3. Formular y resolver, con los recursos de la Matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y el mundo, así como con fenómenos y procesos científico- ambientales que le conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida.
Características de la asignatura en el octavo grado.
El octavo grado constituye la etapa de la Secundaria Básica donde los alumnos comienzan el estudio de los nuevos contenidos matemáticos, bajo la influencia además de las transformaciones en enfoques y métodos que asume la asignatura, en su conjunto.
Los objetivos por unidades demandan la paulatina incorporación de nuevos conocimientos y el desarrollo de nuevas habilidades, las que deben concretarse en aspectos político – ideológicos, económico – laborales y científico-ambientalistas, como se exige en los objetivos formativos del grado.
Dentro de los principales enfoques de la asignatura en el grado se encuentran los problemas prácticos, a partir de los cuales se presentan y tratan los contenidos del grado, que se concretan en:
? la obra económica, política y social de la Revolución.
? la agresividad del imperialismo norteamericano contra Cuba y otros países del tercer mundo,
? datos de los principales indicadores económicos y sociales internacionales, a partir de los cuales pueden extraerse conclusiones del carácter egoísta del sistema capitalista mundial, así como del hegemonismo del gobierno de los Estados Unidos,
? datos sobre el ahorro de energía y el estudio de fenómenos naturales, como los referidos a la aplicación consecuente del PAEME,
? datos sobre el crecimiento demográfico mundial, el comportamiento de plagas y enfermedades.
Objetivos de la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables"
1. Recopilar datos relacionados con la obra económica y social de la Revolución, el carácter agresivo del imperialismo, indicadores económicos y sociales del capitalismo mundial, y la biodiversidad, para expresarlos en el lenguaje algebraico y viceversa, empleando para ello los números racionales.
2. Estimar, calcular y comparar el resultado de las ecuaciones lineales con una variable que se reducen a la forma a
x =b, con a, b números racionales (a ? 0) y que requieren de la transposición de la variable de un miembro a otro.
3. Esbozar figuras planas para la comprensión de problemas que conducen a la resolución de ecuaciones de la forma ax = b, con a, b números racionales (a ? 0), o sistemas de ecuaciones, en los que se apliquen propiedades de las figuras planas.
4. Resolver problemas relacionados con la vida económica del país y de la biodiversidad, que conduzcan al planteamiento de ecuaciones lineales que se reducen a forma ax = b, con a, b números racionales (a ? 0) o solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
Contenidos de la unidad:
2.1 Situaciones que se resuelven con ecuaciones lineales.
2.2 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
Contenidos del epígrafe 2.1.
Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa.
Resolución de ejercicios y problemas en que se utilizan variables para el cálculo del valor numérico de expresiones para un valor dado de x. Estimación y comparación de los resultados.
Procedimientos para la resolución de ecuaciones que se reducen a la forma a
x =b, con a, b números racionales (a ? 0), en las que se tenga que eliminar paréntesis, reducir términos semejantes y transferir términos de un miembro a otro.Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales que pueden ser reducidas a la forma a
x = b, con a, b números racionales (a ? 0), relacionados con datos económicos y sociales sobre los resultados de la obra de la Revolución y de las agresiones imperialistas, sobre la biodiversidad y en los que se apliquen propiedades de las figuras planas, así como magnitudes variables. Estimación y comparación de resultados.Resolución de problemas donde se planteen ecuaciones del tipo a(x+b) = c + x que permitan continuar reactivando la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición.
Los contenidos de la unidad temática 2.1 que constituyen objeto de estudio de la investigación se encuentran distribuidos, en las videos clases, destinado a perfeccionar y organizar el trabajo con los medios audiovisuales, de la siguiente forma:
VC-72 Introducción a la unidad 2. Igualdades que contienen variables.
VC- 73 -75 Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.
VC- 76 Traducción del lenguaje algebraico al lenguaje común.
VC- 77 Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa.
VC- 78 Valor numérico de expresiones algebraicas.
VC- 79 y 80 Ejercicios de cálculo de valor numérico.
VC- 81 Ejercicios de trabajo algebraico.
VC- 83 Ecuaciones lineales.
VC- 84 Resolución de ecuaciones lineales.
VC- 85 Ecuaciones lineales.
VC- 86 y 87 Resolución de ecuaciones lineales.
VC- 88 Resolución de problemas.
VC- 89 Ecuaciones lineales.
VC- 90 – 92 Resolución de ecuaciones lineales.
VC- 93 – 95 Resolución de problemas.
Diagnóstico actual del proceso de enseñanza–aprendizaje en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales
Con la intención de conocer el estado actual del problema (el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a ecuaciones lineales), se realizó durante el curso escolar 2008 – 2009, el diagnóstico del mismo, mediante encuesta a los alumnos de octavo grado (anexo II), prueba pedagógica (anexo IV); la observación a clases (anexo I) y a las preparaciones metodológicas del contenido que corresponde al problema planteado.
Los indicadores generales que se tuvieron en cuenta para el diagnóstico (observación a clases y encuesta) fueron:
a) La aplicación del Programa Heurístico General para la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales.
b) El contenido de la asignatura con respecto a la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal.
c) Las clases frontales.
Del análisis de los resultados de los métodos empíricos aplicados y considerando el objetivo del diagnóstico, se han de considerar las siguientes dificultades:
1. Es insuficiente la aplicación del Programa Heurístico General en la resolución de problemas.
2. Los profesores asisten a clases con dudas en el contenido.
3. No se resuelven suficientes ejercicios del texto, por parte del docente, previo a las clases.
4. Insufiencias en la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa.
5. insuficientes actividades metodológicas sobre resolución de problemas matemáticos relacionados con la vida práctica.
6. No se establece suficientemente nexos entre contenidos anteriores y los por conocer, en la preparación del docente lo que se refleja en la propia clase
7. No participación activa del profesor en la preparación y del alumno en la clase.
Se puede concluir de las dificultades señaladas que:
1. Los profesores no están suficientemente preparados para conducir exitosamente el proceso de resolución de problemas dentro de sus clases.
2. Poca solidez de los conocimientos que le sirven de base a los alumnos para la resolución de problemas matemáticos.
Se puede resumir que en la forma actual en que se trabaja la resolución de problemas matemáticos contribuye poco a la necesaria preparación de los alumnos para que puedan enfrentar exitosamente el proceso de enseñanza-aprendizaje de la signatura. Por la importancia del desarrollo en los alumnos, de la habilidad resolver problemas matemáticos, bajo la dirección del profesor, es necesario según los resultados del diagnóstico, que justifican el estado del problema de la investigación, proponer un sistema de ejercicios sobre resolución de problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal, relacionados con la vida económica, política y social del país, el cual incluya precisiones metodológicas que favorezcan la preparación de los profesores y alumnos en la asignatura.
Conocidas las deficiencias existentes en los alumnos en cuanto a la resolución de problemas matemáticos la autora determinó realizar un diagnóstico con el objetivo de constatar el desarrollo de habilidades alcanzadas por los alumnos al resolver problemas matemáticos. El mismo se aplicó en la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo" y se tuvo en cuenta los siguientes indicadores:
1. Comprensión del problema.
2. Búsqueda de la vía de solución.
3. Realización de la vía.
4. Solución y respuesta.
De los resultados anteriores se pudo comprobar que existen dificultades en la comprensión del problema, pues el alumno no realiza una correcta traducción del lenguaje común al algebraico, no establece las relaciones entre los elementos dados y buscados; de 45 alumnos, 11 que representan el 24,4% son evaluados de B, 6 para el 13,3% evaluados de R y 28 para el 62,2% evaluados de M; se les hace imposible buscar una vía de solución, 8 alumnos para el 17,7% evaluados de B, 5 para el 11,1% R y 32 para el 71,1% M; en la solución de la ecuación 6 alumnos logran resolverla y 5 realizan algunas transformaciones; no se comprueba para saber si el resultado encontrado es lógico; 5 obtienen B y 4 R, no se realiza el problema por otras vías.
