Estudio de los métodos numéricos (página 6)

La Investigación Matemática

El uso de las matemáticas para expresar ideas o resolver problemas comprende por lo menos tres fases: 1. representar de manera abstracta algunos aspectos de las cosas; 2. manejar las abstracciones mediante reglas de lógica para hallar nuevas relaciones entre ellas, y 3. ver si las nuevas relaciones indican algo útil sobre las cosas originales.

Abstracción y representación simbólica

El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso de abstracción esto es, observar una similitud entre dos o más acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o incluso palabras. Todos los números son abstracciones que representan el tamaño de conjuntos de cosas y sucesos, o el orden de los elementos en una serie. El círculo como concepto es una abstracción derivada de caras humanas, flores, ruedas, u olas pequeñas que se expanden; la letra A puede ser una abstracción para el área de objetos de cualquier forma, para la aceleración de todos los objetos móviles o para aquellos que tienen una propiedad específica; el símbolo + representa un proceso de adición, aun cuando uno se encuentre sumando manzanas o naranjas, horas o millas por hora. Y las abstracciones no se hacen sólo a partir de objetos o procesos concretos; también pueden realizarse con base en otras abstracciones, como las clases de números (los números pares, por ejemplo).

Tal abstracción permite a los matemáticos concentrarse en ciertas características de los objetos, además de que les evita la necesidad de guardar continuamente otras en su mente. En lo que a las matemáticas se refiere, no importa si un triángulo representa el área de un velero o la convergencia de dos líneas visuales sobre una estrella; los matemáticos pueden trabajar con ambos conceptos de igual manera. El ahorro de esfuerzo resultante es muy útil siempre y cuando al hacer la abstracción se ponga cuidado en no soslayar las características que juegan un papel importante en la determinación de los resultados de los sucesos que se están estudiando.

Manipulación de los enunciados matemáticos

Una vez que se han hecho las abstracciones y se han seleccionado las representaciones simbólicas de ellas, los símbolos se pueden combinar y recombinar de diversas maneras de acuerdo con reglas definidas con exactitud. En ocasiones, eso se lleva a cabo teniendo en mente un objetivo fijo; en otras, se hace en el contexto de un experimento o prueba para ver lo que sucede. A veces, una manipulación apropiada se puede identificar fácilmente a partir del significado intuitivo de las palabras y símbolos de que se compone; en otras ocasiones, una serie útil de manipulaciones se tiene que resolver por tanteo.

Es común que el conjunto de símbolos se combine en enunciados que expresan ideas o proposiciones. Por ejemplo, el símbolo A para el área de cualquier cuadrado se puede combinar con la letra s que representa la longitud del lado del cuadrado, para formar la expresión A = s2. Esta ecuación específica de qué manera se relaciona el área con el lado y también implica que no depende de nada más. Las reglas del álgebra común se pueden utilizar, entonces, para descubrir que si se duplica la longitud de los lados de un cuadrado, el área de éste se cuadruplica. En sí, este conocimiento hace posible que se descubra lo que le sucede al área de un cuadrado sin importar cuánto varíe la longitud de sus lados y, por el contrario, cómo cualquier cambio en el área afecta a los lados.

El discernimiento matemático en las relaciones abstractas ha aumentado a lo largo de miles de años y todavía sigue ampliándose y en ocasiones se revisa. Aunque las matemáticas comenzaron en la experiencia concreta de contar y medir, han evolucionado a través de muchas etapas de abstracción y ahora dependen mucho más de la lógica interna que de la demostración mecánica. Entonces, en cierto sentido, la manipulación de las abstracciones es casi un juego: comenzar con algunas reglas básicas, después hacer cualquier movimiento que las cumpla el cual incluye la invención de reglas adicionales y encontrar nuevas relaciones entre las antiguas. La prueba para validar las ideas nuevas consiste en que sean congruentes y se relacionen lógicamente con las demás.

