Estudio de los métodos numéricos (página 7)

Lo que importa generalmente es la velocidad promedio y la mayoría de las veces es completamente irrelevante el que el conductor se haya detenido a comer, y que, por supuesto, durante estos periodos la velocidad sea cero. A mucha gente le gusta aumentar sus riquezas y se muestra satisfecha si la razón de crecimiento en riquezas por mes o año, es apreciable. El crecimiento de la población de un país se mide regularmente por año, porque esta razón promedio basta para la mayoría de los propósitos.

Sin embargo, la razón de cambio promedio no es la cantidad más significativa en muchos problemas prácticos y científicos. Si una persona que viaja en un automóvil choca con un árbol, no es la velocidad promedio, durante el tiempo que ha viajado desde el punto de partida hasta el árbol, lo que importa. Es la velocidad en el instante de la colisión lo que determina si el conductor sobrevivirá al accidente. Éste es un caso de velocidad instantánea o razón de cambio instantánea de la distancia con respecto al tiempo.

Este acontecimiento comprende dos hechos matemáticos y físicos que requieren una explicación más detallada. En primer lugar está el tiempo. Conforme la persona viaja, el tiempo transcurre. Este tiempo se representa, matemáticamente, por una variable, digamos, t y los valores de t aumentan continuamente mientras prosigue el viaje. Si se mide el tiempo desde el momento en que el hombre parte y ha viajado durante, digamos, 20 minutos entonces t varía desde cero hasta 20. También nos referimos a los 20 minutos como un intervalo de tiempo o una cantidad de tiempo. Por supuesto, ya nos hemos referido a, y usado continuamente, esta representación matemática del tiempo. De cualquier manera, ahora es importante advertir que el choque del automóvil y el árbol no ocurre en un intervalo de tiempo sino en lo que llamamos un instante. Muchos otros sucesos tienen lugar en un instante, o, como se dice, son instantáneos. Un proyectil da en el blanco en un instante.

La representación matemática de un instante es simple.

El segundo hecho que debe quedar claramente entendido acerca del fenómeno del automóvil que choca con el árbol es que aquél tiene una velocidad en el instante de la colisión. Este hecho físico es bastante evidente, pero cuando tratamos de definir el concepto nos encontramos con que presenta dificultades. No hay dificultad para definir y calcular la velocidad promedio, que es simplemente la distancia recorrida durante algún intervalo de tiempo dividida entre este tiempo. Pero supongamos que tratamos de extender este concepto a la velocidad instantánea. La distancia que el automóvil recorre en un instante es cero y el tiempo que transcurre en un instante es, también, cero.

Para abordar algunos de los principales problemas que científicos y matemáticos han enfrentado desde el siglo XVII, es necesario resolver el problema del cálculo de las razones instantáneas, porque algunos de los más importantes movimientos presentan velocidades y aceleraciones que cambian continuamente. Por ejemplo, aun el simple movimiento de un cuerpo que cae a tierra ocurre con una velocidad continuamente cambiante. Además, sabemos de nuestro estudio de la ley de la gravitación que la aceleración de los objetos que se mueven a grandes distancias de la tierra varía también a cada instante. En vista de la extensa serie de fenómenos que se hallan sujetos a la ley de la gravitación, resulta claro que los movimientos con velocidades y aceleraciones variables son bastante comunes. Debido a que estas velocidades y aceleraciones cambian continuamente, es decir, son diferentes de un instante a otro, el cálculo de estas cantidades se debe hacer para el instante acerca del cual se desea obtener la información.

Hemos de notar, de paso, que al tratar los fenómenos del movimiento en los primeros capítulos, ocasionalmente usamos velocidades y aceleraciones instantáneas. Cuando calculamos la velocidad de un cuerpo que cae, tres segundos después de que comenzó a caer, calculamos una velocidad instantánea. Pero siempre que tratamos con razones instantáneas, lo hicimos confiando en nuestra experiencia física, para asegurarnos de que el objeto en movimiento tuviera una velocidad en cada instante, sin indagar más minuciosamente el significado preciso de este concepto, y pudimos calcular la velocidad porque las fórmulas para hacerlo, en las situaciones consideradas, eran sencillas. Específicamente, tratamos casos de aceleración constante, que implican fórmulas de primer grado para la velocidad, y así pudimos obtener los resultados requeridos.

18-4 El concepto de velocidad instantánea

El problema de la definición y el cálculo de las razones instantáneas, como la velocidad y la aceleración, atrajo a casi todos los matemáticos del siglo XVII. Descartes, Fermat, Barrow, maestro de Newton, John Wallís, amigo de Newton, Huygens y muchos otros eruditos trabajaron sobre este problema y otros problemas relacionados. Los hombres que finalmente comprendieron, formularon y aplicaron las ideas generales del cálculo, que sus predecesores entendieron sólo parcialmente, fueron Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, acerca de quienes aprenderemos posteriormente.

