6. Indicaciones
Problemas de autoevaluación
1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.
2 ) La evaluación de la prueba es de 4 puntos c/u. Total 20 / 20
3 ) Si algún literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo
Cuestionario
1) Dado un AB de coordenadas ( -369 ; 391 ) , encontrar la coordenada del punto P que divide internamente al AB en relación 7/13.
2) D17)Si los puntos P y Q dividen armónicamente al AB en relación m/n 1, cual es la relación m/n si; AB = y P = 12654.
3) Dado un AB de coordenadas ( -69 ; 387 ) , encontrar la coordenada de un punto Q que divide externamente al AB en relación 23/47.
4) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armónicamente al segmento representado por la intersección de los conjuntos M y N en relación 3/7.
M = X/6 X – 2 10
N = X/(X – 5) -20
5) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q que dividen armónicamente al segmento representado por el conjunto de puntos: -5 2X + 3 5 en relación 3/2.
Definicion
Es una forma geométrica que está formada por dos rayos o líneas rectas que se cortan en un mismo punto.
Representacion Grafica
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Elementos De Un Angulo
Lados Del Angulo
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Vertice
Origen (punto A)
Denominacion
1) La letra del vértice entre las otras dos:
BACA ; BACA
2) Por la letra del vértice :
A ; ^A
3) Por una letra, o numero en el ángulo:
; ^1
Medidas De Angulo
RADIAN: Es la medida de un ángulo, cuyo arco subtendido es igual al radio del circulo. ( rad.)
GRADO SEXAGESIMAL: Si a un circulo se lo divide en 360 partes de igual medida, a cada una de estas partes se le denomina grado. ( ).
Clasificacion De Los Angulos
Agudo. Su medida es menor a /2 rad
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Recto. Su medida es igual a /2 rad
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Obtuso. Su medida es mayor a /2 rad y menor a
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Angulos De Lados Colineales (LLANO). Su medida es igual a rad.
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Angulos complementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a /2 rad. A cada ángulo se lo llama complemento del otro.
m^1+ m^2 = /2 rad
Angulos Suplementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a rad. A cada ángulo se lo llama suplemento del otro.
m^1+m^2 = ra
Adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.
Opuestos Por El Vertice. Son dos ángulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se intersecan.
^1 y ^2
^3 y ^4
Angulos formados por dos rectas cortadas por una transversal.
Angulos internos
6, 7, 4, 2
Angulos externos
1, 3, 5, 8
Angulos alternos internos
4 y 7
2 y 6
Angulos alternos externos
3 y 8
1 y 5
Angulos correspondientes
4 y 8, 2 y 5,
1 y 6, 7 y 3
Congruencia de angulos
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
Si m^A = m^B A B
Teorema 1
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
H) 1 y 2 son ángulos opuestos por el vértice
T) 1 2
Demostracion
Afirmaciones Razones
1.- m 1 + m 3 = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m 2 + m 3 = 180º Por ser ángulos suplementarios
3.- m 1 + m 3 = m 2 + m 3 Igualando afirmaciones 1 y 2
4.- m 1 = m 2 Términos semejantes
5.- 1 2 Por tener la misma medida
teorema 2
Los ángulos internos, alternos externos y correspondientes, formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, son congruentes.
H) L1 L2 , 1 y 2 son alternos internos, 4 y 5 son alternos externos, 3 y 4 son complementarios. T) 1 2, 4 5, 3 4
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Demostracion
Afirmaciones Razones
1.- m 2 + m 3 = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m 1 + m 3 = 180º Por ser ángulos suplementarios
3.- m 1 + m 3 = m 2 + m3 Igualamos afirmaciones 1 y 2
4.- m 1 = m 2 Términos semejantes
5.- 1 2 Por teer la misma medida
6.- m 4 + m 1 = 180º Por ser ángulos suplementarios
7.- m 5 + m 2 = 180º Por ser suplementarios
8.- m 4 + m 1 = m 5 + m 2 Igualando afirmaciones 6 y 7
9.- m 4 = m 5 Términos semejantes
10.- 4 5 Por tener la misma medida
11.- 3 6 Por ser alternos internos
12.- 4 6 Por ser opuestos por el vértice
13.- 3 4 Igualando afirmaciones 11 y 12
Teorema 3
Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares entre si.
