El problema del aprendizaje de las matemáticas tal vez es uno de los mayores retos para la didáctica, los factores que inciden en el problema son múltiples y de ahí nace su complejidad, la actitud más cómoda para el profesor de matemáticas es la de reproducir el estilo con el que él fue formado, existen una diversidad de elementos que componen el problema, entre ellos se puede citar la mala preparación del profesor como uno de los componentes de mayor gravitación, gracias a esta falencia el problema se reproduce continuamente generación tras generación, sin embargo el profesor con sus defectos no es el único factor gravitante, la misma sociedad y el entorno familiar reproducen estereotipos que desalientan a la gran mayoría de los estudiantes a dedicarse a esta ciencia; antes de empezar el estudiante ya tiene la idea de que las matemáticas es la más difícil de las materias. Desde la educación primaria se fomenta el odio a esta ciencia obligando al estudiante a memorizar y ejercitar y como si esto fuera poco la evaluación se constituye en una verdadera tortura psicológica.
Para empezar es necesario hacer referencia a aquella frase pronunciada por Santo Tomás de Aquino que dice: "Si un hombre puede enseñar a otro Hombre", se debe analizar la vigencia de este cuestionamiento a la luz de las teorías actuales, es necesario hacer una revisión del concepto mismo de enseñanza porque no refleja la esencia del proceso, en la actualidad si consideramos la teoría de Vigotsky en la que el ser humano es un ser eminentemente social y su contribución a la cultura se da desde su misma condición de ser social. Por otro lado la teoría de Piaget nos muestra que el proceso de aprendizaje sigue el mismo camino del proceso de desarrollo de la naturaleza y la sociedad, es decir, es un proceso dialéctico, en la que las contradicciones son las que determinan el desarrollo del conocimiento del individuo; las contradicciones entre lo que se sabe y no se sabe es la situación conflictiva que se presenta cuando los conocimientos que posee el sujeto no es suficiente para afrontar nuevos problemas, por consiguiente la reacomodación del sistema de conocimientos que posee el individuo es una necesidad del desarrollo intelectual. Finalmente si se habla del aprendizaje significativo se esta haciendo referencia al sistema de conocimientos del individuo, es decir, que el aprendizaje debe ser significativo para uno mismo
Hechas las consideraciones si estamos interesados en el desarrollo independiente del ser humano este debe ser el sujeto activo de su propio aprendizaje, por tanto el papel que le corresponde desempeñar al sistema educativo es la apoyar el desarrollo del individuo, el sistema educativo comprende al profesor, los programas, la administración, los objetivos y los métodos. De la misma forma que se ayuda a un niño a caminar en forma independiente, el rol que el sistema educativo debe desempeñar es el de ayudar al estudiante a aprender por si mismo, de esta manera se esta contribuyendo a formar el pensamiento crítico y divergente.
La problemática en el aprendizaje de las matemáticas, es un problema del sistema educativo, es necesario aclarar que el aprendizaje de otras ciencias no es mejor que el aprendizaje de las matemáticas. Aparentemente la utilidad de esta ciencia carece de sustento cuando se habla de derecho como carrera universitaria, sin embargo, un aprendizaje mal orientado en matemáticas influye en la calidad del profesional, cualquiera sea su área de conocimiento.
El rechazo de las matemáticas por parte de los nuevos universitarios es un problema muy complejo y las fallas en el proceso se arrastran desde la escuela, se puede notar que existe una sucesión de errores de: concepción, metodología y orientación, cabe aclarar que el núcleo familiar también recicla el problema del rechazo a las matemáticas, es muy común escuchar frases como: " La matemática es muy difícil de aprender", "sólo los mas capaces están en condiciones de dominarla", "la matemática es una ciencia exacta, por tanto es rígida y hay que tener mucha dedicación e inteligencia para calcular", y así, se puede observar una serie de expresiones que fomentan el rechazo y que están enraizadas en la cultura misma de ahí que sobran razones para no esperar una aceptación masiva de las matemáticas por parte de los estudiantes.
Es necesario en términos generales precisar los orígenes del "bajo rendimiento" en matemáticas, cabe aclarar que el bajo rendimiento no es sólo en matemáticas por la influencia que esta tiene en las demás materias estas no están en mejor situación, solo que en el caso específico de las matemáticas el problema es más notorio.
La Escuela.-
En primer término se debe destacar que los primeros pasos que se da en la escuela en cuanto a las matemáticas en general se estimula el miedo al castigo y no así la motivación por aprender, si observamos el papel del profesor, por lo general existe un desconocimiento de las orientaciones sobre el aprendizaje de matemáticas, es decir el profesor desconoce la existencia de corrientes como el estructuralismo, el empirismo, el mecanicismo y el realismo, por tanto se orienta por la imitación o por lo que considera que es mejor y lo mejor siempre resulta lo que sus profesores practicaban, si bien desconocen la existencia de las corrientes metodológicas terminan aplicando la peor de ellas: el mecanicismo, a todos consta por propia experiencia que hay que empezar aprendiendo la tabla de multiplicación de memoria sin haber entendido el concepto de multiplicación, nada les costaba explicar que la multiplicación es equivalente a la suma, este es solo un ejemplo. Las matemáticas se comparan con una carrera de obstáculos en la que la misma partida es un obstáculo. La metodología esta mal orientada o simplemente no existe, los profesores de matemáticas por lo general son los más temidos porque exigen rigor y exactitud en los resultados, pareciera que las matemáticas se reducen a hacer cálculos. El siguiente obstáculo es aprender los pasos para hacer las multiplicaciones primero de una cifra después de dos de tres, etc. Es una tortura para el estudiante realizar hojas y hojas de ejercicios de multiplicación y división, es una excelente aplicación del mecanicismo según esta la práctica es la única forma de aprender; es lo que creen muchos profesores de primaria, el estudiante ya es capaz de realizar multiplicaciones hasta de 4 cifras pero no entiende aún el concepto de multiplicación y división. No se aprovecha el carácter instrumental de las matemáticas para desarrollar la creatividad y las estructuras del conocimiento, es natural que cuando no existe una metodología coherente se genere un rechazo inducido hacia las matemáticas.