El hecho de que cada gran matemático del siglo se haya ocupado del problema de las razones de cambio instantáneas es en sí mismo interesante. Esto ilustra cómo aun las mejores mentes resultan absorbidas por los problemas de su tiempo. Los genios hacen sus contribuciones al avance de la civilización, pero la sustancia de sus pensamientos se halla determinada por su época.

Para explicar el concepto de las velocidades y aceleraciones instantáneas, y el método para encontrarlas, comenzaremos con el problema de la determinación de la velocidad instantánea de un cuerpo que cae. Tomemos el más simple de los casos, el de un cuerpo que cae en las proximidades de la superficie terrestre.

Así la cantidad 112 no puede ser sino una aproximación de la velocidad instantánea.

Por lo tanto, aplicaremos nuestro anterior procedimiento una vez más.

Desde luego, no importa cuán pequeño sea el intervalo para calcular la velocidad promedio, el resultado no es la velocidad en el instante ¿Hasta dónde podemos continuar con este proceso? La respuesta a esta pregunta es el núcleo de la nueva idea aportada por los matemáticos del siglo XVII. La nueva idea consiste en calcular las velocidades promedio, para intervalos de tiempo cada vez más cortos y observar si estas velocidades promedio se aproximan cada vez más a un número fijo. Si es así, este número se considera la velocidad instantánea en Vamos a seguir con esta idea.

En nuestro ejemplo las velocidades promedio en los intervalos de tiempo 1, 0.1, 0.01 y 0.001 resultaron de 112, 126.4, 127.84 y 127.989, respectivamente. Estos valores parecen aproximarse, o tender, al número fijo 128. Por lo tanto, tomaremos 128 como la velocidad del cuerpo que cae en A este número se le da el nombre de límite del conjunto de velocidades promedio. Debemos señalar que la velocidad instantánea no se define como el cociente de la distancia y el tiempo. Más bien es el límite al que tienden las velocidades promedio conforme los intervalos de tiempo, durante los que se calculan, las velocidades promedio, se aproximan a cero.

Se pueden hacer dos objeciones a nuestro procedimiento seguido.

Puesto que la matemática busca representar los fenómenos físicos, resulta completamente natural que adopte definiciones que parecen estar de acuerdo con los hechos físicos.

Se puede esperar que los resultados obtenidos por el razonamiento y los cálculos matemáticos se ajusten al mundo físico.

La segunda posible objeción a nuestra definición de velocidad instantánea es de tipo práctico. Aparentemente, se deben calcular las velocidades promedio durante muchos intervalos de tiempo, y, tratar de determinar cuál es el número al que estas velocidades promedio parecen aproximarse. Pero no parece haber una seguridad de que el número fijo escogido sea el correcto.

Así, si en los cálculos anteriores se hubieran obtenido sólo las velocidades promedio 112, 126.4 y 127.84 se pudo haber decidido que estas velocidades se aproximaban al número 127.85 y entonces hubiera habido un error de

La respuesta a esta objeción, es que podemos generalizar todo el proceso para la obtención de la velocidad instantánea, de tal manera que se lleve a cabo más rápidamente y con certeza. Explicaremos ahora como opera este nuevo método.

18-5 El método de los incrementos.

Vamos a calcular nuevamente la velocidad instantánea de un cuerpo que cae al cabo del cuarto segundo de caída, es decir, en el instante La fórmula que relaciona la distancia recorrida y el tiempo transcurrido es, claro está,

d = 16t2 (1)

Otra vez, como lo hicimos anteriormente, podemos calcular la distancia recorrida al final del cuarto segundo. Esta distancia simbolizada por d4, es 16(4)2, o

d4 = 256 (2)

La generalidad de nuestro nuevo procedimiento, consiste en que se calcula la velocidad promedio no durante un intervalo específico de tiempo como 0.1 de segundo sino en un intervalo de tiempo cualquiera. Es decir, introducimos una cantidad h que representa cualquier intervalo de tiempo antes o después de Sí h es positivo representa un intervalo después de si es negativo, entonces indica un intervalo antes de

Calcularemos primero la velocidad promedio en el intervalo de 4 a (4+h) segundos. Para hacerlo debemos encontrar la distancia recorrida en este intervalo de tiempo. Por lo tanto sustituimos

en (1) y obtenemos la distancia recorrida por el cuerpo en 4+h segundos. Esta distancia se denotará por d4+k, donde d4 es la distancia que el cuerpo recorre en 4 segundos y k es la distancia adicional recorrida, o el incremento en la distancia, en el intervalo de h segundos. Así

d4+k = 16(4+h)2

multiplicando 4+h por sí mismo da

d4+k = 16(16+8h+h2)

la aplicación del axioma distributivo del álgebra produce

d4+k = 256+128h+16h2 (3)

Para obtener k, la distancia recorrida en el intervalo de h segundos, sólo tenemos que sustraer la ecuación (2) de la ecuación (3). El resultado es

k = 128h+16h2 (4)

Por lo tanto (6) es también una expresión correcta para la velocidad promedio en el intervalo h.

Para obtener la velocidad instantánea cuando

debemos determinar el número al que se aproxima la velocidad promedio, conforme el intervalo de tiempo h, en el que se calculan estas velocidades, se hace cada vez más pequeño. De (6) podemos obtener fácilmente lo que buscamos. Si h disminuye, 16h también disminuye y cuando h está muy próximo a cero, 16h también se acerca a cero. En vista de (6), entonces, el número fijo al que se aproxima la velocidad promedio es 128. Este número es la velocidad cuando

El procedimiento que hemos examinado, llamado método de los incrementos es fundamental en el cálculo. Es más sutil de lo que parece a primera vista. No podemos esperar que se adviertan y aprecien los puntos más finos en un primer contacto de la misma manera que no pretendemos conocer bien a una persona tras solo un encuentro. Sin embargo, como pasos en la dirección correcta podemos hacer una o dos observaciones.

Primero deseamos poner énfasis en el hecho de que buscamos el número o límite al que se aproximan las velocidades promedio conforme los intervalos de tiempo, durante los que se calculan dichas velocidades promedio, se hacen cada vez más pequeños y se aproximan a cero. La expresión correcta para la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo h está dada por (5). Ya que h es diferente de cero, podemos dividir numerador y denominador en (5) entre h. La expresión que resulta para la velocidad promedio, es decir (6), es especialmente sencilla, y de (6) podemos determinar fácilmente cual es el límite de las velocidades promedio; es decir, observamos que conforme h se aproxima a cero también 16h lo hace y así fácilmente salta a la vista que el numero al que se aproximan las velocidades promedio es 128.

El lector que desee tentar al destino puede sustituir h por cero en las expresiones simplificadas como (6).

El principal punto que surge de esta sección es la posibilidad de encontrar la velocidad instantánea mediante un procedimiento general, es decir, el método de los incrementos. No hay necesidad de tediosos cálculos aritméticos, no hay duda sobre cual es el límite al que se aproximan las velocidades promedio.

Para apreciar lo que el proceso de límite logra, podemos considerar una analogía. Supongamos que un tirador trata de dar un punto particular del blanco. Aun si es un buen tirador, no lo es tanto como para dar en el punto al primer intento, sus disparos caerán alrededor y se irán realmente aproximando al punto. Un espectador que observe la posición de los impactos determinará fácilmente el punto exacto al que el tirador apuntaba, reparando en la concentración de los tiros. Este proceso mediante el que se infiere el lugar preciso al que el tirador trataba de dar es análogo al de la determinación de la velocidad instantánea cuando se conocen las velocidades promedio. Notamos el número al que las velocidades promedio se aproximan examinando (5) o la forma simplificada (6) y este límite se considera que es la velocidad instantánea.

Ejercicios

18-6 El método de incrementos aplicado a las funciones en general.

Las letras y y x y la constante a se usan para enfatizar el hecho de que consideramos una relación estrictamente matemática, y vamos a calcular la razón de cambio de y con respecto a x en un valor dado de x. Entre paréntesis, estas razones se llaman razones instantáneas aun cuando x no siempre representa el tiempo. La palabra "instantánea" se ha conservado porque el problema original y muchas de las aplicaciones comunes del cálculo incluyen el tiempo como variable independiente.

Consideremos ahora un incremento h en el valor de x, así el nuevo valor de x es x1+h. Para calcular el nuevo valor de y, que designaremos y1+k, sustituimos el nuevo valor de x en (7).

Entonces

y1 +k = a(x1+h)2

ya que

(x1+h)2 = x12+2x1h+h2

se tiene que

y1+k = ax12+2ax1h+ah2 (9)

La ecuación (11), que da la razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo h, es la generalización de la ecuación (5).

Para obtener la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el valor x1 de x debemos determinar el límite del miembro derecho de (11) conforme h tiende a cero. Tenemos nuevamente la fortuna de poder dividir el numerador y el denominador de (11) entre h y obtenemos

Para verificar nuestro resultado observemos que cuando a = 16 y x1 = 4, la cantidad 2ax1 es 128, y éste es el límite que obtuvimos en el caso particular tratado anteriormente.

Ya que y y x son variables que no tienen significado físico, no podemos describirla como la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el-valor x1 de x. Para evitar tan largo enunciado llamaremos a esta cantidad la derivada de y con respecto a x en el valor x1.

La ecuación (14) establece que cuando y = ax2 la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en cualquier valor de x es 2ax, o bien la derivada de y con respecto a x es 2ax. Puesto que (14) se refiere a cualquier valor de x, es una función; es decir la derivada de y con respecto a x es también una función de x. El proceso mediante el que se obtiene (14) de (7) se llama derivación.

La ecuación (14) se cumple sin importar el significado físico de y y de x. Por lo tanto en cualquier situación en la que la fórmula y = ax2 se aplica, podemos afirmar que la razón de cambio instantánea de y con respecto a x es también 2ax. La generalidad de este resultado tiene una enorme importancia, porque un resultado sistemático general puede ser aplicado en muchas situaciones físicas diferentes.

A partir de la fórmula que relaciona la distancia y el tiempo de un objeto que cae, hemos derivado la fórmula de la velocidad instantánea. Así de una fórmula, podemos obtener otra fórmula significativa aplicando el procedimiento para determinar la razón de cambio instantánea, es decir, la derivación

El resultado, (17), tiene un significado geométrico muy sencillo (Figura 18-1): la-razón de cambio instantánea del área de un círculo con respecto al radio, para cualquier valor dado del radio es la circunferencia. Enunciado más llanamente, la razón a la que el área aumenta cuando r aumenta es la magnitud de la circunferencia. Este resultado es muy razonable cuando el radio r aumenta una cantidad k.

Podemos pensar en k como formada por una suma de circunferencias y en h como el número de tales circunferencias.

Por supuesto, el procedimiento para hallar la razón de cambio instantánea puede ser aplicada a todas las funciones y no sólo a la función y = ax2.

Otros ejemplos se presentarán en el curso de nuestro trabajo subsiguiente.

Para hacer un uso efectivo del cálculo, se debe aprender como determinar la razón de cambio instantánea de muchos tipos de fórmulas, porque la variedad de funciones que se presentan en las aplicaciones es muy grande. Ya que nuestro propósito es fundamentalmente tener una idea de lo que el cálculo puede ofrecer, nos limitaremos a las fórmulas más sencillas.

A veces también tendremos que trabajar con alguna fórmula compuesta por una suma de términos en lugar de uno solo. Así, supongamos que la relación funcional entre las variables y y x está dada por la fórmula

y = ax2+bx (24)

donde a y b son constantes. El método de incrementos también puede, por supuesto, ser aplicado para encontrar la razón de cambio instantánea de y con respecto a x. En realidad esta tarea viene a ser lo mismo que trabajar simultáneamente con una fórmula como (7) y con una fórmula como (18). Podemos prever el resultado. Basta ver la razón de cambio (14), que se aplica a y = ax2, y la razón de cambio (19), que se aplica a y = bx, para esperar que

Este resultado es el correcto.

Ejercicios

18-7 El significado geométrico de la derivada.

La razón de cambio instantánea de y con respecto a x puede ser interpretada geométricamente. Esta interpretación no sólo aclara el significado de esta razón sino que, al mismo tiempo, nos señala nuevas aplicaciones del concepto. Vamos a considerar la función

y = x2 (26)

y vamos a interpretar geométricamente la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = 2. Para encontrar esta razón de cambio por el método de incrementos calculamos primero y en x = 2. Este valor de y, simbolizado por y2, es

y2 = 22 = 4.

Los valores 2 de x y 4 de y son, por supuesto, las coordenadas (2,4) de un punto, indicado por P en la figura 18-2, de la curva que representa y = x2. El segundo paso del método de incrementos consiste en incrementar la variable independiente en una cantidad h, así su valor es ahora 2+h. La variable dependiente cambia entonces en una cantidad k, así que su nuevo valor es 4+k. Ahora las cantidades 2+h y 4+k se pueden interpretar como las coordenadas de otro punto de la curva que representa y = x2, porque cuando x es 2+h, y es 4+k. Este nuevo punto aparece como Q en la figura 18-2.

La secante que pasa por P y Q cambia de posición, pasando siempre, por supuesto, a través del punto fijo P y del punto Q, dondequiera que éste se halle.

Figura 18-2 La secante PQ se aproxima a la tangente en P conforme Q se aproxima a P sobre la curva

Conforme h se acerca a cero, el punto Q se aproxima al punto P, y la secante PQ se acerca más y más a la recta que toca a la curva sólo en P; esto es, PQ, tiende a la tangente en P.

Por supuesto, el valor 2 de x se ha escogido arbitrariamente para presentar un ejemplo típico pero concreto. Pudimos ser más generales y haber usado a través de toda la discusión el valor, digamos a de x; es decir, la razón de cambio de y con respecto a x en cualquier valor dado de x es la pendiente de la recta tangente a la curva que corresponde al punto que tiene el valor dado de x como abscisa.

