En las operaciones que realizaban figuraban lo que tendrían que pagar, y todo aquello que obtenían, pero no contaban con ningún recurso que, mediante signos, simplificara sus trabajos: ¿Cuánto di? ¿Cuánto recibí? ¿Qué ganancias alcancé? ¿He tenido pérdidas?. Surgen así muchos sistemas de numeración en dependencia del grado de desarrollo y civilización alcanzado por los pueblos. Aún hoy, algunos grupos étnicos de Oceanía, América, Asia y África emplean un lenguaje matemático que solo incluye las palabras UNO, DOS y MUCHOS.
Entre los sistemas de numeración más antiguos están (Griego – Jónico, Eslavo antiguo,Cirílico, Glagolítico, Hebreo, Arabe, Georgiano, Armenio, etc),y la escritura más antigua que se conserva del Griego – Jónico data de del siglo V a.n.e. Estos tenían la comodidad de la brevedad en la escritura, sin embargo, eran poco útiles para las operaciones con números grandes y se exigen grandes esfuerzos para realizarlas.
Algunos utilizaban sistemas de MUESCAS en madera, otros apilaban piedrecillas y otros recurrían a partes de su cuerpo como los dedos, los ojos o las orejas para realizar sus cuentas.
A partir de la elección de determinados símbolos para representar las cantidades, la historia de los números es un fascinante proceso de perfeccionamiento. En la mayoría de los sistemas de numeración de la civilización mesopotámica y egipcia se seguía un criterio de agrupamiento de los símbolos para construir estructuras fácilmente identificables a primera vista. Pero cuando los números son realmente grandes, este procedimiento no es eficaz.
Sistemas posiciónales no decimales y luego sistemas decimales
Entre estos están: (Babilónico1, indio, las Tribus Mayas de la península del Yucatán, hindú, binario actual), etc.
El paso de la contabilidad manual a la escritura de los números se dio, según datos históricos, en Elán, tierra perteneciente al actual Irán, 4000 años antes de Cristo. Allí se creó un rudimentario sistema de símbolos cuneiformes para representar algunos números que luego fueron adoptados por los Sumerios de la Baja Mesopotámia, a los cuales corresponde el honor de haber creado las cifras más antiguas de la historia, antes incluso que la escritura.
Algunos escribanos egipcios inventaron un símbolo para la decena similar a una U invertida. Así, cuando se trataba de escribir 11, lo que se hacía en realidad era simbolizar 10+1 o 1+10. Con otro símbolo distinto representaban una decena y otro para el millar.
El surgimiento de la numeración egipcia sirvió de base a las posteriores formas de contar griega y romana, basada en la repetición de símbolos y la sucesión de estos en orden ascendente o descendente. El sistema de los egipcios tenía una base 10- decenas, centenas, millares… -en el de los romanos el 5 (los dedos de una mano). En un principio los romanos no conocían limitación para repetir los símbolos de modo que cuatro se escribía 1111 y cuarenta XXXX.
Ese número 10, cuya elección fue muy frecuente, corresponde evidentemente, como lo subrayaron en particular Aristóteles y Federico Engels, a los diez dedos de las dos manos, sobre las que los hombres aprendieron a contar. Por eso la mayor parte de los sistemas de hoy en día tienen esta base.
Hay algunas excepciones, como los Mayas, los Aztecas y los Celtas, contaban con sistemas de base 20, porque utilizaban los dedos de los pies y de las manos. Todavía hoy perdura la huella de este modo de numeración. Por ejemplo, en Francia, 80 se dice cuatro veinte. Por su parte, los sumerios y babilonios sumaban en complicados grupos de 60. De ellos hemos heredado la división del tiempo en horas de 60 minutos y minutos de 60 segundos, y la distribución del círculo en 360 grados.
En cualquier caso estos sistemas, sufrían de serias limitaciones. Cada vez que se superaba una determinada cantidad había que inventar un nuevo símbolo, añadir una nueva letra del alfabeto, que en aquella época eran muy escasas.