Otro problema es la utilización inadecuada de los libros de texto, la reforma educativa entre sus previsiones dota de material didáctico a las escuelas, sin embargo, de manera inexplicable los profesores se sienten tentados a utilizar textos como "Santillana" y otros que aparte de ser costosos su valor educativo es de dudosa efectividad. Es necesario hacer un análisis sobre las estrategias y motivaciones de los profesores para optar por alternativas que lejos de facilitar al estudiante su aprendizaje cumplen un objetivo que es justamente el que perjudica el desarrollo del estudiante, habrá que hacer mención a la poca atención que se da desde niveles de gobierno para mejorar y dignificar la labor docente, los salarios de miseria obligan a los más débiles a buscar alternativas de ingresos vía comisiones con las editoriales que necesitan vender sus textos, es una situación lamentable que el daño se produzca por factores ajenos a la actividad educativa como es la corrupción. A propósito de la pertinencia de aplicar libros de texto habrá que estudiar sobre su efectividad, muchos de ellos por no decir todos en lugar de ayudar perjudican, ni siquiera el lenguaje empleado es el adecuado, si nuestro objetivo es incentivar la lectura no debemos poner obstáculos a las motivaciones de los estudiantes para desarrollar su independencia cognoscitiva.
La Secundaria.-
Los problemas que se dan en la educación primaria no cambian en lo fundamental cuando se pasa a secundaria, el estudiante debe memorizar formulas para resolver ecuaciones de segundo grado por ejemplo, otro tormento para el estudiante es hacer ejercicios sobre expresiones algebraicas como ser factorizaciones, simplificaciones, multiplicaciones, etc, además, se debe aprender de memoria los diez casos de factorización, y los casos particulares, hasta aquí se ha estado trabajando con variables pero el estudiante no entiende lo que es una variable y menos lo que es una función, otra vez se repiten los errores de la educación primaria, al estudiante no se le ayuda a desarrollar su capacidad creativa ni sus estructuras meta cognitivas, el mecanicismo es nuevamente el método por excelencia, lo mas fácil es mandar a memorizar formulas que obtenerlos a partir de un razonamiento lógico, los problemas no tienen relación alguna con el contexto en el que el estudiante se desarrolla por tanto, lejos de motivarlo cumple el objetivo diametralmente opuesto. El aprendizaje deja de ser significativo, y no se crean las condiciones para generar contradicciones en el sistema de conocimientos, también el aprendizaje no es significativo para el estudiante.
La Universidad.-
La experiencia demuestra que la tendencia generalizada al momento de elegir una carrera es la carga de materias relacionadas con las matemáticas existentes en el plan de estudios como factor determinante, en la mayoría de los casos el estudiante aprendió a odiar las matemáticas sin haberla conocido, de ahí que no conoce sus propias potencialidades y tiene una autoestima muy devaluada en relación a su capacidad; un obstáculo que se debe superar, los años que se paso entre la primaria y secundaria prácticamente no sirven de nada porque es necesario empezar a repasar las matemáticas desde sus conceptos mas elementales, en la mayoría de las Universidades, como es natural los cursos de refrescamiento también adolecen de las fallas que se arrastran desde la educación primaria y secundaria.
Un primer problema en el aprendizaje de matemáticas en la universidad es que las materias no tienen la nomenclatura adecuada, por ejemplo se denomina calculo I, calculo II, III, IV, en lugar de denominar funciones de variable real, derivadas e integrales, ecuaciones diferenciales, variable compleja, etc. la denominación se convierte en un estimulante para motivar al estudiante cuando este domina la terminología de lo que esta estudiando.
Las matemáticas como un sistema de conocimientos bien estructurado tiene su propio lenguaje que ha sido desarrollado a lo largo de la historia, a diferencia de otras ciencias el lenguaje matemático tiene el propósito de caracterizar los hechos y las reglas de razonamiento con precisión alejando así las ambivalencias propias del lenguaje natural. A propósito del carácter instrumental del lenguaje natural planteado por Vigotsky en la formación de las estructuras cognoscitivas del sujeto, es necesario considerar el mismo como un producto de la cultura, un producto social en constante evolución, de ahí que para Vigotsky la educación es una actividad social en el que se crean entornos alrededor del sujeto que pueden ayudar o pueden perjudicar su aprendizaje, los entornos referidos por Vigotsky como la ZDP (zonas de desarrollo proximales) no se reducen al papel de la escuela en la formación educativa, si no que existen entornos como la misma sociedad con sus estereotipos, los medios de información, el entorno familiar, también hay entornos que se circunscriben al propio desarrollo del sujeto en cuanto al relacionamiento de sus conocimientos actuales, los conocimientos que le falta estructurar y los conocimientos que esta tratando de sistematizar, otro entorno que no deja de ser menos importante es el contexto histórico en los que el conocimiento se desarrolla. El lenguaje tiene una utilidad instrumental porque es un conjunto de símbolos dotados de reglas de construcción y su aplicación en la comunicación genera lo que se llama la interpretación semántica, es decir que cuando se intenta comunicar alguna idea se forma un vínculo del emisor y el receptor por medio de un canal; el canal no es mas que una secuencia de símbolos dotados de alguna estructura (una frase, un discurso, etc). El proceso de comunicación se desarrolla partiendo del emisor que codifica la idea en una secuencia de símbolos, el receptor capta una la secuencia de símbolos y decodifica de manera que la idea que el emisor necesita transmitir se reproduce en el receptor, este proceso tiene una analogía con el proceso de transmisión de datos en redes de computadoras si entendemos que el lenguaje de las máquinas consta de dos símbolos (1,0) la computadora que hace el papel de emisor convierte los datos, imágenes, sonidos, etc en una secuencia de dígitos binarios, los cuales al llegar al receptor sufren el proceso de decodificación para reproducir los datos, imágenes, sonidos, etc. Esta claro que la transmisión de ideas es un proceso complejo en relación a la transmisión de información como sucede entre computadoras. La explicación que da Vigotsky de los procesos del pensamiento y la memoria se basan en el lenguaje como instrumento asociativo y son independientes de este en la formación de las estructuras internas del sujeto cognoscente.
