Las Investigaciones sobre Didáctica de la Matemática. Contexto Científico y Social

Enviado por ramblan2001 Blanco Sanchez

.Introducción:

El presente trabajo tiene como objeto de estudio el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

En primer lugar el trabajo está orientado a un análisis a través del cual, podamos precisar el contexto teórico en el que se encuentra este objeto de estudio, para lo cual hemos puesto atención tanto a las teorías psicopedagógicas que permiten fundamentar los estudios de la didáctica de la Matemática, como al estado de desarrollo logrado por la comunidad científica en la Didáctica de la Matemática en particular.

El análisis descrito en el párrafo anterior se hace a partir de consideraciones acerca del por qué la Matemática aparece en los diferentes currículos, desde el nivel básico hasta el universitario.

Desarrollo:

1. Razones por las que la Matemática aparece en los currículos de los diferentes niveles escolares y universitarios.

Es evidente que si se desea estudiar el estado de las investigaciones en Didáctica de la Matemática, sus debilidades y avances, es necesario comenzar por un breve análisis de las razones por las cuales se enseña Matemática en los diferentes niveles, lo cual hacemos a continuación.

Sabemos que con frecuencia se dice que la Matemática es la reina de las ciencias ya que todas necesitan de su autoridad para que la de cada una se reconozca. Pero enfocándolo desde otro punto de vista también podemos decir que es su doncella porque a todas sirve en sus desarrollos. Pero verdaderamente, es la reina de las ciencias porque, una característica que la diferencia del resto es "la posibilidad de vida independiente". Es decir, su sangre azul radica en el hecho de su capacidad de existir en cualquiera de los mundos posibles sin más necesidad que el desarrollo de las habilidades llamadas de orden superior del intelecto humano.

Tanto los matemáticos, como los profesores de Matemática, leen el párrafo anterior con deleite, y es posible que los especialistas de otras ciencias lo vean con reticencia, pero no les es posible en modo alguno, negar lo que se plantea en el mismo.

Pero esta propia característica que la eleva a alcurnia real, ha estado interpuesta en la forma que se presenta a los estudiantes, ya que esta posibilidad de vida propia, permite desarrollar un proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, totalmente descontextualizado, lo cual como veremos mas adelante es uno de los puntos polémicos, sobre el proceso enseñanza aprendizaje de esta ciencia.

Las propias razones por la que se enseña la Matemática, contienen cierta discrepancia, entre matemáticos, profesores de Matemática y pedagogos en general, entre dichas razones podemos citar las siguientes:

1.1 Su facultad para desarrollar capacidades de razonamiento.

Luis Vives, s. XVI, expresó: "son una asignatura para manifestar la agudeza de la mente". Y pudiéramos hacer una larga lista de citas como la anterior, no obstante, aunque muchos autores, incluido el del presente trabajo, estamos convencido de esta primera razón para la enseñanza de la Matemática, no contamos con los presupuestos científicos necesarios, para rebatir psicólogos y otros especialistas, quienes plantean que el desarrollo intelectual del niño en su paso por la escuela es producto de toda la actividad escolar, que este realiza y no producto de una asignatura en particular. Por otra parte, tampoco existen instrumentos psicométricos que permitan medir lo que cada asignatura aporta al desarrollo cognoscitivo del niño.

1.2 Su utilidad, tanto para la vida cotidiana como para el aprendizaje de otras disciplinas necesarias para el desarrollo personal y profesional.

Efectivamente muchos autores compartimos la creencia de que este punto es una poderosa razón para enseñar Matemática, pero aquí también aparecen argumentos en contra que no son fáciles de ripostar, como es el hecho de que la Matemática que se usa en la vida cotidiana se termina, a lo sumo en la secundaria, por lo que la Matemática preuniversitaria saldría sobrando. Por otra parte, agregan que hay muchas personas que eligen profesiones que no requieren de un soporte matemático muy amplio, como son artistas, lingüistas, abogados, etc.

1.3 La Matemática posee el asombroso poder de explicar cómo funcionan las cosas, por qué son como son.

Es realmente asombrosa la capacidad de la Matemática para explicar el mundo que nos rodea, desde las cónicas de Apolonio de Pérgamo (s. III a. C), que asombrosamente describen las órbitas de los planetas alrededor del sol, con este como uno de los focos de cada una de las cónicas descrita por los planetas, ciertamente Kepler quedó asombrado ante esta coherencia. Los logaritmos creados por John Neper con la única intención de simplificar los cálculos, dieron lugar a la función logaritmo, la cual interviene el la descripción de innumerables fenómenos del mundo objetivo. Como un ejemplo, la curva de la concha de un caracol es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica especialmente perfecta en la naturaleza puede encontrarse en la concha de una de una jibia primitiva llamada Nautilus. En el caracol, la espiral logarítmica es una expresión pacífica de crecimiento exponencial.

El descubrimiento de Neptuno por John Couch Adams, quien con lápiz y papel, demostró en 1846 su existencia a partir de las alteraciones sufridas en la órbita de Urano, Adams realizó los cálculos adecuados y señaló las coordenadas del objeto que alteraba la órbita de Urano, y a los expertos sólo les quedó enfocar sus telescopios. De forma análoga a los ejemplos citados la Matemática describe tantos y tantos fenómenos del mundo que nos rodea, que nos permite pensar que este mundo está construido matemáticamente, y nos posibilita comprender el por qué del pensamiento místico de René Descartes.

La perfección del pensamiento matemático ha llevado a considerarlo en muchas etapas de la historia de la humanidad como instrumento de comunión con la divinidad y con las fuerzas ocultas del mundo.

Si alguien nos dice que esto no es razón suficiente para enseñar Matemática, simplemente creemos que no vale la pena, procurar cambiar la actitud de quien así piense. Independientemente de que Bertrand Russell (1872-1970) dijera de la Matemática que: "Es la materia en la que no sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad".

