Material de apoyo a la docencia: estudio didáctico de la relación de la Matemática de los griegos en el proyecto escolar (Cuba) (página 2)

El material condensa los resultados investigados del levantamiento de varias informaciones y detalla los comentarios que se consideran irrefutables en su enfoque cultural; por esta razón el lector puede profundizar, según sus intereses, siguiendo la bibliografía que se plantea al finalizar el trabajo.

El Período Jónico posibilitará el encuentro de usos ingeniosos para tratar dentro del trabajo con variables, la forma en que se resolvieron problemas de formulaciones como la obtención del cuadrado de una suma o una diferencia de dos segmentos, el fundamento del enunciado del teorema demostrado por la escuela de Pitágoras a partir de lo anterior y que permite una vía más en la cual no hay necesidad de utilizar las relaciones de igualdad de triángulos que planteara siglos después Euclides de Alejandría y que aparece reflejada en la edición de Matemática de séptimo grado para la demostración de dicho teorema; además es aconsejable familiarizar a los alumnos con la formación de las ternas pitagóricas de las escuelas mesopotámica, pitagórica y platónica y valorar la inteligencia desarrollada por todos estos matemáticos para solucionar todos los problemas en los cuales hay sorprendentes resultados como los que son detallados en la geometría de Tales, la teoría de los números pares e impares de los pitagóricos, la esencia inicial del mínimo común múltiplo, su ideología compenetrada con la armonía de los números naturales y su creencia a la no existencia de otros números no medibles con la unidad que detallan los inicios de los enfrentamientos en los fundamentos de la Matemática.

Es difícil abordar en nuestra escuela el planteamiento de los tres problemas clásicos dados en esta etapa, pero conocerlos por los maestros es un paso de avance hacia la comprensión de las relaciones de la Matemática y la Filosofía y la estructuración dialéctica hacia su análisis lógico.

Si se tiene en cuenta que en el noveno grado de nuestra escuela el alumno debe recibir como contenidos los relativos a la semejanza de figuras cuya esencia cardinal está orientada por el conocimiento de proporcionalidad, entonces se hace importante el estudio de la obra de Tales y también valorar cómo utilizando este recurso resolvían los griegos problemas relativos a la determinación de la solución de ecuaciones del tipo a.b = c.x donde a, b y c eran cantidades conocidas y x la incógnita, pero que permiten mostrar cómo eran resueltas las ecuaciones lineales a.x = b si se tiene en consideración que c = 1 en este caso.

Para el maestro ya está dada en este momento la situación asociada a la concepción ideológica dentro de la Matemática a partir del pensamiento filosófico jónico en sus inicios y su contraposición a los procedimientos que fueron empleados por los pitagóricos al renunciar al criterio de la práctica en el campo de esta ciencia y que se enraiza posteriormente en la obra de Platón y su continua crítica a las formulaciones atomistas de Demócrito.

El Período Ateniense debe centrar su atención en las concepciones que tienen sus puntos iniciales en la desintegración de la sociedad de los pitagóricos y la creación de los fundamentos de los irracionales a partir de los segmentos inconmensurables; en este sentido debe destacarse la tarea desarrollada por los principales exponentes de este subdominio que pudo resolver sólo parcialmente la situación dada, pero que si se condensa a los planteamientos anteriores de los pitagóricos encuentran en la clase una salida positiva que es viable en la conducción del proceso de enseñanza.

Desde el punto de vista ideológico se debe valorar la actitud de Platón para la ciencia y en especial para el futuro de la Matemática como ciencia, pues su concepción filosófica idealista encontró y aún encuentra seguidores que se abren paso haciendo escuelas y enfrentando sus doctrinas dogmáticas a los fundamentos de las escuelas marxistas de vanguardia.

Al tratar los números irracionales puede hacerse mención a la manera con la cual los griegos de esta etapa mostraron la "creación de la construcción de los números inconmensurables" para lo cual se puede hacer uso de la formulación geométrico-aritmética de Teodoro de Cirene.

El período más rico de la creación matemática de los griegos, es sin dudas, el Período Alejandrino o Helenístico, los nombres de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo, Herón y Diofantos deben significar los resultados de esta ciencia en su paso a la perfección constante del tiempo y de los hombres.

En Euclides lo más significativo se relaciona con los contenidos geométricos del curso, pues como sistematizador de la ciencia tuvo un destacado papel que lo convierte en un representante necesario en la Matemática, sus trabajos deben estar en la preparación metodológica cuando de explicar la demostración de la no existencia de número racional cuyo cuadrado sea igual a 2 lo cual podrá tomarse para hablar del conocido método de extracción alterna que emplearan los antiguos para arribar a la conclusión de la existencia de irracionalidades.

Cuando se enfoque lo relativo a la determinación del valor de puede darse una explicación ilustrativa de cómo la humanidad a través de tantos años conquistó los resultados tan expresivos de dicha relación dado el objeto donde surgió, Arquímedes es uno de los representantes primeros de esta creación a la cual se pueden aliar los elementos del hombre físico, pero también patriota y resaltar sus habilidades científicas para dar a su método de pensamiento heurístico connotación universal.

Para todo profesor resulta agradable relacionarse con aquellos elementos estructurales de la formación de la Matemática y por lo tanto el estudio de los trabajos de Apolonio, Ptolomeo, Herón y Diofantos resultan muy necesarios, sobre todo si se tiene en cuenta lo notable para la cultura general del educador.

En el pensamiento matemático de Herón y sus trabajos hay una abundante carga de conocimientos políticos para enfrentar al esclavismo como sistema brutal de explotación, pero también se puede remarcar en esto la esencia del porqué algunos hombres, pocos en este momento, se podían dedicar a las ciencias.

Siempre que se habla de Grecia y del desarrollo de la Matemática aparecen los criterios de algunos investigadores de la Matemática de denominar a este último momento de la formación económica esclavista como Período de la Decadencia lo cual no es aceptado desde una concepción abierta hacia el materialismo ? dialéctico, pues ello no reconocería el papel preponderante de los trabajos de personajes célebres como Theón, Pappus, e Hipatya le brindaron la oportunidad al mundo moderno de conocer, tras sus hermosos comentarios, la maravillosa creación aritmética, geométrica, algebraica y astronómica que fueron enriquecidas desde que los hilos dejados por los egipcios y mesopotámicos, como tesoros de la cultura de la humanidad, fuesen continuados por los pueblos asentados en los territorios ocupados por los griegos.

INTRODUCCIÓN

La Matemática es la disciplina escolar que más horas ocupa en el trabajo de formación intelectual de los estudiantes y por esta razón conduce a veces a la reiteración de hechos que hacen de las actividades de los alumnos procesos mecánicos al no interiorizar los procedimientos de solución de forma consciente y segura.

Lo que a nuestro modo de analizar una determinada situación resulta elemental puede ser tan abstracto para los escolares que la atención en la tarea se desvía producto de la motivación para la actividad; cuya orientación para la acción no ha sido pensada con un fundamento psico – pedagógico adecuado por el maestro.

No sólo el dominio del contenido por parte del docente, ni los años de experiencia impartiendo clases de Matemática a determinado nivel son suficientes para lograr una concentración eficiente en la tarea prevista para cada complejo de materia que se presente; en auxilio de la información científica siempre es importante la ayuda del conjunto de recursos didáctico – pedagógicos que partiendo de los propósitos de nuestra labor se utilizan, con una efectividad correcta y que responden a los conocidos métodos, medios y procedimientos que apoyan tanto a las funciones didácticas de la clase como a las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática.

Contribuye a la cultura general del estudiante y desarrolla ciertos valores humanos, el conocimiento de la historia de la humanidad y como parte inherente de ella lo que se refiere a las ciencias, luego no se debe renunciar a este elemento tan significativo de la docencia y ello obliga al maestro a convertirse en un estudioso del origen, formación y desarrollo de la materia que explica a sus alumnos.

¿Dónde dejamos el importante pedazo de la historia de las ciencias en que nos sorprende el universo matemático de egipcios antiguos, de mesopotámicos, griegos y tantas otras civilizaciones que dejaron una profunda e incuestionable huella en la cultura humana?

