Aprendemos a resolver ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales (página 2)

Los métodos en cuanto a la relación entre el profesor y el alumno.

• Método Individual: Es el destinado a la educación de un solo alumno. Es recomendable en alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus clases.
• Método Recíproco: Se llama así al método en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que enseñen a sus condiscípulos.

MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

En nuestra clase aplicaremos el método individual y grupal de manera que los alumnos interioricen primero el concepto de ecuación y luego en grupo, puedan dialogar ye intercambiar opiniones para su resolución

2.2.3. LA TÉCNICA

La TÉCNICA la definimos como los recursos necesarios de la enseñanza; son los vehículos de realización ordenada, metódica y adecuada de la misma. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. Gracias a ellos, pueden ser elaborados los conocimientos adquiridos, las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los ideales y actitudes que la escuela pretende proporcionar a sus alumno.( Didáctica general. UNMSM .Luis Marcel, 1999)

Destacan las principales técnicas :

EXPOSICIÓN

Es una técnica explosiva centrada en el instructor, y consiste en proporcionar información al grupo, al tiempo que se limita la participación de éste.

LLUVIA DE IDEAS

Es una técnica que permite la libre expresión de las ideas de los participantes sin las restricciones o limitaciones con el propósito de producir el mayor número de datos, opiniones y soluciones obre algún tema.

DISCUSIÓN DIRIGIDA

Consiste en un intercambio de ideas y opiniones entre los integrantes de un grupo relativamente pequeño, acerca de un tema específico con un método y una estructura en la que se mezclan la comunicación formal y las expresiones espontáneas de los participantes.

JUEGO DE PAPELES

En esta técnica algunos participantes asumen un papel diferente al de su propia identidad, para representar un problema real o hipotético con el objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el grupo.

EXPERIENCIA ESTRUCTURADA

Es una técnica en la cual los participantes realizan una serie de actividades previamente diseñadas, cuyo propósito es destacar los principales elementos de un tema o aspecto del programa. Es importante destacar que hay una gran confusión entre la experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas de grupo", conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como consecuencia del comportamiento de las personas y de su interacción en el grupo, con independencia de la técnica que se emplee.

LECTURA COMENTADA

Consiste en dejar a los participantes leer un documento y que lo comenten con la dirección del instructor. Como variante de esta práctica se puede usar el debate, cuya mecánica es semejante.

INSTRUCCIÓN PROGRAMADA

Es una técnica individualizada por medio de materiales que permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio ritmo, gracias a la retroalimentación constante de respuestas correctas

TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

Nosotros usaremos las técnicas de la exposición, la experiencia estructurada, la instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y la enseñanza de las ecuaciones.

2.2.4.- ESTRATEGIAS

Todo método tiene una estrategia, de allí que definimos ESTRATEGIA , siguiendo a la acepción que da la Real Academia Española : el Arte de dirigir un asunto para lograr el objeto deseado.( RAE. Diccionario de la Reala Academia de Lengua Española. 2001)

Nosotros consideramos que las estrategias se confunden con las técnicas, de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información , dirigidas a elaborar o transformar información y las dirigidas a comunicar información (. " Estrategias y técnicas de Enseñanza. Taylor, Joseph. 2000: 43)

Las enunciamos como un proceso consciente e intencionado que favorece el análisis , la reflexión, el control del proceso y la valoración de lo que se hace. Utilizamos estrategias cuando solucionamos , comprendemos un texto ,planificamos una entrevista (PLANCAD, 2001)

Actualmente las estrategias los mapas conceptuales:

Los mapas conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los conceptos, su estructura organizaciones (Novack, 1999) se produce mediante relaciones significativas entre los conceptos en forma de proposiciones, estas a su vez constan de dos o más términos conceptuales unidos por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica. Además los conceptos se sitúan en una elipse o recuadro, los conceptos relacionados se unen por líneas y el sentido de la relación se aclara con las palabras enlaces, que se escriben en minúscula junto a las líneas de unión. Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son abarcados bajo otros conceptos más amplios, más inclusivos, por lo tanto deben ser jerárquicos; es decir, los conceptos más generales deben situarse en la parte superior del mapa, y los conceptos menos inclusivos, en la parte inferior.