Diseño del sistema de ejercicios
Fundamentación teórica y metodológica del sistema de ejercicios.
La asignatura Matemática se estudia en todos los grados de la Secundaria Básica y se ha concebido de manera tal que tanto su contenido como el enfoque ideológico y metodológico de su tratamiento, ilustran el papel de esta ciencia como un instrumento para conocer y transformar el mundo.
El sistema de ejercicios que se propone se fundamenta en los siguientes presupuestos teóricos:
1. Desde lo filosófico: Se asumen los fundamentos de la teoría Dialéctico Materialista del conocimiento y la teoría general de los sistemas: el hecho de que cada ejercicio es un eslabón de la cadena del sistema. Los ejercicios reúnen un sistema de criterios científicos, ideológicos y metodológicos, es decir, son un todo armónico desde el punto de vista de los objetivos, del contenido, de los métodos y de las medidas organizativas necesarias para la enseñanza (Pedagogía. Colectivo de autores: Pág. 285).
2. Desde las tendencias actuales de la pedagogía: que aborda como objeto el proceso conscientemente dirigido a la formación integral de la personalidad.
3. Desde la Didáctica: en sus leyes:
Primera ley: la escuela en la vida, que establece las relaciones del proceso docente-educativo con el contexto social. Esta establece la dirección del desarrollo del mismo, siendo el objetivo la categoría rectora. Constituye un pilar fundamental en el sistema de ejercicios docentes. En su estructura lógica concibe el problema, el objeto y el objetivo.
La segunda ley: la educación a través de la instrucción que define las relaciones internas entre los componentes del proceso docente-educativo, objetivo, contenido y método, evidenciado en la estructura del sistema propuesto. Cada ejercicio está diseñado teniendo en cuenta lo planteado anteriormente.
4. Desde lo psicológico: Se asume el enfoque histórico cultural de Vigotski como referente esencial, desde el cual se articula el sistema de ejercicios, atendiendo a la concepción desarrolladora de la enseñanza y de la educación, de manera que contribuya al desarrollo actual para ampliar continuamente los límites de la zona de desarrollo próximo y los progresivos niveles de desarrollo del sujeto, promoviendo y potenciando aprendizajes desarrolladores (Vigotski, 1987:14). La teoría de la actividad, al concebir la propuesta desde un sistema de ejercicios.
5. Desde el nuevo modelo de la Secundaria Básica:
El enfoque metodológico, en este nivel de enseñanza, está dirigido a desarrollar el pensamiento lógico y creador sobre la base de la resolución de problemas vinculados con la vida, relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo, así como con fenómenos y procesos científicos y ambientales, que estimulen el trabajo independiente de los alumnos y posibiliten el desarrollo de habilidades para darle aplicación a los conocimientos.
La autora propone este sistema de ejercicios partiendo de la experiencia acumulada en el trabajo con los alumnos de la educación Secundaria Básica durante 24 años. En este período de tiempo ha transitado por los tres grados de la enseñanza y en los últimos tres cursos se ha desempeñado como responsable municipal de Matemática en la enseñanza, constatando las dificultades existentes en este contenido.
6. Desde la teoría general de los sistemas.
La Teoría General de los Sistemas, según diferentes autores, es en sentido amplio, una forma científica de aproximación y representación de la realidad y al mismo tiempo una orientación hacia una práctica científica distinta. Su objetivo se asocia a la formación y derivación de principios aplicables a los sistemas en general, sin importar la naturaleza de sus componentes, ni las leyes o fuerzas que los gobiernan.
Disímiles han sido las definiciones de sistema encontradas en las bibliografías consultadas por la autora entre las que se encuentran:
"Conjunto delimitado de componentes, relacionados entre sí que constituyen una formación íntegra". (Julio Leyva 1999).
"Conjunto de elementos que guardan estrechas relaciones entre sí, que mantienen al sistema directo o indirectamente unido de forma más o menos estable y cuyo comportamiento global persigue, normalmente un objetivo". (Marcelo Arnold y F. Osorio, 2003).
"Conjunto de elementos reales o imaginarios, diferenciados no importa por qué medio del mundo existente. Este conjunto será un sistema sí:
– Están dados los vínculos que existen entre estos elementos.
Cada uno de los elementos del sistema es indivisible.
El sistema interactúa como un todo con el mundo fuera del sistema".
(L. H Blumenfeld, 1960).
"Conjunto de elementos en interacción. Interacción significa que un elemento cualquiera se comportará de manera diferente si se relaciona con otro elemento distinto dentro del mismo sistema. Si el comportamiento no difieren, no hay interacción y por tanto tampoco hay sistema." (Pablo Cazau, 2003)
"Cierta totalidad integral que tiene como fundamento determinadas leyes de existencia… El sistema está constituido por elementos que guardan entre sí determinada relación "(Zhamin, V. A, 1979).
"Un conjunto de entidades caracterizadas por ciertos atributos que tienen relaciones entre sí y están localizados en un cierto ambiente de acuerdo con un criterio objetivo… Las relaciones determinan la asociación natural entre dos o más entidades o entre sus atributos" (Juana Rincón, 1998).
El Dr. Carlos Álvarez de Zayas lo define como: "[…] conjunto de componentes interrelacionados entre sí, desde el punto de vista estático y dinámico, cuyo funcionamiento está dirigido al logro de determinados objetivos […]" [8]
La autora resume como sistema: un conjunto de objetos (procesos) relacionados entre sí por alguna forma de interacción, que los identifica determinada independencia y coherencia, donde los objetos o procesos adquieren el significado de elementos componentes y sus relaciones determinan el significado alrededor del cual se integran estos, a la vez que los elementos componentes le aportan sentido al sistema. En la determinación del sistema se revelan las relaciones entre los elementos componentes y el comportamiento del todo, la autora también asume el concepto planteado por el Dr. Carlos Álvarez de zayas ya que en el mismo plantea que los componentes del sistema de ejercicios guardan estrecha relación entre sí y su funcionamiento va dirigido al logro de los objetivos propuestos.
Concepciones básicas y categorías de la Teoría General de los Sistemas.
La Teoría General de los Sistemas se fundamenta en tres premisas básicas, a saber: los sistemas existen dentro de sistemas; los sistemas son abiertos y las funciones de un sistema se relacionan con su estructura. Esta teoría está condicionada por ideas básicas que se han generado a partir de su aplicación y que se resumen en las siguientes:
1. Existe una nítida tendencia en su aplicación hacia la integración de diversas ciencias, lo que se aprecia en los diferentes campos de la cultura en que se han empleado, constituyendo la Teoría General de los sistemas y el método sistémico estructural una vía que permite generar una integración de las ciencias.
2. La integración de los diferentes campos de la cultura se produce sobre la base del objeto o proceso estudiado como sistema.
3. La Teoría General de los sistemas y el método sistémico estructural constituye una alternativa para la construcción del conocimiento científico.
4. La Teoría General de los sistemas afirma que las propiedades de los sistemas no pueden ser comprendidas, explicadas e interpretadas en términos de sus elementos componentes por separado.
Características que debe poseer un sistema como resultado científico pedagógico (centralización, jerarquización, integridad).
La integridad, constituye la relación necesaria y obligatoria entre los componentes del sistema, por lo que al cambiar uno de estos conduce generalmente al cambio de todo el sistema.
La jerarquización, implica que en los diferentes componentes del sistema existe el orden inferior y superior.
La centralización, está relacionada directamente con el elemento anterior, debido a que el elemento jerarquizado constituye el núcleo entorno al cual giran los demás, es un elemento rector.
La autora elaboró un sistema de ejercicios para fortalecer el desarrollo de habilidades en la solución de problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal.
Sistema de ejercicios: No es un grupo cualquiera de ejercicios, este conjunto debe cumplir determinados principios, deben estar en correspondencia con los objetivos que se propone (asimilación de conceptos, teoremas, procedimientos). [9]
Los sistemas de ejercicios para desarrollar habilidades deben tener las siguientes características: estar concebido de lo simple a lo complejo, con un carácter sistémico y sistemático; y que contribuya a la formación integral de los alumnos.
Para concebir un sistema de ejercicios con las características antes expuestas, se requiere de un diagnóstico certero para que el profesor conozca en detalles la zona de desarrollo actual (ZDA) de cada alumno que tiene en el aula y así, poder incidir en la zona de desarrollo potencial (ZDP), graduando los ejercicios de diversas maneras, tantas como estudiantes tenga.
El sistema de ejercicios está estructurado por niveles y subsistemas donde el componente rector es el objetivo general del mismo. Cada nivel tiene como componente el objetivo específico de este y los ejercicios que dan cumplimiento al mismo, los cuales se encuentran interrelacionados, ordenados. Estos ejercicios a la vez constituyen subsistemas dentro de otro nivel. Entre cada uno de los elementos del subsistema hay relaciones de coordinación (se apoyan unos en otros) y también existe subordinación entre los subsistemas (los objetivos del sistema menor depositan al sistema mayor, los subsistemas inferiores sirven de base a los superiores y estos a su vez se subordinan a los inferiores y todos al objetivo general del sistema, es decir, al sistema mayor).
Objetivo general: Elaborar un sistema de ejercicios matemáticos sobre problemas que conducen a una ecuación lineal en la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables" de manera que fortalezca el desarrollo de habilidades en los alumnos de octavo grado.
Objetivo del componente 1: Desarrollar habilidades en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales de la forma a x + b = c.
Objetivo del componente 2: Desarrollar habilidades en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales de la forma a x + b x + c = d.
Objetivo del componente 3: Desarrollar habilidades en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales con paréntesis.
Objetivo del componente 4: Desarrollar habilidades en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales donde no se conoce el total; es decir, problemas de parte-todo, establecer relaciones donde un elemento dependa de otro.
El sistema general promueve nuevas exigencias, pues, los ejercicios se van graduando de forma tal, que requieran de un análisis más profundo por parte del alumno, y aplique conocimientos anteriores, además los pueda aplicar luego, en contenidos posteriores.
El sistema propuesto es abierto porque opera e intercambia con el mundo circundante, considera las relaciones de intercambio del objeto con el medio o contexto por medio de entrada y salida de influencias. Es eminentemente adaptativo porque puede reajustarse constantemente a las condiciones del medio.
El concepto de frontera se identifica con los límites entre el sistema de ejercicios para fortalecer el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales.
La sinergia del mismo se expresa al alcanzar cualidades que son el resultado de la integración de los elementos componentes que no se manifiestan en ellos por separado, la totalidad del proceso no es igual a la suma de sus elementos componentes, sino que implica una nueva cualidad diferente y superior por lo que se tendrá que mirar no a sus elementos componentes uno por uno, sino a la integración del sistema como la totalidad en su complejidad, su organización y las relaciones que de ella surgen estableciéndose de esta forma la recursividad y subsistemas.
Entre los componentes se establecen relaciones de yuxtaposición. Lo mismo ocurre con los sistemas de orden menor declarados en los componentes.
Teniendo en cuenta que los problemas matemáticos revisten gran importancia al permitir dar solución a diferentes situaciones de la vida económica, política y social, la autora tuvo presente algunas condiciones teóricas sobre la resolución de problemas para dar cumplimiento a la propuesta.
Para la elaboración de los ejercicios la autora realizó los siguientes pasos:
1. Revisar la bibliografía referente al tema.
2. Elevar gradualmente el nivel de dificultad, complejidad y actualidad.
3. Incluir ejercicios que conduzcan al planteo y solución de ecuaciones ya estudiadas.
4. Los ejercicios propuestos incluyen datos tomados de la realidad objetiva del país.
Todos los elementos antes expuestos se concatenaron a la hora de confeccionar cada uno de los ejercicios. La autora primeramente realizó un estudio minucioso de la bibliografía encontrada referente al tema.
Con el objetivo de que los mismos no se convirtieran en una reproducción mecánica, sino más bien en una apropiación consciente del contenido, fue elevando gradualmente el nivel de dificultad, complejidad y actualidad.
Sistema de ejercicios
El sistema de ejercicios que se propone está integrado por 10 componentes basados en ejercicios para fortalecer la habilidad resolver problemas matemáticos, los cuales conduzcan a una ecuación lineal. Se formulan ejercicios de los tres niveles de asimilación del conocimiento, (reproductivo, productivo y creativo). Los del primer nivel son ejercicios de resolución de ecuaciones lineales de las formas estudiadas y que se reducen a la forma ax =b. Los del segundo nivel son ejercicios de cálculo del valor numérico, traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa. En el tercer nivel se plantean ejercicios con textos y problemas que conducen a ecuaciones lineales de las formas estudiadas, de los últimos ejercicios se desconoce el total y principalmente son de parte-todo. En los ejercicios se va graduando el nivel de complejidad, existe flexibilidad y relación entre los mismos.
Condiciones previas para el tratamiento de los problemas en la unidad 2 de Octavo Grado.
1. Comprensión de textos matemáticos.
2. Cálculo básico con números racionales.
3. Traducción del lenguaje común al algebraico.
4. Resolución de ecuaciones lineales.
5. Reducción de términos semejantes.
Un aspecto importante es que el profesor debe dominar el nivel en que se encuentra cada alumno, es decir, conocer las diferencias individuales; así como la actualización del diagnóstico inicial.
Tratamiento metodológico de la resolución de problema.
Orientación hacia el problema.
La motivación puede estar vinculada a las potencialidades del problema para contribuir al desarrollo intelectual de los alumnos. El profesor debe dirigir sus acciones a que estos asimilen el problema, o sea, que comprendan su esencia y lo conviertan en el objetivo de su actividad. Los alumnos han de separar las condiciones del problema, es decir, los datos y las relaciones entre ellos, así como las exigencias que éste plantea (lo que se busca). La utilización en esta fase de tablas, esquemas y dibujos ayuda a ilustrar el contenido del problema y la dependencia entre las magnitudes que entran en él.
Para la comprensión del problema el profesor pudiera realizar los siguientes impulsos.
Lee el problema detenidamente una o varias veces.
¿De qué trata el problema?
Formula el texto con tus propias palabras.
Trabajo en el problema.
Lo esencial de esta fase es la búsqueda de una estrategia para resolver el problema.
Buscar los datos dados y buscados.
Extraer las palabras claves "cuanto más", "suman juntos", "la misma cantidad", "excede en", "en total", "tercera parte".
Hacer esbozos de gráficos.
Formulación ventajosa del texto.
El profesor puede realizar los siguientes impulsos.
¿Qué es conveniente hacer para iniciar la resolución del problema?,
¿Qué datos nos ofrece el problema?,
¿Qué se pide?,
¿Podría proponerse el problema de otra manera?,
¿A qué rama de la Matemática pertenece el problema planteado?,
¿Qué es conveniente hacer para representar las relaciones contenidas en el problema?,
¿Haz resuelto algún problema similar?,
¿Son suficientes los datos?
Solución del problema.
Se realiza el plan de solución, se comprueba el resultado obtenido y se da la respuesta al problema. En este caso el profesor puede guiar al estudiante mediante los siguientes impulsos:
¿Necesita realizar cálculos intermedios?
¿Cuál puede ser aproximadamente nuestro resultado?
Evaluación de la solución y la vía.
El análisis de la solución del problema tiene como objetivo el precisar la idea fundamental del plan de solución empleado, sus momentos esenciales, la generalización del procedimiento para resolver los problemas de un tipo determinado.
Se analizan también otras vías de solución en busca de de la solución más racional. Este procedimiento puede ser guiado mediante los siguientes impulsos:
¿Es el resultado hallado la solución del problema?,
¿Qué debemos hacer para estar seguro de ellos?,
¿Cuáles son las soluciones?, ¿tiene lógica?, ¿es única?,
¿Cómo procedimos para hallar la solución del problema?,
¿Es aplicable esta vía a la solución de otro problema?,
¿Puede resolverse por otra vía?, ¿cuál?
Los ejercicios propuestos abarcan los tres niveles cognitivos, es decir, reproductivos, productivos y creativos.
Metodología para la propuesta
El ejercicio 1 y 2 se puede aplicar en los diez minutos finales de las video-clases de la 72 a la 76, estos ejercicios propuestos constituyen la base para luego resolver los problemas planteados.
Los ejercicios (3 y 4) se pueden proponer de tarea para la casa en las videos -clases de la 80 a la 83.
Los ejercicios 5 y 6 se pueden utilizar para las clases de la 84 a la 87, son ejercicios para resolver ecuaciones lineales con paréntesis. El 7 y 8 pueden ser propuestos en las videos-clases de la 88 a la 92 como una vía de evaluación de desempeño del alumno en el aula y los ejercicios 9 y 10 en las videos-clases de la 93 a la 95.
Propuesta de ejercicios.
Ejercicio 1. Los alumnos del octavo 2.
1.1 Resuelve la ecuación 5x + 12 = 72
1.2 Determina para qué valores de la variable, la ecuación 5x + 12 = 72 es una proposición verdadera.
1.3 Al aumentar en 12, el quíntuplo de los alumnos del subgrupo B del octavo 2, obtenemos como resultado 72. ¿Cuántos alumnos tiene el subgrupo B del octavo 2?
Para resolver este ejercicio los alumnos deben dominar el procedimiento de solución de una ecuación lineal de la forma a x + b = c, calcular el valor numérico de una expresión algebraica, así como traducir del lenguaje común al algebraico para luego darle solución al ejercicio con texto planteado.
Respuesta. El subgrupo B del octavo 2 tiene 12 alumnos.
Ejercicio 2. Continuamos resolviendo ecuaciones.
2.1 Determina el conjunto solución de la ecuación
2.2 Expresa en el lenguaje algebraico.
Si la cuarta parte de un número lo aumentas en 6 obtienes 9 como resultado.
2.3 El 25% de un número aumentado en 6 da como resultado 9. Determina qué valor obtienes para la variable.
En este ejercicio el alumno debe resolver una ecuación lineal de la forma anterior (a x = b), teniendo en cuenta el cálculo con números fraccionarios, traducir del lenguaje común al algebraico para luego darle solución al ejercicio con texto planteado. En 2.2 y 2.3 obtiene la misma ecuación que en 2.1.
Respuesta. El valor obtenido para la variable es 12.
Ejercicio 3. Los juegos olímpicos.
3.1 Resuelve y comprueba. x + x – 1 + x + 3 = 194
3.2 ¿Qué tipo de proposición obtienes si sustituye la variable por 64? Fundamenta.
3.3 Cuba ha participado en algunas de las ediciones de los Juegos Olímpicos. Hasta el 2008 se han obtenido un total de 194 medallas, las de bronce es igual a las de plata disminuido en 1, mientras que las preseas de oro superan en 3 a las de plata.
a) ¿Cuántas preseas de cada tipo ha obtenido Cuba en Juegos Olímpicos?
b) ¿Qué por ciento representan las medallas de oro con respecto al total?
En este ejercicio el profesor puede utilizar los diferentes impulsos de cada una de las fases para la resolución de problemas de forma tal que el alumno llegue a plantear una ecuación del tipo ax + bx + cx = d, en la cual aplicando transformaciones equivalentes llegue a la solución del problema planteado.
Respuesta. Cuba hasta el 2008 ha obtenido en Juegos Olímpicos 64 medallas de plata, 63 de bronce y 67 de oro. Las medallas de oro representan 34,53% respecto al total.
Ejercicio 4. El huracán Ike.
4.1 Calcula el valor de la variable, en la ecuación x + x – 79 + 2x -123= 1370
4.2 Expresa en el lenguaje común.
a) x – 79
b) 2x – 123
4.3 El huracán Ike a su paso por Cuba en el 2008, arreció las fuerzas de sus vientos sobre las provincias de Holguín, Las Tunas y Camagüey dañando 1370 instalaciones educacionales. En Las Tunas afectó 79 instalaciones menos que en Camagüey y en Holguín el duplo de las de Camagüey disminuido en 123. ¿Cuántas instalaciones educacionales fueron afectadas en cada una de estas provincias?
Fuente: Periódico trabajadores 15-9-2008
x + x -79+2x -123= 1370
La solución de este ejercicio permite que el profesor pueda realizar trabajo político-ideológico con sus alumnos sobre los daños que ocasionan estos fenómenos a Cuba en particular y qué hace el Estado cubano en función de la protección de la población y los medios.
Ejercicio 5. Las edades de Ernesto y Pedro.
5.1 Calcula el valor de la variable en la ecuación 5x + 6 (x + 4) = 112.
5.2 Fundamenta en la ecuación anterior cada paso efectuado.
5.3 Ernesto y Pedro son dos hermanos. Ernesto es 4 años menor que Pedro, si multiplicas la edad de Pedro por 6 y la de Ernesto por 5 y sumas dichos productos obtienes como resultado 112. ¿Qué edad tiene cada uno?
En el ejercicio planteado el alumno debe resolver una ecuación lineal con paréntesis, el profesor puede apoyarse en diferentes impulsos para que el alumno llegue a la solución del problema que se plantea.
Ejercicio 6. La edad de Sucel.
6.1 Calcula el conjunto solución de la ecuación 2 (3x + 5) = 4x + 58.
6.2 Determina el valor de la variable en la ecuación 3 (2x + 5) = 5x + 39 y justifique si es equivante o no con la anterior.
6.3 Si el triplo de la edad de Sucel se aumenta en 5 y se multiplica por 2, se obtiene el cuádruplo de su edad aumentado en 58. ¿Cuál es la edad de Sucel?
En el ejercicio el alumno debe apoyarse en contenidos anteriores, como es la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, la reducción de términos semejantes, el concepto de ecuaciones equivalentes y la resolución de ejercicios con textos y problemas.
Ejercicio 7. Ejercicios de preparación.
7.1 ¿Cuál de las expresiones siguientes representan la afirmación que se indica?
Este ejercicio conduce a resolver un problema de parte y todo, el profesor puede guiar la solución del ejercicio haciendo uso de diferentes impulsos.
Ejercicio 8. Actividad por el 4 de abril.
8.1 Reduce los términos semejantes en la expresión
8.2 ¿Cuál es el valor de la variable si igualas la expresión anterior a -18?
