Historia y aplicación de las matemáticas

Introducción

Las Matemáticas, son un área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos. Constituyen una materia básica en una educación sólida, no sólo por los conocimientos y técnicas que aportan, sino porque desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como el rigor, las capacidades de abstracción y de resolución de problemas.

 Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones.

Nuestra investigación se realizará un estudio bibliográfico, como fuente primaria.

En cuanto a su estructura o contenido consta de dos capítulos.

El primer capítulo, trata acerca del concepto y la historia de las matemáticas.

El segundo trata de la importancia de las matemáticas y su aplicación.

Metodología.

En el presente estudio se empleara el diseño bibliográfico; sobre todo en la utilización de fuentes primarias para estructurar teóricamente el contenido del trabajo.

Objetivos.

Objetivo General.

Conocer la historia y la importancia de las matemáticas a través de los siglos.

Objetivos Específicos.

• 1. Conocer los diferentes conceptos de las matemáticas.

• 2. Citar las diferentes etapas de evolución de las matemáticas.

• 3. Identificar la importancia que tienen las matemáticas en la vida diaria.

Capítulo I.

Concepto e historia de las matemáticas

Definición ó Etimología.

"La matemática viene del latín  "Mathematica"  que significa (conocimiento), es una ciencia que a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos)". En el siglo VI A.C. era usado por los pitagóricos, alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático", en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.) que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas". Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. El matemático Benjamín Pierce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".

1.2 Las matemáticas en la Edad Antigua.

Las matemáticas empiezan con el conteo. Sin embargo, no es razonable sugerir que el conteo de la antigüedad era matemático. Se puede decir que las matemáticas empiezan solamente cuando se empezó a llevar un registro de ese conteo y, por ello, se tuvo alguna representación de los números. Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de aproximadamente, 70,000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos.También se descubrieron artefactos  prehistóricos  en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren intentos iníciales de cuantificar el tiempo. Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20,000 A. C. Una interpretación común, es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación en el Antiguo Egipto. En el periodo predinástico de Egipto del 5º milenio A.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos  en  Inglaterra y  Escocia, del 3er milenio A.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.

Las Matemáticas en la Época de los Mayas.

Los mayas fueron parcialmente avanzados en matemáticas y en astronomía. Si bien el primer uso documentado del cero es de los mayas (en el año 36 a. C.), se quedaron estancados ya que no conocían otros avances como los decimales, los números complejos, el cálculo infinitesimal, entre otros. En matemáticas desarrollaron un sistema de numeración utilizando tres símbolos y de base 20; Conocían la cifra cero, esto es muy importante, porque no todas las culturas la conocían; Sabían sumar, restar, multiplicar y dividir. El punto tiene un valor numérico de 1 y la raya de 5. Así podían contar hasta 19. Para hacer números mayores (igual que nosotros para hacer números mayores de 9) tenían que colocar esos signos en determinadas posiciones. Al ser un sistema vigesimal, o sea, que considera el 20 como unidad básica para la cuenta, cada espacio que se avanza en el número representa 20 veces más que el espacio anterior. (Ver anexo I).

Las Matemáticas en el Imperio Inca.

En el campo de la matemática los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, se basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división. Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico, A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. Se tiene noción que en el Imperio Inca el sistema de numeración imperante era el decimal. Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente. También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, era un instrumento de contabilidad y mnemotécnico, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, entre otros. (Ver anexo II). Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar en el (anexo III). Los incas tenían un sistema de contabilidad llamado el Quipus, este era un sistema mnemotécnico basado en cuerdas anudadas, mediante las cuales se registraban todo tipo de información cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de operaciones matemáticas, sólo se anudaban las realizadas anteriormente en los "ábacos incas" o yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemática al ser un instrumento capaz de contabilizar, también era utilizado para guardar información de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas en los depósitos estatales. Incluso hay quienes mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e historia. Los quipus continúan usándose como instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados indígenas donde sirven para registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades. (Ver Quipus en anexo IV). Los incas también utilizaban la Yupana, conocida también como "ábaco inca", en ellas realizaban las operaciones numéricas. Estas podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas.

Unidades de medidas de los incas.

Entre la medida de longitud están:

• La rikra o braza: que es la distancia medida entre los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos horizontalmente.

• El cuchuch tupu equivalía al "codo castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el extremo de los dedos de la mano.

• La capa o palmo, y la más pequeña fue el yuku o jeme, que era la longitud existente entre el índice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo máximo posible.

Medidas de superficie.

El tupu, en términos generales se definía como el lote de tierra requerido para el mantenimiento de un matrimonio sin hijos.

Medidas de capacidad.

Entre las unidades de medida de capacidad está:

• La pokcha: que equivalía a media fanega o 27,7 litros, algunos cultivos como el maíz era medido en recipientes; los líquidos se medían en una variedad de cántaros y tinajas.

• Runcus o grandes cestas: la utilizaban para medir las hojas de coca.

• Ysangas: entre estas se encuentra el poctoy o almozada, que equivale a la porción de granos o harina que entra en la concavidad formada con las manos juntas.

• El huipe, era un instrumento parecido a la romana, y las balanzas de platillo.

1.2.1 Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C. –500 a. C.)

Estas se fundamentaron el desarrollo de dos civilizaciones:

Mesopotamia.

Egipcia.

1.2.1.1 Mesopotamia. 

Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas. En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850, Labradas en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol, Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas. Además los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división; así como también incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el cálculo de Primos Gemelos regulares recíprocos. Estas fueron las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan del 1800 al 1600.Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos.Los avances babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecía, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.

1.2.1.2 Egipto 

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 A. C. El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C.), es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias; También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica  y armónica, y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6).

El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y series geométricas.

Elementos geométricos del papiro de Rhind:

-Cómo obtener una aproximación de p con un error menor del 1%.

-Un antiguo intento de cuadrar el círculo.

-E uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 A. C.) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática .

1.2.2 Matemáticas en la antigua India (del 900 A. C. al 200 D. C.)

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 – 2600 A.C., en la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Las matemáticas védicas comenzaron en la temprana Edad del Hierro, con el Shatapatha Brahmana (hacia el siglo IX a. C.), donde se aproxima el valor de p con dos decimales. y el Sulba Sutras (hacia el 800–500 a. C.) que eran textos de geometría que usaban números irracionales, números primos, regla de tres y raíces cúbicas; cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales; un método para cuadrar el círculo; resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas; desarrollo algebraico de ternas pitagóricas y enunciado y demostración numérica del teorema de Pitágoras.

Panini (hacia el siglo V A.C.) formuló las reglas gramaticales para el sánscrito. Su notación fue similar a la notación matemática moderna y usaba "metarreglas", transformaciones y recursiones con tal sofisticación que su gramática tenía el poder de cálculo equivalente a una máquina de Turing. 

Pingala (aproximadamente de los siglos III al I a.C.) en su tratado de prosodia usa un dispositivo correspondiente a un sistema binario de numeración. Su discusión sobre la combinatoria de métricas musicales corresponde al teorema binomial. La obra de Pingala también contiene ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados matrameru. La escritura Brahmi se desarrolló al menos desde la dinastía Maurya, en el siglo IV A. C., con evidencias arqueológicas recientes que hicieron retroceder la fecha hacia el 600 A. C. Los numerales brahmi datan del siglo III A. C. Entre el 400 A. C. y el 200 A. C., los matemáticos Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos fueron los primeros en desarrollar los números transfinitos, la teoría de conjuntos, los logaritmos, leyes fundamentales de los índices, ecuaciones cúbicas y cuárticas, sucesiones y progresiones, permutaciones y combinaciones, cuadrados y extracción de la raíz cuadrada y potencias finitas e infinitas. El Manuscrito Bakhshali, escrito entre el 200 A.C y el 200 D. C., incluía soluciones de ecuaciones lineales con más de cinco incógnitas, la solución de la ecuación cuadrática, progresiones aritméticas y geométricas, series compuestas, ecuaciones cuadráticas indeterminadas, ecuaciones simultáneas y el uso del cero y los números negativos. También pudieron encontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raíces cuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales.