1.4 Son necesarias para desarrollar habilidades laborales y dar respuesta a cuestiones científicas y tecnológicas.

Este inciso es parecido al 1.2 pero aquí nos salimos de su aplicabilidad en tareas cotidianas, no obstante, existe una razón de orden práctico para su presencia en la formación de personas, a muy distinto nivel, la cual está en el hecho de que es realmente impredecible cuando una persona puede necesitar cierta formación caracterizada por el pensamiento matemático.

1.5 La potencia de la Matemática como medio de comunicación.

Hay un lenguaje común para todas las civilizaciones técnicas, por muy diferentes que sean, y éste es el lenguaje de la ciencia y la Matemática. La razón está en que las leyes de la Naturaleza son idénticas en todas partes. Así, las naves exploratorias Voyager, que desde 1977 buscan vidas inteligentes fuera de nuestro planeta, llevan ejemplos de Matemáticas en la información sobre la vida en la Tierra.

Es indudable que existen diferentes opiniones sobre las razones por las cuales se debe incluir la Matemática en los diferentes niveles de los currículos escolares, aunque a nivel mundial se asumen acuerdos importantes al respecto, como es el caso de la ICMI, Comisión Internacional para la Instrucción Matemática. En la cual en un simposio celebrado en Kuwait en 1986, se acordaron cuatro razones básicas para enseñar Matemática y sus correspondientes consecuencias curriculares, estas son:

a) Desarrollo de la potencia crítica que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que constantemente somos bombardeados.

Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones estadísticas en todos los currículos de los niveles obligatorios.

b) La existencia de una certeza verificable ausente en otros aspectos de la existencia humana.

Dos consecuencias se derivan de este hecho:

b.1 Suministra al alumnado las suficientes Matemáticas como para convencerse de que existe algo que es verdad fuera de toda duda.

b.2 La enseñanza debe realizarse de forma que capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias convicciones.

c) El placer inherente de la creación matemática.

La afirmación de la naturaleza artística de la matemática puede sonar extraña en muchos oídos. Si arte es la producción por parte del hombre de un objeto bello, esperamos que esta afirmación resulte justificada al término de las notas que siguen. Desde que se empezó a analizar lo que es arte y belleza aparece explícita esta aseveración. Para los pitagóricos, la armonía, uno de los ingredientes de la belleza, va unida al número en la constitución ontológica de todo el universo. Aristóteles mismo se expresa así en su Metafísica (Libro XII cap.III, v. 9): "Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente".

El papel auxiliar de las Matemáticas, en crecimiento continuo y exponencial.

Como se puede apreciar, los puntos a y c de los acuerdos del ICME, aportan otras dos razones para la enseñanza de la Matemática. Lo que quiere decir, que en una forma u otra, no hay duda de la necesidad de la presencia de la Matemática en los currículos escolares, aunque también es una conclusión definitiva, que el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, se debe desarrollar en aras de satisfacer las razones por la que esta materia aparece en el currículo.

Concluimos entonces, que el maestro debe estar al tanto, de las diferentes razones que hemos analizado y debe encaminar su trabajo científico pedagógico a encontrar, adquirir o perfeccionar las estrategias didácticas que le permitan dirigir el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática según las razones específicas que determinan la presencia de esta disciplina en los diferentes currículos.

2. Resultados con carácter de principio de las ciencias pedagógicas.

A continuación a través de un análisis, desde el punto de vista de las ciencias de la educación en primer lugar y posteriormente desde la óptica de la enseñanza de la Matemática en particular, queremos concretar con que presupuestos teóricos podemos contar como fundamentos para la obtención de nuevos resultados.

A estos resultados les hemos atribuido la categoría de principios, debido a que las principales teorías psicopedagógicas actuales, concuerdan en los mismos, independientemente de que cada teoría haya llegado a sus conclusiones desde sus presupuestos específicos, lo cual garantiza poder elevar estos resultados a categorías de principios básicos, sobre los cuales se puede sustentar el desarrollo del proceso docente en general y en particular el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

Estos resultados son los siguientes:

2.1 Carácter activo del estudiante en el proceso enseñanza aprendizaje.

2.2 Carácter social del aprendizaje.

2.3 El historicismo.

2.4 El carácter mediatizado de la psiquis humana.

2.1 El carácter activo del estudiante en el proceso enseñanza aprendizaje, fue planteado en primer lugar por Amos Comenio y fue esgrimido por Pestalozi y la escuela de los ilustrados. Llegando a la posmodernidad con una fuerza tal, que determina la búsqueda constante de procedimientos que transfieran la actividad del maestro al alumno en el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje. Al respecto expresó Vygotski: El análisis de la conciencia debe iniciarse con el análisis de la actividad práctica; la conciencia está determinada por la relación sujeto objeto y en esta interrelación el papel intermediario entre conciencia y realidad lo cumple la actividad práctica. La Profesora N. F. Talizina destaca de manera notable la necesidad de la actividad del estudiante en el proceso enseñanza aprendizaje con su planteamiento: "Si el estudiante no hace nada cualquier cosa que haga el profesor es inútil." Lo que es equivalente al planteamiento constructivista: " El que aprende tiene la responsabilidad final de su aprendizaje."

Por lo cual podemos asegurar que no hay una teoría psicopedagógica de peso, que desconozca el papel fundamental que juega la actividad del estudiante en el proceso docente educativo.

2.2 El carácter social del aprendizaje es reconocido actualmente, por la escuela histórico cultural, constructivistas, cognotivistas, e incluso por la versión moderna del conductismo conocido como conductismo social o paradigmático.

Vigotsky citado por Shuare M. (1990) plantea que: "Los fenómenos psíquicos, la psiquis humana, siendo sociales por su origen, no son algo dados de una vez para siempre, existe un desarrollo histórico de dichos fenómenos, una relación de dependencia esencial de los mismos con respecto a la vida a la actividad social. La historia de la psiquis humana es la historia de su constitución".