Los mapas conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen esquemático de todo lo que se ha aprendido.

Los mapas conceptuales son herramientas útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de la estructura del conocimiento y los procesos de construcción de pensamiento.

Este puede servir como punto de partida de cualquier concepción de concepto que la persona pueda tener concerniente a la estructura del conocimiento, es decir, sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se llegue al final del proceso servirá para clarificar relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos

ANALOGÍAS

Consiste en analizar comparaciones entre la información nueva y la información ya conocida.

ORGANIZADOR PREVIO

Es un material elaborado por el docente en forma de texto o de diagramas que contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a aprender.

ILUSTRACIONES

Son las fotografías , esculturas , dibujos, gráficos , histogramas que tienen como propósito despertar el interés y mantener la atención de los alumnos sobre un determinado aprendizaje

ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE.

En la sesión de aprendizaje emplearemos la estrategia de grupo; desarrollan ejercicios y problemas de ecuaciones , exposición de trabajos , intercambian trabajos para corregir errores, exponen sus trabajos y los mejoran con el aporte de toda la clase , ubican los trabajos en el área de lógico matemática del cuarto grado de educación primaria.

2.2.5.- MEDIOS Y MATERIALES

Los MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios auxiliares que usa el docente para lograr motivar e interesar a los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una materia o asignatura escolar.( " La Didáctica educativa" Marcus José México DF. 2000)

Los Medios; su fin es le logro de los objetivos educacionales.

MATERIALES EDUCATIVOS

Son todos los medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza y la construcción de los aprendizajes porque estimulan la función de los sentidos y activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder más fácilmente a la información , al desarrollo de habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y valores.

CLASES DE MEDIOS Y MATERIALES

Según los medios de comunicación que emplea :

• Materiales impresos : Textos, manuales , laminas , folletos
• Materiales audiovisuales : Videos , películas , diapositivas , programas de radio , grabaciones de audio , programas de computadoras, etc.
• Materiales multimediales : Programa de computadora con materiales impresos , equipos de laboratorio con textos de aprendizajes , materiales de arte plástica con diapositivas , sonidos grabados y uso de textos de autoaprendizaje.

Según su intencionalidad :

• No estructurados : Aquellos no elaboraos con propósitos definidos. Generalmente se recolectan del entorno. Ejemplo : Chapas, semillas , etiquetas , palitos, hojas, cordones, envases, conchas , cuentas, periódicos, instrumentos musicales, retazos de lana, etc.
• Estructurado : Son aquellos elaboraos para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes. Ejemplo : regletas de colores, maquetas armables, bloques lógicos, juegos de encaje , rompecabezas, fichas de aplicación.

De particular importancia para nuestro objetivo es la clasificación de medios y materiales que establece Edgard Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966), donde ordena los niveles de concreción y abstracción de los métodos de enseñanza y los materiales instructivos en el sentido de abstracción creciente. Dale opinaba que las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y retenidas si se construyen a partir de la experiencia concreta.

MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE CLASE

En nuestro caso aplicaremos los símbolos orales, y visuales: pizarra, tiza, plumones, lapiceros, cuadernos de apuntes, regla, tabla de multiplicar, fichas informativas , cuartillas, papelotes, cuaderno de apuntes. etc. .

Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse utilizando sistemas de ecuaciones, intentaremos que el alumno los resuelva utilizando una sola incógnita, aunque por vicio adquirido tienda a introducir varias, método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema, pero no a la de resolverlo, pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas.

