Una propuesta de enseñanza aprendizaje para la construcción de una noción de función lineal

Introducción

Esta unidad didáctica está realizada con el fin de describir tareas que ayuden a fortalecer algunas dificultades que tienen los jóvenes de grado noveno de bachillerato de la Institución Educativa Distrital Paulo Freire en la jornada de la tarde, con respecto a áreas y perímetros, plano cartesiano, tabulación y gráficas, series y sucesiones, modelación matemática y noción de función lineal. Todos presentes en el pensamiento variacional.

Para el desarrollo de dichas tareas se tendrá en cuenta los resultados que se evidenciaron en la aplicación de la prueba diagnóstico, reflexionando sobre las dificultades que presentan los estudiantes en reconocer y caracterizar la noción de función lineal y los temas con relación a este.

Los temas trabajados durante todo el semestre de 2011 fueron tomados de lo expuesto en los libros de funciones y gráficas de Azcárate Giménez, Carmen, iniciación al álgebra de Socas Robayna, Martín Manuel, lineamientos curriculares de matemáticas del ministerio de educación nacional y los estándares básicos de competencias en matemáticas. Donde se tomó la sustentación teórica de cada actividad propuesta y llevada al aula de clase, algunas de las herramientas usadas y algo de la metodología de enseñanza.

Al igual durante el transcurso de la práctica se vieron otros autores que aunque no fueron de nuestra búsqueda para la enseñanza de la práctica, fueron presentados como innovadores en la enseñanza de la matemática, algunos de ellos como Ives Chevallard y la trasposición didáctica, que en pocas palabras hace mención a la transformación del conocimiento científico al escolar por medio de los documentos vigentes y pertinentes. Otro autor como Valero P. en su texto consideraciones sobre el contexto y la educación matemática para la democracia. Nos muestra la importancia de la contextualización de cada uno de los conceptos matemáticos con la vida cotidiana del estudiante, para lograr que los conceptos sean significativos y sean comprendidos con mayor facilidad y ayude a desarrollar un pensamiento crítico y reflexivo.

La estructura que tiene la unidad didáctica es la propuesta por el grupo de investigación DECA, por el poco tiempo que dura la práctica y porque es una forma de acercarnos a la mejora de los conocimientos que tienen los alumnos. Dicha estructura presenta características como: poner en momentos claramente diferenciados, la construcción del significado matemático por parte del profesor y los estudiantes, los roles (compromisos y responsabilidades del estudiante y el profesor prescritos en el contrato didáctico), la descripción de la actividad (informar sobre la intención de la actividad, explicar en qué consiste), los materiales didácticos o instrumentos de mediación (materiales tangibles y manipulables como fichas, palabras escritas o habladas, gráficos, entre otros), los referentes teóricos de la actividad (para generar indicadores de evaluación) y los momentos de gestión del profesor dentro del aula de clases.

Contexto institucional

Usme es la localidad número 5 del Distrito Capital de Bogotá y está ubicada al suroriente de la cuidad, la población de Usme se encuentra separada del casco urbano de la cuidad pero incluye varios barrios del sur de la cuidad, la población está inmersa en extensas zonas rurales. Fue fundada en 1650 con el nombre de San Pedro de Usme convirtiéndose en una zona rural dedicada a la agricultura que proveía de alimentos a Santa Fe. Es fundada como municipio en el año de 1911 con el nombre actual, de donde paso de ser una zona agrícola a una zona de explotación de materiales para la construcción, se encuentran en los límites con los cerros orientales las ladrilleras, areneras y canteras que fueron fuente de materiales para la construcción a Santa Fe y que hoy en día son cuestionadas por los daños ambientales que se le hace a uno de los pulmones verdes de Bogotá.

Parte de esta misma historia y preocupación se observa en lo planteado por Francisco Javier Camelo B., en el texto titulado "Conocer el contexto de los estudiantes, una alternativa indispensable para la formulación de proyectos bajo un enfoque crítico". Donde hace mención a una salida de reconocimiento por la localidad donde participan algunos profesores de la Universidad Distrital, unos profesores y estudiantes de la Institución Educativa Distrital Paulo Freire identificando las zonas de alto riesgo donde están ubicadas las empresas explotadoras de materiales de construcción, además también se visualiza la inseguridad de la zona, a tal punto que la población preferiría perder la riqueza ambiental y las zonas verdes por la seguridad social, porque las zonas verdes son foco de personas desechables y ladrones. En parte también se explica la situación social que persiste en ésta localidad, debido a que en Usme se encuentran gran cantidad de desplazados y personas pobres que viven en zonas de alto riesgo y deslizamiento de tierra, que ante la imposibilidad de conseguir un trabajo digno se dedican a actividades ilegales, algunas de estas es la venta de sustancias psicoactivas que es una gran preocupación en las instituciones de la zona, las autoridades pertinentes trabajan en el control de estas actividades pero sin embargo no se puede cubrir toda esa zona tan amplia.

La Institución Educativa Distrital Paulo Freire está ubicada en la parte central de las nuevas construcciones de Usme cerca al portal de Transmilenio, que es considerada como la mejor zona, ya que cuenta con la presencia de un centro comercial, el colegio en mención y el portal. Lo que contrarresta las actividades ilegales que se practiquen. Dentro del colegio los alumnos generalmente son de estrato económico 1, muchos provenientes de barrios cercanos que tienen que vivir la inseguridad social, las zonas de alto riesgo, la contaminación de las canteras y ladrilleras, y la venta de drogas. A pesar de esto los alumnos del colegio Paulo Freire tienen buenos sueños para su futuro, como lo son salir adelante con una carrera profesional o técnica aunque muchos otros optan por carreras militares, según se evidenció en la aplicación de la prueba de reconocimiento. Lo bueno, es indispensable del camino que tomen, los chicos tienen el sueño de salir adelante y saben que la única forma es estudiar.

En sí, y según nuestras experiencias, el colegio tiene un buen nivel de personas, porque no se presentan muy a menudo problemas como los mencionados con anterioridad, la zona en la que está ubicada es buena y ofrece seguridad a los estudiantes (donde está ubicado el colegio) pero ya durante el camino del colegio a la casa, los estudiantes se tienen que defender por sí mismos.

Justificación

Después del resultado arrojado por la prueba diagnóstico aplicado a este grupo de estudiantes, se decidió empezar por reforzar los conceptos matemáticos básicos tales como áreas y perímetros, plano cartesiano y tabulación y gráficas; es muy importante trabajar estos temas ya que en la vida cotidiana siempre encontraremos la necesidad tomar el perímetro de una casa, el área de un jardín, organizar y distribuir estructuras y construcciones en un determinado terreno, y hacer estimaciones y análisis de datos en gráficas como lo podrían ser las de las noticias, resultados de alguna copa de futbol, las estimaciones anuales de lluvias, los costos de vida, entre otros.

Vincular las matemáticas con el contexto cotidiano es uno de los esfuerzos más grandes que no solo debe hacer el docente matemático sino el maestro de cualquier área. Es cómo vincular el trabajo del docente con el contexto, eso es garantizar que los conocimientos son significados. Quizás pareciera que el área de matemáticas no tiene relación con la vida de los estudiantes y se hagan la falsa idea de que esos conocimientos solo le serán de utilidad cuando entre a la universidad. Por eso el docente debe intentar incluir en sus clases la manera de vincular la matemática con la cotidianidad.

El estudiante comenzara a ver que la matemática no es solo cosa del colegio y del cuaderno, sino que está en todo su alrededor. Se trata de que la matemática sea vista como una herramienta que tiene aplicaciones en el arte, en la sociedad, en la cultura y en la vida personal. Por consiguiente es importante que el docente matemático este siempre relacionando la temática de clase con el contexto cotidiano, como los diferentes análisis y estadísticas del noticiero, los problemas de salud que se miden en porcentaje, las tablas de puntuación y marcadores del fútbol, etc.

La matemática es cultura, porque la matemática es una forma de ver el mundo y también es una forma de transformarlo. Como por ejemplo el cambio de las dimensiones de las viviendas (la vivienda digna), la construcción y organización geométrica de ciudades donde ni si quiera se respeta los limites naturales como ríos o montañas, la forma de cómo la gente accede al mundo del mercado, el entendimiento de los sistemas numéricos. En la televisión, en la calle, en los periódicos encontramos números, tablas estadísticas, proporciones, porcentajes que permiten preguntar y analizar muchas cosas de interés general, Porque aunque la investigación o el trabajo sea de un área ajena a la matemática, ahí se encuentra un gráfico, una explicación matemática o una frase que lo remite a un contenido matemático.

Se debe apostar tanto al desarrollo lógico-matemático como crítico, se debe hacer pensar y reflexionar al estudiante sobre su estado, sobre los problemas de país, que entienda el porqué de su situación y consiga los elementos para transformarlo. La matemática al igual que las otras áreas debe colaborar con la construcción de un mundo diferente donde se respete la justicia, la igualdad y la verdad.

Para finalizar y como se habló con relación a Valero P. la contextualización de los ejercicios y situaciones problemas llevados al aula de clases durante el primer semestre del año 2011 intentaba concientizar y hacer reflexionar a los estudiantes sobre los problemas sociales y sobre el uso de los conceptos y conocimientos matemáticos aprendidos. Al igual que intentar mejorar la comprensión y la retención del conocimiento matemático mediante situaciones de la vida real.

OBJETIVOS

• Objetivo General:

Elaborar una propuesta de enseñanza aprendizaje que posea determinadas fases de aplicación de actividades, que nos permitan construir una noción de función lineal, en estudiantes de noveno grado del colegio Paulo Freire.

• Objetivos Específicos:

• Presentar diversas actividades en los que el estudiante logre reconocer la congruencia y la semejanza entre el área de determinadas figuras geométricas básicas, estableciendo de manera correcta la relación entre áreas.

• Inducir a los alumnos hacia situaciones en las que puedan describir, observar y construir, diferentes expresiones algebraicas, que les permitan representar un determinado ente, ya sea como la representación de la longitud de una figura o como representación de una regularidad numérica.

• Promover problemas en los que los estudiantes realicen y describan procesos de regularidad numérica, frente a determinadas sucesiones aritméticas.

• Generar por medio de diferentes situaciones problema, el reconocimiento variables independientes y dependientes, a la hora de realizar una tabulación de datos en una tabla.

• Mostrar el plano cartesiano como la herramienta para realizar una representación gráfica, de diferentes datos ya tabulados, en el que se haga énfasis en el reconocimiento de sus ejes, en la ubicación de sus variables y puntos (coordenadas), en el que se respete la escala.

• Dirigir al estudiante, a la construcción y realización de una expresión algebraica, que modele una determinada situación problema que se presente.

Planeación inicial

Planeación final

¿Qué y por qué cambio la planeación inicial al final?

En el curso de práctica intermedia III el enfoque está en al gestión. Donde se debe ver a nivel general y particular los procesos pertinentes para un buen desarrollo de las actividades en clase, incluyendo tanto el aspecto teórico (conocimiento) como el práctico (metodología, materiales didácticos, etc) con una buena relación entre estos. La importancia de una estructuración del trabajo (introducción, justificación, objetivos, marco teórico, secuencia, organización, metodología, criterios, conclusiones, bibliografía) garantiza el éxito de la unidad didáctica.

Durante todo nuestro proceso de enseñanza sobre los acercamientos de la noción de función, paulatinamente saldrán diferentes dificultades, ya sea en la planeación; porque el tiempo y días de clase están sujetos a cambios inesperados, donde se adoptarán estrategias de abordaje de temas en diferentes tiempos. Y en el diseño; donde se tendrán presentes las actividades anteriores para la pertinencia de los siguientes, abarcando diferentes situaciones aprendizaje para observar el funcionamiento del grupo. La unidad didáctica que será resultado del proceso general llevado en el aula de clase tendrá que tener tales problemáticas, es de suma importancia que aborde y solucione los diferentes problemas de orden cronológico, metódico y reestructurativo de actividades.

Las dificultades pueden surgir en diversos aspectos, ya sea en lo teórico o lo práctico, donde se deberá acudir al respectivo sustento en busca de respuestas (documentación didáctica, legal o histórica) además de los procesos que halla a lugar (introducción y objetivos).

El establecimiento de una planeación desde el inicio de la práctica ayuda a enfocar las temáticas y autores pertinentes para las actividades en clase, cabe decir que no todo es perfecto y siempre nos encontraremos con problemas de orden cronológico, ya sea por parte de la institución (como que no haya clase, una salida pedagógica, una reunión emergente, refrigerios o almuerzo de los estudiantes) o por parte de los practicantes (que el diseño de la clase previa no haya sido autorizado, que el profesor este enfermo, que tenga algún contra tiempo) siempre existirá alguna clase que no se podrá hacer.

Por tal motivo es que la planeación inicial recibe el cambio ya que habrá que alterarla y ajustar los tiempos para el cumplimiento de los objetivos en el tiempo estimado. Se intenta sintetizar las actividades para que incluyan todos los temas, así las sesiones de clase son de manera equilibradas incluyendo un poco de todos los temas y pensamientos a trabajar durante el semestre.

Los cambios más fuertes fueron en el sentido que algunas actividades no eran pertinentes con los objetivos generales, quizás algunas incluían temas que estaban fuera de lo contemplado por la planeación, otras quizás no cumplían con los objetivos necesarios como para llevarlas al aula, y otras se adjuntaron o repartieron en otras sesiones debido a la falta de tiempo. Se podría decir que los cambios fueron a nivel temático, por la misma reestructuración de la planeación.

Marco teórico

PREGUNTA ORIENTADORA:

¿Cómo debe gestionar el maestro una secuencia de actividades haciendo uso del algebra geométrica como recurso didáctico para lograr que los estudiantes de grado noveno lleguen a la noción de función?

REFERENTES BÁSICOS:

Dentro de la enseñanza de las matemáticas, el docente debe llevar a cabo una ardua labor de documentación, valiéndose de referentes teóricos que le puedan proporcionar al menos un punto de partida para idear la planeación y el diseño de una secuencia de actividades que genere un aprendizaje de las matemáticas de tipo significativo, que sea coherente, y pueda ser gestionada en determinado nivel de formación.

Por lo tanto, en la medida que debemos presentar una propuesta de enseñanza para el grado noveno de educación básica, nos hemos remitido a los Estándares Curriculares[1]de educación para el área de matemáticas, para poder llevar a cabo la elaboración y construcción de una propuesta de enseñanza como tal para este grado escolar, donde allí hace mención a diferentes pensamientos matemáticos y dentro de ellos se encuentra el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos; en el que hemos decido enfocar nuestra propuesta de trabajo, para la construcción de una noción de función lineal.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, en esta unidad didáctica se presenta una propuesta de aula propia del grupo de trabajo, que se obtuvo a partir de la planeación y diseño de una secuencia de actividades, que planteamos para la comprensión y entendimiento del concepto de la función lineal. Estas actividades cumplían con un orden secuencial propuesto por el grupo DECA que son: "Actividades de reconocimiento, diagnostico, desarrollo y reestructuración, aplicación y profundización, y por ultimo actividades de evaluación"[2]; en donde a partir de las dificultades y logros evidenciados con la presentación y aplicación de una determinada actividad, se iba planeando y elaborando las próximas actividades, que nos permitieran la adecuada construcción de la temática que pretendíamos trabajar.

En este orden de ideas, respecto al proceso de enseñanza aprendizaje que queríamos llevar a cabo con esta propuesta, se debe tener muy en cuenta los diferentes aspectos que se involucran dentro del mismo, y más específicamente al aprendizaje que debe realizar cada uno de los estudiantes; ya que según Valero (2002) "El aprendizaje es un proceso en donde el individuo se pone en contacto con el mundo social no solo cuando interactúa con otros en un espacio contextual cerrado; sino cuando dicha práctica social se realiza colectivamente adquiriendo significado en relación con los acuerdos sobre normas, valores y formas de actuar"[3]. En esta medida, se busca entonces mirar referentes teóricos que nos permitan dirigirnos al aspecto matemático a trabajar, en donde a través del planteamiento de diferentes actividades, involucremos a los estudiantes dentro de un espacio contextual, que logren desenvolverse adecuadamente para la puesta en escena de sus ideas y conocimientos de la temática en desarrollo.

Por lo cual, haciendo énfasis a los Estándares nos permiten delimitar lo que cada estudiante debe construir según el grado escolar, respecto al conocimiento o contenido que se pretende trabajar. Por lo cual, los estándares curriculares (MEN 2006), un alumno de grado noveno de educación básica segundaria, debe estar en capacidad de plantear representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas; y hacer uso de procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. Dentro de la planeación se centra la mirada en la construcción e identificación de expresiones algebraicas y la manera en que establecen relaciones numéricas y geométricas.

Por otro lado, teniendo en cuenta los Lineamientos Curriculares (1998) para el área de matemáticas, establecen unos tipos de pensamientos[4]dentro de esta propuesta de enseñanza como anteriormente se ha dicho, se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos, en el cual de manera general, enmarca diferentes consideraciones conceptuales matemáticas, en las que está involucrada la variación, dentro de estas tenemos: "La función como dependencia y modelos de función; las magnitudes; el algebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particularmente la noción y significado de la variable, es determinante en este campo[5]

Ahora teniendo en cuenta todo lo anteriormente dicho, nuestra propuesta de enseñanza surge con la intención de permitir y propender por la adecuada construcción de una noción de función lineal en estudiantes de grado noveno, donde hemos querido presentar una propuesta que genere una comprensión e interiorización de dicha temática; ya que según Rey y Otros (2009): "Las limitaciones de nuestros alumnos están relacionadas, muchas veces, con la ausencia del potencial modelizador de la noción de función, el excesivo hincapié en el registro algebraico, la falta de articulación entre registros, el oscurecimiento de los elementos fundamentales de variabilidad y dependencia, y el trabajo descontextualizado, tan frecuente en matemática". Por lo cual nuestra propuesta se ha planteado a partir del álgebra geométrica, con la presentación de situaciones relacionadas al contexto social de los estudiantes, que involucren el uso de materiales de tipo manipulativo, que permitan el óptimo entendimiento de los contendidos que se irán desarrollando.

Para esto se ha de tener en cuenta a Rey y Otros (2009), en donde hacen mención a que "Los principales elementos que integran la noción de función, son entonces, la variación, la dependencia, la correspondencia, la simbolización y expresión de la dependencia, y sus distintas formas de representación[6]por ello se ha de trabajar en la construcción de expresiones algebraicas, la relación entre variables, con el fin que se logre evidenciar la dependencia de variables, que permitan entonces, realizar una mejor tabulación de diferentes datos y posteriormente la representación gráfica de los mismos, dentro de determinadas situaciones que se propongan para lograr encaminarnos hacia la función lineal, ya que según Rey y Otros (2009), "Para que las funciones puedan ser una verdadera herramienta de modelación, es necesario que no se oscurezca su esencial significado de dependencia entre variables, perdiendo su carácter dinámico, para transformarse en algo puramente estático".

En esta medida haciendo referencia a Rey y Otros (2009), "El concepto de función puede admitir representaciones en diferentes registros, con diversos alcances y limitaciones. Un registro no está ligado ni a objetos ni a conceptos particulares; está constituido por los signos, en el sentido más amplio del término: trazos, símbolos, iconos. Los registros son medios de expresión y de representación y se caracterizan precisamente por las posibilidades ligadas a su sistema semiótico. Un registro da la posibilidad de representar un objeto, una idea o un concepto, no necesariamente matemático." En esta medida es de reconocer que la noción de función puede representarse en diversos registros: un registro verbal, un registro de tablas, un registro gráfico, un registro algebraico y un registro algorítmico, que es lo que en verdad nos interesa para llegar a la construcción del concepto de función en los estudiantes; a continuación se muestra una visión más clara de cada uno de estos registros:

Registro Verbal:

En este registro la función admite como representación una descripción en lenguaje normal y común que las personas utilizan.

Registro Tabla:

En relación a este registro la función se representa con una tabla de valores, en donde se determina la relación de correspondencia entre dos determinadas variables, tanto la variable independiente como la variable dependiente.

Registro Gráfico:

Respecto al registro gráfico, una función se puede representar por medio de una recta (continua o no) en el plano cartesiano, donde aquí se pone en juego la noción de grafo de una función; presentando limitaciones, ya que como en el caso de la tabla, es necesario imaginar que continúa más allá de lo que es posible observar.

Registro Algebraico:

Dentro de este registro, una función se puede representar por medio de una expresión algebraica o fórmula, que permite calcular la imagen f(x) para toda x perteneciente al dominio de la función, por lo tanto esta representación tiene pocas limitaciones y son aquellas que provienen del cálculo.

Registro Algorítmico:

Este último registro hace referencia a la representación de una función mediante un programa o un procedimiento, como los que utilizan las calculadoras o computadoras; donde se representa el proceso para calcular la imagen a partir de los valores del dominio.

En este orden de ideas, partiendo de manera general de las anteriores consideraciones hechas sobre la noción de función lineal, y de manera más específica, teniendo en cuenta por un lado, diferentes aspectos relevantes dentro de un proceso de enseñanza aprendizaje, que según Valero (2002), dentro de dicho proceso se debe tener en cuenta un contexto situacional donde se logre percibir las relaciones históricas, sociales y culturales que están presentes dentro del entorno del alumno, que contribuyan al aprendizaje de la temática que se pretende trabajar. Y por otro lado, resaltando la importancia de la posibilidad de reconocer los desarrollos intelectuales que puedan llegar a realizar los estudiantes, representado cada uno de ellos por un modo característico de razonamiento y por unas tareas especificas de matemáticas que los alumnos son capaces de hacer, y haciendo referencia a Socas (1996), "Constituye lo anteriormente dicho, una información valiosa para los profesores a la hora de diseñar el material de enseñanza y permite conocer el nivel de realizaciones y respuestas a cuestiones esperadas de los alumnos".

En esta medida, se inicia entonces por realizar un trabajo puntual sobre las expresiones algebraicas, en donde el estudiante reconozca la importancia de la simbología en el momento de representar una determinada situación, e identificando el uso de las mismas, ya que según el grupo Azarquiel (1993), propone que para poder comprender el sentido de los símbolos es necesario interiorizar la doble relación entre las situaciones concretas y las expresiones algebraicas. Por lo cual, con el fin de que al estudiante se le facilite una comprensión de una idea algebraica, se comienza por mostrarle la importancia de la existencia de la letras en este contenido, al ser las variables que se presentan dentro de las expresiones algebraicas; aquí hacemos mención a Socas (1996), donde nos aclara que el uso de las letras como variables procede de la geometría griega, donde la comunicación escrita del conocimiento geométrico requería el uso de figuras, en el cual lo puntos eran señalados con las letras del alfabeto; inclusive en textos numéricos las letras son aún usadas como numerales. De manera similar, las líneas o lados de figuras, triángulos, cuadriláteros, son designados por letras o combinaciones de letras que en el fondo indican puntos.

Al respecto es importante hacer énfasis a las distintas interpretaciones de la letra, ya que existe una gran variedad de cómo los estudiantes pueden interpretar la letra en el contexto algebraico, y debe ser trabajo del profesor hacer una buena introducción a este tema antes de entrar en él. De acuerdo a Gutiérrez (1998) y Küchemann (1978), señalan que existen seis formas diferentes de interpretar la letra en una expresión algebraica, siendo las siguientes:

• 1. Letras evaluadas: presente en los estudiantes que comienzan a tener contacto con el álgebra, se ve la letra como un número determinado para poder ejecutar una operación. Por ejemplo: ¿Cuánto vale "a" en 3 + a = 8?

• 2. Letras ignoradas: Se puede llegar a una situación del uso de las letras sin dotarlas de ningún significado.

• 3. Letras como objetos: Consiste en considerar las letras como la abreviatura del nombre de un objeto, cuando se enseña por familias que en realidad es operar letras similares. Por ejemplo: 2x + 3y + 4x – y. donde 6x + 2y.

• 4. Letras como incógnitas específicas: La letras representa un número particular pero desconocido y se puede operar directamente con ella. Ejemplo: calcular un polígono de n lados si cada lado mide 2 cm.

• 5. Letra como números generalizados: las letras representan varios valores numéricos y no solamente 1. por ejemplo: calcula los valores de n para que se cumpla 3n + 1 < 19.

• 6. Letras como variables: es el significado estándar en las matemáticas donde las letras representan conjuntos indeterminados de números. Por ejemplo: ¿Qué es mayor 2 + n ó2n? (Pág. 14 y 15).

De estas interpretaciones solo acogeremos la interpretación de la letra como número generalizado y variable, ya que desde la mirada de socas (1989), cuando un estudiante comprende la letra como numero generalizado, está en la capacidad de verla como una representación de varios valores numéricos antes que de uno exactamente, y con relación a la interpretación de la letra como variable, son consideradas como una representación de un conjunto de valores no especificados y se observa una relación sistemática entre dos conjuntos de valores.

También el grupo pretexto (1997) al referirse a la interpretación de la letra como variable, exponen que como en las distintas ciencias y en la cotidianidad, existen muchos fenómenos en los cuales una o varias magnitudes cambian o varían y el manejo de ésta por parte de los estudiantes, constituye a la vez el uso del simbolismo algebraico, además, de la posibilidad de representar no solo números, sino magnitudes, vectores, etc. Además, Godino (2003) reconoce el uso de la variable como herramienta para hacer la comparación sistemática entre estos conjuntos de valores no especificados.

Por lo cual, debido a que las letras son primeramente usadas para indicar números arbitrarios y también para funciones arbitrarias, se ha de trabajar en la asignación de varias letras sobre figuras geométricas, y los estudiantes deberán a partir de estas encontrar expresiones algebraicas que representen tanto los lados de las figuras, como el perímetro y el área de las mismas, a través de procesos algebraicos; aquí el álgebra desde una perspectiva métrica y geométrica, permite que el estudiante dote de sentido a los objetos y procesos algebraicos, siendo una forma conveniente en el momento de trabajar situaciones de variación, ya que posibilita establecer relaciones, hacer operaciones y observar regularidades.

Desde el aspecto métrico como herramienta de desarrollo de nociones algebraicas, se hace uso del concepto de conservación de longitudes y la comparación de áreas. Según Godino (2003), la conservación de longitudes se refiere a la capacidad que tienen algunas características de los cuerpos, de no cambiar aunque se les manipule y se produzcan cambios de situación en los mismos, que perceptivamente puede llevar a engaño. La comparación de áreas en este sentido será susceptible de los cambios de disposición o de situación del contorno. Ya que haciendo énfasis específicamente al término de área y a autores como Godino, Batanero y Roa (2002), definen el área de una región plana como el número de unidades requeridas para cubrirla. Cabe aclarar que se usa por lo general los cuadrados (por su fácil manipulación) como unidad de área, pero se pueden utilizar otras figuras como los triángulos; lo esencial es que recubra totalmente la región.

Existen dos propiedades básicas en el proceso de medición de áreas:

• Propiedad de congruencia: Cuando una región es congruente con otra entonces tienen la misma área. Por ejemplo un cuadrado de 4cm de lado es congruente con otro de la misma medida y por lo tanto tienen la misma área.

• Propiedad de disección: Cuando una región se descompone en varias subregiones disjuntas (o sea que no tienen partes en común), el área de la región es igual a la suma de las subregiones. Por ejemplo un rectángulo de 20 cm2 se puede descomponer en cuadrados de 4 cm2 y entonces su área va a ser igual a la suma de los cinco cuadrados de 4 cm2.

Implícitamente, se hace uso del algebra geométrica como herramienta para que los alumnos operen expresiones algebraicas y adquieran una noción de área y perímetro, de igual manera identificaran en cierta medida el teorema de Pitágoras, ya que según Socas M.(1996), menciona que "los griegos para la resolución de ecuaciones desarrollaron métodos geométricos; por ejemplo, en el libro II de los elementos de Euclides (300 a. de C.), hay 14 proposiciones que permiten resolver problemas algebraicos, y ecuaciones cuadráticas con un procedimiento llamado aplicación de áreas[7]

Este trabajo puntual sobre la variable, nos conduce a revisar de manera más puntual, la determinación de variables, haciendo énfasis a la variable dependiente e independiente, y debido a que en esta unidad didáctica se ha tomado la definición de función dada por Lombardo Radice – Mancini Proia (1977), citado por Azcarate (1996) Pág. 20, que menciona de manera general que dentro de la función, "y" está en función de "x" y lo escribiremos y=f(x) cuando, para "x" variable de un determinado conjunto, a cada valor de "x" le corresponde un solo valor de "y"; los valores de "y" constituyen otro conjunto, y se le da el nombre de variable dependiente, porque depende de los valores que toma la "x"; en cambio "x" es variable independiente." Por tal razón al hablar de variable independiente y dependiente hacemos referencia al conjunto de cada variable, caracterizando sus respectivos valores.

Por lo cual se busca por medio de un lenguaje algebraico expresar la relación entre dos variables dadas en lenguaje habitual, o en lenguaje aritmético (mediante una tabla); ya que el concepto de características como dependencia de variables, determinación de la expresión, o naturaleza numérica de los elementos de los conjuntos, permite que las características esenciales de la función como el dominio, codominio y regla de univalencia se perfilen y adquieran su verdadero valor. De la misma forma el concepto se presenta dinámicamente a través de la variación de magnitudes, la transformación de las mismas y la dependencia entre variables.

Este trabajo se movilizará a través de determinadas situaciones contextualizadas que contienen diversos datos que se organizaran en una tabla, permitiendo que se haga un mejor entendimiento de la dependencia entre variables y de paso a el reconocimiento de la variación; puesto que según el MEN (2006), el significado que es la utilidad que le da el estudiante al conocimiento y el sentido que es como aplica esos conocimientos a su entorno acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica. La organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la solución de tareas que involucren procesos aritméticos, inicia también la comprensión de la variable y de las fórmulas. En estos problemas los números usados deben ser controlados y los procesos aritméticos también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados en la solución de los problemas.

Ya que solamente la anterior idea básica que se ha expuesto de función no sería suficiente, tendremos que valernos de los otros aspectos que incluyen la función, tales como sus representaciones que hace referencia Duval (1995), como las tabulaciones y las gráficas. En ésta misma medida según Chávez (1984), hace alusión a que "El uso de tabulaciones y gráficas tempranas en el estudio de la función ayuda de gran forma a que los estudiantes se integren y relacionen mejor con los conceptos venideros, como función y sus tipos".

Además para constatar y perfilar dichas características de la función Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997) afirman, que se deben ver las formas de representación como lo son: en primera instancia la representación gráfica cartesiana la cual globaliza y permite encontrar características puntuales y dinámicas de la función, tales como el crecimiento y la continuidad, la representación algebraica que atiende a la concepción estática referida a la función como una fórmula y = f(x), y la concepción dinámica, la cual se puede calcular como una variable dependiente a partir de la independiente. Esto en esencia responde a lo que establece el Ministerio de Educación Nacional (1998), cuando habla de la variación como algo que se encuentra en enunciados verbales, representaciones tabulares, gráficas de tipo cartesiano, fórmulas y expresiones analíticas. Respecto a ello este último recalca además la importancia de la tabulación puesto que es un elemento para introducir al estudiante en el tema de la función observando así fenómenos de cambio y variación.

La tabla de una función consta de dos filas o dos columnas, en la primera se escriben los elementos del dominio y en la segunda los elementos de llegada. Por consiguiente en la tabla aparecen explícitamente el dominio y el conjunto de llegada, y la regla viene dada por los pares origen-imagen que se simbolizan con "x" e "y". Siendo la tabla de gran utilidad cuando se recogen datos experimentales tanto para verificar una regla como para averiguarla.

Respecto a la representación grafica de una función, en primera instancia se debe hacer referencia a Azcárate (1996), que nos menciona que el lenguaje gráfico, constituye en nuestro mundo una de las principales formas de transmitir la información y dentro de este lenguaje, entran a jugar las gráficas cartesianas que son excelentes para expresar la dependencia entre dos variables. Para establecer la relación entre las dos magnitudes es necesario que el sujeto adquiera la habilidad y capacidad de leer, interpretar, y construir gráficas cartesianas. Pero además permite construir nuevos conceptos como la variación, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y constantes que pueden ser de gran ayuda para el estudiante al momento de entrar al estudio de función. Al abordar el plano cartesiano entra a jugar una serie de conocimientos o conceptos que el estudiante debe tener claros para poder trabajar correctamente; en el siguiente cuadro se mostrarán los conceptos a tener en cuenta y posteriormente una explicación del mismo:

La designación de números en la recta: