones y procesos de resolución de problemas.

Las estrategias metacognitivas que favorecen el aprendizaje geométrico están dirigidas hacia:

• La conciencia, con la intencionalidad de referir la geometría al contexto real para la resolución de problemas.

• El control, con el cual el pensamiento lógico y deductivo conduce a seleccionar adecuadamente las metas u objetivos, toma de decisiones y ejecución de planes tanto para resolver problemas como demostrar teoremas geométricos; así como la coordinación en la dirección de los procesos geométricos inherentes en los mismos.

• La autopoiesis (Mayor y otros 1995), la cual involucra una recursividad para insertar elementos o procesos de la geometría durante la resolución de ejercicios y problemas reales y en demostraciones de teoremas; y una retroinformación que permita la auto – organización secuencial y rigurosa del aprendizaje geométrico.

• La cognición, con representaciones gráficas o dibujos, y procesos axiomáticos para desarrollar el razonamiento lógico y deductivo; además de la regulación y ordenamiento de las ideas hilvanadas propias de la geometría, la adaptación de las mismas al contexto del estudiante en relación con otras áreas del saber humano, así como la flexibilidad para aceptar alternativas de interacción entre la geometría y otras disciplinas.

• El docente, que tome en cuenta los conocimientos geométricos previos del estudiante, sus habilidades, actitudes y motivación; las cuales se diferencian de otros, debido a procesos previos del aprendizaje geométrico y la adaptabilidad a los procesos de demostración y de resolución de ejercicios y problemas concretos.

• La actividad, donde los ejercicios y problemas así como las demostraciones , se adecúen a los conocimientos geométricos previos y las estrategias cognitivas y de aprendizaje permitan especificar las metas en las soluciones y demostraciones a través de la representación gráfica, la axiomatización y la selección apropiada de reglas propias de la geometría.

• El contexto, donde sea natural el desarrollo del conocimiento geométrico en la solución de problemas de la vida cotidiana del estudiante, y situar así su aprendizaje de manera articulada, con relevancia y pertinencia.

• El recuerdo, con las siguientes estrategias a desarrollar: (a) de elaboración, categorizando elementos geométricos y estableciendo relaciones lógicas entre ellos (b) de repercusión, a través de la representación gráfica y patrones de demostración, y (c) de control, con evocaciones derivadas de acontecimientos contextualizados.

Procesos de Aprendizaje Geométrico

El aprendizaje geométrico se desarrolla a través de una serie de procesos cognitivos basados en la compresión del conocimiento. El estudiante aprende cuando manipula y construye el conocimiento para sí mismo (García, 2001). Éste aprendizaje es un proceso socialmente mediado, en el cual, el aprendiz debe establecer conexiones entre el conocimiento nuevo y los ya existentes en su estructura cognitiva,

facilitadas por la mediación de profesores, padres o representantes y compañeros de estudios.

Así mismo, el aprendizaje geométrico es situado, ocurriendo específicamente en la geometría, con propósitos particulares, extendiéndolo con incertidumbre en ambientes no familiares y sobre un conocimiento geométrico distribuido, el cual no reside exclusivamente en la mente del estudiante, sino que emerge de su propia perspectiva de la geometría, de la de otros, de la información derivada de ellos y de los recursos técnicos disponibles (Gardner, 1999).

Un rasgo fundamental del conocimiento geométrico es su carácter activo y la regulación de factores complementarios como la motivación, las creencias, el conocimiento geométrico previo, las interacciones, la nueva información, las habilidades y estrategias. Este carácter activo tiene implicaciones en el estudiante como la formulación de metas, la organización del conocimiento geométrico, la construcción de significado y la utilización de estrategias.

Para identificar los procesos involucrados en el acto del aprendizaje geométrico, existen varias propuestas de diversos autores, quienes no se han puesto de acuerdo dada la complejidad del proceso. En este sentido, Beltrán (1996) propone los siguientes procesos que, según su juicio, representan los sucesos internos presentes en el acto del aprendizaje: "sensibilización, atención, adquisición, personalización, recuperación y transferencias".

Sensibilización

Con la sensibilización se inicia el proceso del aprendizaje geométrico, en el cual el estudiante siente o percibe con los sentidos la nueva información. El mismo está conformado por tres subprocesos: a) la motivación, b) el afecto y c) las actitudes.

• a) La Motivación: Con la cual el estudiante, al inicio del proceso de aprendizaje, manifiesta ciertas expectativas con el fin de producir sentimientos positivos hacia el proceso. Brophy y Everton (1976), describen la motivación del estudiante para aprender como :

…la tendencia de un estudiante a controlar actividades académicas

significativas y valiosas y a tratar de derivar de estas los beneficios académicos que se pretende. La motivación para aprender puede construirse en forma de una cualidad general como a manera de un estado especifico en una situación. (p. 205).

De acuerdo con la descripción anterior, la motivación implica: planificar, concentrarse, tomar conciencia de lo que se pretende aprender y como aprenderlo, curiosear, percibir con claridad, entre otros elementos; lo que requiere un refuerzo mental por parte de los estudiantes. En geometría es usual que para lograr la motivación inicial, conducente a su aprendizaje, se establezcan relaciones concretas entre el ambiente y elementos geométricos, además de hacer gráficas, dibujos o modelos de representación visual o esquemática a partir de los elementos claves que se encuentran en la información recibida.

Las características óptimas de la motivación para aprender geometría se fundamentarían en las necesidades, interés, curiosidad y deleite del estudiante sobre la misma, y en la satisfacción al superar, de manera controlada, desafíos geométricos. En este sentido, el estudiante al motivarse para aprender geometría con placer, tiende a trabajar más fuerte, ser persistente, estar estimulado para enfrentar obstáculos y aprender sin necesidad de presiones, lo que sugiere al profesor esforzarse en estimular los factores intrínsecos del estudiante en función de desarrollar un proceso dialéctico entre la diversión y el esfuerzo; por ejemplo, la manipulación de diversos sólidos geométricos despierta una alta motivación en los estudiantes para visualizar y

entender las superficies de revolución.

• b) El afecto: En cuanto al afecto, a través de la realización de actividades mediante la interacción en grupos de estudiantes y con el profesor, se disminuye la ansiedad de cada estudiante, evitando así, que estudiantes ansiosos sean obligados a exponer sus ideas frente a una clase numerosa. El profesor debe orientar el aprendizaje geométrico en función de una planificación perfectamente conocida por los estudiantes, en donde las instrucciones y reglas estén bien claras. Por su parte, para evaluar el aprendizaje geométrico se deben proponer diversas modalidades que permitan a cada estudiante desarrollar sus habilidades y destrezas de acuerdo a su estilo cognitivo estratégico, lo que se traduce en un mínimo de ansiedad por la

posibilidad que ofrece el profesor de acuerdo a las diferencias individuales de los estudiantes, para que cada cual se adapte de manera natural al proceso de evaluación del aprendizaje geométrico.

• c) Las actitudes: Sean cognitivas, afectivas o conductuales, pueden facilitar o no el proceso de aprendizaje geométrico si ellas son positivas o no respectivamente.

Atención

Al sensibilizarse el estudiante al inicio del aprendizaje del conocimiento geométrico, se emprende la atención sobre la información recibida, para lo cual se utilizan, por así decirlo, filtros que pretenden seleccionar lo que le interesa procesar al estudiante, además de la calidad y la relevancia como llega. La sensibilización se aplica a un determinado aspecto de la realidad, prescindiendo de los demás, como mecanismo para activar la atención y el pensamiento consciente sobre la información seleccionada.

Lo anterior quiere decir que, si el estudiante puede aprender con solo la observación sostenida sobre el conocimiento geométrico o sobre el profesor, otros estudiantes, padres o hermanos mayores, él necesita fundamentalmente concentrar su atención en la acción de las personas además de los objetos producidos por ellos. Un ejemplo ilustrativo de esta situación es el siguiente: el docente dibuja en la pizarra un triángulo isósceles y uno escaleno y pregunta seguidamente a los estudiantes ¿Existe otro tipo de triángulo?; los estudiantes responden "el equilátero". De esta manera, los jóvenes aprenden a clasificar los triángulos en función de la medida de los lados, observando al profesor y a la pizarra, prestando atención a los triángulos y la pregunta.

En consecuencia, el profesor o profesora, debe incentivar el desarrollo de la atención alentando a los y las estudiantes a explorar, buscar desafíos e invertir esfuerzos. De lo contrario, los estudiantes sólo aprenderán habilidades de pensamiento geométrico de manera automática, sin la posibilidad de transferirlas a situaciones nuevas en el mismo contexto.

Adquisición

En el proceso de adquisición de aprendizaje geométrico se destacan tres subprocesos: a) comprensión, b) retención y c) transformación.

• a) Comprensión: en este subproceso de adquisición de aprendizaje geométrico, la selección y codificación selectiva permite al estudiante incorporar material informativo de interés, dándole sentido e interpretación significativa al material para su comprensión, por medio del cual la información nueva se estructura y organiza coherentemente y conectándose de manera individual con la información previa. Comprender es, pues, generar un significado para el conocimiento que se va a construir. Según Gardner (1993), la comprensión es:

La capacidad de adquirir conocimientos, aptitudes y conceptos y aplicarlos en forma adecuada en nuevas situaciones. Si alguien sólo repite cuando se le enseña, no sabemos si el individuo comprende. Si una persona aplica el conocimiento en forma promiscua, sin que tenga importancia si es apropiado, entonces yo diría que no comprende… Pero si la persona sabe dónde aplicar y dónde no aplicar los conocimientos y puede hacerlo en situaciones nuevas, entonces comprende (p. 2).

Por su parte, los teóricos de la psicología sociohistórica (Vygotsky, Luria, Leóntiev, Rubinshtéin, Galperin, Talízina y otros) señalan que la etapa de la comprensión de los conocimientos no puede verse separada de la comprensión de la actividad. Talízina (1988) agrega al respecto:

Los conocimientos como imágenes de los objetos, fenómenos, acciones, etc., del mundo material nunca existen en la cabeza del hombre fuera de alguna actividad, fuera de algunas acciones… La calidad de los conocimientos se determina por el carácter de la actividad que se utiliza para su asimilación: puede ser tanto adecuada a estos conocimientos como no adecuada a ellos… Nunca se pueden dar los conocimientos en forma ya preparada: siempre se asimilan a través de su inclusión en una u otra actividad… Es inútil esperar, por ejemplo, que se forme un pensamiento matemático para empezar a enseñar las matemáticas, ya que sólo la enseñanza de las matemáticas conduce al desarrollo del pensamiento matemático. (págs. 134-135).

En este sentido, para desarrollar la comprensión geométrica, en muchos aspectos es fundamental visualizar los conocimientos de manera práctica y concreta. Por

ejemplo, no basta a partir de ejercicios propuestos en los libros, calcular áreas, volúmenes, y ángulos, entre otros conocimientos, para su plena comprensión si no se considera la relación que guardan estos conocimientos geométricos con el entorno del estudiante. Especialmente, una medida de volumen perfectamente calculable, debe estar relacionada necesariamente con la capacidad real de un objeto tridimensional para su cabal entendimiento.

Personalización

En éste proceso el estudiante asume la plena responsabilidad del aprendizaje geométrico, asegurando su validez y pertinencia de los conocimientos construidos. La personalización está relacionada con las disposiciones que favorecen la activación del pensamiento crítico, creativo y reflexivo; dando lugar, este último a la planificación, regulación y evaluación del proceso de aprendizaje, a la metacognición como control consciente de la construcción de dichos conocimientos

Recuperación

Para recuperar la información en el pensamiento consciente del estudiante, la cual ha sido previamente organizada, categorizada o elaborada, se evocan las categorías aprendidas que funcionan como criterios organizativos utilizados en su oportunidad. En otras palabras, en la medida que la información es comprendida, a través de su apropiada selección, organización y elaboración, en la misma mediada ella es recuperable y colocada en la conciencia.

El proceso de recuperación presenta dos momentos: examinar los conocimientos geométricos construidos y retenidos en la memoria para recuperar la información deseada y decidir cuál es la aceptable para realizar la tarea o acción requerida.

La búsqueda en la memoria comienza con la activación selectiva de claves semánticas utilizadas en el proceso de elaboración; por ejemplo, recordar la clasificación de los triángulos según la medida de sus lados o de sus ángulos puede servir de referencia para recordar lo que caracteriza a un triángulo.

Para esta recuperación selectiva existen dos estrategias, Según Flamer y

Luthi(1988): a) la de la huella, con la cual el individuo evoca claves siguiendo serialmente un patrón de referencia; por ejemplo, recordar la fórmula para calcular el área superficie en particular, un estudiante recurre a las letras del abecedario ordenadamente; y b) la estrategia de elección, que no es más que evocar claves ajustadas a un criterio; en el ejemplo anterior, otro estudiante puede que recuerde primero que la fórmula A=b*h/2 y reconocer que ésta es la que corresponde al área de un triángulo, pero que no es la que se le pide, y así continúa hasta encontrar la que necesita.

Por otra parte, el proceso de decisión permite al individuo evaluar la información recuperada en función de su utilidad para resolver una situación en particular; lo que ocurre justamente en el último ejemplo señalado en el párrafo anterior con el estudiante que va descartando fórmulas de áreas.

Transferencia

El proceso de transferencia se refiere a la generalización que permite responder no sólo la información original que se aprende sino a otras informaciones semejantes y cónsonas con dicha información.

Según Gagné (1993), la transferencia es vertical o lateral. En el primer caso, el estudiante es capaz de aprender resultados semejantes pero de mayor complejidad, las habilidades adquiridas en una situación se transfieren a otra más compleja, usualmente en la misma área del conocimiento; por ejemplo, calcular las medidas de los lados de un rectángulo y calcular las mismas medidas para conocer las dimensiones de una cancha de básketbol. La transferencia lateral la concibe Gagné como la capacidad del estudiante de ejecutar una tarea diferente, pero semejante y del mismo nivel de complejidad que la ya aprendida; por ejemplo, resolver un ejercicio geométrico abstracto y después resolver un problema parecido relacionado con vida real.

