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Teoría básica y problemas propuestos de Electrostática

    2. Objetivo general
    3. Contenidos, conocimientos previos
    4. Naturaleza de la electricidad
    5. Ley de Coulomb
    6. Campo eléctrico
    7. La Ley de Gauss
    8. Potencial eléctrico
    9. Rigidez dieléctrica
    10. Superficie equipotencial
    11. Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico
    12. Capacitancia eléctrica
    13. Cálculo de capacitancia equivalente en diferentes configuraciones
    14. Energía almacenada por un capacitor
    15. Problemas propuestos con respuestas
    16. Preguntas de razonamiento
    17. Problemas propuestos sin respuestas
    18. Bibliografía recomendada

    INTRODUCCIÓN

    La Electricidad engloba una categoría de fenómenos físicos originados por la existencia de cargas eléctricas y por la interacción de las mismas. Cuando una carga eléctrica se encuentra estacionaria, o estática, produce fuerzas eléctricas sobre las otras cargas situadas en su misma región del espacio; cuando está en movimiento produce, además, efectos magnéticos.

    Los efectos eléctricos y magnéticos dependen de la posición y movimiento relativos de las partículas con carga. En lo que respecta a los efectos eléctricos, estas partículas pueden ser neutras, positivas o negativas. La electricidad se ocupa de las partículas cargadas positivamente, como los protones, que se repelen mutuamente, y de las partículas cargadas negativamente, como los electrones, que también se repelen mutuamente; la rama de la física que estudia las cargas eléctricas estacionarias se llama Electrostática, el cual es el tema central del presente módulo.

    En este material instruccional, se introducirá primero un discernimiento sobre la naturaleza de la electricidad, conocimiento que permitirá abordar la Ley de Coulomb, Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico en distribuciones discretas de cargas y cuerpos uniformemente cargados. La Ley de Gauss es presentada como una herramienta útil al momento de cuantificar el campo eléctrico en objetos con formas geométricas definidas. Por otro lado, se expondrá lo referente a las superficies equipotenciales desde el punto de vista eléctrico. Con los conceptos anteriormente esbozados, se emprenderá la discusión en torno a los condensadores electrostáticos, dando especial énfasis a la manera como pueden establecerse arreglos del tipo serie – paralelo. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.

    OBJETIVO GENERAL

    Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de electrostática a problemas prácticos de la ingeniería.

    CONTENIDOS

    1. Cargas fundamentales de la materia.
    2. Ley de Coulomb.
    3. Campo eléctrico.
    4. Ley de Gauss.
    5. Potencial eléctrico.
    6. Superficies equipotenciales.
    7. Rigidez dieléctrica.
    8. Condensadores electrostáticos.
    9. Energía almacenada por un condensador electrostático.
    10. Disposiciones de condensadores electrostáticos.

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    1. Álgebra vectorial: suma de vectores.
    2. Cinemática bidemensional: ecuaciones de movimiento.
    3. Dinámica bidimensional: segunda ley de Newton.
    4. Cálculo integral: aplicaciones de integrales definidas con condiciones iniciales.
    5. Cálculo diferencial: gradiente de una función.

    DESARROLLO TEÓRICO

    1.1 Naturaleza de la electricidad

    La materia esta constituida por átomos, los cuales se conforman de protones, neutrones y electrones. El electrón es el componente del átomo que lleva carga eléctrica negativa neutralizada por la carga eléctrica positiva del núcleo o protón. El protón es una partícula nuclear con carga positiva igual en magnitud a la carga negativa del electrón; junto con el neutrón, está presente en todos los núcleos atómicos. Al protón y al neutrón se les denomina también nucleones.

    El neutrón es una partícula sin carga que constituye una de las partículas fundamentales que componen la materia. La masa de un neutrón es de 1,675 × 10-27 kg, aproximadamente un 0,125% mayor que la del protón. La existencia del neutrón fue profetizada en 1920 por el físico británico Ernest Rutherford y por científicos australianos y estadounidenses, pero la verificación experimental de su existencia resultó difícil debido a que la carga eléctrica del neutrón es nula y la mayoría de los detectores de partículas sólo registran las partículas cargadas.