La solución a este problema la ofreció un desconocido matemático hindú que inventó el sistema de numeración que hoy se rige en la mayor parte del planeta. Hace aproximadamente 2200 años, los hindúes manejaban los símbolos actuales: 1 para el uno, 2 para el dos, 3 para el tres… hasta el 9. A partir del 9, utilizaban símbolos distintos para el diez, el cien o el mil.
No se ha determinado aún, cómo ni cuándo, surgió la genial idea de sustituir este sistema por uno que tuviera en cuenta que el número 200 equivale a 2 veces 100, el 20 a dos veces 10 y el 2 a un par de unos. Es decir, todas las cantidades se pueden construir con repeticiones de algo. De este modo se creó un método en el que el primer símbolo representara el número de unos (unidad). El segundo por la izquierda el número de dieses (decenas), el siguiente el número de cientos (centenas)…, lo cual resuelve el problema de los números grandes, ya que basta con ir añadiendo cifras a la izquierda para aumentar la cantidad. Sin embargo, seguía habiendo una limitación.
Si quisiéramos escribir el número dos mil nueve que está formado por nueve unidades y dos millares, sin centenas ni decenas, lo cual era en esos momentos imposible. Podría representarse 29, lo cual sería incorrecto. También podría dejarse un espacio intermedio 2 – – 9 pero la tipografía de la época no lo permitía sin que se produjesen errores. Había que buscar un símbolo que dejase claro que en ciertas posiciones no hay nada.
La representación numérica de la nada es uno de los avances más importantes de la civilización humana y se produjo hace unos 1300 años, siendo los hindúes sus responsables. Había surgido el cero, con el que se podría representar cualquier cantidad grande o pequeña sin riesgo de error, incluso el 2009.
El original sistema de numeración se extendió como pólvora por medio mundo ya que permitía operar con grandes cifras de un modo muy sencillo. Entre los griegos y romanos, por ejemplo, realizar una división o una multiplicación medianamente complicada requería años y años de estudios de matemáticas. Con este hallazgo cualquier persona puede aprender las reglas básicas de la aritmética.
Alrededor del año 800 de n.e., estos números se habían difundido por las regiones del norte de la India, donde habitaban pueblos de lengua árabe. Sin embargo, tuvieron que pasar dos siglos más para que esta numeración se instaurara definitivamente entre los matemáticos europeos. El Italiano Leonardo Finobacci entró en contacto con ellos durante un viaje al norte de África en 1202. Sus tratados fueron divulgados por los comerciantes, que enseguida entendieron las excelencias del nuevo sistema para llevar su contabilidad. Aún así, la huella dejada por los romanos perdura en la historia. De hecho, hoy escribimos los siglos o destacamos la importancia de Papas y Reyes utilizando los números romanos: Juan Pablo II, siglo XX, etc.
Los diferentes signos empleados para escribir los números en los diferentes sistemas se les designan como cifras o guarismos, pero ¿Qué es la numeración?
Sistema de signos o símbolos utilizados para expresar los números
Los diferentes signos empleados para escribir los números en los diferentes sistemas se les designan como cifras o guarismos.
Las voces guarismos, cifras y número tienen varios significados entre los cuales están:
-Una cantidad que puede estar formada por dos o más signos.
-Cada uno de los signos que tienen lugar en esa cantidad.
En estas dos acepciones los tres vocablos son sinónimos, sin embargo, el vocablo dígito, y estos son, únicamente y por separado, los diez signos que van del cero al nueve. De tal forma, las tres primeras palabras, es decir, guarismo, cifra y número son sinónimos de la voz dígito nada más que en la segunda acepción.
Las matemáticas son misteriosas, están llenas de anécdotas hermosas y tienen una historia milenaria y fascinante. Puede que tengamos un sentido innato para la percepción numérica, pero las operaciones con los dígitos son otra cosa.