El uso de manera frecuente de los recursos didácticos, con elementos historiográficos, en las clases de Matemática puede contribuir a despertar en los alumnos el interés por la lectura y moverlos hacia la investigación, conducirlos a valorar dando más importancia a todas aquellas cosas que aparecen como métodos y fundamentos del desarrollo histórico – científico de la humanidad y que repercuten en la asimilación de sus propios conocimientos.

Sustituciones sencillas y comprensibles que faciliten el camino hacia el dominio del contenido son fuentes de valor inigualable cuando de enseñar a trabajar en Matemática se trata, por ello se hace necesario acudir de forma casi cotidiana al uso de materiales que refuercen los objetivos instructivos de la clase: retrotransparencias, comentarios de libros y películas que reflejen cuestiones interesantes de la historia de las civilizaciones así como el magnífico recurso que hoy da la computación educacional al desarrollo intelectual del hombre.

La valoración de lo ya planteado permite la presentación de las siguientes interrogantes:

¿Cómo puede combinar de modo activo y creador el docente, la función instructiva de la clase con los recursos de la historiografía para desarrollar en sus alumnos, desde una posición materialista, la concepción científica del mundo?

¿Cómo puede auxiliar la Historia de la Matemática el tratamiento de conceptos y definiciones, así como de teoremas y sus demostraciones, desde una posición didácticamente viva para el alumno?

En el marco en que se dan todas estas situaciones se producen los motivos que nos han conducido a " brindar a los docentes un material de apoyo a la docencia relacionado con el origen, desarrollo y evolución de los principales complejos de materia que estas presentes en la Matemática de nuestra escuela secundaria con la vigencia del acontecer de la Grecia Antigua y la presencia de sus principales exponentes ".

Todo esto lo hemos podido considerar desde el análisis realizado a los planes de estudios de las carreras pedagógicas que tienen perfil matemático ? Profesoral Superior, Profesoral de Secundaria Superior (de Matemática ) y Licenciatura en Educación de las variantes A, B, C y C modificado ? de cuyo estudio hemos evaluado el nivel de preparación de nuestros profesionales en relación con los conocimientos de la Historia de la Matemática.

El conocimiento de la Historia de la Matemática posibilita el desarrollo técnico- metodológico para lograr con su mayor efectividad el proceso de enseñanza a la vez que permite la elevación del nivel científico – cultural de los colectivos escolares.

Se sabe que la situación académica actual de los alumnos obliga a todos los colectivos de maestros a hacer un análisis pedagógico de la motivación, con el propósito de describir el proceso de enseñanza – aprendizaje como actividad dialéctica, como proceso que tiene sus fines bien definidos y que deja en el alumno una huella donde se aprecian no sólo valores académicos sino también de respeto a los hombres, con una cultura tal que les permita vivir en sociedad, reconociendo que cada generación ha dado su aporte al desarrollo de la civilización humana y que por ello merece una alta estimación, seguros de que en tales circunstancias el conocimiento de la historia de la ciencia es un elemento dinámico en manos de un buen profesor.

Por sus valores heurísticos, la historia nos brinda un panorama general de las direcciones principales de investigación en diferentes momentos, bajo determinadas condiciones de carácter socio – económico relativas al propio desarrollo lógico de conceptos y teorías. La metodología nos posibilita tomar conciencia sobre el método dialéctico de formación y fundamentación del conocimiento matemático: la historia y metodología de la Matemática nos ayudan a introducirnos en el laboratorio de la creación científica y en la lucha de ideas dentro del proceso de investigación.

Por su valor comunicativo, el conocimiento de la Historia de la Matemática nos brinda un lenguaje común para todos, un vínculo y un modo fácil de intercambio de ideas, además, desde el punto de vista pedagógico, a través de las referencias históricas, en la introducción de un nuevo concepto o teoría, tanto en la enseñanza media como en la superior, podemos activar el proceso del pensamiento y convertir la clase en una verdadera "fiesta intelectual".

Por su valor educativo, la Historia de la Matemática pone ante nuestros ojos ejemplos ilustrativos de la vida intelectual de los grandes matemáticos lo cual no sólo posee un inmenso valor heurístico, como antes señalamos, sino es un magnífico recurso para la educación integral: en los ejemplos del pasado se educa a la juventud en el arte del descubrimiento, pero también en el espíritu de sacrificio y de consagración a la ciencia, de la honradez y la modestia, de los valores morales necesarios de todo el acontecer científico.

No se está brindando una formación integral desde la enseñanza de la Matemática si sólo le presentamos a los educandos sus bellos teoremas expuestos por los eminentes hombres de la historia como sorprendentes y acabados resultados – ¡ qué realmente lo son! – sin exponer los fallidos intentos, las diferentes variantes experimentales y las motivaciones de cada investigador. ¡Cuánto valor heurístico y educativo se oculta en el análisis de la forma de trabajo de nuestros antiguos investigadores!

En resumen, la Historia de la Matemática apoyada en unos profundos conocimientos metodológicos debe ser un ingrediente fundamental de todos los cursos: al nivel de la enseñanza general porque ayuda a la motivación del escolar medio – superior, pues evita la enajenación que los enfoques contemporáneos más abstractos y formales ofrecen y humaniza el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática, dándole a la fría osamenta de las estructuras y teoremas, la sangre vital y los canales comunicativos que necesita la clase para su real activación.

Como se ha de suponer todo esto nos obligó a ejecutar un número importante de tareas que pudieran posibilitarnos el cumplimiento de nuestro propósito:

2. Hacer un levantamiento bibliográfico para comprobar si existen trabajos en esta dirección en nuestro ISP y territorio con la óptica del auxilio para el maestro.
3. Realizar un estudio de los programas de la secundaria básica cubana, identificando desde él las invariantes más significativas.
4. Constatar la situación del personal docente en relación con el uso de medios de enseñanza en las clases a partir de la concepción de los sistemas de clases.
5. Valorar la utilización de los recursos históricos de la Matemática para presentar contenidos de esta asignatura y responder a la actividad de formación de valores.
6. Fichar información actualizada sobre la Matemática en la Grecia Antigua.
7. Solicitar criterios a profesores de experiencia sobre la utilización e importancia de los recursos históricos en la clase de Matemática.
8. Redactar el material.

CAPÍTULO 1

La parte teórica de las Matemáticas tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia antigua. La contribución de estas escuelas al desarrollo de la ciencia es tan significativa que incluso en nuestra época "las ciencias naturales teóricas, si quieren seguir la historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los griegos"[1;51p]

No es asombroso que en la Matemática los griegos vieran, no sólo un medio práctico útil, sino ante todo, la expresión de la profunda esencia del mundo, algo relacionado con la verdad y la naturaleza de las cosas. En el contexto de concepciones antropomórficas y mitológicas donde lo real estaba muy cerca de lo fantástico, ella aparece como un conocimiento de una naturaleza completamente distinta, cuya veracidad no promovía ninguna duda, cuyos hechos primarios eran claros y las conclusiones eran irrevocables, absolutas.

Así se mistificó la Matemática, haciendo de ellas el punto de partida para todas las reflexiones en la descripción de la realidad.

Con las características del pitagorismo y el atomismo matemático se comienza el análisis del surgimiento y desarrollo de las principales crisis en los fundamentos de la Matemática; la crisis en estos, dentro del período de su formación como ciencia ligada al descubrimiento de los "inconmensurables", produjo constantes reflexiones entre los matemáticos y filósofos sobre los principios teóricos del conocimiento matemático. Para salvar estas contradicciones, bien apuntadas por Zenón y más tarde por Aristóteles, entre otros, los matemáticos del mundo antiguo se negaron a la utilización en la Matemática de la idea de infinito y de movimiento o tratar de utilizar tales ideas en un mínimo. Así surgen las matemáticas de las magnitudes constantes que con la obra de Euclides reciben un impulso considerable el cual se va a concretar con su influencia en toda la Matemática hasta la aparición de la Geometría Analítica Cartesiana y más tarde con la Geometría no – euclidiana. En los "Elementos" de Euclides, la crisis en los fundamentos de la matemática se supera, pero sólo, por supuesto, desde el punto de vista del mundo antiguo, pues ni en todos sus aspectos ni de una forma precisa se resuelven todas las contradicciones, como el mismo Euclides tuvo que reconocer.