De la misma forma M.C. Papipini (Papini M.C. 1997) plantea que Glasersfeld incluye en el núcleo constructivista el siguiente principio: "el proceso de construcción de significado tiene lugar en el medio social del cual el individuo es parte."

De igual modo en (Pontecorvo C. 1993) se hace referencia a una conferencia internacional celebrada en Roma, cuyo objetivo fue identificar y describir los mecanismos socio cognoscitivos a través de los cuales se desarrolló el pensamiento y el aprendizaje mediante diferentes tipos de interacción social. También Santos Rego M. A. Expresa que los escenarios de socialización escolar potencian el crecimiento cognoscitivo y afectivo del alumno. (Santos Rego M.A. 1995).

Como vemos se aprecia la influencia social en la construcción del conocimiento, influyendo en el sujeto que construye el conocimiento y por tanto en el conocimiento mismo.

Podemos citar innumerables autores de diferentes tendencias, los cuales en una forma u otra destacan el carácter social del aprendizaje, por lo que concluimos que es efectivamente un principio fundamental a tener en cuenta en el desarrollo del proceso enseñanza aprendizaje, en general y en particular el de la Matemática.

2.3 El historicismo.

Por su reconocimiento por las teorías psicopedagógicas fundamentales, también tiene rango de principio en el proceso docente educativo, el historicismo. Ya que al desarrollo orgánico realizarse en un medio cultural, se convierte en un proceso biológico históricamente condicionado. Donde el desarrollo consiste en la reorganización gradual de la conciencia, siendo la interiorización de las actividades socialmente arraigadas e históricamente desarrolladas el rasgo distintivo de la formación de la conciencia humana.

Este planteamiento expresa que el aprendizaje de un sujeto no se inicia en un punto determinado, desconociendo todo el desarrollo precedente de este sujeto, sino que está condicionado por su historia en general, pero en particular por su historia en lo que a aprendizaje respecta.

Así encontramos innumerables autores que muestran estudios realizados sobre las preconcepciones de los estudiantes, las influencias de estas en el aprendizaje y como atacar el problema. En estos trabajos, podemos encontrar o no, el historicismo como premisa en una forma explícita, pero explícita o no esta premisa está presente siempre que se trate de las preconcepciones.

Por otra parte, afirmaciones como la planteada por D’Amore B. quien nos dice: "Las raíces de la aversión de los estudiantes a la Matemática está en la Matemática mal enseñada que tuvieron en los primeros grados. (D’Amore B. 2000). Reflejan el carácter histórico del aprendizaje.

Por otra parte, Santos Rego M. trata sobre un enfoque global que incluye un número de técnicas basadas en el nuevo concepto de función cerebral, arribando entre otras, a conclusiones tales como:

El cerebro organiza el nuevo conocimiento sobre la base de la experiencia y significados previos.
Son los mismos patrones derivados de la experiencia los que ayudan a determinar el significado del contenido. (Santos Rego. M. 1995).

Aquí de nuevo está presente el historicismo, aunque no se exprese literalmente así, pero como se puede apreciar las conclusiones planteadas ponen a la experiencia del sujeto en un lugar importante en la asimilación de los nuevos contenidos; cómo separar la experiencia del sujeto de su propia historia.

De los planteamientos anteriores y de otros muchos, que no relacionamos en el presente trabajo, concluimos incluir también, el historicismo, como un principio que se cumple, sin lugar a dudas en el proceso docente educativo.

2.4 Carácter mediatizado de la psiquis humana.

Por último podemos garantizar también como principio del proceso enseñanza aprendizaje "el carácter mediatizado de la psiquis humana".

Al respecto Vigotsky plantea que de la misma forma que el uso del primer instrumento marcó el inicio del género humano, el uso del símbolo marcó la salida de la actividad orgánica, el inicio de la actividad psíquica, y destaca que mientras que el instrumento actúa sobre el objeto, el símbolo actúa hacia adentro, es la forma de materialización del pensamiento.

La interiorización de los signos y la utilización del lenguaje pueden considerarse los mecanismos fundamentales que transforman el desarrollo cognoscitivo humano, completamente divergente de las otras especies. El instrumento fundamental de la actividad psíquica es el símbolo, con un significado definido que ha evolucionado con la historia de la cultura.

Al respecto Piaget nos dice: "las relaciones son formadas por la mente humana que le asigna luego símbolos." (Labinovics. E.1987). Aquí tenemos que, independientemente de que Piaget resolviera incorrectamente el problema fundamental de la gnoseología, reconoce la necesidad del símbolo para poder estudiar las relaciones de los objetos.

Además Piaget distingue dos tipos de experiencia: La física y la lógica Matemática; en la primera el sujeto manipula (toca, siente ve, etc.) el objeto real para abstraer sus propiedades, mientras que en la segunda la abstracción se efectúa a partir de las acciones ejecutadas sobre la representación del objeto y no a partir del objeto mismo como tal. (González F. 1994). Esto es, el niño primero manipula conjuntos de objetos antes de poder abstraer el cardinal de estos conjuntos, que representados por símbolos (números) representan las acciones ejecutadas sobre los objetos originales.

En la literatura especializada podemos encontrar innumerables planteamientos como el siguiente: "El proceso de abstracción y representación requiere un sistema de símbolos, el conocimiento de la representación simbólica permite una clara comunicación, y posibilita al estudiante ignorar diferencias no esenciales y enfocar su atención en las esenciales. Luego el proceso de la representación y transformación simbólica permite computar, deducir, probar hipótesis, inducir y generalizar" (Cerreto F. et al 1996).

Las citas planteadas aquí, son solo ejemplos de la aceptación por la comunidad científica de los principios planteados. No obstante podemos asegurar que la literatura especializada es capaz de aportar la documentación necesaria para fundamentar el carácter de principio, tanto del carácter mediatizado de la psiquis humana, como los tres anteriores.

