Matemática para maestros primarios

La disciplina Matemática para la Licenciatura en Educación Primaria, para el Curso Diurno del Plan E, aporta los referentes teóricos indispensables para la comprensión de los procederes didáctico – metodológicos que caracterizan el tratamiento de la matemática escolar, pues propone los contenidos indispensables que necesitan los licenciados para enfrentar exitosamente los programas de Matemática que se trabajan en la escuela primaria.

Es decir, desde la disciplina se prepara a los futuros maestros para poder fundamentar, desde el punto de vista matemático los contenidos que se imparten en la escuela primaria, de modo que se evite la repetición mecánica de conocimientos sin una debida explicación o fundamentación científica. Con esta intención se incluyen algunos temas que no se corresponden directamente con los contenidos de los programas de Matemática que se trabajan en la enseñanza primaria, teniendo en cuenta además que los estudiantes de la carrera, deben concluir sus estudios con un nivel universitario y por tanto con una preparación científico teórica en correspondencia con ese nivel.

Por otra parte, con esta disciplina se garantiza también que se creen las condiciones previas indispensables para la comprensión de los contenidos que sobre la Didáctica de la Matemática en la escuela primaria recibirán los estudiantes posteriormente. Dado que la disciplina posibilita que los futuros licenciados adquieran, sistematicen y amplíen los conocimientos básicos que necesitan para el ejercicio de su profesión, existe una gran vinculación con los programas que se desarrollan en ese nivel de enseñanza. Sin lugar a dudas, por la importancia que reviste esta disciplina para el ejercicio de la profesión, el aporte de esta es esencial.

La disciplina contribuye a crear el nivel de partida necesario para la formación y desarrollo de habilidades profesionales y se caracteriza por la integración de los componentes académico, laboral e investigativo. Los contenidos propuestos tienen un orden lógico lo que permite establecer una estrecha relación entre los mismos y trabajarlos con un carácter eminentemente práctico, lo que permitirá que los estudiantes desarrollen las habilidades específicas de la Matemática y que se aprovechen las altas potencialidades que tiene, tanto desde el punto de vista del desarrollo de capacidades mentales generales, como de la educación política.

Es por ello que el presente libro contribuye fiel a tu preparación de acuerdo a las condiciones socio históricas concreta del momento en que estamos viviendo.

Tema 1:

Los conceptos

"…el razonar no es sólo el aspecto frío y calculador del hombre, sino también el factor que impregna y hace posible las vivencias más humanas: los momentos felices, los instantes de tragedia, los errores y los aciertos".

Goya escribió que "El sueño de la razón produce monstruos". Cuando la razón se duerme aparecen los monstruos de la superstición y los horrores de las pasiones desbocadas. Debemos tener pasiones que nos muevan a la acción, pero no dejar que nos posean y manipulen. Debemos tenerlas, no ser sus títeres. La pasión puede y debe acompañar a una razón despierta, para que la pasión pueda enriquecer la vida, en vez de entorpecerla.

La lógica es la ciencia de tener una imaginación despierta. ¿Qué monstruos crees que pueda producir la falta de lógica? Antes de seguir con la clase, ¿para qué creen que pueda servirle la lógica? (si no sabes, conjetura algo):

¿Quieres que se piense sobre cómo mejorar tu vida, las relaciones en tu familia, las condiciones en tu sociedad? Eso requiere cuatro factores:

• 1) Alguien tiene que tomarse el trabajo de pensar. ¿Vas a ser tú el sujeto pensante sobre esos temas, o vas a dejar que alguien más se ocupe de ello?

• 2) Tienes que escoger sobre qué vas a pensar. El objeto pensado debe quedar claro. Hay quienes empiezan tratando de resolver un problema familiar, y de pronto se ponen a tratar de vengarse de antiguas ofensas. No les es claro sobre qué van a pensar.

• 3) El pensamiento como proceso requiere tiempo. ¿Quieres cualquier respuesta rápida o tienes disposición a invertir algo de tiempo para mejorar la respuesta a tus preguntas?

• 4) El pensamiento como resultado requiere alguna expresión. Tal vez tu pensamiento como proceso es claro (tú lo entiendes bien) pero tu pensamiento como expresión es oscuro (los demás no entendemos qué pensaste).

Y este pensamiento como proceso y como resultado es el objeto de estudio de la lógica

-¿Qué significa la palabra lógica?

Lógica viene del griego Logos que significa: idea, palabra, razón, pensamiento.

-¿Qué es la Lógica? ¿Cuál es su objeto de estudio?

Lógica: Ciencia que estudia la corrección del pensamiento. Su objeto de estudio son los razonamientos que constituyen una forma especial de pensamiento mediante el cual se adquiere un saber inferido.

Aplicaciones e importancia de la lógica:

En la psicología: La lógica estudia el pensamiento humano pero no trata de describir cómo es o por qué se da, o cómo podría cambiar. La lógica no es psicología. No habla de cómo es nuestro pensamiento sino de cómo debiera ser.

En la gramática: La lógica normalmente utiliza una serie de fórmulas especiales con una bien definida gramática. Pero no la hace un estudio de la gramática en el sentido de la gramática del Español.

En la matemática: Alguna gente cree que "Lógica" y "Lógica Matemática" son sinónimos. Esto no es verdad. Hay lógica que no es simbólica, que no es matemática, que no es formal. Mientras que toda matemática utiliza recursos lógicos, no toda lógica utiliza recursos matemáticos.

La lógica puede ser útil para la investigación científica porque provee criterios de rigor, claridad y precisión. Además permite clarificar las teorías científicas estudiando las relaciones lógicas entre las diferentes afirmaciones de la ciencia. Es importante poder reconocer en una teoría científica qué cosas se dan por supuestas y qué cosas se derivan de otras.

Hay áreas de la Filosofía de la Ciencia que se ocupan de reconstrucciones lógicas de teorías científicas. Lo distintivo de la ciencia es la metodología y una de los aspectos de la lógica es como metodología de las ciencias, es decir estudios de los métodos para obtener conocimiento científico.

La lógica es también muy útil en la vida cotidiana. Puede ayudarnos a entender mejor nuestras ideas. Nos permite saber con más claridad qué es lo que opinamos nosotros u otras personas, cómo puede justificarse lo que decimos o creemos, y qué se sigue de ello, qué compromisos intelectuales contraemos al sostener algo.

¿Creen ustedes que las personas educadas deban saber de lógica?

Pues los invito a estudiar de estudio independiente el texto "Qué debe saber de lógica una persona educada" y enviarme su opinión por correo electrónico para ser evaluada.

El desarrollo de la lógica ha tenido dos fuentes distintas, una que tuvo sus orígenes en la India y la otra en Grecia. La primera no ha sido estudiada prácticamente, aunque existe una amplia bibliografía al respecto. Se reconoce que la lógica india adquiere una forma sistemática en el siglo VI de n.e. y que pasa a ser ciencia independiente con Gangesa (siglos XII y XIII), autor del tratado Tattvacintamani y fundador de la escuela navya-nyaya ("método nuevo" o "lógica nueva"). Este sistema de lógica fue superado posteriormente por la escuela navya-nyai, creada por Raghunata.[1]

Además debemos tener en cuenta que en la enseñanza de la matemática los alumnos son estimulados continuamente hacia la realización de actividades mentales y deben ser guiados gradualmente del pensamiento correcto espontáneo hacia el pensamiento correcto planificado. El adiestramiento lógico verbal es un principio de la enseñanza de la Matemática en la educación primaria.

La segunda fuente surge con los trabajos del filósofo griego Aristóteles, el cual en sus estudios distingue tres formas del pensamiento: conceptos, juicios y razonamiento, la primera es el punto de partida y el más simple y primordial del pensamiento.

Nos dedicaremos entonces al estudio de los conceptos:

La palabra concepto proviene de concipio, voz latina que significa "abarcar o recoger con la mente".

Definición 1: Concepto.

Características de los conceptos:

• .Primera forma o estructura del pensamiento estudiada por la lógica.

• Aprendemos las características esenciales de un objeto, que son las que definen al objeto y son indispensables o forzosas y que se distinguen de las notas accidentales o accesorias.

• No afirma ni niega nada.

• Tiene un carácter general, abstracto.

• Se expresa por término o palabra.

• Se acompaña de imágenes o representaciones sensibles.

• Siempre se refiere a un objeto o clase de objetos y por ellos constituye una unidad de significación.

• Puede ser definido o desarrollado por medio de otros conceptos.

Como forma lógica del pensamiento, el concepto es el reflejo en la conciencia del hombre de la esencia de los objetos o clases de objetos, de los nexos esenciales sometidos a leyes de los fenómenos de la realidad objetiva.

Los conceptos se conservan en palabras o grupos de palabras en íntima conexión con el lenguaje.

El concepto es el reflejo mental, sin embargo su reflejo verbal se realiza mediante la definición.

El concepto surge primero, la definición después.

Todo concepto se caracteriza por su contenido y extensión.

El contenido de un concepto abarca todas las características esenciales comunes a los objetos pertenecientes a una clase.

La extensión de un concepto comprende a todos los objetos que pertenecen al concepto de acuerdo con su contenido.

Ejemplo 1:

Si expresamos que el rombo es un paralelogramo con sus cuatro lados iguales, el contenido de ese concepto estaría representado por las características de ser un paralelogramo (dos pares de lados paralelos), pero además por el hecho de que todos los lados tienen la misma dimensión.

A la extensión del concepto rombo pertenecen todas aquellas figuras geométricas que cumplan el requisito de poseer las dos características que se mencionaron en su contenido. En tal sentido podemos afirmar que el cuadrado pertenece a la extensión del concepto rombo.

Los conceptos pueden representarse gráficamente a través de los diagramas de Venn de forma muy sencilla.

Por ejemplo, si queremos representar el concepto rombo, podemos hacerlo de la siguiente forma:

Según su extensión los conceptos pueden ser de varios tipos:

Singulares: Cuando tienen un único representante, digamos el sol o la luna.

Generales: Cuando tienen un número de representantes mayor que uno, como en el caso de cualquier especie de plantas o animales.

Vacíos: Cuando no tiene ningún representante, por ejemplo, "el perro que habla".

Según su contenido los conceptos también pueden ser de varios tipos:

Conceptos concretos o abstractos: Dependiendo de si reflejan individuos o clases de individuos separados o indicios de éstos, se dice que los conceptos son concretos o abstractos. Así son conceptos concretos rana, trapecio y ciruela y son conceptos abstractos democracia, libertad y belleza, por sólo citar algunos ejemplos.

Conceptos relativos o independientes: Atendiendo a si presuponen la existencia de otros conceptos o no, se diferencian conceptos relativos o independientes. Son relativos los conceptos padre e hijo, jefe y subordinado, bueno y malo – uno supone la existencia del otro-, lo cual no es el caso para los conceptos cajón, trapecio y comercio, que son independientes.

Conceptos positivos o negativos: Considerando si caracterizan la presencia o ausencia de una calidad o relación, se les denomina positivos o negativos. Son positivos los conceptos honesto, alfabetizado, humano y rico, y negativos, deshonesto, analfabeto, inhumano y pobre. Hay que tener en cuenta que un concepto positivo desde el punto de vista de la lógica, no necesariamente lo tiene que ser según otros puntos de vista, como es el caso del concepto grasiento.

Conceptos colectivos o no colectivos: Valorando si representan un grupo de objetos como un todo o a cada individuo de la misma clase, hablamos entonces de conceptos colectivos o no colectivos. Son colectivos los conceptos bosque, rebaño y biblioteca, y no lo son, computadora, camisa y honrado.

Entre los conceptos existen disímiles relaciones:

Conceptos incomparables y comparables: Los conceptos distanciados por su contenido y por ende, por sus características esenciales, se llama incomparables; los demás se denominan comparables.

Conceptos compatibles e incompatibles: Cuando son comparables, se llaman conceptos compatibles, aquellos cuyos volúmenes coinciden por completo o en parte, e incompatibles, aquellos cuyos volúmenes tienen intersección vacía, es decir, que no tienen ningún elemento común.

Hay intersección entre las extensiones de los conceptos, pero una no contiene a la otra (conceptos cruzados).

Las extensiones coinciden en todos los representantes (conceptos equivalentes o idénticos).

Queremos destacar la relación de subordinación o, como es comúnmente conocida, la relación género-especie.

A manera de ejemplo, vamos a retomar la relación entre los conceptos rombo y cuadrado. Como ya apuntamos, el cuadrado pertenece a la extensión del concepto rombo. El concepto rombo es superior al concepto cuadrado porque lo incluye. En este caso decimos que el concepto rombo es genérico con respecto al concepto cuadrado. El concepto cuadrado es a su vez una especie del concepto rombo.

Esta relación puede representarse gráficamente de la siguiente forma:

Los conceptos cumplen la Ley de razón inversa entre el contenido y el volumen de conceptos: Si los volúmenes de dos conceptos están en la relación de inclusión o de género – especie, será más amplio el contenido del concepto cuyo volumen está incluido en el volumen del otro y viceversa. Dicho con otras palabras, entre el contenido y la extensión de conceptos que guardan una relación género – especie hay una ley de razón inversa: mientras más características esenciales tenga el concepto, menos representantes tendrá, y viceversa, mientras menos características esenciales tenga, mayor será la extensión del concepto.

Ejemplo 2:

El volumen del concepto paralelogramo es un subconjunto del correspondiente al concepto cuadrilátero convexo, pero el contenido de este último (polígono convexo con cuatro lados) es menos amplio que el del concepto paralelogramo (polígono convexo con cuatro lados, cuyos lados opuestos son paralelos).

Entre los conceptos se realizan operaciones lógicas dentro de las cuales se encuentran:

• Limitar un concepto es la operación lógica consistente en pasar del concepto a otros subordinados añadiendo características esenciales.

• Generalizar un concepto es la operación lógica consistente en pasar del concepto a otro subordinante prescindiendo de características esenciales.

• Generalizar un concepto es la operación lógica consistente en pasar del concepto a otro subordinante prescindiendo de características esenciales.

• Clasificar un concepto es la operación lógica mediante la cual la extensión de un concepto se separa en subclases disjuntas de acuerdo con un rasgo escogido de antemano que es la base de la clasificación.

• Definir un concepto es la operación lógica mediante la cual se establece cuál es su contenido o lo que significa el término que designa al concepto.

Definición 2: Definición.

Estructura de la definición.

Estructuralmente la definición de un concepto puede representarse la siguiente manera:

Clasificación de las definiciones.

No pretendemos dar en este apartado todos los detalles que, desde el punto de vista de la Lógica, se han establecido para clasificar las definiciones. Sólo apuntaremos que existen diferentes bases de clasificación, sobre las cuales puede profundizarse en cualquier tratado de Lógica. Aquí nos requeriremos a dos bases que resultan útiles para comprender mejor el trabajo con conceptos en escuela:

Según se defina un concepto la definición puede ser real o nominal.

La definición es real cuando en ella se definen un nuevo concepto.

Ejemplo 3:

El hombre es un animal racional.

La definición es nominal si en ella se introduce un término para designar un concepto que en principio es conocido. Es característica en este tipo de definición la presencia de la expresión "se llama".

Ejemplo 4 de definición nominal:

Es sabido que en un plano dos rectas distintas tienen un punto común o ninguno.

Decimos que dos rectas se llaman secantes si tienen un punto común.

En esta definición sólo se asigna un nombre a un concepto ya caracterizado.

En dependencia de que el definiendum se da explícitamente o no, la definición puede ser explícita o implícita. En esta última el definiendum se determina mediante una relación.

Creemos convenientemente destacar dentro de las definiciones explícitas las siguientes:

• Mediante género próximo y diferencia específica.

• Genéticas.

En las definiciones por género próximo y diferencia específica se determina el concepto fijando un concepto al cual está subordinado y precisando las propiedades específicas.

Ejemplo 5:

El cuadrado es un rombo con sus ángulos rectos.

Aquí para definir cuadrado, se fijó el concepto genérico rombo y se agregó la propiedad específica de tener sus ángulos rectos.

Las definiciones genéticas son consideradas una variante de las anteriores. En ellas la diferencia específica expresa el origen del objeto definido.

Ejemplo 6:

El agua es una sustancia que se origina por la combinación de dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno.

Aquí el concepto genérico fijado para definir agua es sustancia.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Dado el siguiente concepto: Ejemplo: enfermedad

Su definición es: Alteración de la salud

Está se obtuvo mediante: El reconocimiento

El contenido es: Alteración de la salud

La extensión son las diferentes enfermedades que existen.

Como puedes ver este es un concepto general porque tiene un número de representantes mayor que uno, abstracto porque no refleja individuos o clases de individuos, relativo porque presupone la existencia de algo, positivo porque caracteriza la presencia de algo, no colectivo porque no representan a un grupo de objetos.

Con respecto al concepto cuadrilátero es incomparable porque los conceptos distanciados por su contenido

Con respecto al concepto cáncer es compatible porque sus volúmenes coinciden por completo o en parte

Ejercicios propuestos:

• 1. Seleccione un concepto y determine su contenido. Diga si tiene extensión infinita, finita o vacía.

• 2. Clasifique los siguientes conceptos según su volumen y su contenido:

(Ejemplo: enfermedad es un concepto general, abstracto, relativo, positivo, no colectivo)

a) conejo b) sequía c) escuela d) equipo

• 3. Cite ejemplos de conceptos idénticos, cruzados y que estén en la relación subordinante – subordinado.

• 4. Clasifique las siguientes definiciones:

a) El equipo eléctrico que permite elevar o reducir el valor de la tensión, se denomina transformador.

b) Las reacciones químicas son procesos en los cuales tienen lugar cambios estructurales como el rompimiento y la formación de nuevos enlaces químicos, que originan nuevas sustancias.

c) Las células que poseen envoltura nuclear se denominan eucariotas.

d) La magnitud física que informa acerca de la rapidez con que varía la velocidad de un cuerpo que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se denomina aceleración.

e) La relación entre la variación de la concentración de sustancia ?C(x) de cualquiera de las sustancias involucradas en la reacción y el intervalo de tiempo en que fue medida, se llama velocidad media de reacción.

f) Las disoluciones son mezclas homogéneas de dos o más sustancias en proporciones variadas.

• 5. Identifique en los siguientes conceptos cuales son idénticos, cuáles cruzados y cuáles están en la relación subordinante – subordinado.

a) Cordado – mamífero

b) Trapecio – cuadrilátero con un par de la de lados paralelos.

c) Triángulo – Triángulo

d) Rectángulo – rombo

e) Mamíferos y vertebrados que dan de mamar a sus hijos

• 6. Dado el concepto "Ángulo": Región limitada por dos rectas que se cortan.

a) Limite el concepto

b) Clasifique el concepto según su amplitud.

• 7. Dadas las siguientes definiciones, clasifíquelas:

a) Arect = base x altura

b) Triplo de un número es el que se obtiene al multiplicar un número natural por 3

c) "=" es igual a

d) La relación entre la variación de la concentración de sustancia de cualquiera de las sustancias involucradas en la reacción y el intervalo de tiempo en que fue medida se llama velocidad media de reacción.

e) Las disoluciones son mezclas homogéneas de dos o más sustancias en proporciones variadas

• 8. Diga si las siguientes parejas de conceptos son compatibles e incompatibles:

a) "Conjunto de los números enteros" – "cuadriláteros"

b) "Rectángulo" – "Rombo"

c) "Triángulo" – "cuadrilátero"

d) "Animales" – "Plantas"

8.1 Clasifica dichos conceptos.

• 9. Completa el siguiente esquema y diga qué relación hay entre los concepto que aparecen en el mismo.

a) Clasifica los conceptos antes expuestos.

• 10. ¿Cuáles de los siguientes planteamientos son definiciones? En aquellos que lo sean identifica el definiendum y el definiens.

a. Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos rectos.

b. Si un número es divisible por 6 entonces es divisible por 3.

c. an = a . a . a … a (n veces)

d. Los números naturales terminados en 0, 2, 4, 6 y 8 se llaman números pares.

10.1 Clasifica dichas definiciones.

• 11. En las siguientes definiciones identifica su contenido:

a) Los números naturales mayores que 1 y divisibles solamente por 1 y por sí mismos son números primos.

b) Sean n, x, y, números naturales, entonces decimos que x es divisor de n si y solo si n = x . y.

c) Llamamos rectángulo al paralelogramo que tiene los lados consecutivos perpendiculares.

• 12. Algunos temas son especialmente buenos para desarrollar argumentaciones. Otros son buenos para fantasear sobre ellos, para dirigir la vida, para deleitarnos con su belleza, para establecer lazos de amistad, para explorar. Pero para argumentar no cualquier concepto es igualmente favorable. No cualquier tema nos lleva a argumentar. Escriba un tema que nos lleve a argumentar:

Evalúe qué tan bueno es su tema para llevar a argumentar. En cada rubro anote 3 puntos si esa característica se cumple completamente, 2 puntos si lo cumple medianamente, y 1 punto si no lo cumple para nada.

• 13.  Dado el concepto rectángulo.

• a) Incremente el contenido del concepto.

• b) Haga más general el concepto, es decir, incremente su extensión.

• c) Si hay una cosa a la que se le aplica un concepto pero no otro, ¿pueden esos dos conceptos tener la misma extensión? ¿Por qué?

• d) Si hay una cosa a la que se le aplica un concepto pero no otro, ¿esos dos conceptos pueden tener el mismo contenido? ¿Por qué?

• 1. Proponga una división de los estudiantes de su clase.

• 2. Proponga una división para los colores.

• 3. Proponga una división de los amigos.

• 4. Explique qué tienen de malo las siguientes divisiones:

• a. Dividir a los seres humanos entre derechistas e izquierdistas.

• b. Dividir a los seres humanos entre europeos y anglosajones.

• 15. Seleccione un tema de un texto escolar.

a) Escoja seis conceptos que aparezcan en éste, analice sus definiciones y clasifíquelas.

b) Determine las extensiones de estos conceptos y clasifíquelos por su extensión.

c) Si son conceptos compatibles, analice las relaciones entre ellos.

d) Busque dentro de cuál clasificación se pueden enmarcar dichos conceptos y exprese el rasgo de clasificación escogido.

e) Analice cuáles procedimientos lógicos asociados a conceptos son objeto de trabajo en el tema.

f) Valore si se pudiera trabajar con otros procedimientos lógicos asociados a conceptos en el contexto del tema.

Tema 2:

Proposiciones

Un juicio (afirmación, aseveración, enunciado) se distingue por decir algo que podría ser verdadero o falso sobre el tema. Cuando decimos juicio nos referimos a nuestra opinión. No significa, como por ejemplo en el derecho, todo el proceso de deliberación, sino tan solo la sentencia, hipótesis o conclusión a la que llegamos.

Definición 1: Juicio

En el desarrollo de cualquier teoría Matematica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

Definición 2: Proposición

Ejemplo 1: Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad.

(b) 6 es un número primo.

(c) 3+2=6

(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es. _

Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r. . . . . . La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir qué p es la proposición "tres más cuatro es igual a siete".

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo 2: Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Solución

En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. _

Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

Definición 3: Valor de Verdad

Ejemplo 3: Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de inform´atica.

(b) q: La tierra es el ´unico planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.

(d) s: Cinco más siete es grande.

Solución

(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco

Niñas m´as siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas

de cinco céntimos m´as siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero

grande. _

Definición 4: Proposición Compuesta

En la lógica matemática esta unión de proposiciones recibe el nombre de función proposicional.

Ejemplo 4: "La Matemática es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor" es una proposición compuesta por las proposiciones "La Matemática es mi asignatura preferida" y "Mozart fue un gran compositor".

"Él es inteligente o estudia todos los días" es una proposición compuesta por dos proposiciones: "Él es inteligente" y "Él estudia todos los días". _

Nota: La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.

Definición 5: Variables de Enunciado

En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por Wittgenstein[3]

Definición 6: Tablas de Verdad

Ejemplo 5: Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.

Ya vimos que las proposiciones simples se pueden enlazar entre sí. Y que para decidir su valor de verdad necesitamos prestarle especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.

Definición 7: Conjunción

Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ^ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ^ q es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por:

Obsérvese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p ^ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p ^ q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.

Definición 8: Disyunción

De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ( q, es verdad entonces p ( q es verdad y que p ( q será falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad será, por tanto,

Al igual que en la conjunción, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p ( q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ( q es falsa, entonces ambas han de ser falsas. _

Definición 9: Negación

La tabla de verdad de esta nueva proposición, (p, es:

De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original. _

Ejemplo 6: Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

p1: El Pentium es un microprocesador.

p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.

p3: El Pentium no es un microprocesador.

p4: 2 + 2 = 5

p5: Es falso que 2 + 2 = 5

p6: 2 + 2 = 4

Solución

• p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.

• p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.

Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:

• p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.

• p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.

Ejemplo 7: Construir la tabla de verdad de la proposición ((p ^ (q).

Solución

Definición 10: Tautologías y Contradicciones

En adelante, notaremos por "C" a una contradicción y por "T" a una tautología.

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, neutralidad.

Ejemplo 8: Probar que la proposición compuesta p ( (p es una tautología y la p ^ (p es una contradicción. Solución

En efecto:

Obsérvese que p ( (p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de enunciado, p y (p y lo mismo ocurre con la falsedad de p ^ (p. _

Definición 11: Proposición Condicional

A la proposición "p" se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la "q" tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria de la condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).

De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es:

Obsérvese que si p ( q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si la condicional p ( q es falsa, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. _

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p ( q son:

p solo si q".

"q si p".

"p es una condición suficiente para q".

"q es una condición necesaria para p".

"q se sigue de p".

"q a condición de p".

"q es una consecuencia lógica de p" .

"q cuando p".

Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.

Ejemplo 9: Sean p, q y r las proposiciones "El número N es par", "La salida va a la pantalla" y

"Los resultados se dirigen a la impresora", respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de las siguientes proposiciones.

(a) q ( p.

(b) ( q ( r.

(c) r ( (p (q).

Solución

(a) q ( p.

– Si la salida va a la pantalla, entonces el número N es par.

– La salida irá a la pantalla, sólo si el número N es par.

– El número N es par si la salida va a la pantalla.

– Una condición suficiente para que el número N sea par es que la salida vaya a la pantalla.

– Una condición necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el número N sea par.

(b) (q ( r.

– Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora.

– La salida no va a la pantalla sólo si los resultados se dirigen a la impresora.

– Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla.

– Una condición suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la pantalla.

– Una condición necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.

(c) r ( (p ( q).

– Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el número N es par o la salida va a la pantalla.

– Los resultados se dirigen a la impresora sólo si el número N es par o la salida vaya a la pantalla.

– El número N es par o la salida va a la pantalla si los resultados se dirigen a la impresora.

– Una condición suficiente para que el número N sea par o la salida vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.

– Una condición necesaria para que los resultados se dirijan a la impresora es que el número N sea par o que la salida vaya a la pantalla.

Definición 12: Reciproca