Ejercicios para potenciar el aprendizaje de la geometría en la educación primaria (página 2)
Enviado por Reinerio Saborit
Las exigencias declaradas en el Modelo de Escuela Primaria, las transformaciones realizadas para el perfeccionamiento, así como la incorporación de Cuba en los estudios internacionales para este nivel plantean retos al currículo actual. En el curso 2004-2005 se inició en tercero y cuarto la implementación de los ajustes curriculares en la asignatura de Matemática ya que en el curso 2005-2006 se realizaría el Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo del Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la calidad de la Educación donde Cuba obtuvo los más altos resultados.
Es aquí donde se plantea un nuevo reto a los docentes, el de dar cumplimiento a los objetivos relacionados con a los ajustes curriculares planteándose dar tratamiento a los siguientes contenidos: identificación de patrones geométricos mediante la seriación, localizar figuras y cuerpos geométricas en el plano y el espacio, reconocer que un movimiento es una correspondencia de puntos del plano que transforma una figura en otra igual a ella.
Por otro lado con la concepción del Modelo de la Escuela Primaria se han precisado los objetivos del nivel según áreas de la formación de la personalidad y momentos del desarrollo, expresado en término de las adquisiciones relativas al desarrollo moral y afectivo, intelectual, del desarrollo estético, físico y volitivo.
Estos se caracterizan por su enfoque integral y desarrollador, los cuales deben materializarse en las clases de Matemática. Actualmente a los objetivos relacionados con la Geometría, que a pesar de ocupar un rol fundamental en el desarrollo del escolar primario falta el tratamiento adecuado para que cumplan con la concepción desarrolladora.
A pesar de contar con programas y Orientaciones Metodológicas que regulan la actividad de los docentes para dirigir el aprendizaje de la Matemática, aún predominan en la práctica educativa los siguientes problemas: falta correspondencia entre documentos antes mencionados con los libros de textos y los cuadernos de trabajo, en los escolares se analiza lo relacionado con el manejo de los instrumentos y las construcciones geométricas, se centran las acciones en el docente y en menor medida en los escolares tienden a separar lo instructivo de lo educativo, el uso del diagnóstico se considera aún insuficiente.
Albarrán (2007) destaca que en esta etapa: "El aprendizaje de la Matemática sea sobre la base de la reflexión, donde se desarrolle en los escolares procedimientos generalizadores, la meta es enseñar a los escolares que no están en la escuela para recibir órdenes, sino para descubrir como pueden hacer tareas cada vez más complejas usando sus propios recursos y pensamientos".[8]
Los avances en la ciencia y la técnica aportan al docente conocimientos en todos los campos y por la necesidad de continuar elevando la calidad en la educación, surgen las nuevas transformaciones en todas las enseñanzas y en especial en la Educación Primaria, fundamentalmente en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se introducen las Nuevas Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (computación, videos, tele clases, software educativos).
Por otra parte en este período se introducen los programas audiovisuales como: la Televisión Educativa; la tele clase de Matemática para el cuarto grado, como potencialidad para la preparación del escolar y del docente, que a la vez enseña y se prepara para dar tratamiento de forma científica Influyendo positivamente en los contenidos geométricos.
Éstas se caracterizan por la consolidación de los contenidos, se da tratamiento a los contenidos en correspondencia con el programa y las Orientaciones Metodológicas se imparten un total de 39 tele clases de ellas solo siete están relacionadas con el contenido de Geometría lo que representa 17.9% del total y en solo dos de ellas se le da tratamiento a los ajustes curriculares (seriación, movimiento) ambas se dedican al ejercitación por lo que se considera esto como una insuficiencia aún.
La Computación, como medio de enseñanza para la asignatura Matemática y el uso del software educativo como procedimientos para la apropiación de los conocimientos y el desarrollo de habilidades cuenta con la colección Multisaber con una concepción pedagógica curricular extensiva, está encaminada a solucionar problemas de cada ciclo de la Educación Primaria, son potencialidades que están a disposición de los docentes para elevar el aprendizaje.
En cuarto grado se cuenta con los siguientes software: Feria de las Matemáticas, Problemas Matemáticos, Las formas que nos rodean I, Jugando con el mundo del saber y El país de los números. Relacionado con el contenido de Geometría se plantea utilizar; Las formas que nos rodean I, en el nivel II se plantea trabajar en la temática 4.3 contenidos relacionados con los polígonos los cuadriláteros y la introducción de los conceptos trapecio y rombo en el nivel 3 también aparecen ejercicios para dar tratamientos a estos contenidos sala I, en sala II nivel I temática 4.4 figuras y cuerpos redondos, así como en el nivel II temática 4.4 figuras y cuerpos redondos.
Sin embargo pese a todas las transformaciones durante estas etapas se sigue manifestando las siguientes insuficiencias, con respecto al proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática de forma general, en particular la Geometría en los escolares de cuarto grado de la Educación Primaria. El tiempo destinado al desarrollo de los contenidos geométricos es insuficiente, pues solo se le dedican 29 horas clases.
Los ejercicios que se ofrecen en el libro de texto y Orientaciones Metodológicas, para identificar las figuras y cuerpos geométricos a partir de sus propiedades y características, por lo general tienden a ser reproductivos, los mismos no siempre cumplen con las características de ser variados, suficientes y diferenciados, que respondan a las exigencias de un aprendizaje desarrollador. Por otra parte el estudio realizado permitió determinar las siguientes tendencias:
La enseñanza de la Matemática, fundamentalmente el tratamiento de la Geometría evoluciona desde la carencia de los documentos que norman la asignatura y bibliografías, hasta la consideración de variadas fuentes bibliográficas y materiales que le sirven al docente para su trabajo.
Los métodos evolucionan desde la reproducción mecánica y la memorización, donde el escolar es un ente pasivo y el docente tiene el rol protagónico, hasta los métodos activos, donde el docente asume el papel de un educador que promueve el desarrollo, la independencia cognoscitiva, el pensamiento creador o sea desarrollando una cultura general integral.
Los medios de enseñaza se integran combinando los medios tradicionales con el uso de las nuevas tecnologías en correspondencia con los avances de la ciencia y la técnica.
Las investigaciones realizadas sobre esta temática transitan, desde la limitada oferta de ejercicios, hasta ofrecer variantes de mayor riqueza metodológica que le sirven de guía al docente.
El estudio histórico le permitió identificar la trayectoria del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación Primaria, en particular en el tratamiento de Geometría, por lo que fue necesario analizar algunos aspectos de carácter teórico y metodológico relacionados con el Modelo de la Escuela Primaria.
1.2 Consideraciones teóricas que fundamentan el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática y en particular la Geometría en el cuarto grado de la Educación Primaria.
En este epígrafe se sistematizan los fundamentos teóricos desde las diferentes ciencias que se asumen. Se analizan las categorías de la teoría del conocimiento, las leyes de la dialéctica, los principios de la Filosofía, la teoría de la actividad, así como los componentes de la didáctica, los principios didácticos de la enseñanza desarrolladora, de carácter general y en particular de la Matemática y se valora la definición de ejercicio y su estructura.
La teoría Marxista Leninista del Conocimiento es la base metodológica para la organización del proceso de aprendizaje. La vía del conocimiento matemático transcurre tal y como se expresa en la vía dialéctica del conocimiento, sintetizada por Lenin en sus cuadernos filosóficos cuando apuntó: "De la percepción viva al pensamiento abstracto, y de éste a la práctica; tal es el camino dialéctico del conocimiento de la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva" [9]
A través de la asignatura Matemática de forma general, y en particular la línea directriz Geometría en los primeros grados de la Educación Primaria, es posible dar a conocer al escolar una serie de regularidades existentes en la realidad objetiva, en relación con los cuerpos y superficies que determinan las figuras que percibimos de esta realidad.
Ello justifica que en el transcurso del desarrollo histórico de la Matemática como ciencia los hechos acumulados atestiguan que los conceptos matemáticos, las propiedades y las demostraciones lógicas tienen una procedencia práctica vinculada a los procesos reales del mundo exterior.
La Geometría surge como resultado de la experiencia y la práctica de la vida y esta refleja de forma objetiva una parte de la realidad, por lo que se puede afirmar que con ello ha sido transformando una parte de la realidad. De esta forma el escolar va interiorizando la relación de los entes matemáticos con los objetos del mundo material y sus leyes.
Las leyes de la dialéctica, permiten el nexo universal, la interconexión entre los procesos y fenómenos del mundo material. El tratamiento a la Geometría en la Escuela Primaria está dirigido fundamentalmente al desarrollo de las habilidades geométricas tales como: trazar, identificar, reconocer, argumentar, lo cual permite preparar a los escolares para enfrentarse a situaciones de la vida diaria.
Entre estas se encuentran la ley de la unidad y lucha de contrarios, la ley de la negación de la negación y la ley del tránsito de los cambios cuantitativos en cualitativos y viceversa.
En este sistema teórico conceptual se hace énfasis en los principios de la teoría dialéctico materialista del conocimiento. Entre ellos, el de reflejo, el desarrollo y de la práctica; el primero se refiere a que los objetos son el contenido del reflejo del sujeto y que estos existen fuera e independiente del mismo en una reproducción ideal de una imagen más o menos adecuada del objeto.
El conocimiento es el reflejo activo, creador, corregido por el pensamiento e indudablemente ligado a la actividad practica del hombre, por lo que es esencial tener en cuenta este principio al planificar el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos, ya que los escolares pueden percibir adecuadamente las formas de las figuras, cuerpos y concretarlas en el medio, en modelos o en situaciones más complejas.
El desarrollo es un sustento importante en el tratamiento de la Geometría en la Educación Primaria; este refiere que el conocimiento es un proceso, y por tanto lo que se conoce de la realidad, sucede de una manera incompleta e inexacta a una manera más completa y exacta.
Este constituye uno de los aportes fundamentales del Marxismo a la teoría del Conocimiento, ya que no se debe suponer jamás a nuestro conocimiento acabado e invariable, sino considerar el mismo como un proceso, gracias al cual el conocimiento incompleto e inexacto llega a ser más completo y más exacto mediante la adquisición de nuevos contenidos; pero lo que si es realidad es que nunca será acabado.
La enseñanza de los contenidos geométricos tiene su antesala en el programa de nociones elementales de la Matemática desde los Círculos Infantiles, programa Educa a tu Hijo y el grado preescolar. De igual modo los escolares desde los primeros grados conocen las, figuras geométricas así como algunas de sus propiedades, es decir tienen conocimientos previos de la realidad objetiva (vivencias, experiencias).
De acuerdo con la concepción materialista en la organización del proceso del conocimiento en la enseñanza en Cuba, se parte de la realidad objetiva, lo que sirve como base en los escolares para la abstracción de conceptos.
En el tratamiento de los contenidos geométricos en cuarto grado, se pone de manifiesto este principio al reconocer las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, se parte del objeto real o una representación de la figura o cuerpo geométrico, se identifica el objeto en el medio y se comparan ambas, se determinan sus rasgos esenciales, aquí la realidad objetiva lo constituye los objetos los cuales aportan los conocimientos para posteriormente realizar actividades más complejas.
El tercero reconoce el papel decisivo de la práctica como la base del conocimiento siendo esta su fuerza motriz y móvil, pues plantea ante él en cada período histórico problemas concretos que exigen una solución en el conocimiento humano porque ella es punto de partida de la teoría del conocimiento, surge de lo planteado por Lenin, tanto la actividad cognoscitiva como la valorativa son expresiones de la práctica social se refiere a que el conocimiento es un proceso que revela la esencia más profunda del pensamiento.
El desarrollo de los conocimientos depende de las necesidades en la práctica social por tanto, estas constituyen la fuerza motriz, partir de la solución de problemas científicos, con diferentes fuentes vinculadas a necesidades provenientes de la práctica es lo que logra el incremento del saber. La actividad práctica es fundamento y fin del conocimiento; así como criterio objetivo de su veracidad, o sea se considera la práctica como criterio valorativo de la verdad:
Este principio es un fundamento importante para el tratamiento a la Geometría el carácter eminentemente práctico con que se debe desarrollar, los conocimientos que aquí se adquiere se hacen de forma intuitiva, operativa, mediante actividades prácticas con objetos de la realidad objetiva donde los escolares desarrollan habilidades de medir, trazar, identificar, superponer pegar, es decir que opera con los conceptos al construir los modelos.
Por otra parte para fundamentar la propuesta es imprescindible un profundo estudio de las definiciones de Educación, así como la importante relación que debe existir entre la escuela-familia–comunidad.
En ese sentido el estado cubano, con la participación y respaldo de las organizaciones políticas y de masas es el encargado de la estructuración y funcionamiento de un Sistema Nacional de Educación, orientado al desarrollo y la formación de las nuevas generaciones en un proceso docente educativo integral, sistemático, participativo y en constante desarrollo, que se apoya en un conjunto de principios que forman un sistema para el desarrollo de la tesis se tuvieron en cuenta por su importancia los siguientes:
Del carácter masivo y con equidad de la educación.
De la gratuidad.
De la participación democrática de toda la sociedad en las tareas de la educación.
De la coeducación y la escuela abierta a la diversidad.
De la atención diferenciada y la integración escolar.
Relacionado con el tema de la Educación el Comandante sentenció…"nuestro país va a dar un salto gigantesco en el terreno educacional y cultural…"[10] Precisamente en el campo de la Educación, vienen gestándose transformaciones encaminadas a elevar el aprendizaje de los escolares, y con ello, cumplir con el último fin que es la formación o el desarrollo de la personalidad.
Según Blanco (2001): "Educación es el conjunto de influencias recíprocas que se establecen entre el individuo y la sociedad, con el fin de lograr su inserción plena de ella, o sea la socialización del sujeto. Nos referimos, por tanto, a un fenómeno social complejo, encaminado a la transmisión y apropiación de la herencia cultural, los valores, normas y patrones socialmente aceptados".[11]
El apóstol J. Martí sentenció "Educar es depositar en cada hombre toda la obra humana que le ha antecedido: es hacer a cada hombre resumen del mundo viviente, hasta el día en que vive: es ponerlo al nivel de su tiempo, para que flote sobre él, y no dejarlo debajo de su tiempo, con lo que no podrá salir a flote; es preparar al hombre para la vida."[12]
En esta definición Martí resume de una forma muy peculiar cómo la educación es un fenómeno general que tiene como fin la formación del hombre en el proceso de instrucción y educación para que pueda vivir y transformar el mundo en su propio beneficio.
En ese sentido, la Matemática de forma general, y en particular la Geometría contribuye a preparar a los escolares, ya que desde sus contenido se educan a los mismos en el cuidado de todo lo que lo rodea, mediante el desarrollo de los contenidos geométricos, se preparan a los escolares para utilizarlos en situaciones de la vida cotidiana, acordes con el desarrollo de la ciencia y la técnica, por lo que se asume la definición dada por José Martí.
Por otra parte, la relación escuela – familia – comunidad es otro elemento a tener en cuenta, porque estas encierran sus influencias educativas, para garantizar la cooperación, la colaboración e integración en la solución colectiva, a las necesidades del proceso pedagógico que se lleva a cabo en cuanto al tratamiento de los diferentes contenidos y sus habilidades, con énfasis en la solución de las actividades de estudio independiente
En correspondencia con lo antes planteado Ernesto Che Guevara (1957.1967.) apuntó "…la sociedad en su conjunto puede convertirse en una gran escuela"[13]
Para los fundamentos pedagógicos se parte de que en los procesos de aprendizaje cada persona hace suya la cultura, que le permite el dominio progresivo de los objetos y sus usos, modos de actuación, pensar y sentir, inclusive las formas de aprender en cada contexto histórico de manera que los aprendizajes que se realizan constituyan basamento indispensable para que se produzcan procesos de desarrollo abriendo caminos seguros a los nuevos aprendizajes.
En esta perspectiva juega un papel importante el docente, pues es el encargado de llevar adelante el aprendizaje de la Geometría a cada uno de los escolares, por lo que debe plantearse exigencias crecientes a la hora de organizar y planificar el proceso, de manera que conduzca a niveles de desarrollo superiores, desde dos niveles diferentes de desarrollo el actual y el potencial.
Se conoce como zona de desarrollo actual, la que se manifiesta en la solución independiente de ejercicios y el segundo constituye la zona de desarrollo próximo, es decir lo que aún no ha logrado pero está en condiciones de realizar en ayuda de otros.
Se asume la definición de aprendizaje dada por Rico "es el proceso de apropiación por el niño de la cultura, bajo condiciones de orientación e interacción social. Hace suya esa cultura, requiere de un proceso activo, reflexivo, regulado, mediante el cual aprende, de forma gradual, acerca de los objetos, procedimientos, la forma de actuar, la forma de interacción social, de pensar, del contexto histórico social en que se desarrolla y cuyo proceso dependerá de su propio desarrollo"[14]
El aprendizaje, además de los procesos cognitivos lleva implícitos los aspectos de formación que corresponde al área afectiva emocional de la personalidad. Es por ello que en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, la instrucción desempeña un papel fundamental al descubrir cualidades específicas de la mente que conducen al escolar a nuevos niveles de desarrollo tanto en el aprendizaje del contenido de la línea directriz de la Geometría como en otras líneas escolares, es decir, que la educación debe estar orientada hacia el futuro, no hacia el pasado.
En ese sentido se puede plantear que en la pedagogía de estos días se manifiesta un problema fundamental que está dado por la ley de la unidad de la instrucción y la educación, la cual tiene como contenido esencial el desarrollo de una personalidad capaz de favorecer el progreso social e individual.
Por otro lado también es necesario tener en cuenta que la Psicología constituye un arma insustituible para el trabajo del docente, aportándole elementos teóricos indispensables para la correcta dirección del proceso de enseñanza aprendizaje, la formación de hábitos y habilidades en la actividad de estudio, así como aspectos relacionados a la dirección del proceso educativo.
Para el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, y en particular los contenidos geométricos, le corresponde al docente una tarea fundamental: ejercer conscientemente una influencia educativa en la formación de la personalidad, y para ello no le basta dominar los contenidos de las diferentes asignaturas, sino que les es imprescindible conocer las características psicopedagógicas de los escolares de cuarto grado correspondientes al momento del desarrollo. (Ver anexo I)
Sobre las etapas del desarrollo Bozhovich expresó: "cada etapa se caracteriza por un conjunto especial de condiciones de vida y de la actividad de los alumnos y por la estructura de las particularidades psicológicas que se forman bajo la influencia de esas condiciones." [15]
Para que los escolares interioricen los conceptos geométricos es imprescindible que estos tengan pleno conocimiento de las características, propiedades y proposiciones de las figuras y cuerpos geométricos. Por lo que se hace necesario partir de la definición de conocimiento que: "es el reflejo del mundo objetivo en el pensamiento humano, este puede ser mediato o inmediato" [16]
Por otro lado según el Diccionario de Filosofía:" el conocimiento es un proceso socio-histórico de la actividad creadora de los hombres, que forma su saber, sobre la base del cual surgen los fines y motivos de las acciones humanas." [17]
Según Guétmanova (1999): el conocimiento "es el proceso dialéctico del reflejo de la realidad en la conciencia humana, movimiento del pensamiento de la ignorancia al saber; de un saber incompleto inexacto a uno más completo y más exacto" [18]
Para lograr un conocimiento más completo y exacto de los contenidos de la Matemática y en particular de la Geometría tienen una gran significación los procesos cognoscitivos (sensación, percepción, memoria, imaginación, la atención y el pensamiento) que están dentro de la esfera ejecutora. Por lo que se asume la definición dada por Guétmanova acerca del conocimiento.
Es por ello que enseñar a pensar a los escolares desde los primeros grado es una tarea de los docentes que imparten Matemática, en ello juega un papel fundamental los procesos lógicos del pensamiento (análisis, síntesis, abstracción y generalización) la forma en que se conciban los procedimientos para la solución de los ejercicios en los contenidos de Geometría, propiciará que el escolar transite progresivamente de un pensamiento concreto a un pensamiento abstracto, y los conceptos geométricos tienen un alto nivel de abstracción.
Otro de los procesos cognoscitivos de gran importancia para el tratamiento de los contenidos geométricos, en los escolares de cuarto grado, es la percepción por su carácter detallado y analítico, aumentando el poder de abstracción donde se consolidan las relaciones espaciales, lo que favorece el alcance de un aprendizaje significativo.
También se debe tener en cuenta la esfera inductora que es la esfera afectiva de la psiquis humana, ya que a ella pertenecen todos los fenómenos que orientan, impulsan, y sostienen la actuación de los escolares en los diferentes contextos, siendo de gran significación los sentimientos acordes con los valores que se aspira fomentar en dicha asignatura y así contribuir a formar un hombre apto para vivir en sociedad.
Los fundamentos psicológicos tienen su base en el enfoque histórico cultural de Vigotsky (1896 – 1934), el trabajo con la Geometría se fundamenta en la concepción vigotskiana de que la educación conduce al desarrollo, considerando como algo esencial la Zona de Desarrollo Próximo (ZPD), en la que el docente no solo debe tener en cuenta lo que el escolar ha aprendido, que ya conoce, domina, puede enfrentar y aplicar por sí mismo, sino aquello que aún no es capaz de enfrentar solo, pero con una pequeña ayuda de otros puede resolver, lo que expresa las potencialidades de su desarrollo futuro.
Según estudios realizados se evidencia que el tratamiento individual al nivel de interrelaciones del escolar, es un hecho importante en cada uno de los procesos de comunicación que desarrolla, manifestándose como individualidad y como resultado de las exigencias indispensables para desarrollar en los escolares procedimientos generalizados que le permitan una conciencia metacognitiva.
Por lo que la meta es enseñar a los escolares que no están en la escuela para recibir órdenes, sino para descubrir cómo pueden realizar tareas cada vez más complejas usando sus propios recursos y pensamientos.
Otra ciencia que se asume para el desarrollo de la investigación es la Didáctica, esta se define como" parte de la Pedagogía y tiene por objeto el proceso docente – educativo o el proceso de enseñanza – aprendizaje[19]
En el caso particular de la Didáctica de la Matemática, tiene como objeto el proceso de enseñanza – aprendizaje que se opera en la transmisión y operación de los conocimientos, habilidades y valores, de sentimientos, que en sentido general promueva la formación de una cultura general integral.
El proceso de enseñanza-aprendizaje comprende tanto los componentes personales (escolar-docente), como los no personales (objetivo, contenido, método, medios, evaluación) de la Didáctica, siendo los protagonistas del proceso: el escolar, el docente, y el grupo.
Dentro de los componentes se destaca la función del docente en la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje, donde tiene el encargo social de establecer la mediación indispensable entre la cultura y los escolares, con vista a potenciar la apropiación de los contenidos, que respondan a los intereses de la sociedad y desarrollar su personalidad integral en correspondencia con el fin y los objetivos del Modelo de Escuela Primaria.
En la Educación Primaria se realiza un amplio proceso de preparación metodológica dirigida a potenciar el aprendizaje de los escolares, no obstante falta lograr que todos los docentes, estructuren acciones de enseñanza que satisfagan las necesidades de un aprendizaje desarrollador, en correspondencia con las necesidades de los escolares, por lo que resulta importante tener presente en las actividades de aprendizaje los tres momentos para desarrollarlas: la orientación, la ejecución y el control.
Desde el punto de vista didáctico, se hace necesario partir del concepto Geometría, desde varias fuentes. La palabra Geometría se utiliza desde épocas muy remotas. El vocablo Geometría proviene de las voces griegas GEO que quiere decir tierra y Metrón que denomina medida. Hoy en día, el objeto de estudio de la Geometría como ciencia está dirigido a analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. Estudia la extensión, forma, relaciones de posición de los cuerpos y los elementos que lo constituyen así como sus propiedades, es por ello que Engels planteó "…la Geometría es el modelo matemático del espacio físico." [20]
Geometría: "Parte de la Matemática que trata de las propiedades y medida de la extensión geométrica, perteneciente o relativo a Geometría." [21]
Geometría: "Parte de las Matemáticas que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos." [22]
Geometría: "del griego geo, "tierra"; metrón, medida), rama de las Matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la Geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos."[23]
En todas estas definiciones se observa un elemento común, la propiedad de que los cuerpos se pueden medir así como que la misma surgió por una necesidad social del hombre. Se asume la primera definición por estar en estrecha correspondencia con los objetivos que se plantean en el Modelo de Escuela Primaria y que se materializan en el programa de Matemática de cuarto grado, lo que permite la formación de conceptos por vía inductiva, que es la más utilizada en seta educación.
Se considera que la concepción del currículo de Geometría en la escuela cubana (Rizo 1987, 1989, 1990) se sustenta, con plena vigencia, en estos objetivos generales para el aprendizaje de los contenidos geométricos y se organiza en tres etapas fundamentales: la primera etapa denominada ciclo inicial o propedéutico, que abarca la enseñanza preescolar y hasta el cuarto grado de la Escuela Primaria, con un estudio intuitivo; una segunda etapa donde se realiza el estudio racional o deductivo, que comienza en los grados quinto y sexto, y se extiende hasta los tres grados de Secundaria Básica; luego una tercera etapa de complementación.