8.3 Los pioneros del grupo 8vo 1 realizan una caminata en saludo al 4 de abril a Cinco Palmas. El recorrido lo efectúan en tres tramos. En el primer tramo recorren el 20% de los kilómetros que debían recorrer, en el segundo tramo, la mitad del resto y en el tercero el 18 km.
a) ¿Cuántos kilómetros hay desde la escuela hasta el sitio histórico Cinco Palmas?
b) ¿Cuántos kilómetros recorrieron en cada tramo?
En este caso el total no se conoce, por lo que el alumno puede establecer las relaciones entre las partes, debe tener dominio de porcentajes cómodos para interpretar el por ciento que le dan, establecer las relaciones parte-todo. El alumno debe llegar a plantear la ecuación
el resultado que se obtiene es 45.
Ejercicio 9. Actividad por el 28 de septiembre.
En una actividad por el día de los CDR (Comité de Defensa de la Revolución) se invitó a determinado número de personas, los niños representan la sexta parte del total, los mayores el 30% del resto, los jóvenes el duplo de los niños y además otras personas que no asistieron, cuyo número coincide con el resultado de la ecuación anterior. ¿Cuántos niños, jóvenes y mayores asistieron a la actividad?
Ejercicio 10. Competencia de atletismo.
En una competencia provincial de atletismo la cantidad de atletas que obtuvieron medallas de oro representan
del total de participantes, los que alcanzan medallas de plata coincide con la quinta parte de los niños del ejercicio anterior, el 75% del resto de los participantes no obtienen medallas. ¿Qué cantidad de atletas obtienen medallas de bronce si se conoce que los mismos exceden en 6 a los que ganan medallas de oro?
En este ejercicio el alumno debe:
Tener el resultado de la cantidad de niños del ejercicio anterior (30).
Tener habilidades de cálculo con números fraccionarios y racionales.
conocer el significado de las palabras claves (total, coincide, exceden).
Luego apoyado en los impulsos que le da el profesor, después de leer varias veces el texto planteado, traduce del lenguaje común al algebraico, para ello es necesario que reconozca que no conoce el total de participantes, lo cual lo designa con una variable (x).
Después de aplicar transformaciones equivalentes el resultado que obtiene es:
Total de participantes 45, obtienen oro 3, plata 6, bronce 9 y no obtienen medallas 27.
Para valorar los resultados de la investigación se realizó la variante experimental pre-experimento con pre-test y pos-test. El análisis de los resultados de su aplicación constituye el contenido esencial de este tema.
La propuesta consta con algunas recomendaciones cuya función es dirigir el proceso de resolución de problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal y un sistema de ejercicios que facilita la preparación de los docentes para enfrentarse a dicha tarea.
Resultados de la puesta en práctica de la propuesta
Para la validación de la propuesta se utilizó el pre-experimento, lo que permitió la aplicación de la misma a la muestra seleccionada. En la aplicación de éste la autora se apoyó en los 3 Profesores Generales Integrales del grupo, de los cuales 2 son licenciados en el área de las humanidades, con 5 años de experiencia uno, 2 años el otro y 1 es estudiante en formación de tercer año. Por lo que se considera que no poseen la suficiente preparación y experiencia con respecto al tema que se investiga.
El trío fue preparado sobre la base de los objetivos de esta etapa de la investigación, las particularidades del proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática en Octavo Grado de la Secundaria Básica y las necesidades de los alumnos en relación a dicho proceso.
Como pre-test se considera la prueba pedagógica inicial aplicada (anexo IV), la observación a la resolución de problemas de Matemática, las visitas a clases, para apreciar el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal, y las necesidades de los alumnos en relación a este proceso.
Los instrumentos fueron aplicados a los 45 alumnos del grupo objeto de estudio, como parte de la constatación empírica, permitiendo obtener juicios valorativos acerca de la importancia del desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos en los alumnos. El pre-experimento se diseñó atendiendo a los requerimientos establecidos para la utilización de este método de investigación.
Para la evaluación de la prueba pedagógica se tuvieron en cuenta los siguientes indicadores:
Comprensión del problema.
Formulación de una ecuación lineal.
Realización de la vía.
Comprobación y respuesta.
La calificación obtenida por los alumnos se midió teniendo en cuenta tres categorías:
Bien (B): si logra resolver correctamente los ejercicios.
Regular (R): si establece las relaciones entre los elementos dados y buscados, plantea la ecuación pero no llega a encontrar la solución.
Mal (M): aquellos que no comprenden el problema planteado y no encuentran la solución.
Niveles:
Alto (A): aquellos que se ubican y alcanzan la categoría de B.
Medio (M): aquellos que se ubican y alcanzan la categoría de R.
Bajo (B): aquellos que se ubican y alcanzan la categoría de M.
La resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal se encuentra en el plan temático del Programa de Octavo Grado, en la unidad 2 "Igualdades que contienen variables" y se imparte en las videos-clases de la 72 a la 95, que comprende las semanas de la 15 a la 19. Los ejercicios se ejecutan intercalados en las clases, principalmente en los diez minutos de trabajo en el aula, y en las tareas de estudio independiente, los mismos deben estar en correspondencia con los niveles cognitivos, es decir, I, II y III nivel.
Tipo de experimento: natural, pedagógico, formativo con control mínimo.
Objeto del experimento: perfeccionamiento del proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática en la educación Secundaria Básica.
Objetivo del experimento: demostrar la efectividad del sistema de ejercicios a través de la aplicación a la resolución de problemas en el Octavo Grado.
Unidades experimentales: 45 alumnos de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo" y tres Profesores Generales Integrales.
Medios experimentales.
La prueba pedagógica inicial se realizó con el objetivo de precisar hasta que punto se desarrollaba el nivel de los conocimientos básicos para la resolución de problemas en la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables".
Experimento de constatación.
Constatar el nivel de desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal.
Prueba pedagógica inicial (anexo IV). Los resultados cuantitativos de este instrumento se reflejan a continuación. Se aplicó una prueba de tres preguntas, teniendo en cuenta los niveles cognitivos y los conocimientos necesarios para resolver un problema.
En la tabla (anexo V) de esta prueba se presentó el 100 % de los alumnos que se seleccionaron como muestra. Entre los resultados más significativos se encuentra que sólo el 24.4 % de los alumnos realizan la comprensión correctamente, el 17,7% llega a plantear la ecuación correspondiente, el 13,3% la resuelve y el 11,1% llega hasta la respuesta del problema planteado. El 62,2% de los alumnos no comprenden el problema y en su mayoría no realizan el problema.
Los resultados obtenidos permitieron arribar a las siguientes conclusiones:
No son capaces de realizar una correcta comprensión del problema planteado, no traducen del lenguaje común al algebraico ni establecen las relaciones entre los elementos dados y buscados por lo que no pueden formular una ecuación lineal que conlleve a la solución del problema.
Para determinar el modo de actuación de los estudiantes ante esta problemática se aplicó la observación a clases anexo (I) donde se pudo constatar que es insuficiente el trabajo en la resolución de problemas.
Experimento formativo.
El experimento se desarrolló desde septiembre de 2008, hasta abril de 2009.
El sistema de ejercicios fue introducido en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática por el Profesor General Integral que imparte la asignatura en el grupo.
Antes de aplicar el sistema de ejercicios en la práctica educativa los docentes recibieron preparación en actividades metodológicas, en la preparación del grado y clases demostrativas, desarrolladas por la investigadora.
La fase experimental concluye con la constatación del estado final.
Experimento de control.
Constatar el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal.