    1.2 Ley de Coulomb

    La ley de que la fuerza entre cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas fue demostrada experimentalmente por el químico británico Joseph Priestley alrededor de 1766. Priestley también demostró que una carga eléctrica se distribuye uniformemente sobre la superficie de una esfera metálica hueca, y que en el interior de una esfera así no existen cargas ni campos eléctricos. Charles de Coulomb inventó una balanza de torsión para medir con precisión la fuerza que se ejerce entre las cargas eléctricas. Con ese aparato confirmó las observaciones de Priestley y demostró que la fuerza entre dos cargas también es proporcional al producto de las cargas individuales. La fuerza entre dos partículas con cargas q1 y q2 puede calcularse a partir de la Ley de Coulomb:

    (1)

    Donde:

    F: fuerza de atracción o repulsión entre las cargas, Newton

    q1; q2: carga eléctrica de la partícula, Coulomb

    r12: distancia más corta entre las dos cargas, metros

    : constante de permitividad eléctrica del medio en el cual se encuentran inmersa las cargas,

    La constante de permitividad eléctrica del vacío es 8,85 x 10-12 ; recuérdese que 1 Coulomb es equivalente a 1 ampere.segundo. En el caso de realizar análisis en distribución continua de carga, se utilizará la siguiente expresión:

    (2)

    Cuando se conoce la densidad de carga del elemento de estudio, se emplea:

    (3)

    Donde:

    : densidad lineal de carga, Coulomb/m

    dq: diferencial de carga, Coulomb

    dx: diferencial de longitud, m

    Si es una superficie lo que se estudia, se emplea:

    (4)

    Donde:

    : densidad superficial de carga, Coulomb/m2

    dq: diferencial de carga, Coulomb

    dA: diferencial de área, m2

    Si es un volumen lo que se analiza, se emplea:

    (5)

    Donde:

    : densidad volumétrica de carga, Coulomb/m3

    dq: diferencial de carga, Coulomb

    dV: diferencial de volumen, m3

    Por último, es de vital importancia conocer las siguientes constantes y conversiones:

    1. Masa de un electrón: 9,11 x 10-28 g
    2. Carga de un electrón: 1,6 x 10-19 Coul
    3. Masa de un protón: 1,67 x 10-24 g
    4. Diámetro de un átomo: 2 x 10-8 cm (promedio)
    5. Un Coulomb equivale a 6 x 1018 electrones
    6. Un Coulomb equivale a 3 x 109 Statcoulomb

    Se debe tener presente que la electricidad sólo reside en la superficie de los objetos cargados, no en su interior.

    1.3 Campo eléctrico

    Un campo eléctrico es una región del espacio donde se ponen de manifiesto los fenómenos eléctricos. Se representa por E y es de naturaleza vectorial. En el Sistema Internacional de unidades el campo eléctrico se mide en Newton/Culombio (N/C).

    La región del espacio situada en las proximidades de un cuerpo cargado posee unas propiedades especiales. Si se coloca en cualquier punto de dicha región una carga eléctrica de prueba, se observa que se encuentra sometida a la acción de una fuerza. Este hecho se expresa diciendo que el cuerpo cargado ha creado un campo eléctrico. La intensidad de campo eléctrico en un punto se define como la fuerza que actúa sobre la unidad de carga situada en él. Si E es la intensidad de campo, sobre una carga q actuará una fuerza F:

    (6)

    Donde:

    E: magnitud del campo eléctrico puntual, N/C

    q: carga de prueba, Coul

    F: fuerza eléctrica generada por el campo, Newton

    La dirección del campo eléctrico en cualquier punto viene dada por la de la fuerza que actúa sobre una carga positiva unidad colocada en dicho punto. Las líneas de fuerza en un campo eléctrico están trazadas de modo que son, en todos sus puntos, tangentes a la dirección del campo, y su sentido positivo se considera que es el que partiendo de las cargas positivas termina en las negativas (Figura 1).

    Figura 1. Líneas de fuerzas en cargas puntuales.

