Matemática para maestros primarios (página 2)

Por ejemplo, la recíproca de "Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora" será "Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces la salida no va a la pantalla".

Definición 13: Contrarrecíproco

Por ejemplo, el contrarrecíproco de la proposición "Si María estudia mucho, entonces es buena estudiante" es "Si María no es buena estudiante, entonces no estudia mucho".

Definición 14: Proposición bicondicional

La interpretación del enunciado es: p solo si q y p si q o lo que es igual si p, entonces q y si q, entonces p es decir, (p ( q) ^ (q ( p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

Luego la proposición bicondicional p ( q es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones,

p y q, tengan los mismos valores de verdad. _

Nota: Obsérvese que la proposición condicional p ( q, se enunciaba "Si p, entonces q" siendo una formulación equivalente, "Una condición necesaria para p es q" y la proposición condicional q ( p, se enunciaba "Si q, entonces p" siendo una formulación equivalente, "Una condición suficiente para p es q"

Por tanto, una formulación equivalente de la proposición bicondicional en estos términos, sería: "Una condición necesaria y suficiente para p es q"

Ejemplo 10: Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud mayor.

El enunciado "T es rectángulo si, y solo si a2 + b2 = c2" puede expresarse simbólicamente como p ( q, donde p es la proposición "T es rectángulo" y q la proposición "a2 + b2 = c2".

Observemos lo siguiente: La proposición anterior afirma dos cosas:

1. "Si T es rectángulo, entonces a2 + b2 = c2", o también, "Una condición necesaria para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2.

2. "Si a2 + b2 = c2, entonces T es rectángulo", o también, "Una condición suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2".

Consecuentemente, una forma alternativa de formular la proposición dada es "Una condición necesaria y suficiente para que T sea rectángulo es que a2 + b2 = c2"

Definición 15: Proposiciones Lógicamente Equivalentes

Obsérvese que de esta definición se sigue que para probar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes hay que probar que si P es verdad, Q también ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser falso.

Obsérvese también que otra forma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y probar que si Q es falso, entonces P también lo es.

Ejemplo 11: Demostrar las Leyes de De Morgan[4]

(a) ((p ( q) ( (p ^ ( q

(b) ((p ^ q) ( (p ( (q

Solución

(a) ((p ( q) ( (p ^ ( q

En efecto, si ((p ( q) es verdad, entonces p ( q es falso luego p y q son, ambas, falsas y, por lo tanto, (p es verdad y (q es verdad. Consecuentemente, (p ^ ( q es verdad.

Por otra parte, si ((p ( q) es falso, entonces p ( q es verdad luego una de las dos proposiciones ha de ser verdad y su negación falsa, luego (p ^ ( q es, en cualquier caso, falso.

(b) ((p ^ q) ( (p ( (q

En efecto, si ((p ^ q) es verdad, entonces p ^ q es falso luego una de las dos proposiciones ha de ser falsa y su negación verdad, luego (p ( (q es verdad en cualquiera de los casos.

Por otra parte, si ((p ^ q) es falso, entonces p ^ q es verdad, luego p es verdad y q es verdad, de aquí que

(p y (q sean, ambas, falsas y, consecuentemente, (p ( (q sea falso.

Existen algunas equivalencias lógicas que son llamadas propiedades o leyes fundamentales de la lógica proposicional, las cuales enunciamos a continuación:

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Analiza el valor de verdad de las siguientes expresiones:

• a) "La Tierra es plana". Es una proposición simple porque expresa algo categórico, además no se utiliza ninguno de los conectores lógicos y es una proposición falsa porque la Tierra es redonda.

b) "Él es nieto de José". No es una proposición pues no se puede decidir si es verdadero o falso.

c) "Un día tiene 24 horas y una semana tiene seis días". Es una proposición compuesta formada por las proposiciones simples "Un día tiene 24 horas" y "Una semana tiene seis días". Para analizar el valor de verdad necesitamos conocer cuáles son los valores de verdad de las proposiciones simples, la primera es verdadera y la segunda es falsa. Pero para poder determinar el valor de la proposición compuesta necesitamos además conocer el comportamiento de la conjunción y, que solo es verdadera la proposición compuesta si las dos proposiciones simples son verdaderas. Entonces la proposición "Un día tiene 24 horas y una semana tiene seis días" es falsa.

d) "Si 2 es un número par entonces 2 es un número par o impar". Es una proposición compuesta en la que intervienen dos proposiciones simples y dos conectores, por lo que para poder determinar si es verdadero o falso necesitamos construir la tabla de valores de verdad de la proposición, para ello determinamos las proposiciones simples.

p: 2 es un número par.

q: 2 es un número impar.

Por tanto la expresión es verdadera.

• e) (p ( q) ( (( p ( ( q)

Solución

Veamos que ambos condicionales tienen los mismos valores de verdad. En efecto, si p ( q es verdad, entonces P puede ser verdad o falso. Pues bien,

– Si p es verdad, q ha de ser verdad, luego (p y (q son, ambas, falsas y, consecuentemente, (q ( (p es verdad.

– Si P es falso, entonces (p es verdad y (q ( (p es verdad, cualquiera que sea el valor de verdad de Q.

Por lo tanto, en cualquier caso, ( p ( ( q es verdad.

Por otra parte, si p ( q es falso, entonces p es verdad y q es falsa, luego ( q es verdad y ( p es falso y, por lo tanto, ( p ( ( q es falso.

También podemos hacerlo escribiendo su tabla de verdad.

[5]

Ejercicios propuestos:

• 1. De las expresiones del ejercicio 1 anterior, combina a con c, a con f, c con f, utilizando los conectores lógicos "y", "o", "si…entonces", "si y solo si". Determina el valor de verdad de las proposiciones así obtenidas.

• 2. . Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) 27 es un número primo y 32 es un número par.

b) 27 es un número primo o 32 es un número par.

c) Si 27 es un número primo entonces 32 es un número par.

d) 27 es un número primo si y solo si 32 es un número par.

e) Nuestro Poeta Nacional es José Martí.

f) El autor de la canción pinareña más cantada es Enrique Jorrín.

g) René Portocarrero es el creador de la obra plástica "El Pavo Real" o Manuel Mendive es el autor de "Guernica".

h) Si Alejo Carpentier es el autor de "El Siglo de las Luces" entonces Pablo de la Torriente Brau escribió "El Presidio Modelo".

i) "El Brigadista" es un filme cubano y "Memorias del subdesarrollo" es un filme colombiano.

j) Moisés Simons es el creador de "El Manicero" si y solo si el son es el ritmo nacional cubano.

• 3.  Transforma las proposiciones falsas del ejercicio anterior en proposiciones verdaderas. – ¿Tienes en cada caso una sola posibilidad? Fundamenta.

• 4. Clasifica cada una de las expresiones siguientes en identidad, neutralidad o contradicción luego de confeccionar su tabla de valores de verdad.

a) (p ? q) ^ q ? p

b) (~p v ~q) ? (p ^ q)

c) p v q ? (~p ^ ~q)

d) (p ? q) ^ (q ? p) ? (p ?q)

• 5. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

Fundamenta tu respuesta en cada caso.

a) 24 + 6: 3 = 10 y 32 es un número par.

b) El número 450 030 tiene4 500 centenas y 3 unidades.

c) Nuestro Poeta Nacional es José Martí.

d) 8 es un divisor de 16 sí y solo si 8 es divisible por 16.

e) El autor de la canción pinareña más cantada es Enrique Jorrín.

f) 25 dm 12 cm = 2 620 mm o 4 5005 g = 4 kg 5 g.

g) Si libertad es una palabra aguda entonces libertad se tilda en última sílaba.

• 6. Selecciona dos proposiciones compuestas. Asocia a las proposiciones seleccionadas la estructura formal de la lógica proposicional.

– Haz lo mismo para la siguiente expresión:

"Si me esfuerzo y estudio suficientemente aprenderé lógica y si aprendo lógica entonces razono mejor."