La exigencia objetiva del tratamiento riguroso del "arte" del pensamiento matemático impuso a los matemáticos de la Antigua Grecia, la realización de un análisis del conglomerado de hechos matemáticos acumulados. Este análisis permitiría:

– Encontrar las más simples y usadas concepciones matemáticas, las cuales juegan en el arte del pensamiento matemático el mismo papel que las categorías más simples de la gramática en el discurso humano.

– Clasificar, organizar y unificar estos "elementos" del pensamiento matemático.

– Formular, explícita, sucesiva y unívocamente, las reglas típicas de constitución de estos "elementos" en concepciones matemáticas más complejas.

Así, al comienzo, la forma deductiva de la organización de los resultados matemáticos no tenía como objetivo la absoluta fundamentación de la matemática ni el descubrimiento de nuevos hechos, lo principal era permitir el efectivo estudio del arte de operar con las concepciones matemáticas ya descubiertas, y la sistematización de los resultados encontrados: el canon de los fundamentos de la matemática aparece en las etapas del desarrollo de esta ciencia vinculada a las diferentes revoluciones o crisis que se produjeron al entrar en contradicción el caudal de conocimientos acumulados con las nuevas exigencias de la práctica social.

En fin de cuentas, lo que interesa actualmente, tanto para la formación de investigadores como de profesores de Matemática, es encontrar los recursos didácticos conducentes a una educación activa y que brinden amplias perspectivas al futuro profesional de esta asignatura, en tales condiciones el enfoque histórico – metodológico emerge como un recurso insoslayable.

Las matemáticas constituyen una de las formas más abstractas de la creación intelectual, sin embargo, están íntimamente asociadas al lenguaje y a la escritura de los hombres y forman parte de sus interrogantes prácticas o teóricas, es decir, de la historia de sus culturas.

En el desarrollo de estas se destacaron los egipcios, mesopotámicos y griegos. Los dos primeros eran expertos en métodos prácticos y ya habían acumulado una gran riqueza de resultados geométricos y aritméticos antes que los primeros viajeros griegos trabaran conocimientos con las matemáticas. Las antiguas civilizaciones no cedieron sus secretos maravillosos, ni descubrieron su naturaleza interna hasta que su visión imaginativa se percató de ello.

Desde los siglos VIII y VII a.n.e se desarrolla en Grecia la sociedad esclavista antigua. Esto trajo consigo una agudización de la explotación. Los esclavos, catalogados como herramientas parlantes o animales, constituyeron entonces la base de partes esenciales de la producción. En Atenas, de 320 000 habitantes solamente 172 000 eran jurídicamente libres, de estos, aproximadamente una tercera parte estaba en posesión de la ciudadanía ateniense que le permitiera participar en la vida política. La agudización de la explotación ofrecía a un determinado número de personas, naturalmente esclavista, la posibilidad de separarse del proceso de producción directo y dedicarse al arte, la cultura, la filosofía y la ciencia.

Dos sistemas de numeración emplearon los griegos; uno, probablemente el más antiguo de los dos, constaba de signos especiales, la mayoría de los cuales eran las iniciales de los nombres de los números, el otro estaba formado por las letras del alfabeto y unos cuantos símbolos más; se dividía en tres grupos:

Téngase presente que los griegos no cultivaron la noción del "cero". La geometría fue el primer cuerpo de doctrina científica que ellos separaron de la filosofía.

Acerca de las causas de la transformación de las matemáticas en una ciencia existen varias hipótesis. Al parecer, no hay dudas que las primeras teorías surgen en la Antigua Grecia, aproximadamente en el siglo VII a.n.e. Se diferencian cuatro períodos en lo que se refiere a método, contenido y alcance.

PERÍODO JÓNICO

Un primer período, temprano o de preparación, se denominó por su estrecha relación con los naturalistas jonios, Período Jónico, y se remonta desde las postrimerías del siglo VII a.n.e hasta mediados del siglo V a.n.e.

Los pobladores de la zona Egea, que abarcaba desde el Ática a Quíos y Samos, y la vecina costa de Asia Menor, se convirtieron en los griegos jonios ( anexo ? 1 y 2 ). La Grecia Jónica constituyó la principal creadora de la cultura helénica.

En esta época se forma en las ciudades – estado jónico – griegas una atmósfera intelectual favorable para el surgimiento del pensamiento científico. Así lograron los griegos el mérito de desarrollar partiendo de una matemática surgida casi empíricamente y practicada a modo de recetas, una ciencia matemática sistemática, independiente y expuesta de forma lógico – deductiva, con métodos y objetivos específicos.

Los institutos griegos de " enseñanza superior ", en el ambiente de la intelectualidad de las ciudades jónicas, se convirtieron simplemente en grupos de personas que se agruparían para discutir asuntos filosóficos o charlar acerca de temas interesantes.

Los conocimientos matemáticos en este período estaban totalmente incluidos en la filosofía. Se introducen demostraciones de teoremas sobre la base de la acumulación y el conocimiento de las relaciones matemáticas. El tesoro de sus experiencias, que en parte pudo tomarse de Mesopotamia y Egipto, adquirió entonces una estructura lógica, y se llevó a la clara diferenciación conceptual de los términos premisa, teorema y demostración: había nacido la Matemática.

Sobre la base de una posición materialista – espontánea y dialéctica en la búsqueda de las causas los filósofos de esta época consumaron el tránsito de la clasificación y acumulación de fenómenos naturales hacia el intento de comprensión y explicación de la naturaleza. En esta filosofía se trataba del comienzo de una nueva etapa en la que a la pregunta sobre el origen del mundo se le trata de dar una respuesta sin misticismo, producto del intento de no sólo describir el mundo sino también de explicarlo.

La ciudad de Mileto, por los contactos que tenía con el interior de Asia Menor, se convirtió en centro de distribución de productos comerciales. En ella actuaban los filósofos naturalistas jónicos más notables, entre ellos Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. También pertenecen a este período Demócrito de Abdera e Hipócrates de Quíos. Por otra parte, se fundó en Italia Meridional, la escuela pitagórica, bajo la dirección de Pitágoras. Sus seguidores brindaron notables aportes al desarrollo de la Matemática. Al final de esta etapa se destacó Arquitas, poderoso señor de la ciudad de Tarento ( anexo ? 1 y 2 ).

Entre los primeros viajeros griegos se encontraba Tales, de la ciudad de Mileto (640-550 a.n.e). Fue el primero de los filósofos de la naturaleza que conoció bien los datos compilados de los babilonios. Como muchos comerciantes de su tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero diferenciándose de otros, dedicó su ocio a la filosofía y a las matemáticas. Comprendió lo que había visto en sus viajes, particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto, fue uno de los siete sabios de Grecia y el primero en poner de relieve el verdadero significado del saber científico egipcio. Según dicen introdujo en el mundo griego la geometría tomada de Egipto. Se le han atribuido las proposiciones:

• Todo diámetro biseca al círculo.
• El ángulo inscrito en un semicírculo es recto
• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
• Los lados correspondientes a ángulos iguales en triángulos semejantes son proporcionales.

Además, los teoremas de igualdad de los ángulos opuestos por el vértice y el de la congruencia de los triángulos que tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él.

Aunque simples, estas proposiciones marcan una época y elevan los infinitos detalles de la medición egipcia a verdades generales.

En esta "Geometría de Tales" también tenemos el origen del álgebra; así el teorema de que el diámetro biseca al círculo, constituye una verdadera ecuación y en su experiencia para determinar la altura de la gran pirámide comparando su sombra con la de una vara vertical, se aprecia la noción de razones iguales o proporciones, a él se debe la idea de abstraer todo volumen y extensión superficial de una figura material y considerarla un modelo de línea. Indicó la importancia del lugar geométrico o curva trazada por un punto que se mueve según una ley definida; se conoce como el padre de la matemática, la astronomía y la filosofía griegas, combinó una perspicacia práctica con la sabiduría auténtica, pues sustentó la existencia de lo abstracto y más general lo cual para él era más valioso para un estudio profundo que lo intuitivo o sensible. Lo anterior le es atribuible como filósofo.

Los inicios de la matemática griega se caracterizaron por una mezcla particular de los razonamientos e ideas aritméticas y geométricas, que corresponden más bien a nuestra actual estructuración de la Matemática que a las circunstancias históricas en que la geometría y la aritmética o el álgebra se tratan por separado.

