Estudio de funciones

1. Hallar el Dominio 2. Recta Tangente 3. Metodo de substitucion o cambio de variables 4. Metodo de integración por partes 5. Cíclicas 6. Calculo de areas 7. Tabla De Derivadas 8. Regla de la cadena

1. Hallar el Dominio

Dominio

Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

g(x)

Logaritmo:

y= lnf(x) f(x)>0

Raiz PAR:

y= Ö f(x) f(x)³ 0

Calcular los Puntos Criticos

1. Se halla f´(x)
2. Se iguala f´(x)=0

   Crecimiento Y Decrecimiento (Bolzano)

3. Se despeja x = PC
4. Se toma el Dominio de f´(x)
5. Se corta con los PC
6. Se le asigna un valor a cada intervalo que se reemplaza en f´(x)

Extremos (máximos y mínimos)

Criterio de f´(x) Si en Bolzano: crece/decrece= P Máximo decrece/crece= P Mínimo

2. Recta Tangente

f´(x)= pendiente de la recta tg y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

Integral Inmediata

a)ò [f(x)+g(x)-z(x)] dx =

b)ò f(x)dx + ò g(x) dx – ò z(x) dx

a)Integro (+C)

3. Metodo de substitucion o cambio de variables

Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

a) Un Logaritmo u= al logaritmo

1. Una Exponencial u= al exponente
2. Una Potencia u= a la base
3. Una Raiz u= a lo de adentro
4. Una División u= al denominador

Ejemplo:

ò 3×2 – 1Ö x3 – x

1. U= x3 –x

2. Identifico U (LEPRD)

   Du= 3×2 –1 dx

3. Calculo el DU (derivo u) por dx

   du = dx 3×2 –1

4. Igualo a 0

   ò 3×2 – 1 du = ò 1 duÖ u 3×2 – 1 Ö u

5. Sustituyo en la fórmula original:

   ò 1 du = (tabla) 2Ö u +CÖ u

6. Integro
7. Sustituyo

2Ö u +C = 2 Ö x3 –x + C

4. Metodo de integración por partes

ò u.dv = uv – ò v.du

(ejercicio) (solución)

El problema es saber a qué llamar u y dv en el ejercicio (ALPET)

Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente entero +

Ejemplo:

ò x2 ex dx

1. Defino U(en este caso, la potencia)

2. U= x2 (derivo) Du= 2x dx

3. Y dv

Dv= ex dx (integro) V= ex

uv – ò v du

x2 ex -ò ex 2x dx

(por propiedad, k sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

No esta en tablas, vuelvo a integrar por partes

1. Identifico u y dv

u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

du= dx v= ex

x ex -ò ex dx

(en el resultado anterior)

x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

x2 ex -2 [ x ex – ex ] + C

El numero de la potencia me indica cuantas veces debo integrar por partes!!

5. Cíclicas

Se forma con una exponencial o logarítmica y una trigonométrica

Ej: ò e2x cos 3x dx

Se resuelve por sustitución

U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

du= 2 e2x v= sen 3x

sustituyo dos veces

ò e2x cos 3x dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

Integrales de funciones compuestas con raices

Ejemplo:

ò cos Ö 2x+3 dx

1. Z= Ö 2x+3 dx

2. Sustituyo

   Z2 –3= x2

3. Despejo x
4. Derivo

Z dz = dx

d) Resultado: ò cos z. z dz (Partes)

u= Z dv= cosz dz du= dz v= sen z uv-ò v du z sen z -ò senz dz (Integro z sen z+ cos z +CÖ 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

Integral definida. Regla De Barrow

ò a f (x) dx = ½ F(b x) ½ a = f (b) – F(a) Û b>a b bò a f(x) dx = – ò a f (x) dx b b Ejemplo ò 1 ex dx 0 5+7 ex (Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx 7 exò 1 ex du Þ 1 ò 1 1 dx Þ 1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln 12½ 1 0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

6. Calculo de areas

Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x) b b

Si en algún lugar cambian el techo o el piso divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1 + A2

• Areas trigonométricas, por cada Õ cuento 1 area!!
• Si no se cual es el techo y cual el piso,

a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites por integración

Tips

Una funcion es derivable si:

a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una única tangente)

En los puntos de inflexión la F´(x):

a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si la funcion (no F´(x)pero si F(x))

Mínimos/Máximos:

a) Absolutos b) Relativos

• Si el dominio de la derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
• Si la derivada es positivaÞ recta tg +Þ pendiente+= se grafica creciente
• Si me falta el dato "y", resuelvo la f(x).
• Si se puede simplificar, entonces se podia hacer factor común
• Ln 0 no existe la exponencial es siempre +
• Derivada segunda para saber máximos
• Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre crecienteÞ Nunca se anula. Su asíntota siempre está en x=o
• Uso el método de sustitución cuando hay composición (una adentro de la otra)
• Barrow= primitiva a – primitiva b
• El gráfico de una raiz x es ½ parábola acostada
• Cuando busco el techo y el piso (cual es mayor), los límites de integración no importan los extremos (los infinitos), hago bolzano solo en los valores que de.
• Con problemas de velocidad:

Los gráficos de la pendiente negativa no tienen sentido fisicamente

Si piden la aceleracion en el instante en que la velocidad se anula es F´(0) y reemplazo en la F´´(x) (va a ser el valor +, el – no tiene sentido)

El máximo es la segunda derivada

Que la velocidad=0 no significa que no haya aceleracion

7. Tabla De Derivadas

1)Suma de funciones: y=f(x)+g(x)-z(x)Þ y’= f’(x)+g’(x)-z’(x)

2)Producto y Cociente: y= f(x).g(x) Þ y’= f’(x) g(x) + g’(x)f(x) y= f(x)Þ u = u’v –uv’ g(x) v v2

3)Potencias y Raices:

4)Exponenciales

5)Logaritmos

6)Funciones Básicas

7) Trigonométricas

8) Inversas trigonométricas

Derivadas mas usadas:

8. Regla de la cadena

Cuando hay composicion: Derivo lo de afuera y lo multiplico por la derivada de lo de adentro

[F(g(x))]´= (f(g(x)))´. g´(x)

Integral O Primitiva

Y= f(x)Þ Y’= F’(x)Þ ò F’(x ) dx = f(x)

Ejemplo

Y´=3 x2 Y= x3 Y= x3 Y´=3 x2 DY=3 x2 dx dy= f’(x) dx

Tabla De Integración

Autor:

Sonia Matarazzi