Matemáticas en el periodo helenístico (del 550 a. C. al 300 d. C.) 

Las matemáticas griegas hacen referencia a las matemáticas escritas en griego desde el 600 a. C. hasta el 300 D.C. Los matemáticos griegos vivían en ciudades dispersas a lo largo del Mediterráneo Oriental, desde Italia hasta el Norte de África, pero estaban unidas por un lenguaje y una cultura común. Las matemáticas griegas del periodo siguiente a Alejandro Magno se llaman en ocasiones Matemáticas helenísticas. Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones a partir de definiciones y axiomas. Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Thales (hacia 624 A.C – 546 A.C) y Pitágoras (hacia 582 A. C. – 507 A. C.). Aunque el alcance de su influencia puede ser discutido, fueron inspiradas probablemente por las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios. Tales usaron la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se atribuye a Pitágoras la primera demostración del teorema que lleva su nombre, aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. En su comentario sobre Euclides, Proclo afirma que Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas algebraicamente antes que de forma geométrica. La Academia de Platón tenía como lema "Que no pase nadie que no sepa Geometría".Los Pitagóricos probaron la existencia de números irracionales.

 Eudoxio (408 al 355 a. C.) desarrolló el método de exhausción, un precursor de la moderna integración.

 Aristóteles (384 al 322 a. C.) fue el primero en dar por escrito las leyes de la lógica, Euclides (hacia el 300 a. C.) dio el ejemplo más temprano de la metodología matemática usada hoy día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones. También estudió las cónicas. Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo occidental culto hasta la mitad del siglo XX. Además de los teoremas familiares sobre geometría, tales como el Teorema de Pitágoras, "Los elementos" incluye una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos. La Criba de Eratóstenes (hacia 230 a. C.) fue usada para el descubrimiento de números primos. Arquímedes de Siracusa (hacia 287-212 a. C.) usó el método de exhausción para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente exacta de pi. También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen de superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de números muy grandes.

1.2.4 Matemáticas en la China clásica (c. 500 AC – 1300 DC) 

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral. Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente. La más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 A.C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jingdescribió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas. Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C – 220 d.C) produjo obras matemáticas. La más importante de estas es "Las nueve lecciones sobre arte matemático", cuyo título completo apareció hacia el 179 d.C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y p. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfecionados por Yang Hui (1238–1398 D.C.). Zu Chongzhi (siglo V) de las Dinastías del Sur y del Norte calculó el valor de p hasta siete lugares decimales, lo que daba lugar al valor de p más exacto durante casi 1000 años.

1.2.5 Matemáticas en la Índia clásica (hacia 400–1600).

El Surya Siddhanta (hacia el año 400) introdujo las funciones trigonométricas de seno, coseno y arcoseno; estableció reglas para determinar las trayectorias de los astros que son conformes con sus posiciones actuales en el cielo. Los ciclos cosmológicos explicados en el texto, que eran una copia de trabajos anteriores, correspondían a un año sideral medio de 365.2563627 días, lo que sólo es 1,4 segundos máyor que el valor aceptado actualmente de 365.25636305 días. Este trabajo fue traducido del árabe al latín durante la Edad Media. Aryabhata, en 499, introdujo la función verseno, produjo las primeras tablas trigonométricas del seno, desarrolló técnicas y algoritmos de álgebra, infinitesimales, ecuaciones diferenciales y obtuvo la solución completa de ecuaciones lineales por un método equivalente al actual, además de cálculos astronómicos basados en un sistema heliocéntrico de gravitación. Desde el siglo VIII estuvo disponible una traducción al árabe de su Aryabhatiya, seguida de una traducción al latín en el siglo XIII. También calculó el valor de p con once decimales (3,14159265359).