La tradición aritmético – algebraica mesopotámica se hace particularmente evidente en la escuela pitagórica, (Samos) donde se brindó un notable aporte al desarrollo de la Matemática. El efecto social de las enseñanzas pitagóricas fue una clase dirigente nueva, cuyos miembros eran seleccionados según la educación, pero que poseían, la mayoría, los atributos del sacerdocio. Contribuyó de gran manera al progreso de la noción racional del universo.

Las fuentes para el estudio del pitagorismo son escasas pues Pitágoras (569 ? 500), más que una escuela libre, como eran las de todos los filósofos griegos, fundó un misterio con pruebas, iniciaciones, lenguajes simbólicos y obediencias exageradas a la palabra del maestro, en la asociación pitagórica entre los amigos se observaba una completa fidelidad, era condición esencial de la escuela la incomunicabilidad del pensamiento, se sabe que Aristóteles escribió varios libros sobre el pitagorismo, pero estos no han llegado hasta nosotros, y hoy todas las fuentes antiguas para el conocimiento de tan importante escuela filosófica se reducen a lo recopilado por Stobeo, un compilador griego de la época, que ha conservado los fragmentos de Arquitas y los de Filolao, pero ninguno fue discípulo directo de Pitágoras, y en Arquitas, uno de los más próximos al tiempo en que floreció el filósofo de Crotona, se ve clara y palpable la influencia socrática de donde se piensa que lo enseñado como doctrina de Pitágoras tal vez no sea más que una evolución o transformación del verdadero pitagorismo.

En la actualidad se conoce que la doctrina de Pitágoras es principalmente matemática, que surge de la consideración de los números y las figuras, el número es la unión de lo uno y lo vario, o de lo par y de lo impar, a su vez los cuerpos sólidos se componen de superficies y líneas y estas de un determinado número de puntos que son simples y semejantes a las unidades aritméticas. El pitagorismo coloca la unidad, consecuencia necesaria de sus deducciones matemáticas, por encima de todo lo que es, como principio y como elemento; esto pasó de Platón a los filósofos alejandrinos y aún en la Edad Media se hallan vestigios de él.

Encontramos el uso de la media aritmética , geométrica y armónica .

Se conocía el trío de soluciones a la ecuación de las variables a, b y c que tiene la forma:

a2+b2=c2, donde los valores de a, b, c se determinan por las expresiones: a=u2-v2 ; b=2uv y c=u2+v2 , donde u y v son dos números enteros, con u mayor que v; esta fórmula da solamente la llamada serie primitiva, ( aportada por los estudiosos de Mesopotamia) en la que a, b y c no tienen ningún factor común.

Los pitagóricos encontraron el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos que tienen la forma:

a=

b= m

c=, donde m es un número impar.

Posteriormente Platón daría a conocer una nueva serie con la siguiente forma:

a=

b = n

c = , donde n es un número par.

De época relativamente temprana data la llamada "Teoría del par o impar"; esta apareció posteriormente en el libro IX de los Elementos de Euclides.

Allí se demuestran teoremas tales como:

"Toda suma de números pares es par"

"La suma de una cantidad par (impar) de números impares es par (impar)"

"Un número impar que divide a un número par divide también a sus mitades". [2;32p]

El punto culminante de la teoría pitagórica del "par" o "impar" es el teorema que plantea que los números de la forma: 2n (1+2+22+… +2n) son perfectos si la expresión del paréntesis es un número primo – un número "a" es perfecto si es igual a la suma de sus divisores incluyendo al 1, pero no a sí mismo -. Los pitagóricos daban como ejemplos: 1, 6, 28, 496 y 8128.

Posteriormente aparece la teoría de las razones numéricas y la de la divisibilidad, estas partes se incluyeron en el libro VII de los Elementos del griego Euclides, siglos después.

Se halló un equivalente para las fracciones, precisamente el de las razones numéricas: en lugar de simplificar una fracción se "simplificaban" razones numéricas. La acción de igualar los denominadores condujo lógicamente al estudio del mínimo común múltiplo de los números. La teoría de las proporciones, de los números naturales, se basaba en la siguiente definición: "Los números se encuentran en proporciones, si el primero es del segundo múltiplo o la misma parte o el mismo conjunto de partes como el tercero es del cuarto".[2;32p]

La teoría de la divisibilidad se basaba en las siguientes definiciones:

"Número primo es un número que solamente puede medirse por la unidad".

"Primos entre sí, son los números que solamente pueden medirse por la unidad como medida común".[2;32p]

En lugar de la formulación más abstracta de un teorema (actualmente usual y posible) sobre la unicidad de la descomposición en factores primos, aparece el teorema siguiente (que presta igual servicio desde el punto de vista de la técnica de la demostración): "Si un número primo divide al producto de dos números, entonces divide a uno de estos números"[2;32p]. Este teorema se demuestra mediante el empleo del concepto "máximo común divisor".

Las noticias o informaciones sobre la geometría pitagórica temprana son bastante inseguras. Es posible que Pitágoras haya conocido el núcleo del llamado teorema de Pitágoras en Babilonia; de él o de sus alumnos podría provenir una demostración.

Una forma en que aparece demostrado el teorema parte del análisis geométrico a partir de la relación de áreas y del método de anexión, conocido ya, y es la siguiente:

Sobre un cuadrado ABCD (fig – 1) de lado AB = a + b se sitúan sobre uno de ellos los segmentos a y b y sobre el consecutivo b y a en ese orden y se trazan los segmentos que determinan sobre el cuadrilátero dos rectángulos y dos cuadrados, es decir, el área de esta figura se ha dividido en forma tal que se corresponde con la conocida expresión del Período Jónico: "(a + b)2 =a2+ 2ab + b2"; luego se toma el mismo cuadrado (fig – 2) y sobre este se sitúan a partir de un vértice y de forma consecutiva los segmentos a y b determinando sobre cada uno de los lados un punto que al unirse forman un cuadrilátero para el cual es fácil demostrar que es un cuadrado, o sea el área del cuadrado es igual, si llamamos c al lado de este cuadradillo incluido, a la expresión matemática: de ello se establece, en nuestra notación, la siguiente igualdad:

de donde resulta la relación pitagórica formulada en el teorema.

La escuela pitagórica formuló este teorema, el cual plantea: (fig-3) "En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más (menos) , el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"[3;326p] es decir:

a2 = b2 + c2 + 2bpc (b2 = a2 + c2 – 2apc)

fig – 3

También fue encontrado un enunciado análogo al teorema de Pitágoras, nombrado Teorema de la Geometría del Espacio (fig-4) el cual plantea que: la diagonal d de un paralelepípedo recto de lados a, b, c cumple: a2+b2+c2=d2 [3;326p]

fig – 4

De esta época debe datar también la demostración actualmente utilizada del teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo (fig-5), mediante el empleo del concepto ángulo alterno.

SeaABD y se traza por A la paralela AE a BD. Puesto que BD y CE son paralelas y los ángulos alternos son iguales, CAB= ABD, y EAD= ADB. Entonces: CAB + BAE = 1800

CAB+BAD+DAE = CAB+BAE

Luego, BAD+ADB+DBA = 180O.

fig – 5

Los pitagóricos de la primera época conocían ya el hexaedro regular, el tetraedro y el dodecaedro. De este último es asombroso el conocimiento que poseían.

Arquitas de Tarento que se encontraba muy cerca de los pitagóricos y era señor de esta ciudad – estado del sur de Italia, encontró tiempo para participar activamente en la vida pública de su ciudad y fue conocido por su ilustrada actitud en el tratamiento de los esclavos y en la educación de los niños. Mediante su obra Platón se familiarizó con la Matemática. Con Arquitas, quien rindió por sí mismo notables aportes a la Matemática, especialmente a la teoría de la divisibilidad y al problema que se reducía a encontrar la posición de cierto punto en el espacio, llegó la fase más importante de la asociación de los pitagóricos.

En estrecha relación con su obra se da el hecho de que en aquel momento se formó, como elemento unificador de la asociación pitagórica un tipo de ideología orientada por la Matemática, según la cual la interpretación del mundo como un todo y particularmente, esta ciencia, podía basarse en los números enteros y las razones de estos: a lo cual denominaron "arithmetica universalis".