En consecuencia vemos que la derivada de una función tiene una interpretación geométrica precisa: la pendiente. Puesto que la pendiente es la elevación (o caída) de una recta por cada unidad de distancia horizontal (capítulo 13), el significado geométrico es más bien sencillo. Así, que si el valor de la derivada de y = x2 en x = 2 es 4, la pendiente de la recta tangente en x = 2 es 4; la figura 18-2 no-muestra esto porque la escala del eje y no es la misma que la del eje x.

Desde el punto de vista de las aplicaciones, el hecho de que la derivada es la pendiente de la recta tangente es muy importante. La pendiente de una curva en un punto de esta curva se define, muy razonablemente, como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Así conocer la pendiente de la recta tangente significa conocer la pendiente de la curva. Para tener una idea de cuán útil resulta esta información, vamos a considerar por un momento el carril de un puente, que se representa como el arco AOB en la figura 18-3. Para el propósito que se persigue con nuestro ejemplo podemos suponer que este arco es parte de la parábola y = -x2. Ahora bien, la pendiente de la curva en x =-2 se obtiene de la derivada. Puesto que la derivada de y = -x2 en cualquier valor de x es -2x, la derivada en x = -2 es +4. Esta es la pendiente del carril en x = -2; esto es, el carril esta subiendo a razón de 4 pies por cada pie de distancia horizontal. Esta razón de ascenso es totalmente impracticable, ya que no hay automóvil o camión con la potencia necesaria para subir esta pendiente. Nuestro ejemplo comprueba que, en general, la derivada nos permite calcular la pendiente de un camino elevado y determinar si la pendiente es, o no muy empinada para los vehículos que van a utilizar la ruta.

Figura 18-3 La pendiente del carril de un puente en x = -2.

Como otro ejemplo podemos considerar un proyectil disparado, hacia arriba desde el punto O (figura 18-4) que golpea en el punto B de la pared BC. Si se conoce la ecuación de la trayectoria del proyectil (capítulo 16) podemos calcular la pendiente en el punto B. Esta pendiente señala la dirección que el proyectil tiene, o sigue, en el punto B, puesto que la pendiente es la razón a la que la curva asciende o desciende.*. Se podría desear que la dirección del proyectil en B sea perpendicular a la pared porque así el impacto dañaría más efectivamente a la pared que si la golpeara en forma oblicua. Si fuera necesario se podría ajustar el ángulo de disparo y la velocidad inicial para obtener la dirección deseada en B.

Figura 18-4 La pendiente de la trayectoria de un proyectil cuando golpea la pared en B es la pendiente de la recta tangente en B

Figura 18-5 Los ángulos que los rayos de luz forman con una curva están determinados por la pendiente de la curva.

Un tercer ejemplo que ilustra cuán útil es el conocimiento de la pendiente nos lo proporcionan los fenómenos de reflexión y refracción de la luz. Vamos a considerar el caso de la reflexión. Supongamos que se desea construir un espejo de tal manera que todos los rayos de luz provenientes de alguna fuente se reflejen en un punto. Sabemos, del capítulo 6, que cuando un rayo luminoso da a un espejo, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Supongamos que se toma una sección plana del espejo que contiene los rayos incidentes y reflejado (figura 18-5). Esta sección plana es una curva. El ángulo que forma el rayo incidente con el espejo es, de hecho, el ángulo entre el rayo incidente y la tangente. Para tratar este ángulo, así como el correspondiente ángulo de reflexión, necesitamos conocer la dirección, y por lo tanto la pendiente de la tangente.

Ejercicios

Figura 18-6

¿Puedes explicar geométricamente por qué las funciones y = x2 y y = x2+5 deben tener la misma derivada en, digamos, x = 27?

18-8 Los valores máximo y mínimo de una función.

Hemos tenido oportunidad de aplicar el álgebra y la geometría elementales en problemas cuyo objetivo era maximizar o minimizar algunas cantidades físicas. Por ejemplo, en el capítulo 6 encontramos las dimensiones del rectángulo de mayor área entre todos aquellos rectángulos que tienen el mismo perímetro. En el capítulo 15 determinamos la altura máxima que alcanza un objeto lanzado hacia arriba. Los métodos usados para resolver estos problemas fueron bastante limitados, puesto que, si bien sirvieron para resolver estos problemas en particular, difícilmente podrían aplicarse a otro tipo de problemas. Una de las ventajas del cálculo es que el concepto de razón de cambio instantánea de una función ha demostrado ser la clave de un método general para calcular los valores máximos y mínimos de cantidades variables.