Con la aplicación de la prueba de salida después de aplicada la propuesta, para el análisis de los resultados se tuvieron en cuenta los mismos indicadores que en la prueba de entrada y se obtuvieron los siguientes resultados:
En el indicador de la comprensión del problema fue significativo el avance de los alumnos, donde el 88,9 % de la muestra alcanza la categoría de Bien, el 6,7% la categoría de Regular y el 4,4% no comprenden aún el problema. El indicador de planteo de una ecuación lineal, alcanzan la categoría de Bien el 84,4 %, el 8,9% la categoría de Regular y el 6,7% de Mal. En la solución de la ecuación el 80% de los alumnos llegan a la solución, el 13,3% alcanzan la categoría de regular y el 6,7% no llegan al final de la ecuación. La comprobación y respuesta del problema planteado, lo resuelven correctamente el 80%, la categoría de Regular la obtiene el 11,1% y el 8,9%, que representa 4 alumnos no resuelven el problema. Para el análisis de los resultados nos basamos en la aplicación de los métodos teóricos, combinados a su vez con los métodos del nivel empírico y los matemáticos o estadísticos.
Control del experimento.
a) Factores planificados
Vía de introducción del sistema de ejercicios: programa de la asignatura Matemática en Octavo Grado.
Tipos de actividades donde se introduce el modelo: actividades docentes en la asignatura y el nivel de preparación del docente.
La estructura del procedimiento de acuerdo a las transformaciones originadas por el modelo teórico en la práctica pedagógica.
El local donde se aplican las actividades posee adecuadas condiciones higiénicas, por los mismos muestran limpieza, el medio que se utilizará para organizar el éxito del proceso docente está bien distribuido y organizado. El estado de ventilación es favorable y la iluminación es apropiada.
b) Factores fijos:
Programas de la asignatura Matemática.
Docente que introduce sistema de ejercicios.
Horario docente de la asignatura.
Periodo de realización del experimento.
c) Factores condicionales:
Formación psicológica: hábitos, habilidades, sentimientos y conducta.
Preparación del docente: PGI del grupo que imparte la asignatura.
Condiciones materiales: lápices, libretas, Cuaderno complementario.
Condiciones organizativas: cumplimiento del horario, limpieza organización.
Condiciones higiénicas: adecuada limpieza y organización.
Tipo de diseño: pre-experimento con pre-test y post-test.
Análisis e interpretación de los resultados
Resultados comparativos de las pruebas pedagógicas inicial y final respondiendo a la categoría de Bien y Regular.
Realizando una comparación entre la prueba pedagógica inicial y la final podemos destacar que se observaron avances, pues hasta el tercer indicador, que es la resolución de la ecuación planteada, en la prueba inicial sólo 6 alumnos alcanzan la categoría de bien y 5 de regular, y en la prueba de salida se observa que hasta este indicador 36 alumnos logran ubicarse en la categoría de bien y 6 en la de regular.
Valoración cualitativa de la investigación
Para determinar la efectividad del sistema de ejercicios se realizó un experimento con medición antes y después y se aplicó el mismo durante el curso 2008-2009 en un grupo de 45 alumnos de Octavo Grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo", del municipio Media Luna, Granma, que fueron parte de la muestra caracterizada en el presente trabajo, por lo que éste constituye su medición inicial.
Se seleccionó la muestra de forma intencional tomando como rasgo para su selección que estuviera en un nivel bajo de manifestación de la habilidad resolver problemas matemáticos.
Como se ha explicado el sistema de ejercicios se planificó a partir de las necesidades educativas de cada alumno descubiertas en el diagnóstico inicial y en su aplicación se observaron las siguientes características.
1. Aumento gradual de la necesidad de la Matemática para resolver problemas hasta alcanzar en último período altos niveles de motivación.
2. Predominio de la atención voluntaria, aumentando su estabilidad y concentración.
3. Cierta mejoría en los procesos de la memoria y la conciencia, lo que se manifiesta en la comprensión e interpretación de los problemas que se plantean, aunque con niveles de ayuda son capaces de llegar a las soluciones de los ejercicios planteados.
4. Necesidad de utilizar ejercicios variados para estimular la motivación y la concentración en la resolución de problemas.
5. Es necesario que los alumnos dominen correctamente los ejercicios de traducción del lenguaje común al algebraico, la resolución de ecuaciones lineales y el cálculo con números racionales.
Durante la realización de la investigación se efectuaron varias observaciones a clases y evaluaciones, para ir obteniendo información de la marcha del desarrollo de habilidades en la resolución de problemas, comprobándose los avances que se esperaban.
Como se puede observar en el anexo VII la medición final nos ofrece datos superiores en el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, con respecto a la medición inicial, no obstante, debemos seguir trabajando con diferentes tipos de problemas en las clases para continuar fortaleciendo el desarrollo de esta habilidad.
La presente tabla nos muestra los resultados obtenidos.
No | Indicadores | Pre-tes | Pos-test | % Final | ||||||||
1 | Comprensión | 11 | 40 | 88,9 | ||||||||
2 | Planteo de la ecuación | 8 | 38 | 84,4 | ||||||||
3 | Solución de la ecuación | 6 | 36 | 80 | ||||||||
4 | Comprobación y respuesta | 5 | 36 | 80 | ||||||||
Al finalizar el experimento 5 alumnos se mantienen con una categoría de Regular, los que aún poseen algunos errores en relacionar los elementos dados y buscados y en la resolución de ecuaciones lineales, 36 alumnos culminaron con una categoría de Bien en la manifestación de la habilidad, esto quiere decir, buena motivación y habilidad adquirida en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, aunque hay que señalar que al finalizar el experimento 4 alumnos poseen insuficiencias con dicha habilidad requiriendo de una atención más diferenciada, en correspondencia con las características psicológicas que poseen.
Del proceso investigativo realizado se pueden relacionar las siguientes conclusiones:
1. El análisis histórico realizado permitió constatar el verdadero desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje del desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en el nivel de Secundaria Básica, lo que junto al proceso de diagnóstico, permiten demostrar la existencia de la insuficiencia declarada como problema y la necesidad de darle solución por la vía científica.
2. La determinación de los fundamentos teóricos permitió trazar determinadas acciones necesarias, para el diseño del aporte práctico de la investigación, que son a su vez los fundamentos teóricos asumidos de la aplicación de los métodos teóricos y empíricos a la muestra escogida.
3. La variante experimental utilizada para valorar la efectividad de la propuesta, demostró que la estructuración permite fortalecer el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal lo cual permitió confirmar la hipótesis de trabajo formulada lo que presupone el objetivo cumplido, el objeto transformado, y por tanto, el problema solucionado.
1. Utilizar los referentes de la investigación como fundamento de otras investigaciones, así como la propuesta de ejercicios en el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal en la asignatura Matemática en los alumnos de Octavo Grado.
Que el siguiente trabajo se incorpore a partir del curso 2009 – 2010 al trabajo metodológico de la ESBU: Pedro de Céspedes del Castillo con la participación de su autora para su materialización.
Generalizar la investigación en las demás escuelas de la enseñanza en el municipio Media Luna.
2. Utilizar los fundamentos de esta investigación como referentes para otros trabajos, así como las actividades aquí propuestas para el trabajo en otros grados en la Educación Secundaria Básica.
1. Addine Fernández, Fátima. Didáctica: Teoría y práctica. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2001
2. Álvarez de Zayas, C.: Fundamentos teóricos de la dirección del proceso docente educativo en la Educación Superior Cubana, Editorial ENPES, La Habana, 1990.
3. Ayes Ametller, Gilberto. Proyecto de tesis. Editorial Pueblo y Educación, La Habana 2008
4. Ballester Pedroso, S. y otros. Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo1.Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2001.
5. ______________________. Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo II. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2000.
6. _______________________. El transcurso de las líneas directrices en los programas de Matemática y la planificación de la enseñanza. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2002.