La clase es la forma fundamental de organización del proceso de enseñanza aprendizaje. La clase de Geometría en el cuarto grado tiene un carácter sistematizador e incluye numerosas actividades prácticas y de representación muy necesarias para la comprensión de las características esenciales de las figuras y cuerpos geométricos que propicien el desarrollo de un sentido geométrico y de habilidades en el trazado; las mismas deben trabajarse en un bloque dentro del período. En esta se ponen de manifiesto los componentes de la didáctica.
A continuación se hace una valoración de cada uno de esos componentes, aunque en la actualidad se conciben otras que adquieren un papel determinante en enseñar a aprender, lo cierto es que hoy se debe propiciar que el escolar no aprenda solo en el aula sino fuera de ella bajo la dirección del docente y en la sociedad.
Según Zilberstein (2002) El objetivo "es la categoría rectora del proceso de enseñanza aprendizaje, define el encargo que la sociedad le plantea a la educación institucionalizada, representa el elemento orientador del proceso y responde a la pregunta ¿Para qué enseñar y para qué aprender?"[24] Los objetivos tienen el papel rector en el currículo escolar. Se enuncian en función de los escolares, la derivación de estos deben tener un carácter de sistema.
Por otra parte es importante precisar los componentes de los objetivos: las habilidades a lograr por los escolares (acciones y operaciones) los conocimientos, las condiciones en que ocurrirá la apropiación (el nivel de asimilación, el nivel de profundidad y el nivel de sistematización). Ellos suelen clasificarse en; objetivos educativos dirigidos a lograr transformaciones raigales de la personalidad y los objetivos instructivos dirigidos al dominio o apropiación por los escolares del contenido de las asignaturas, ambos forman una unidad dialéctica.
Según Ballester (1992) los objetivos fundamentales en el primer ciclo de la Educación Primaria están determinados por la "adquisición de conocimientos y capacidades relacionadas con los conceptos geométricos su descripción así como el desarrollo de habilidades en el trazado y la construcción de figuras geométricas."[25]
En correspondencia con este tema de los objetivos el Modelo de Escuela Primaria plantea que los escolares de cuarto en los contenidos de Geometría deben: identificar en el medio y en modelos, figuras y cuerpos geométricos elementales, realizar algunos de ellos con diferentes instrumentos y construir objetos con esas formas, así como argumentar algunas proposiciones a partir del conocimiento de sus propiedades y características.
Los objetivos esenciales de la enseñanza de la Geometría que se platean en el programa de cuarto grado son los siguientes:
Conocer y profundizar en el conocimiento de figuras y cuerpos geométricos y sistematizar algunas de sus características esenciales.
Reconocer las características esenciales de figuras planas y cuerpos, así como recocerlas en objetos del medio.
Determinar las posiciones relativas entre puntos, puntos y rectas, rectas y planos.
Comparar y relacionar las características de las figuras y cuerpos, e identificar su dirección orientación y perspectiva en el plano o el espacio.
Reconocer figuras incluidas unas en otras.
Desarrollar habilidades en el trazado y construcción de algunas figuras planas utilizando los instrumentos correspondientes.
Reconocer la congruencia o igualdad geométrica en figuras planas estudiadas y en caras o cuerpos.
Existe una estrecha relación entre objetivo y contenido, los objetivos determinan el contenido, Addine (2004) destaca que el contenido responde a la pregunta ¿Qué enseñar-aprender? "Es aquella parte de la cultura y experiencia social que debe ser adquirida por los estudiantes y se encuentra en dependencia de los objetivos propuestos."[26]
El contenido está formado por conocimientos, habilidades, hábitos, métodos de la ciencia, normas de relación con el mundo y los valores. Lo analizado hasta aquí del componente contenido del proceso de enseñanza-aprendizaje reafirma la idea de la unidad de la instrucción y la educación, juicio básico y central. Según Castellano: "el predominio de uno sobre otro, o el deterioro de algunas de las áreas, afectará radicalmente el desarrollo integral de los escolares." [27]
En la enseñanza de la Geometría del primer ciclo, los escolares se familiarizan con los primeros conceptos geométricos, sus relaciones y algunas propiedades, sobre la base de un carácter totalmente propedéutico, práctico, intuitivo operativo.
Según el criterio de Ballester los conceptos son una categoría especial en la enseñanza de la Matemática, pues a partir de ellos opera el pensamiento matemático, estos tienen su origen en las necesidades características de la práctica que surgen en la larga lucha del hombre por trasformar la realidad. Por lo que se hace necesario sistematizar los mismos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría.
Para lograr esto es necesario que el escolar desarrolle actividades prácticas de modo que observe, dibuje, manipule, modele, recorte, componga, descomponga las figuras y cuerpos, y a partir de estas actividades experimentales, pueda percibir adecuadamente sus formas y reconocerlas, tanto en el medio, como en modelos o en situaciones más complejas.
Los conceptos geométricos tanto de objetos como de relaciones y operaciones que deben haber adquirido los escolares al concluir el cuarto grado de la Enseñanza Primaria son los siguientes:
Figuras geométricas elementales (punto, recta, segmento, semirrecta, plano y semiplano)
Figuras planas (polígonos, triángulos, trapecios, paralelogramos, rectángulos cuadrados rombo, circunferencia)
Cuerpos geométricos: (prisma, ortoedro, cubo, pirámides, cilindro, esfera, cono.)
Al organizar los contenidos geométricos, como actividad conjunta donde interactúan el docente, el escolar o entre ellos, se fomenta el desarrollo de cualidades de su personalidad, intereses relacionados con el estudio, forma de relación entre sus compañeros, se genera un clima emocional favorable muy eficaz para el aprendizaje donde los escolares logren transitar por los diferentes niveles de desempeño.
Se asume por niveles de desempeño cognitivos cuando se refiere a dos aspectos íntimamente relacionados, ellos son: El grado de complejidad con que se quiere medir este desempeño y la magnitud de los logros alcanzados en una asignatura determinada.
Se han considerado tres niveles de desempeño cognitivos según la magnitud y peculiaridades de los logros del aprendizaje alcanzados por los escolares en las diferentes asignaturas del curso escolar. Referido a los niveles de desempeño cognitivo en la asignatura Matemática se asume las definiciones planteada por Bernabeu (2005).
Nivel I: Reconocimiento de objetos y elementos. Implica la identificación de hechos, conceptos, relaciones, y propiedades Matemáticas expresadas de manera directa y explicita el enunciado.
Nivel II: Solución de problemas simples. Exige el uso de información Matemática que explícita en el enunciado, referente a una sola variable y al establecimiento de relaciones directas necesarias para llegar a la solución.
Nivel III: Solución de problemas complejos. Requiere la organización e información Matemática pronunciada en el enunciado y la estructuración de una propuesta de solución a partir de relaciones no explícitas, en las que se involucran más de una variable.
Para el cuarto grado en el folleto del Modelo de Escuela Primaria, derivado por niveles de desempeño para los contenidos de Geometría se plantean los siguientes:
Nivel I. Trazar figuras y cuerpos geométricos con diferentes instrumentos y construir objetos con esas formas.
Nivel II. Identificar las características esenciales de las figuras y cuerpos geométricos estudiados, así como reconocerlas en objetos del medio.
Nivel III. Argumentar proposiciones geométricas a partir del conocimiento de sus propiedades y características.
Para la sistematización de los contenidos geométricos se deben resolver ejercicios donde se tenga presente estos niveles de forma general.
El método de enseñanza es otro componente del proceso de enseñaza aprendizaje, responde a la pregunta ¿Cómo desarrollar el proceso? En textos de carácter filosófico se define al método como un: "sistema de reglas (metódicas) que determinan las clases de los posibles sistemas de operaciones que, partiendo de ciertas condiciones iniciales, conducen a un objetivo determinado. Un método es, pues una serie de pasos u operaciones estructurados lógicamente, con los que se ejecutan distintas acciones encaminados a lograr un objetivo trazado previamente." [28]
Por otro lado Zilberstein plantea que el método (¿cómo enseñar y cómo aprender?) "constituye el sistema de acciones que regula la actividad del profesor y los escolares, en función del logro de los objetivos"[29]. A partir de las exigencias actuales, se debe vincular la utilización de métodos reproductivos con productivos, procurando siempre que sea posible, el predominio de estos últimos.
En el libro de Metodología de la Enseñaza tomo I se define al método de la siguiente forma: "Los métodos de enseñanza de la escuela socialista son instrumentos para acciones y modos de conducta del profesor que sirven para provocar actividades necesarias de los escolares y por tanto, para la conducción efectiva y planificada, dirigida hacia un objetivo, del proceso de instrucción y educación de la enseñanza."[30]
Entre los métodos de enseñanza de la asignatura Matemática se pueden citar los del proceso de comunicación en la enseñanza y el grado de independencia del trabajo de los escolares; entre estos están: Exposición, Elaboración Conjunta, Trabajo Independiente, la Conversación Heurística, es la más empleada (dirigido productivo). Este último contribuye al desarrollo de la actividad cognoscitiva de los escolares y es muy utilizado en las clases de Matemática.