Según muchos psicólogos, el cerebro humano es el órgano del que se cree que conocemos sólo, y con gran asombro, el 8%. Tiene dos hemisferios y cada uno tiene funciones bien diferenciadas y no está diseñado, por ejemplo, para multiplicar. Por eso debemos aprender de memoria las tablas y nos cuesta tanto retenerlas.
Está dividido en tres partes:
– el tronco cerebral (cerebro reptil).
– el sistema limbito (cerebro mamífero).
– el neocortex (cerebro pensante).
Toda la información que recibimos es a través de los sentidos y transmitida al cerebro para que éste la procese e interprete. La mayoría de las personas tienen un canal preferido para recibir la información que se necesita aprender. Así, hay personas:
– VISUALES: Aprenden mejor por lo que ven,
– AUDITIVOS: Aprenden mejor por lo que oyen,
– KINESTÉSICOS: Aprenden mejor si están envueltos en la propia actividad, usando sus manos, su cuerpo, sus sentimientos.
Por lo general, en un grupo de personas hay un 29% con preferencia visual, un 34% auditiva y un 37% Kinestésica. "Aprendemos a través de todos nuestros sentidos"
¿Cuándo comenzamos a familiarizarnos con los números y con las primeras operaciones con ellos?
Teniendo en cuenta la teoría del conocimiento marxista, sabemos que los números naturales tienen sus raíces en la realidad objetiva ya que el concepto de número se logró como resultado del análisis ininterrumpido de los hombres con el mundo, a través de un proceso de abstracción de ese mundo, con lo cual podemos describir no solo lados positivos de esa realidad, quiere decir, no solo cuantitativamente, sino también cualitativamente, o sea que podemos cambiarlos a nuestra conveniencia.
Los números, que no existen como tal en el mundo físico, sino que es una construcción subjetiva de nuestro cerebro, aparecen con su elegante representación, a la menor ocasión, insinuándonos una infinidad de operaciones, de combinaciones e interpretaciones.
-¿Cómo es posible que los comprendamos?
-¿Qué mecanismos cerebrales permiten que una simple raya (el 1), un círculo (el 0) o una especie de churro (el 8) cobre un sentido en nuestra mente y nos lleguen a evocar tantas cosas?
Según muchos Psicólogos y neurólogos, parece que nuestro cerebro está equipado desde el nacimiento con un exclusivo sentido matemático. Para el ser humano percibir los números es una cualidad innata tan natural como el canto en ciertas aves.
Antes de adquirir el lenguaje, el pequeño ya sabe distinguir los números, puede diferenciar cuándo una caja tiene muchos juguetes y cuando tiene pocos e incluso hace sumas y restas mentales. A la edad de 5 meses, cuando se le esconde un juguete al niño debajo de la almohada y luego es introducido otro juguete, él espera encontrarse 2.
El hombre en números
¿Qué áreas de nuestro cerebro se activan a la hora de pensar en números?
Estudiando el tiempo que invertimos en la comparación de dos cifras, la Psicología, la neurología y las nuevas técnicas para la obtención de imágenes del cerebro, han descubierto que nuestro cerebro examina los dígitos arábigos según una representación interna de las cantidades que se produce sobre todo en la región parietal inferior. Pero según qué operación realicemos con dichos números, se activará esta región en uno u otro hemisferio y se estimularán otras partes del cerebro.
–La lectura de los números se efectúa al 100% en hemisferio izquierdo y el cálculo mental, en un 94%.
-La comparación de dos cantidades, exige un esfuerzo apenas mayor al hemisferio izquierdo que al derecho.
-El reconocimiento visual y la asignación de cifras requieren idéntica actividad de ambos.
-El reconocimiento visual de los dígitos activa la región occipital temporal ventral en ambos hemisferios.
-Las cantidades que corresponden a cada número se representan mentalmente en el área parietal inferior también de las dos mitades.
-Para memorizar los resultados de una operación se ponen en marcha la corteza prefrontal.
Ha sido determinado, también, el tiempo que demora nuestro cerebro en realizar determinadas operaciones numéricas:
-Reconocimiento de números arábigos: 150 milisegundos.
-Reconocimiento de la expresión léxica del número: 150 milisegundos.
-Comparación entre dos números: 190 milisegundos.
-Corrección de errores: 470 milisegundos.
El cerebro de Albert Einstein (1879-1955), que comenzó a leer cuando tenía siete años y sus profesores lo describieron con un niño torpe, según un estudio realizado en 1999, reveló que:
-Las áreas dedicadas al aprendizaje de las matemáticas era un 15% superior a las del resto de las personas.
-Su cerebro pesaba unos 150 gramos menos de lo común.
-Mayor desarrollo de la zona dedicada a las funciones matemáticas y la gran concentración de células, llamadas glias, que alimentan a las neuronas.
-La ranura o depresión que recorre el cerebro desde su parte frontal hasta la posterior era mucho menor que en las demás personas, lo cual, según científicos Canadienses, pudo haber proporcionado mayor espacio a las neuronas y mejores condiciones para establecer las intercomunicaciones entre ellas.
¿Qué significan los números que utilizamos en nuestro sistema de numeración decimal de acuerdo a la relación con los planetas, signos zodiacales, y otros elementos de la naturaleza?
-El número uno se identificó, además, con la razón.
-El número dos con la opinión (una persona titubeante son, en realidad dos, ya que no conoce su propia voluntad).
-El número tres el número impar auténtico.
-El cuatro encarnaba la salud, la armonía, la razón, la justicia inmutable y equitativa.
-El cinco lo consideraban el matrimonio por ser la suma del primer número par y el primer impar.
-Se atribuyen el número siete a la diosa virgen Atenea" porque es el único de la década que no tiene ni factores ni producto".
-Los eclesiásticos inventaron la docena del fraile, declaraban al número 12 como signo de la felicidad y denominaron el número 666 como el número de la fiera.
-Los números 6 y 28 los consideraban perfectos porque eran iguales a la suma de sus propios divisores, o sea: (6=1+2+3 y 28=1+2+4+7+14).
-Para los pitagóricos los números 220 y 284 eran amigos pues cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.
Las cifras han ejercido tanta atracción por el hombre que no les ha permitido escapar a la tentación de reflejar en guarismos su existencia y la conformación de su cuerpo. Así:
-Una persona que pulse una tecla de una computadora 75 mil veces, hará un esfuerzo equivalente a levantar 50 toneladas.
-Una persona que pese 40 kg tendrá aproximadamente 3 litros de sangre, o sea 3 000 000 mm3 y como en cada mm3 hay 5 millones de glóbulos rojos, el número total de los mismos en la sangre será 5 000 000 x 3 000 000 = 15 000 000 000 000 ¡Quince billones de glóbulos rojos!.
-Al leer un libro de 300 páginas al mes, los ojos recorrerán una distancia de 12 kilómetros de texto al año.
-Una persona de 70 años realizará más de 99 millones de inspiraciones y expiraciones a través del movimiento respiratorio y su corazón habrá latido, aproximadamente 2800 millones de veces.
-La cantidad de sangre que pasa por el corazón, durante toda la vida de una persona, es calculada entre 150 y 200 toneladas.
-Una persona de 175 libras ingiere cerca de 100 toneladas de alimentos, o sea 1250 veces su peso.
-En el nervio óptico del ojo humano, hay unas 900 000 fibrillas que llevan la información visual al cerebro.
-Una persona adulta puede distinguir hasta 100 000 matices del espectro cromático.
-Los pulmones del ser humanos están compuesto por unos 700 millones de alvéolos (ampollitas microscópicas a través de las cuales intercambian gases el aire y la sangre).
-En cada milímetro cúbico de sangre hay de cuatro a cinco millones y medio de eritrocitos y en una persona adulta 35 millones. Si se disponen en fila, darían 7 vueltas a la tierra.
-La extensión total de los vasos sanguíneos (empatados) de un individuo darían diez veces la distancia de la Habana a Moscú.
-La música es un fascinante vehículo para facilitar la relajación y un medio para activar estados de ánimo.
-La música y las matemáticas, aunque son conceptos aparentemente diferentes, comparten cierta similitud en su organización interna, basada en las proporciones, la armonía y el carácter creativo de su lenguaje. Ambas estimulan las regiones más remotas del cerebro y aumentan sin límite las conexiones de la inteligencia, o sea, que la música y las matemáticas despiertan la materia gris.
–El agua forma parte de los organismos vivos:
-Una vaca lechera necesita 4 litros de agua para producir 1 litro de leche.
-De a cuerdo a las diferentes combinaciones de O2 e H pueden encontrarse 135 aguas diferentes.
-La mayor profundidad oceánica se encuentra en la fosa de las marianas 11022 m (fosa de Vityad)
-La catarata más alta: El salto del Ángel (1000 m)
-El cuerpo humano adulto está constituido por más de 60 billones de células.
-Existen tantas especies de organismos que si tuviéramos fotos de cada una y quisiéramos mandársela a un amigo, utilizando minutos con cada foto tardaríamos aproximadamente 1380 días.
-El hombre ha encontrado fósiles hasta 2000 millones años de antigüedad.
-En la naturaleza existen 14500 especies de musgos.
-El carbón de piedra tiene su origen en enormes helechos que viven hace 300 millones de años.
-En la época de reproducción, una trucha de arrollo puede producir unos 5600 huevos y en el bacalao 6000000 de huevos
-Es tal el contenido de agua de algunas medusas, que pueden representar hasta el 95 % de la masa total de su cuerpo.
-Una lombriz intestinal durante sus seis o diez meses de vida llega a poner hasta 30 millones de huevos.
-La historia de la tierra se remonta 4500 millones de años.
-El centro de la tierra se encuentra a 6370 Km de profundidad aproximadamente.
-A pesar de los 1370 millones de Km3 con que cuenta el planeta es un recurso escaso que creará conflictos de alcance global.
-Unas 34 mil personas mueren diariamente en el mundo por beber agua contaminada, equivalente al choque de 100 aviones Jumbs.
2000a.de C: Los primeros sistemas de numeración de base 60 surgen en las civilizaciones sumerias y babilonias, alrededor del año 2000 antes de Cristo. Anteriormente existían sistemas de notación de números muy sencillos.
450 a. De Cristo: Los griegos heredan el sistema matemático babilónico en un primer momento. Pero desde el año 450 antes de Cristo desarrollaron su sistema propio. Pitágoras es el gran precursor de las matemáticas de la Grecia antigua.
Siglo III a. De Cristo: Arquímedes domina el panorama de los números al extender la numeración griega hasta la notación de números muy grandes, lo que pone en práctica calculando el número de granos de arena que tiene el universo. Acotó el número (pi) entre 3.14084 y 3.14285.
Siglos IV y V: Se extiende el cero y la numeración decimal de origen indio, que constituye la base del concepto actual de número y por tanto del álgebra y de las matemáticas modernas.
628: El matemático indio Brahmagupta habla por primera vez del infinito como el inverso del cero.
1500: Los mayores avances en la matemática europea hasta el momento llegan de la mano de nombres como Galileo y Copérnico, el sistema de notación con decimales que hoy rige en los países anglosajones.
1604, Snellius crea la notación con comas que utilizamos en el resto de los países. 1840: Francia es el primer país en adquirir el sistema métrico decimal de manera obligatoria.
En este trabajo se ha podido observar que el surgimiento de los sistemas de numeración de las diferentes culturas, que han existido a través de los años en la humanidad, han estado sujetos a resolver sus necesidades más vitales y cada civilización, atendiendo al desarrollo alcanzado, utilizó un sistema más avanzado le que permitía satisfacer sus necesidades.
El sistema que resolvió todas las dificultades que existían en los anteriores fue el sistema de base 10, o sistema decimal que comúnmente se conoce como "números Indo-arábicos", que tuvo su surgimiento debido, como han manifestado varios historiadores y filósofos, a la coincidencia fisiológica de contar con diez dedos en las manos y los pies con los cuales el hombre aprendió a contar.