En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado, con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución, con infinitas soluciones y con solución única), y su interpretación en el problema planteado. A la hora de resolver un problema algebraico, es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el siguiente:

• Leer y comprender el enunciado
• Designar la incógnita
• Plantear la ecuación
• Resolver la ecuación
• Discusión e interpretación de los resultados

Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el alumno no llegue a la solución o bien ésta no cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes mediante el dialogo.

2.2.6- LA EVALUACIÓN

• Es un proceso interactivo , consustancial a la enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las necesidades de aprendizaje y valorar el valor del logro alcanzado por los niños y niñas en el desarrollo de competencias, con el propósito de tomar decisiones que lleven a la mejora de la práctica educativa. (PLANCAD,2001)
• La evaluación es integral y continua en todo proceso educativo para proporcionar al maestro la información que le permita mediar y apoyar de cerca los aprendizajes de los niños y niñas. En este sentido , la evaluación puede ser inicial, de proceso o seguimiento y de confirmación o sustantiva.

CLASES DE EVALUACIÓN

EVALUACIÓN INICIAL

Le evaluación inicial posibilita recoger datos para precisar el nivel de expectativas , intereses y aprendizajes previos. Esta evaluación debe hacerse en relación al año académico , un trimestre o al inicio de una unidad didáctica.

• Cuando un alumno llega por primera vez a una institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad o para continuarla , si llegara por primera vez es necesaria una amplia recogida de datos (personales, familiares y sociales). Esta evaluación tiene un carácter diagnostico , servirá para conocer a esa niña o niños y poder adecuar desde el primer momento la actuación del profesor y del centro a sus peculiaridades.
• Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto, por ejemplo, al inicio de una unidad didáctica. Esta evaluación permite detectar las idea previas que l alumno posee en relación con las capacidades a desarrollar, igualmente se puede percibir las actitudes manifiestas hacia las mismas.

EVALUACIÓN DE PROCESO O DE SEGUIMIENTO

Consiste en la valoración del aprendizaje del niño o niña y de la enseñanza del profesor mediante el recojo sistemático de datos análisis de los mismos y de la toma oportuna , mientras tiene lugar el propio proceso, lo acompañan como parte constitutiva de el. La información obtenida durante esta evaluación permite al profesor una ayuda ajustada , entendiéndose como la que proporciona el docente al alumno para atender oportunamente las dificultades , obstáculos y necesidades que se van presentando durante el desarrollo de una unidad didáctica.

Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas por el docente.

EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O SUMATIVA

Es la valoración que busca confirmar los resultados y las tendencias que se han venido registrando durante la evaluación de seguimiento. La información resultante deberá ser contrastada con la evaluación de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. Esta evaluación no admite los resultados sin más, pone en cuestión el proceso y trata de indagar si las competencias han sido desarrolladas, si los materiales han sido los más adecuados y si en consecuencia las medidas adoptadas han sido eficaces.

TIPOS DE EVALUACIÓN

Existen tres tipos básicos de evaluación:

• la Heteroevaluacion es la que realizan los agentes externos del proceso de aprendizaje, como el propio docente, otros miembros de la institución educativa y los padres de familia.
• La auto evaluación Cuando cada alumno hace una reflexión y Apreciación critica de sus aprendizajes, teniendo como referencia los indicadores de logro, considerados en la unidad didáctica que se esta autoevaluando.
• La coevaluacion es la apreciación de los desempeños que se hace entre pares ( niña-niño) cuya finalidad es la de retroalimentarse mutuamente, para reconocer y precisar sus avances, logros, esfuerzos y meritos en relación a sus indicadores de logros previstos.