El uso adecuado del lenguaje es uno de los afluentes para el aprendizaje de las matemáticas, desde el principio de su formación del estudiante no pudo captar que el lenguaje es tan importante como el pensar, el entorno no le permitió diferenciar la comunicación natural de la comunicación matemática. Los símbolos y las estructuras de símbolos que se utilizan en matemáticas tienen su origen y finalidad en la historia de ahí la importancia de su estudio para comprender mejor las matemáticas. El entendimiento de los problemas pasa necesariamente por una adecuada utilización del lenguaje matemático.
Otro problema en el aprendizaje de las matemáticas en la Universidad es la falta de aplicación de técnicas grupales para aprovechar el entorno del aula y del contacto con otros sujetos que tienen los mismos objetivos y motivaciones, el aferrarse al método de la clase magistral como único medio de transmisión de conocimiento impide al estudiante desarrollar sus habilidades comunicacionales, es por tal razón que tenemos estudiantes que le tienen miedo a exponer sus ideas por temor a hacer el ridículo. Nótese que el aprendizaje por medio de la clase magistral tendría que considerar a un estudiante dotado de una carga motivacional importante para situar al estudiante en su rol de sujeto activo de su propio aprendizaje, por lo general los estudiantes en un aula tienen distintas motivaciones, valores, aptitudes, y antecedentes que es difícil de generalizar. El número de estudiantes muchas veces excede la capacidad física del aula, en el peor de los casos, pero en general la cantidad de alumnos por aula siempre es mayor al adecuado. Es necesario mencionar los orígenes de estas desproporciones; en las Universidades Públicas es el afán del ahorro de los escasos recursos dado su funcionamiento interno influido por la corrupción que es de dominio público, en las Universidades privadas se observa un desmedido afán de lucro captando la mayor cantidad posible de "clientes".
La metodología que emplea el profesor al igual que en la educación básica y secundaria esta guiada por el mecanicismo, es decir que prevalece la idea errónea de que el aprendizaje es fruto del esfuerzo y sacrificio del estudiante quien debe aprender una serie de procedimientos reforzando su aplicación con una cantidad considerable de ejercicios; por ejemplo si se considera la materia "Cálculo I" y el tema "derivadas" el profesor da una serie de procedimientos para derivar funciones junto con una serie de fórmulas y a modo de ejemplo resuelve una derivada sencilla aplicando los procedimientos y las fórmulas, el próximo paso es dar una cantidad de ejercicios de aplicación, aparentemente la tarea del profesor termina ahí para dar lugar a la ejercitación por parte del estudiante. No se sabe de donde salieron los procedimientos ni las fórmulas, lo que es peor; los estudiantes no saben que es la derivada ni para que sirve, lo único que les preocupa es que tipo de ejercicios se incluirán en el examen, por eso se dice que se estudia para aprobar la materia y la única forma de hacerlo es resolver los ejercicios del examen que por cierto son mucho mas complejos que los ejercicios que el profesor resuelve en la pizarra.
El estímulo a la motivación en el estudiante por parte del profesor es casi inexistente, las materias básicas de matemáticas son percibidas como obstáculos para llegar a ser un profesional en lugar de considerar dichas materias como herramientas para construir las bases del sistema de conocimientos para desempeñarse en la profesión, generalmente el profesor no habla de las bondades de aprender técnicas de razonamiento lógico para resolver problemas de la profesión, no se interioriza al estudiante en las posibles relaciones con otras profesiones y con otras áreas de conocimiento; por ejemplo las derivadas tienen una infinidad de aplicaciones en diferentes profesiones y el estudiante no percibe esa inmejorable fuente de motivación. Es un contrasentido dar la impresión de que existen materias filtro, y para empeorar, estas materias filtro son las materias de matemáticas, con justa razón los estudiantes se ven en la tentación de rechazar las matemáticas porque el entorno mismo los considera como una carga, pero una carga que hay que aprobar para seguir en la carrera.
La falta de creatividad en los estudiantes es un reflejo de la falta de creatividad en el profesor, existen profesores que utilizan los mismos ejercicios y los mismos problemas de ejemplo periodo tras periodo, y en la mayoría de los casos son copias de algún libro que el profesor guarda como un secreto, no se puede incentivar la creatividad en un ambiente en el que hace falta el ejemplo del profesor. Por otra parte el no aplicar los conocimientos adquiridos por el estudiante a situaciones de la realidad del contexto no hace que el conocimiento sea significativo para el mismo.
La problemática del aprendizaje de matemáticas por su complejidad y por la ausencia de propuestas metodológicas creativas determina significativamente el futuro del estudiante que se propone a emprender una carrera, es importante que la universidad cree las condiciones para implementar programas de investigación sobre las metodologías para el aprendizaje de las matemáticas.
Como propuesta para abordar el problema se considera una síntesis de las principales corrientes didácticas en el aprendizaje de las matemáticas y entre estas corrientes se explica porque el mecanicismo es inadecuado para cumplir con los fines propuestos.