El surgimiento del sistema decimal y en particular del cero, dio un gran impulso al desarrollo de la sociedad, donde cada una de sus cifras fue asociada a determinados elementos de la naturaleza o de las actividades propias que el hombre realizaba.
Las cifras han ejercido tanta atracción por el hombre que no les ha permitido escapar a la tentación de reflejar en guarismos su existencia y la conformación de su cuerpo.
La lectura e interpretación correcta de este material, posibilitará conocer las diferentes etapas por las cuales han atravesado los distintos sistemas de numeración durante la historia de la humanidad y su vinculación directa con elemento materiales del mundo que nos rodea, permitiendo además, identificar cómo estos han favorecidos el desarrollo de las sociedades humanas.
Su utilización en el quehacer diario y su posterior ampliación contribuirá a que se despierte el interés y la curiosidad para lograr mayor conocimiento de éstos, lo cual estaría sujeto a las posibilidades reales de los lectores y garantizará darle más sentido y objetividad a la necesidad del número como un elemento distintivo.
Por otra parte, el contenido del texto, debe ser entendido como un acercamiento del hombre con los números y su relación directa con éstos, así como una aproximación a la importancia que tuvieron en el pasado y tienen en la vida moderna, sin los cuales sería prácticamente imposible avanzar. Su completo entendimiento no depende de un alto nivel de conocimientos matemáticos, sino todo lo contrario.
De igual manera, el contenido se ha elaborado para ilustrar de manera sencilla cómo influyen los números en el hombre, por lo que sería recomendable trabajar en su completamiento en próximas etapas.
Anexo 1: Datos Biográficos de Pitágoras (569- 500 a.n.e)
Parece haber nacido en Grecia, en la Isla de Samos, y se piensa que fue discípulo de Thales de Mileto. Hijo de Mnesarchres, recorrió los caminos del Egipto donde cayó prisionero del jefe militar Persa, Cambyses, quien lo llevó a babilonia donde vivió por 12 años asimilando los discursos de los sacerdotes Haldei.
Después de viajar por Egipto y encontrase a su país ocupado por los Persas se traslada a Grecia donde funda su famosa escuela-secta o hermandad, conocida como la Orden de los pitagóricos , en Crotona, al sur de Italia, donde se discutía , por vía oral y todo se atribuía al venerado fundador de la escuela de Filosofía, Matemáticas y Ciencias Naturales. Debido a su influencia política y religiosa, la escuela es destruida a principios del siglo V, pues la sociedad imperante en la época, mostraba características típicas de una secta religiosa: Conspiración, reglas para vestir, reglas para alimentarse, ceremonias de inhumación y teorías de trasmigración de las almas, etc, siendo el principal mérito el haber convertido el estudio de lo cuantitativo, de lo numéricamente comprensible, en un componente de la descripción del mundo. Muchos miembros de las clases altas le escuchaban e incluso las mujeres infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas y acudían a oírle, entre las que se encontraba Teano, hija de su huésped Milo, con la cual se casó. Una característica específica de esta sociedad consistía en que la unión con lo divino debía lograrse mediante una profundización en las leyes maravillosas del mundo de los números.
La escuela – secta, florece bajo la protección del tirano Polícrates. Era una organización secreta en la que sólo podían entrar los jóvenes aristocráticos que pasaban difíciles pruebas. Los iniciados tenían que prometer un silencio de 5 años: hasta que sus "alumnos no se purificaban por la música y la secreta armonía de los números" no tenían derecho de ver al maestro y sólo escuchaban su voz desde el otro lado de una cortina.
Su filosofía estaba basada en los números enteros, pilares del conocimiento humano, de ahí el estudio de los números enteros y su clasificación en pares, impares, perfectos, amigos, figurados, etc.
Los jueces de una de las primeras olimpiadas de la historia no querían dejarlo participar como boxeador debido a su pequeña estatura. Más él, abriéndose paso venció a todos los contrarios.