Vamos a reconsiderar el problema que consiste en determinar la altura máxima que alcanza una pelota lanzada hacia arriba. Si la pelota deja la mano con una rapidez o velocidad de 128

entonces, según lo visto en el capítulo 15, la fórmula que relaciona d, la altura de la pelota, y t, el tiempo que la pelota ha estado en movimiento, es

d = 128t-16t2 (30)

Para determinar la altura máxima que alcanza la pelota argumentamos, en el capítulo 15, que la velocidad de la pelota en el punto más alto es ceros de no ser así, la pelota continúa subiendo. Por lo tanto, para en contar el instante t1 en el que v = 0, hacemos v igual a cero, es decir, hacemos

128-32t = 0, (32)

y se resuelve la ecuación para t1, encontramos que t1= 4. Sustituimos entonces este valor de t en (30) para obtener el máximo valor de d.

Podemos ver ahora que, traducido al idioma del cálculo, nuestro procedimiento para determinar el valor máximo de la variable d, dada por la fórmula (30), consiste en hallar la razón de cambio instantánea, d, igualarla a cero y encontrar el valor (o valores) de la variable independiente, t en este caso, en el que la razón de cambio es cero. Este ejemplo nos sugiere un procedimiento general. Si y es una función de x, y queremos encontrar el valor máximo de y, hacemos la razón de cambio instantánea de y con respecto a x igual a cero, hallamos el valor para el que esta razón de cambio, o derivada, es cero y sustituimos este valor de x en la fórmula que da y. El valor que resulta de y es el valor máximo de y.

Por supuesto, no sabemos si este procedimiento general está justificado. Para la pelota lanzada hacia arriba utilizaremos el argumento físico de que la velocidad debe ser cero en el punto más alto. Este argumento puede ser adecuado para el movimiento de pelotas, pero no se puede aplicar a las fórmulas que representan fenómenos completamente distintos. Sin embargo, podemos presentar un argumento geométrico que demuestra que el procedimiento está realmente justificado.

Vamos a utilizar una función específica para ejemplificar esta idea. Formularemos el razonamiento, que se debería seguir en términos generales. Supongamos que queremos hallar el valor máximo de una función

y = 10x-x2 (33)

representada por la curva de la figura 18-7. Observamos que en el punto de la curva donde y tiene su valor máximo de la tangente es horizontal, es decir, la pendiente de la tangente es cero. Ahora bien la pendiente de una curva en cualquier valor de x es el valor de la derivada, o razón de cambio instantánea de y con respecto a x en ese valor de x. Por lo tanto, para determinar, el valor de x1 de x en el que la pendiente de la curva es cero, encontramos de derivad de y en (33), es decir, encontramos y y hacemos esta derivada igual a cero. Así de la fórmula (33) tenemos

10-2×1 = 0

vemos de inmediato que x1 = 5. Para obtener el valor máximo de y de (33) sustituimos el valor 5 de x y encontramos que y1, el valor máximo de y, es 25.

Este argumento geométrico que comprueba que la derivada de una función es cero en el valor máximo de la función también se aplica a su valor mínimo. El valor mínimo de la función y = x2-10 es la longitud y1 de la figura 18-8. La pendiente de la curva en el punto donde y tiene su valor mínimo es cero. Por lo tanto, como antes, en este punto la derivada y, debe ser cero y podemos usar el procedimiento ya descrito para los máximos de las funciones para determinar también los mínimos.

Surge ahora una pregunta: si el mismo procedimiento nos da el máximo y el mínimo de una función, ¿Cómo sabemos en un problema específico si hemos obtenido uno u otro? En los problemas físicos la respuesta nos la da el sentido o el contexto del problema. Pero también hay criterios estrictamente matemáticos que nos permiten determinar si hemos hallado el máximo o el mínimo valor de una función.

Ejercicios

• Calcular la velocidad en de un cuerpo cuya altura, d, sobre la tierra, en el instante t, está dada por la fórmula d = 128t-l6t2. Interpretar el resultado físico y geométrico.

• Para ilustrar el poder del cálculo Fermat mostró Cómo se puede usar para comprobar que de todos los rectángulos con el mismo perímetro el cuadrado tiene la máxima área. Lleva a cabo esta tarea.

El área A de cualquier rectángulo es A = xy. Expresa A como una función de x solamente y aplica el cálculo) ¿Cuál método prefieres la geometría euclidiana o el cálculo?

• Un labrador quiere cercar un terreno que colinda con un río, así que no es necesario usar valla en la orilla. Dispone de material para cercar 100 pies. ¿Qué dimensiones debe escoger para obtener la máxima área? (Sugerencia: Sí y es el lado paralelo al río, entonces la cantidad de cerca necesaria es y+2x. Esta debe ser igual a 100. El área A del rectángulo es A = xy. Sustituir y por el valor de y tomado de y+2x = 100 y encontrar el valor máximo de a) ¿Prefieres este método ó el de la geometría euclidiana?