Esta corriente nace como la solución al problema del aprendizaje siguiendo la estructura misma del sistema de conocimientos de las matemáticas, es decir una estructura axiomática cerrada y bien estructurada, en su momento esta corriente fue conocida como la matemática moderna, el método deductivo parte de la observación de los principios generales para caracterizar las situaciones particulares, como la matemática es una ciencia con sistema de conocimientos bien estructurado se presupone que cualquier problema o situación particular halla su explicación en alguna parte del sistema, también se supone que las estructuras del conocimiento son análogos a los de las matemáticas, aparentemente la estrategia correcta era la de enseñar las matemáticas como un sistema axiomático en el que el razonamiento intuitivo era superfluo y carecía de sentido si se estaba trabajando sobre supuestos bien fundamentados como son los axiomas la aplicación de este estilo presenta al estudiante los conceptos con un grado de abstracción que ya no le permite utilizar su intuición para llegar a construir los conceptos que se dan en el proceso natural de construcción de conocimientos. La Psicología del aprendizaje es clara en señalar que el individuo cuando aprende generaliza los hechos concretos para sacar conclusiones y clasificarlos, la estructura de conocimientos de cada individuo externamente se presentan como un sistema de pirámides de representaciones simbólicas y el mecanismo de funcionamiento de la memoria se basa en las asociaciones de dichos símbolos en este caso concreto se tratan de los símbolos del lenguaje; por ejemplo cuando alguien piensa en algún hecho de manera automática aparecen en la memoria otros hechos relacionados con el primero, es el caso cuando a alguien le mencionan el nombre de una persona vienen a la memoria otras particularidades ocurridas o datos como el lugar donde lo conoció o el día en que le invito a salir, etc.
Si bien la estructura de conocimientos del individuo es análoga a la estructura de conocimientos de las matemáticas el proceso de su construcción no sigue el mismo camino, el fracaso de esta corriente se debe a que el sujeto cognoscente en el proceso empieza por utilizar la observación de hechos concretos, luego construye imágenes intuitivas, para después formar conceptos. Desde la perspectiva histórica de la construcción del sistema de conocimientos sigue un largo camino que empieza en los problemas concretos de las sociedades primitivas que observan los fenómenos y los hechos concretos para luego de mucho esfuerzo se lleguen a formar conceptos y finalmente se lleguen a sistemas de conocimientos bien estructurados.
El Mecanicismo.-
Para esta corriente las matemáticas son un conjunto de reglas que los alumnos deben aprender y luego aplicarlos a problemas, los problemas son los ejemplos que el profesor resuelve aplicando las reglas que acaba de enseñar el estudiante debe memorizar las reglas y las fórmulas para después ejercitar utilizando problemas afines a los ejemplos ya resueltos, es decir los problemas deben clasificarse para aplicar las reglas haciendo analogías. El primer problema que se presenta es que en lugar de desarrollar habilidades para resolver problemas el estudiante debe desarrollar habilidades para memorizar, y en lugar de plantearse estrategias de solución de problemas nuevos el estudiante debe buscar problemas análogos para estudiar las estrategias con las que fueron resueltas, seguramente las estructuras cognoscitivas del estudiante estarán formados por reglas, fórmulas, y problemas resueltos, el conductismo expresado en el condicionamiento operante encuentra su aplicación en esta corriente, el condicionamiento operante o reforzamiento es la repetición de ejercicios hasta que quede claro para el estudiante los caminos debe seguir o las fórmulas que debe emplear para resolver problemas. La repetición hasta el cansancio de ejercicios tipo inhibe al estudiante de plantearse estrategias creativas para resolver problemas. La inteligencia artificial aplica reglas y hechos para hacer inferencias y sacar conclusiones, la estructura de un programa de inteligencia artificial seria una buena analogía a la aplicación del mecanicismo, con la variante de que el programa resuelve los problemas con mayor velocidad y precisión, por consiguiente el estudiante hace cosas que las máquinas pueden hacer con mas facilidad, ¿donde puede encontrarse el estímulo a la motivación para aprender matemáticas? tal vez esta pregunta no tenga respuesta coherente para el conductismo.
La aplicación del condicionamiento operante ha demostrado ser altamente eficaz en el adiestramiento de animales, donde la repetición constante de rutinas seguidas por premios y castigos hacen que las ratas de laboratorio aprendan a pulsar teclas de la computadora para obtener la recompensa, sin embargo la aplicación de esta metodología en seres humanos es una forma de manipulación cuestionable desde el punto de vista ético.
El Empirismo.-
Para el empirismo la matemática tiene el carácter de herramienta para resolver problemas concretos del contexto cercano al estudiante, es decir que la utilidad inmediata debe ser el factor motivante en el proceso de aprendizaje, sin embargo, carece de profundidad para formar conceptos y abstracciones por lo que el estudiante esta privado de desarrollar su creatividad, pareciera que los matemáticos que siguen esta corriente son reacios a aceptar a nuevos miembros en su comunidad por eso limitan el aprendizaje a lo necesario.
El Realismo.-
Esta corriente surge partiendo de las ideas de Freudenthal siguiendo el método inductivo, es decir, partir de los hechos concretos para construir modelos generales, básicamente plantea la reinvención de las matemáticas por el alumno en base a su realidad circundante a diferencia de la corriente empirista enfatiza en los procesos de aprendizaje y su sistematización.
Había la necesidad de poner en consideración las principales corrientes dentro la didáctica de las matemáticas antes de desarrollar la propuesta que sintetiza los aspectos positivos de las corrientes: Estructuralista, Empirista y Realista el mecanicismo es una corriente en el que no se puede observar aspectos positivos, por consiguiente, se obviará su consideración.
La corriente realista es la que más se aproxima a los propósitos de mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas, en todo el texto anterior se hace referencia al aprendizaje y no así a la enseñanza de las matemáticas este hecho se debe a que el estudiante debe ser el centro del proceso, es decir el sujeto activo de su propio aprendizaje, en relación al rol que desempeña el maestro este debe ser el que dirige el proceso de aprendizaje, la terminología empleada debe adecuarse a los propósitos del proceso a fin de dar el lugar preponderante al aprendizaje del estudiante porque este es el que construye su sistema de conocimientos y no admite la imposición de conceptos construidos.