Pitágoras planteaba: "El número es el principio de todas las cosas".
"Los números son las razones matemáticas en que las medidas adquieren sentido y nuestras facultades primarias lo identifican y hacen comprender, teniendo la propiedad de ser los exponentes más elementales y exactos que existen en la práctica" y añadía:
" Los números son principios absolutos en la aritmética, principios aplicados en la música, magnitudes en estado de reposo en la geometría y magnitudes en movimiento en la astronomía, y " Un número es una razón, la razón un sonido, el sonido una forma y la forma un movimiento"" (música geométrica de Pitágoras)
Einstein escribió sobre Pitágoras:
"Parece sorprendente y extraordinario el mismo hecho que el hombre fuera capaz de alcanzar ese grado de seguridad y pureza en el pensamiento abstracto como el que nos mostraron por primera vez las ideas científicas pertenecientes a Pitágoras y cuales, a sus discípulos".
Según el criterio pitagórico, los números no son el resultado de un proceso de abstracción del hombre, o sea un proceso de abstracción de la realidad objetiva, sino que ellos mismos son circunstancias objetivas dotadas de cualidades como el amor y el odio, masculino y femenino, etc.
Pitágoras matematizó, de acuerdo a su construcción del mundo el alma, considerándola "el polvillo del sol" que para Lenin era igual a partícula de polvo, átomo. A él se le debe la propia palabra Matemática y sus dos ramas dobles:
Sus Mandamientos eran:
• Haz aquello que posteriormente no te haga sentir pena ni arrepentimiento.
• No hagas nunca lo que no sabes. Pero aprende todo lo que hay que saber…
• No descuides la salud de tu cuerpo…
• Acostúmbrate a vivir sencillamente y sin lujo.
• Cuando quieras dormir no cierre los ojos sin antes haber analizado todos tus actos del día anterior.
1. Casanova, Gastón, La Matemática y el Materialismo Dialéctico. Ed Nacional de Cuba. Editora del consejo Nacional de Universidades, La Habana, 1965.
2. Enciclopedia Encarta, 2006.
3. Golovanov, Yaroslav. Semblanza de Grandes Hombres de Ciencias. Edit Progreso, Moscú, 1986.
4. Iglesia Janeiro, j. La Cábala de Predicción. Ed "Latino Americana", SA, México,DF.
5. Perelman,Y,I, Matemáticas Recreativas. Edit MIR, Moscú, 1971.
6. Plan C y D de la Carrera de Ingeniería Industrial.
7. Red: Suplemento Científico Técnico. Juventud Rebelde, 13 de Mayo de 2001.
9. Periódico, Juventud Rebelde, La Habana , Cuba,205.
10. Revista Chavos · 15 – 19/03/1995 México
11. Ribnikov, K, Historia de las Matemáticas. Edit. MIR Moscú, 1991.
12. Revista Muy. _España. Arroba Gyj. es
13. Turnbull, W Herbert, Grandes Matemáticos, editorial Científico-Técnica. Cuidad de la Habana. Segunda Edición, 1984.
14. Suplemento Orbe, del 1 al 7 de Mayo, 2004.
1. Babilónicos: Observadores atentos de los fenómenos celestes con el fin bien interesado en descubrir en ellos, según creían, de acontecimientos que tienen a la tierra por teatro y a los hombres por actores.
2. Símbolo: Es la imagen o figura con que se representa una idea, un concepto, un suceso, una fórmula, generalmente interpretado en forma sencilla y expresando un significado más alto, de manera que teniendo semejanza con cosas fácilmente comprensibles por su materialidad, despierta en nuestro ánimo nociones espirituales, o constando de elementos breves, resume conocimientos múltiples. Representación sensorialmente perceptible de una realidad, en virtud de rasgos que se asocian con esta por una convención socialmente aceptada.
3. Cábala: Compendio del saber recibido por tradición.
Autor:
Lic. José Manuel Castillo González
Lic. Jorge Pedro Farfán Ferrer
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