7. Campistrous, L. y C. Rizo: Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1996.
8. Castro Ruz, Fidel: "Discurso pronunciado el 16 de septiembre de 2002 en la inauguración del curso escolar 2002-2003 en la Plaza de la Revolución". Tomado de la página digital del periódico Granma.
9. ______________: "Discurso pronunciado el 16 de septiembre de 2002 en la inauguración del curso escolar 2002-2003 en la Plaza de la Revolución"
10. Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la Matemática 1. Jungk. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
11. Delgado Rubí, Juan Raúl. Tesis en opción del grado de Doctor en Ciencias Pedagógicas. La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. Ciudad de la Habana, 1999.
12. Del Valle Coronel, María, María Margarita Curotto. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca. Argentina. E-Mails: [email protected]; curotto48@ yahoo,com.ar. Consultado en enero 2009
13. Demanda del pueblo de Cuba al gobierno de Estados Unidos por daños humanos. 1999
14. Didáctica de la Matemática en la escuela primaria. Editorial Pueblo y Educación.
15. El Experimento pedagógico: vía para introducir los resultados investigativos en la práctica educativa. (digital, Maestría en Ciencias de la Educación, de Amplio acceso).
16. Ferrer Medrazo, María Teresa. "Habilidades Pedagógicas". Tesis en opción del grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Ciudad Habana, 2002.
17. Ferrer Vicente, Maribel. Tesis en opción del grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. La resolución de problemas en la estructuración de un sistema de habilidades matemáticas en la escuela media cubana. Santiago de Cuba, 2000.
18. García Batista, Gilberto. Compendio de Pedagogía. MINED. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
19. González V. y otros: Psicología para educadores. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 2004.
20. Hernández Carballo, María J. "Propuesta de un diseño curricular para el desarrollo de habilidades intelectuales". Tesis en opción al título académico de Máster en educación avanzada. Camaguey, 2000.
21. Herrera Clavero, Francisco. Habilidades cognitivas. Dpto. de Psicología Evolutiva y la Educación. Universidad de Granada. www.monografias. Com. Consultado en febrero 2009.
22. Labarrere, A: La solución y formulación de problemas como forma de contribución al desarrollo de habilidades y el pensamiento matemático.
23. Labarrere Reyes, Guillermina. Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación. La Habana., 2000.
24. Llivina Lavigne, Miguel J. "Una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matemáticos". Editorial Pueblo y Educación, La Habana 2002.
25. MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Módulo I, primera parte. Tema 2: La Batalla de ideas y sus realizaciones (Educación Secundaria Básica). (La Habana)
26. ______________________________________ Módulo I, segunda parte. Tema 2: Introducción al proceso de investigación científica. (La Habana)
27. ______________________________________ Módulo II, primera parte. Tema 1: El Diseño metodológico de la investigación. (La Habana)
28. ______________________________________ Módulo II, segunda parte. Tema 1: La psicología en la práctica educativa del maestro. (La Habana)
29. ______________________________________ Módulo II, segunda parte. Tema 3: La educación y el desarrollo de la personalidad en la edad escolar, adolescencia y juventud.
30. _____________________________________ Módulo III, segunda parte. Tema 1: La Matemática en el nivel de Secundaria Básica. (La Habana)
31.______________________________________ Módulo III, segunda parte. Tema 2: Generalidades de la Didáctica de la Matemática. (La Habana)
32. ______________________________________ Módulo III, segunda parte. Tema 3: Consolidación en la enseñanza de la Matemática. (La Habana)
33. ______________________________________ Módulo III, segunda parte. Tema 4: Evaluación del aprendizaje de la Matemática. (La Habana)
34. ______________________________________ Módulo III, segunda parte. Tema 5: Diferenciación de la enseñanza de la Matemática. (La Habana)
35. Márquez Rodríguez, Aleida. Habilidades Reflexiones y Proposiciones para su evolución. (http://www.educacion.jalisco.qob.mx/consulta/educar/09/9gilpere).
36. Matemática: Octavo grado. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1990.
37. Mijares Bermúdez, Elvira. Diccionario Básico Escolar II Edición. Tomo I A-K. 2008.
38. MINISTERIO DE EDUCACIÓN: Colectivo de autores. Modelo de escuela Secundaria Básica. La Habana.
39. Miranda Suárez, Dioscorides. Tesis en opción al título de Master en Didáctica de la Matemática. Una estrategia para la comprensión de los problemas en el segundo ciclo de la enseñanza primaria. Holguín, 2004.
40. Muñoz Baños, Félix, Joaquín Agüero García, Enrique Montes de Oca Méndez. Matemática: Orientaciones Metodológicas octavo grado. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1990.
41. Nocedo de León, Irma y otros. Metodología de la investigación educacional. Segunda parte. Editorial Pueblo y Educación. La Habana,2001.
42. ___________________ y otros. Orientaciones metodológicas 7mo grado. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1989.
43. Orientaciones metodológicas: octavo grado. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 2004.
44. Orientaciones sobre las modificaciones curriculares en Secundaria Básica a partir del curso 2008-2009.
45. Palacio Peña, Joaquín. Colección de problemas matemáticos vinculados con la vida. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 2002.
46. Parra, B. Dos Concepciones de Resolución de Problemas. En Educación. Matemática 2,3, 22-31.
47. Programa: Octavo grado. Secundaria Básica. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 2004.
48. Programas y precisiones de la asignatura Matemática en las Secundarias Básicas seleccionadas. Editorial Pueblo y Educación. Curso 2002-2003.
49. Quintana Valdés, A. y otros: Cuaderno complementario. Matemática 8. grado. Editorial Pueblo y Educación, La Habana . 2006.
50. Rebollar Morote, Alfredo. Tesis en opción del grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Una variante para la estructuración del proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática, a partir de una nueva forma de organizar el contenido, en la escuela media cubana. Santiago de Cuba, 2000.
51. Resolución de problemas. http://www.monografias.com/trabajos7/proe/proe.html.
Consultado en enero del 2009.
52. Rizo Cabrera, Celia. La formación de habilidades y capacidades en la Enseñanza de la Matemática.- En Educación (Habana), XIII No 43, enero-marzo 1983.
53. Rubinstein, S. L: "El problema de las capacidades y las cuestiones relativas a la teoría psicológica".
54. SEMINARIO NACIONAL PARA EDUCADORES. ( I [ s.a ] ) Tema 1. Aprendizaje y diagnostico. (La Habana) , [ s.a ]
55. _____________________________________ ( II [s.a ] ) Tema 2. Problemas en el aprendizaje de los alumnos y estrategias generales para su atención. (La Habana), [s.a]
56. _____________________________________ ( V [s.a ] ) Tema 3. Dirección del proceso del Aprendizaje de las asignaturas priorizadas. (La Habana), [s.a ]
57.________________________________________ (VI [s.a]) Tema 1. La Investigación educativa como sustento de las transformaciones educacionales. (La Habana) , [ s.a ]
58. Vigostki. Aportes a la pedagogía. www.monografias. Com.
59. Zillemer, Wolfgang. Complementos de metodología de la enseñanza de la matemática. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.
ANEXO I
Guía de 0bservación.
Objeto: Proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática en el octavo grado.
Objetivo: Constatar el trabajo que realiza el profesor del grupo octavo 1 para el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos.
Tipo de observación: Abierta, directa, externa.
Cantidad de observadores: 1
Tiempo: 45 min.
