Series de Fourier y Transformada de La Place

1. Definición de la serie de Fourier
2. El conjunto de funciones
3. Series de Fourier de cosenos y de senos
4. Resumen de las constantes de la series de Fourier
5. Serie de Fourier en forma compleja
6. Aplicaciones de la Serie de Fourier
7. ¿Qué es la Transformada de Laplace?
8. Condiciones suficientes para la existencia
9. Transformada inversa
10. Teoremas de traslación
11. Aplicación de la transformada en Circuitos eléctricos

¿Qué es la Serie de Fourier?

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma

que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces

Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Definición de la serie de Fourier

Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,…, para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras, (1)

En la que (2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es

(3)

El conjunto de funciones

(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

(2)

Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene

(3)

Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Al despejar se obtiene

(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:

(5)

por la ortogonalidad tenemos que

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a

Y así (6)

Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados

llegamos a (7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

(8)

(9)

(10)

(11)

Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,…,

Resumen de las constantes de la series de Fourier

1. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

en que

b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

en donde

Serie de Fourier en forma compleja

Cálculo de Cn:

Ejemplo:

Aplicaciones de la Serie de Fourier

Ejemplo 1:

Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal

la serie de fourier tiene el siguiente aspecto

a0 / 2 ® valor medio

a1, a2, b1, b2, … ® coeficientes de Fourier

w 0 … ® frecuencia (2·p /T)

n · w 0 … ® harmónicos

Ejemplo 2:

f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) – 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+….

Ejemplo 3:

Entonces; tenemos el siguiente procedimiento

Analíticamente tenemos:

¿Qué es la Transformada de Laplace?

En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la

convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Definición de la Transformada de Laplace

Definición básica. Si f(t) está definida cuando , la integral impropia se define como un límite:

Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación proporciona una transformación lineal muy importante:

Sea f una función definida para . Entonces la integral

se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.

Evaluar L{1}.

Solución

L es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir

siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior

Condiciones suficientes para la existencia

Si f (t) es continua por tramos en el intervalo y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

Demostración

La integral existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que es continua. Ahora

cuando s>c. Como converge, la integral converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que existe para s>c. La existencia de e implica que existe cuando s>c.

Transformadas de algunas funciones básicas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

Transformada inversa

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si y son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo, .

Comportamiento de F(s) cuando

Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el máximo de y c indica el máximo de , entonces

para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .

Teoremas de traslación

Primer teorema de traslación

Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

Demostración La demostración es inmediata

Segundo teorema de traslación

Si y a>0, entonces

Demostración Expresamos a como la suma de dos integrales:

.

Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces

Derivadas de transformadas

Si y n=1,2,3,…, entonces

Transformada de una derivada

Si f(t), f’(t),…, son continuas en , son de orden exponencial, y si es continua parte por parte , entonces

en donde

Teorema de la convolución

Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en y de orden exponencial,

Demostración Sean

Y .

Al proceder formalmente obtenemos

Mantenemos fija y escribimos , de modo que

Transformada de una función periódica

Si f(t) es continua por tramos en , de orden exponencial y periódica con periodo T,

(a)

Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

(b)

Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

Por consiguiente, la ecuación (b) es

Al despejar se llega al resultado de la ecuación (a).

La transformada inversa

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos

EJEMPLO 2:

Transformadas de Circuitos:

Otras Publicaciones del autor

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Autor

Ing. Iván Escalona

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– Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)

Origen: México