En el siglo VII Brahmagupta identificó el Teorema de Brahamagupta, la Identidad de Brahmagupta y la Fórmula de Brahmagupta y, por primera vez en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó claramente los dos usos del número 0: como un símbolo para rellenar un hueco en el sistema posicional y como una cifra y explicó el sistema de numeracion. En el siglo X un comentario de Halayudha sobre la obra de Pingala incluía un estudio de la secuencia de Fibonacci y del Triángulo de Pascal y describía la formación de una matriz. En el siglo XII, Bhaskara concibió por primera vez el cálculo diferencial, junto con conceptos como derivada, coeficiente diferencial y diferenciación. También estableció el Teorema de Rolle (un caso especial del Teorema del valor medio), estudió la ecuación de Pell e investigó la derivada de la función seno. Desde el siglo XIV Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala ampliaron sus ideas. Desarrollaron el concepto de análisis matemático y números de punto flotante y conceptos fundamentales para el desarrollo global del cálculo, incluyendo el teorema del valor medio y la integración término a término; las relaciones entre el área bajo una curva y sus anti derivada o integral; el test integral para la convergencia; métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y un buen número de series infinitas, series de potencias, series de Taylor y series trigonométricas. En el siglo XVI Jyeshtadeva consolidó la mayoría de los desarrollos y teoremas de la Escuela de Kerala en el Yuktibhasa, el primer texto en la historia sobre el cálculo diferencial, donde también se introducían conceptos del cálculo integral. El progreso matemático en la India se estancó a partir de finales del siglo XVI debido a conflictos políticos.

1.3 Las matemáticas en la edad moderna.

El siglo XVII vio a Napier, Briggs y otros ampliar enormemente el poder de las matemáticas como una ciencia para calcular con el descubrimiento de los logaritmos. Cavaliere, hizo progresos hacia el cálculo con sus métodos infinitesimales y Descartes añadió el poder de los métodos algebraicos a la geometría. El avance hacia el cálculo continuó con Fermat, quien, junto con Pascal, inició el estudio matemático de la probabilidad. Sin embargo, el cálculo sería el tema de mayor relevancia que evolucionó en el siglo XVII. Newton, edificando sobre el trabajo de muchos matemáticos anteriores a él, tales como su maestro Barrow, convirtió al cálculo en una herramienta que impulsó el estudio de la naturaleza. Su trabajo era rico en nuevos descubrimiento que mostraban la interacción entre las matemáticas, la física y la astronomía. La teoría de la gravedad de Newton así como su teoría de la luz, nos llevan hasta el siglo XVIII. Sin embargo, debemos mencionar también a Leibniz, cuyo acercamiento mucho más riguroso al cálculo, puso las condiciones para la labor matemática del siglo XVIII más que el de Newton. La influencia de Leibniz sobre los muchos miembros de la familia Bernoulli, fue importante para hacer crecer la fuerza del cálculo y la variedad de sus aplicaciones. El matemático más importante del siglo XVIII fue Euler, quien además de trabajar en toda una gama de ramas de las matemáticas, inventó dos nuevas: el cálculo de variaciones y la geometría diferencial. Euler también impulsó la investigación sobre la teoría de números que había iniciado tan eficazmente Fermat. Hacia finales del siglo XVIII, Lagrange iniciaría una rigurosa teoría de funciones y de la mecánica. Ese periodo vio la gran obra de Laplace sobre mecánica celeste así como grandes progresos de Monge y Carnot en la geometría sintética. El siglo XIX vio rápidos avances. El trabajo de Fourier sobre el calor tuvo fundamental importancia. En geometría, Plücker produjo obras importantes sobre geometría analítica y Steiner sobre geometría sintética. La geometría no-euclidiana desarrollada por Lobachevsky y Bolyai condujo a la caracterización de la geometría por Riemann. Gauss, considerado por algunos como el mejor matemático de todos los tiempos, estudió la reciprocidad cuadrática y las congruencias de enteros. Su trabajo sobre geometría diferencial revolucionaría la materia. También hizo grandes contribuciones a la astronomía y el magnetismo. El siglo XIX vio el trabajo de Galois sobre ecuaciones y su visión sobre el camino que seguirían las matemáticas en el estudio de las operaciones fundamentales. La introducción de Galois al concepto de grupo anunciaría una nueva dirección para la investigación en matemáticas la cual ha continuado desde entonces. Cauchy, construyendo sobre funciones de Lagrange, empezó un análisis riguroso y comenzó el estudio de la teoría de funciones de una variable compleja. Esta labor la continuarían Weierstrass y Riemann. La geometría algebraica fue impulsada por Cayley, cuyo trabajo sobre matrices y álgebra lineal complementó el de Hamilton y Grassmann.