• Un labrador quiere usar 100 pies de valla para cerrar un área rectangular y dividir el área en dos rectángulos, colocando una barda en la mitad (figura 18-9). ¿Qué dimensiones debe escoger para cercar el área total máxima?

• Un industrial quiere construir botes de hojalata (figura 18-10) de tal manera que cada bote esté hecho de una cantidad fija de hojalata, digamos 100 pulgadas cuadradas y tenga un volumen máximo. ¿Cuáles deben ser el radio de la base, r, y la altura del bote, h? (Sugerencia: La cantidad de hojalata usada es igual al área de la superficie del bote, que es la suma del área lateral, 2(rh, y el área de la tapa y el fondo, 2(r2, por lo tanto,

Ahora se aplica el cálculo).

"Una Dosis Apropiada" de Blanca R. Ruiz Hernández.

Artículo publicado en el Boletín No. 1 del Club de Matemáticas del CECyT MOM-IPN. 1997

¿Para qué eso de dosis?

Cuando se investiga el efecto de algún medicamento en el tratamiento de una enfermedad, es importante considerar cada cuánto tiempo se debe ingerir y en qué cantidad. Por lo regular una sustancia química que entra al organismo con fines curativos no sólo tiene ese efecto sobre un órgano en particular sino también tiene efectos secundarios sobre otros y en grandes cantidades incluso llega a resultar tóxica, pero al mismo tiempo el organismo debe tener una cantidad necesaria que resulte "curativa". Así pues, lo importante será tratar de mantener la cantidad de medicamento en el organismo entre estos dos umbrales.

Una vez administrada la droga, el organismo se encarga de absorber la parte del medicamento que le es útil y de desechar el excipiente hasta que prácticamente se pueda considerar que no hay más medicamento por consumir, entonces, si el cuerpo no se ha curado, se necesitará una nueva administración de droga. El tiempo en que el organismo se tarda en "absorber" una droga dependerá de muchos factores, entre ellos de la naturaleza de la droga, tanto física como química, y de su forma de aplicación.

En un estudio de este tipo en donde la finalidad es controlar la cantidad de una determinada droga en el organismo, hay dos cuestiones a resolver:

• ¿Cuál es la mínima cantidad de droga necesaria en el organismo para que sea "curativa" y cuál para no que sea dañina? Es decir, establecer cuál es la mínima y máxima cantidad de droga que puede y debe haber en el organismo.

• ¿Cuánto tiempo se tarda el organismo en absorber la cantidad de droga administrada y cuál es la cantidad de medicamento conveniente a administrar?

De esta última cuestión es de la que nos encargaremos de analizar en este escrito, suponiendo que la anterior ya está dada.

Reducción de un problema más bien complicado

De modo que en esto de la aplicación de una droga intervienen muchos factores y por lo tanto el estudio del proceso podría ser muy complicado. Tomemos por ejemplo una medicina del tipo tableta, jarabe, píldora, etc. es decir que entra al cuerpo por la boca. Una vez ingerida sigue más o menos el mismo camino que sigue la comida, es decir, pasa a través de los conductos digestivos hasta el estómago e intestinos en donde intervienen el hígado, la vesícula y demás vísceras para digerirlos. Los productos finales de la digestión son absorbidos por el sistema de transporte, que los conduce a las células de los diferentes órganos, donde actúa sobre los que debe curar, también sobre los que daña, y finalmente los residuos son desechados por el riñón. Esquemáticamente lo representaremos de la siguiente manera:

A pesar de lo complicado que pueda parecer este recorrido (en realidad es más complicado de lo que está descrito) es posible reducirlo centrando nuestra atención en los pasos que podemos medir y conocer. Es decir, puede resultar interesante conocer la concentración del medicamento en un órgano que cura o que daña una hora después de ingerirlo, sin embargo tomar una muestra resultaría muy riesgoso y costoso. Entonces nos concretaremos a una medida indirecta que es fácil de tomar y no resulta tan costosa, que es la concentración del medicamento en la sangre. El esquema, ya reducido, quedaría más reducido de la siguiente manera:

Este esquema está tomando en cuenta estadios que sí podemos cuantificar. La simplificación del problema es tal, que ya no interesa cómo se administre el medicamento, puesto que, aunque otro tipo de administración estrictamente no seguiría el mismo recorrido, tendría el mismo esquema simplificado.

Posibilidades de interpretación

De acuerdo con lo anterior, la concentración de medicamento debe disminuir a medida que transcurre el tiempo, sin embargo no conocemos de qué forma. Si analizamos el proceso gráficamente, tomando como variable la concentración en sangre en función del tiempo, la forma más sencilla en que puede disminuir es una línea recta. Pero la gráfica puede resultar más complicada que eso. Analicemos tres casos posibles.

