1. Objetivos3. Operaciones con segmentos4. Problemas de auto evaluación5. Proporcionalidad6. Indicaciones7. Angulos8. Teoremas9. Solucionario10. Problemas de autoevaluación
cognitivo:
1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometría axiomática.
2.- Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.
Procedimental:
1.- Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y problemas de aplicación.
2.- Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización.
Actitudinales:
1.- Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas puestas al servicio de las distintas demostraciones.
2.- Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.
Introducción
Conceptos Fundamentales E Importancia Del Estudio De La Geometria
Proposicion
Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso.
Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.
Axiomas
Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.
Postulados
Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría
Teorema
Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados.
Un teorema consta de: hipótesis y tesis:
Hipótesis: son las condiciones o datos del problema
Tesis: es la propiedad a demostrarse.
Corolario
Es la consecuencia de un teorema demostrado.
Razonamiento Logico
Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico.
Demostraciones
Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.
Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra.
Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos.
Metodos De Demostraciones
Metodo Inductivo
Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.
Metodo Deductivo
Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular.
La mayoría de los problemas geométricos se demuestran usando el método deductivo.
Procedimiento De Una Demostracion
La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes
- El enunciado del teorema.
- Hacer un gráfico que ilustre el teorema.
- Una afirmación de lo que es el dato (s) en términos del gráfico ( hipótesis ).
- Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis ).
- Demostración: Es una serie de razonamientos lógicos establecidos mediante definición, axiomas y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad. Toda demostración debe constar de afirmaciones y razones.
Importancia
¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón : ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?.
Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseñe a pensar en forma clara y critica, antes de hacer conclusiones.
Otro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.
Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.
3. Operaciones con segmentos
Punto
Elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no se definen, por lo tanto la palabra punto no se define.
Representacion Grafica
Se lo hace por medio de una marca ( . o x )
Denominacion
Por medio de una letra mayúscula.
ejemplo: .A B(x ,y) C(x, y, z)
Recta
Es una figura geométrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se prolonga indefinidamente en ambas direcciones.
Representacion Grafica
Denominacion
Por medio de dos letras mayúsculas que representan a dos puntos cualquiera en la recta.
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o por medio de una letra mayúscula cerca de la recta.
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Puntos Colineales
Son los puntos, elementos de una misma recta.
Plano
Un plano esta determinado por:
- Tres puntos no colineales.
- Una recta y un punto externo.
- Dos rectas que se intersecan.
- Dos rectas paralelas.
Representacion Grafica
Denominacion
Por medio de letras mayúsculas en los vértices de una representación gráfica.
Segmento
La parte de la recta AB entre A y B, incluido los puntos A Y B se llama segmento.
Representacion Grafica
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Denominacion
Por los extremos del segmento : AB
El numero que expresa a que distancia se encuentra A de B se llama medida o longitud de AB . usaremos el símbolo mAB para denotar la longitud de AB.
Operaciones Con Segmentos
Consiste en encontrar un segmento de longitud igual a la suma de las longitudes de los segmentos dados.
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m PQ = mPA + mAB + mBQ m AP = mPB – mAP mAB = mPQ – mPA – mBQ
Solucionario
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H) AM = MB PA + BP PM = PA – AM T) PM =
PM = PB + BM 2 2PM = PA + PM
PA + PB PM = 2
2)AP M B H) AM = MB PM = BP – MB PB – PA
PM = -PA + MA T) PM = 2PM = BP – PA
BP – PA PM =
3) Sobre un recta se toman los puntos A, B, C, D, E, F, consecutivamente, de modo que BE = 5/8 AF. Calcular AF sabiendo que : AC + BD + CE + DF = 39u.