Dentro de la escuela pitagórica, aunque no posterior al 420 a.n.e se descubrió que existen segmentos no medibles recíprocamente (inconmensurables), cuyas longitudes no pueden expresarse mediante la razón de números enteros (utilizando una expresión moderna: existen números irracionales) . Este descubrimiento incompatible con la idea de una "arithmetica universalis", contribuyó, entre otros aspectos de orden social, a la destrucción de la asociación de los pitagóricos.

Es casi seguro que el pentágono regular es la figura matemática en la cual se puede demostrar relativamente fácil la inconmensurabilidad (fig-6), precisamente con el antiguo método de "extracción alterna ".

fig – 6

Las diagonales de un pentágono regular forman nuevamente un pentágono regular y así sucesivamente, entonces se cumplen en los pentágonos surgidos mediante el encaje, las relaciones AE'=AB' y B'D=B'E' y por eso AD-AE=B'E y análogamente AE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E y resulta AE-B'E'=B'A' y así sucesivamente, sin que se llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado del pentágono mayor es igual a la diagonal del pentágono menor, la diferencia entre el lado del pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor es igual al lado del pentágono menor; la diferencia entre la diagonal del pentágono menor y su lado es a su vez igual a la diagonal del pentágono menor inmediato, y así hasta el infinito. [2;34p] El proceso de extracción alterna puede continuarse, y por eso no puede hallarse una medida común máxima para la diagonal y el lado del pentágono regular, por tanto: existen segmentos recíprocamente inconmensurables.

Otro destacado matemático de este período fue Demócrito de Abdera (460-370 a.n.e). Carlos Marx lo llamó la primera mente enciclopédica de los griegos; y Vladimir Ilich Lenin lo definió como el más caracterizado representante del materialismo en la Antigüedad. Gastó toda su fortuna heredada de su padre en la búsqueda de conocimientos, pero su riqueza se ha conservado y se multiplica, esta riqueza recibe el nombre de ciencia. Con su propia vida, Demócrito demostró qué constituye un verdadero valor, y qué un falso valor; qué es eterno, y qué perecedero; qué es digno del hombre, y qué indigno de él. Gracias a él la filosofÍa de la naturaleza llega a su punto culminante, con un esfuerzo de explicación del universo en función de lo puramente fIsico y material. Ha sido famoso, desde tiempos lejanos, como el creador de la teoría atomista, su obra matemática sólo ha visto la luz muy recientemente, esto sucedió en 1906 cuando se descubrió un libro perdido de Arquímedes titulado "Método", donde él considera a Demócrito como el primer matemático que estableció correctamente la fórmula del volumen de un cono o de una pirámide, "cada uno de estos es la tercera parte de un cilindro o un prisma, circunscrito con la misma base" [4,42p] . Para alcanzar estas conclusiones, consideró estos sólidos como si estuvieran formados por innumerables capas paralelas; en el caso del cilindro no había ninguna dificultad, pues todas las capas serían iguales; pero en el cono o en la pirámide el tamaño iría disminuyendo de capa hasta llegar a un punto. Los tamaños menguantes le confundían: " ¿ son iguales o desiguales? ", Preguntaba: " pues si son desiguales, el cono será irregular, como si tuviera muchas incisiones, como escalones, y asperezas; pero si son iguales, las secciones serán iguales y el cono tendrá la propiedad del cilindro y estará formado por círculos iguales, y no desiguales, lo cual es totalmente absurdo " [4, 42p].

La noción de que un cuerpo geométrico podía considerarse como formado por una capa sobre otra, se le aparece con toda naturalidad a Demócrito por ser éste un físico. Esto no se le hubiera ocurrido tan fácilmente a otros matemáticos con su modo de pensamiento más algebraico, que les atraía hacia las normas u orden de las cosas, aquí el agudo pensamiento griego se muestra impaciente una vez más, pues aparece la infancia del cálculo infinitesimal, ninguna aproximación tosca e inmediata satisfará a Demócrito; existe una discrepancia entre la pirámide estratificada y el acabado liso del todo. La profundidad de la teoría de límites se halla en sus inicios, pero no se sabe hasta qué punto él instuyó alguna solución.

Sus escritos de Matemática se refieren, entre otros, a los tratados "sobre el contacto de la circunferencia y la esfera", "sobre Geometría", "sobre números", "sobre desarrollo" (o sea, aplicación de la superficie de la esfera sobre el plano).

En este rico período de la Matemática hay un notable aporte en los trabajos de Hipócrates quien vino de Quíos a Atenas a mediados del siglo V a.n.e, llegando a ser el geómetra más famoso de esta época. Fue el primer autor conocido que haya escrito un tratado de matemáticas elementales; dedicó especial atención a las propiedades del círculo. En su obra pueden hallarse resultados matemáticos interesantes: reconoció el nexo entre el ángulo central y el arco, pudo construir el hexágono regular y la circunferencia circunscrita a un triángulo, empleó el concepto de semejanza, sabía que las áreas de figuras semejantes se comportaban como los cuadrados de lados correspondientes. Su éxito principal es la demostración de la hipótesis que plantea que los círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto equivale al descubrimiento de la fórmula r2, del área del círculo en función de su radio, lo cual significa que existe determinado número y que es el mismo para todos los círculos, si bien su método no da el valor numérico real de . Llegó a estas conclusiones considerando el círculo como el límite de un polígono regular, ya sea inscrito o circunscrito. Este fue el primer ejemplo del método exhaustivo, una utilización particular de la aproximación por encima o por debajo del límite deseado. La introducción de este método fue un importante eslabón que culmina en la obra de Eudoxio y Arquímedes, además acercó un paso más a la perspectiva de descifrar el misterio de los números irracionales.

Su nombre se relaciona estrechamente con dos de los problemas clásicos más famosos de la Matemática: la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo que se detallarán más adelante.

La tradición aritmético – algebraica mesopotámica nunca se perdió en la Matemática Griega, las fuentes muestran que se asimiló el contenido de los resultados, se pueden encontrar las mismas formas normales para sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas, ejemplos con los mismos coeficientes numéricos, el empleo, entre otras cosas, de la media aritmética, geométrica y armónica entre otros detalles.

PERÍODO ATENIENSE

El segundo período de la Matemática Griega según nuestra periodización se le conoce como Periodo Ateniense y se enmarca aproximadamente entre los años (550-320/300) a.n.e.

En esta época Atenas alcanzó un lugar dirigente entre las ciudades – estado griegas, la democracia esclavista llegó a su máximo esplendor. Esta no se puede comparar con la moderna, la expansión económica griega tampoco puede compararse con ningún sistema de economía moderna. Los artesanos extranjeros encontraban allí empleo en empresas manufactureras y en el comercio. En esta ciudad existía una democracia esclavista, fundada en un excedente económico, donde se desarrollaba la minería y la industria, la cual no era manejada por sus ciudadanos. La sociedad ateniense era del todo masculina, pues la mujer era excluida de todas las labores sociales.

El contacto de los griegos con Egipto, Mesopotamia y Siria se estableció y se mantuvo merced a los marinos, mercenarios, comerciantes y viajeros que ya por el año 600 a.n.e eran bien conocidos.

En la cultura griega, sobre todo en la democracia, se consideraba que las obras realizadas por los individuos, representaban un servicio estimable; en Atenas se consideraban útiles el desarrollo de las aptitudes y energías individuales en actividades de toda suerte. El notable desarrollo intelectual y artístico fomentado por su régimen democrático fue producto de esa libertad. La concepción griega acerca del papel que desempeña el individuo en la vida del grupo tuvo sin duda hondas raíces en las circunstancias históricas de la evolución del pueblo helénico.

Hacia el año 460 a.n.e, al convertirse Atenas ( anexo 1 y 2 ) en el centro intelectual, comercial y político del mundo griego, empezaron a influir en el desarrollo de la filosofía circunstancias nuevas que dejaron libres las energías de los ciudadanos comunes. La victoria alcanzada contra los persas, en la batalla de Maratón y Salamina, inspiró a los griegos un sentimiento de superioridad con respecto a los pueblos del Antiguo Oriente, a quienes durante mucho tiempo habían considerado superiores. Con la expansión del comercio y la industria el acopio de riquezas se hizo más fácil, pero también provocó una emulación más intensa. En esta época la obra de los sofistas fue mucho más que un movimiento pedagógico: fue un movimiento ético preocupado por los problemas prácticos acerca de la virtud más grande, la validez subjetiva de la verdad.