Las matemáticas según la corriente estructuralista es un sistema bien construido, un sistema bien construido da a entender que es un sistema en el que no existen contradicciones, sin embargo, las matemáticas no están libres de las situaciones paradójicas. El aprendizaje debe considerarse como una reconstrucción de los conocimientos desde la base misma como plantea la corriente realista, esto requiere también la recreación del momento histórico en que surgen los grandes aportes a las matemáticas, es decir, se debe recrear las condiciones del momento histórico en que surgen las necesidades expresadas en problemas con que la humanidad se enfrenta en esos momentos concretos de la historia; por ejemplo el estudio en profundidad de la programación lineal se da durante la segunda guerra mundial el problema que allí se presenta es la escasez de recursos que debían ser empleados de tal manera que su impacto sea el máximo, otro ejemplo era la necesidad de remarcar los límites de los terrenos después de una crecida del río nilo en Egipto este problema obliga a desarrollar la geometría, y así existieron las condiciones concretas para desarrollar distintas estructuras, el reconstruir las matemáticas implica trasladarse en el tiempo hasta las condiciones iniciales de su surgimiento, el planteamiento concreto es que se debe estudiar la historia y las biografías de quienes hicieron aportes para el desarrollo de las matemáticas este estudio muestra al estudiante que la ciencia surge y se desarrolla como una necesidad social, contrario del mecanicismo que presenta las construcciones en su forma acabada se debe llegar a reconstruir las fórmulas para que el estudiante en lugar de memorizarlo sea capaz de obtenerla por medio de un proceso de reconstrucción haciendo uso de la combinación de los métodos deductivo e inductivo.
El reconocer la utilidad didáctica del error hace de las matemáticas una ciencia humana, quienes la desarrollaron necesariamente cometieron errores, por tanto la búsqueda de soluciones de problemas no es deterministico porque existen los caminos que llevan a los errores, la tarea del profesor debe ser la de buscar junto con los estudiantes las vías de solución, de esta forma el estudiante tendrá la seguridad que los problemas pueden tener múltiples vías de solución a diferencia del mecanicismo que obliga al estudiante a aprenderse de memoria un procedimiento para cada clase de problemas. En el mecanicismo la evaluación se basa en la solución exacta utilizando el método exacto, este hecho se constituye en una pesada carga psicológica para el estudiante, muchas veces cuando el profesor plantea resolver el examen en la pizarra, se crea un estado de angustia en el estudiante que esta mas pendiente en recordar lo que puso en el examen antes de aprender de sus errores. Si resta valor al rigor en las repuestas en la evaluación y en su lugar se trata de medir las posibilidades potenciales y las aptitudes creativas con seguridad se dará mayor estímulo para desarrollar la creatividad y la motivación en el estudiante.
Se debe aplicar el método inductivo y deductivo en su relación dialéctica, según Piaget el conocimiento se construye en base a contradicciones donde las sucesivas asimilaciones determinan un salto cualitativo cuando se llegan a formular los conceptos; por ejemplo existe la regla para saber que un número es divisible por tres que dice: todo número es divisible por tres si la suma de sus dígitos es divisible por 3, el método inductivo permite comprobar que números elegidos al azar se pueden clasificar en dos grupos aquellos que son divisibles por tres y aquellos que no son divisibles por tres al analizar el primer grupo se debe guiar al estudiante a descubrir la regla general de ahí el estudiante sacará la conclusión de que la regla sí se cumple para todos los números que conforman el primer grupo, pero como las matemáticas es un sistema de conocimientos bien formado ante la pregunta: ¿se cumple la regla para todos los números? Surge la necesidad de demostrar que la regla general se cumple para todos los números. La axiomatización nace de la necesidad de la generalización y la formalización de las percepciones intuitivas, de ahí la importancia de desarrollar en componente intuitivo para llegar a formular conceptos y abstracciones, La demostración formal ilustrada con casos concretos ayuda a dominar el lenguaje matemático, pero su utilidad superior se percibe en el dominio de las reglas de razonamiento. Cabe aclarar que no se propone aplicar el estructuralismo en los términos que fue planteado si no mas bien se trata de combinar el razonamiento deductivo con el razonamiento inductivo.
Como la estructura de conocimiento esta en formación y es asociativa sería de mucha utilidad en el momento de construir los conocimientos ilustrar de la mayor forma posible los componentes que forman la estructura, es decir que se debe explorar la mayor cantidad posible de vías para llegar al mismo resultado. El buscar situaciones concretas que ejemplifiquen lo que se esta aprendiendo no solo debe ser tarea del profesor, también los alumnos deben buscar los ejemplos y contraejemplos. Por otra parte el profesor debe ilustrar los ejemplos contando anécdotas o casos de la vida real, mientras mas elementos conformen el conjunto de estímulos sensoriales se crean mayores posibilidades para el desarrollo de asociaciones en el sujeto cognoscente.