• 7. Analice mediante la tabla de valores de verdad si la siguiente expresión de la lógica proposicional, es una identidad, neutralidad o contradicción. Argumente.

a) H: (p ? q) ? p

b) H1: (p ? q) ? q

c) H: (p ? q) ? q

d) H1: (p ? q) ? q

e) H1: (p ? q) ? p

f) H2: (p ? q) ? q

• 8. Exprese el valor de verdad de las siguientes proposiciones de la matemática escolar.

a) 3² = 9 y 2 · 3 = 6____

b) Si 2 es divisor de 8 entonces 8 es un número par____

c) 16 es un número impar ó 3 < 4____

d) 5² = 10 si y solo si 25 = 5 ____

e) 8+7 =14

f) 9 < 13

g) Existen números primos menores que 20

h) Para todos los números naturales a y b se cumple: a + b = b + a

i) 7 .3 +5 > 27

j) El cero es un número natural

k) El conjunto nulo o vacío es el que tiene al menos un elemento.

l) ¿Cuántas patas tiene el gato?

m) Si K = {a; b; c; d; e} y V = {1; 2; 3; 4; 5}, entonces K = V

n) 43 – 28 = 15

ñ) Pinar del Río es el campeón de la serie 53 de béisbol.

o) a + 0 = a, a ( N.

p) 4 es divisible por 2 y todo ortoedro es un cubo.

q) 4 es un número par si y solo sí 4 es divisible por 2.

r) Si 4 es un número par entonces 4 es divisible por 2.

s) Es falso que, 4 es un número par o 4 es divisible por 2.

t) Si 3 + 2 = 7 entonces 4 + 4 = 8

u) No es verdad que 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.

v) París está en Inglaterra o Londres está en Francia.

w) No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3.

x) Es falso que, si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.

• 9.  Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Fundamenta en cada caso.

a) La expresión es corta y clara o puede transformarse fácilmente si y solo si la expresión es corta o se puede transformar fácilmente; y esta es también clara, o se puede transformar fácilmente.

b) Hace frío, y está lloviendo o hace calor si y solo si hace frío y está lloviendo, o hace frío y hace calor.

c) Él es alto, o galán y flaco si y solo es falso que, él es alto o galán, y alto o flaco.

• 10. Se tienen las siguientes proposiciones:

p = los precios de los artículos de primera necesidad están altos

q = están encareciéndose

r = sobreviviré

Traduzca al lenguaje natural las siguientes expresiones lógicas.

• p ^ q

• ~p ? r

• p ^ ~q

• ~p v ~q

• (~p ^ ~q) ? r

• 11. Encuentre el valor de verdad de las siguientes expresiones lógicas

• p ? (q v r)

• (p v r) ^ (p ? q)

• (p v q) ? (q v p)

• p ^ ~p

• (p ? p) v (p ? ~p)

• ( p ^ ~q) ^ r

• [p ? (q ? r)] ? [(p ? q) ? (p ? r)]

• 12. Decir si las siguientes son tautologías, neutralidad o contradicciones.

(a) (p ( q) ^ (q ( p)

(b) [p ^ (q ( r)] ( [(p ^ q) ( (p ^ r)]

(c) (p ( (q) ( q

(d) p ( (p ( q)

(e) (p ^ q) ( p

(f) [(p ^ q) ( p] ( (p ( q)

(g) [(p ( q) ( (r (s)] ( [(p ( r) ( (q ( s)]

• 13. Escribir la recíproca y la contrarrecíproco de cada una de las afirmaciones siguientes:

(a) Si llueve, no voy.

(b) Me quedaré, solo si tú te vas.

(c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.

(d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

• 14. Sean las proposiciones

p: Está nevando.

q: Iré a la ciudad.

r: Tengo tiempo.

(a) Escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las afirmaciones siguientes:

(a.1) Si no está nevando y tengo tiempo, entonces iré a la ciudad.

(a.2) Iré a la ciudad solo si tengo tiempo.

(a.3) No está nevando.

(a.4) Está nevando, y no iré a la ciudad.

(b) Enunciar las afirmaciones que se corresponden con cada una de las proposiciones siguientes:

(b.1) q ( (r ^ ¬p)

(b.2) r ^ q

(b.3) (q ( r) ^ (r (q)

(b.4) ((r ( q)

• 15. Demuestre las propiedades de la lógica proposicional.

Tema 3:

Formas proposicionales

El adiestramiento lógico-verbal de los alumnos es principio de la enseñanza de la Matemática de los grados inferiores y no está unido al tratamiento de determinada materia. En todo caso existen determinadas materias en cuya elaboración es posible un adiestramiento lógico especialmente intensivo.

El trabajo con variables ofrece múltiples posibilidades para actuar en el sentido del adiestramiento lógico. Los alumnos aprenden a utilizar términos, formas proposicionales, proposiciones, sustituyen variables por números naturales e investigan en qué sustitución de una variable, una forma proposicional es verdadera o falsa. Además enlazan proposiciones para formar otras compuestas, en el sentido de las funciones proposicionales clásicas. Los alumnos no aprenden todos estos conceptos, solamente realizan las operaciones mentales coordinadas al contenido de los conceptos correspondientes.

Los elementos de la lógica matemática se incluyen muy temprano en la enseñanza de esta asignatura. Ya en la introducción de las variables los alumnos aprenden a sustituir una variable por números naturales y a pensar y hablar en el sentido de la implicación lógica:

«Si a es igual a 2, entonces a más 3 es igual a 5».

La misma forma de pensamiento y expresión se practica en el trabajo que sigue, con tablas de dos columnas. En el trabajo con tablas como:

Los alumnos se valen de la implicación y la conjunción cuando dicen: «si a = 4 y si b = 3, entonces a + b = 7». En la solución de ecuaciones e inecuaciones los alumnos aprendan a diferenciar entre posiciones verdaderas y falsas desde e 1er. grado; plantean como soluciones de ecuaciones o inecuaciones todas las sustituciones de las variables correspondientes que conducen a proposiciones verdaderas.

Exigencias similares se plantean a los alumnos cuando trabajan con estas tablas en relación con la divisibilidad en el 2do. grado.

Por su contenido la tarea consistente en nacer corresponder a de terminado número a, «sí» o «no» y determinar si preposiciones como «12» es divisible por 4, «13 es divisible por 4» son verdaderas o falsas.

Además de las posibilidades señaladas, el trabajo con variables ofrece a los alumnos la oportunidad de practicar el uso de determinadas palabras que tienen especial importancia para el adiestramiento lógico-verbal.

Estas palabras son «todo», «uno», «al menos uno», «uno a lo sumo», exactamente uno». Además los alumnos deben aprender a reconocer cuándo deben utilizar el artículo determinado y cuándo no. Si por ejemplo, al plantear la ecuación 23 + b = 27 se pide que se calcule «el número b» entonces los alumnos deben comprender por esa exigencia que la ecuación dada tiene exactamente una solución.

Si se pide que se indiquen «los números» que se encuentran entre (los números dados, entonces los alumnos deben comprender, que se pregunta por todos los números que se encuentran entre estos d números.

En el ejemplo de los ejercicios relacionados con inecuaciones se puede mostrar cómo se pueden guiar a los alumnos hacia la comprensión de determinadas formulaciones que aparecen frecuentemente en la clase de Matemática.

Especial atención se le brinda a las formulaciones como «siempre se cumple para todo…., no para todo…», «existe…», «existe al menos «existe a lo sumo…..

Las proposiciones en las cuales se utilizan tales formulaciones aparecen frecuentemente en relación con el tratamiento de las leyes matemáticas.

La comprensión de formulaciones como «Siempre se cumple…», .Para todo se desarrolla al mismo tiempo que la capacidad de los alumnos para generalizar.

En el 1er grado, la ley conmutativa de la adición de números naturales se comprende aún de esta forma: «Los sumandos pueden intercambiarse., en el segundo grado: «Siempre se cumple»:

a + b = b + a. Es en el tercer grado, cuando los alumnos ya comprenden bien el contenido de la expresión «Para todo…. y pueden expresar .Para todos los números naturales…..