En este período Atenas vivió un florecimiento cultural se edificó la Acrópolis, se crearon obras maestras de escultura, surgieron obras dramáticas, Sócrates, Platón y Aristóteles fundaron influyentes escuelas de filosofía. El idealismo filosófico especialmente el de Platón obtuvo el predominio sobre las tradiciones materialistas de la filosofía naturalista jónica.

Las relaciones de Platón con la Matemática datan de la época de su estancia junto a Arquitas. A partir de entonces Platón consideró la Matemática como el ejemplo de una ciencia que puede llegar a sus resultados mediante el simple pensamiento; esta actitud filosófica, significaba, por una parte, un fortalecimiento de la base metodológica de esta ciencia, la cual desarrolla deductivamente sus demostraciones a partir de definiciones y premisas, por otro lado, significaba, además, el fortalecimiento del idealismo objetivo filosófico. El platonismo estableció el subjetivismo como contenido del conocimiento y desde entonces penetró en el proceder de muchas corrientes y escuelas que se enfrentaron desde sus puntos de vistas.

En este contexto general comenzó la búsqueda de medios para superar las dificultades internas de la Matemática de este tiempo: existen segmentos recíprocamente inconmensurables, se les puede construir, pero no existe un número natural ni razón alguna de números que pueda ser equivalente aritmético del objeto geométrico. [2;36p]

Una salida a esta contradicción interna podría haber sido la elaboración del concepto número irracional, sin embargo, no se le dio solución en la antigüedad ya que conceptualmente no se manejaban los pasos al límite de forma general necesarios para su formulación completa. Así, la Matemática antigua avanzó más bien en otra dirección, mediante la elaboración del método bautizado por el historiador de las ciencias Zeuthen como "álgebra – geométrica", es decir, un tipo de Matemática que aborda los problemas algebraicos mediante construcciones geométricas, y que perduró por muchos siglos como lineamiento metodológico para solucionar gran cantidad de problemas.

Los elementos primarios del álgebra – geométrica resultaron los segmentos de rectas, con ellos fueron definidas todas las operaciones del cálculo:

– la suma se interpretaba como la adición de segmentos.( fig ? 7 )

fig – 7

– la diferencia como la eliminación de una parte del segmento igual al segmento sustrayendo.( fig ? 8 )

fig – 8

La multiplicación de segmentos condujo a la construcción de una representación bidimensional y el producto de los segmentos a y b se consideraba un rectángulo con lados a y b. El producto de tres segmentos daba un paralelepípedo, y el producto de un número mayor de factores en el álgebra – geométrica no podía considerarse. La división resultaba posible sólo bajo la condición de que la dimensión del dividendo fuera mayor que la dimensión del divisor. Ella se interpretaba como equivalente al problema de anexión de áreas:

Anexar al segmento c un rectángulo equivalente al dado (ab). La resolución del problema ( fig-9) consiste en la adjunción uno a otro de los rectángulos ab y bc en la construcción de un nuevo rectángulo, la diagonal del cual es la diagonal del rectángulo bc prolongada hasta la intersección con la prolongación del lado b, entonces los rectángulos ab y cx resultan equivalentes por tener sus áreas iguales y el problema está resuelto. El método de anexión de áreas descrito aquí, permitió resolver problemas que conducían a ecuaciones lineales y llevaba el nombre de método parabólico.

Con conocimientos elementales de geometría plana puede demostrarse que los rectángulos de área ab y cx son iguales, a partir de la relación entre los lados homólogos de los triángulos semejantes que se forman al trazar la diagonal.

fig – 9

En el álgebra – geométrica también se incluía el conjunto de proposiciones que interpretaban las identidades algebraicas (fig-10). Por ejemplo las interpretaciones geométricas de las identidades:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b + c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(a ? b)2 = a2-2ab + b2

fig – 10

(a ? b)2 = a2 ? 2b(a ? b) ? b2

= a2 ? 2ab + 2b2 ? b2

= a2 ? 2ab + b2

El método de anexión de áreas fue extendido también al caso en que la resolución del problema conduce a una ecuación cuadrática, ejemplos de tales problemas lo constituyen la determinación del lado del polígono regular inscrito: la llamada "división áurea" del segmento, esto es, la división del segmento a en dos partes: x y (a – x) que satisfacen la relación , además otro problema de la época constituyó la determinación de la arista cuya expresión x2= a ( a ? x ) da una forma de escribir con nuestra notación una ecuación cuadrática de la forma x2 + ax = a2, que tiene en sus inicios solución geométrica y sólo muchos siglos después solución aritmético ? geométrica y finalmente algebraica y otro caso es la expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la esfera circunscrita.

Es evidente que este método sólo daba una raíz positiva de la ecuación cuadrática. Los matemáticos antiguos comprendían la necesidad de formular las condiciones del problema del álgebra ? geométrica de manera que ellos, a ciencia cierta, tuvieran una solución positiva, por eso en los casos necesarios imponían limitaciones a las condiciones del problema. Estas circunstancias determinaban la limitación del campo de aplicación de este método. Aún más se limitaban sus posibilidades debido a que sus objetos eran figuras de dimensión no mayor que dos, los medios de construcción eran sólo el compás y la regla. Era posible imaginarse en los límites del álgebra ? geométrica operaciones con figuras tridimensionales. Los problemas que conducían a ecuaciones de grado mayor que el tercero, eran simplemente imposibles.

La insuficiencia del "álgebra ? geométrica" como teoría matemática general fue especialmente subrayada por la distinción de una clase de problemas que no admitían solución. Entre estos los más conocidos eran:

1- La duplicación del cubo, que está dado por la construcción de un cubo con arista desconocida x, pero que tiene un volumen el doble que el dado; este se reduce a la resolución de la ecuación cúbica: .

El primer éxito en la resolución de este problema lo alcanzó Hipócrates de Quíos (mediados del siglo V a.n.e) quien lo redujo al problema de la búsqueda de dos medias proporcionales. No se debe olvidar que los griegos no tenían notación algebraica adecuada como la actual sin embargo, hicieron el mismo razonamiento y llegaron a importantísimas conclusiones: el efecto fue, el paralelepípedo de volumen transformado en otro con base cuadrada de V=a2b, lo que se realiza con medios del álgebra – geométrica, es decir . La arista del cubo buscado se determina, según Hipócrates, por la proporción: , que incluye en su solución lo que en la teoría de las secciones cónicas define Apolonio, muchos años después como parábola e hipérbola y cuyas ecuaciones son x2 = ay, xy = 2 a2,, las cuales, al ser consideradas en conjunto, determinan un punto de intersección que es la clave del problema. Este es un ejemplo de solución sólida de la duplicación del cubo.

Las dos medias proporcionales entre a y b se determinaban como las coordenadas del punto de intersección de dos de estos lugares geométricos. Esto último recibió a su vez una interpretación estereométrica como secciones de conos de revolución.

Para la resolución del problema planteado por Hipócrates fueron elaborados nuevos métodos, en su mayoría se reducían a la investigación de lugares geométricos: x2 = ay, y = bx, xy = ab. La influencia de este problema expresa las causas para que las secciones cónicas entraran en las matemáticas, sólo después de muchos años el problema de la duplicación del cubo recibió solución definitiva. La historia de este problema constituye uno de los ejemplos de cómo transcurre el enriquecimiento de los métodos matemáticos, a partir de la manifestación clara de contradicciones surgidas en el plano de las relaciones sociales.

2-El problema sobre la trisección del ángulo, o sea, sobre la división de un ángulo arbitrario en tres partes iguales.

Este problema como el anterior, se reduce a la resolución de una ecuación cúbica, (lo que resulta al plantear la siguiente relación trigonométrica) cuya solución como planteamiento formulado obligó a los matemáticos de esta época al intento de crear dispositivos de trabajo que dieron respuesta efectiva, pues en el dominio del álgebra la ecuación a= no tuvo respuesta hasta que después de Cardano (1501 ? 1576 ) se perfilara la teoría de las ecuaciones algebraicas.

En términos trigonométricos se cumple que cos = , identidad que puede tomarse con facilidad de la expresión equivalente , la cual se puede probar con facilidad asumiendo que 3x = 2x + x y aplicando para el miembro derecho la identidad y sus consecuentes procedimientos.

Es así que en el siglo V a.n.e se aplicó, para la resolución del problema de la trisección del ángulo, una curva trascendente, la cuadratriz, definida de la forma siguiente:

Supongamos que en el rectángulo ABCD (fig-11), el lado BC se traslada paralela y uniformemente hasta coincidir con AD. Durante este mismo tiempo el lado AB gira alrededor de A en sentido de las agujas del reloj hasta su coincidencia con AD. El lugar geométrico de la intersección de estos dos lados forma una curva, la cuadratriz, cuya existencia permite reducir el problema de la división de un ángulo en cualquier número de partes iguales al problema de la división del segmento AB (CD) en partes iguales. El punto G es la intersección de la cuadratriz con el lado AB.

fig – 11

3-El tercer problema famoso de la antigüedad es el de la cuadratura del círculo, o sea, el problema sobre la búsqueda de un cuadrado de área equivalente a la de un círculo dado.

Este problema en la Grecia Antigua lo consideraban en dos aspectos: uno exacto y otro aproximado. El último enfoque del problema condujo a la introducción de aproximaciones del área del círculo por polígonos inscritos y circunscritos y al cálculo aproximado del número .

La enorme cantidad de esfuerzos por cuadrar exactamente el círculo no pudo conducir al éxito como consecuencia de la naturaleza trascendente de este problema. Los matemáticos antiguos, que se esforzaron por resolver con una exactitud teórica el problema, con sus trabajos trajeron al desarrollo de la Matemática gran utilidad, enriqueciéndola con nuevos hechos y métodos, como fue el de exhaución que es considerado por los investigadores de la ciencia como el predecesor del método de los límites; por vez primera en la Historia de la Matemática fueron halladas figuras cuadrables determinadas por líneas curvas.

Tenemos en cuenta aquí las lúnulas de Hipócrates de Quíos, formadas por arcos de circunferencias. En la (fig-12), la lúnula resulta ser igual al área del triángulo rectángulo isósceles ABC, cuya hipotenusa es el diámetro del círculo.

fig – 12

En la (fig-13), se puede enunciar la siguiente propiedad: si sobre los lados de un triángulo rectángulo, se construyen circunferencias, entonces la suma de las áreas de las lúnulas, que se apoyan sobre los catetos, será igual al área del triángulo, es decir, es cuadrable.

fig – 13

Vista históricamente el "álgebra – geométrica" se nos presenta como una solución exitosa en el trabajo con números irracionales, el cual ha hecho posible la perpetuación de la matemática griego – helenística. Los trabajos decisivos para la formación del "álgebra – geométrica" los realizaron tres matemáticos, los cuales, en correspondencia con los resultados de los pitagóricos, estaban vinculados a la escuela platónica o procedían de ella: Teodoro de Cirene, Theaitetos y Eudoxio de Cnido.

Teodoro de Cirene demostró ( fig – 14), formulándolo de forma moderna, que , , , . . . , son números irracionales. En su cita no ofrece información segura acerca de cómo se realizó la demostración, una suposición explica que su método consistía en una aplicación continua del teorema de Pitágoras para la construcción de segmentos con las longitudes , , , . . . , , y posteriormente en la aplicación del método de extracción alterna Del trazado se desprende inmediatamente por qué Teodoro terminó en , pues no se haría clara la idea de dichos trazados si se superpondrían los últimos sobre los primeros.

fig – 14

A partir de los casos especiales de longitudes irracionales de segmentos de Teodoro, Theaitetos expuso lo siguiente:

"…entonces se nos ocurrió, como los cuadrados en su conjunto parecen infinitos, tratar de agruparlos en un concepto común, para poder designar con este a todos sus cuadrados… Todos los números los separamos en dos clases: Aquellos que corresponden al producto de números iguales; a ellos los comparamos según su configuración con el cuadrado y los denominamos cuadráticos y equiláteros… los números intermedios a los que pertenecen el 3 y el 5 y todo aquel que no pueda corresponder al producto de números iguales sino al múltiplo de un número mayor y otro menor o de uno menor y otro mayor, de forma que en su representación abarque siempre uno mayor y uno menor, los comparamos con la configuración longitudinal del rectángulo y los denominamos números oblongos… todas las líneas que forman un cuadrado conmensurable por los lados y áreas las determinamos como longitudes; pero existen las que forman un polígono no equilátero, como aquellos cuadrados que no son conmensurables con otros en las longitudes, pero sí por el área cuyos cuadrados forman. Y con los números cúbicos es también similar".[2;39p]

Los resultados de Theaitetos constituyen el contenido del libro X de los "Elementos". En este libro las complejas situaciones aritmético – algebraicas de la clasificación de cierto tipo de irracionalidad se realizó de forma geométrica y todo sin usar fórmulas ni símbolos. Si se utiliza el lenguaje moderno puede explicarse que en ese libro la conmensurabilidad de segmentos se trata como una relación de equivalencia.

En estrecha relación con lo anterior, se aplican en el libro XIII resultados sobre clases especiales de irracionalidad cuadráticas al estudio de poliedros regulares lo cual culmina con la demostración perfecta de que existen exactamente cinco poliedros regulares los cuales se nombraron, según Platón, como formas fundamentales de los elementos y asoció el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el tetraedro con el fuego y el icosaedro con el agua; y que el creador del mundo había dispuesto este en forma de dodecaedro (fig – 15). La principal obra matemática de la antigüedad se vincula así a un enunciado sobre la concepción del mundo.

Fig – 15

Después de Teodoro y Theaitetos se mantuvo abierta aún la solución aritmética del problema de las irracionalidades; este lo trató de resolver Eudoxio; el matemático más importante de su época. Creó una teoría de magnitudes que incluía también magnitudes irracionales, aunque sin poder llegar explícitamente al concepto número irracional. Hasta ese momento el concepto proporción estaba unido a la premisa de que los números que se encontraban en proporción poseían una medida común, Eudoxio se liberó de esa definición al plantear: "… las magnitudes que tienen la misma razón deben llamarse magnitudes que están en proporción". [2;39]

Si empleamos la forma de escritura actual sería. Si a:b = c:d, entonces resulta para m,n mayores o iguales a 1 y ambos naturales cualesquiera: de na > mb resulta siempre nc > md; de na = mb resulta siempre nc = md; de na < mb resulta siempre nc < md. Esta definición de proporción no necesita premisa alguna sobre la conmensurabilidad de las magnitudes. Al mismo tiempo es adecuada para poder demostrar todos los teoremas conocidos sobre proporcionalidad.

Entre ellos halló la demostración, de los teoremas ya enunciados anteriormente por Demócrito de Abdera, que el cono es la tercera parte del cilindro y la pirámide la tercera parte del prisma cuyas alturas y bases coinciden.

Sobre este nuevo y seguro fundamento pudo alcanzar la Matemática alturas asombrosas durante el período siguiente, sin embargo quedaba un largo camino por recorrer hasta llegar al concepto exacto de número irracional.

En relación directa con esto, Eudoxio realizó una labor precursora en la creación de un tipo de análisis. Este tiene como base la idea de poder aproximar el área o superficie de figuras limitadas por líneas curvas mediante la inscripción o la circunscripción de polígonos, precisamente en el sentido de una aproximación arbitrariamente buena. Con estos principios para el tratamiento de valores extremos que existen desde un punto de vista geométricos, los cuales descansan en una demostración matemática antigua, especialmente con Arquímedes, probaron su utilidad y han llegado hasta la era moderna oponiendo desde el ingenio de sus creadores la utilidad del método heurístico como auxilio de aquellos que pertenecen al tipo denominado reductivo y que son principios estables del proceso de investigación científica.

CAPÍTULO 2

PERÍODO ALEJANDRINO O HELENÍSTICO

Se habla de una cultura y ciencia del helenismo, la misma surgió por la fusión y penetración de los resultados científicos y culturales de los griegos con las diferentes culturas de los pueblos del vasto territorio que abarca Macedonia, Grecia, Asia Menor y Central, zonas del sur y oeste de Europa, norte de África y partes de la India ( anexo 1 y 2 ).