Por lo que ha modo de conclusión parcial, podemos garantizar la validez de los principios propuestos y que estos pueden fundamentar cualquier estudio que se desarrolle sobre el proceso docente educativo o sobre cualquiera de sus componentes, y en particular sobre el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

3. Estado actual de las investigaciones en la enseñanza de la Matemática.

En lo que respecta a la enseñanza de la Matemática en particular, encontramos una falta notable de resultados con amplia aceptación, por los estudiosos de esta rama del saber, lo cual no se debe precisamente a que no haya sido tema de interés, o que no hayan existido suficientes investigadores que hayan dedicado sus esfuerzos a esta tarea, incluso han existido momentos históricos en los que se ha trabajado en una dirección determinada, pero sin llegar a resultados concretos y categóricos, como es el caso primero de la matemática moderna, después el regreso a lo básico, luego la resolución de problemas, etc.

Como es conocido, la matemática moderna, fue una línea de trabajo que tuvo gran aceptación al final de los sesenta y principio de los setenta, pero que quedó muy lejos de los resultados esperados, e incluso los resultados fueron contrarios a lo esperado, lo que determinó la corriente conocida como regreso a lo básico, que realmente produjo mejores resultados, pero no podemos decir que determinara una teoría consistente de la enseñanza de la Matemática. Por otra parte, muchos han sido los seguidores de Polya, buscando como lograr que los estudiantes adquieran habilidades satisfactorias en la resolución de problemas, pero a pesar de los esfuerzos, la mayoría de los estudiantes siguen teniendo dificultades para poder resolver problemas, aunque podemos relacionar un número considerable de autores que trabajan en esta dirección como: Alan Schoenfeld, López Trigo, Douglas McLeod, T. Dreyfus, M.A. Simon, etc. Pero lo cierto es que a pesar del reconocido merito a las obras de G.Polya: How to Solve It (1945/1957), Mathematics and Plausible Reasoning (1954), and Mathematical Discovery (1962, 1965/1981). No se reconoce en la actualidad un método único para entrenar a los estudiantes en la resolución de problemas, aunque sí se puede asegurar que el entrenamiento del estudiante incrementa sus habilidades en la solución de problemas. No obstante, la comunidad científica trabaja para satisfacer la necesidad que tiene la sociedad, de que los estudiantes lleguen a desarrollar habilidades notables en la resolución de problemas.

Realmente en lo que respecta a la enseñanza de la Matemática, hay muy pocos resultados sobre los que podamos decir, que haya acuerdo de la comunidad científica dedicada al tema, lo cual no quiere decir que no podamos plantear una teoría coherente que explique el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, pero no es ese el objetivo del presente trabajo, sino plantear lo aceptado por los especialistas del tema, en particular aquellos resultados que están fuera de discusión por su grado de aceptación, y de la misma forma plantear los aspectos que son de interés estudiar, con el objetivo de lograr resultados que permitan estructurar una teoría sobre la enseñanza de la Matemática con la anuencia de los estudiosos del tema.

Como resultados categóricos podemos plantear en primer lugar, que en la actualidad no hay lugar a dudas de que la Matemática se aprende haciendo Matemática, en otras palabras, para aprender Matemática no es suficiente comprender, es necesario poder hacer, aunque comprender sea el primer paso. Por lo que es un resultado aceptado que el estudiante no aprende Matemática viendo al profesor o a sus compañeros hacer Matemática, por lo tanto si queremos que el alumno aprenda tenemos que logra que trabaje, como vemos este resultado está ligado al resultado también aceptado sobre el carácter activo del estudiante en el proceso enseñanza aprendizaje.

Otro resultado también aceptado lo encontramos a partir del carácter histórico de la formación del estudiante, este va a enfocar cualquier nuevo tema de estudio a la luz de lo que ha aprendido hasta ese momento, ya sean aprendizajes correctos o incorrectos; esto quiere decir que si al estudiar los triángulos rectángulos, las representaciones de dicha figura que usó el estudiante, siempre presentaron el triángulo en la misma posición, esa posición será incorporada por el estudiante como parte esencial del concepto estudiado, y cuando encuentre un triángulo rectángulo en una posición diferente a la que siempre vio, se encontrará en dificultades para identificarlo como tal. De la misma forma el estudiante suele cometer el error de distribuir la potencia respecto a la suma, porque primero aprendió que el producto es distributivo respecto a la suma, en símbolos tenemos que el alumno comete el error de plantear (a+b)n = an + bn , porque primero aprendió que n(a + b) = na + ab; en el primer ejemplo la preconcepción creada fue producto de un error didáctico al presentar la figura siempre en la misma posición, pero en el segundo caso es producto de un conocimiento correcto, el cual usó reiteradamente con resultados satisfactorios. Lo que acabamos de explicar, es un hecho categórico en la didáctica de la Matemática y lo que queda estudiar al respecto es cómo contrarrestar los efectos de las preconcepciones de los alumnos en el estudio de los nuevos contenidos.

Otro aspecto que debemos tener en cuenta cuando analizamos el estado de desarrollo de la Didáctica de la Matemática es la existencia de discrepancias sobre temas específicos, en los cuales puntos opuestos son defendidos con abundancia de argumentos.

La enseñanza contextualizada o no contextualizada.
El aprendizaje de la Matemática es conceptual o procedimental.

3.3 Aprendizaje guiado o por descubrimiento.

3.4 Qué contenido explicar en cada nivel de enseñanza.

3.5 Hasta que punto son transferibles las habilidades y conocimientos de un contenido a otro.

A continuación haremos un comentario sobre cada uno de los puntos anteriores, no con la intención de orientar la opinión del lector hacia uno de los aspectos de discusión, sino mostrar la polémica al respecto, de modo que se manifieste la necesidad de realizar investigaciones que permitan dilucidar la polémica.