H ) BE = 5/8AF AC + BD + CE + DF = 39u AC + BD + CE + DE + EF = 39u
T ) AF = AF + BD + DE = 39u AF + BE = 39u AF + 5/8AF = 39u 13/8AF = 39u AF = 2
4) (Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = BC BE = AD – AB + DE DE = EF
BE = FC + BC – EF AD + C 2BE = AD + FC T) BE =
5)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = BC CD = 2AC AM = BC + CD – AC +AM – MD AM = MD AM = AB + 2AC – AC +AM-MD T) AM = AB + AC AM = AB + A
6)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
AC + CD H) AB = BD2 – 2BD + 1 = 0 (BD – 1)(BD – 1)= 0 BD2 – 2BD + 1 = 0 BD = 1 AD = ? AB = AD – BD AB = AD/2 2AB = AD 2(AD – BD) = AD 2AD – 2 = AD -2 = – AD 2 = AD
7)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) BC = CD T) AC2 = AB . AD + BD2AC = AB + BC AC = AD – CD 2AC = AB + AD 2AC = AB + AB + BD (2AC)2 = (2AB + BD)24AC 2 = 4AB2 + 4AB.BD + BD2AC2 = 4AB2/4+ 4AB.BD/4 + BD2/4 AC2 = AB2 + AB.BD + BD2/4 AC2 = AB2 + AB(AD – AB) + BD2/4 AC2 = AB2 + AB.AD – AB2 + BD2/4 AC2 = AB.AD + BD2/4
8)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) MB = MC AB = AM – BM T) AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2) AC = AM + MC AB2 = ( AM – BM )2AC2 = ( AM + MC )2 AB2 = AM 2 – 2AM.BM + BM2AC2 = AM2 + 2AM.MC + MC2AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2)
9)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) BC = DC AB = a AC = AB + BC AC = m AC = AD – CD AD = b 2AC = AB + AD T) m = ab + (b – a)2/4 2AC = AB + AB + BD 2AC2 = ( 2AB + BD )24AC2 = 4AB2 + 4AB.BD + BD2AC2 = AB2 + AB.BD +BD2/4 AC2 = AB2 + AB (AD – AB) + BD2/4 AC2 = AB2 + AB.AD –AB2 +BD2/4 AC2 = AB.AD + BD2/4 m = ab + (b – a)2/4
10) (Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H1) AB.CD = 2AD.BC T) 2/AB + 1/AD = 3/AC 1)AB.BC = 2AD.BC H2) AB.CD = 7BC.AD AB(AD – AC) = 2AD(AC – AB) T) 1/AD + 7/AB = 8/AC AB.AD – AB.AC = 2AD.AC – 2AD.AB AB.AD + 2AD.AB – AB.AC = 2AD.AC 3AB.AD = AB.AC + AD.AC 3AB.AD = AC(AB + AD) 3/AC = 2AD/AB.AD + AB/AB.AD 3/AC = 2/AB + 1/AD
2)AB.CD = 7BC.AD AB(AD – AC) = 7(AC – AB)ADÇ AB.AD – AB.AC = (7AC – 7AB)AD AB.AD – AB.AC = 7AC.AD.7AB.AD 8AB.AD = 7AC.AD + AB.AC 8AB.AD = AC(7AD + AB) 8/AC = 7AD/AB.AD + AB/AB.AD 8/AC = 7/AB + A/AD
11) (Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
AC + BD + CE = 44u H) AC + BD + CE = 44u AE – CE + AE – AB – DE + CE = 44u AE = 25u 2AE – AB –2AB = 44u DE = 2AB 2(25u) – 3AB = 44u T) AB = ? 50u – 3AB = 44u – 3AB = 44u –50u AB = -6 / 3 AB = 2
4. Problemas de auto evaluación
Indicaciones:
1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.
2 ) La evaluación de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 20
3 ) Si algún literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo.
Cuestionario
1.- Sea una recta en la se tima los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a AB + BC = 28 m. Calcular la longitud del segmento MC, si m es el punto medio de AB
2.- En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. además AB =BC y CD = DE. También AB + DE = 10. Calcular FG.
3.- En una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, de tal manera que AC = 28 y BD = 36. Calcular la longitud del segmento MN, siendo M y N Puntos medio de AB y CD, respectivamente.
4.- En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de tal manera que :1/ AB + 1/AD = 2/AC donde AB = 2, CD = 3. Calcular la longitud BC.
5.- en una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Hallar AD, sabiendo que AC + BD = 16m, y BC = 4m
Razon
Es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el resultado es un numero abstracto, es decir no tiene unidades.
Una razón es una fracción, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una fracción se aplica a las razones.
Proporcion
Es la igualdad de dos razones.
Representacion
Si las razones a/b y c/d son iguales, la proporción puede representarse como:
a/b = c/d.
Denominacion
Se lee " a es a b como c es a d " o también " a y c son proposicionales a b y d.
Terminos De Una Proporcion
Son elementos que forman la proporción: Si a/b = c/d
Extremos a y d
Medios b y c
Antecedentes a y c
Consecuentes b y d
Propiedades De Las Proporciones
a) En una proporción pueden invertirse las razones
Si a/b = c/d, entonces b/a = d/c. Por ejemplo
2/3 = 8/12 3/12 = 12/8
b) El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Por ejemplo
Si 5/7 = 10/14 70 = 70
c) En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente sumar su respectivo antecedente.
Si a/b = c/d, entonces (a+b) / b = (c+d) / b o a/ (a+b) = c / (c+d)
Ejemplo: Si 4/5 = 20/25 4+5/5 = 20+25/25 o 4/4+5 = 20/25+20
d) En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente restar su respectivo antecedente.
Si a/b = c/d, a-b/b = c-d/d o a/b-a =c/d-c
Ejemplo : Si 7/3 = 14/6 7-3/3 = 14-6/6 o 7/3-7 = 14/6-14
e) En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes, es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de sus antecedentes es a su respectivo consecuente.
Si a/b = c/d = e/f = ….. a+c+e+ … / b+d+f+ … = a/b = c/d = e/f =…
Ejemplo : 1/2 = 3/6 = 12/24 1+3+12/2+6+24 = 1/2 = 3/6 = 12/24.
Divicion Interna De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en el interior de un segmento, tal que forme dos segmentos que están en una razón dada, m/n
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Solucion Grafica
Primer caso. (m/n 1)
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Datos : AB y m n
Segundo Caso. (m/n 1)
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Datos : AB y n m
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Tercer caso. (m/n = 1)
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Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de A y B y relación m/n
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AFIRMACIONES RAZONES
AP/PB = m/n ………….Formando proporciones
AP+PB/PB = m+n/n …………. Propiedad de las proporciones
AB/PB = m+n/n …………. Suma de segmentos
PB = n AB/m+n …………. Despejando AB
x = x2 – PB ………….Según el gráfico
Si m = n PB = AB/2
Divicion Externa De Un Segmento
Consiste en localizar un punto en la prolongación de un segmento, tal que formen dos segmento que estén en una relación dada m/n.
Primer Caso. (m/n 1)
Datos : AB y m n
Solucion Grafica
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Solucion Analitica
Datos : Coordenadas de los puntos A y B y la relación m/n 1
Afirmaciones Razones
AQ/BQ = m/n ……………. Formando Proporciones
AQ-BQ/BQ = m-n/n ……………. Propiedad de las proporciones
AB/BQ = m-n/n ……………. Suma de segmentos
BQ = n AB/m-n ……………. Despejando BQ
x = x2 + BQ ……………. Por gráfico
Segundo caso. Si (m/n 1)
Datos : AB y m
Solucion Grafica
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Solucion Analitica
Afirmaciones Razones
AQ/BQ= m/n …………….. Formando Proporciones
AQ – BQ/BQ= m-n/n …………….. Propiedad de las Proporciones
-AB/BQ= -(n-m)/n …………….. Operación de segmentos
BQ= n AB/n-m …………….. Despejando BQ
x= x2 – BQ
Tercer Caso. Si m/n = 1
Datos: AB y m = n
Solucion Grafica
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Solucion Analitica
No existe localizado un punto en el exterior del segmento por que lar rectas trazadas son paralelas.
Division Amonica De Un Segmento
Consiste en dividir un segmento interno y externamente de una misma razón.
Si P y Q dividen armónicamente al segmento AB, se tiene:
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En la división armónica debe verificarse la división interna y externa.
Solucionario
1) Si P y Q dividen armónicamente al AB, entonces la relación correcta es:
a) AP/PB = AB/BQ b) PB/AP = BQ/AQ c) AB/PB = AQ/BQ
e)NINGUNA
Solución : b) PB/AP = BQ/AQ
2) Dado un AB de coordenadas ( -159; 136 ) , encontrar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento en cinco partes de igual medida.
3) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar la coordenada del punto P que divide internamente al AB en relación 7/13.
H) m = 7, n = 13
m/n 1
AB= 760
Afirmaciones Razones
T) X = ?
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (760 . 13)/7 + 13 Remplazando hipótesis
6.- PB = 494 Operaciones
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final y PB
8.- X = 391 – 494 Remplazando afirmación 6, e hipótesis
9.- X = -103 Operaciones
4) Dado un AB de coordenadas (-113 ; 207 ) , encontrar la coordenada de un punto P que divide internamente al AB en relación 27/13.
H) m = 27, n = 13
m/n 1
AB = 320
Afirmaciones Razones
T) X = ?
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m + n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- AB/PB = (m +n/)n Suma de segmentos
4.- PB= AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (320 . 13)/27 + 13 Remplazando hipótesis
6.- PB = 104 Operaciones
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final y PB
8.- X = 207 – 104 Remplazando afirmación 6, e hipótesis
9.- X = 103 Operaciones
5) Dado un AB de coordenadas ( -117; 63) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relación 37/19.
H) m = 37, n = 19
AB = 180
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/AB = m/n Formando proporciones
2.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- AB/QB = (m – n)/n Suma de segmentos
4.- QB = AB.n/m –n Despejando QB
5.- QB = (180 . 19)/37 – 19 Remplazando hipótesis
6.- QB = 190 Operaciones
7.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final y QB
8.- X = 63 – 190 Remplazando afirmación 6 e hipótesis
9.- X = – 127 Operaciones
6) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relación 23/47
H) m = 23, n = 47
m/n 1
AB = 456
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/QB = m/n Formando proporciones
2.- (AQ – QB)/ QB = (m – n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de segmentos
4.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por -1
5.- QB = AB.n/n – m Despejando QB
6.- QB = (47 . 456)/47 – 23 Remplazando hipótesis
7.- QB = 893 Operaciones
8.- X = X2 – QB Diferencia entre el punto final y QB
9.- X = 387 – 893 Remplazando afirmación 7 e hipótesis
10.- X = – 506 Operaciones
7) Dado un AB de coordenadas (-369; 387) encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al AB en relación, 39/17, armónicamente.
H) m = 39, n = 17
m/n 1
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AP + PB)/PB = (m – n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- AB/PB = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m+n Despejando PB
5.- PB = (17 . 756)/ 39 + 17 Remplazando hipótesis
6.- PB = 229,5 Operando
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final y PB
8.- X = 387 – 229,5 Remplazando afirmación 6 e hipótesis
9.- X = 157,5 Operando
10.- AQ/QB = m/n Formando proporciones
11.- (AQ – QB)/QB = (m – n)/n Aplicando ley de las proporciones
12.- AB/QB = (m – n)/n Suma de segmentos
13.- QB = AB.n/m-n Despejando QB
14.- QB = (756 . 17)/39 – 17 Remplazando hipótesis
15.- QB = 584,18 Operando
16.- X´ = X2 + QB Suma entre el punto final y QB
17.- X´ = 387 + 584,18 Remplazando afirmación 15 e hipótesis
18.- X´ = 971.98 Operaciones
8) Dado un AB de coordenadas (-759; 863), encontrar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armónicamente al AB en elacion 11/29
H) m = 11, n = 29 Q A P B
m/n 1
T) X = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando Proporciones
2.- (AP + PB)/BP = (m + n)/n Aplicando ley de las proporciones
3.- AB/BP = (m + n)/n Suma de segmentos
4.- PB = AB.n/m + n Despejando PB
5.- PB = (1622 . 29)/11 + 24 Remplazando hipótesis
6.- PB = 1175,95 Operando
7.- X = X2 – PB Diferencia entre el punto final y PB
8.- X = 863 – 1175,96 Remplazando afirmación 6 e hipótesis
9.- X = -312,95 Operando
10 .- AQ/ BQ = m/n Formando proporciones
11.- (AQ – QB)/QB= (m – n)/n Aplicando ley de las proporciones
12.- -AB/QB = (m – n)/n Suma de segmentos
13.- AB/QB = (n – m)/n Multiplicando por -1
14.- QB = AB.n/n – m Despejando QB
15.- QB = (1622 . 29)/29 – 11 Remplazando hipótesis
16.- QB = 2613,22 Operaciones
17.- X´ = X2 – QB Diferencia entre el punto final y QB
18.- X´ = 863 – 2613,22 Remplazando afirmación 16 e hipótesis
19.- X´ = -1777,22 Operando
9) (Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) PA = 10u
PB = 30u
AC/5 = BC/3
T) PC = ?
Afirmaciones Razones
1.- AC/5 = BC/3 Por hipótesis
2.- PC – PA/5 = PC – PB/3 Operaciones con segmentos
3.- PC – 10u/5 = PC – 30u/3 Remplazando hipótesis
4.- 5PC – 150 = 3PC – 30 Transposición de términos
5.- PC = 60 Despejando PC
10) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 183 ) , encontrar la relación m/n, si PB = 49
(P divide internamente al AB)
H) PB = 49
AB = 252
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- (AB – PB)/PB = m/n Suma de segmentos
3.- (252 – 49)/49 = m/n Remplazando hipótesis
4.- 303/49 = m/n Operando
5.- 29/7 = m/n Simplificando
11) Dado un AB de coordenadas ( -47 ; 78 ) , encontrar la relación m/n, si AP = 55
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( P divide internamente al AB)
H) AP = 55
AB = 125
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = m/n Formando proporciones
2.- AP/(AB – AP) = m/n Suma de segmentos
3.- 55/(125-55) = m/n Remplazando hipótesis
4.- 55/70 = m/n Operando
5.- 11/14 = m/n
12) Dado un AB de coordenadas ( -37 ; 75 ) , encontrar la relación m/n 1, si BQ =152 (Q divide externamente al AB).
H) m/n 1
AB = 112
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/BQ = m/n Formando Proporciones
2.- AB + BQ/BQ = m/n Suma de segmentos
3.- (112 + 152)/152 = m/n Remplazando hipótesis
4.- 264/152 = m/n Operaciones
5.- 33/19 = m/n Simplificando
13) Dado un AB de coordenadas (-228; 563), encontrar la relación m/n 1, si AQ = 791 ( Q divide exteriormente al AB).
H) m/n 1
AB = 791
T)m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- AQ/(AQ + BQ) = m/n Suma de segmentos
3.- 791/(791+791) = m/n Remplazando hipótesis
4.- 791/1582 = m/n Operaciones
5.- = m/n Simplificando
15) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, cuál es la relación m/n si: PB = 3420 y BQ = 16074
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) m/n 1
PB = 3420, BQ = 16074
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando proporciones
2.- X/3420 = 12654 – X/16074 Suma de seg. y remplazando hipótesis
3.- 16074X = 43276680 – 3420X Aplicando ley de las proporciones
4.- 19494X = 43276680 Transposición de términos y operaciones
5.- X = 43276680/194994 Despejando X
6.- X = 2220 Operando
7.- 2220/3420 = m/n Remplazando X e igualando con m/n
8.- 111/171 = m/n Simplificando
16) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, cual es la relación m/n si : AB = 792 y PQ = 274.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) AB = 792, PQ = 274
m/n 1
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB =AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- X/(792-X) = 274 – X/1066 – X Remplazando hipótesis y sumade segmentos
3.- 1066 – X2 = 217008 – 274X + 792 + X2 Ley de las proporciones.
4.- X2 – 1066X + X2 –274X – 792X + 217008 = 0 Igualando a 0 y multiplicando por -1
5.- 2X – 2132X + 217008 = 0 Términos semejantes
6.- X2 – 1066X + 108504 = 0 Multiplicando por ½
7.- X = 1066 10662 – 4(108544) /2 Aplicando formula de ecuación de 2do grado
8.- X = 114,02 Operando
9.- X/(792 – X) = m/n Por afirmación 1
10.- 114,02/(792 – 114,02) = m/n Remplazando X
11.- 114,02/677,98 = m/n Operando
17)Si los puntos P y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, cual es la relación m/n si; AB = 5640 y PQ = 12654.
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H) AB = 5640 PB = 12654
T) m/n = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BA = m/n Formando proporciones
2.- X/5640 – X = 12654 – X/18294 – X Remplazando hipótesis y suma de segmentos
3.- 18294X –X2 = 71368560 –5640X –12654X +X2 Aplicando ley de las proporciones
4.- X2-18294X +X2+71368560 -12654X+5640X =0 Multiplicando por -1 e igualando a 0
5.- 2X2 – 36588X + 71368560 = 0 Términos semejantes
6.- X2 – 18294 + 35684280 = 0 Multiplicando por ½
7.- 18294 (18294)2 – 4(35684280) /2 Aplicando formula de ecuación de 2do grado
8.- X = 2220 Operaciones
9.- X/ 5640 – X = m/n Por afirmación 1
10.- 2220/5640 – 2220 = m/n Remplazando X
11.- 2220/3420 = m/n Operando
18) Dados los puntos A y B de coordenadas (-27; 29), determinar BS tal que BS2 = AB.AS (S en un punto situado entre A y
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B).