En un lugar propicio, en la desembocadura de un afluente del Nilo se fundó en el año 331 a.n.e una de las muchas "ciudades de Alejandro", la cual conserva aún su nombre; Alejandría de Egipto. El joven príncipe y soldado Alejandro de Macedonia conquistó el mundo griego por medio de una serie extraordinaria de brillantes victorias y concibió la idea de formar un gran imperio. Geográficamente, Alejandría era el lugar de reunión adecuado para griegos, judíos y árabes. Allí se conservó, en grandes bibliotecas, lo más admirable de la filosofía griega, se perfeccionaron las matemáticas de los antiguos, esta se convirtió en el estado más importante del imperio de Alejandro, y en el centro científico cultural del mundo del helenismo.

Ocasionalmente se habla de Período Alejandrino porque en este tiempo el punto central e indiscutible de la vida cultural de esta región lo constituía Alejandría, pero a criterio de algunos historiadores de las ciencias se debía llamar Helenístico.

En los siglos III y II a.n.e, la ciencia matemática experimentó un auge: en Atenas, existía la Academia de Platón, el Liceo de Aristóteles y el llamado Jardín del filósofo materialista Epicuro, pero la mayoría de las obras que se conservan de esta época pertenecen a matemáticos relacionados de algún modo con Alejandría, capital de la dinastía griega de los Lágides que gobernaba Egipto desde el año 306 hasta el 301 a.n.e. Es sabido que esos reyes fomentaron y crearon instituciones: las más conocidas de las cuales son: el Museo y la Biblioteca de Alejandría. Se trata en este caso, de los primeros centros docentes y de investigación, fundados y sostenidos por el estado, con auditorios, locales de trabajo, con una extraordinaria biblioteca, observatorios astronómicos, jardín botánico y zoológico.

Los científicos más importantes de aquella época se mantenían en contacto con Alejandría. Muchos trabajaban o habían estudiado allí. Esto atañe, también, a los matemáticos del Período Helenístico, por ejemplo Euclides, Arquímedes, Herón, Ptolomeo y Diofantos.

Cuatro son los rasgos fundamentales que caracterizan esta parte de la matemática griega, que por convención hemos llamado "puras":

1. Las organizaciones deductivas: los tratados clásicos como "Los Elementos" están organizados deductivamente; se llega a los resultados por una demostración, bien partiendo de resultados demostrados previamente, bien de principios expuestos al comienzo; cabe decir que se trata de un procedimiento axiomático parcial; este destaca el aspecto lógico y necesario de la Matemática. Hay que señalar, sin embargo, que no siempre es fácil disociar el aspecto retórico que permite conseguir la aquiescencia del lector o del alumno y persigue una eficacia psicológica y pedagógica del aspecto lógico que concentra en la arquitectura necesaria y objetiva del razonamiento.
2. La orientación geométrica: incluso en la teoría de los números, la estadística o la astronomía, la orientación de los tratados demostrativos es fundamentalmente geométrica. La matemática griega recurrió a varios simbolismos para anotar los números y las fracciones, también utilizaron abreviaturas, pero fue en el empleo de las figuras geométricas donde más lejos llevaron los griegos sus investigaciones sobre "representaciones simbólicas": la posibilidad de descomponer las figuras en elementos, de determinar las reglas de construcciones autorizadas y el descubrimiento de propiedades que parecen estar ya "presentes" en la figura, son aspectos todos ellos, que se combinan en la perfección con la exposición deductiva.
3. El ideal de ciencia desinteresada: las matemáticas deben estudiarse por afición al saber en sí, como expresó Pitágoras: " . . . la ciencia desinteresada es la mayor purificación". [3;326p]
4. Matemática y FilosofÍa: este desarrollo de las matemáticas puras es contemporáneo del de la Filosofía, separada de esta de modo gradual nunca dejó de tener vínculos con ella y es así como se da en su constante evolución la relación estrecha entre posición filosófica y teoría conceptual de cada escuela.

En la época helenística se observa que la Matemática constituye una comunidad "internacional" cuyos miembros están diseminados en el perímetro de la Cuenca Mediterránea ( anexo 1 y 2 ) (Grecia, Asia Menor, Egipto y Sicilia), con todos mantienen relaciones personales, bien porque se visiten unos a otros, bien gracias a la circulación de sus obras. Se trata ante todo de plantear problemas a los colegas, de resolver los que ellos mismos han planteado, de indicar incluso las soluciones imperfectas que otros han propuesto, así algunos matemáticos adquieren una autoridad reconocida; las publicaciones se someten a sus dictámenes y ellos se encargan de darlas a conocer a quienes estiman dignos de sus contenidos.

A partir de la época romana los mejores autores parecen preocuparse esencialmente por perfeccionar los resultados ya obtenidos; aparentemente la competencia y la búsqueda de la novedad que caracterizan al período anterior han desaparecido.

En los albores del siglo III a.n.e hay un nombre que oscurece a todos los otros en el dominio de las ciencias y en especial de la Matemática: Euclides de Alejandría quien representa a uno de los grandes de la historia de esta disciplina, aunque su obra haya sido, y deba ser, apreciada de diversas formas por los estudiosos e investigadores de la cultura universal.

De Euclides (apr. 330-275 a.n.e) surgió el libro matemático, indudablemente más exitoso de la historia mundial, "Los Elementos". De su autor, por el contrario, se sabe poco, ni siquiera su lugar de nacimiento. Se puede afirmar con seguridad que trabajó en Alejandría y allí escribió su famosa obra alrededor del año 355 a.n.e. El historiador debe hacer constar que ha sido y sigue siendo, con reserva, la gran enciclopedia de la Geometría Elemental. El método de "Los Elementos" ha sido por los siglos el prototipo del método matemático y se identifica evidentemente con éste. A lo largo de muchos siglos, sirvieron como manual de geometría para los escolares, en tanto para los científicos, como modelo de rigurosidad matemática.

Proclo ( 412 ? 485 ) nos da el significado exacto de lo que los geómetras griegos entendían por "Elementos":

" … dentro del conjunto de la Geometría, son ciertos teoremas generales y capitales que conducen a los que se limitan a deducir la consecuencia de un principio cuya influencia se hace sentir por doquier y con los cuales se aportan las pruebas de numerosas propiedades. Tales teoremas recibieron el nombre de elementos; pues su función puede ser comparada a la de las letras del alfabeto en su relación con el lenguaje y a las que los griegos daban el mismo nombre". [5, 122p]

De acuerdo con este significado de la expresión "elementos", reunió Euclides sus conceptos tanto para la Geometría Plana como para la Estereometría. De igual manera muchos autores compusieron "Elementos" en Aritmética y en Astronomía.

Resulta visible que Proclo caracteriza por esas distinciones y este análisis los teoremas que deben tenerse en cuenta en la composición de "Los Elementos" y que compiló efectivamente Euclides, como los que pueden y deben servir de principios en todas las investigaciones geométricas, ya que estas siempre están enlazadas con ellos por la relación de consecuencia a principio.

Ciertamente, esta relación será también de lo simple a lo complejo y de lo fácil a lo difícil, y "Los Elementos" contienen las proposiciones más simples que se deben conocer para desentrañar los problemas más complejos. En ellos hay que conocer los primeros teoremas para poder demostrar los segundos, o también pueden fácilmente demostrarse los segundos partiendo de los primeros, mientras que la inversa sería más difícil o imposible.

"Los Elementos" no estaban destinados a los principiantes, como podría pensarse por el título, sino para estudiantes de un nivel avanzado. Casi todas las matemáticas de aquella época se encontraban en ellos, sin embargo, faltaba totalmente en el sentido de Platón, la referencia a las aplicaciones de la Matemática. Se componían de trece libros, que Euclides estructura a partir de definiciones, postulados y axiomas; le siguen teoremas con demostraciones, problemas, y teoremas auxiliares. La definición, de los conceptos fundamentales de la Geometría: punto, línea, segmento y superficie, es de tipo gráfico y descriptivo.

Si para comprender de los "Elementos" su orden, aunque "elementos y orden" conforman una misma cosa, se busca el recurso de la historia, entonces en compensación ella toma estos "Elementos" como un precioso y valioso documento para la cultura de la humanidad que sirve de testimonio para dar fe del desarrollo alcanzado por los hombres de este período de la civilización humana.

Los contenidos y períodos de los trece libros "Los Elementos" aparecen distribuidos de la siguiente forma: [2; 46p]