Aplicación

Los procesos matemáticos pueden llevar a un tipo de modelo de una cosa, a partir de los cuales se obtendrían profundizaciones de la cosa misma. Cualquier relación matemática que se obtenga por medio de la manipulación de enunciados abstractos puede o no transmitir algo verdadero sobre el objeto que se está modelando. Por ejemplo, si a dos tazas de agua se agregan otras tres, y la operación matemática abstracta 2 + 3 = 5 se utiliza para calcular el total, la respuesta correcta es cinco tazas de agua. No obstante, si a dos tazas de azúcar se añaden tres tazas de té caliente y se realiza la misma operación, cinco es una respuesta incorrecta, pues esa suma da por resultado sólo un poco más de cuatro tazas de té muy dulce. La simple suma de volúmenes es apropiada para la primera situación, pero no para la segunda lo que podría haberse predicho sólo conociendo algo sobre las diferencias físicas en los dos casos. Así, para utilizar e interpretar bien las matemáticas, es necesario estar interesado en algo más que la validez matemática de las operaciones abstractas, así como tomar en consideración qué tan bien se corresponden con las propiedades de las cosas que representan.

Algunas veces, el sentido común es suficiente para decidir silos resultados de las matemáticas son apropiados. Por ejemplo, para calcular la estatura de una joven cuando tenga 20 años si en la actualidad mide 1.63 m y crece a una tasa de 2.54 cm por año, el sentido común sugiere rechazar la respuesta simple de "tasa por tiempo" de 2.13 m como muy improbable, y dirigirse a algún otro modelo matemático, como las curvas que aproximan valores restrictivos. Sin embargo, en ocasiones, puede ser difícil saber qué tan correctos son los resultados matemáticos por ejemplo, al tratar de predecir los precios en la bolsa de valores, o los terremotos.

Con frecuencia, sucede que una sesión de razonamiento matemático no produce conclusiones satisfactorias; entonces se intenta efectuar cambios en la manera en que se hizo la representación o en las mismas operaciones. De hecho, se dan saltos entre pasos hacia adelante y hacia atrás y no hay reglas que determinen cómo se debe proceder. El proceso avanza típicamente a empujones, con muchas vueltas erróneas y callejones sin salida. Este proceso continúa hasta que los resultados son suficientemente buenos.

Pero, ¿qué grado de exactitud es el suficiente? La respuesta depende de la forma en que se vaya a utilizar el resultado, las consecuencias del error, y el posible costo de modelar y estimar una respuesta más precisa. Por ejemplo, un error de 1% al calcular la cantidad de azúcar en una receta para pastel podría ser insignificante, pero un grado de error similar en el cálculo de la trayectoria de una sonda espacial podría resultar desastroso. Sin embargo, la importancia de la pregunta "suficiente" ha llevado al desarrollo de procesos matemáticos para estimar qué tan lejos podrían llegar los resultados y cuánto cálculo se requeriría para obtener el grado de precisión deseado.

"Infinitografía" de Alfredo R. Palacios

Capítulo 3 del libro: A. R. Palacios, P. L. Barcia, J. E. Clemente, J. E. Bolzán, E. A. Imbert. La Matemática del Laberinto: hacia la integración del saber. Magisterio del Río de la Plata: Argentina

1. Un Machado de infinito

"Palacio, buen amigo,

¿está la primavera

vistiendo ya las ramas de los chopos

del río y los caminos?…."

Antonio Machado

La infinitud y el infinito han tenido siempre una fascinación singular para el pensamiento humano. Disfrazado de tiempo, yaciendo entre los puntos de una recta, asistiendo a las clases numéricas, tentándonos sobre los granos de arena de una playa o de todas las playas del mundo, el infinito será en algún momento intento de nuestra finitud.

Invadirá nuestra mente en un instante de nuestra vida y allí trataremos de comprender lo que nunca hemos experimentado. Probablemente intentemos conformar nuestra razón con palabras y entonces daremos nombres a nuestra duda: "lo que nunca termina", "lo incontable", "lo ilimitado", "lo que no tiene fin".

Sin embargo, el desafío a la mente del hombre habrá sido dado una vez más. Esta herencia atávica, que vivió en el silencio de Pitágoras de Samos y que resonó por los laberintos de la humanidad en la voz multisecular de Zenón de Elea, tiene una particular atracción. Este intento racional por comprender uno de los atributos característicos de los dioses nos obligará a considerar filosofías y allí, como uno de los brotes más fecundos de la actividad del hombre en su trabajo, estarán las ideas matemáticas. La matemática, convertida en mágico aparato de introspección que cala hasta las raíces más profundas del pensamiento.

