Estudio de los métodos numéricos

Introducción

El marco institucional

En el Simposio "La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI", que tuvo lugar a fines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país para sustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espacio de socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y el conocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, la pedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas institucionales, tengan la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.

Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo haga un espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; un espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en función del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribución social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas confiables a sus cuestionamientos.

Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponen una sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica se constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional requerido para los tiempos por venir.

Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de la adquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudes en el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habrá que mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, los recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico.

En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su transformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación de nuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos, las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes de capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeño profesional.

En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que el reto no considera cambios radicales pero sí contundentes en:

• la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para:

• vivir,

• aprender,

• emprender,

• crear

• y saber ser;

• la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y la tecnología nacionales;

• dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estar presente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;

• proveer de servicios y haberes a la población del país;

• y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.

Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para el presente y el futuro inmediatos.

¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?

Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias… Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo caracteriza señalando que:

• no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas previamente,

• es complejo, porque no basta una perspectiva,

• da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios,

• requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que al aplicarse producen juicios matizados,

• va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo lo que se necesita,

• debe auto-regularse,

• comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que subyace al desorden aparente

• y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos en diversos niveles.

De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que significa "tener clase". Para nosotros, tus profesores, "enseñar matemáticas" significará crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las actitudes. "Aprender matemáticas" significará involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. Así, "saber matemáticas" significará el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento:

• Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

• Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matemática.

Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje:

Oigo y olvido,

veo y recuerdo,

hago y comprendo.

Un viejo proverbio chino

Hacer… y reflexionar acerca de lo que se hace.

Seymour Papert

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo

Así decían los griegos

Es decir, oyendo, viendo, haciendo… pero además reflexionando y comunicando.

Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada:

Figura 1. Triada "Hacer – Reflexionar – Comunicar"

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Las Competencias Básicas y su dimensión matemática

Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son:

• Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas.

• Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).

• Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos.

• Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país.

• Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

• Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social.

• Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana.

• Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos "buenos propósitos" son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante.

La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas. La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en dichos procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo.

El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.

La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la solución de los problemas importantes de todas las áreas.

Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más que conocimientos específicos, que en cierta medida siguen siendo necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige el ejercicio de la profesión.

Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar:

• las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un propósito más complejo;

• las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de incertidumbre;

• la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que aprendimos, los conocimientos que adquirimos.

El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje común que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender matemáticas.

El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a través de:

• El trabajo individual y en equipo.

• La resolución de actividades matemáticas.

• La discusión matemática.

• La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañeros en el equipo y en el grupo.

Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crítica y creativa, se suele decir, "sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero ¿cómo lo hago?". En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas, hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En una sección de este Libro se tiene un comentario un poco más amplio de estos "Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)". En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión "responsabilizarse de su aprendizaje" y contribuyen al logro de tu autonomía como alumno en la organización de tu propio aprendizaje.

El curso de Cálculo Diferencial

El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. La gran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las matemáticas. El cuarto curso del área de Matemáticas se llama Cálculo Diferencial. Probablemente el nombre es nuevo para ti, así que quizás creas que todo el contenido de esta asignatura también lo es. Tienes razón en parte, porque seguramente aprenderás cosas nuevas y adquirirás nuevas destrezas matemáticas, pero conforme avances en su estudio podrás darte cuenta que gran parte de los conceptos básicos te han acompañado durante toda tu vida. El Cálculo se ocupa de estudiar los fenómenos del cambio y la variación, usa las herramientas que has aprendido en tus cursos anteriores para analizar con números, diferencias, cocientes, tablas y gráficas, las cantidades que cambian. Enfrentarás un reto en la comprensión y el uso de una operación nueva: el límite, que te brindará la oportunidad de reflexionar sobre los procesos infinitos. Además, en este curso vas a adquirir el lenguaje con el que están escritos los principales avances científicos y tecnológicos que tenemos hoy en día.

Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra experiencia básica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas.

Según lo estipula tu programa, el objetivo general del curso de Cálculo Diferencial dice: El curso permitirá al alumno introducirse a:

• el estudio de las funciones, sus gráficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones;

• la apropiación de los procedimientos y técnicas del cálculo diferencial y

• la aplicación de estos procedimientos y técnicas a la solución de problemas muy diversos, favoreciendo el uso y la integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica

y, al mismo tiempo, propiciará en el alumno:

• el desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo y, a su vez, faciliten en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica.

El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulación de conjeturas y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relación entre el alumno y el objeto sea constructiva.

Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su profesor.

Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimientos, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje del estudiante, que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción, avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas.

En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje.

Las matemáticas que aquí estudiaremos deben ser algo más que la manipulación de expresiones simbólicas y la realización de operaciones desvinculadas de un contexto que les dé sentido a las preguntas que debemos responder. Se deben convertir en una herramienta de modelación en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es éticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos.