En estas clases ocupa un lugar importante la de sistematización, y la aplicación para la fijación de los conocimientos geométricos y ello se logra mediante la solución de ejercicios fundamentalmente del nivel aplicativo y creativo donde predomina el trabajo independiente, lo que facilita el desarrollo de las habilidades. Labarrere ve a este método "como el momento donde el escolar resuelve el ejercicio con cierta dirección del docente." [31]aspecto que se asume para la investigación.
En unidad dialéctica con los métodos se encuentran los procedimientos, Zilberstein y Silvestre, ven en estos herramientas didácticas o acciones concretas que le permiten al docente el logro de los objetivos, mediante la creación de actividades, a partir de las características del contenido y de los escolares, que cumplen la función de, orientar y dirigir la actividad del escolar en la clase y el estudio, entre ellos se encuentran los procedimientos inductivos y deductivos.
Estos procedimientos son utilizados en la realización de las distintas situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática, entiéndase las situaciones como, elaboración de conceptos, elaboración de procedimientos, solución de ejercicios, entre otros para la solución de estas actividades se consideran, dos tipos de procedimientos: los algorítmicos y los procedimientos heurísticos.
Los procedimientos algorítmicos –sucesión de indicaciones con carácter algorítmico (SICA). Su utilización está muy relacionada con el desarrollo de las habilidades de resolver ejercicios donde se encuentran figuras incluidas, movimiento en el plano y el espacio trazado y construcción de figuras y cuerpos geométricos, pues permiten racionalizar el trabajo mental y práctico, produciéndose una reducción de generalización de las acciones por parte de los escolares. La teoría de Galperin sobre la formación por etapas de acciones mentales constituye su fundamento lógico metodológico para resolver estos ejercicios se emplea este procedimiento.
Unido al desarrollo de habilidades para resolver problemas geométricos están los procedimientos o habilidades lógicas asociados a los conceptos Campistrous (1997), Álvarez (1998), Gámez (1998), Guétmanova (1995), que deben además constituir objeto de enseñanza explícita en la escuela; entre ellas se encuentran:
Reconocer propiedades.
Distinguir propiedades: esenciales, necesarias, y suficientes.
Identificación de conceptos. Decidir si un objeto pertenece o no a un concepto, que incluye las acciones de: recordar propiedades suficientes del concepto, reconocer si el concepto posee o no la propiedad, decidir.
Definir (caracterizar, describir) que incluye: escoger el género, distinguir rasgos esenciales o diferenciales, comparar con otros conceptos del mismo género.
Clasificar (sistematizar).
Ejemplificar, las acciones en este caso pueden ser: recordar rasgos esenciales, buscar objetos que posean esos rasgos, identificar los objetos.
Deducir propiedades, que incluye las acciones: identificar el concepto al cual pertenece el objeto, recordar propiedades necesarias del concepto, concluir que el objeto posee las propiedades.
Estos procedimientos constituyen una poderosa herramienta metodológica para la organización del proceso de enseñanza-aprendizaje, pues permiten potenciar el desarrollo del pensamiento en los escolares.
En la enseñanza de la Matemática la capacidad de los escolares para integrar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a diferentes situaciones es necesario como opción metodológica el empleo de la instrucción heurística, pues propicia y racionaliza el trabajo mental y práctico, por lo que constituye una fuerte contribución al logro de la reflexión, la independencia cognoscitiva y la elevación del nivel creativo por lo que facilita el cumplimiento de los objetivos.
La instrucción heurística, comprende separar lo dado de lo buscado, recordar conocimiento relacionados con lo dado y lo buscado, representar gráficamente la situación planteada, por ejemplo esta regla lleva implícita la representación de un segmento; trázalo en tu libreta, es decir la realidad objetiva se trasformó en lo buscado.
Para concluir con este aspecto de la didáctica se considera esencial para la reflexión el siguiente pensamiento de la pedagoga cubana Escalona, quien consideraba "que no hay alumno que no aprenda Matemática, sino docentes que no saben enseñarla.[32]
Por otra parte, al efectuar un estudio sobre la definición de medios de enseñanza se evidencian diferentes criterios Klingber refiere como: "Todos los medios materiales necesitados por el docente para una estructuración efectiva y racional del proceso de instrucción y educación en todos los niveles, en todas las esferas de nuestro sistema educacional y para todas las asignaturas para satisfacer las exigencias del plan de estudio.[33]
Por otro lado Zilbrestein precisa que "los medios de enseñanza (¿con qué enseñar y aprender?) están constituidos por objetos naturales o conservados o sus representaciones, instrumentos o equipos que apoyan la actividad de docentes y escolares en función del cumplimiento de los objetivos.[34]
Hoy en día los docentes tienen retos que cumplir ante el enorme desarrollo de la ciencia y la técnica; contando en todas nuestras escuelas con los Programas de la Revolución que constituyen una herramienta esencial en cada clase.
En la Educación Primaria los materiales impresos constituyen uno de los medios más empleados por los docentes. Son aquellos que permiten la transmisión de la información de forma escrita, los más empleados son los Programas, las Orientaciones Metodológicas, los libros de textos, cuadernos de trabajo, ejercicios en tarjetas, entre otros.
Los libros de textos se emplean tanto para los escolares como para los docentes, en ellos aparecen los ejemplos, ejercicios resueltos, y ejercicios propuestos con diferentes niveles de complejidad.
Silvestre, Patiño y Hernández (2000), explican que los pedagogos llevan siglos estudiando el problema de la efectividad del libro como medio de enseñanza y aprendizaje, que fue Comenius, el creador del primer libro ilustrado dirigido a enseñar a niños.
Para estos autores el libro es un medio principal en el proceso de enseñanza y aprendizaje; el escolar encuentra en él la principal fuente de los conocimientos que debe adquirir y un medio que le ayuda a su asimilación y el docente su principal fuente de apoyo.
El libro docente, es aquel que responde a un programa específico y desarrolla sus contenidos esenciales en el orden estricto del programa se le identifica como libro de texto para dicho programa, tiene las ventajas de ajustarse con precisión al contenido del programa y como limitación que no potencia el desarrollo del escolar más allá de los conocimientos esenciales mínimos de dicho programa y al caducar o modificarse el programa el libro pierde su vigencia, lo que se ve reflejado en el actual libro de texto de Matemática de cuarto grado.
El libro de consulta con fines docentes, no responde a un programa específico, incluye los núcleos básicos del conocimiento o ideas rectoras estructuradas a partir de la evolución histórica de la lógica de la ciencia o rama del conocimiento o en orden de complejidad. Propician que el docente investigue, profundice y sistematice sus conocimientos. Estos envejecen con el avance indetenible de la humanidad, de la cultura, de la ciencia y de la tecnología.
Sin embargo, los autores mencionados, advierten que aunque el libro de texto ocupa el lugar central como medio en el proceso de la mayoría de las asignaturas, no es el único. Esta investigación está en correspondencia con los planteamientos y valoraciones realizadas por los autores citados, de que el libro de texto ocupa el lugar central como medio en el proceso de enseñanza aprendizaje de la mayoría de las asignaturas, no es el único como se expresa pero sí el más utilizado.
En tal sentido se realiza esta investigación para la elaboración de las sugerencias metodológicas y los ejercicios para el cuarto grado en la Educación Primaria, que contiene aspectos teóricos y prácticos sobre los conocimientos geométricos que deben potenciarse en los referidos escolares, donde se presentan, ejercicios del nivel aplicativo y creativo según los métodos contemporáneos de la Pedagogía.
1.3 Fundamentos de los ejercicios geométricos.
De acuerdo con el objetivo general para el trabajo en el nivel inferior, en la enseñanza de la Geometría en los tres primeros grados se dan las bases para la enseñanza futura y el enfrentamiento del escolar con su medio. Los escolares conocen figuras lineales simples, planas, cuerpos geométricos y las relaciones entre ellos. Se capacitan para aplicar estos conocimientos en otras asignaturas y en las más diversas situaciones incluso fuera del aula, además, se desarrolla continuamente la imaginación espacial de los escolares.
El contenido de la enseñanza de la Geometría en el cuarto grado es de gran actualidad ya que permite apreciar claramente, las tareas esenciales del grado siguiente, primeramente se repasan importantes conceptos y relaciones geométricas entre ellos. Para dirigir correctamente la enseñanza de la Geometría en este grado, el docente de Matemática debe tener pleno conocimiento de la materia, elaborada con anterioridad, debe tener información con respecto a los contenidos que le suceden
Una vía metodológica fundamental para lograr una organización adecuada del contenido geométrico, que conduzca al logro de los fines propuesto se debe fundamentar en el trabajo con ejercicios correctamente organizados, debido a que los mismos resuman las exigencias que deben plantearse a los escolares, de modo que su personalidad se desarrolle en la dirección adecuada. Este trabajo con ejercicios debe ser realizado de forma tal, que la participación del escolar sea efectiva y desarrolle sus capacidades de trabajo independiente.
No debe verse el trabajo con ejercicios como una actividad solo del docente, sino como una actividad conjunta en la que el escolar participa, en cierta medida cada vez más independiente y en la que aplica y fija los conocimientos adquiridos.
Es por ello que los docentes deben conocer formas efectivas de explotar al máximo las posibilidades que estos le brindan para potenciar el aprendizaje de la Geometría. En tal sentido, para adentrarse al estudio de la categoría ejercicio, como una actividad que se realiza en las clases de Geometría para potenciar su aprendizaje; es necesario reflexionar acerca de asuntos relacionadas con la categoría actividad como una categoría esencial de la Psicología que se relaciona con la Educación. La solución de un ejercicio es una actividad. La estructura de la actividad sirve de fundamento a la estructura del ejercicio. Este concepto (actividad) ha sido definido por varios autores desde diferentes ópticas.
Guadarrama (1992), la ha definido como "la forma específicamente humana de relación activa hacia el mundo circundante, cuyo contenido es su cambio y transformación racional".[35]
La actividad supone determinada contraposición del sujeto y el objeto. El sujeto es el hombre concreto, cuya esencia son las relaciones sociales, el objeto es aquella parte de la realidad objetiva que el hombre humaniza.
Petrovski (1980) La actividad es "la forma de relación activa hacia la realidad, a través de la cual se establece el vínculo real entre el hombre y el mundo en el cual vive"[36]
Leontiev (1980) define la actividad como "una unidad (…) no aditiva de la vida del sujeto corporal (…) es la unidad mediatizada por el reflejo psíquico, cuya función real consiste en que orienta al sujeto en el mundo de los objetos.[37]
La actividad está conformada por dos componentes: Los intencionales (motivos y los objetivos) y los procesales (las acciones y las operaciones) y toda actividad responde a un motivo, el cual le da orientación, sentido e intención a la misma, no existe actividad humana sin motivo.
"La actividad se entiende como el proceso mediante el cual el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona con los objetos de la realidad adoptando una aptitud hacia ellos y la comunicación entre los sujetos…"[38]
En la investigación se asume la definición dada por Leontiev (1981) ya que los escolares deben realizar con el contenido de enseñanza actividades cognoscitiva, prácticas, y valorativas lo que conduce a su apropiación consciente de la herencia histórico cultural. Precisamente cuando el escolar se enfrenta a la solución de un ejercicio geométrico, está desarrollando una actividad práctica para fijar los conocimientos adquiridos
Las definiciones anteriores expresan en lo esencial la relación sujeto – objeto, teniendo en cuenta los motivos y cómo a través de la actividad, el hombre se transforma y conoce al mundo. Es necesario que esto constituya un referente básico al dirigir el aprendizaje de la Geometría, así como el proceder en la solución de ejercicios, para que los escolares adquieran una concepción científica, y sustente con fundamentos sólidos la actividad humana y académica.
El éxito de las diferentes actividades que el escolar realiza depende en gran medida de la forma en que dichas actividades sean asimiladas por él y los ejercicios como forma de actividad Según Ballester(1992) "constituyen una exigencia para la realización de las acciones, solución de diferentes situaciones, deducciones de relaciones, cálculo, etcétera"[39] Para que este proceso tenga un carácter creador, desempeñan un importante papel los conocimientos que desarrollen los escolares como parte del contenido de la enseñanza.
El concepto de ejercicio en la enseñanza de la Matemática ha sido tratado por varios especialistas. En el libro de Metodología de la Enseñanza de la Matemática tomo1 se considera un concepto amplio para los ejercicios: El ejercicio es una exigencia para actuar que se caracteriza por:
1. El objetivo de las acciones; en la resolución de un ejercicio es, en cada caso trasformar, una situación inicial (elemento dado, premisa) en una situación final (elemento que se buscan, tesis)
2. El contenido de las acciones; en la resolución de un ejercicio está caracterizado por:
a) el objeto de las acciones, que puede estar dado por los elementos de la materia matemática (conceptos proposiciones y procedimientos algorítmicos); la correspondencia entre situaciones extramatemáticas y elementos de materia matemáticos; y los procedimientos heurísticos (principios, estrategias, reglas etc.)
b) Tipos de acciones: identificar, realizar, comparar, ordenar, clasificar, reconocer, describir, aplicar, fundamentar, buscar, planificar, controlar.
3. Las condiciones para las acciones se encuentran en primer lugar las exigencias que el ejercicio plantea al escolar expresadas por el grado de dificultad del ejercicio.
Los componentes de un ejercicio son: elementos dados, vía de solución y elementos que se buscan, estos se pueden interpretar de diferentes formas que conduzcan a diferentes tipos de ejercicios.
Otras exigencias que se asumen relacionadas con la estructuración y selección de los ejercicios para garantizar el aprendizaje de los conceptos geométricos son planteadas en el V Seminario Nacional para Educadores (2005), las cuales se refieren a continuación:
1. Buscar variedad de los ejercicios tanto en la forma como en el contenido. Esta está relacionada con el grado de dificultad de cada ejercicio.
2. Presentar ejercicios tanto en una dirección del pensamiento y en dirección opuesta.
3. Plantear ejercicios con solución única o con varias soluciones o sin ninguna solución.
4. Plantear ejercicios con condiciones excesivas o donde falten condiciones.
Al seleccionar o estructurar los ejercicios que se van a plantear, el maestro debe tener en cuenta: los contenidos a sistematizar de acuerdo con los objetivos de la Enseñanza Primaria y la actividad mental que deben desarrollar los escolares en el proceso de solución, aquí hay que tener presente el contenido de las acciones, el objetivo de las acciones y los tipos de acciones (identificación y realización como las acciones fundamentales) y otros como comparar, ordenar, clasificar, fundamentar.
Por otro lado, en el libro Metodología de la enseñanza de la Matemática de primero a cuarto, tercera parte, se señalan las etapas del proceso de solución para ejercicios cualesquiera, las cuales se asumen para la solución de los ejercicios geométricos que se presentan.
Primera etapa: recepción de la tarea y comprensión del problema
Segunda etapa: observación analítica de los datos en relación con la pregunta planteada. (Análisis de las condiciones)
Tercera etapa: hallar el principio de solución (la vía de solución)
Cuarta etapa: realización del principio de solución.
Quinta etapa: coordinación de la solución del problema plantado
Cuando se elaboran o seleccionan los ejercicios para las clases de sistematización de los conceptos geométricos, en este caso los destinados la solución de ejercicios de selección múltiple mediante la aplicación de las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos y no se tienen en cuenta estas exigencias didácticas, se induce a la reproducción mecánica de modelos dados por el docente lo que provoca la memorización de algoritmos, sin lograr una real comprensión de los contenidos.
El planteamiento del ejercicio tiene que promover en la mayor medida posible al pensamiento independiente y al trabajo creador, por lo que el éxito de la calidad del saber y del poder en la Matemática depende del planteamiento del ejercicio.
Al reflexionar acerca de las definiciones ofrecidas sobre el concepto ejercicios es preciso generalizar que los ejercicios geométricos están relacionados con la actividad que desarrolla el escolar a través de diferentes procesos; de ahí la importancia del concepto de actividad para la enseñanza aprendizaje de la Matemática; como proceso en el que incluye los conocimientos específicos, las operaciones y los conocimientos y operaciones lógicas para llegar al pleno dominio de los conceptos geométricos.
Por otra parte los ejercicios de sistematización de objetos y conceptos geométricos son útiles para adiestrar el pensamiento lógico de los escolares, los ejemplos de este tipo de ejercicios se utilizan para familiarizar a los escolares con las formulaciones tal como se usan en la lógica, pero, al mismo tiempo, para hacer que apliquen diferentes formas de expresión para la misma situación.