Antonio Machado, uno de los grandes poetas de la lengua castellana, también pensó el infinito. De su obra en prosa, que lleva por título "Juan de Mairena. Sentencias, donaires, apuntes y recuerdos de un profesor apócrifo", publicada en 1936, es la cita:

"La serie par es la mitad de la serie total de los

números. La serie impar es la otra mitad".

"Pero la serie par y la serie impar son -ambas-

infinitas".

"La serie total de los números es también infinita.

¿Será entonces doblemente infinita que la serie par y

que la serie impar?"

"No parece aceptable, en buena lógica, que lo

infinito pueda duplicarse como, tampoco, que pueda

partirse en mitades".

"Luego la serie par y la serie impar son ambas, y

cada una, iguales a la serie total de los números".

"No es tan claro, pues, como vosotros pensáis, que

el todo sea mayor que la parte".

"Meditad con ahínco, hasta hallar en qué consiste

lo sofístico de este razonamiento."

"Y cuando os hiervan los sesos, avisad."

Para estos ejercicios de pensamiento, o mejor dicho "Ejercicios de Sofística" como Machado los llama, se requirieron: su capacidad de raciocinio, su fantasía poética y su afán de saber.

Aquí cobra plena vigencia la sentencia de Heráclito: "Si no esperáis lo inesperado, no lo encontraréis; puesto que es penoso descubrirlo y, además, difícil". Es muy importante dejar absolutamente claro que, "muy grande" e "infinito", son completamente distintos. No hay un punto donde lo muy grande comience a confundirse con el infinito. Dice James Newman: "Usted puede escribir un número tan grande como le plazca, no estará más cerca del infinito que el número 1 o que el número 7".

2. Otro eureka de Arquímedes

Arquímedes de Siracusa sabía perfectamente que "muy grande" e "infinito" son completamente distintos. En su magnífica obra encontramos una clara prueba de su genialidad: El Arenario. "Partiendo de una frase poética -dice José Babini- se propone contar o, mejor, dar nombre al número de granos de arena que llenan el universo, propósito que lo lleva a crear un sistema propio de numeración que le permite nombrar números "muy grandes", entre ellos el mencionado número de granos de arena (que en nuestro sistema de numeración tendría más de 50 cifras)."

Nos dice Arquímedes:

"Hay algunos que piensan que el número de granos de arena es infinito en multitud y yo me refiero a la arena que existe, no sólo en las proximidades de Siracusa y en el resto de Sicilia, sino también a la que se encuentra en otras regiones, ya sean éstas habitadas o no."

Ya el maestro Arquímedes dejó claramente establecido que un número no es infinito por el solo hecho de ser "muy grande". El número de granos de arena no es infinito; es "muy grande", o si Ud. desea "muy, muy grande" pero no infinito.

3. Huella del infinito en Galileo

En tiempos de Moliére, de Descartes, de Kepler, de Cervantes y de Shakespeare, Galileo elaboraba el primer documento para la historia de los conjuntos infinitos. De la versión castellana de: Galileo Galilei. Diálogos acerca de dos nuevas ciencias, Buenos Aires, Librería del Colegio, 1945, tomamos la huella. Intervienen tres interlocutores: Salviati, que representa a Galileo; Sagredo, espíritu culto de su época; y Simplicio, filósofo peripatético, que frecuentemente invoca opiniones de Aristóteles.

Supongo muy bien sabido de vosotros, cuáles son los números cuadrados y cuáles los no cuadrados.

SIMPLICIO. – Sé muy bien que el número cuadrado es el que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo: así el cuatro y el nueve, etc., son números cuadrados, ya que se originan uno del dos y el otro del tres, multiplicados por sí mismos.

SALVIATI. -Muy bien; y sabéis, además, que así como los productos se llaman cuadrados, los que los producen, o sea los que se multiplican, se llaman lados (lati) o raíces. Por consiguiente, los otros que no nacen de números multiplicados por sí mismos, no son cuadrados. De donde, si yo dijere que todos los números, incluyendo los cuadrados y los no cuadrados, son más que los cuadrados solos, habré enunciado una proposición realmente verdadera. ¿No es así?

SIMPLICIO. -No se puede decir lo contrario.

SALVIATI. -Si después yo preguntare, cuántos son los números cuadrados, se podría con toda verdad responder, que son tantos como son sus respectivas raíces, puesto que todo cuadrado tiene su raíz, y toda raíz su cuadrado, sin que haya ningún cuadrado que tenga más de una raíz, ni raíz ninguna que tenga más de un cuadrado[2]

SIMPLICIO. -Así es.