    La intensidad de un campo eléctrico creado por varias cargas se obtiene sumando vectorialmente las intensidades de los campos creados por cada carga de forma individual. En el caso de realizar análisis en distribución continua de carga, se utilizará la siguiente expresión:

    (7)

    Cuando se conoce la densidad de carga del elemento de estudio:

    (8)

    Donde:

    : densidad lineal de carga, Coul/m

    dq: diferencial de carga, Coul

    dx: diferencial de longitud, m

    Si es una superficie lo que se estudia (Figura 2):

    (9)

    Donde:

    : densidad superficial de carga, Coul/m2

    dq: diferencial de carga, Coul

    dA: diferencial de área, m2

    Si es un volumen lo que se analiza:

    (10)

    Donde:

    : densidad volumétrica de carga, Coul/m3

    dq: diferencial de carga, Coul

    dV: diferencial de volumen, m3

    Es importante acotar que dentro de un conductor el campo eléctrico es nulo.

    Figura 2. Distribución de las líneas de fuerzas en un campo eléctrico dentro de un capacitor.

    1.4 La Ley de Gauss

    Esta ley fue establecida por Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), y establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta de la superficie dividida por la permitividad eléctrica del medio (Figura 3):

    (11)

    Donde:

    E: vector campo eléctrico, N/m

    dS: vector diferencial de superficie, m2

    q: carga encerrada en la superficie Gaussiana, Coul

    : permitividad eléctrica del medio, 8,85 x 10-12

    Figura 3. Superficie Gaussiana en donde se percibe el vector diferencial de área y el vector campo eléctrico. Detalle como dentro de la superficie se encuentra una carga eléctrica.

    1.5 Potencial eléctrico

    Se refiere a la energía potencial por unidad de carga.

    Potencial debido a una carga puntual

    (12)

    Donde:

    V: potencial eléctrico, Voltio

    q: carga eléctrica, Coulomb

    r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio, m

    : constante de permitividad eléctrica del medio,

    Potencial debido a una distribución discreta

    (13)

    Donde:

    V: potencial eléctrico, Voltio

    qi: carga eléctrica del elemento i, Coulomb

    r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio i, m

    : constante de permitividad eléctrica del medio,

    Potencial eléctrico debido a una distribución continua

    (14)

    Donde:

    V: potencial eléctrico, Voltio

    dq: elemento diferencial de carga, Coulomb

    r: distancia entre la carga generadora del campo y el diferencial de carga, m

    : constante de permitividad eléctrica del medio,

    El potencial eléctrico se relaciona con el campo eléctrico por:

    (15)

    Donde:

    Vab: diferencia de potencial entre dos puntos a y b, Voltios

    E: vector campo eléctrico, N/m

    dx: vector desplazamiento, m

    1.6 Rigidez dieléctrica

    La capacidad de un dieléctrico de soportar campos eléctricos sin perder sus propiedades aislantes se denomina resistencia de aislamiento o rigidez dieléctrica. La rigidez dieléctrica del aire es 0,8 x 106 N/C aproximadamente. La Tabla 1 resume la rigidez dieléctrica de varios materiales, así como sus constantes dieléctricas.

    1.7 Superficie equipotencial

    Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo de fuerza que tienen el mismo potencial. Los campos de fuerza se pueden representar gráficamente por superficies equipotenciales o por líneas de fuerza. Las superficies equipotenciales en un campo creado por una única masa o una única carga eléctrica son superficies esféricas concéntricas con la masa o la carga, respectivamente. Estas superficies se suelen representar a intervalos fijos de diferencia de potencial, de modo que su mayor o menor proximidad indicará una mayor o menor intensidad de campo.

    Tabla 1. Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas de diversos materiales a temperatura ambiente.