De esa forma los escolares aprenden que el trapecio ABCD los lados AB y CD o los lados BC y AD son paralelos entre sí (alternativa).Los escolares formulan, por ejemplo; "En un trapecio por lo menos dos lados son paralelos entre si". "En un trapecio es suficiente que dos lados sean paralelos entre sí". Cuando los escolares han determinado que en todo rectángulo ABCD los lados AB y CD y los lados BC y AD son paralelos entre sí (conjunción) entonces están en condiciones de derivar de ello las proposiciones siguientes: "Todos los rectángulos son paralelogramos"; "Hay paralelogramos que no son rectángulos"; "Si un cuadrilátero ABCD no es un paralelogramo, entonces tampoco es un rectángulo.
Para lograr que los escolares lleguen a tener dominio de las proposiciones, es necesario que tengan pleno dominio de las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, así como de un proceder que le permita resolver los ejercicios que se plantean en las clases de sistematización para identificar los conceptos geométricos.
Al seleccionar o estructurar los ejercicios que se van a plantear, el maestro debe tener en cuenta la actividad mental que deben desarrollar los escolares en el proceso de solución, aquí hay que tener presente el contenido de las acciones, el objetivo de las acciones y los tipos de acciones (identificación y realización como las acciones fundamentales) y otras como comparar, ordenar, clasificar, fundamentar.
Otras acciones intelectuales que revisten gran importancia en la solución de los ejercicios geométricos son: la observación, la descripción, la modelación, la elaboración de preguntas, argumentar, identificar entre otras, esta última se desarrolla cuando el escolar es capaz de interiorizar en las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
Durante el proceso de enseñanza aprendizaje de esta asignatura los escolares asimilan acciones de tipo geométrico como: trazar, identificar, medir, fundamentar, comparar entre otras. Estas acciones le permiten operar con el pensamiento abstracto.
Es por ello que para dirigir el proceso de enseñanza de aprendizaje de la Matemática en la Escuela Primaria y en particular los contenidos geométricos, es importante tener en cuenta la teoría del desarrollo de la psiquis humana planteada por L. S. Vigotsky, el cual se produce a través del proceso de apropiación de la experiencia acumulada por la humanidad (contenido) a lo largo de toda la historia social, este proceso constituye el mecanismo esencial para el cual se produce el fenómeno de la transmisión de la herencia histórico – cultural.
La concepción teórica del aprendizaje de la formación por etapas de las acciones mentales hasta convertirse en intelectuales, es desarrollada por Galperin y comprobada en la práctica por numerosas investigaciones, que aportan la llamada teoría de la formación por etapas de las acciones mentales, ésta se basa en la concepción dialéctico-materialista del desarrollo de la personalidad, las acciones mentales se desarrollan en la actividad de los escolares.
Para cada acción debe crearse un modelo interno y la formación de este tiene fases o etapas: fase de orientación; fase de formación de la acción y del control, esta contempla la formación de la base orientadora de la acción, de la acción en forma externa, en el plano verbal externo, en el interno y su formación de manera interna mental generalizada; fase de aplicación, esta lleva un amplio proceso de de familiarización de los escolares con nuevas formas de trabajo matemático.
Desde esta perspectiva, el docente es el encargado de valorar el nivel de desarrollo alcanzado por el escolar para plantearle exigencias crecientes, que lo conduzcan a niveles de desarrollo superiores, por lo que él debe tener en cuenta dos niveles diferentes de desarrollo de los escolares, el primero es el nivel de desarrollo actual (Zona de Desarrollo Actual), el cual se manifiesta en la solución independiente de ejercicios; y el segundo lo constituye la zona de desarrollo próximo (Zona de Desarrollo Potencial), es decir, lo que aún no ha logrado pero está en sus posibilidades de alcanzarlo, con ayuda de otro .
En el cuarto grado concluye el tratamiento a la Geometría de forma intuitiva operativa porque se basa en el estudio de conceptos y propiedades mediante actividades experimentales como (medir, trazar, superponer, calar) en este grado se sistematiza lo aprendido en grados anteriores y se completa su formación básica con introducción de conceptos; no se dan definiciones; pero sí que los escolares puedan identificar y describir sus propiedades y características.
En la tesis se refiere que para continuar potenciando los contenidos de Geometría, desde el punto de vista didáctico, el docente debe organizar este proceso de manera que los ejercicios permitan la fijación de los conocimientos que el escolar necesita para identificar las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos y al final poder aplicar estos conocimientos, es decir, poner en acción lo aprendido y esto es posible lograrlo si los ejercicios se sustentan en la concepción desarrolladora.
Se asume para estructurar las sugerencias metodológicas, el desarrollo de un proceder en la solución de ejercicios de selección múltiple con enfoque desarrollador, donde deben identificar las figuras y cuerpos geométricos a partir del conocimiento de sus características y propiedades; para ello se tiene en cuenta las exigencias didácticas declaradas por los autores Silvestre, Zilberstein (2002) y Rico (1999-2005)
Se apoya en los principios didácticos, planteados como exigencias para el proceso de para una enseñanza – aprendizaje desarrollador.
Diagnosticar integralmente la preparación del escolar para las exigencias del proceso de enseñanza y aprendizaje, nivel de logros y potencialidades en el contenido del aprendizaje, desarrollo intelectual y afectivo valorativo, introducir los nuevos conocimientos a partir de los conocimientos y experiencias precedentes; estructurar el proceso de enseñanza – aprendizaje hacia la búsqueda activa del conocimiento por el escolar, teniendo en cuenta las acciones a realizar donde estén los momentos de orientación, ejecución y control de la actividad; concebir un sistema de actividades para la búsqueda y exploración del conocimiento por el escolar, desde posiciones reflexivas, que estimule y propicie el desarrollo del pensamiento y la independencia en el mismo; orientar la motivación hacia el objeto de la actividad de estudio y mantener su constancia.
Por otra parte es necesario tener en cuenta: desarrollar la necesidad de aprender y entrenarse en cómo hacerlo; estimular la formación de de los procesos lógicos del pensamiento y el alcance del nivel teórico, en la medida en que se produce la apropiación de los conocimientos y se eleva la capacidad de resolver problemas; desarrollar formas de actividad y de comunicación colectivas que favorezcan el desarrollo intelectual, logrando la adecuada interacción de lo individual con lo colectivo en el proceso de aprendizaje; atender las diferencias individuales en el desarrollo de los escolares, en el tránsito del nivel logrado en lo que se aspira y vincular el contenido de aprendizaje con la práctica social y estimular la valoración por los escolares en el plano educativo y los procesos de su formación cultural en general.
Al valorar lo planteado por M. Silvestre (2002) en el libro de Didáctica de la Escuela Primaria sobre cómo se puede lograr el protagonismo de los escolares en el proceso de enseñanza- aprendizaje, se valoran las siguientes características de las tareas y enfatiza que para lograr el desarrollo de los conocimientos, estas deben ser: Suficientes, que se repita un mismo tipo de acción, aunque varié el contenido teórico o práctico.
Variadas, que impliquen diferentes modos de actuar, desde las más simples hasta las más complejas, lo que facilite una cierta "automatización" en el desarrollo de las habilidades.
Diferenciadas, atendiendo al desarrollo alcanzado por los escolares y propiciando un nuevo salto en el desarrollo de la habilidad.
Los ejercicios que se presentan están estructurados bajo estos requisitos.
El estudio de la evolución histórica permitió obtener información del tratamiento que se le ha dado a la Geometría en diferentes momentos, la misma se realizó sobre la base de tres etapas, las cuales permitieron conocer el marco teórico referencial dirigido a profundizar en los ejercicios, para el desarrollo de los contenidos geométricos en las diferentes etapas, los cuales se han caracterizado por su carácter reproductivo, es decir, conducen a la repetición mecánica, los ejercicios son predominantemente formales, limitando el protagonismo de los escolares y la vez impiden que estos sean activos, reflexivos y valorativos de cada situación de aprendizaje que se le presente; por otra parte es insuficiente la cantidad de ejercicios para la sistematización.
El estudio del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, en particular de la Geometría en cuarto grado en la Educación Primaria, desde posiciones filosóficas, sociológicas, psicológicas y didácticas de la categoría actividad y en particular ejercicio, constituye una premisa fundamental para el desarrollo del pensamiento, por lo que, se evidencia perfeccionar la selección y la estructuración de los ejercicios, que contribuyan a potenciar los conocimientos geométricos en los escolares del referido grado.
CAPÍTULO II:
Sugerencias metodológicas y ejercicios dirigidos a potenciar el aprendizaje de la geometría el cuarto grado de la educación primaria
En este capítulo se precisa caracterizar el estado actual del desarrollo de los conocimientos geométricos en el cuarto grado de la Educación Primaria, mediante el proceso de diagnóstico. Se continúa con la fundamentación de los ejercicios para la sistematización de los contenidos de Geometría en el referido grado y se concluye con las valoraciones del diagnostico final donde se verifica la efectividad de la solución al problema científico.
Para determinar el estado actual del dominio de los conocimientos en los contenidos de Geometría en los escolares de cuarto grado de la Educación Primaria se efectuaron observaciones directas a clases, se aplicaron pruebas pedagógicas a escolares, entrevistas a docentes, encuestas a miembros de la estructura, así como revisión los productos de la actividad de los escolares, docentes y estructura.
La investigación se realizó en la escuela primaria "Marcelo Salado Lastra" que está ubicada en el Consejo Popular No. 1, municipio Colombia. Tiene 42 trabajadores docentes, incluyendo a tres profesores de Educación Física, tres de Computación, una Logopeda. El Consejo de Dirección lo integra el director y dos jefas de ciclo, hay nueve docentes en formación; se encuentran 14 docentes incorporados a la Maestría en las diferentes ediciones. En el centro hay un total de 17 grupos con una matrícula de 300 escolares de preescolar a sexto grado, de ellos hay 52 en cuarto grado. Se tomó como muestra el aula de 4to A con una matrícula de 20 escolares, de los cuales se encuentran ocho en el nivel I; nueve en el nivel II y uno en el nivel III de la asignatura Matemática.
2.1 Caracterización del estado actual de los conocimientos geométricos en los escolares de cuarto grado de la Educación Primaria.
A partir de la necesidad de aplicar las sugerencias metodológicas y los ejercicios para potenciar el aprendizaje de los contenidos sobre las características y las propiedades de las figuras y cuerpos geométricos se determinó, una variable, dos dimensiones con sus respectivos indicadores, para evaluar el nivel de aprendizaje en los escolares de cuarto grado. La variable se refiere al proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría. (ANEXO II)
Dimensión 1. Conocimientos que poseen los docentes sobre el trabajo con la Geometría.
Indicadores.
1.1 Dominio de los conocimientos que debe impartir sobre la Geometría el docente
1.2 Conocimientos que tienen la estructura sobre el tratamiento de los contenidos geométricos.
1.3 Dominio de las exigencias didácticas para la selección y estructuración de los ejercicios para la fijación de los contenidos geométricos.
Dimensión 2 Conocimientos que poseen los escolares sobre la de Geometría.
Indicadores.
2.1 Trazar figuras con diferentes instrumentos y construir objetos con esas formas.
2.2 Identificación de las características esenciales de figuras y cuerpos geométricos, así como reconocerlas en objetos del medio
2.3 Argumentar proposiciones geométricas a partir del conocimiento de sus propiedades y características.
Escala valorativa la dimensión 1 (ANEXO III)
Escala valorativa de la dimensión 2 (ANEXOIII)
Análisis de los resultados obtenidos en los indicadores a partir los instrumentos aplicados.
El estudio de los productos de la actividad, dirigido a la determinación de las insuficiencias, para contribuir a potenciar el aprendizaje de los contenidos en las clases de Matemática con énfasis en la Geometría, se efectuó a partir del análisis de la estrategia para dirigir el aprendizaje (hoy Plan de Trabajo Metodológico) donde se evidenció que el trabajo metodológico está encaminado a la solución de los problemas del diagnóstico, sin embargo se detectaron insuficiencias en el tratamiento, tanto de contenido como didáctico y metodológico al desarrollo de los contenidos de Geometría, faltando especificar en componentes de la didáctica como son, los métodos, procedimientos y ejercicios que se deben trabajar para la sistematización de los conocimientos geométricos a partir de la identificación de las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
En los sistemas de clases de las docentes se pudo observar que existen insuficiencias en la selección y estructuración de los ejercicios de opción múltiple para lograr que se transite por los tres niveles cognitivos viéndose más afectado el aplicativo y el creativo por lo que se ven afectados los conocimientos en los contenidos de Geometría, en particular la identificación de figuras y cuerpos geométricos.
Por otro lado al revisar los tratamientos metodológicos de las docentes, se pudo apreciar que en el 50% (cinco) de las clases es insuficiente el carácter interactivo de los ejercicios, no facilitando la relación entre los escolares, docentes y grupo.
Se revisaron las actas (13) de los colectivos de ciclo desarrollados en esta etapa donde se apreció que falta demostración a los docentes de las características de las clases de consolidación, las cuales contribuyen a la fijación de de los conocimientos geométricos. En el análisis de estos documentos, se evidenció que se da tratamiento de forma general a la estructuración de los ejercicios por niveles de desempeño cognitivo, pero falta precisar las exigencias didácticas desarrolladoras de los mismos para consolidar los conocimientos referidos, pues son insuficientes las actividades que respondan a qué debe hacer el docente para la selección y estructuración de los ejercicios de opción múltiple en función de potenciar los conocimientos.
La encuesta se efectúo a tres docentes para conocer sus criterios y opiniones acerca del tratamiento que se le brinda al contenido de Geometría, en particular relacionado con el dominio de las características y propiedades de los conceptos geométricos que se declaran en los objetivos del Modelo de Escuela Primaria y en el programa de Matemática de cuarto grado.
De las tres docentes una, que representa el 33.3%, se ubicó en nivel alto ya que demostró un pleno conocimiento de los conceptos que se trabajan en los contenidos de Geometría, los menciona todos, así mismo muestra alto dominio de las habilidades del trabajo con la Geometría, la bibliografía para desarrollar el trabajo con los conceptos, posee pleno dominio de las posibles causas que limitan el trabajo con los contenidos geométricos para la sistematización de los conceptos emitiendo respuestas claras y precisas sobre los aspectos que se deben mejorar para el tratamiento a los contenidos de Geometría, enfatizando en la selección y estructuración de los ejercicios, la sistematización; así como en las condiciones previas que deben tener los escolares.
Fue evaluada una docente en el nivel medio, pues muestra pleno dominio de las posibles causas que limitan el trabajo con los contenidos geométricos para la sistematización de los conceptos, emitiendo respuestas claras y precisas sobre los aspectos que se deben mejorar para el tratamiento a los contenidos de Geometría, muestra dominio de algunas de las habilidades del trabajo con estos contenidos, así como la bibliografía para desarrollar el trabajo con los conceptos; solo utiliza como bibliografía para desarrollar los contenidos, las Orientaciones Metodológicas, posee dominio parcial de las posibles causas que limitan el trabajo con los contenidos geométricos, no señala dentro de las causas la falta de sistematicidad en estos contenidos, faltándole precisar en los elementos de orden didáctico y metodológico poco dominio de condiciones previas y poca variedad de ejercicios.
En el nivel bajo una porque demuestra poco conocimiento de los conceptos que se trabajan en los contenidos de Geometría, menciona los básicos. Muestra pobre dominio de las habilidades del trabajo con estos contenidos así como la bibliografía para desarrollar el trabajo con los conceptos; solo utiliza como bibliografía para desarrollar los contenidos, las Orientaciones Metodológicas, manifiesta insuficiente dominio de las causas que limitan el trabajo con los contenidos geométricos para el desarrollote los conceptos emitiendo respuestas imprecisas. (ANEXO IV)
La entrevista fue realizada, a tres miembros de la estructura de dirección para obtener información sobre el nivel de conocimiento que poseían sobre el tratamiento de los contenidos geométricos, así como conocer sus puntos de vista sobre la preparación que poseían los docentes de cuarto grado para enfrentar la tarea con los escolares, lo que resultó valioso en la proyección de los ejercicios para dar tratamiento a las insuficiencias detectadas en los escolares en los contenidos de Geometría que se declaran en los objetivos del Modelo de Escuela Primaria y los programas de Matemática de cuarto grado.
Ningún miembro de la estructura fue evaluado de alto, ya que faltaba pleno dominio en los aspectos metodológicos, didácticos y de contenidos acerca del tratamiento de los contenidos geométricos. identificaron los problemas, sus causas pero no se reproyectan las actividades encaminadas a dar solución a las insuficiencias, manifestaron insuficiente conocimiento de los contenidos afectados en esta línea directriz ,según los resultados de los operativos no se evidenció pleno conocimiento de los contenidos que se trabajan, así como del dominio que tienen los docentes acerca de la Geometría, le falta profundizar en los tipos de ejercicios y actividades que potencian el desarrollo de los contenidos en el trabajo con esta línea directriz. De forma general se puede plantear, que aún es insuficiente el trabajo de preparación de los docentes y el dominio de este contenido, así como la escasa consulta bibliográfica que tienen al alcance de los docentes.
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