SALVIATI. -Mas si yo preguntare, cuántas son las raíces, no podrá negarse que son tantas como sean todos los números, porque no hay ningún número que no sea raíz de algún otro; y sentado esto, habrá que decir que los números cuadrados son tantos como sean todos los números, ya que son tantos como sus raíces, y raíces son todos los números. Y sin embargo nosotros en un principio dijimos que los números en conjunto son muchos más que todos los cuadrados, por ser no cuadrados la mayor parte. Todavía más, la multitud de cuadrados va disminuyendo progresivamente, a medida que pasamos a números más grandes; porque hasta ciento hay diez cuadrados, que es como decir que son cuadrados una décima parte; en diez mil, sólo la centésima parte son cuadrados; en un millón sólo la milésima. Y sin embargo, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, sería necesario decir que son tantos los cuadrados, cuantos son todos los números en conjunto.

SAGREDO.- ¿Y qué se puede decidir en tal coyuntura?

SALVIATI – No veo que se pueda llegar a otra decisión, sino a decir que es infinita la totalidad de los números, infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces; y que la multitud de cuadrados no es menor que la de la totalidad de los números, ni ésta mayor que aquélla, y en última instancia, que los atributos de "igual", "mayor" y "menor", no tienen lugar en los infinitos, sino sólo en las cantidades limitadas.

4. Georg Cantor: ¡Se han formado las parejas!

(Advertencia: Cantor debe leerse Cántor).

El más importante logro de Cantor consistió en demostrar, con todo el rigor que la matemática exige, que la noción de infinito no es una noción indiferenciada. Al desarrollar su "aritmética de los números transfinitos" determinó matemáticamente el concepto de infinito actual.

Durante casi todo el siglo XIX reinaba supremamente el concepto del matemático alemán Carl Friedrich Gauss, en el sentido de que la única forma admisible del infinito en matemática era la del infinito potencial, es decir, el infinito concebido sólo como posibilidad y no como realización total. Así, tratando los números naturales 1, 2, 3,…, afirmar que son infinitos, equivale para Gauss, a sobreentender que después de cada número viene otro. Por otra parte, si tomamos un segmento y realizamos la operación de partirlo en dos, dicha operación entraña un proceso infinito potencial, porque después de una partición es siempre posible concebir la siguiente, y así sucesivamente. El infinito, sólo como infinito potencial, es admitido por Aristóteles tanto en la sucesión numérica como en el conjunto de puntos de una línea. Aristóteles propone: el infinito no es aquello más allá de lo cual hay nada, sino aquello más allá de lo cual hay algo. Este punto de vista confirma la consideración exclusiva del infinito potencial. La sentencia de Gauss era el marco de referencia para la obra de Cantor. Gauss enfatizaba: "Yo protesto contra el uso de magnitudes infinitas como magnitudes concluyentes, cosa nunca permitida, en matemática. El infinito es sólo una 'façon de parler'´ en tanto se refiriere realmente a límites con los que se tienen ciertas relaciones tan próximas como se desee, mientras, en cambio otras pueden crecer sin limitación."

El matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) introdujo una convención de escritura para caracterizar y dar vigencia a la misma idea de infinito que aparece en la cita de Gauss. La convención de Cauchy, hoy todavía en uso, es la siguiente:

En este ejemplo aparecen distintos símbolos como componentes de una expresión matemática. La abreviatura `lim´ de la palabra latina limes conserva aquí todo su peso histórico: el limes era la fortificación límite del Imperio romano frente a los germanos. En matemática, limes significa "valor límite", es un símbolo para el infinito que no debe en ningún caso ser sustituido por un signo numérico; no está representando a número alguno. La expresión matemática puede leerse así:

Este es uno de los infinitos de la matemática, ciencia que al parecer convoca las formas más diversas de la infinitud y puede emitir expresiones plenas de sentido para cada una de ellas. Es necesario poner el mayor de los cuidados cuando se trata con el concepto de infinito y determinar claramente la zona de ideas comprometidas y el problema específico que consideramos.

Cantor expresó claramente: "Yo me encuentro lógicamente obligado a aceptar la idea de la magnitud infinita, no meramente en forma creciente sin limitación, sino en forma determinada de infinito perfeccionado matemáticamente por números, y lo hago casi contra mi voluntad dada su oposición a mis tradiciones".