La utilidad didáctica de la resolución de problemas no solo se reduce al planteamiento de los mismos por parte del profesor, los estudiantes también deben desarrollar la habilidad para buscar situaciones problémicas. Para la Corriente mecanicista la resolución de problemas es el medio ideal para reforzar la asimilación de las reglas y procedimientos que se han memorizado, dada su finalidad los problemas planteados por el profesor son rutinarios y están organizados en la misma secuencia en que se han aprendido las reglas, es decir van de lo sencillo a lo complejo, los problemas tienen la particularidad de ser descontextualizados de la realidad circundante y carecen de utilidad práctica para el estudiante, al final se convierten en un factor desmotivante porque el aprendizaje no es significativo para el estudiante, mas por el contrario, significa una carga que cumple el objetivo de desincentivar al estudiante. A diferencia del mecanicismo, se propone utilizar los problemas con la finalidad de desarrollar la habilidad en el estudiante en la búsqueda de vías de solución, es decir que los problemas deben tener el carácter instrumental para desarrollar la creatividad y la inteligencia. Por otra parte se propone que sea el estudiante quien participe en la formulación de problemas de manera tal que se utilice su capacidad tanto para plantear y resolver problemas, la principal característica de los problemas planteados por el profesor deben ser la originalidad para dar ejemplo a los alumnos que se puede utilizar los conocimientos precedentes para ser creativos y no es necesario recurrir a los libros para copiar los problemas, otra peculiaridad que se debe buscar es que los problemas deben estar contextualizados en la realidad del estudiante buscando siempre que sean significativos para el mismo. Otro objetivo que se debe perseguir es el desarrollo de la habilidad para la modelación matemática, es decir el estudiante debe familiarizarse con los problemas en primera instancia y luego con los modelos matemáticos, de esta forma entenderá la equivalencia de un problema enunciado como texto y su transformación en lenguaje matemático. El hecho de incentivar al estudiante en la tarea de plantear problemas desarrolla en este su capacidad investigativa, además, desarrolla su pensamiento crítico y divergente. Al considerar a los problemas como instrumentos se esta disminuyendo la preponderancia de los contenidos y se esta favoreciendo al desarrollo de habilidades para que el estudiante se independice y desarrolle su capacidad de buscar información y aprender solo.
La finalidad de la evaluación en aplicación del método problémico no debe ser la misma que la finalidad que cumple en el mecanicismo, en este la evaluación o lo que le llaman examen significa para el estudiante mas que una medida de su aprovechamiento una tortura mental, es necesario rescatar el concepto de evaluación para que su finalidad sea un instrumento para guiar el proceso de aprendizaje del estudiante, no se debe exigir la exactitud de las respuesta ni la aplicación rigurosa del método, lo que se debe valorar es la creatividad en la búsqueda de soluciones o la búsqueda de estrategias para llegar a la solución.
El profesor debe tener la habilidad para investigar a cada uno de sus estudiantes para formarse un idea de las motivaciones que impulsan a los estudiantes en todo el proceso de aprendizaje de los mismos, de esta manera podrá planificar cada clase basándose en las expectativas de los estudiantes así podrá descubrir lo que es y no es significativo para el estudiante, con esto se trata de unificar lo afectivo con lo cognitivo. Si se es capaz de encontrar algún factor motivante en el estudiante el profesor debe ayudar a desarrollarlo y profundizarlo para que ese factor desencadene una serie de otras motivaciones que seguramente tendrá influencia en otros estudiantes. El profesor debe formular preguntas que sabe el alumno a fin de crear confianza en el estudiante, esto ayudará a descubrir las motivaciones y las expectativas. Pueden existir grandes diferencias entre un estudiante y otro generadas por las influencias familiares y sociales, este hecho hace que las motivaciones sean divergentes es tarea del profesor tratar de encontrar los aspectos regulares a fin de captar la atención de la generalidad del aula.
El desarrollo de la habilidad para la búsqueda de estrategias de solución para los problemas requiere en primer lugar un cuidado en la elección de los problemas, existe un universo de caminos posibles, la cantidad de los posibles caminos puede ser infinita, por tanto el encontrar los caminos que conducen a la solución requiere de estrategias; es lo que se conoce como heurística, entre las posibles estrategias se pueden considerar los siguientes: replantear el problema haciendo abstracción de algunas variables, el buscar otro problema ya resuelto que tenga similitud, el graficar los datos, dividir el problema en partes, etc. Haciendo una analogía con la Inteligencia Artificial se puede encontrar algunas similitudes, por ejemplo en Inteligencia Artificial existen 2 grupos de problemas: los que admiten una medida para saber si cada paso que se da esta en dirección a la solución, esta medida cuantitativa se denomina heurística, por otro lado están los problemas que no admiten una medida cuantitativa, en este ultimo caso el programa procede a explorar la totalidad de los posibles caminos a la solución desechando aquellos que no llegan a la solución, en el caso del primer grupo el programa evalúa la heurística antes de elegir el próximo paso de tal forma se puede jerarquizar el conjunto de posibles soluciones. En el proceso de aprendizaje las características del primer grupo se asemejan a lo que pasa en la mente del estudiante en el momento de tomar uno u otro camino, el desarrollar la habilidad para escoger el camino correcto depende de la observación de los hechos y la capacidad de sistematizar los conocimientos anteriores junto a las hipótesis y los datos del problema.
El uso de la tecnología computacional tiene potencialidades significativas en el proceso de aprendizaje de las matemáticas, sin embargo, la tendencia generalizada es la utilización para la enseñanza de programas computacionales si bien es necesario crear un ambiente en el que el estudiante se familiarice con la tecnología no se aprovecha en su integridad las posibilidades que brinda para desarrollar habilidades creativas en el estudiante. Existen programas para graficar funciones que se pueden utilizar en la resolución de problemas como herramientas que muestren tendencias o particularidades útiles en el momento de determinar la heurística adecuada para seguir con el desarrollo de una estrategia de solución, la graficación puede hacerse sin computadoras, pero su empleo facilita enormemente el trabajo en cuanto al gasto en recursos y tiempo. También existen programas cuya orientación se basa en el mecanicismo, es el caso de los programas tutores que están diseñados para la ejercitación en los que hay una base de datos de problemas que son presentados al usuario y este debe dar una respuesta, la computadora califica las respuestas para dar un puntaje al estilo del profesor mecanicista, de ahí la inutilidad de estos programas para desarrollar habilidades creativas, como analogía se puede citar la caja de Skinner en el que se introduce una rata al que se le debe "educar" por medio del premio y el castigo para ejecutar tareas como presionar una tecla para que tenga comida y cada vez que se equivoca de tecla recibe una descarga eléctrica, aunque parezca un absurdo la caja de Skinner sirvió para sustentar una corriente que se llama conductismo, en el que el objetivo educativo fácilmente se puede confundir con la manipulación.
El uso eficiente de la tecnología computacional no solo requiere el aprender a utilizar uno u otro programa porque existen muchos programas que aparentemente ayudan al aprendizaje de las matemáticas, sin embargo es necesario considerar la tecnología computacional en su justa dimensión la experiencia demuestra que el uso generalizado que se le da desaprovecha las enormes posibilidades que brinda; primero que nada la computadora es una máquina y su funcionamiento se basa en el álgebra de Boole, es decir, que funciona en base a las matemáticas de modo que se esta ante una aplicación de la ciencia que en apariencia no tiene ese alcance. La propuesta en el marco de su utilidad didáctica es: incluir en el sistema de contenidos temas referentes a la organización de la memoria y al funcionamiento de la unidad aritmética y lógica, es decir, que se debe tocar temas como el de la codificación de la información y el lenguaje de máquina, es posible aprender a representar en los diferentes sistemas de numeración los objetos que se estudian en aritmética, también es posible incluir elementos del álgebra binaria cuando se esta estudiando la lógica formal. Hay posibilidad de aprovechar la computadora y su funcionamiento como un elemento motivador siempre en el camino de despertar la curiosidad en el estudiante, resulta inadecuado atribuirle poderes mágicos a la computadora cuando en realidad es una simple máquina que solo reconoce dos números el uno y el cero.
El señor Bill Gates (Propietario de Microsoft) es la persona mas afortunada porque tiene millones de empleados en todo el mundo que trabajan para el sin cobrarle un solo centavo por sus servicios, esta afirmación se basa en la observación de la mayoría de los agentes vinculados con la educación que recomiendan que lo que se debe enseñar es a manejar el Excel, Word, Windows, etc. todos productos de Microsoft, no se da ni la menor esperanza para desarrollar programas equivalentes o mejores, la universidad como centro de investigación puede estimular la creatividad de los estudiantes (especialmente de los estudiantes de informática) para empezar a desarrollar tecnología base para la informática, para tal propósito no se requiere de grandes inversiones monetarias, pero si de enormes esfuerzos creativos que las universidades pueden tener de sobra en la unión de profesores y estudiantes.
La utilización de las matemáticas como instrumento para el desarrollo de la creatividad es un recurso que no debe desaprovecharse, el mecanicismo con la rigidez solo contribuye a crear una especie de estereotipos mentales que son una barrera para la creatividad, las matemáticas como todas las ciencias poseen un método para estructurar el sistema de conocimientos pero al método no se le debe considerar como un conjunto de reglas rígidas, pasaron cientos de años antes que estos tomaran forma, es decir mucho tiempo de ensayos y errores que finalmente se presentan en nuestro tiempo como algo terminado, la creatividad requiere necesariamente recorrer caminos erráticos, por tanto, la utilidad de los errores radica en mostrar que existen muchos caminos como decía Santo Tomás de Aquino: "No hay condenar los errores sino que hay mostrar en que medida uno se aparta de la verdad". La creatividad se entiende como la síntesis de los procesos mentales que partiendo de los hechos concretos en combinación con las experiencias, las reglas de razonamiento y motivaciones intentan llegar a la esencia de los procesos materiales para crear nuevas estructuras de conocimiento o reformar las que ya existen, la finalidad del método Problémico es justamente estimular el proceso desde la asimilación de los hechos concretos, la formación de representaciones mentales creativas de los fenómenos materiales y sus relaciones, la creatividad como un atributo de los organismos superiores, se caracteriza porque crea imágenes ideales en base a las experiencias, recuerdos, y otros procesos psicológicos siempre como reflejo de las relaciones que se dan en el mundo material. El método inductivo debe utilizarse para estimular los procesos de asimilación de los hechos concretos, el profesor debe ayudar a observar las peculiaridades en el conjunto de hechos concretos y no adelantarse en formularlos quitando la oportunidad a los estudiantes a descubrirlos por si mismos. Por otro lado el método deductivo servirá para sistematizar formalmente las regularidades observadas.
La Inteligencia definida como la capacidad para enfrentarse a problemas nuevos para los cuales no se tienen las habilidades ni conocimientos para resolverlos, es la potencialidad para adquirir las habilidades y conocimientos a fin cumplir con un objetivo. La inteligencia es la habilidad para adquirir y crear nuevos conocimientos. En aplicación del método Problémico se estimula al estudiante no solo para resolver creativamente problemas, sino que también se estimula para que sea el mismo el que tenga la capacidad de buscar los problemas, no se debe olvidar que la mas grande de las virtudes de los hombres de ciencia es la percibir los problemas donde otros ven solo regularidades, es el caso de Albert Einstein que pudo observar que los fundamentos de la mecánica clásica eran insuficientes para explicar los fenómenos en los que los objetos se aproximan a la velocidad de la luz, lo que le indujo a considerar a la variable tiempo como relativa al sistema referencial; en definitiva la observación de Einstein logro reestructurar las bases de la Física.
El desarrollo de habilidades comunicacionales en el estudiante también merece especial atención en la presente propuesta, en las matemáticas cuando se llega a estructurar conceptos estos necesariamente deben ser aprobadas en el entorno social, y el entorno mas próximo al estudiante es precisamente el aula y es ahí que el estudiante debe fundamentar sus conclusiones, aquí se aplica el concepto de Zona proximal de desarrollo propuesto por Vigotsky en que el concurso de los compañeros de clase adquiere importancia en la asimilación y la formación de conceptos, la metodología sugerida para el desarrollo de habilidades comunicativas es el empleo de técnicas de dinámicas de grupo, el profesor debe demostrar su creatividad en el momento de organizar grupos y moderar las comunicaciones entre los estudiantes donde ellos aprenden a fundamentar sus ideas, hay que notar que el saber fundamentar propuestas es una habilidad aplicable a cualquier área de conocimientos y a cualquier profesión.