Es importante señalar que, los estudiantes con frecuencia no transfieren el conocimiento geométrico a nuevas situaciones ni utilizan las estrategias aprendidas, así como tampoco aplican el conocimiento geométrico aprendido en la escuela a

situaciones de la vida real (Perkins, 1987). En todo caso, la posible transferencia del conocimiento geométrico depende del proceso de recuperación, el cual es interpretado por el estudiante de acuerdo a un sistema de categorización para percibir la nueva situación que está en constante evolución tanto en lo individual como en lo cultural.

En consecuencia, las razones que pudieran impedir la transferencia serían de carácter cognitivo (dificultades de recuperación, aplicación de estrategias inadecuadas); motivacional (baja autoestima, actitud al fracaso inevitable) o personal (incorrecta elaboración de claves, superficialidad temática). Por lo que las estrategias para enseñar la transferencia estarían ubicadas fundamentalmente en el autoconcepto y en el autocontrol.

Importancia de la Enseñanza de la Geometría

La notable importancia histórica de la geometría, en el pasado, en particular como prototipo de una teoría axiomática, es de tal manera reconocida universalmente que no requiere más comentarios. Sobre ello, en el siglo pasado y específicamente en la década de los noventa la geometría desde sus estrechos confines tradicionales ha revelado sus poderes ocultos y extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, transformándose así en una de las herramientas más universales, útiles, intuitiva concreta y ligada a la realidad. Se apoya en un procesos extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de dos mil años, en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad.

En años recientes la investigación en geometría ha sido estimulada gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la ciencia de la computación. En el presente las enormes posibilidades de las gráficas por computadoras tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas posibilidades se hace necesaria una adecuada educación visual.

Entre matemáticos y educadores de matemáticas hay un acuerdo muy difundido que, debido a la diversidad de aspectos de la geometría, su enseñanza puede empezar

en una edad temprana y continuar a través de todo el currículo matemático. De cualquier modo, tan pronto como uno trata de entrar en detalles, las opiniones divergen en cómo llevar a cabo ésta tarea. En el pasado ha habido (y aún ahora persisten) fuertes desacuerdos acercas de los propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la geometría en los diversos niveles, desde la escuela primaria hasta la universidad.

Tal vez una de las razones principales es que la geometría tiene muchos aspectos, y en consecuencia no ha sido encontrada – y tal vez ni siquiera exista – una vía simple, limpia, lineal, "jerárquica" desde los primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. A diferencia de lo que sucede en la aritmética y el álgebra, aún los conceptos básicos en geometría, tales como las nociones de ángulos y distancia deben ser reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista.

Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría: relaciones entre intuición, demostraciones inductivas y deductivas, edad a la que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción.

Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil. Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la enseñanza de la geometría, las prácticas escolares actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes, y con frecuencia sin nada que las reemplacen. Por ejemplo, la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo de la mayoría de los países.

Empezando desde el análisis, y considerando especialmente las discrepancias entre la creciente importancia de la geometría para sí misma, tanto como en investigación y en la sociedad y la falta de atención de su papel en el currículo escolar, hay una urgente necesidad de un estudio, internacional cuyos propósitos principales sean:

• Discutir las metas de la enseñanza de la geometría para los diferentes niveles

escolares, y de acuerdo a los diferentes ambientes y tradiciones culturales.

• Identificar retos importantes y tendencias emergentes para el futuro y analizar sus impactos didácticos potenciales

• Aprovechar y aplicar nuevos métodos de enseñanza

En la actualidad, la geometría incluye tal diversidad de aspectos, que no hay esperanza de escribir una lista completa de ellos (y menos aún de usarla). Aquí se mencionan solamente aquellos aspectos que son particularmente relevantes en vista de sus implicaciones didácticas:

La geometría como la ciencia del espacio, desde sus raíces se le ha considerado como una herramienta para describir y medir figuras, la geometría ha crecido hacia una teoría de ideas y métodos mediante las cuales se puede construir y estudiar modelos idealizados tanto del mundo físico como también de otros fenómenos del mundo real. De acuerdo a diferentes puntos de vista, se tiene geometría euclidiana, afín, descriptiva y proyectiva, así como también topología o geometrías no euclidianas y combinatorias.

La geometría como un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias; por ejemplo gráficas y teorías de gráficas, diagramas de varias clases, histogramas.

La geometría como un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos

La geometría como una manera de pensar y entender y, en un nivel más alto como una teoría formal.

La geometría como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento deductivo

La geometría como una herramienta en aplicaciones tanto tradicionales como innovativas. Estas últimas incluye por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones, entre otras.