Reiteramos, Cantor dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Es dable suponer que él sabía con Hölderling, que cualquier hombre es un Dios cuando sueña y no es más que un mendigo cuando piensa. Y así, en un ejercicio de libertad total, Cantor pensó un sueño, para poder finalmente soñar un pensamiento.

Las ideas de Cantor resultaron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos, que el notable matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de los números transfinitos como una "enfermedad" de la matemática, de la que algún día llegaría a curarse la ciencia. Cantor recibió y resistió el embate de notables. Leopold Kronecker, maestro de Cantor y eminente matemático alemán, llegó al ataque personal, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y -obviamente- "corruptor de la juventud". Por todo esto, y con su característica profundidad de pensamiento, dice Borges: "Esa verosímil contestación de Friedrich Zarathustra me hace recurrir a Georg Cantor y a su heroica teoría de los conjuntos."

Para Georg Cantor, un conjunto M de elementos es matemáticamente infinito, cuando puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales, es decir cuando la correspondencia puede hacerse de forma tal que a cada número natural le corresponda exactamente uno y sólo un elemento de M y recíprocamente.

Cantor logró emparejar, uno por uno, los números naturales con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos se agotase. Por lo tanto, aunque pueda parecer que son más los números naturales que los números pares, en realidad ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Hay muchos otros conjuntos, como el de los números cuadrados de Galileo, que pueden ser biunívocamente comparados con los números naturales. Tales conjuntos se dicen "numerables".

¡Hay tantos números pares como números naturales!

La sorpresa continúa

En el año 1874, Cantor mostró de qué forma podían los números racionales positivos ser emparejados biunívocamente con los números naturales. El conjunto de los números racionales positivos es un conjunto infinito; mejor dicho, el conjunto de todos los números expresables como cociente de dos números naturales es numerable. Nos puede parecer que el conjunto de las fracciones positivas es mucho mayor que el conjunto de los números naturales, con sólo pensar como ejemplo que entre dos números naturales consecutivos, por ejemplo 0 y 1, hay infinitos números fraccionarios positivos. Sin embargo no es así. Debemos cuidarnos de los espejismos. Georg Cantor nos muestra que a cada número racional positivo puede asociársele un número natural conforme se va recorriendo la trayectoria señalada por las flechas.

El conjunto de los números racionales positivos es numerable: hay tantas fracciones positivas como números naturales. ¡De no creer!…

Ahora bien, de esta ordenación de fracciones positivas, podemos separar fracciones; es decir, separemos toda fracción que sea equivalente a cualquier otra precedente. Por ejemplo, las fracciones 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,… son equivalentes a la fracción 1/1. También debemos separar 2/4, 3/6, 4/8, 5/10,… y así todas las fracciones equivalentes a ½. La nueva sucesión de fracciones positivas sería: 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 5/1, 1/5,… El conjunto de los números racionales positivos es numerable sin duda alguna.

Para investigar el conjunto de todos los números racionales debemos recordar que este nuevo conjunto tiene como elementos la fracción nula: 0/1 y también las fracciones negativas. Este conjunto también es numerable. Hay tantas fracciones como números naturales: Georg Cantor nos ha enseñado a contar las fracciones por medio de un procedimiento sencillamente genial.

Es menester que tomemos clara dimensión del hecho. La numeración de todas las fracciones que "habitan" los intervalos entre los números enteros.

Hay "infinitas veces infinitas fracciones" que "pueblan" los intervalos entre los números enteros. Recordemos -porque vale la pena- que entre dos fracciones, a/b y c/d, podemos encontrar siempre otra facción:

Cualquiera sea la proximidad, hay siempre sitio para otra fracción. El proceso de inserción puede repetirse ilimitadamente. Por este motivo no existe "el siguiente inmediato" a ningún número racional, así como tampoco existe "su inmediato anterior". Borges acude en nuestra ayuda y dice en El libro de arena:

"Me pidió que buscara la primera hoja.

Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro".

Cantor nos enseñó a contar un conjunto de números (los racionales) que poseen una propiedad constitutiva llama densidad y que podemos sintetizar así: entre dos fracciones siempre hay otra fracción. Jorge Luis Borges hizo en El libro de arena una aplicación de la matemática a la literatura elaborando un cuento sobre la base de la forma estructural del conjunto de los números racionales. Hay tanto números racionales como números naturales pese a ser tan diversa la infinitud de aquéllos de la de éstos.