EVALUACIÓN QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

En nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y Auto evaluación a través de una ficha de observación, la misma que el alumno desarrollara y evaluara la construcción de sus aprendizajes.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Entre los instrumentos mas usados tenemos :

• Practica calificada
• Prueba Oral
• Prueba escrita
• Ficha de auto evaluación
• Ficha de coevaluacion

2.2.8.- TIEMPO

El tiempo que se utilizara para el desarrollo de la sesión de aprendizaje será de ciento ochenta minutos ( 180&uml😉

2. La enseñanza. es el proceso mediante el cual se comunican o transmiten conocimientos especiales o generales sobre una materia. Este concepto es más restringido que el de educación, ya que ésta tiene por objeto la formación integral de la persona humana, mientras que la enseñanza se limita a transmitir, por medios diversos, determinados conocimientos. En este sentido la educación comprende la enseñanza propiamente dicha.
3. Los métodos de enseñanza descansan sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de manera experimental la eficacia de dichos métodos, al mismo tiempo que intenta su formulación teórica. En este campo sobresale la teoría psicológica : la base fundamental de todo proceso de enseñanza-aprendizaje se halla representada por un reflejo condicionado, es decir, por la relación asociada que existe entre la respuesta y el estímulo que la provoca.
4. La tendencia actual de la enseñanza se dirige hacia la disminución de la teoría, o complementarla con la práctica. En este campo, existen varios métodos, uno es los medios audiovisuales que normalmente son más accesibles de obtener económicamente y con los que se pretende suprimir las clásicas salas de clase, todo con el fin de lograr un beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo. Otra forma, un tanto más moderno, es la utilización de los multimedios, pero que económicamente por su infraestructura, no es tan fácil de adquirir en nuestro medio, pero que brinda grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza ? aprendizaje
5. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un verdadero par dialéctico en el cual y, respecto al primer componente, el mismo se debe organizar y desarrollar de manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento facilitador de la apropiación del conocimiento de la realidad objetiva que, en su interacción con un sustrato material neuronal, asentado en el subsistema nervioso central del individuo, hará posible en el menor tiempo y con el mayor grado de eficiencia y eficacia alcanzable, el establecimiento de los necesarios engranajes sensoriales, aspectos intelectivos y motores para que el referido reflejo se materialice y concrete, todo lo cual constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro los objetivos propuestos.
6. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento científico, en el reconocimiento de las propias limitaciones, en el juicio crítico y razonado, debe insertarse en todo proyecto de desarrollo de la persona y colaborar en la formación de un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones, ya que prepara y favorece una actitud crítica, razonable.
7. Es difícil escoger un método como el ideal y único camino para realizar una investigación, pues muchos de ellos se complementan y relacionan entre si. A mi consideración el método mas completo es el método Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente, es decir que se busca que la parte teórica no pierda su sentido, por ello la teoría se relaciona posteriormente con la realidad. Como notamos una de las características de este método es que incluye otros métodos,
8. Las estrategias, en el ámbito educativo, son los procedimientos que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus programaciones de aula. Por lo tanto, las estrategias están integradas en el propio proceso de E-A; de ahí, que no deban trabajarse al margen del currículum, tal y como proponen, por ejemplo, los programas para enseñar a pensar. Las estrategias las emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y, si realmente son potentes y están bien ajustadas, las que se utilizan para transmitir información y para procesarla deben ser las mismas.
9. La evaluación es un aspecto fundamental de la práctica docente, ya que permite realizar un seguimiento de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo. La evaluación debe considerar la posibilidad del error por parte del estudiante, o de una desmesurada exigencia por parte del docente, por lo que una de nuestras propuestas principales en este ámbito es la asistencialidad como factor evaluativo, es decir, cada vez que sea necesario, en una evaluación formal, proponemos que el profesor pida a sus alumnos expresen sus dudad o temores en sus aprendizajes.

III.- COMPETENCIA

• Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adicción y sustracción, multiplicación y división de números naturales.
• Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

Capacidades y Actitudes

• Utiliza las propiedades de los números naturales d dicción, sustracción, multiplicación y división para resolver ecuaciones
• Resuelve problemas que requieren de operaciones con números naturales en la solución de ecuaciones
• Halla de manera rápida y eficaz el resultado de una ecuación aplicando estrategias personales.
• Inventa y resuelve problemas relacionados con las ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la realidad.
• Usa distintas estrategias para resolver problemas y las comunica. Verifica y comprueba lo razonable de los resultados.