En vista de la importancia que recae sobre esta rama de las matemáticas se hace necesario que el docente como diseñador y planificador de las actividades

académicas, utilice las estrategias didácticas más adecuadas para llegar al corazón de sus estudiantes, con el fin de motivarlos hacia el tema objeto de estudio y que estos adquieran se apropien de los conceptos geométricos de manera significativa.

Estrategias Didácticas en la Enseñanza de la Geometría

En el ambiente de la enseñanza adquiere gran importancia la palabra estrategia, que acuerdo con Wikipedia, enciclopedia libre, proviene del griego, stratos, "ejercito", y agein, "conducir", "guiar" y se define como: "un conjunto de acciones planificadas sistemáticamente en el tiempo que se lleva a cabo para lograr determinado fin o misión", se aplica en distintos contextos.

Por otro lado, la palabra didáctica según Wikipedia (ob. cit.) proviene del griego didastékene, que significa didas "enseñar" tékene "arte", entonces podría decirse que es el arte de enseñar. También es considerada como una disciplina científico- pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y el aprendizaje. Por tanto, forma parte de la pedagogía que se ocupa de los sistemas y métodos prácticos de enseñanza destinados a plasmar en la realidad las pautas de las teorías pedagógicas. Uniendo los dos conceptos anteriores, se puede afirmar entonces, que las estrategias didácticas, son el conjunto de acciones planificadas sistemáticamente por el docente para que los estudiantes alcancen los objetivos de estudio.

Para Blanco y Ventura (Citado por Lara, 2009), las estrategias didácticas constituyen "un conjunto de diferentes actividades, métodos, técnicas y recursos que utiliza el docente a la hora de impartir los contenidos en el proceso de enseñanza" (p. 44). Sostienen estas autoras que las estrategias de enseñanza deben: a) estimular los procesos inductivos y deductivos; b) facilitar la exploración de los estudiantes; c) fomentar y elevar la calidad del trabajo en grupo; d) incentivar el autoaprendizaje y e) afianzar los valores que poseen los y las estudiantes.

Por otro lado, Díaz y Hernández (2002) consideran que, las estrategias instruccionales son "un conjunto de procedimientos que un estudiante emplea de forma intencional con el objetivo de aprender significativamente a solucionar

problemas atendiendo a las demandas académicas" (p. 41). En todo caso la secuencia de técnicas debe obedecer a una lógica procedimental factible, en otras palabras, enmarcada en los recursos y competencias, y los estilos de procesamiento de conocimiento de los estudiantes.

El uso de estrategias en el ejercicio de la docencia, se debe desligar de la enseñanza tradicional, dando lugar a un proceso de enseñanza y aprendizaje que logre la conformación de un estudiante autónomo, crítico, capaz de comprender y mejorar su realidad.

En tal sentido, las estrategias de enseñanza que utilice el docente con el objetivo de que el estudiante se apropie del conocimiento, deben ser acciones secuenciadas y debidamente planificadas. Deben considerar las necesidades e intereses de los estudiantes. Las acciones que se planifiquen han de tomar en cuenta el objetivo general de la enseñanza, así como las características psicológicas de los estudiantes y del contenido a enseñar entre otras. Deben ser acciones observables y medibles.

En consecuencia, debe entenderse que las estrategias didácticas son mediaciones instrumentales y no fines de la propia educación; se trata de que faciliten la concreción de aprendizajes, de la construcción de conocimientos, y que deben relacionarse de manera directa con las estrategias de aprendizaje de los estudiantes.

Ahora bien, para seleccionar las estrategias didácticas más adecuadas según Rosales (2010) se han de tomar en cuenta los siguientes aspectos:

• No existe una única estrategia didáctica para la diversidad de situaciones de aprendizaje. La elegida dependerá del contexto en el cual se desarrolle la clase, el contenido que se quiera enseñar y el propósito docente. El profesor debe contar con una batería de estrategias de enseñanza para ser utilizadas según lo requiera la situación.

• Todos los estudiantes y los grupos no son iguales. Habrá posibilidades de aplicar estrategias cada vez más autónomas, cuando se haya logrado el conocimiento del grupo, la aceptación de propuestas de trabajo solidario, el respeto y el cuidado de los demás.

• Se deben tener en cuenta los recursos necesarios y disponibles en el lugar de

trabajo.

• El proyecto educativo mediatiza las propuestas didácticas en la clase.

En el caso particular de la enseñanza de la matemática, especialmente cuando se tratan tópicos de geometría se pueden planificar diversas actividades para que los estudiantes alcancen la comprensión de esta disciplina. Entra ellas se destacan las siguientes: los juegos didácticos, las tecnologías de la información y la comunicación (las TIC) y la resolución de problemas. A continuación se describen con lujo de detalles cada una de estas estrategias.