La unidad de lo afectivo y cognitivo se expresa principalmente en las motivaciones internas en el sujeto cognoscente, motivaciones para el aprendizaje deben ser estimuladas por el entorno del estudiante, vale decir: el aula, el entorno familiar, y el entorno social, la principal fuente para la motivación es en primera instancia el carácter significativo de lo que se aprende; el aprendizaje debe ser significativo para el estudiante, en el método problémico se debe tratar en lo posible de plantearse casos de en los que los estudiantes tengan relación ya sean de su vida cotidiana, de sus preferencias deportivas o de cualquier otra actividad que el estudiante realiza voluntariamente, se trata de encontrar ese factor desencadenante como dice el profesor Escalante: ese momento de iluminación en que el estudiante voluntariamente levanta la mano para expresar una idea novedosa, si se logra ese momento de iluminación ya es tarea del profesor creativo explotarlo para profundizar en los factores estimulantes que el estudiante requiere para desarrollar sus motivaciones para aprender. Un estudiante motivado estará en condiciones de empezar a plantearse su independencia cognoscitiva, es decir que buscará los medios para emprender el camino para ser autodidacta. Las motivaciones no solo son producto de la significación de lo que se aprende hay factores como el correcto empleo del lenguaje para no dañar la dignidad de los estudiantes, la cordialidad en el trato, no exponer al estudiante a situaciones en que salga ridiculizado, ni hacer chistes tomando a los estudiantes como objeto.
Las motivaciones no solo son internas en el sujeto cognoscente, también pueden ser externos o adaptativos como dice el Profesor Diego J. González Serra, las motivaciones adaptativas se basan en explotar los temores o las ambiciones, es decir que apelan a los premios y castigos como es el caso de la aplicación del conductismo, la tendencia debe ser que el estudiante valore los factores motivantes internos antes que los adaptativos, porque estos últimos se prestan mas a la manipulación cuando el objetivo que propone es promover el pensamiento crítico y divergente.
Las matemáticas como materia integrante del currículo necesariamente esta en relación con otras materias lo que hace necesario coordinar tareas entre los profesores de las distintas materias, no se debe olvidar que el estudiante recibe influencias variadas y las mas cercanas a el se encuentran justamente en el entorno universitario.
Finalmente los medios de difusión como los libros Internet, etc. deben ser la fuente donde los estudiantes aprendan a buscar los datos de interés, el proceso de su aprendizaje exige expandir sus conocimientos utilizando otros medios, el utilizar un libro o texto base para el curso limita en el estudiante la habilidad para buscar información. Si se propone promover la independencia cognoscitiva en los estudiantes se debe fomentar el hábito a la lectura y la búsqueda de información en la multiplicidad de medios existentes en la actualidad, los libros ya no son los únicos medios donde se puede encontrar apoyo para el proceso, también están disponibles los medios electrónicos como el Internet, los discos compactos, videos, etc. Los contenidos en el proceso de aprendizaje ya no tienen la importancia que antes tenían cuando lo que se quiere es fomentar la independencia desarrollando la capacidad para buscar y clasificar la información, una de las habilidades debe ser el saber discriminar la información relevante de la irrelevante, el profesor debe tomar el papel de guía en la adquisición de esta habilidad. Por otra parte se debe considerar la utilización del idioma ingles cuando se define los objetos, por ejemplo cuando se esta hablando de "expresiones" habrá que mencionar su equivalente en ingles que es "assembly" hacer referencia a las equivalencias idiomáticas tiene la finalidad de dar las pautas para que el estudiante utilice esos términos cuando busque información en idioma ingles, es un hecho que la mayor parte de la literatura esta escrita en idioma ingles, también el especificar equivalencias idiomáticas sirve como apoyo a las materias de ingles que se esta estudiando paralelamente.
Se ha tenido especial cuidado en la utilización del término aprendizaje y no se menciona el término enseñanza, la adopción de este estilo trata de poner al estudiante en centro del proceso como debe ser planteado el proceso, se ha tratado de sintetizar las diversas corriente didácticas existentes para el aprendizaje de las matemáticas tomando lo positivo de cada una de ellas a excepción de la corriente mecanicista porque la finalidad de esta no es precisamente el desarrollar habilidades para la creatividad, la independencia cognoscitiva, el pensamiento crítico y divergente, el aprendizaje debe combinar los enfoque deductivo e inductivo en su relación dialéctica, el estructuralismo nació con una gran falencia, en su pretensión de hacer un paralelismo entre la estructura del sistema de conocimientos de las matemáticas y las estructura cognitivas de los sujetos cognitivos, esta falencia fue afortunadamente detectada en su aplicación práctica, sin embargo, el estructuralismo tiene un aspecto positivo que es la concepción que tiene de las matemáticas; como un sistema de conocimientos bien formado donde la base de las deducciones son los axiomas junto con las reglas de razonamiento matemático, la deducción debe aplicarse el aprendizaje de esta ciencia como culminación de la asimilación de los conceptos por medio de procedimientos inductivos e intuitivos.
Lo mas adecuado según la presente propuesta para afrontar el proceso de aprendizaje de las matemáticas es la corriente realista, el mismo intenta humanizar las matemáticas, puesto que los avances se producen como una necesidad social para resolver alguna clase de problemas, es decir que en el pasado existieron situaciones concretas que sirvieron como factores motivantes para quienes dedicaron su vida a las matemáticas, lo que hace necesario estudiar la historia de las matemáticas.
La corriente empirista tiene su lado positivo porque valora el proceso de aprendizaje de las matemáticas con una finalidad utilitaria, en los hechos un factor motivante es la utilidad de lo que se aprende, además contribuye a que el aprendizaje sea significativo para el estudiante.
Gonzalo Mariscal Antezana
Lic. En Informática
Universidad Técnica Privada de Santa Cruz
República de Bolivia