El empleo de una forma idiomática determinada debe anteceder siempre a la comprensión del contenido de la relación expresada mediante esa forma. Los alumnos tienen que haber comprendido que la expresión. Para toda a…» solo debe decirse cuando no exista una sola a, para la cual no se cumpla la proposición planteada. Para comprender mejor esto pueden emplearse contraejemplos. Los alumnos se darán cuenta de que la proposición:

«Para todos los números naturales se cumple: 2 • a > a» o expresado de otra forma. El doble de un número es siempre mayor que este número es falsa, porque «existe un» número natural para el cual no se cumple: el número cero.

La introducción y empleo de «Existe»… no presenta dificultades, pues basta con dar un solo ejemplo para comprobar la exactitud de la proposición correspondiente. Por ejemplo, se comprenderá inmediatamente lo que se plantea en el segundo grado, en relación con las observaciones acerca de la divisibilidad:

«Existen números que no pueden dividirse por dos».

Hay que explicar a los alumnos que ambas proposiciones tienen el mismo significado:

No para todos los números naturales a, se cumple 2 • a > a.»

«Existen números naturales para los cuales no se cumple: 2 a > a.»

Los esfuerzos que se realizan con vista al desarrollo de capacidades para el pensamiento lógico tienen que ir acompañados siempre de medidas para el adiestramiento idiomático de los alumnos. El rendimiento en el pensamiento lógico y los rendimientos idiomáticos correspondientes de los alumnos están unidos estrechamente. Por ello hay prestar atención a que todos los alumnos comprenden primeramente las expresiones verbales que aparecen después se les pide que utilicen ellos mismos estas formas.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Clasifica la forma proposicional x +3 = 3 (x ( N)

Vía 1

– Se halla el conjunto solución de la forma proposicional, esta es una inecuación Cs = {0}.

Cs ( DB, luego la forma proposicional es interpretable sin validez general.

Vía 2

Se sustituyen valores del dominio básico, por ejemplo:

Para x = 0 quedaría 0 + 3 = 3 está proposición es verdadera.

Para x = 1 quedaría 1 + 3 = 3 está proposición es falsa.

Luego al sustituir la variable por elementos del dominio básico se obtienen proposiciones verdaderas y falsas, por tanto la forma proposicional es interpretable sin validez general.

Ejemplo 2:

Determine cuáles de las siguientes expresiones son términos, proposiciones o formas proposicionales.

a) x es un número impar

b) El cuadrado de un número racional es negativo.

c ? 0 + x = x; x (R

d? 2x + 3 < 3; x ( N

Solución:

Observa que el inciso a es una forma proposicional, b es una proposición falsa porque el cuadrado de cualquier número siempre es positivo.

Los incisos c y d son formas proposicionales. En el caso del inciso c) es una forma proposicional de validez general porque para cualquier valor que le demos a la variable siempre obtenemos una proposición verdadera. En el caso del inciso d) es una contradicción porque para cualquier valor de la variable obtenemos una proposición falsa.

La forma proposicional 2x + 3 < 3; x ( N, la podemos transformar en una proposición sustituyendo la variable por elementos del dominio básico, por ejemplo para x = 3, obtenemos la proposición falsa 2 . 3 + 3 < 3 (9 x.

d) 13 < x < 18

e) 20 < 5x < 40

f) El número cuya representación es 4 · 105 + 7 · 104 + 9 · 10 tiene 470 decenas de millar.

g) x es divisor de 12

h) x es un número par divisor de 15.

i) x · 1 = x

j) x2

k) 36 = x2

• 2. Determina el valor de verdad de las proposiciones que identificaste en el ejercicio anterior.

• 3. Halla el conjunto solución de cada una de las formas proposicionales del ejercicio 1. Denota dichos conjuntos por A, B, C, D, E en el mismo orden en que aparecen sus respectivas formas proposicionales.

• 4. Clasifica las formas proposicionales a partir de los conjuntos hallados.

• 5. Trasforma las formas proposicionales en proposiciones.

• 6. Resuelva los siguientes ejercicios.

6.1- ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles formas proposicionales? Fundamenta.

a) 5. 4 + 3 > 22, b) 3x – 5 = 10 (x (N), c) 3 = x < 5 (x ( N), d) X + 8 (x ( N) y

f) X es múltiplo de 8 (x ? N)

6.2- Determina el conjunto solución de las formas proposicionales seleccionadas en 6.1

• 7. Dadas las siguientes expresiones:

– 100, 200, 300, …, 1000 son múltiplos de 100.

– 2 . x es un número par (x ( N)

– x2 + 9 = 0, x ( N

– Todo triángulo equilátero es también acutángulo.

– 348 = 3 . 100 + 4 . 10 + 8 . 1

– 3x + 5 < 14, x ( N

– 3 es un divisor de 1 239.

– 527, 18 : 102 = 52 718.

– 16 es el 25% de 4.

– 35,8 dam2 = 3 580 m2

a) Clasifíquelas en proposiciones o formas proposicionales.

b) Determine el valor de verdad de las proposiciones.

c) Clasifique las formas proposicionales en interpretables o no interpretables. Identifique cuáles son de validez general.

d) Transforme las formas proposicionales en proposiciones mediante la interpretación de las variables o el uso de cuantificadores.

e) Niegue las proposiciones escritas con cuantificadores.

• 8. Dadas las siguientes expresiones:

– Identifica las proposiciones y las formas proposicionales. Fundamenta.

– Expresa el valor de verdad de las proposiciones.

– Clasifica las formas proposicionales. Fundamenta en cada caso.

– Transforma las formas proposicionales utilizando el método de sustitución de las variables, de modo que en cada caso obtengas una proposición verdadera y una falsa.

a) 4 ( x (x ( N)

b) 2x – 3 (x ( N)

c) 7 es mayor que 4 + 3.

d) 12 + x > 5x (x ( N)

e) Para todos los números naturales n se cumple n : 1 = n.

f) 3x < x (x ( N)

g) El día 10 de octubre se celebra el "Día de la Cultura Cubana".

h) x + 3 = 2 (x ( N).

i) 6m + 12 cm = 61, 2 d m.

j) Gabriel García Márquez es el autor del libro titulado "El viejo y el mar"

• 9. Determine cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones o formas proposicionales. Determine el valor de verdad de las proposiciones y clasifique las formas proposicionales. Justifica

a) x es un número impar

b) El cuadrado de un número racional es negativo.

c ? 0 +x = x; x ( R

d? 2x + 3 < 3; x ( N

e) 4 (x – 3) = 2x + 2; x ( R

f) x + 9 < 13; x (N

b) Para todo N x se cumple que x . 0 = 0

c) a² + 8; ¸a ( R

d) 5 + 3 .7 = 49

e) (7+ 5) : 12 = 1

• 10. Clasifique las siguientes formas proposicionales.

a) a – 0 = a ; a ( R

b) x : 3 + 1 = 1; x ( N

c) a + b = b + a ; a, b ( N

d) 3 + x < 3; x (N

e) x +5 < 12; x ( N

f) 1 + x = 0; x ( N

e) a · b = b · a; a, b (R

g) x² – 1 = -1; x ( N

h) 5 · 4 + 3 > 22

i) 3x – 5 = 10; x ( N

j) -3 = x < 5; x ( N

k) x – 3/4; x ( N

l) 1/2 (3/4 – 2/5) = 1

• 11. Determine cuáles de las siguientes expresiones son términos, proposiciones o formas proposicionales.