La organización del "Libro para el Estudiante"

En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta como un apartado en este Libro:

• Problemas

• Problemas

• Problemas con guía

• Proyectos

• Lecturas

• Ejercicios

• Tareas

• Autoevaluaciones

El Libro va acompañado de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades que contribuirán a tu aprendizaje del Álgebra, la Geometría, la Trigonometría, la Geometría Analítica y el Cálculo. Las actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluación, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiación de estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento lógico y el uso de tecnología como una herramienta.

Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferentes elementos (los problemas, los problemas con guía, los proyectos, los ejercicios, las lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son necesarias para el logro de los objetivos del programa.

La cátedra, disertación o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor sólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estés preparado para beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero frecuentemente serás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades de aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida el trabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, un problema nunca termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizás lo que obtengas de tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por el contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da un sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena.

En el cuadro siguiente se encuentra una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante este curso:

Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera sección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de la asignatura. La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible y fundamentada que puede ser modificada por el profesor.

En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hay que destacar que, en el área de Matemáticas, este uso se reconoce como un aspecto natural de nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente cotidianamente en nuestras clases, en la medida de lo posible, con el doble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir que se familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio de las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, pero continuo, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de álgebra computacional, las hojas de cálculo y los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso del Álgebra, la Geometría y el Cálculo.

Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito no permite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora la llamada "evaluación continua", en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van desarrollando paulatinamente.

Programa del Curso de Cálculo Diferencial

Objetivo General

El curso permitirá al alumno introducirse a:

• el estudio de las funciones, sus gráficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones;

• la apropiación de los procedimientos y técnicas del cálculo diferencial y

• la aplicación de estos procedimientos y técnicas a la solución de problemas muy diversos, favoreciendo el uso y la integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica

y, al mismo tiempo, propiciará en el alumno

• el desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que le permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde la perspectiva del Cálculo y, a su vez, faciliten en el futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica.

Observación General

El orden de los contenidos en cada tema no implica una secuencia de enseñanza, sino que el profesor podrá modificarlo como considere conveniente para el desarrollo de su curso y el aprendizaje de sus alumnos.

Aquellos contenidos que no aparezcan explícitamente citados en los programas y que el profesor quiera introducir para enriquecer su curso, podrán ser tratados a través de ejercicios, problemas y aplicaciones, dentro de los tiempos marcados por cada unidad.

Lineamientos Generales

Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su profesor.

Deberá tenerse presente que la solución de problemas es la que permite generar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el profesor es un facilitador del aprendizaje, que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos, a lo largo de la actividad, es importante que los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como el uso de tablas y diagramas.

Las tres líneas indispensables a desarrollar en el curso de Cálculo Diferencial

Este programa de Cálculo Diferencial contempla tres grandes líneas de desarrollo, que se deberán ir tratando y desplegando a lo largo de todo el curso:

• El conocimiento de las funciones, sus gráficas, comportamiento, propiedades y aplicaciones.

• La apropiación gradual de los procedimientos y técnicas del Cálculo Diferencial.

• La aplicación de los procedimientos del Cálculo Diferencial a la solución de problemas diversos.

Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos períodos dedicados exclusivamente a la ejercitación de las fórmulas y reglas de derivación, sino que, a medida que los estudiantes hayan aprendido nuevos procedimientos para derivar, los utilicen en la solución de problemas y aplicaciones.

El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues éstas preparan a los alumnos para el siguiente curso, donde se estudiarán las técnicas de integración. Lo anterior será posible si el profesor distingue siempre lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clase y dejar otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio pues el programa ha sido diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de todo el curso.

Unidad 1.

Funciones y Límites

Objetivo. Que el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre la noción de función como la expresión de una cantidad en términos de otra; que desarrolle las habilidades para resolver problemas que le lleven a plantear funciones y a darles solución por medio de tablas de valores o de gráficas, mediante el análisis e interpretación de las relaciones que se establecen entre las variables. Que, a partir del análisis del comportamiento local y para valores muy grandes de la variable independiente, trace gráficas de funciones y describa los comportamientos utilizando la notación de límites.

• Revisión de la noción de función, enfatizando:

• La idea de función como la expresión de una cantidad en términos de otra;

• Los problemas que llevan a plantear funciones; su solución por medio de una tabla de valores o de una gráfica;

• Los ejemplos para revisar las nociones de variable independiente y variable dependiente, y de dominio y rango de una función.

• Ejercicios de trazado de gráficas, análisis local y para valores muy grandes de x del comportamiento de una función e introducción de la notación de límites para indicar los comportamientos observados, en particular:

• De funciones racionales alrededor de los ceros del denominador, con ejemplos que ilustren los casos en que pueden presentarse: asíntotas y discontinuidades removibles.

• De polinomios y funciones racionales para valores muy grandes de x (positivos y negativos).