• Si el medicamento se administró a las 3 de la tarde, una hora más tarde, a las 4 PM, habrá disminuido una cierta cantidad, que será la misma que disminuya de las 7 a las 8 de la noche. Es decir, el medicamento en la sangre es absorbido con la misma rapidez durante la primera hora que durante la quinta hora. Si observamos, la rapidez de la que hablamos en el proceso se refiere a la pendiente en la gráfica y será negativa porque la concentración no aumenta, sino que disminuye a medida que transcurre el tiempo.

• Otra forma de representar la situación es la dibujada en la gráfica de abajo, que también representa una disminución de la concentración conforme transcurre el tiempo, pero durante la primera hora se elimina una cantidad menor que durante la sexta hora, en donde la diferencia de concentraciones es bastante mayor. Si esta fuera la representación que estamos buscando, a medida que la concentración de medicamento disminuye, aumentaría la rapidez con que se consume, es decir, la rapidez varía de forma inversa a la concentración de medicamento en la sangre, lo que desde el punto de vista gráfico significa que la pendiente de la curva no es constante y aumenta conforme aumenta la variable dependiente, ese decir la concentración. Observemos también que en esta gráfica, la escala del tiempo ya no está determinada por la hora a la que se administró la medicina sino por las horas que transcurren desde que se ingirió, que es realmente lo que nos interesa estudiar.

• La situación también se puede representar por medio de una última gráfica, en donde la rapidez de eliminación tampoco es constante. En ésta, la velocidad de eliminación es menor cuando la concentración del medicamento en la sangre es menor. Es decir, la pendiente de la curva es proporcional a la variable dependiente, es decir, a la concentración del medicamento en sangre.

El modelo

La toma de muestras en sangre a diferentes horas después de haber aplicado algún medicamento en muchas personas ha ayudado a encontrar algunos resultados. Según los cuales la mayoría de los medicamentos se comportan en el torrente sanguíneo de acuerdo con la última gráfica y la velocidad de eliminación del medicamento disminuye en forma directamente proporcional a la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo. Si representamos la concentración del medicamento en función del tiempo como C(t), la velocidad estará dada por:

donde es la constante de proporcionalidad entre las dos variables y la velocidad de eliminación es negativa porque la concentración disminuye. Desde el punto de vista matemático la velocidad es equivalente a la pendiente de la curva y también a la derivada de la variable dependiente con respecto a la independiente, con lo que se forma una ecuación diferencial que es resoluble con cálculo integral elemental.

El propósito de todo este análisis es tanto mantener la dosis de un medicamento en un nivel que no sea tóxico durante cierto tiempo, como no permitir que baje de un nivel que no sea curativo, entonces no va a interesar una sola dosis, aunque sí importa cuanto se tarda en consumirse esa dosis. No se puede aplicar todo el medicamento necesario en una sola toma porque equivaldría a sobrepasar el tope máximo, por lo regular cuando se receta una medicina no se sugiere una toma sino varias a intervalos regulares, cuando la concentración en la sangre deja de ser curable. Entonces la gráfica del proceso sería la unión de varias gráficas de una sola toma. Pero además, hay que considerar el comportamiento de la concentración en sangre antes de que se alcance la dosis deseada, es decir, la forma en cómo se incrementa hasta alcanzar la concentración deseada en sangre.

Lo que significa que cada vez que el medicamento tienda a estar por debajo del nivel curativo es necesario tomar la siguiente dosis. Esto es, cuando la gráfica del comportamiento de la concentración del medicamento en el cuerpo cruce la recta del nivel no curativo será necesario incrementar la concentración del medicamento para que no deje de estar en el cuerpo humano en concentraciones apropiadas.

La gráfica de la concentración del medicamento en el cuerpo deberá quedar de la siguiente forma, mientras el enfermo necesite la medicina:

"Cambio" de Ian Stewart.

Capítulo 5 de "La Enseñanza Agradable de las Matemáticas" de L. Steen (Editor), Limusa-IPN, México, 1999.

Todo fenómeno natural, desde las vibraciones cuánticas de las partículas subatómicas hasta el propio universo, es una manifestación del cambio. Los organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones día con día o de un año a otro. La historia, la política, la economía y el clima están sujetos a cambios constantes y con frecuencia desconcertantes.

Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las mareas. Otros parecen más complicados: las recesiones económicas, los brotes de enfermedades, las condiciones meteorológicas. Cambios de toda índole influyen en nuestras vidas.

Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el- mundo cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones ocultos en los eventos que a primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es necesario:

Representar los cambios en una forma comprensible,

Entender los tipos fundamentales de cambio,

Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran,

Aplicar estas técnicas al mundo exterior, y

Controlar un universo cambiante para nuestro mejor provecho.

El medio más eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemáticas. Con las matemáticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemáticas son el summum en la "transferencia de tecnología": los patrones percibidos en un ejemplo individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de los negocios.