El papel que desempeñan los Juegos en la Enseñanza de las Matemáticas

A lo largo de la historia, el juego ha sido usado como una actividad educativa. Las formas, los tipos y las atenciones han sido muy variadas, y en educación han sobrado motivos para su aplicación.

El juego representa por su naturaleza una manera de estimular el interés por el aprendizaje, dentro de este enfoque, Ortegano y Bracamonte (2011) consideran que los juegos ayudan "a estimular los conocimientos pre-adquiridos y fomentar la adquisición de nuevos conocimientos" (p. 104). En la clase de matemática, los juegos pueden ser particularmente efectivos para la adquisición de destrezas con las operaciones fundamentales y el aprendizaje de conceptos. Además los autores antes citados afirman que:

El juego debe ser asumido por el docente como una metodología didáctica- pedagógica, aplicarlo para el logro de las competencias matemáticas, en objetivos educativos y no como entretenimiento, ver que las actividades lúdicas bien planificadas y orientadas pueden dar óptimos resultados. (p. 105).

Al respecto, Sarmiento (2004), señala que es importante que los docentes cambien de estrategias simples, a aquellas que fomenten el interés del estudiante, ya que "una enseñanza bajo el enfoque constructivista, genera motivación en los niños para aprender la matemática con gusto y placer" (p.109). En tal sentido, Sariego y otros (2008) señalan que:

El juego puede modificar los sentimientos contrarios que tienen los

alumnos hacia las matemáticas, provocando una actitud positiva y haciendo el trabajo mucho más motivador, estimulante e incluso agradable. Un material presentado en forma de juego aprovecha la tendencia natural de los niños a formar grupos y a jugar, consiguiendo un aprendizaje más eficaz. Además los juegos permiten utilizar el aprendizaje cooperativo como estrategia de atención a la diversidad. Y sirven para aclarar conceptos o mejorar destrezas matemáticas que, de otra forma, los alumnos encontrarían aburridas y repetitivas. (p. 10).

De lo anterior se puede deducir, que el docente debe enriquecer las prácticas tradicionales de enseñar matemática, con actividades que predispongan favorablemente a los estudiantes hacia el aprendizaje de ésta disciplina, al asociar ésta con las actividades que le agradan, tales como los juegos.

Igualmente, De la Torre (2000, p. 108) expresa que las estrategias creativas son aquellas que estimulan al desarrollo de la conducta y permiten:

• 1. Estimular la participación activa y permanente de los alumnos, grupal e individualmente, con sentido crítico.

• 2. Incentivar la búsqueda del conocimiento mediante diversas estrategias didácticas a través de la experimentación, redescubrimiento y la solución de problemas.

• 3. Favorecer la discusión amplia e interpretaciones y reajustes individuales antes situaciones específicas del aprendizaje.

En este orden de ideas, el juego como estrategia instruccional y elemento motivador en el aula, está diseñado corno "una actividad llegada a cabo por tomadores de decisiones cooperando o compartiendo para lograr dentro de un juego de reglas, sus objetivos" (Martínez, 2001. p.41).

Al respecto Martínez (2001), señala que "con el juego es posible desarrollar un espíritu constructivo, la imaginación y la facultad de sistematizar. Por tanto si se incorpora el juego dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje, este puede ayudar al logro aprendizajes importantes (p.65).

Por su parte, Solano (2000) enfatiza que el juego tiene la ventaja de ser un instrumento de "ajuste para la motivación, se alía para incrementar el vocabulario del alumno mediante actividades de construcción" (p.45). Siguiendo este orden de ideas,

el mismo autor destaca que a través del juego "los participantes se encuentran mentalmente activos y bajo un clima de feed-back inmediato sin represión". (p.45).

El juego representa una estrategia de gran valor para el docente, sobre todo en aquellas aéreas donde la atención, motivación e interés se encuentra afectada por la complejidad y presentación de los contenidos, como es el caso de la enseñanza de la geometría dirigida a los estudiantes de Educación Media General. Si los elementos antes descritos son propiciados, la estrategia sin duda será productiva y satisfactoria. Por estas razones se considera el juego didáctico, una alternativa para fomentar una situación de enseñanza y aprendizaje. Definida ésta según el CENAMEC (1995) como "el método educativo que permite introducir un tema despertando interés, inquietudes e interrogantes" (p.86)

Dentro de este contexto, el juego permite el logro simultáneo de varios objetivos, lo cual ha sido constatado por varios investigadores (Solano, 2000; Martínez, 2001; Sarmiento, 2004; Sariego y otros, 2008; Ortegano y Bracamonte, 2011). En efecto, el juego estimula a los estudiantes, particularmente los del primer año de bachillerato a: participar, cooperar, tener iniciativa, ser responsables, respetar a los demás, seguir instrucciones, tomar buenas decisiones ya sea en forma individual o colectiva, todo ello representan algunas de las competencias que deben alcanzar los estudiantes de Educación Media General.