    Material

    Constante dieléctrica

    (K)

    Resistencia dieléctrica

    (V/m)

    Vacío

    1

    3 x 106

    Aire (seco)

    1,00059

    24 x 106

    Baquelita

    4,9

    8 x 106

    Cuarzo fundido

    3,78

    14 x 106

    Vidrio Pirex

    5,6

    24 x 106

    Poliestireno

    2,56

    60 x 106

    Teflón

    2,1

    60 x 106

    Caucho de neopreno

    6,7

    12 x 106

    Nylon

    3,4

    14 x 106

    Papel

    3,7

    16 x 106

    Titanatio de estroncio

    233

    8 x 106

    Agua

    80

    Aceite de silicón

    2,5

    15 x 106

    La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de una superficie equipotencial es nula. Así, si desplazamos una masa, en el caso del campo gravitatorio, o una carga, en un campo eléctrico, a lo largo de una superficie equipotencial, el trabajo realizado es nulo. En consecuencia, si el trabajo es nulo, la fuerza y el desplazamiento deben ser perpendiculares, y como el vector fuerza tiene siempre la misma dirección que el vector campo y el vector desplazamiento es siempre tangente a la superficie equipotencial, se llega a la conclusión de que, en todo punto de una superficie equipotencial, el vector campo es perpendicular a la misma, y que las superficies equipotenciales y las líneas de fuerza se cortan siempre perpendicularmente.

    1.8 Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico

    (16)

    Lo que significa que el campo eléctrico es igual a la razón de cambio (negativa) del potencial eléctrico con relación al desplazamiento

    1.9 Capacitancia eléctrica

    La capacitancia de un condensador electrostático se define como la relación entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos:

    (17)

    Donde:

    C: capacitancia eléctrica, Faradio

    Q: carga depositada, Coulomb

    V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios

    En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas (Figura 4):

    (18)

    Donde:

    C: capacitancia eléctrica, Faradio

    A: área de las placas, m2

    d: distancia entre las placas, m

    : constante de permitividad eléctrica del medio,

    Figura 4. Capacitor de placas paralelas, se observa incrustado entre sus placas un material dieléctrico el cual incrementa el valor de su capacitancia

    A continuación se presenta los submúltiplos del Faradio:

    1. 1 F (se lee microfaradio) es igual a 1 x 10-6 Faradios.
    2. 1 pF (se lee picofaradio) es igual a 1 x 10-12 Faradios.

    Los capacitores pueden tener diferentes formas, como por ejemplo; capacitores esféricos, cilíndricos u otros.

    1.10 Cálculo de capacitancia equivalente en diferentes configuraciones

    Capacitores dispuestos en serie (Figura 5)

    (19)

    Donde:

    Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio

    Ceq: capacitancia equivalente de la configuración, Faradio

    Reglas:

    1. Los capacitores colocados en serie poseen voltajes diferentes (excepto cuando las capacitancias son iguales)
    2. Los capacitores colocados en serie poseen cargas iguales

    Figura 5. Disposición de capacitores en serie

    Capacitores dispuestos en paralelo (Figura 6)

    (20)

    Donde:

    Ci: capacitancia del capacitor i, Faradio

    Ceq: capacitancia equivalente de la configuración, Faradio

    Reglas:

    1. El voltaje es igual en cada capacitor en una configuración paralela
    2. La carga es diferente en cada capacitor en una configuración paralela (excepto cuando las capacitancia sean iguales)

    Figura 6. Los capacitores en la figura se encuentran en paralelo, por lo que el voltaje en cada uno de ellos es 12 V.

    Figura 7. Los capacitores C1, C2 y C3 se encuentran en paralelo entre si, los capacitores C4 y C5 se encuentran en serie, el capacitor equivalente de C4, C5, C3, C2 y C1 se encuentra en serie con C6. La resolución de un circuito depende en gran medida de la habilidad para reconocer la disposición de los capacitores entre si.

    1.11 Energía almacenada por un capacitor

    Para cuantificar la energía almacenada por un capacitor de placas paralelas se usan las siguientes formulas:

    (21)

    Donde:

    U: energía almacenada por el capacitor, Joule

    Q: carga almacenada por el capacitor, Coulomb

    V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios

    C: capacitancia del capacitor, Faradio

    Recuerde colocar cada variable eléctrica en las unidades correctas, de no ser así, tendrá resultados erróneos.

    PROBLEMAS PROPUESTOS CON RESPUESTAS

    A.- FUERZA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO

    2. Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo equilátero. Calcúlese la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 Sol: 0,8727 N, 330º

    3. En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y . Sol.

       

    4. En un nubarrón es posible que haya una carga eléctrica de +40 C cerca de la parte superior y –40 C cerca de la parte inferior. Estas cargas están separadas por aproximadamente 2 km. ¿Cuál es la fuerza eléctrica entre ellas? Sol. 7,2 x 109 N
    5. Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2000 m. Si hay una concentración de carga de + 40 C a una altura de 3000 m dentro de la nube y – 40 C a una altura de 1.000 m ¿Cuál es el campo eléctrico en la aeronave? Sol. 90.000 N/C
    6. Un objeto que tiene una carga neta de 24se coloca en un campo eléctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo? Sol. 1,49 g

      Sol.  4,676 x 1010 q/d2 (d: distancia entre las cargas)

    7. Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, están colgadas sobre los vértices de un triángulo equilátero. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro geométrico del triángulo.
    8. Una barra de 14 cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de –22 . Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36 cm de su centro Sol. 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda
    9. Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo. Si la barra tiene una carga de –7.5 , encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo Sol. 6.891.428,57 N/C del centro del arco hacia adentro
    10. Un electrón y un protón se ponen en reposo en un campo eléctrico de 520 N/C. Calcule la velocidad de cada partícula 48 ns (nanosegundo) después de liberarlas Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s
    11. Una carga –q1 se localiza en el origen y una carga –q2 se ubica a lo largo del eje y. ¿En qué punto a lo largo del eje y el campo eléctrico es cero? Sol. A la mitad de la distancia entre las cargas
    12. La fuerza electrostática entre dos iones semejantes que se encuentran separados por una distancia de 5 x 10-10 m es de 3,7 x 10-9 N. ¿Cuál es la carga de cada uno de los iones?. ¿Cuántos electrones faltan en cada uno de los iones? Sol. 3,2 x 10-19 C; Dos.
    13. Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 x 10-5 C. ¿Cómo está distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las esferas están separadas 2 m? Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8 x 10-5 C
    14. Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-q. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tengan una repulsión coulombiana máxima? Sol. q = ½ Q
    15. Un electrón, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en dirección a un protón que está esencialmente en reposo. Si al principio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su valor inicial?. Sol. 1,6 x 10-9 m
    16. En cada vértice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es:
    17. ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual que se escoge de tal forma que el campo eléctrico a 5 cm de ella tenga una magnitud de 2 N/C? Sol. 5,6 x 10-11 C
    18. Calcular la magnitud y la dirección de E en el punto P de la figura adjunta.

    Sol.

    1. Sol.

    2. Una varilla delgada, no conductora, se dobla en la forma de arco circular, de radio interno a, y subtiende un ángulo o respecto del centro del círculo. Se le distribuye uniformemente una carga q. Determinar el campo eléctrico en el centro del círculo en términos de a, q y o.
    3. Entre dos placas con cargas contrarias existe un campo eléctrico igual. De la superficie de la placa cargada negativamente se libera un electrón que se encontraba en reposo, haciéndolo incidir después de 1,5 x 10-8 s sobre la superficie de la placa opuesta, que se encuentra a 2 cm de distancia. ¿Cuál es la rapidez del electrón cuando incide sobre la segunda placa?. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? Sol. 2,7 x 106 m/s, 1 x 103 N/C
    4. ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 1 x 106 N/C?. ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez sea un décimo de la velocidad de la luz?. Sol. 1,8 x 1017 m/s2, 1,7 x 10-10 s

    B.- POTENCIAL ELÉCTRICO Y CONDENSADORES

    1. A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V = 400 V y la magnitud del campo eléctrico es E= 150 N/C. Determine los valores de q y r? Sol. r = 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 Coul
    2. ¿A que distancia desde una carga puntual de 8 el potencial eléctrico es igual a 3,6 x 104 V? Sol. 2 m
    3. Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de coordenadas xyz que esta en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = Eok, el potencial eléctrico resultante es V(x,y,z) = Vo para puntos dentro de las esfera y

    para puntos fuera de la esfera, donde Vo es el potencial electrostático (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x, y, y z del campo eléctrico resultante

    Sol.