Al término del siglo XIX Cantor inventó la teoría de conjuntos casi sin ayuda mientras que su análisis del concepto de número se sumó al importante trabajo de Dedekind y Weierstrass sobre los número irracionales. El análisis fue conducido por los requerimientos de la física matemática y la astronomía. La obra de Lie sobre ecuaciones diferenciales llevó al estudio de los grupos topológicos y la topología diferencial. Maxwell revolucionaría la aplicación del análisis a la física matemática. La mecánica estadística fue desarrollada por Maxwell, Boltsmann y Gibbs y condujo a la teoría ergódica. El estudio de las ecuaciones integrales fue impulsado por el estudio de la electrostática y la teoría potencial. El trabajo de Fredholm llevó a Herbert a desarrollar el análisis funcional. Hay muchos descubrimientos matemáticos importantes pero solamente aquellos que pueden ser comprendidos por otras personas conducen al progreso. Sin embargo, la facilidad de uso y de comprensión de los conceptos matemáticos depende de su notación. No siempre fue así, Harriot usó a como su incógnita, lo mismo que otros de sus contemporáneos. La convención que empleamos (las letras finales del alfabeto como incógnitas) fue iniciada por Descartes en 1637. Otras convenciones han caído en desgracia; por ejemplo la notación de Viète, quien usó las vocales como incógnitas y las consonantes como cantidades conocidas. Por supuesto que ax = b contiene otras convenciones de notación que utilizamos sin notarlo. Por ejemplo, el signo de igual ('=') fue usado por primera vez por Recorve en 1557. También tenemos que ax se usa para denotar el producto de a por x, ¡la notación más eficiente de todas ya que no requiere escribir nada para denotar el producto!

Capítulo II.

La aplicación de las matemáticas

2.1. Las Matemáticas Puras y Aplicadas.

Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía, actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico Richard Feynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas. Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wagner ha definido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales. Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas.

Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas, la mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas, muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética y su belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad, hay belleza en una simple y contundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en un elegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en A Mathematician's Apology  (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático Paul Erdos se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas. La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.

Importancia de las matemáticas.

Podemos destacar que las matemáticas están en el centro de nuestra cultura, También en el arte hay matemáticas. Desde que Pitágoras, el matemático más célebre, descubriera razones numéricas en la armonía musical hasta ahora la relación de las matemáticas con el arte ha sido permanente. Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la abundante información que nos llega, su uso va mucho más allá, se extiende a todas las ramas del saber humano. Se recurre a modelos matemáticos y no sólo en la física, sino, que gracias a los ordenadores las matemáticas se aplican a todas las disciplinas, de modo que están en la base de las ingenierías, de las tecnologías más avanzadas, como las de los vuelos espaciales, de las modernas técnicas de diagnóstico médico, como la tomografía axial computadorizada, de la meteorología, de los estudios financieros, de la ingeniería genética, entre otros. Su lenguaje universal las convierte en herramienta eficaz para la cooperación entre países más y menos desarrollados, favorecer un ámbito de colaboración que mejore la convivencia y fomentar la paz entre los pueblos.

Las matemáticas, juegan desde hace veinticinco siglos, un papel relevante en la educación intelectual de la juventud; así como también son lógica, precisión, rigor, abstracción, formalización y belleza, y se espera que a través de esas cualidades, se alcancen la capacidad de discernir lo esencial de lo accesorio, el aprecio por la obra intelectualmente bella y la valoración del potencial de la ciencia. Todas las materias escolares deben contribuir al cultivo y desarrollo de la inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero a las matemáticas corresponde un lugar destacado en la formación de la inteligencia ya que, como señaló Aristóteles (pie de pág.), los jóvenes pueden hacerse matemáticos muy hábiles, pero no pueden ser sabios en otras ciencias.

2.2. La Notación, Lenguaje y Rigor.