En consecuencia, se puede deducir que, el juego es un recurso que sirve para trabajar diversos conceptos matemáticos, entre ellos los geométricos, puede contribuir a la formación del pensamiento teórico y práctico de los estudiantes y a la formación de las cualidades que debe reunir para el desempeño de sus funciones: capacidad para dirigir, y tomar decisiones individuales y colectivas, razones por las cuales se deben utilizar regularmente en el aula.

Es importante señalar que, existen diferentes modalidades de juegos, entre ellos se destacan los siguientes:

• 1. El juego cooperativo: se caracteriza por eliminar la competencia, no hay nadie que pierda o gane. La meta que se persigue no es ganar sino alcanzar un determinado objetivo de equipo, estas actividades constituyen los contenidos transversales de la

educación. Los juegos cooperativos constituye una primera reflexión para hablar de educación para la paz si nos proponemos actividades sin competición y sin necesidad de que trabaje uno en contra otro. Porque la competencia produce sentimiento de frustración y hace sentir a las personas como torpes. Este tipo de juegos favorecen el desarrollo de capacidades nuevas a quienes por sus limitaciones se ven excluidos o se autoexcluyen en el aula.

• 2. Juegos de procedimiento conocido: son aquellos que los alumnos conocen y que podemos modificar para trabajar los conceptos que nos interesen. Ejemplo: cartas, dominó, puzles.

• 3. Juegos de conocimiento: son aquellos preparados directamente para trabajar algún concepto concreto (visto en clase con anterioridad o como introducción a uno nuevo). Ejemplo: panel de números, laberinto de fracciones, tablero de ecuaciones.

• 4. Juegos de estrategia: consisten en aplicar procedimientos para resolver problemas, pudiendo aparecer en ellos números o letras. Ejemplo: sudoku, juego de Nim.

Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en la Enseñanza de las Matemáticas

El impacto que ha tenido la computadora en la sociedad ha llevado a una reflexión en torno a su uso en el salón de clases. Actualmente ha surgido una gran variedad de software para la enseñanza de las matemáticas que facilitan al docente la introducción de los conceptos, desarrollo de procedimientos, visualización de propiedades y estudio de objetos, entre otros.

Arcavi y Hadas (2000) afirman que "la existencia de la computadora plantea a los educadores de matemática el reto de diseñar actividades que tomen ventaja de aquellas características con potencial para apoyar nuevos caminos de aprendizaje" (p. 41). La educación matemática se desarrolló actualmente con ayuda de la tecnología, en algunas instituciones, porque no todas cuentan con un aula de computación o no todos los docentes están dispuestos a utilizarlas yendo más allá de los métodos tradicionales que prevalecen en los cursos de matemática.

Los cambios recientes en el currículo de matemáticas reconocen la importancia de usos de la calculadora y la computadora en el aprendizaje de los estudiantes. Aunque se les ha dado gran impulso a las nuevas tecnologías, aun muchos profesores rechazan el uso de las calculadoras y computadoras porque creen que su uso inhibirá otras habilidades.

Hitt (1998) señala que el profesor de matemática sentirá la necesidad de incorporar las tecnologías de la información y de la comunicación (las TIC) a las aulas de clases cuando se le presenten materiales y estudios que muestren la efectividad de la tecnología en la enseñanza, donde los conceptos estén inmersos dentro de situaciones problemáticas mediante un adecuado sistema de representación que permita visualizarlos. La clave está en trabajar los problemas presentes en los libros de texto o los creados por el docente de acuerdo a las situaciones cotidianas de los y las estudiantes, apoyadas en las herramientas tecnológicas disponibles.

Según el Programa de Naciones Unidas para el Desarrollo (2002, p. 33) en su informe sobre desarrollo humano en Venezuela, "Las TIC se conciben como el universo de dos conjuntos, representados por las tradicionales tecnologías de comunicación (TC) radio, televisión y telefonía convencional, y las tecnologías de información (TI) caracterizada por la digitalización de las tecnologías de registro de contenidos". Por su parte, De Pablos (2003, p. 28) afirma: "las TIC se encargan del estudio, desarrollo, implementación, almacenamiento y distribución de la información mediante el uso de hardware y software como medio de sistema informático".

En este orden de ideas, en la actualidad las TIC permiten acceder a una gama de herramientas audiovisuales que sin duda tienden a coadyuvar el proceso de enseñanza y aprendizaje, es por esto que cobra importancia el uso que se les pueda dar para obtener todos los beneficios de las mismas en el ámbito educativo.