H) ACD Y BCD, son ángulos suplementarios
CE es bisectriz de ACD
CF es bisectriz de BCD
T) CE CF
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Demostracion
Afirmaciones Razones
1.- 2m 2 + 2m 1 = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m 1 + m2 = 90º Multiplicando por ½
3.- m ECF = 90º Según el gráfico
4.- CE CF Por afirmación 3
Teorema 4
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por en vértice, son colineales.
H) ^AOC y ^GCH Son ángulos opuestos por el vértice
CE es bisectriz de ^ACB
CF es bisectriz de ^GCH
m ^3 = m ^4
T) ^ECF es ángulo colineal
Afirmaciones Razones
1.- 2m ^2 + 2m ^1 + m ^3 + m ^4 = 360º Suma de ángulos
2.- 2m ^2 + 2m ^1 + ^2m ^4 = 360º Por hipótesis
3.- m ^2 + m ^1 + m ^4 = 180º Multiplicando por ½
4.- m ^ECF = 180º Por gráfico
Teorema 5
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, son congruentes (paralelos en el mismo sentido) o suplementarios.
H) L1 L2 y L3 L4
^1 Y ^2 Tienen sus lados respectivamente paralelos
T) ^1 ^2
m ^1 + m^3 = 180º
Afirmaciones Razones
1.- ^1 ^4 Por ser ángulos alternos internos
2.- ^2 ^4 Por ser ángulos alternos internos
3.- ^1 ^2 Igualando las afirmaciones 1 y 2
4.- m ^2 + m ^3 = 180º Por ser ángulos suplementarios
5.- m ^1 + m ^3 = 180º Por afirmación 3
1. – Uno de los ángulos complementarios, aumentado en /6 rad es igual al otro. Cuanto mide cada ángulo?.
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H) ^ y ^ son complementarios
T) m ^ = ?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 90º Por ser ángulos complementarios
2.- m ^ + 30º = m ^ Por hipótesis
3.- 2m = 60º Sumando afirmaciones 1 y 2
4.- m ^ = 30º Multiplicando por ½
5.- m ^ = 60º Remplazando afirmación 4 en 1 y operaciones
2. – La diferencia de dos ángulos suplementarios es /3 rad. Hallar el complemento del ángulo menor.
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H) m ^ – m ^ = 60º
m ^ + m ^ =180º
T) m ^
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementario
2.- m ^ – m ^ = 60º Por hipótesis
3.- 2m ^ = 240º Sumando afirmación 1 y 2
4.- m ^ = 120º Simplificando
5.- m ^ = 60º Remplazando afirmación 4 en 1
3.- Dos ángulos son complementarios, y uno de ellos es /10 rad mas que el triple del otro. cuanto mide cada ángulo?.
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H) ^ y ^ son complementarios
m ^ + m ^ = 90º
T) m ^ = ?
m ^ = ?
afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 90º Por ser ángulos complementarios
2.- m ^ = 18º + 3m ^ Por hipótesis
3.- 4m ^ = 72º Multiplicando por –1 afirmación 2 y sumando con afirmación 1
4.- m ^ = 18º Simplificando
5.- m ^ = 72º Remplazando afirmación 4 en 1
4. – Cuanto mide cada uno de los ángulos suplementarios, si quitando el menor de ellos /9 rad y agregándole al mayor, este resulta el triple de lo que queda del menor.
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H) ^ y ^ son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por se ángulos suplementarios
2.- m ^ + 20º = 3( m ^ – 20º) Por hipótesis
3.- m ^ + 20º = 3m ^ – 60º Operaciones
4.- m ^ – 3m ^ = 80º Términos semejantes
5.- 4m ^ = 260º Operaciones y sumando afirmaciones 1 y 4
6.- m ^ = 65º Simplificando
7.- m ^ = 115º Remplazando afirmación 6 en 1
5.- Dos ángulos son suplementarios; uno de ellos es disminuido en /12 rad., para ser agregado a otro, de tal manera que este nuevo ángulo es igual a cuatro veces el resto del primero. Cuanto mide cada ángulo?.