H) BS2 = AB.BS
AB = 56
T) BS = ?
Afirmaciones Razones
1.- BS2 = AB.AS Por hipótesis
2.- BS2 = AB(AB – BS) Suma de segmentos
3.- BS2 = AB2 – AB.BS Destrucción de segmentos
4.- BS2 = 562 – 56BS Por hipótesis
5.- BS2 +56BS – 3136 = 0 Operaciones e igualando a 0
6.- BS = -56 562 + 4(-3136) /2 Aplicando formula de ecuación de 2do grado
7.- BS = 34,61 Operaciones
19) Si los puntos P y Q dividen armónicamente al AB ( m/n 1), calcular AB si: PB.BQ =28 y BQ –PB = 7.
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H) PB.BQ = 28
BQ – PB = 7
T) AB = ?
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- (AB – PB)/PB = (AB + BQ)/BQ Operaciones con segmentos
3.- BQ.AB – BQ.PB = PB.AB + PB.BQ Aplicando ley de las propiedades
4.- BQ.AB – PB.AB = 2BQ.PB Transposición de términos
5.- AB(BQ – PB) = 2BQ.PB Factor común
6.- AB(7) = 2(28) Por hipótesis
7.- AB = 8 Operaciones
20)(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) P y Q dividen armónicamente al AB
AM = MB
T) MB2 = MP. MQ
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando proporciones
2.- (AM+MP)/(MB- MP) =(AM+MQ)/(MQ-MB) Operaciones con segmentos
3.- (MB+MP)/(MB- MP) =(MB+MQ)/(MQ-MB) Remplazando hipótesis
4.- MB.MQ – MB2 + MP.MQ – MP.MB = Aplicando ley de las proporciones
MB2 + MB.MQ – MP.MB – MP.MQ
5.- –2MB2 = 2MP.MQ Términos semejantes
6.- MB2 = MP.MQ Operaciones
21) Si P y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, demostrar que:
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
2/AB = 1/AP+ 1/AQ
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/BQ = m/n Formando proporciones
2.- AP/AB – AP = AQ/AQ – AB Suma de segmentos
3.- AQ.AP – AP.AB = AQ.AB – AP.AQ Aplicando ley de las proporciones
4.- 2AQ.AP = AQ.AB + AP.AB Transposición de términos
5.- 2/AB = 1/AQ + 1/ AP Transposición de términos ysimplificando
22) Si p y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, demostrar que:
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
2/AB = 1/AP – 1/AQ
Afirmaciones Razones
1.- AP/PB = AQ/QB = m/n Formando proporciones
2.- AP/AB – AP = AQ/AQ + AB Suma de segmentos
3.- AP.AQ + AP.AB = AB.AQ – AQ.AP Aplicando ley de las proporciones
4.- 2AP.AQ = AB.AQ – AP.AB Transposición de términos
5.- 2AP.AQ = AB(AQ – AP) Factor común
6.- 2/AB = 1/AP – 1/AQ Transposición de términos
23) (Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
H) A y C dividen armónicamente al BD
AD = 5 AB, XA = 20, XC = 35
T) XB = ? ; XD = ?
Afirmaciones Razones
1.- BC/CD = BA/AD Formando proporciones
2.- (AC – AB)/(AD – AC) = AB/AD Suma de segmentos
3.- (15 – AB)/(5AB – 15) = AB/5AB Remplazando hipótesis y simplifica
4.- 75 – 5AB = 5AB – 15 Aplicando ley de proporciones
5.- AB = 9 Despejando AB y términos semejantes
6.- m/n = 1/5 Remplazando afirmación 5 e hipótesis
7.- XB = 35 – 6 Restando BC de Xc
8.- XB = 29 Operaciones
9.- XD = 35 + 30 Sumando XD y CD
10.- XD = 65 Operaciones
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