El fenómeno de que un conjunto pueda tener tantos elementos como uno de sus subconjuntos propios, está en manifiesto contraste con la muy conocida ley: el todo es siempre mayor que cualquiera de sus partes. Pero en realidad esta ley ha sido experimentada sólo en el ámbito de lo finito, y no existe fundamento alguno para esperar que, en el salto gigante que conduce de lo finito a lo infinito, conserve invariable su validez.

La mencionada ley de que "el todo es mayor que cada una de las partes", que procede de Euclides, no tiene vigencia alguna en el país del infinito.

No caer en la tentación

En este momento y ante la manifiesta presión de los casos anteriores es posible suponer que todos los conjuntos infinitos son numerables: esto quiere decir, que todos los conjuntos que son infinitos lo son en la misma forma. Pero Cantor sabía que esto no era así. Cantor sabía ya en 1874 que existía el infinito "supranumerable" y demostró prolijamente en 1883 que el conjunto de los números reales no podía ser "contado" con los números naturales. Los números naturales no son suficientes para contar los números reales.

Creemos que es prudente recapitular:

• Hay tantos números pares como números naturales;

• Hay tantos números racionales positivos (fracciones positivas) como números naturales;

• Hay tantos números racionales (positivos, nulo, negativos) como números naturales.

• Todos estos son ejemplos de conjuntos infinitos numerables.

Pero, siempre hay un pero, hay más números reales (racionales e irracionales) que números naturales. El conjunto de los números reales es no numerable, o tal vez mejor dicho, es supranumerable.

Todo esto nos quiere decir que hay algunos infinitos "más grandes" que otros. Desde la granja y en plena rebelión, George Orwell nos grita:

"Todos los conjuntos infinitos son infinitos, ¡pero hay algunos que son más infinitos que otros!".

De Leopoldo Varela, que se fue y aún nos guía

Si el lector recuerda que a cada punto de una recta se le puede hacer corresponder un número real y sólo uno recíprocamente, es decir, que el conjunto de los números reales es coordinable con el conjunto de puntos de una recta, entonces puede que le parezca obvio que haya más números reales que números naturales.

Resulta mucho más curioso que en cualquier segmento haya tantos puntos como en toda la recta. Por ejemplo, dados el segmento ab (excluidos los extremos) y la recta R, se puede demostrar que a cada punto del segmento le corresponde uno y sólo uno de la recta y recíprocamente.

Acabamos de ver que en una recta hay tantos puntos como en un segmento (cualquiera sea el segmento elegido). Nos preguntamos ¿cuántos puntos habrá en un cuadrado?

Otra vez la respuesta es inesperada. ¡Tantos como en uno de sus lados!

Como el lector seguramente sabe, a cada punto del plano se le puede hacer corresponder un par ordenado de números reales y sólo uno. Haciendo uso de un sistema de ejes cartesianos, vemos que al punto q, por ejemplo, le corresponde el par ordenado de números (3.1, 2.5).

Es decir, el punto f puede ser representado por medio de dos coordenadas x, y. Estos son números reales no superiores a uno y pueden ponerse en la forma de expresión decimal y podemos considerarlas siempre como infinitas, porque si sólo tuvieran un número finito de cifras se les puede agregar tantos ceros como se desee a la derecha de la última cifra decimal. Todo lo dicho nos permite escribir:

Esta expresión representa un número real que podemos, a su vez, representar por un punto z del lado del cuadrado en cuestión. Esta correspondencia entre f y z es recíproca y unívoca, porque, dados x e y, siempre podemos formar z de una sola manera; recíprocamente, el conocimiento de z nos permite reconstruir los números x e y, y por tanto el punto f. Hemos mostrado la coordinabilidad entre el conjunto de puntos del cuadrado y el conjunto de los puntos de uno de sus lados.

Queda a cargo del lector verificar que todo cuadrado es coordinable con todo segmento. También puede demostrarse que el conjunto de todos los puntos del plano (al que llamaremos es coordinable con un segmento cualquiera. El grupo de consideraciones anteriores nos permiten "meter" todo el plano en un segmento cualquiera.