Frecuencia: 1 semanal
Aspectos a observar:
1. Tratamiento al contenido para estimular la formación y desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos.
2. Manifestación de complejidad y dificultad del contenido.
3. Manifestación de la flexibilidad (variabilidad de los ejercicios).
Indicadores:
1. Utiliza una situación problémica para motivar la clase.
siempre____ a veces_____ nunca_____
2. Posee dominio del contenido a impartir que favorezca la construcción del conocimiento.
siempre____ a veces_____ nunca_____
3. Utiliza métodos que facilitan la actuación independiente del alumno.
4. siempre____ a veces_____ nunca_____
5. Elabora ejercicios que den la posibilidad a los alumnos para enfrentarse a diferentes situaciones de la vida práctica.
siempre____ a veces_____ nunca_____
6. Elabora ejercicios en los cuales el alumno pueda transitar por los tres niveles cognitivos.
siempre____ a veces_____ nunca_____
Anexo II
Encuesta
Objeto: Alumnos.
Objetivo: Constatar el grado de motivación que se logra en la mayoría de los alumnos durante las clases de Matemática.
Tipo de encuesta: Grupal.
Tipo de preguntas: Cerradas.
Nuestro centro está realizando un estudio sobre la resolución de problemas matemáticos, con vista a determinar las insuficiencias y buscar solución a las mismas. Para lograrlo necesitamos que nos ayudes y responda con sinceridad las preguntas. Es anónimo, es decir, no tienes que escribir el nombre.
1. Te gustan las clases de Matemática.
____si ____ no ____a veces
2. Dominas el procedimiento para resolver problemas matemáticos.
____si _____ no
3. Te gusta que durante la clase de Matemática se resuelvan problemas.
____si ____ no ____a veces
4. Los problemas que proponen en las clases son de fácil comprensión.
____si ____ no ____a veces
Anexo III
Resultados de la encuesta.
Gráfica.
Anexo IV
Prueba pedagógica inicial
Objetivo: Determinar el nivel de desarrollo que poseen los alumnos en la habilidad resolver problemas matemáticos.
1 Resuelve y comprueba.
a) 10 m – 6 = 3m + 29
2 Traduce al lenguaje algebraico.
a) El duplo de un número aumentado en nueve.
b) Las tres cuartas partes de un número disminuido en cinco.
c) El cuádruplo de un número excede en tres a treinta y tres.
3 La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 18. Si la cifra de las centenas es el triplo de de la cifra de las unidades y la cifra de las decenas excede en tres a la cifra de las unidades. ¿Cuál es el número?
Indicadores.
Pregunta 1
Agrupar términos semejantes.
Transponer de un miembro a otro los términos semejantes.
Despejar la variable.
Comprobar el valor obtenido.
Escribir el conjunto solución.
Pregunta 3
Comprensión del texto.
Formular la ecuación.
Resolución de la ecuación.
Comprobación.
Anexo V
Resultados de la prueba pedagógica inicial.
Pregunta 1
Muestra | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | total | % | |
45 | 35 | 31 | 20 | 3 | 2 | 20 | 44,4 | |
Pregunta 2
Muestra | a) | b) | c) | total | % | |
45 | 38 | 27 | 12 | 23 | 51,1 | |
Pregunta 3
No | Indicadores | B | % | R | % | M | % | |||||||||||
1 | Comprensión | 11 | 24,4 | 6 | 13,3 | 28 | 62,2 | |||||||||||
2 | Planteo de la ecuación | 8 | 17,7 | 5 | 11,1 | 32 | 71,1 | |||||||||||
3 | Solución de la ecuación | 6 | 13,3 | 5 | 11,1 | 34 | 75,6 | |||||||||||
4 | Comprobación y respuesta | 5 | 11,1 | 4 | 8,88 | 36 | 80 | |||||||||||
Gráfica
Anexo VI
Prueba pedagógica final
Objetivo: Conocer el desarrollo alcanzado en la habilidad resolver problemas que conducen al planteamiento y resolución de una ecuación lineal.
1. Resuelve y comprueba
7x – 5 = 2 (x – 10)
2. Traduce al lenguaje algebraico.
a) El quíntuplo de un número disminuido en seis.
b) El 20 % de un número aumentado en 21.
c) La tercera parte de un número m excede en dos a 15.
3. En una preparación para la prueba de ingreso de IPVCE, tres pioneros, Luis, Adrián y Olga, deciden resolver cierta cantidad de ejercicios. Luis resolvió la mitad de los mismos, Adrián 1/3 del resto y Olga el 25% de los que quedaban, y no resolvieron 12 ejercicios. ¿Cuántos ejercicios resolvió cada uno?
Indicadores.
Pregunta 1
– Aplicar propiedad distributiva en el miembro derecho.
Transponer de un miembro a otro los términos semejantes.
Reducir términos semejantes.
Despejar la variable.
Comprobar el valor obtenido.
Escribir el conjunto solución.
Pregunta 3
Comprensión del texto.
Formular la ecuación.
Resolución de la ecuación.
Comprobación
Anexo VII
Resultados de la prueba pedagógica final.
Pregunta 1
Muestra | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | total | % | |
45 | 44 | 44 | 43 | 42 | 35 | 35 | 43 | 95,5 | |
Pregunta 2
Muestra | a) | b) | c) | total | % | |
45 | 43 | 43 | 42 | 42 | 93,3 | |
Pregunta 3
Gráfica
Anexo VIII
Comparación entre la prueba pedagógica inicial y final.
DEDICATORIA
… A mi hija, que de una forma u otra, me ha brindado su ayuda.
… A la hermosa obra educacional guiada por nuestro indiscutible líder Fidel, que me ha permitido realizar uno de mis más preciados sueños.
… A mi esposo por su comprensión y apoyo, porque termine exitosamente la investigación.
AGRADECIMIENTOS
… A la hermosa obra de la Revolución cubana.
… A todos mis compañeros, por su aliento para llevar adelante esta investigación.
… A mis padres y hermanos que siempre me han apoyado en mi superación.
…A todos los que de una forma u otra me aconsejaron seguir adelante en todo momento.
Autor:
Edania Victoria Jiménez Gómez
Roberto Sosa Gutiérrez
Enviado por:
Amaury Rondon Aguilar
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
INSTITUTO SUPERIOR PADAGÓGICO
"BLAS ROCA CALDERÍO"
GRANMA
MATERIAL DOCENTE
PRESENTADO EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO
DE MÁSTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN EN LA MENCIÓN SECUNDARIA BÁSICA.
Media Luna
2009
"Año del 50 Aniversario del Triunfo de la Revolución"
[1] V. Gonz?lez M. y otros: Psicolog?a para educadores. P. 91
[2] Mijares Berm?dez, Elvira. Diccionario B?sico Escolar II Edici?n. Tomo I A-K. 2008.
[3] Parra, B,(1990). Dos Concepciones de Resoluci?n de Problemas. Revista educaci?n. Matem?tica 2,3, 22-31.
[4] S. L Rubinstein: ?El problema de las capacidades y las cuestiones relativas a la teor?a psicol?gica?, p. 24
[5] A. Labarrere: La soluci?n y formulaci?n de problemas como forma de contribuci?n al desarrollo de habilidades y el pensamiento matem?tico. P. 95
[6] L. Campistrous y C. Rizo: Aprende a resolver problemas aritm?ticos. P IX-X
[7] M. J Llivina. ?Una propuesta metodol?gica para contribuir al desarrollo de la capacidad para resolver problemas matem?ticos?. P. 48
[8] C. ?lvarez de Zayas: Fundamentos te?ricos de la direcci?n del proceso docente-educativo en la Educaci?n Superior Cubana, Editorial ENPES, La Habana, 1990, p. 20
[9] Mu?os Ba?os, F?lix. Orientaciones metodol?gicas 7mo grado. 1989.
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