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H)m ^ + m ^ Son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m ^ + m ^ -15º = 4(m ^ – 15º) Por hipótesis
3.- m ^ + m ^ – 15º = 4m ^ – 60º Operaciones
4.- 180º – 15º = 4m ^ – 60º Remplazando afirmación 1 en 3
5.- m ^ = 56,25º Despejando m ^ y operaciones
6.- m ^ = 123,75º Remplazando afirmación 5 en 1 y operaciones
6. – Calcular el valor de dos ángulos suplementario de modo que, si al quíntuplo del menor se le disminuye la mitad del mayor, se obtiene el triple del menor aumentado /18 rad.
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H) m ^ y m ^ son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- 5m ^ – ½m ^ = 3m ^ + 10º Por hipótesis
3.- 2m ^ – ½m ^ = 10º Términos semejantes
4.- 5/2m ^ = 100º Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 2, y operaciones
5.- m ^ = 40º Simplificando
6.- m ^ = 140º Remplazando afirmación 3 en 1 y operaciones
7.- Uno de los ángulos suplementarios es los 3/5 del otro ángulo. Cuanto mide cada ángulo?.
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H) ^ y ^ son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m ^ = 3/5m ^ Por hipótesis
3.- m ^ – 3/5m ^ = 0 Igualando a 0
4.- 8/5m ^ = 180º Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 3, y operaciones
5.- m ^ = 112,5 Simplificando
6.- m ^ = 67,5 Remplazando afirmación 5 en 1 y operaciones
9. – De dos ángulos suplementarios, los 2/3 de uno de ellos más la sexta parte del otro forman un ángulo recto. Cuanto mide cada ángulo?.
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H) ^ y ^ son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ =?
m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- 2/3m ^ + 1/6m ^ = 90º Por hipótesis
3.- ½m ^ = 60º Resolviendo el sistema entre afirmaciones 1 y 2, y operaciones
4.- m ^ = 120º Simplificando
5.- m ^ = 60º Remplazando afirmación 4 en 1
10. – Los 4/7 de un ángulo menos la cuarta parte de su suplemento, dan su suplemento aumentado en /6 rad. Cuanto el ángulo?
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H) ^ y ^ son suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- 4/7m ^ – 1/4m ^ = m ^ + 30º Por hipótesis
3.- 4/7m ^ – 5/4m ^ = 30º Términos semejantes
4.- 51/28m ^ = 255º Resolviendo el sistema entre
afirmaciones 1 y 3, y operaciones
5.- m ^ = 140º Operaciones
12.- ¿Cuanto mide un ángulo que es igual a su suplemento?.
H) ^ y ^ son ángulos suplementarios
m ^ + m ^ = 180º
T) m ^ = ?
Afirmaciones Razones
1.- m ^ + m ^ = 180º Por hipótesis
2.- m ^ = m ^ Por hipótesis
3.- 2m ^ = 180º Remplazando afirmación 2 en 1 y operaciones
4.- m ^ = 90º Multiplicando por ½
13.- La medida de uno de los ángulos de un par de suplementarios , es el doble de la medida del otro menos 3 /20. Encontrar la medida de cada ángulo.
Afirmaciones Razones
1.- = 2 – 27º Por hipótesis
2.- ^ + ^ = 180º Por ser ángulos suplementarios
3.- ^ = 180º – ^ Despejando
4.- 180º – = 2 – 27º Igualando afirmaciones 1 y 3
5.- -3 = -207º Términos semejantes
6.- ^ = 69º Transposición de términos
7.- ^ = 181º – 69º Remplazando afirmación 6 en 3
8.- ^ = 111º Operando
15. – La suma del complemento de un ángulo " " con el suplemento de su ángulo doble, es igual a3/2 del complemento de un ángulo " " . Si m ^ – m^ = 3 /20 rad. Calcular el complemento del ángulo " ".