Ya a esta altura el lector estará curado de espanto. Si no lo está, le advertimos que todavía hay resultados más extraños aún.

Creemos que el mero análisis de la figura servirá de guía intuitiva al lector y le permitirá conjeturar que cada punto del espacio queda determinado por una terna ordenada de números reales y entonces, si aplicamos un razonamiento análogo al anterior podremos probar que en todo cubo hay tantos puntos como en una cualquiera de sus aristas.

¡Todo el universo cabe, entonces, en un segmento!

¡La fotografía del universo, en todos sus detalles, cabe en un segmento cualquiera! Todo el universo en un minúsculo y lineal "microfilm" estático.

Pero, ¿si en lugar de un microfilm estático quisiéramos una película cinematográfica? ¿Si en lugar de todos los puntos del universo pretendiésemos encerrar todos los sucesos del universo que han ocurrido, que están ocurriendo y que ocurrirán?

La excursión termina, paciente lector. Ya hemos llegado. He aquí el premio a tantas penurias. La desintoxicación de los tecnicismos imprescindibles. Aquí la visión del Aleph del poeta: de Jorge Luis Borges.

"Arribo, ahora, al inefable centro de mi relato; empieza, aquí mi desesperación de escritor. Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna; Ezequiel, de un ángel de cuatro caras que a un tiempo se dirige al Oriente y al Occidente, al Norte y al Sur. (No en vano rememoro esas inconcebibles analogías; alguna relación tienen con el Aleph.) Quizá los dioses no me negarían el hallazgo de una imagen equivalente, pero este informe quedaría contaminado de literatura, de falsedad. Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Frey Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplican sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osatura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la chacrita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.

Sentí infinita veneración, infinita lástima"

Borges, Jorge Luis, El Aleph Buenos Aires, Emecé, 1973

"El Cálculo Diferencial" de Morris Kline

Capítulo 18 de "Mathematics: A Cultural Approach". Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu.

18-1 Introducción

Las ideas matemáticas expuestas en los capítulos anteriores, aritmética, álgebra, geometría euclidiana, trigonometría, geometría analítica y los diversos tipos de funciones, comprenden una cantidad considerable de matemáticas. Por supuesto, el desarrollo de cada una de estas ideas es mucho más extenso de lo que hemos indicado o de lo que se suele cubrir en los cursos escolares Pero el siglo XVII, que inspiró e inició el movimiento científico moderno, proporcionó los problemas y las sugerencias para nuevas ramas de la matemática que sobrepasan en extensión, profundidad y potencia a las matemáticas hasta aquí examinadas.

La creación matemática más significativa de ese siglo, y que ha probado ser la más fructífera para el desarrollo de la matemática y ciencia modernas, es el cálculo. Como la geometría euclidiana, es un hito del pensamiento humano.

No es posible ofrecer, en pocas palabras, una descripción clara de la idea básica del cálculo. Podemos decir, como una primera aproximación, que trata de la razón de cambio instantánea de una variable con respecto a otra en contraste con la razón de cambio promedio; por ejemplo, para un objeto en movimiento se refiere a la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo, en un instante dado. Esta breve descripción de la idea básica del cálculo es, por supuesto, vaga y ciertamente no da una idea de su poder de aplicación.

Para lograr una comprensión cabal es preciso examinar estas cuestiones en detalle y proseguir con ilustraciones concretas.

18-2 Los problemas que condujeron al cálculo.

Los matemáticos del siglo XVII que desarrollaron gradualmente las ideas y procesos que ahora comprende el cálculo se vieron acosados por varios problemas. Hemos visto que el siglo XVII se ocupaba principalmente del estudio del movimiento, el movimiento de objetos en, o cerca, de la tierra y el movimiento de los cuerpos celestes. En este estudio, el problema de la determinación de la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento es de mucha importancia. La velocidad es la razón a la que la distancia cambia con el tiempo, pero si un objeto se mueve con velocidad variable, entonces, para determinar su velocidad, es preciso calcular la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo en cualquier instante, o sea su velocidad instantánea. Las mismas observaciones se aplican a la aceleración. Debemos ver que la determinación de tales razones instantáneas presenta un nuevo tipo de dificultad. Es verdad que hemos determinado y trabajado con la velocidad y la aceleración de cuerpos que caen pero se trataba de movimientos simples y así evitamos la dificultad esencial. El problema deja de ser simple cuando, por ejemplo, se busca la velocidad y la aceleración de un planeta desplazándose sobre una trayectoria elíptica.