3.1 La enseñanza contextualizada o no contextualizada:

Por una parte, tenemos los que estudian las ventajas de una enseñanza contextualizada, es decir donde el contenido se asocia a situaciones propias del entorno del estudiante, lo que conduce, tal como se ha comprobado en diferentes trabajos, entre otros (Schlieman A. D. 1997) que el sujeto es capaz de resolver problemas en su contexto, que no puede resolver si se le plantean disociados de este. En particular en estudios con niños vendedores, donde se comprobó que estos eran capaces de resolver operaciones aritméticas, relacionadas con sus actividades comerciales, que no eran capaces de resolver si se les planteaban fuera de su contexto comercial. Estos resultados son interpretados de formas contrarias, unos plantean que el contexto facilita el aprendizaje y otros demandan que se desarrolla un aprendizaje tan restringido al contexto, que se hace demasiado específico.

Por una parte se puede pensar que una enseñanza atada al contexto puede ser útil para formar un obrero calificado, o un técnico, quienes actuaran sobre un campo de acción relativamente restringido, y que además no requieren de amplios conocimientos teóricos. Por otra, se puede considerar que si se trata de formar un profesional con profundos conocimientos sobre los fundamentos de su área de actuación, entonces su formación tiene que tener un carácter general, no contextualizado. También se argumenta que en el caso particular de la Matemática, su enseñanza referida a situaciones específicas, choca con una de las características propias de la Matemática que es "el carácter descontextualizado del modelo matemático" lo cual se evidencia claramente si pensamos en la variedad de problemas que se modelan mediante la ecuación: ax2 + bx + c = 0 (por citar sólo un ejemplo). Pero también se argumenta que la enseñanza contextualizada, favorece la motivación y el interés del alumno por el contenido de estudio. Además según Selden A. y J. (1997) la adquisición de conocimientos es "situada" quiere decir que refleja como fue originalmente adquirida y ha sido usada, consiste no sólo en reglas abstractas, leyes y fórmulas, sino también en experiencias personales. Por lo que convertirse en un experto, digamos un matemático o un físico, conduce a un proceso de "desituación" del propio conocimiento, o sea hacerlo menos atado al contexto y a características superficiales.

Como se puede apreciar los argumentos a favor y en contra de la enseñanza contextualizada, determinan la necesidad de continuar haciendo investigaciones sobre la conveniencia o no de la misma, o la ventaja de aplicarla dentro de ciertos límites.

3.2 El aprendizaje de la Matemática es conceptual o procedimental:

Independientemente de que este punto es analizable, partiendo desde un criterio, aceptados por los especialistas del tema, que es el hecho de que la Matemática se aprende haciéndola, no existe unidad de criterios en lo que respecta hacia donde dirigir la actividad de los estudiantes, esto es, hacia los objetos o hacia los procesos.

Para que los alumnos asimilen un concepto dado, unos autores plantean que lo pueden hacer trabajando con el concepto a nivel de objeto, esto es viendo y construyendo ejemplos, viendo y haciendo diferentes interpretaciones y representaciones del mismo, las cuales son ejecutadas preferentemente por medios electrónicos. Por otra parte, otros plantean que para que el concepto sea asimilado, tiene que ser tratado como proceso, esto es, que el alumno debe ejecutar operaciones y cálculos en general donde esté involucrado el concepto, por supuesto también están los que plantean el tratamiento del concepto como objeto y proceso. Dubinsky. También se señala que existe una diferencia básica en el aprendizaje de conceptos y el aprendizaje de procedimientos. Morales Velásquez C (1997). Por su parte Kilpatrick J. (1999) plantea que la dualidad objeto proceso de los conceptos matemáticos es un obstáculo para el aprendizaje de los mismos.

La aparición de los medios automatizados de cómputo en el escenario docente educativo, aporta al problema características específicas, pues estos medios pueden resolver ejercicios donde se requiere operatoria algebraica, pueden derivar o integrar, etc. Por lo tanto si se pone al estudiante a realizar estas operaciones con la computadora, el aspecto procedimental tiene que ser reorientado hacia otros aspectos del accionar matemático, ya que debemos recordar, que la matemática se aprende haciéndola, por lo tanto si el estudiante no calcula, deberá modelar, demostrar o en alguna manera trabajar con los procedimientos y conceptos matemáticos. Ahora este cambio de enfoque requiere de cambios cuidadosos y muy bien fundamentados, los cuales requieren investigaciones muy bien desarrolladas, porque si la computadora hace los cálculos, lo que queda para el estudiante es lo que tradicionalmente le ha sido más difícil, como decíamos: modelar, demostrar, operar con conceptos, etc. Por lo que para hacer este cambio se requiere tener garantizadas las condiciones necesarias, de modo que los resultados de los estudiantes no sean peores de lo que ya son, lo cual crearía una situación compleja para la institución docente y los maestros ante la sociedad.

La explicación anterior ilustra, como algo que es demandado en la actualidad, (la incorporación de las TIC al proceso enseñanza aprendizaje ) no se puede hacer de forma arbitraria, sin realizar estudios pertinentes que garanticen el éxito de su introducción.

Como se puede apreciar, la posición asumida determina la forma de desarrollar el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, y en particular determina también la forma en que serán usados los medios automatizados de computo en el proceso, lo cual permite fundamentar el uso que será dado a lo que podemos llamar "el medio de enseñanza del siglo XXI" de modo que no sea usado por la simple razón de incorporar el desarrollo tecnológico al salón de clases.

El profesor de Matemática puede asumir una posición u otra, en acuerdo con la argumentación planteada por determinado autor o autores, pero de esa decisión personal a una definición consensual de la mejor opción, hay una diferencia considerable, la cual amerita el esfuerzo investigativo que se ejecute sobre el tema.

3.3 Aprendizaje guiado o por descubrimiento:

Podemos decir que el aprendizaje por descubrimiento, tal como lo planteara John Dewy, no tiene una real aceptación en la actualidad, pero muchos autores hablan y argumentan las ventajas de situar al estudiante en un medio de aprendizaje, en el que pueda adquirir conocimientos por descubrimiento y se generan variantes de las ideas de Dewy, como es el caso del Método Montessori, pero en oposición al aprendizaje por descubrimiento se encuentra el aprendizaje guiado, como propone Gagne; e indiscutiblemente el aprendizaje significativo que profetiza D. Ausubel, es un aprendizaje guiado, pues de lo contrario como es posible contar con lo que ya el estudiante sabe, para que incorpore el nuevo conocimiento a su estructura cognoscitiva.

Aquí podríamos entrar a proponer argumentos a favor y en contra, tanto del aprendizaje guiado como del aprendizaje por descubrimiento, pero no es el objetivo de nuestro trabajo entrar en este tipo de argumentación, lo que queremos destacar, son aquellos aspectos del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática sobre los que existen discrepancias manifiestas y que por lo tanto ameritan ser estudiados, partiendo precisamente de esas opiniones opuestas, para por lo menos fundamentar una posición propia y contribuir tal vez a la unificación de criterios y en última instancia a la creación de una teoría de la enseñanza de la Matemática.

3.4 Qué contenido explicar en cada nivel de enseñanza:

Este es un punto sobre la enseñanza de la Matemática sobre el que existe acuerdo de manera general, pero a la vez es uno de los puntos sobre los que existe discrepancia si hablamos de la selección del contenido de forma detallada.

Por ejemplo en lo que respecta a la enseñanza primaria, el contenido en general está lógicamente determinado por la edad de los estudiantes y podemos decir que no hay muchas variaciones ha nivel internacional, pero aún así se manifiestan diferencias notables, como es por ejemplo, la opinión que gana adeptos continuamente de que los niños en la primaria pueden aprender sin mayores dificultades, tanto los nombres como identificar figuras geométricas en tres dimensiones, siempre que se le muestren a los alumnos modelos físicos de estas figuras, incluso se han realizado experimentos al respecto con resultados positivos.

Según se incrementa el grado, las discrepancias empiezan a crecer, aunque ciertamente hay un núcleo de contenidos que mantiene cierta estabilidad. Una de las variaciones más notables es la tendencia actual en muchos lugares de incluir, desde la enseñanza media contenidos sobre estadística y probabilidades, de modo que se contribuya de manera eficaz a brindar a los estudiantes las herramientas necesarias para que puedan por una parte comprender y manipular el volumen de información cuantitativa al que se enfrentan continuamente y por otra facilitarle la compresión del mundo en que viven, el cual sin lugar a dudas no es determinístico.

Otro punto de discusión al respecto es sobre la conveniencia o no de las demostraciones matemáticas, las cuales en la mayoría de los casos no se especifican en el currículo y quedan a criterio del profesor, lo cual incrementa la variedad de acciones en el proceso. Sobre la necesidad o no de determinadas demostraciones en la clase de matemática, existen muchos trabajos, pero desafortunadamente con puntos de vistas diferentes, por lo que en el momento en que sea posible demostrar conclusiones al respecto, se habrá dado un gran paso de avance en la construcción de una teoría consistente sobre la enseñanza de la Matemática.

La polémica en la educación superior es aún mayor, pues no existe acuerdo ni siquiera sobre la matemática que debe llevar una carrera especifica de ingeniería, como por ejemplo, ingeniería civil, eléctrica, mecánica, etc y mucho menos sobre como tratar en las clases, la matemática que ha sido definitivamente especificada en el currículo; claro que siempre hay coincidencia en determinados temas, pero de eso a que haya una coincidencia de currículos, hay un acierta distancia.

También existen opiniones que argumentan la necesidad de incluir lógica matemática, no sólo en carreras particulares, sino en una forma más amplia, incluso en la Matemática preuniversitaria, en aras de entrenar el pensamiento lógico de los estudiantes, pues evidentemente la precisión del pensamiento matemático, no es cosa que se adquiera sin cierto entrenamiento, pero aunque los defensores de estos criterios cuentan con argumentos muy consistentes, no han logrado convencer a la comunidad científica, de las bondades de sus ideas y la lógica matemática, prácticamente sólo se encuentra en la actualidad en las carreras de matemática, usualmente en las carreras de ingeniería, en informática y en muy contados currículos.

Debemos considerar también, la posibilidad de que los acuerdos sobre el currículo se deriven de otros acuerdos sobre el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, como es por ejemplo la selección de razones específicas por las que se enseña esta disciplina, es natural pensar, que si la comunidad científica selecciona de forma categórica las razones por las cuales la Matemática debe aparecer en los currículos de los diferentes niveles escolares, desde la primaria hasta la educación superior, se infiera de tales razones el contenido matemático que debe estar en el currículo de cada nivel escolar. Pero indudablemente la definición del contenido a ubicar en cada nivel escolar es un tema que requiere estudio, con la perspectiva de poder alcanzar acuerdos a nivel de consenso.

3.5 Hasta que punto son transferibles las habilidades y conocimientos de un contenido a otro:

Podemos decir que es un objetivo de todo profesor de Matemática que sus alumnos puedan transferir las habilidades adquiridas en un contenido, a otro contenido que requiera de estas, aunque sea de una forma parcial. Además para el desarrollo de estrategias de aprendizaje del estudiante, es necesario que este independice la estrategia de un contenido particular que pudo servir de base para la adquisición de la misma.

Por otra parte, es una realidad la poca aptitud de los estudiantes para generalizar, lo cual evidentemente es un requisito para que las habilidades puedan ser transferidas de una situación a otra. Se sabe por experimentos realizados y por la experiencia cotidiana de muchos profesores, que el alumno las mas de las veces incorpora elementos no esenciales en la solución de un problema, como esenciales y no es capaz de resolver el problema cuando ese elemento no esencial se ha omitido o cambiado, por ejemplo cuando los alumnos estudian la altura del triángulo, si siempre trabajan con triángulos acutángulos, les resultará difícil identificar la altura en un triángulo obtusángulo.

Por lo tanto aunque existen muchos trabajos de diversos autores que tratan sobre la transferencia de habilidades, y más trabajos aún que tratan sobre la formación de estrategias de aprendizajes, que el estudiante pueda aplicar en diferentes situaciones de estudio, podemos asegurar que la posibilidad del estudiante de transferir de una situación a otra, habilidades o estrategias de aprendizaje es notablemente limitada, y aunque en modo alguno planteamos que no sea posible dicha transferencia, sí alertamos que es un tema que requiere estudio, y cuya solución sería un aporte de gran importancia, que propiciaría avances notables en el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

La falta de acuerdo sobre los puntos discutidos anteriormente, no significa que el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática se encuentre en un estado caótico, la falta de acuerdo se manifiesta en muchos casos debido a que los experimentos en las ciencias sociales, no se pueden replicar tal como se hace en las ciencias técnicas y naturales lo cual determina la necesidad de un estudio contextual de estos problemas. Por otra parte debemos considerar que no necesariamente la posición excluyente será necesariamente la mejor, sino una posición intermedia, por ejemplo en lo que respecta a la enseñanza guiada o por descubrimiento, se puede pensar en una opción donde el proceso se desarrolle guiando al estudiante hacia el descubrimiento.

A continuación analizaremos algunos aspectos sobre los que sí hay acuerdo, solo que el acuerdo consiste en que se requieren realizar investigaciones que aporten resultados consistentes que permitan ampliar los conocimientos de que se dispone para dirigir el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

Estos aspectos son los siguientes:

Las habilidades de los estudiantes de abstraer, generalizar y realizar demostraciones formales tienen un desarrollo cognoscitivo insuficiente.
No existe una metodología que garantice el desarrollo de los proceso de análisis y síntesis a través del aprendizaje de la Matemática.
No existen instrumentos para evaluar la influencia del trabajo en la Matemática con el proceso cognoscitivo de los estudiantes.

Podemos decir que existe acuerdo en la comunidad de profesores e investigadores en enseñanza de la Matemática, respecto a la necesidad e importancia del proceso de abstracción en el aprendizaje de la Matemática y también a la falta de desarrollo de esta capacidad en los estudiantes, pero se requiere desarrollar investigaciones al respecto, cuyos resultados determinen el modo de dirigir el proceso de manera que sea manifiesto el desarrollo de la capacidad de abstracción de los estudiantes.

Sobre el tema, es oportuno destacar que la abstracción en el pensamiento científico está orientada a rebelar los atributos propios, intrínsicos y sustanciales de los fenómenos, en sus regulares dependencias en armonía con los cuales opera. Además es evidente que las abstracciones se hacen con diferentes grados de profundidad, lo cual está en relación directa con lo intrínseco y complejo que sean los nexos y relaciones que se abstraen.

Completando la idea podemos llamar al pensamiento que funciona a nivel de abstracciones, como pensamiento abstracto, esto es: la actividad mental cognoscitiva, realizada desde la abstracción inicial, hasta las conclusiones sobre el fenómeno, obtenidas de un estudio a través de las abstracciones hechas.

Para desarrollar investigaciones sobre el proceso de abstracción es necesario tener en cuenta, que esta se materializa a través de la representación simbólica del fenómeno que se abstrae, por lo tanto son los símbolos el medio de que dispone el hombre para materializar las relaciones entre objetos y fenómenos, así como sus nexos internos y esenciales. Aquí es necesario tener en cuenta además que la creación de un nexo símbolo objeto se manifiesta en dos direcciones, una cuando el objeto material es sustituido pos su semiótica y otra cuando la sola presencia del símbolo determina la representación mental del objeto. O sea, en la introducción de objetos hay que preocuparse primeramente, por desarrollar imágenes correctas sobre el contenido del objeto, y no que se sustituya la introducción del objeto por la introducción de un nombre; más tarde hay que preocuparse porque la relación entre el signo y lo designado no se pierda.

Otro aspecto que se requiere tener en cuenta para investigar el proceso de abstracción es la posibilidad del estudiante de identificar los elementos esenciales, del objeto que se estudia, la cual depende directamente de la capacidad del sujeto de orientarse hacia lo esencial del material y es necesario estar al tanto de que esta habilidad no es igual para cada alumno, con relativa independencia de su desarrollo histórico cultural, pues en estudios realizados se ha podido comprobar, que en estudiantes que se han desenvuelto en el mismo medio escolar, esta habilidad no se manifiesta de la misma manera.

Concluyendo este punto tenemos, que es importante investigar como desarrollar la capacidad de abstracción del estudiante, la cual depende de la habilidad de este de orientarse a lo esencial del contenido y de expresar sus abstracciones a través de una semiótica determinada.

Otro proceso del pensamiento lógico, cuya importancia en el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática tiene reconocimiento de la comunidad científica, es el proceso de generalización, por lo que podemos afirmar que un papel fundamental en el desarrollo del pensamiento teórico científico corresponde a la generalización, pero no a la generalización empírica que opera como resultado de comparar los rasgos comunes en los que coinciden los fenómenos, sino aquella que se realiza sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los fenómenos que se estudian, o sea que aquí se tiene una dirección precisa hacia donde orientar la actividad del estudiante, pues se hace imprescindible que el estudiante generalice y que lo haga correctamente sobre los rasgos esenciales y los nexos internos de los fenómenos que se estudian, ya que la generalización de los rasgos sustanciales de las situaciones que se analizan constituyen los rasgos característicos del pensamiento teórico, el cual garantiza un conocimiento más profundo de la realidad circundante.

Lo explicado en el párrafo anterior nos muestra la necesidad de hacer estudios tanto de las características fundamentales de la generalización como de la manera de orientar la actividad del estudiante de modo que logre un desarrollo consistente de su capacidad de generalización, por supuesto, la generalización que tenemos que desarrollar es la generalización teórica.

En lo que respecta a las demostraciones, nos podemos hacer la pregunta ¿Cómo se hace para demostrar? La cual en teoría tiene una respuesta muy concreta: Si se trata de demostrar que si se verifica A entonces se verifica B. Entonces lo que se hace es asumir A y con el conjunto de conocimientos obvios, admitidos o ya establecidos se infiere a B. Pero en la práctica este proceso de inferir B a partir de A usando los conocimientos que se supone dispone el estudiante, funciona con mucha dificultad, incluso cuando el estudiante realmente dispone de los conocimientos necesarios.

Por lo tanto en las clases de matemática, hay dos aspectos importantes que deben ser estudiados, uno es, que se debe demostrar en la clase de Matemática, y otro, como lograr que el estudiante adquiera habilidades en las demostraciones matemáticas. La gran mayoría de los estudiosos del proceso docente educativo de formación matemática, consideran sin lugar a dudas como reales, las virtudes pedagógicas de las demostraciones matemáticas en la formación del estudiante, lo cual no es del todo apoyado por los especialistas del tema, no matemáticos, esto determina la necesidad de realizar investigaciones que permitan establecer, de una forma precisa, el peso de la demostración matemática, en lo que compete a la asimilación de la asignatura y en lo que corresponde a la formación del estudiante. También es necesario investigar que demostraciones hacer en clases y como debe trabajar el estudiante con las demostraciones para que desarrolle habilidades al respecto.

Debemos apuntar que tal como analizamos anteriormente, la generalización teórica juega un papel fundamental en el desarrollo del conocimiento y especialmente en el conocimiento Matemático, entonces como la generalización teórica es una característica del accionar matemático y se manifiesta en todos sus niveles, toda demostración conduce a una generalización, pero sólo es posible lograr la demostración a través de generalizaciones de los componentes esenciales del fenómeno que se demuestra. Por lo que este vínculo: "generalización teórica demostración" es otro aspecto que requiere ser investigado.

Otro aspecto de interés resulta la relación intuición demostración teórica, pues, aunque desde el punto de vista de la lógica formal, cualquier teorema es completamente independiente de su interpretación, de modo que puede perder cualquier conexión con la intuición; no debe ser esta la perspectiva educativa. Ya que no se puede deducir lo que no se ha inferido primero. Por lo tanto, una cuestión principal es la de superar conflictos, construyendo una relación correcta entre intuición y actitud teórica, (deducción) es decir, una complementariedad entre formas de conocimiento diferentes, la intuitiva y la formal, tan distantes una de la otra tal vez, pero las que se deben convertir en dos aspectos de un mismo comportamiento mental. Lo cual debe ser considerado en las investigaciones sobre las demostraciones matemáticas.

Mediante el análisis y la síntesis el pensamiento científico puede llegar a formalizar los conceptos a nivel racional. Por esta razón es de capital importancia examinar la naturaleza del análisis y la síntesis

No hay dudas en que existe una influencia recíproca entre el desarrollo de los procesos de análisis y síntesis y el trabajo con la Matemática, pero está lejos de existir una unidad de criterios en lo que respecta a como se produce esta reciprocidad. Para explicar estos procesos S. L. Rubinstein, utilizó con frecuencia ejemplos de geometría y de modo general la habilidad de los estudiantes para resolver problema se asocia en alguna manera a su capacidad para efectuar análisis y síntesis, y a través de estos procesos lograr identificar lo esencial del contenido, separándolo de las circunstancias transitorias y eventuales del problema.

Por lo tanto es necesario para el desarrollo de la enseñanza de la Matemática, así como para lograr que los estudiantes desarrollen habilidades en la resolución de problemas, el estudio investigativo de los proceso de análisis y síntesis, y la interacción de estos con las habilidades propias del trabajo matemático.

Vimos que entre las razones que se esgrimen para la presencia de la Matemática en los diferentes currículos de los diferentes niveles escolares y hasta en la educación superior, es la influencia que ejerce esta disciplina en el desarrollo de las capacidades cognoscitivas de los estudiantes, sobre lo cual podemos decir que hay un grado considerable de aceptación entre maestros de matemática y pedagogos en general. Pero un aspecto que dificulta los estudios que pueden ser realizados sobre este interesante tema, es la carencia total de instrumentos capaces de evaluar o medir en alguna forma la referida influencia.

Es innegable que investigaciones encaminadas al desarrollo de estos instrumentos, presentarán complejidades notables y requieren de un montaje con un fundamento científico riguroso y la colaboración de especialistas de sicología, pero sus resultados concretos serían un aporte notable a la Didáctica de la Matemática y una herramienta muy útil para futuras investigaciones.

Conclusiones:

Como se puede apreciar, se han analizado los tres factores puntuales dentro del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática, esto es, se relacionaron las razones para la enseñanza de esta ciencia, se destacaron los principios psicopedagógicos que fundamentan las investigaciones que se realizan y se detallaron aspectos conocidos y en discusión sobre el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática.

El análisis planteado muestra una situación complicada, pero donde se pueden encontrar puntos de partida, para desarrollar investigaciones sobre el proceso enseñanza de la Matemática, cuyos objetivos deben ser la producción de nuevos conocimientos sobre la enseñanza aprendizaje de la Matemática. De modo que paulatinamente vayan creando una teoría aceptada por la comunidad científica internacional que se ocupa de esta problemática.

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Autor:

Dr. Ramón Blanco Sánchez

Prof. Titular

Universidad de Camagüey. Cuba .