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Afirmaciones Razones
1.- (90º – ) + (180º- 2 ) = 3/2(90º – ) Por hipótesis
2.- 540º – 6 = 270º – 2 Operaciones
3.- – 2 = -90º Términos semejantes
4.- - + = 27º Por hipótesis
5.- - = -63 Sumando afirmaciones 3 y 4
6.- = 63º Multiplicando por -1
7.- 90º – = 27º Definición de complementarios
Afirmaciones Razones
1.- 2m ^1 + 2m ^2 = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m ^1 + m ^2 = 90º Multiplicando por ½
3.- m ^BCA = 90º Por suma de ángulos internos del ABC
4.- AC CE Por afirmación 3
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Afirmaciones Razones
1.- L DC AE Por construcción
2.- m ^1 + m ^2 = 70º Por hipótesis
3.- m ^X = m ^1 Por ser ángulos alternos internos
4.- m ^2 = m ^Â Por ser ángulos alternos internos
5.- m ^X + m ^A = 70º Remplazando afirmación 1 y 4 en 2
6.- m ^X = 30º Remplazando hipótesis de transposición de términos
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Afirmaciones Razones
1.- BD FG CE Por construcción
2.- m ^1 + m ^B = 180º Por ser ángulos suplementarios
3.- m ^1 + 130º = 180º Remplazando hipótesis
4.- m ^1 = 50º Transposición de términos
5.- m ^A = m ^1 + m ^2 Por gráfico
6.- m ^2 = m ^A – m ^1 Despejando medida del ángulo 2
7.- m ^2 = 30º Remplazando hipótesis, afirmación 4 en 6 y operando
8.- m ^2 + m ^C = 180º Por ser ángulos suplementarios
9.- m ^C = 150º Remplazando afirmación 7 en 8, transposición de términos y
operaciones
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Afirmaciones Razones
1.- AP FG Por construcción
2.- m ^1 = m ^2 + m ^3 Por construcción
3.- m ^A = m ^4 Por ser correspondientes
4.- m ^3 = m ^4 Por ser sus lados paralelos
5.- m ^5 = 90º Por gráfico
6.- m ^5 = m ^2 Por tener sus lados paralelos
7.- m ^1 = m ^5 + m ^A Remplazando afirmación 6 y 3 en 2
8.- m ^1 = 90º + 54 Remplazando hipótesis y afirmación 5 en 8
9.- m ^1 = 144 Operando
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Afirmaciones Razones
1.- m ^B = m ^C Por ser ángulos correspondientes
2.- m ^C = 135º Por afirmación 1
3.- m^ 1 + m ^C = 180º Por ser ángulos suplementarios
4.- m ^1 + 135º = 180º Remplazando afirmación 2 en 3
5.- m ^1 = 45º Transposición de términos y operando
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Afirmaciones Razones
1.- 2m ^1 + 2m ^2 = 180º Por ser ángulos suplementarios
2.- m ^1 + m ^2 = 90º Multiplicando por ½
3.- m ^1 = m ^3 Por hipótesis
4.- m ^3 – m ^2 = 22º Suma de ángulos
5.- m ^3 = 22º + m ^2 Despejando m ^3
6.- m ^3 + m ^2 =90º Remplazando afirmación 3 en 2
7.- 22º + 2m ^2 = 90º Remplazando afirmación 5 en 6
8.- m ^2 = 34º Transposición de términos y operaciones
9.- m ^1 = 90º – 34º Remplazando afirmación 8 en 2
10.- m ^1 = 56º Operaciones
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Afirmaciones Razones
1.- ( m ^X + m ^1) – (m ^1 – m ^X) = 30ºRemplazando hipótesis
2.- m ^X + m ^1 – m ^1 + m ^X = 30º Destrucción de paréntesis
3.- m ^X = 15º Términos semejantes y multiplicando por ½
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Afirmaciones Razones
1.- 2m ^2 – 2m ^1 = 20º Por hipótesis
2.- m ^2 – m ^1 =10º Simplificando
3.- m ^X + m ^1 – m ^1 =10º Remplazando medida del ángulo 2 en afirmación 2
4.- m ^X = 10º Términos semejantes
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Afirmaciones Razones
1.- m ^3 + m ^1 = 80º Por hipótesis
2.- 2m ^1 – 2m ^3 = 40º Por hipótesis
3.- -2m ^3 – 2m ^1 =160º Multiplicando afirmación 1 por -2
4.- -4m ^3 = -120º Sumando las afirmaciones 2 y 3,
5.- m ^3 = 30º Transposición de términos y simplificando
6.- m =3 = 2m^2 Por gráfico
7.- m ^2 =15º Remplazando afirmación 5 en 6 y multiplicando por ½
8.- m ^2 = m ^EOF Por gráfico
9.- m ^EOF = 15º Remplazando afirmación 7 en 8
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Afirmaciones Razones
1.- 2m ^4 + m ^2 =180º Por ser suplementarios
2.- m ^X = m ^4 – m ^EOF Por gráfico
3.- m ^X = (180º – m ^2)/2 – m ^EOF) Replazando afirmación 1 en 2
4.- m ^2 + m ^EOF = m ^3 Por gráfico
5.- m ^3 = m ^2 + m ^1 – m ^EOF Por gráfico
6.- m ^2 + m ^EOF = m ^2 + m ^1 – m ^EOF Igualando afirmaciones 4 y 5
7.- 2m ^EOF = m ^1 Términos semejantes
8.- m ^EOF = m ^1/2 Transposición de términos
9.- m ^X = (180º – m ^2)/2 – m ^1/2 Remplazando afirmación 8 en 3
10.- m ^X = 180 – (m ^2 + m ^1) /2 Suma de fracciones
11.- 2m ^2 + 2m ^1 = 180º Por ser suplementarios
12.- m ^2 + m ^1 = 90º Multiplicando por ½
13.- m ^X = (180º – 90º)/2 Remplazando afirmación 2 en 10
14.- m ^X = 45º Operaciones
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Afirmaciones Razones
1.- 45º + m^3 = 2m ^2 + m ^3 Por hipótesis
2.- 45º = 2m ^2 Términos semejantes
3.- m ^COE m = 2m ^2 Por gráfico
4.- m ^COE = 45º Por afirmación 3
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Afirmaciones Razones
1.- 2m ^2 + m ^3 = 50º Por hipótesis
2.- 2m ^1 + m ^3 = 90º Por hipótesis
3.- 2m ^1 + 2m ^2 + 2m ^3 = 140º Sumando afirmaciones 1 y 2
4.- m ^1 + m ^2 + m ^3 = 70º Multiplicando por
5.- m ^1 + m ^2 + m ^3 = m ^POQ Por gráfico
6.- m ^POQ = 70º Remplazando afirmación 5 en 4
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Afirmaciones Razones
1.- m ^3 + m^1 = 80º Por hipótesis
2.- 2m ^1 – 2m ^2 = 40º Por hipótesis
3.- -4m ^3 – 2 ^1 = -160 Multiplicado afrimación 1 por -2
4.- -4m ^3 – 2m ^2 = 120º Sumando afirmación 2 y 3
5.- m ^2 = 2m ^3 Por gráfico
6.- -4m ^3 – 4m ^3 = -120º Remplazando afirmación 5 en 4
7.- -8m ^3 =-120 Términos semejantes
8.- m ^3 = 15º Simplificando
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Afirmaciones Razones
1.- (m ^1 + m ^2)/(m ^1+ m ^2 + 90º) = 11/29 Por hipótesis
2.- 2m ^2 + m ^1 = 90º Por gráfico
3.- m ^2 = (90º – m ^1)/2 Despejando m^2 y multiplicando por ½
4.- m^1+( 90º-m^1)/2 / m^1+ (90º-m^1)/2 +90 =11/29 Rempla afirmación 3 en 1
5.- 29m ^1 + 2610º = 2970º + 11m ^1 Suma de fracciones, y transposición de términos
6.- m ^1 = 20º Reducción de términos semejantes
10. Problemas de autoevaluación
Indicaciones:
1 ) Estudie el capitulo y luego conteste cada numeral.
2 ) La evaluación de la prueba es de 5 puntos c/u. Total 20 / 20
3 ) Si algún literal no puede resolver, vuelva a ensayar, luego de haber estudiado nuevamente el capitulo
Cuestionario:
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G. Calvache T. Rosero C. Terán M. Yaselga Profesores del I.C.B Escuela Politécnica Nacional
Investigador: Ismael Guerrero Suárez
Autor:
Ismael Guerrero
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