El problema inverso es igualmente importante. Supóngase que se conoce, la aceleración de un cuerpo en movimiento en cada instante. ¿Cómo se encuentran la velocidad y la distancia recorrida en cualquier instante?

Cuando la aceleración es constante, se puede multiplicar la aceleración por el tiempo recorrido y obtener la velocidad alcanzada, pero este procedimiento no da resultados correctos cuando la aceleración es variable.

Otro problema del movimiento consiste en determinar la dirección en la que un objeto se mueve en cualquier instante de su recorrido. De la dirección de un proyectil depende que dé en el blanco. Además, la dirección en la que se dispara un proyectil determina las componentes horizontal y vertical de su velocidad. De aquí que se desee conocer la dirección en la que un objeto se mueve. Generalmente la dirección varía de un instante a otro y en esto radica la dificultad.

El tercer problema consistía en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. Cuando se dispara una bala hacia arriba uno puede desear saber qué tan alto llegará. Para movimientos simples, cerca de la superficie de la tierra, es posible determinar la altura máxima. Pero los métodos empleados no permiten calcular, por ejemplo, la distancia máxima o mínima de un planeta al sol o a otro planeta. Tampoco bastan para discutir el movimiento de un cohete que suba lo suficiente como para que se deba tomar en consideración la variación en la aceleración debida a la gravedad.

El cuarto problema que enfrentó el siglo XVII fue la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Consideremos, por ejemplo, el volumen de la tierra. La verdadera forma de la tierra es la de un esferoide achatado en los polos. ¿Cómo se puede encontrar el volumen de esta figura? consideremos el movimiento de un planeta sobre una órbita elíptica. ¿Cómo se puede encontrar la longitud de la trayectoria recorrida por el planeta en un periodo de tiempo dado? Esta información es importante si se desea predecir la posición del planeta en el futuro. También se puede preguntar, ¿cuál es la distancia recorrida por un planeta en una revolución completa?, en otras palabras, ¿cuál es la longitud de una elipse dada?

Todas estas cuestiones y muchas otras que encontraremos en el presente y siguientes capítulos desesperaban a los matemáticos del siglo XVII, y cientos de hombres competentes trabajaron en ellas. Cuando Newton y Leibniz hicieron sus contribuciones al cálculo se hizo evidente que todos los problemas anteriores y otros más podían ser resueltos por medio de un concepto fundamental: la razón de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Por esto comenzaremos con este concepto.

18-3 El concepto de razón de cambio instantánea.

Hay tres ideas estrechamente relacionadas: cambio, razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. Se deben distinguir claramente estas tres ideas. El concepto de cambio resulta, ahora, ya familiar. Cuando se lanza una pelota hacia arriba su altura sobre la tierra cambia. Para la solución de problemas físicos, que comprenden funciones es necesario considerar no sólo el mero hecho del cambio, sino la razón de cambio de una variable con respecto a otra. En el caso de la pelota lanzada al aire se puede querer conocer la velocidad inicial que permitirá a la pelota alcanzar una altura de, digamos, 100 pies, o bien la velocidad de la pelota cuando toca la tierra; es decir información sobre la velocidad, que es la razón de cambio de la altura con respecto al tiempo. Afirmar que la tierra efectúa su recorrido alrededor del sol en un año es un hecho que se refiere a la razón de cambio más bien que al puro cambio. La gran preocupación que ha mostrado esta época por lograr transportes y comunicaciones más rápidas es, en realidad, una preocupación por la razón de cambio. La circulación de la sangre significa la cantidad de sangre por unidad de tiempo que pasa a través de una arteria, o conjunto de arterias, y, aquí también, es la razón de cambio lo que cuenta. La tasa de actividad fisiológica, es decir, la razón metabólica, medida en términos del consumo de oxígeno por segundo, es también una razón de cambio. En resumen la razón de cambio de una variable con respecto a otra es una cantidad físicamente útil en muchas situaciones.

Las razones de cambio que interesan al lego, y también a muchos especialistas, son las razones de cambio promedio. Así, si un automovilista recorre 500 millas en 10 horas, la velocidad promedio, es decir la distancia recorrida dividida entre el tiempo empleado, es 50 millas por hora.