    Vx = -3*Eo*a^3*z*x/((x^2+y^2+z^2)^(5/2))

    Vy = -3*Eo*a^3*z*y/((x^2+y^2+z^2)^(5/2))

    Vz = -Eo + Eo*a^3/((x^2+y^2+z^2)^(3/2)) – 3*Eo*a^3*z^2/((x^2+y^2+z^2)^(5/2))

    1. Sol.

    2. Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro?
    3. Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26. Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro. Sol. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V
    4. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12 cm2 y una capacitancia de 7 pF. ¿Cuál es la separación entre las placas? Sol. 1,517 x 10-3 m
    5. Un capacitor esférico esta compuesto por una bola conductora de 10 cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarón esférico conductor de 12 cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola? Sol. 6,67 x 10-8 C
    1. Un grupo de capacitores idénticos se conecta en serie y después en paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos capacitores están en el grupo? Sol. 10

      1. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación:
    2. Un capacitor de placas paralelas de 16 pF se carga por medio de una batería de 10 V. Si cada placa del capacitor tiene un área de 5 cm2; a) ¿cuál es el valor de la energía almacenada en el capacitor?, b) Cual es la densidad de energía (energía por unidad de volumen) en el campo eléctrico del capacitor si las placas están separadas por aire?. kaire = 1.00059, rigidez dieléctrica =3 x 106 V/cm. Sol. 0.8 x 10-9 Joules ;  = 5.782 x 10-3 Joules/m3

    Condensador

    C1

    C2

    C3

    C4

    C5

    C6

    C7

    Voltaje (V)

    1,204

    1,204

    2,407

    1,204

    1,204

    4,796

    4,796

    Carga (Coul)

    1,20 E-06

    1,20 E-06

    2,40 E-06

    1,20 E-06

    1,20 E-06

    4,80 E-06

    4,80 E-06

    Energía (J)

    5,00 E-07

    5,00 E-07

    4,99 E-07

    5,00 E-07

    5,00 E-07

    5,00 E-07

    5,00 E-07

    2. Se carga un capacitor de 100 pF hasta una diferencia de potencial de 50 V, y después se desconecta la batería. A continuación se le conecta en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la diferencia de potencial disminuye hasta 35 , ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor?. Sol. 43 pF
    3. Calcular la capacitancia de la Tierra, considerándola como un conductor esférico de 6.400 Km de radio. Sol. 710 F
    4. Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresión:
    5. Un material específico tiene una constante dieléctrica de 2,8 y una intensidad dieléctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como dieléctrico en un capacitor de placas paralelas, ¿Cuál debe ser el área mínima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x 10-2 F y para que el capacitor pueda soportar una diferencia de potencial de 4.000 V? Sol. 0,63 m2
    6. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:

      1. Sobre una pompa de jabón descargada, de radio Ro, se coloca una carga q. Debido a la repulsión mutua de las cargas en la superficie de la pompa, su radio aumenta hasta un valor R. Demostrar que: . En donde p es la presión atmosférica. Sugerencia: el trabajo realizado por la pompa en contra de la atmósfera debe ser igual a la disminución en la energía del campo eléctrico almacenada que se produce en la expansión, en virtud del principio de conservación de la energía. Suponga que la presión es constante e ignore la tensión superficial).
      2. Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8.000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de las esfera? Sol. 0,11 J/m3
      3. Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es:
    3. Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:

    C.- LEY DE GAUSS

    1. La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 N/C y apunta hacia abajo. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga?. Sol. – 6 x105 C
    2. Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga qa. Concéntrica a ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de radio b (b>a), con una carga qb. Utilizar la Ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de las esferas cuando: r<a; a<r<b; r>b.
    3. Se tienen dos casquetes esféricos conductores concéntricos de radios R1 = 0,145 m y R2 = 0,207 m. La esfera interna tiene una carga de -6 x 10-8 C. De la esfera interna se desprende un electrón con una velocidad despreciable. Suponiendo que la región entre las esferas es el vacío, calcule la rapidez con que el electrón hace impacto en la esfera externa. Sol. 2 x 107 m/s
    4. A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga. Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro (r<R), está dado por: ; en donde  es la densidad de carga.

      PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO

      1. Explique que sucede con la magnitud del campo eléctrico de una carga puntual cuando r tiende a cero
      2. Suponga que alguien propone una teoría según la cual la gente esta unida a la Tierra por fuerzas eléctricas y no por la gravedad. ¿Cómo probaría usted que esta teoría es incorrecta?
      3. Explique que se entiende por "átomo neutro"
      4. ¿Cómo distinguiría usted experimentalmente un campo eléctrico de un campo gravitatorio?
      5. Si el campo eléctrico en una región del espacio es cero, ¿puede usted concluir que no hay carga eléctrica en esa región?. Explique
      6. Si hay más líneas de campo eléctrico que salen de una superficie gaussiana que las que entran, ¿qué puede usted concluir acerca de la carga neta encerrada por la superficie?
      7. Una persona se sitúa dentro de una gran esfera metálica hueca que esta aislada de la tierra. Si una gran carga se pone en la esfera, ¿la persona se lastimará al tocar el interior de la esfera?, Explique que sucederá si la persona tiene también una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera?
      8. ¿Por qué es importante evitar los bordes o puntos afilados sobre conductores utilizados en equipos de alto voltaje?
      9. Explique el origen del brillo que se observa algunas veces alrededor de los cables de alta tensión de una línea de transmisión eléctrica?
    5. En un instante dado, una partícula  que se aproxima a la superficie de un núcleo de oro, se encuentra separada de ella por una distancia igual a un radio nuclear (6,9 x 10-15 m). ¿Cuáles son: la fuerza sobre la partícula  y su aceleración en ese punto?. La masa de la partícula , que puede considerarse puntual, es de 6,7 x 10-27 Kg. Sol. 190 N; 2,9 x 1028 m/s2

    PROBLEMAS PROPUESTOS SIN RESPUESTAS

    2. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación.

    3. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación:

    4. Calcule la energía, la carga y el voltaje en cada condensador del circuito mostrado a continuación:
    5. Entre dos electrodos horizontales, planos y paralelos, separados 1,8 cm se aplica una diferencia de potencial de 2,4 x 104 V originándose un campo eléctrico dirigido hacia abajo. Hallar la carga eléctrica de una gota de aceite de masa 2,2 X 10-10 g que permanece en reposo en el campo.
    6. Un filamento incandescente emite electrones que se aceleran hacia el ánodo mediante una diferencia de potencial de 500 V entre el filamento y el ánodo. Hallar la energía cinética y la velocidad que adquiere un electrón al alcanzar el ánodo.
    7. Un condensador se carga con 9,6 x 10-9 C al aplicar entre sus bornes una diferencia de potencial de 120 V. Calcular la capacitancia y la energía eléctrica almacenada.
    8. Un alambre largo y recto está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una carga por unidad de longitud de  y el cilindro tiene una carga neta por unidad de longitud de 2. De acuerdo con esta información, utilice la Ley de Gauss para encontrar:

    a) la carga por longitud unitaria en las superficies interior y exterior del cilindro

    b) el campo eléctrico fuera del cilindro, a una distancia r del eje.

      1. El campo eléctrico E.
      2. El potencial eléctrico V en: la región interna del cascarón interno, la región anular y la región externa al cascarón exterior.
    2. Considere dos cascarones esféricos delgados y conductores. El cascarón interno tiene un radio ri y una carga qi. El cascarón exterior tiene un radio re y una carga –qe. Encuentre:
    3. Dos esferas tienen radios a y b y sus centros están a una distancia d. Demuestre que la capacitancia de este sistema es:

    BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

    Resnick, R. y Halliday, D. (1984) Física. Tomo II (Séptima impresión). Compañía Editorial Continental: México.

    Serway, Raymond (1998) Física. Tomo II (Cuarta edición). Mc Graw-Hill: México.

    VÍNCULOS WEB RELACIONADOS CON EL TEMA

    http://udgftp.cencar.udg.mx/fisica

    http://www.fisicanet.com

    http://www.tutoria.com

     

     

    Elaborado por

    Paredes T. Franklin J.

    San Carlos, Agosto 2003