Unidad 2.

La derivada y sus interpretaciones

Objetivo. Que el estudiante identifique las propiedades de la derivada a partir de sus interpretaciones física y geométrica. Que emplee la definición en el cálculo de derivadas sencillas y aplique éstas en la solución de problemas de razón de cambio, cálculo de tangentes y aproximación de funciones.

• La derivada y sus interpretaciones física y geométrica:

• Como rapidez o razón de cambio instantánea de una función, con ejemplos extraídos de la física, la economía, la biología y otras disciplinas.

• Como pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

• La tangente como la recta que mejor aproxima a la función en un punto; observación sobre una gráfica de las relaciones entre la inclinación de la tangente y el crecimiento de la función.

• Cálculo de derivadas sencillas utilizando la definición, por ejemplo,

• Aplicaciones elementales de la derivada: cálculo de tangentes y normales; de razones de cambio; primeros cálculos aproximados utilizando la fórmula:

Unidad 3. Derivadas de funciones algebraicas

Objetivo. Que el estudiante conozca y se ejercite en el uso de las fórmulas y las reglas de derivación de las funciones algebraicas, así como en la aplicación de la regla de la cadena para derivar funciones algebraicas tanto explícitas como implícitas.

• Primeras fórmulas y reglas de derivación:

• Ejemplos, ejercicios y aplicaciones de la derivación implícita.

Unidad 4.

Aplicaciones de la derivada

Objetivo. Que el estudiante amplíe y enriquezca sus conocimientos de la derivada por medio de las aplicaciones de las derivadas sucesivas de una función, el estudio de los puntos críticos de una función, las relaciones entre los signos de la primera y la segunda derivadas y las características de la función, y el trazado de gráficas en la solución de problemas muy diversos.

• Aplicaciones de la primera derivada a la solución de problemas muy diversos de rapidez de cambio.

• Derivadas sucesivas, significado físico de la segunda derivada, ecuación de movimiento uniformemente acelerado.

• Relaciones entre el signo de la 1ª y 2ª derivadas y el carácter creciente o decreciente y el sentido de la concavidad de la gráfica de una función, en particular, criterios de la 1ª y 2ª derivadas para máximos y mínimos. Aplicaciones a:

• La solución de problemas de máximos y mínimos.

• El trazado de gráficas y el estudio de los puntos críticos de una función (construcción de la tabla de variación de una función).

Unidad 5.

Funciones exponenciales

Objetivo. Que el estudiante amplíe y enriquezca sus conocimientos de la función exponencial, su gráfica, comportamiento, propiedades y aplicaciones, como modelo de distintas situaciones. Que emplee la derivada de la función exponencial para profundizar su estudio y ampliar sus aplicaciones.

• La función exponencial general:

• Revisión de las propiedades algebraicas de las funciones exponenciales.

Unidad 6.

Funciones circulares

Objetivo. Que el estudiante amplíe y enriquezca sus conocimientos de las funciones circulares, sus gráficas, comportamientos, propiedades y aplicaciones como modelos de distintas situaciones. Que emplee las derivadas de las funciones circulares para profundizar su estudio y ampliar sus aplicaciones.

• Revisión del círculo trigonométrico; conocimiento de las gráficas de las funciones circulares y su comportamiento. Gráficas de funciones de las formas

• Movimiento armónico simple, ejemplos ilustrativos (oscilación de un resorte, péndulo simple, pistón oscilante,…).

• Derivada de las funciones sen(x) y cos(x); discusión de los límites:

• Aplicaciones al estudio de: las relaciones entre, por ejemplo, las funciones

y sus derivadas sucesivas; las gráficas y los puntos críticos de funciones circulares; al cálculo de razones de cambio y; a la resolución de problemas de máximos y mínimos.

Unidad 7.

Diferenciales y cálculos aproximados

Objetivo. Que el estudiante explore la noción de diferencial como la mejor aproximación lineal de una función y la aplique en el cálculo de incrementos y la estimación de errores, para resolver problemas muy diversos.

• Cálculo aproximado de raíces: método de Newton.

• La tangente como la mejor aproximación lineal de la función alrededor de un punto. Cálculo aproximado de valores de una función mediante la fórmula:

• Ejemplos para introducir la noción de diferencial de una función; aplicaciones de la diferencial para calcular aproximadamente el incremento de una función y para estimar errores.

Unidad 8.

Funciones inversas: derivadas del logaritmo y las funciones circulares inversas (10 horas)

Objetivo. Que el estudiante, a partir del estudio de las funciones inversas y sus derivadas, particularmente las inversas de las funciones exponencial y circulares, revise la noción de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos de valores.

• Revisión del concepto de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos de valores. La inversa de una función y su derivada (uso de la regla de la cadena); ejemplos ilustrativos.

• La función logaritmo como inversa de la exponencial, en particular