IV.- ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS

V.- INFORMACIÓN TEÓRICA

LA ECUACIÓN

Definición

• Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que
• tomen las variables implicadas en cada expresión.
• Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas; en física, expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. También se emplea en Química. Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes.

Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en México/Méjico, Jiménez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad, la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuación general de tercer grado:

… ax3 + bx2 + cx + d = 0

Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayoría de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes).

Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la "Suma Aritmética". Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante, Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto.

En la época de la contienda con Fior, Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo, Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano siempre salía bien parado.

El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica.

Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que había estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia.

También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años, envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica, de la misma forma Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto, 1300 años antes.

En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo, que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número real, el resultado se llama número complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación había consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría analítica y

Cálculo diferencial e

Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales.

El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen (1651- 1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares.

Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado, cuya solución no era conocida.

El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. Lagrange dice en sus memorias:

"El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos". Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permaneció sin solución y constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para la mente humana".

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución.

Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas

Pero eso no es todo aún. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad.

Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente:

Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales, hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes, que son:

En el problema de la existencia de raíces (soluciones).

En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes.

En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación.

RECONOCIENDO LAS ECUACIONES

En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.

En la ecuación: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x es la incógnita

En la ecuación 5z ? 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con s/. 500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: S/.1,,50) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.

Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita.

Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado.

8×2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado.

4 x3 + 35 x2 ?3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad.

Por ejemplo la ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/.500 es s/.50.

En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a

En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja.

Notemos los siguientes casos:

a) Pertinencia de la solución:

Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño, x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación:

5 x = 24

La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N).

b)Existencia de la solución

La ecuación

4x + 5 = 2

No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.

La ecuación

4x.x = -7

No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.

c) Infinitas soluciones

La ecuación

2 + x + x = 2(x+1)

Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones

VI.- SESIÓN DE APRENDIZAJE

6.1.- TITULO:

APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES

6.2.- JUSTIFICACIÓN

Los niños y niñas del cuarto grado de Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del caserío El Barco, comprensión de la Provincia de Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver ecuaciones ,esto debido al desinterés que muestran sus padres y ellos mismos en el proceso educativo.

Se pretende dar a conocer en esta sesión de aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender dichos contenidos para su propio beneficio.

6.3.- COMPETENCIA

• Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adición y sustracción, multiplicación y división de números naturales
• Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones

CAPACIDADES ACTITUDES

• Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada
• Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuaciones
• Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción, multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta, mediciones, etc.).

6.4.- GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE PRIMARIA

6.5.- ORGANIZACIÓN DEL APRENDIZAJE

VII.- EVALUACIÓN

A : Auto evaluación

C : Coevaluacion

H : Heteroevaluacion

VIII. RECOMENDACIONES

1. El tratamiento del concepto de ecuación y su identificación de componente debe partir de dar un ejemplo , para que después , tras la solución el docente denote sus componentes y como actúan en la solución del problema.
2. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e interactúa el alumno, de manera que le sea fácil su comprensión y solución
3. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas: debe llamarlos por su nombre, tener un registro personal (situación familiar, estado de salud, etc.), conocer sus logros y dificultades, tener una idea sobre su carácter, fortalezas, debilidades, temores, etc.
4. El docente debe ser consciente de su rol como organizador, guía, , facilitador de los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. Es necesario que reflexione sobre su comportamiento como persona y profesional de la educación, tanto en su aula como fuera de ella.
5. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados en base a situaciones reales, es decir ,las situaciones vinculadas con sus juegos, sus deportes, la vida familiar, su cultura, su historia, su comunidad, son, en este sentido, significativas.
6. El uso del texto Lógico Matemática debe ser estructurada como una guía para el alumno , un complemento e la información dada por el profesor , mas debe evitarse que su uso implique la copia o genere el facilismo en los alumnos al momento de dar solución a las ecuaciones
7. En el proceso de evaluación debemos tener en cuenta los resultados, pero también las condiciones iniciales, las estrategias puestas en marcha, los procesos desencadenados, los ritmo de consecución, la proporción rendimiento /esfuerzo ,etc.

IX. BIBLIOGRAFÍA

Del docente

1. CARDOZA PEÑA, Miguel ( 2004). " La enseñanza de la Matemática. Pedagogía y Didáctica". Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú, 100 pp.
2. PEREZ YUPANQUI, Joel (2000). " La enseñanza de la matemática en el Nivel Primario". En : Editorial San Marcos. Tomo II. Colección "Historia General del Perú". Lima, Perú.
3. MENDAÑA, Arturo ( 2004). "Didáctica de la Matemática" Editorial Abedul. Lima, Perú, 120 pp.

Del alumno

1. SANTILLANA , Editores. ( 20003) "Lógico Matemática" Texto para el Cuarto Grado de Primaria. Editorial Santillana, Lima Perú

X. ANEXOS

FICHA INFORMATIVA

( ANEXO 2)

LA ECUACIONES

El misterio de las ecuaciones

Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad.

Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado, como podemos ver en los siguientes ejemplos:

3 + 2 = 5 7 1 = 9 – 2

En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo =

Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el segundo, 7 .1

Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 ; en el segundo, 9 – 2.

Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar el concepto de ecuación.

Definición

Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce un término de uno de los miembros. Ese término desconocido, llamado también incógnita, se nombra con una letra. Generalmente esa letra es la x.

Por ejemplo:

5 + x = 12

La x representa al número que, sumado con 5, tiene como suma al 12. Para saber cuál es el término que falta, en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción.

x = 12 – 5

x = 7

En esta ecuación el valor de x es 7, porque 5 + 7 = 12.

Con decimales

Resolver la ecuación es bastante simple si utilizamos numerales pequeños. Veamos lo que sucede con ejemplos en el ámbito de los decimales:

x  – 4,25 = 32,3 0,6 Resolvemos el 2º miembro.

x  – 4,25 = 19,38 Aplicamos operación inversa a la del primer miembro.

x = 19,38 + 4,25 Sumamos

x= 23,63 Este es el valor de la incógnita.

Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su valor:

Resolviendo problemas

Las ecuaciones son una forma rápida y efectiva para resolver problemas.

Comprobémoslo con un ejemplo.

Mi hermano mide 1,82 metros, que equivalen a la estatura de mi papá aumentada en 0,03 metros. ¿Cuánto mide mi papá?

Estatura del papá: x

Aumentada = más 0,03

Estatura de mi hermano: 1,82

Escribiendo la ecuación, queda así:

x + 0,03 = 1,82

Aplicamos la operación inversa:

x = 1,82 – 0,03

x = 1,79

Hay muchos problemas cuyo enunciado literal se transforma en una expresión matemática relacionada con números.

Por ejemplo, si tenemos que el doble de un número es igual a 3,5 + 26,3. Transformamos a:

2x = 3,5 + 26,3 Sumamos

2x = 29,8 Inverso de la multiplicación de 2

x = 29,8 : 2

x = 14,9 El número es 14,9

 Expresiones matemáticas

El doble de un número: 2 x

El triple de un número: 3 x

La mitad de un número: x : 2

El número aumentado en 5,3 x + 5,3

El número disminuido en 3,9 x – 3,9

Dos números consecutivos: x y x + 1

Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es la ecuación y a resolver los problemas con ecuaciones

LISTA DE COTEJOS

Rudy Mendoza Palacios

Piura -Perú

r

Otros Trabajos del Autor :

http://www.monografias.com/trabajos22/violencia-familiar/violencia-familiar.shtml

http://www.monografias.com/trabajos21/pedagogia-conceptual/pedagogia-conceptual.shtml