11.1 Determine el valor de verdad de las proposiciones.

11.2 Clasifique las siguientes formas proposicionales en interpretables (I) y no interpretables (NI). Las interpretables clasifíquelas en formas proposicionales de validez general (IVG) o que no sean de validez general (ISVG).

a) x es un número impar

b) El cuadrado de un número racional es negativo.

c ? 0 + x = x; x ( R

d? 2x + 3 < 3; x ( N

e) x + 9 < 13; x (N

f) Para todo N, se cumple que x = x

g) a² + 8; ¸a (R

h) 5 + 3 .7 = 49

i) (7+ 5) : 12 = 1

j) 5 · 4 + 3 > 22

k) 3x – 5 = 10; x (N

l) -3 = x < 5; x ( N

m) x – 3/4; x ( N

n) 1/2 (3/4 – 2/5) = 1

ñ) a – 0 = a ; a ( R

o) x : 3 + 1 = 1; x ( N

p) a + b = b + a ; a, b(N

q) 3 + x < 3; x (N

r) a – 0 = a ; a (R

s) x +5 < 12; x ( N

t) 1 + x = 0; x ( N

u) a · b = b · a; a, b ( R

v) x² – 1 = -1; x ( N

x) 4x + 3 = 15; x ( N

y) 348 = 3 . 100 + 4 . 10 + 8 . 1

• 12. Dada la forma proposicional: 4(x – 3) = 2x + 2; x ( R

a? Clasifíquela

b? Transfórmela en una proposición verdadera y una falsa aplicando el método de sustitución y los cuantificadores.

• c) Niegue dicha proposición.

• 13. Asocia la columna A con la B. Recuerda que Db = Dominio básico y Df = Dominio de definición para formas proposicionales.

– ¿La relación Df ( Db define exactamente algunas de estas clases de A? Fundamenta.

• 14. Sean p, q proposiciones. ¿Cuáles de las siguientes implicaciones son válidas? Justifique.

• 15. Demuestre el resto de las reglas de inferencias que no han sido demostradas

Tema 4:

Razonamientos

Definición 1: Razonamientos

Tener conciencia de las reglas del razonamiento correcto y saber aplicarlas, debe permitir a una persona afrontar problemas como las siguientes: ¿qué conclusión se puede extraer con certeza o elevada probabilidad de tales antecedentes?, ¿cuáles antecedentes pudieran ser la causa de tal conclusión?, ¿cómo exponer estos argumentos de forma demostrativa, clara y coherente?, ¿cómo detectar errores en los argumentos propios o de otros?

Los razonamientos que garantizan pasar de juicios verdaderos a otros también verdaderos se llaman deductivos y los que no necesariamente conducen a conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas, se llaman reductivos. Entre los razonamientos reductivos se distinguen los inductivos[6]y los que se realizan por analogía.

Los procedimientos lógicos fundamentales asociados a razonamientos son la demostración, la refutación y la realización de inferencias reductivas. En este apartado nos concentraremos en la demostración.

Definición 2: Demostración.

Definición 3: Reglas de inferencia.

Veamos algunas inferencias lógicas con los nombres que usualmente reciben.

Ejemplo 1: Verificar las leyes de los silogismos disyuntivos.

Solución

[(p ( (p ( q)] ( q. En efecto, si ( p ^ (p ( q) es verdad, entonces ( p es verdad y p ( q es verdad, de aquí que p sea falso y p ( q verdad, por lo tanto, q ha de ser verdad.

También, si hacemos la tabla de verdad del condicional [(p ( (p ( q)] ( q

Observamos que es una tautología luego [(p ( (p ( q)] implica lógicamente q.

[p ( (( p ( ( q)] ( ( q En efecto, si [p ( (( p ( ( q] ( ( q es verdad, entonces p y ( p ( ( q son verdad, luego ( p es falso y ( p ( ( q verdad, por lo tanto, ( q es verdad.

También, haciendo una tabla de verdad igual que en el apartado anterior.

Se observa que es una tautología luego, [p ( (( p ( ( q)] ( ( q. _M

Es importante que conozca, que y en sexto grado de la escuela primaria los escolares emplean métodos de demostración para comprobar la veracidad de algunas proposiciones enunciadas como teoremas.

Charles Lutwidge Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, utilizó su propia formulación de una rama de la lógica matemática, ahora conocida como cálculo de proposiciones, para enunciar y resolver rompecabezas lógicos. Un ejemplo típico de su Lógica simbólica (1896) es: • Nadie que realmente aprecie a Beethoven deja de guardar silencio mientras se está interpretando la sonata «Claro de Luna».

• Los conejillos de Indias ignoran la música.

• Nadie que ignore desesperantemente la música guarda silencio mientras se interpreta la sonata «Claro de Luna».

Por tanto, ningún conejillo de Indias aprecia a Beethoven. Esta forma de argumento lógico se denomina silogismo, y se remonta a la Grecia clásica.

Contradicciones Pero la tarea mayor de las matemáticas fundacionales no era demostrar que los conceptos matemáticos existen: era demostrar que las matemáticas son lógicamente consistentes. En efecto, todos los matemáticos sabían —en realidad, todos saben hoy— que podría haber una secuencia de pasos lógicos, todos ellos perfectamente correctos, que llevaran a una conclusión absurda. Quizá se podría demostrar que 2 + 2 = 5, ó 1 = 0, por ejemplo. O que 6 es primo, o p = 3. Podría parecer que una contradicción mínima tendría consecuencias limitadas. En la vida cotidiana la gente suele operar cómodamente dentro de un marco contradictorio: tan pronto uno afirma que, digamos, el calentamiento global está destrozando el planeta como, un momento después, que las líneas aéreas de bajo coste son un gran invento. Pero en matemáticas las consecuencias no están limitadas, y no se pueden evitar las contradicciones lógicas ignorándolas. En matemáticas, una vez que algo está demostrado puede utilizarse en otras demostraciones. Si se ha demostrado 0 = 1, entonces se siguen cosas mucho más desagradables. Por ejemplo, que todos los números son iguales. En efecto, si x es un número cualquiera, partimos de 0 = 1 y multiplicamos por x. Entonces 0 = x. Análogamente, si y es cualquier otro número, 0 = y. Luego x = y. Peor aún, el método estándar de «demostración por contradicción» significa que cualquier cosa puede ser demostrada una vez que hemos demostrado 0 = 1. Para demostrar el Último Teorema de Fermat, por ejemplo, argumentamos así:

• Supongamos que el Último Teorema de Fermat es falso.

• Entonces 0 = 1.

• Contradicción.

• Luego el Último Teorema de Fermat es verdadero.

Aparte de ser insatisfactorio, este método también demuestra que el Último Teorema de Fermat es falso:

• Supongamos que el Último Teorema de Fermat es verdadero.

• -Entonces 0=1.

• Contradicción.

• Luego el Último Teorema de Fermat es falso

Si todo es verdadero —y también falso— no puede decirse nada con significado. El conjunto de las matemáticas sería un juego estúpido, sin contenido.

Ejemplos:

Analiza la validez de la siguiente regla de inferencia.

Solución:

Ejercicios propuestos:

• 1. Clasifica los siguientes juicios en inductivos, deductivos y por analogía. Fundamenta cada clase.

a) Salir termina en r y es un verbo, estudiar también termina en r y es un verbo, entonces azar, como termina en r, es un verbo.

b) Salir termina en r y es un verbo, estudiar también termina en r y es un verbo, entonces todas las palabras terminadas en r son verbos.

c) Las palabras que son verbos terminan en r, asar en un verbo, entonces asar termina en r.

d) Contribuir, comenzar y embellecer son verbos y son palabras agudas, luego todos los verbos son palabras agudas.

e) Si canción, retención y comparación se escriben con c, entonces extensión se escribe con c.

f) Todos los números divisibles por 10 terminan en cero, luego todos los números divisibles por 5 terminan en 5.

g) Si todo múltiplo de 6 es un múltiplo de 3 y 54 es un múltiplo de 6, entonces 54 es un múltiplo de 3.

• 2. Determina si en los siguientes razonamientos se ha seguido una regla de inferencia válida:

a. Si la suma de los dígitos de 24207 es divisible por 3, entonces 24207 es divisible por 3, es cierto que la suma de los dígitos de 24207 es divisible por 3, entonces ese número es divisible por 3.

b. Si 4 divide a 1318 y si 4 divide 272, entonces 4 divide la suma de ambos números, no es cierto que 4 divide a 1318, entonces 4 no divide a 1318 + 272.

c. Si 2 es un número primo, entonces 8 es primo, es cierto que 2 es primo, entonces es cierto que 8 es primo.

d. Si 24 es divisible por 2, entonces es divisible por 10; 24 no es divisible por 10, entonces 24 no es divisible por 2.

e. Todos los números primos son divisibles únicamente por 1 y por sí mismo, 877 es primo, entonces 877 no tiene más divisores que 1 y 877.

• 3. A continuación tenemos tres razonamientos hechos por escolares primarios. Identifica qué tipo de razonamiento es cada uno. Fundamenta.

– ¿Qué puede afirmarse -en sentido general- del valor de verdad de las conclusiones obtenidas por cada tipo de razonamiento?

Razonamiento 1: Si el nombre de la cifra 16 es dieciséis y el nombre de la cifra 17 es diecisiete, entonces el nombre de la cifra 11 es dieciuno.

Razonamiento 2: Si:

– 1 1 832

En el caso del inciso c y d como los números tienen la misma cantidad de cifras empezamos a comparar cifra a cifra y así tenemos:

• c) 2 873 ( 1 853 porque 2 ( 1

• d) 28 435 432 (28 437 003 porque 5 ( 7

Ejercicios propuestos:

• 1. Escribe como se leen los siguientes números que aparecen subrayados en cada curiosidad, también determina qué representan dichos números:

• a) Si la Tierra estuviese situada a menos de 134 000 000 km del Sol, toda el agua de nuestro planeta se evaporaría.

• b) El 27 de agosto de 2003 el planeta Marte y la Tierra estuvieron muy cercano: 55 763 108 km. Este suceso es único por el momento, pues debe repetirse cuando pasen cerca de 5000 años.

• c) El astro más caliente del cosmos es la estrella NGC2440 de la nebulosa planetaria, pues su temperatura exterior es de 199 727 ºC

• d) Al estornudar desocupamos la nariz de elementos irritantes a una velocidad de 150 km/h. al hacerlo, siempre tápate la boca.

• 2. El mayor record de seres vivos longevos es el de una bacteria encontrada en un cristal de sal, ella sobrevivió 250 000 000 años.

• 3. Selecciona el número que corresponde a la lectura siguiente:

• a) Veinticinco mil millones uno

25 000 100 000 25 000 000 001 25 000 001

• 4. Soy un número de cinco dígitos que tiene el cuatro en el lugar de las unidades, un cero en el lugar de las decenas y u uno en el lugar de las unidades de millar, y la cifra que ocupa el lugar de las centenas es el antecesor de la cifra que ocupa la unidad de millar. ¡Ah! También soy el mayor de los números que puede escribirse con estos dígitos.

• a) ¿Qué número soy?

• b) Escribe cómo tú me leerías

• 5. Elena le dice a Daniela:

Piensa en un número de cuatro dígitos diferentes que cumple las condiciones siguientes:

• Cada uno de los dígitos es un número impar.

• Es el menor número que se puede formar con esos dígitos.

Daniela responde correctamente, ¿qué número crees que escogió Daniela? Señala la respuesta correcta.

1327 1357 1537 1137

• 6. Sean:

A: menor número de tres cifras no repetidas todas impares.

B: sucesor del menor número que tienen 48 centenas.

C: mayor número de cuatro cifras que tiene un cuatro en las unidades de millar.

• a) Escribe los números representados por A, B y C.

• b) Determina el sucesor de B.

• c)  Determina el antecesor de C.

• d) ¿Cuál de estos números tienen mayor la cifre de las centenas?

• e) ¿Cuál de estos números tiene mayor la cantidad de centenas?

• f) Ordena los números comenzando por el mayor.

• 7. Escribe cómo se lee cada uno de estos números:

a) 23 016 222 017

b) 473 622 006 026

c) 97000073082

6.1) Escríbelos en la tabla de posiciones.

6.2) ¿Qué valor toma la cifra 6 en el caso a) anterior?

6.3) ¿Qué valores toma la cifra 2 en b)?

6.4) ¿Cuántas decenas (millares, cientos de miles, decenas de millones) tiene el número c?

• 8. Escribe el número formado por :

a) 453 centenas y 23 unidades

b) Doscientos veintisiete decenas y 3 unidades

c) Mil treinta y dos millares y diecisiete decenas.

• 9. ¿Cuántas decenas tiene el número: 40 023? ¿Cuántas centenas de millar tiene el número 40 327 401?

Escribe el número 408 071 como suma de múltiplos de las potencias de 10. Represéntalo en la tabla de posición decimal. ¿Cuántos millares tiene ese número?

• 10. Sea el número natural A= (x ( N: 16024009300 ( x = 32048018600(

• a) Escribe A con cifras.

b) El numeral de A es________________________________________

c) El antecesor de A es _________________ y su sucesor

__________________

d) En A el dígito 6 ocupa el orden de las

________________________________

• e) A tiene ________ decenas de millón.

• 11. Explica las condiciones necesarias y suficientes para que se cumpla:

a) 43t2y > 43×28 b) 43t2y < 43x2z c) 6t91 > 60×3 d) 8t97 < 1100x, considerando que en cada caso que las variables representan dígitos.

• 12. Si r, t, u, x representan dígitos y si n1=53uz, n 2 =93rt y n 3 =91×9, ordena los números n1, n2 y n3.

• 13. Escribe un número natural n que tenga 34 007 centenas.

a) Escribe el numeral.

b) ¿Es n > m si m = card (M) y M = (x ( N: 2016 ( x = 500202716(? Fundamenta tu respuesta.

• 14. En el número N = (x ( N: 32 ( x = 304 050 300 061(

a) Escribe cómo se lee ese número.

b) ¿Qué dígito ocupa el lugar 105?

c) ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar de las decenas de millón?

d) ¿Cuántos millares (cientos de miles, millones) tiene ese número?

• 15. "Los males generados por el neoliberalismo y denunciados por Cuba durante la década del 90 y en los años iniciales de la nueva centuria, están a la vista de todos. América Latina está endeudada casi tres veces más y al cierre del 2 002, el monto total de la misma ascendía a ochocientos cincuenta y tres mil millones de dólares" (Tomado de La Declaración final de los jefes de estado y de gobiernos que asistieron a la XIII Cumbre Iberoamericana. Periódico Juventud Rebelde 23-11-2 003).

a) Escribe con cifras el número que representa el monto actual de la deuda de

América Latina.

b) ¿Cuántos millares de millones de dólares debe América Latina?

Tema 9:

Operaciones con números naturales

– ¿Cómo se deberían definir los números?

– ¿Cómo se deberían definir las operaciones aritméticas a partir de los axiomas de Peano?

– ¿Cómo se deberían definir las operaciones aritméticas cuando los números naturales son definidos como los cardinales de los conjuntos finitos?

La adición de números naturales

Existen situaciones y problemas donde es necesario introducir la adición y substracción en el conjunto de los números naturales. Puesto que siempre que sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, decimos que la suma es una operación en el conjunto de los números naturales. La substracción no es una operación en el conjunto de números naturales, pero si en el de los números enteros (que incluye los números negativos).

Estas operaciones se pueden dotar de diversos significados a partir de los cuales los niños pueden comprender sus propiedades básicas, lo que los preparará para el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos de cálculo. También se han formalizado desde el punto de vista matemático. A continuación introducimos diversas formalizaciones de estas operaciones conectándolas cuando sea posible con las situaciones concretas en que se apoyan.

Definición recursiva de adición (basada en los axiomas de Peano)

Esta manera de definir la suma corresponde a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de adición por los niños: "el seguir contando". En la práctica se puede decir que "Sumar es seguir contando", mientras que restar consiste en "contar hacia atrás" (descontar).

Al estudiar los números naturales vimos cómo se podían definir estos números a partir de los axiomas dados por Peano. A partir de ellos es posible definir la adición en forma recursiva, partiendo de un número p cualquiera y de su siguiente sig (p). Esta es la definición:

• p + 0 = p para todo número natural p.

• p + sig (n) = sig (p + n), para todo n diferente de cero.

En consecuencia, procedemos como sigue:

– Para sumar 1 a un número p se toma el sucesor del número p: sig (p) = p + 1

– Para sumar 2 se toma el sucesor del sucesor, etc.

– Se supone que se sabe sumar n al número p y para sumar (n + 1) se toma el sucesor de n + p, o sea, p + (n +1) = sig (p + n) = (p + n) +1.

Podemos comprobar cómo con esta definición encontramos la suma de dos números cualquiera. Por ejemplo:

4 + 3 = 4 + sig (2) = sig (4+2) = sig (4 + sig (1)) = sig (sig (4+1)) = sig (sig (4+sig (0)) =

= sig (sig (sig (4+0))) = sig (sig (sig (4))) = sig (sig (5)) = sig (6) = 7.

Es decir, 4 + 3 es el número que obtienes al empezar a contar desde cuatro y hallar los tres números siguientes

Definición conjuntista:

En el modelo de conjuntos partimos de la idea de cardinal, que responde a la pregunta básica: ¿cuántos hay? La adición se interpreta como el cardinal obtenido al unir dos conjuntos, como mostramos en el siguiente esquema:

Definición 1: Suma de números naturales

Esta definición pone en juego dos operaciones bien distintas:

Por una parte la operación que se hace sobre los conjuntos (se reúnen dos colecciones que no tienen ningún elemento en común para formar una nueva colección con la totalidad de los elementos que pertenecen a cada uno de ellos.

Por otra parte la operación que resulta al nivel de los números de elementos (cardinales) que contienen, operación que es la adición de dichos cardinales.

Definición 2: Adición en N

Propiedades:

– Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

– Conmutativa: a + b = b + a

– Existencia de elemento neutro: el natural 0; a + 0 = 0 + a = a, ? a ? N

Definición 3: Igualdad de números naturales.

La sustracción de números naturales

Todas las operaciones de N no son siempre realizable en N: por ejemplo, la diferencia (3 – 5) no es un resultado en N: se dice que su cálculo es imposible, por lo que la sustracción no siempre se puede realizar en N. Igual ocurre con la división entera, la cual a un par de números naturales hace corresponder un par de números bajo la forma de un cociente y un resto. A continuación presentamos algunos modelos y formalizaciones de la sustracción.

Definición conjuntista 3: Diferencia de dos números naturales

En la adición, los representantes (conjuntos) de los números naturales deben ser disjuntos. En la sustracción en N, el representante del número menor de ser un subconjunto del representante del mayor, un conjunto como este existe siempre en el caso que a ( b; es evidente que no se puede sustraer de tres piñas, dos mangos. La limitación de a ( b de la diferencia a – b se explica también, por ejemplo, porque 1 – 3 = x en N no es soluble.

Definición 4: Sustracción en N

La operación sustracción, explicada antes es siempre unívocamente realizable, con la limitación dada, para todos los números naturales.

En general, se considera a la sustracción como la operación inversa de la adición. En la escuela los alumnos comprueban que la proposición 9 – 6 = 3 es correcta con ayuda de la adición y dicen: 9 – 6 = 3, pues 3 + 6 = 9. Con ello se subraya la estrecha relación entre ambas operaciones.

Construcción de las operaciones de multiplicación y división entera de números naturales

La experiencia acumulada en las situaciones anteriores permite construir la multiplicación y la división entera a partir de:

• La definición de los hechos numéricos básicos (tabla de multiplicar);

• El establecimiento de las propiedades de dichas operaciones;

• La invención de técnicas de cálculo eficaces (orales y escritas);

• La discriminación de las situaciones en las que el uso de dichas operaciones es pertinente.

Al igual que en el caso de la suma y la resta, esto supone un coste de memoria. También hay que advertir que así como, en la suma, resta y multiplicación a cada par de números les corresponde un único número, que es el resultado de la operación, en la división entera, dados dos números, el dividendo y el divisor, obtenemos como resultado otros dos números, el cociente y el resto. Por tanto, la división entera es la técnica mediante la cual, dados dos números, D y d, podemos encontrar otros dos, q y r, tales que D = dq + r y r < d.

Existen situaciones y problemas donde se introducen la multiplicación y división entera en el conjunto de los números naturales. Puesto que siempre que multiplicamos dos números naturales obtenemos otro número natural, decimos que:

Definición 4: Multiplicación en N

La división no siempre se puede realizar en el conjunto de números naturales, pero si en el de los números racionales (que incluye los números negativos).

Definición 5: División en N

Estas operaciones se pueden dotar de diversos significados a partir de los cuales los niños pueden comprender sus propiedades básicas, lo que los preparará para el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos de cálculo. También se han formalizado desde el punto de vista matemático. A continuación introducimos diversas formalizaciones de estas operaciones conectándola cuando sea posible con los modelos concretos en que se apoyan.

Definición conjuntista de multiplicación

En esta definición se parte de la idea de producto cartesiano de conjunto. La multiplicación corresponde a la idea de repetición, pues al formar un producto cartesiano se repite cada elemento del primer conjunto junto a cada elemento del segundo. Recoge especialmente los problemas de combinación, como visualizamos en el siguiente esquema:

Definición 6: Producto de números naturales.

Esta definición pone en juego dos operaciones bien distintas:

Por una parte la operación que se hace sobre los conjuntos (se combinan entre si dos colecciones formar una nueva colección con la totalidad de los elementos que pertenecen a cada uno de ellos; cada elemento de la nueva colección es un par (a; b) donde a es un elemento del primer conjunto y b uno del segundo).

Por otra parte la operación que resulta al nivel de los números de elementos (cardinales) que contienen, operación que es la multiplicación de dichos cardinales.

El producto así definido existe y está determinado unívocamente, a partir de la existencia y unicidad de A x B.

Propiedades:

– Asociativa: (a x b) x c = a x (b x c)

– Conmutativa: a x b = b x a

– Existencia de elemento neutro: el natural 1; ax1=1xa = a, ? a ? N

– Distributiva respecto a la adición: a x (b + c) o a x b +a x c para cualquieras números a, b y c.

Definición recursiva de la multiplicación (basada en los axiomas de Peano)

Esta manera de definir la multiplicación corresponde a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de multiplicación por los niños: "repetir varias veces un mismo sumando".

Al estudiar los números naturales vimos cómo se podían definir estos números a partir de los axiomas dados por Peano. A partir de ellos es posible definir la multiplicación en forma recursiva, partiendo de un número p cualquiera y de su siguiente sig (p). Esta es la definición:

• p x 1 = p para todo número natural p

• p x sig (n) = p x n + n, para todo n diferente de cero.

En consecuencia, procedemos como sigue:

– Como 2 es el siguiente de 1, p x 2 = p x sig (1) = p x 1 + p = p + p; se suma dos veces el número p

– Para multiplicar el número por 3, como 3 el siguiente de 2, p x 3 = p x sig (2)= p x 2 + p = p + p + p; se suma tres veces el número p

– Así sucesivamente

Podemos comprobar como con esta definición podemos encontrar el producto de dos números cualquiera. Por ejemplo:

4 x 3 = 4 x S (2) = (4 x 2) + 4 = (4 x S (1)) + 4 = (4 x 1 + 4) + 4 = 4 + 4 + 4

Es decir, 4 x 3 es el número que obtienes al repetir cuatro tres veces.

Definición conjuntista 7: Cociente de dos números naturales (División con resto)

El cociente así definido existe y está determinado unívocamente. Es siempre realizable, con la limitación dada por todos los números naturales, y en ellas no se cumplen las leyes conmutativa y asociativa,

Además también se define como:

Dados dos naturales n y d, dividir n por d es repartir un conjunto de n elementos en tantos subconjuntos de d elementos como sea posible. El número de subconjuntos formados es el cociente y los elementos que quedan es el resto.

Este proceso se puede ver como una repetición de la sustracción.

Ejemplo: 27 – 5 = 22; 22 – 5 = 18; 18 – 5 = 13;…

Definición aritmética de división entera:

Dados dos números naturales n y d, d ? 0 y n = d, dividir n por d significa encontrar otros dos números naturales q y r tales que n = d . q + r, siendo r < d.

Una condición para q y r equivalente a la anterior es la siguiente:

q . b = a < (q + 1) . b; r = a – q . b

Si el resto es cero se dice que la división es exacta. En este caso la división se puede considerar como la operación inversa de la multiplicación, esto es, "calcular el número que multiplicado por d dé como resultado n (repartir un conjunto de n elemento en subconjuntos de d elementos).

Una propiedad útil de la división entera:

Si se multiplica el dividendo y el divisor de una división por un mismo número n, no se modifica el cociente de la división, pero cambia el resto, que queda también multiplicado por n.

Aplicando esta propiedad obtenemos que 61000 dividido por 9000 da como cociente 7 y resto 7000, ya que 61 divido por 9 da como cociente 7 y resto 7, lo que se puede hacer mentalmente.

En general, se considera a la división como la operación inversa de la multiplicación, en la escuela los alumnos comprueban que la proposición 9 : 3 = 3 es correcta con ayuda de la multiplicación, y dicen: 9 : 3 = 3, pues 3 . 3 = 9. Con ello se subraya la estrecha relación entre las operaciones.

Significado práctico de las operaciones:[9]

Adición:

• Dadas las partes hallar el todo.

• Dada una parte y el exceso de otra sobre ellas, hallar la otra parte.

Sustracción:

• Dado el todo y una parte, hallar la otra parte.

• Dada una p arte y el exceso de otra sobre ella, hallar la otra parte, o hallar el exceso de una parte sobre otra.

Multiplicación:

• Reunión de partes iguales para hallar el todo suma de sumandos iguales.

• Dada la cantidad de partes iguales y el contenido de cada parte, hallar el todo.

• Hallar múltiplos.

• Significado de área.

• Conteo.

División:

• Repartir en partes iguales el todo (hallar el contenido de cada parte).

• Dado el todo y el contenido de cada parte, hallar la cantidad de partes iguales.

• Hallar una parte alícuota, (una unidad fraccionaria: mitad, décima parte,…)

• Restas sucesivas.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Calcula: 1 492 – (14 : 7) . 5) + 543

Respuesta:

Recuerda que lo primero que se hace es lo que estás dentro del paréntesis en este caso la multiplicación y la división, a continuación la suma y la resta en el orden en que aparecen:

1 492 – (2 . 5) + 543 = 1 492 – 10 + 543 = 1 482 + 543 = 2 025

Ejemplo 2:

Se invirtieron $6 000 en sacos de azúcar a razón de $12.00 el saco. Se venden 300 sacos ganando $2.00 en cada uno y los restantes perdiendo $4.00 en cada uno. ¿Cuánto se gana o pierde en el negocio?

Respuesta:

Después de enterarnos bien de los que dice el problema hacemos el análisis.

Análisis:

Pensamos: para saber cuánto se gana o pierde tengo que saber lo que se gastó y lo que se recibe en total, para restar uno de otro. Habrá ganancia si es mayor lo recibido y pérdida en el caso contrario. Lo gastado lo da el problema ($6 000); lo recibido no lo da, tengo que averiguarlo. El problema queda reducido ahora a averiguar cuánto se recibe en total. Buscaré cuánto se recibe por los 300 sacos que se venden primero, para lo cual averiguaré previamente su precio (12 + 2). Luego buscaré lo que se recibe por los demás sacos. El precio de éstos es de 12 – 4 y su número lo podré hallar restando del número total de sacos (6 000 : 12) el número de sacos ya vendidos.

Después de este planteo mental, hecho con mayor o menor precisión, empezamos a escribir:

6 000 : 12 = 500 sacos se compran

12 + 2 = $14 se vende cada uno de los 300 sacos.

300 . 14 = $4 200 se venden los 300 sacos.

500 – 300 0 200 sacos me quedan.

12 – 4 = $8 se vende cada uno de los sacos restantes

8 . 200 = $1 600 se venden todos los restantes.

4 200 + 1 600 = $5 800 se reciben en total

6 000 – 5 800 = $200 se pierden.

R/ Se pierden $200

Comprobación:

Para hacer la prueba resolvamos un problema de tomando como dato el resultado de éste y como incógnita el precio a que se venden los 200 últimos sacos, quedando igual los últimos datos. Nótese que resulta un problema análogo al resultado anteriormente. Nótese también que aquí la comprobación ofrece cierta dificultad.

6 000 – 200 = $5 800 debe recibirse.

14 . 300 = $4 200 se reciben por los 300 sacos.

1 600 : 200 = $8 se vende cada saco

Y como 8 es igual 12 – 4 queda así comprobado el resultado.

Ejercicios propuestos:

• 1. Te proponemos realizar la siguiente actividad:

a. Dibuja cuatro casillas poniendo en cada una un número natural

b. En las tres primeras casillas de la 2ª fila pon la diferencia de los dos números en las dos casillas encima de ella.

c. En la última casilla de cada fila pon la diferencia entre los números en la primera y última casilla de la fila anterior

d. Repite el proceso añadiendo más filas. Se acaba la actividad si consigues una fila con todos ceros.

• ¿Crees que siempre se acabará este juego?

• ¿Puedes encontrar 4 números para poner en la primera fila de modo que se acabe en un solo paso? ¿En ocho pasos?

• 2. Debajo te presentamos una tabla de sumar incompleta donde las filas y columnas se han permutado unas con otras. ¿Eres capaz de reconstruirla?

• 3. Resuelve los siguientes problemas e identifica en ellos qué significado tienen las operaciones de cálculo que aplicaste.

a) Pedro tiene 37 bolas, juega una partida y pierde 18 bolas, ¿cuántas bolas tiene después de la partida?

b) Bernardo juega una partida de bolas y pierde 17 bolas; después de la partida tiene 21 bolas.

¿Cuántas bolas tenía antes de jugar la partida?

c) Claudio tiene 19 bolas y juega una partida. Después de la partida tiene 35 bolas. ¿Qué ha pasado en la partida jugada?

d) Pablo juega dos partidas; en la primera gana 37 bolas y en la segunda pierde 18. ¿Cuántas bolas tiene al final?

e) Bruno juega dos partidas de bolas, una después de otra. En la segunda pierde 17 bolas. Al final de las dos partidas ha ganado 21 bolas. ¿Qué ocurrió en la primera partida?

f) Carlos juega dos partidas de bolas. En la primera partida gana 19 bolas. Juega una segunda partida.

g) Después de estas dos partidas, ganó en total 35 bolas. ¿Qué ha pasado en segunda partida?

h) Los padres de Julia tienen 93.645 pesetas para los gastos de la casa durante el mes. Al final de mes han gastado 81.436 pesetas. ¿Cuánto han ahorrado?

i) Pedro tiene 12 años y María 8. ¿Cuántos años se llevan?

j) Un niño compró 15 chicles, perdió 7 y le regalaron 4. ¿Cuántos chicles tiene ahora?

k) Ignacio tiene 50 cromos más que Fernanda, que, a su vez, tiene 20 cromos menos que

Adela, la cual tiene 80 cromos. ¿Cuántos cromos tienen Ignacio y Fernanda?

l) Luisa tiene 20 canicas de cristal y Carmen 15 canicas de barro. Al juntar sus canicas con las de Alberto habría 60 canicas en total. ¿Cuántas canicas tiene Alberto?

m) A un partido de baloncesto asisten 526 socios del club local y 2.513 espectadores no socios. ¿Cuántos espectadores en total presencian el partido?

n) Andrés mide 9 cm. más de alto que su hermano Julio y 5 cm. menos que su hermana

Sofía. ¿Qué diferencia de altura hay entre Sofía y Julio?

ñ) Eva tiene 2.000 pesetas más que Gloria. Gloria se gasta 500 ptas. ¿Quién tiene ahora más dinero? ¿Cuánto más?

o) La distancia de mi casa a la de un amigo es de 459 m. Salgo de mi casa y recorro 197 m. de esa distancia. ¿Cuántos metros me faltan para llegar a la casa de mi amigo?

p) Un carro transportó 81 sacos de patatas. En cada viaje llevaba 9 sacos. ¿Cuántos viajes hizo?

q) Un comerciante compró 20 cajas de 12 bolígrafos cada una a 40 ptas. unidad. Otro compró 12 cajas de 40 bolígrafos cada una a 20 ptas. unidad. ¿Cuánto gastó cada comerciante?

r) De mi casa al colegio hay 760 m. ¿Cuántos cm ando si voy y vuelvo del colegio?

s) En el cumpleaños de Laura se iban a repartir 108 globos entre 12 niños. ¿Cuántos tocaban a cada uno? Si explotaron la tercera parte, averigua, sin dividir, los globos que recibió cada niño.

t) Se han llenado 5432 sacos de trigo. Cada uno pesa 92 kg. y sobran 20 kg. ¿Cuánto trigo había para llenar los sacos?

u) Cuatro hermanos decidieron repartirse sus ahorros. A cada uno le correspondieron 658 pesetas. ¿Cuánto dinero habían ahorrado entre los cuatro?

v) ¿Cuántos metros mediría un monte que tuviese cuatro veces la altura del Aneto?

• 4. (Problemas interesantes) Resuelve los siguientes problemas:

• a) ¿Por qué si a un número cualquiera le restamos la suma de todas sus cifras se obtiene un múltiplo de 9?

• b) ¿Cómo podrías medir 1 litro de aceite si sólo tienes dos recipientes, uno de 7 litros y otro de cuatro?

• c) Si se necesitan 600 cifras para numerar las páginas de un libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

• d) Una persona efectúa la resta 482 -153 de esta manera 282 + 47 = 329. ¿Es un procedimiento correcto?

• e) Encuentra un número capicúa de 5 cifras sabiendo que el resultado de restar a dicho número el que se obtiene suprimiendo la cifra central es 12400.

• f) Para efectuar una resta a – b se puede seguir el siguiente procedimiento: se escribe un número que tenga tantos nueves como cifras tenga el minuendo a, a ese número se le resta el sustraendo b y, posteriormente, al resultado se le suma el minuendo a; al resultado así obtenido se le suprime la cifra situada más a la izquierda, que será un 1, y esa cifra se le suma a las unidades. El número así obtenido resulta ser la diferencia a-b. Justifica por qué.

• g) Determina el menor número natural que multiplicado por 7 nos da un número natural que se escribe usando únicamente la cifra 1. ¿Y únicamente la cifra 2?

• h) Expresa los números del uno al diez como resultado de operaciones entre números en las que, en total, intervengan cuatro treses.

• i) Suponemos que los números naturales D y q son tales que D1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o guarismos (0, 1, 2, …, b-1) que representan el cero y los primeros números naturales.

  2. Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una unidad de 2º orden, y se escribe a la izquierda de las unidades de 1er orden. (Principio del valor relativo de las cifras)

  3. Se continúa el proceso como en 2)

  4. Cuando no hay unidades de un orden (carencia de unidades) se expresa mediante un 0 en la posición correspondiente.

  5. La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2º orden); la unidad de tercer orden, b2 se expresará como 100(b.

  Teorema fundamental: Existencia y unicidad de la expresión de un número n en base cualquiera b

  Dado un número natural b (que se llama base del sistema de numeración), todo número natural n ? N se puede expresar de manera única mediante el siguiente polinomio: n= ckbk + rkbk-1 + rk-1bk-2 + …. + r3b2 + r2b + r1 donde r1, r2, …, rk, ck, son números naturales menores que b.

  Cambios de base en los sistemas de numeración

  Para comprender las reglas de los sistemas de numeración posicionales ordenados, entre los que se encuentra el sistema decimal de numeración habitualmente usado, es conveniente realizar y analizar las tareas de paso del sistema de numeración base 10 a otras bases distintas, tanto menores que 10, como mayores, y viceversa.

  Paso de la escritura en base 10 de un número n a la base b

  En primer lugar habrá que determinar la cifra de las unidades (o de primer orden), para lo cual habrá que dividir n entre b; el resto será la cifra de la unidades de la nueva expresión. Para hallar la cifra a colocar en la posición de segundo orden se divide el primer cociente obtenido por b y se toma el resto; y así sucesivamente.

  Ejemplo1:

  El número 235(10, expresado en base 5 será: 1420(5.

  

  Paso de la escritura de un número n en base b a base 10

  Basta expresar la escritura de n en forma polinómica (en forma de potencias de la base b) y realizar las operaciones indicadas en base 10; el resultado será la escritura en de n en base 10.

  Ejemplo 2:

  El número 2034(5 será el 269(10 ya que,

  2034(5 = 2.53 + 0.52 +3.5 + 4 = 269 (haciendo las operaciones en base 10)

  El paso de la escritura de un número de base b1 a base b2 se puede realizar pasando el número dado en base b1 a base 10 y después dicho número en base 10 a base b2 por el método explicado anteriormente.

  Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y oral

  a) Sistema de numeración escrito

  Como ya hemos dicho antes es un sistema posicional regular de base 10. Los símbolos que se definen son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

  b) Sistema de numeración oral

  Es un sistema multiplicativo[14]y de base 10 pero con irregularidades. Es un sistema multiplicativo porque define símbolos no sólo para los números anteriores a la base sino también para la base y sus potencias. El número 3400 no lo leemos como "tres cuatro cero cero" sino como "tres mil cuatrocientos", es decir, hacemos referencia a las potencias de la base "mil" y "cien" o "ciento".

  Las irregularidades dependen del idioma y en castellano son las siguientes:

  • Once, doce, trece, catorce y quince. En un sistema regular se diría: dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro y diecicinco.

  • Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa. En un sistema regular se diría: dos dieces (o dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc.

  • Quinientos en lugar de cinco cientos

  • Algunas de las potencias de diez no tienen un símbolo específico, sino un símbolo compuesto por los correspondientes a otras potencias. Así, por ejemplo, la potencia 104 no tiene un símbolo propio como le correspondería en un sistema regular, sino un símbolo compuesto: diez mil. Lo mismo sucede con otras potencias de la base (105 se dice cien mil, 107 se dice diez millones, 108 se dice cien millones, etc.), lo que hace que las potencias mil (103) y millón (106) se conviertan en bases auxiliares.

  • La palabra 'billón' tiene un significado ambiguo. En España y otros países de origen latino quiere decir 'un millón de millones' (1012), mientras que en los países de tradición anglosajona la palabra equivalente significa 'mil millones' (109).

  c) Sistema de numeración oral ordinal

  Se usa para nombrar a los ordinales, aun cuando también puede usarse para ello el sistema oral habitual. Es un sistema de numeración de base 10 en el que se definen símbolos para la unidad y los demás números anteriores a la base, para la base y sus potencias, y también para los nueve primeros múltiplos de la base y del cuadrado de la base. Un número viene dado por la suma de los valores de los signos que lo representan; es por tanto un sistema de tipo aditivo, pero con una sobreabundancia de términos. En muchas de las palabras que nombran a los diferentes múltiplos de la base o de la base al cuadrado se hace patente un criterio de tipo multiplicativo. Por ejemplo, el término 'octingentésimo' se relaciona con los términos 'ocho' y 'centésimo'.

  Los símbolos de este sistema de numeración son los siguientes: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo, undécimo (o décimo primero), duodécimo (o décimo segundo), vigésimo (20), trigésimo (30), cuadragésimo (40), quincuagésimo (50), sexagésimo (60), septuagésimo (70), octogésimo (80), nonagésimo (90), centésimo (100), ducentésimo (200), tricentésimo (300), cuadringentésimo (400), quingentésimo (500), sexcentésimo (600), septingentésimo (700), octingentésimo (800), noningentésimo (900), milésimo (1000), millonésimo (1.000.000). Según esto el ordinal 783 se diría septingentésimo octogésimo tercero. Hoy en día, bastantes de estos términos han caído en desuso.

  A continuación vamos a describir otros sistemas de numeración, lo que nos permitirá ver cómo diferentes culturas han resuelto el problema de representar los números.

  Sistemas de numeración orales: ejemplos

  En la lengua Api de las Nuevas Hebridas representan los 24 primeros números partiendo de 5 palabras: tai, lua, tolu, vari, luna (que significa literalmente "la mano") que equivalen a nuestras palabras: uno, dos, tres, cuatro y cinco. A partir de ahí los números siguientes los nombran combinando esas palabras: para 6 se dice: otai (literalmente 'el nuevo uno')

  Partes: 1, 2, 3, 4