El estado venezolano conjuntamente con la empresa privada al adecuarse al uso, promoción y desarrollo productivo de las TIC desde hace tres décadas han dotado de equipos computarizados y sistemas informáticos a muchos centros educativos. En este sentido, durante el año 1999 se crean los Centros Bolivarianos de Informática y Telemática (CBIT), los cuales son espacios donde se incorporan las tecnologías de la

información como apoyo del proceso educativo de los estudiantes, docentes y comunidad en general, con el fin de permitir el desarrollo de actividades productivas, científicas y humanistas.

En febrero de 2001, el Ministerio del Poder Popular para la Educación crea la fundación Bolivariana de Informática y Telemática (FUNDABIT) con el propósito de contribuir a la formación integral del estudiante mediante la incorporación de las TIC en las diferentes escuelas del país. De este modo el estado venezolano fortalece el uso de la tecnología en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

En este mismo orden de ideas, durante el año 2009 nace el proyecto Canaima Educativo, el cual hace posible la incorporación de las computadoras portátiles al aula como un recurso para el aprendizaje; iniciativa enmarcada en la política pública educativa del Proyecto Nacional "Simón Bolívar". Durante ese periodo se inició la entrega de portátiles Canaima, a las escuelas de todo el territorio nacional que poseían electricidad, la cual se denominó: "Canaima va a la Escuela" con el concepto de herramienta que coadyuva al desarrollo del aprendizaje en los estudiantes de educación primaria, cuyo uso sería planificado por los docentes, en relación a los propósitos de los proyectos de aprendizaje. Luego en el 2010 se avanzó hacia una nueva versión denominada "Canaima va a mi casa" con el fin de que las portátiles fueran utilizadas por todos los miembros de la familia.

Por consiguiente, se puede afirmar que la educación unida a la informática es un binomio que procura el equilibrio en el aprendizaje de las habilidades necesarias para el uso cotidiano de la computadora, apoya el aprendizaje de los contenidos de cualquier área, entre ellas la matemática, tomando en consideración que las TIC facilitan la búsqueda, organización y presentación de la información y además permiten desarrollar habilidades de pensamiento analítico, crítico y creativo.

En la actualidad, existen una gran variedad de programas informáticos con una gran capacidad para resolver analítica y gráficamente la mayor parte de las tareas trabajadas en las clases de matemática desde los primeros grados hasta la educación superior como, el Clic, Jclic, cuentas, Derive, Maple, Graphmatica, Math Quiz y muchos más, disponibles en forma gratuita en internet. Lo importante, en cuanto a su

aplicación en la enseñanza de las matemáticas, es su adecuada y eficiente utilización para la comprensión de los conceptos matemáticos.

Es importante señalar que, la geometría es probablemente la rama de las matemáticas que cuenta con avanzados programas informáticos tales como: el Logo, el Cabrí, Geogebra, DrGeo, Geup, WinGeo, Poly entre otros. Con su ayuda, no solamente se pueden hacer construcciones geométricas muy precisas y altamente sofisticadas, sino desarrollar con mayor facilidad algunas demostraciones de las proposiciones clásicas de la geometría. Tales programas, por su estructura dinámica, contribuyen efectivamente con el deseado aprendizaje motivador e independiente de los estudiantes. De la misma manera, a través de la aplicación de estos programas se podría alcanzar un objetivo, aún más lejos de la educación matemática como es el denominado aprendizaje por descubrimiento, tal como lo propone Jerónimo Bruner.

El número y la diversidad de programas crecen tan aceleradamente que es difícil estar actualizado y hacer uso de buena parte de ellos. Existen varios software a la disposición de docentes y estudiantes en diferentes idiomas y para distintos niveles. Nos encontramos en presencia de un adelanto exponencial de esta tecnología, lo cual podría convertirse, administrado de la manera correcta, en un poderoso recurso para la enseñanza y aprendizaje de la matemática.

El aspecto central y decisorio en torno al aprendizaje con la ayuda de la computadora radica, definitivamente, en una adecuada interacción entre los programas seleccionados, el papel de los docentes, las acciones de los y las estudiantes, y las actividades concretas de aprendizaje. Tal adelanto didáctico no debe, por ninguna circunstancia, llegar a sustituir la presencia activa y formadora de los docentes puesto que son ellos en quienes recae con mayor peso la responsabilidad pedagógica y didáctica.

En consecuencia, se puede afirmar que, la computadora se ha convertido en un recurso o medio indispensable para el adecuado desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pero no es la panacea, pues requiere de la presencia activa del docente como mediador, diseñador y evaluador de los medios.

La Resolución de Problemas como Estrategia de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas

La resolución de problemas es concebida por muchos expertos en el campo de la matemática como una estrategia esencial de esta ciencia. En relación a esta actividad didáctica, Terán y otros (2005), aportan lo siguiente: