Matemática para maestros primarios (página 3)

Se trata de un sistema de base 5,pues los números se expresan indicando los grups de cinco que los compenen y el resto que queda.

En euskera las palabras que se utilizan para nombrar los diez primeros números son las siguientes: bat (uno), bi (dos), hiru (tres), lau (cuatro), bost (cinco), sei (seis), zazpi (siete), zortzi (ocho), bederatzi (nueve), hamar (diez).

Se trata de un sistema de base 20 con una base auxiliar 10. En el sistema de numeración oral francés también se conservan vestigios de una base 20. Se dice, por ejemplo: 'quatrevingts' (cuatro veintes) para indicar 'ochenta' y 'quatre-vingts-dix' (cuatro veintes diez) para indicar "noventa".

Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos

a) Muescas: La utilización de muescas para llevar una cuenta está documentada desde la Prehistoria.

b) Objetos ensartados en hilos: collares

c) Objetos ensartados en varillas: ábacos

d) Nudos

e) Objetos sueltos: valor definido por la posición

f) Objetos sueltos: valor definido por alguna característica del objeto

Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas bases

Se cree que la mayor parte de los sistemas de numeración tienen su origen en otros más primitivos basados en la utilización de distintas partes del cuerpo humano como objetos numéricos. Las bases más utilizadas: 5, 10, 12, 20, 60 pueden explicarse como un intento de aumentar la capacidad contable de los dedos.

a) Base cinco

Si utilizamos los dedos de la mano derecha para contar unidades hasta cinco y por cada cinco unidades levantamos un dedo de la mano izquierda estaremos en un sistema de numeración de base cinco. Cada cinco unidades dan lugar a una unidad de orden superior, los dedos de la mano izquierda, y toda la mano izquierda representará una unidad de segundo orden compuesta de 25 unidades.

b) Base diez

Aparece al utilizar los dedos de las dos manos para contar unidades. Un hombre representaría una unidad de orden superior, la decena.

c) Base veinte

Aparece al utilizar los dedos de las dos manos y de los dos pies para contar unidades. Un hombre representaría la unidad de orden superior que en este caso sería una veintena.

d) Base doce

Se explica si se utiliza el dedo pulgar de la mano derecha para contar las falanges de los otros dedos de la misma mano. Tenemos así doce falanges en la mano derecha. Si además por cada doce unidades señalamos una falange de la mano izquierda tendremos una unidad de primer orden, la docena, y las dos manos representaran una unidad de segundo orden (144 = 122).

e) Base sesenta

Aparece como una combinación de cinco y doce si contamos falanges con la mano derecha y por cada docena levantamos un dedo de la mano izquierda. Las dos manos representan entonces una "sesentena".

Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos

La necesidad de almacenar información numérica propia de las sociedades estatales propicia la aparición de los sistemas escritos de numeración. Estos números escritos se conservan bien, ocupan poco lugar y su almacenamiento se organiza con facilidad; tienen, por tanto, ventajas frente a las representaciones numéricas orales o mediante objetos. A continuación vamos a ver algún ejemplo más:

a) Los sumerios empezaron a desarrollar una contabilidad escrita a partir del 3200 a.C. consistente en dibujar en tablillas de arcilla las figuritas de barro que utilizaban para indicar los números.

b) Los matemáticos y astrónomos de Babilonia fueron los primeros en construir un sistema de numeración escrito en el que se utilizaba en parte un criterio posicional. Su sistema posicional era de base 60 donde los signos que indican cuántas unidades o diferentes potencias de la base tiene el número constituyen un sistema aditivo de base 10. Este sistema tenía muchos inconvenientes porque la falta de un cero y la mezcla de sistema posicional con aditivo creaba muchas ambigüedades en la escritura de los números.

c) En Italia, antes del Imperio Romano existían pueblos de pastores que habían desarrollado una cultura de muescas. Por cada cabeza de ganado que contaban grababan una muesca en un palo o hueso. Para facilitar la lectura de las muescas empezaron a agruparlas de cinco en cinco haciendo marcas separadoras que sintetizasen la información numérica contenida en las muesca.

Al llegar a la quinta muesca grababan un trazo oblícuo y en la décima dos trazos oblícuos cruzados. Volvían a grabar el trazo oblícuo en la muesca número 15 y el aspa en la número 20. Para facilitar la lectura de números más grandes inventaron signos específicos para 50, 100, 500 y 1000.

El siguiente avance se produce cuando esos pastores se dan cuenta de que no es necesario grabar todas las muescas puesto que algunas de ellas ya recogen toda la información anterior.

Es decir, cuando descubren que para expresar el número IIIIV IIIIV IIIIX IIIV II es suficiente con escribir XXVII

Los romanos heredaron estas marcas y acabaron por identificarlas con algunas letras.

Así, el trazo oblicuo se identificó con la letra V, el aspa con la X, la marca para 50 se transformó en una L, la de 100 en una C, y la de 500 y 1000 en una D y una M, respectivamente. Además añadieron una última modificación al sistema consistente en introducir un principio sustractivo para acortar la escritura de ciertos números. De acuerdo con este principio escribían IV en vez de IIII, IX en vez de VIIII, XL en vez de XXXX, etc.

Estamos pues ante un sistema de tipo aditivo, aunque con irregularidades, de base 10 y con una base auxiliar 5. Este sistema todavía lo usamos nosotros para indicar ordinales y fechas.

Actualmente para escribir en números romanos seguimos las siguientes reglas de escritura:

i) Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil) son los "principales' y los símbolos V (cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los 'secundarios'.

ii) Los símbolos principales no se pueden repetir más de tres veces y los secundarios no pueden repetirse ninguna vez.

iii) Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor valor se suma. Si un símbolo principal está situado a la izquierda de un símbolo de mayor valor se resta.

iv) A la izquierda de un símbolo solo se puede poner como símbolo de menor valor el símbolo principal inmediatamente anterior.

v) Los millares, diez millares, cien millares, etc. de los números mayores o iguales que 4.000 se escriben como si fueran unidades, decenas, centenas, etc., colocándoles una raya horizontal por encima. Por ejemplo, 583.459 se escribe, DLXXXIII CDLIX.

Ejemplos:

Ejemplo1:

El número 235(10, expresado en base 5 será: 1420(5.

Ejemplo 2:

El número 2034(5 será el 269(10 ya que,

2034(5 = 2.53 + 0.52 +3.5 + 4 = 269 (haciendo las operaciones en base 10)

El paso de la escritura de un número de base b1 a base b2 se puede realizar pasando el número dado en base b1 a base 10 y después dicho número en base 10 a base b2 por el método explicado anteriormente.

Ejercicios propuestos:

• 1. En los siguientes ejercicios, escribe todas las posibilidades utilizando un código de escritura adecuado y cuenta después cuántas son. Si salen muchos casos posibles encuentra algún procedimiento que permita hallar el número total sin tener que contar y describe cómo podrían escribirse todos los casos.

a) Distribuye, de todas las maneras posibles, 15 monedas de peseta en cuatro montones.

b) Ana, Marisa, Luis y Pedro quedan en una cafetería. Llegan de uno en uno. Escribe las posibilidades de orden de llegada de esas cuatro personas.

c) Escribe todos los números de tres cifras que se pueden formar con los dígitos 3, 4, 7, y 9. ¿Cuántos son mayores de 700?

• 2.  Averigua cuántos cuadrados se pueden trazar sobre la trama siguiente con la condición de que los vértices de cada cuadrado sean puntos de la trama:

• 3. Construye un sistema multiplicativo de base 8 y utilízalo para expresar los números 32768, 5400 y 89. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 8. Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema.

• 4. Construye un sistema multiplicativo de base 5 y utilízalo para expresar los números del ejercicio anterior. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 5. Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema.

• 5.  En los siguientes ejercicios suponemos que todos los sistemas de numeración son posicionales. Lo único que puede variar es la base del sistema.

a. ¿En qué base debe escribirse el número 17 para que se convierta en el 21?

b. ¿En qué base debe escribirse el número 326 para que se convierta en el 2301?

c. ¿En qué sistema de numeración se verifica que 55+43 = 131?

d. ¿En qué sistema de numeración se verifica que 54 x 3 = 250?

• 6. Sabiendo que en un cierto sistema de numeración se tiene que 36 + 45 = 103, calcula el producto 36 x 45 en dicho sistema.

a) Halla la base del sistema de numeración en el que el número 554 representa el cuadrado de 24.

b) En los sistemas de numeración de bases x y x +1, un número se representa por 435 y 326 respectivamente. Halla x y la expresión de dicho número en el sistema decimal.

c) Halla la base del sistema de numeración en el que los números 479, 698 y 907 están en progresión aritmética.

d) Un número de tres cifras en el sistema de base 7 tiene sus cifras invertidas en el sistema de base 9. ¿Cuál es ese número? Exprésalo en base decimal.

• 7. Efectúa las siguientes operaciones en las bases que se indican:

• 8. Escribe en el sistema romano los números siguientes:

a) 92

b) 990

c) 1309

d) 4804

e) 2746005

• 9. Coloca de manera conveniente un dígito en el lugar donde están " x " e " y " para que el número natural n = 56xy12 sea el mayor número que contenga los dígitos ya dados en él.

10.1) Escribe cómo se lee el número n

10.2) ¿Cuántas decenas tiene n?

10.3) Escribe el número n empleando los símbolos de la numeración romana.

10.4) Si m = 1. 10 5 + 2 .10 3 , compara n y m. Fundamenta.

• 10. Escribe un número natural n que tenga 34 007 centenas.

a) Escribe el numeral.

b) ¿Es n > m si m = 5 • 10 8 + 2 • 10 5 + 7 • 10 2 ? Fundamenta tu respuesta.

• 11. Escribir en el sistema decimal:

• 12. Si de 3 ·105 + 5 ·104 + 7 sustraes la suma del producto del mayor número de dos lugares con dígitos no repetidos por su mitad y el producto del mayor número de tres lugares con dígitos no repetidos por la suma de sus dígitos, obtienes un número con:

___ 32 millares y 1517 decenas

___ 3 millones y 15 millares

___ 3215 centenas y 17 unidades

___ 321 cientos de miles y 517 unidades.

• 13. Del cociente de 34408 y 68 se han sustraído 34 decenas y esa diferencia se ha aumentado al número cuya descomposición es 9 ·106 + 3 ·104 + 7 disminuido en 75 cientos de miles. ¿Cuántos millares tiene el resultado obtenido? ¿Y cuántas decenas?

• 14. El número formado por 42 decenas y aquel cuya representación en el sistema romano es XCIV son dos factores del minuendo del cual se ha sustraído 2·104 + 8·10 + 6. ¿Cuánto faltaría a esa diferencia para obtener una unidad de millón?

• 15. Resuelve los siguientes ejercicios:

• a) En una división inexacta el dividendo está formado por 7 ·106 + 6 ·103 + 3· 10 + 2 y el divisor tiene 83 decenas y 5 unidades. Comprueba que el resto tiene 45 decenas y 3 unidades menos que el divisor.

• b) Sean m, n, r, números naturales tales que: m= 24 millares y 6 unidades, n = 20 centenas y 5 unidades, r = 3·105 + 5·10. ¿Es la suma de las diferencias entre m y n y entre m y r superior a una centena de millar? ¿Cuántas decenas como exceso existen entre esa suma y esa cantidad?

Fundamenta.

Tema 12:

Divisibilidad

Definición 1: Primera definición de divisor:

Definición 2: Segunda definición de divisor:

Estas dos definiciones son equivalentes en el caso de ser a? 0. En efecto, si se cumple la primera, al dividir b entre a obtendremos cociente n y resto cero. Por otra parte, si se cumple la segunda, b tendrá que ser igual al divisor a por el cociente q y ya hemos encontrado un número natural que multiplicado por a da b.

Definición 3: Múltiplo de un número.

Las siguientes expresiones son equivalentes: a es un divisor de b, b es un múltiplo de a, a divide a b, b es divisible por a. Para indicar que a es divisor de b se utiliza la notación a | b y para indicar que b es un múltiplo de a.

En las clases de los primeros grados, se utilizan los conceptos de divisor y múltiplo, los escolares resuelven ejercicios con las siguientes órdenes:

• Forma los múltiplos de 100, desde 100 hasta 1 000

• ¿Qué número tienes que sumar al resultado de quintuplicar 957, para obtener 7 230?

• Escribe los múltiplos de 2 que se encuentran entre 3 y 11.

• Di si los siguientes números son divisibles por 5: 15, 17, 25, 41, 45.

• ¿Por qué números 12 es divisible?

• Escribe todos los números entre 3 y 30, que sean divisibles por 3.

Además debemos recordar que la relación de divisibilidad es una relación de orden y que cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva

Notaciones algebraicas:

Indicaremos los números naturales con letras cualesquiera: a, b, c, n, m, etc.

Si dividimos los números naturales por dos obtenemos una partición en dos subconjuntos: el conjunto formado por los números que son divisibles por dos, los números pares, y el conjunto formado por los números que dan resto uno, los números impares.

Indicaremos un número par cualquiera con las expresiones: 2a, 2n, etc. y un número impar con: 2a + 1, 2n -1, 2m + 3, etc.

Si dividimos los números naturales por tres obtenemos tres subconjuntos: los números divisibles por tres, los que tienen resto uno y los que tienen resto dos. Los denotaremos por: 3n, 3p, …, 3n + 1, 3m -2, …, 3n + 2, 3a + 5, …, respectivamente.

De modo análogo se denotan los números que se obtienen al dividir por cuatro, cinco,

etc.

Propiedades de la divisibilidad

La relación de divisibilidad tiene las siguientes propiedades:

a) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su suma.

b) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su diferencia.

c) Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus múltiplos.

d) Si un número es divisor de otro y multiplicamos los dos números por una misma cantidad la relación de divisibilidad se sigue conservando.

e) Si un número es divisor de otros dos entonces es divisor de su producto.

f) Si un número es divisor de otro entonces es divisor de cualquiera de sus potencias de exponente natural mayor o igual que uno.

g) La unidad es divisor de todos los números naturales.

h) Todo número natural es divisor de sí mismo.

i) Todo número natural es divisor de cero.

j) Cero sólo es divisor de sí mismo.

Criterios de divisibilidad

En general, para saber si un número es divisible por otro se efectúa la división entera y se comprueba si el resto es cero, pero, en algunos casos, existen reglas que permiten averiguar si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.

En la escuela los alumnos después que reconocen que la división no siempre tienen solución, investigan la divisibilidad de los números por un determinado divisor, lo que se resume en proposiciones acerca de la divisibilidad que se formulan en forma de reglas.

A estas reglas se les llama criterios de divisibilidad. Vamos a enunciar y justificar algunas de ellas. En lo que sigue suponemos que n es un número natural.

• a) Divisibilidad por 2, 5 o 10: Si descomponemos el número n en decenas y unidades, n = 10b + a, se observa que el término 10b es siempre divisible por 2, 5 y 10. Por tanto, la divisibilidad de n por esos números depende de la de la cifra de las unidades, a, y, en general, podemos decir que:

• b) Divisibilidad por 4, 20, 25, 50 o 100: Si descomponemos el número n, supuesto de tres o más cifras, en centenas por un lado y decenas y unidades por el otro, n = 100c + ba, se observa que el término 100c es siempre divisible por 4, 20, 25, 50 y 100. Por tanto, la divisibilidad de n respecto a esos números depende de la divisibilidad de ba que representa las decenas y unidades de n. Podemos decir entonces que:

• c) Divisibilidad por 8, 40, 125, 200, 250, 500 o 1000: Si descomponemos el número n, supuesto de cuatro o más cifras, en millares por un lado y centenas, decenas y unidades por el otro, n = 1000d + cba, se observa que el término 1000d es siempre divisible por 8, 40, 125, 200, 250, 500 y 1000. Por tanto, la divisibilidad de n respecto a esos números depende de la divisibilidad de cba que representa las centenas, decenas y unidades de n. Podemos decir entonces que:

• d) Divisibilidad por 3 o 9: Si descomponemos en todas sus cifras un número n de, por ejemplo, 4 cifras, obtenemos n = 1000d + 100c + 10b + a = 999d + d + 99c + c + 9b + b + a = (999d + 99c + 9b) + (d + c + b + a) = 9(111d + 11c + b) + (d + c + b + a). Como el primer paréntesis va multiplicado por 9, ese término será siempre divisible por 3 y por 9 y, por tanto, la divisibilidad de n respecto a 3 o 9 depende de la divisibilidad de d + c + b + a. Esta demostración es generalizable a números con un número cualquiera de cifras. Por tanto, podremos decir que:

• e) Divisibilidad por 11:

• f) Divisibilidad por 7:

Método general para encontrar el carácter de divisibilidad por un número primo cualquiera:

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Investigar si el número 85 230 948 es o no divisible por 11.

Solución:

Recuerda que tienen que tienes que tener en cuenta el criterio de divisibilidad por 11, el cual plantea que, un número es divisible por 11 si, y sólo si, sumando, por un lado, las cifras que ocupan lugar par y, por otro, las que ocupan lugar impar y restando el menor de los números obtenidos al mayor se obtiene un múltiplo de 11

Entonces las cifras que ocupan los lugares pares son: 8, 0, 2 y 4 y las que ocupan los lugares impares son 5, 3, 9, y 8.

Sumándolas:

8 + 0 + 2 + 4 = 14

5 + 3 + 9 + 8 = 25

Restando 25 – 14 = 11

Por lo que podemos decir que el número es divisible por 11.

Ejercicios propuestos:

Tema 13:

Números primos

La mayoría de los números tienen lo que podríamos llamar un «buen comportamiento» aritmético: los pares se alternan siempre con los impares, los múltiplos de 3 aparecen siempre cada tres números, los cuadrados perfectos siguen una ley de formación fácil de determinar, y de este modo podríamos confeccionar una larga lista de números que hacen lo que se espera de ellos, no importa lo grandes que sean o dónde se encuentren ubicados. Por el contrario, existen números que son un auténtico incordio: aparecen donde quieren, sin previo aviso, de una forma aparentemente caótica, y sin seguir ningún tipo de regla. Y lo peor del caso es que no se pueden ignorar: son la esencia de la aritmética y, hasta cierto punto, de toda la matemática.

Definición 1: Divisores impropios y propios

Definición 2: Número primo.

Definición 3: Número compuesto

Definición 4: Números primos gemelos

Los números primos pueden estar separados por millones y millones de números o bien por uno solo, que es lo más juntos que pueden estar; en cualquier caso, jamás se tocan, salvo el 2 y el 3. Este hecho ha servido de metáfora para dar título a un clásico de la literatura reciente, La soledad de los números primos, de Paolo Giordano. En uno de los párrafos de la novela se pone de manifiesto la metáfora de forma explícita: «En una clase de primer curso Mattia había estudiado que entre los números primos hay algunos aún más especiales. Los matemáticos los llaman números primos gemelos: son parejas de números primos que están juntos, o mejor dicho, casi juntos, pues entre ellos media siempre un número par que los impide tocarse de verdad. Números como el 11 y el 13, el 17 y el 19, o el 41 y el 43. Mattia pensaba». que Alice y él eran así, dos primos gemelos, solos y perdidos, juntos pero no lo bastante para tocarse de verdad.

Los números primos gemelos han dado lugar a varias conjeturas, además de la que afirma que son infinitos. Una de ellas, de carácter más general, fue establecida en 1849 por el matemático francés Alphonse de Polignac (1817-1890), según la cual para cada C existen infinitos pares de números primos que están separados por 2 x C números compuestos. Es decir, que existen infinitos números primos separados por cuatro números compuestos, por seis números compuestos, por ocho números compuestos y así sucesivamente. En el caso en que C = 1 se tiene la conjetura de los primos gemelos.

Definición 5: Números perfectos

Definición 6: Números amigos

Definición 7: Números primos relativos

Definición 8: números primos entre sí dos a dos

Definición 9: Números consecutivos

Números es el cuarto libro de la Biblia, forma parte del Pentateuco y se atribuye a Moisés. En una visión superficial, Números es un libro de contabilidad y, en ese sentido, tiene un indudable valor histórico, ya que da cabal cuenta de todas las cantidades presentes, desde jefes de las tribus hasta cabezas de ganado, que conformaban el escenario histórico al que hace referencia. Pero también es un libro de claves secretas para aquellos iniciados que saben descifrar sus mensajes, pues los números no sólo representan cantidades, sino que también tienen un significado. Por ejemplo, el 1 simboliza a Dios, el 2 al hombre, el 3 a la totalidad de las cosas, etc. Es curioso que el número 5 represente una cantidad indefinida, «unos cuantos». Por ejemplo, en la multiplicación de los panes se dice que Jesús tomó cinco panes, es decir, «algunos» panes. La curiosidad reside en el hecho de que 5 es el primer número de objetos que no podemos contabilizar con un golpe de vista. Se sabe que podemos contar, sin hacer operaciones, colecciones de hasta cuatro objetos; a partir de esa cantidad estamos obligados a repartir en grupos y sumar.

Teorema 1: Teorema fundamental de la teoría de los números primos

Teorema 2: Teorema fundamental de la teoría elemental de los números

Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos

Primera técnica: Se descompone el número en producto de otros varios. Si estos son primos el proceso se detiene. Si alguno de ellos es compuesto se vuelve a descomponer en factores hasta que todos los factores obtenidos son primos. Esta técnica se emplea cuando las descomposiciones son fáciles de obtener. Por ejemplo:

18 000 = 18 . 10 . 10 . 10 = 2 . 3 . 3 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 = 24 32 53

Las sucesivas factorizaciones pueden también expresarse mediante un diagrama en árbol.

Segunda técnica: Es una técnica algorítmica. Consiste en recorrer la sucesión de los números primos comprobando si son divisores o no del número que queremos descomponer.

Cuando se encuentra un número primo que es divisor se efectúa la división y se continúa el proceso con el cociente. Se sigue así hasta que se obtiene un cociente 1 momento en el que el proceso queda concluido. Por ejemplo, si queremos descomponer en factores el número 173 512 se emplea el dispositivo gráfico siguiente:

y la descomposición factorial de 173 512 será 23 x 232 x 41.

Técnica para obtener la sucesión de números primos menores que uno dado

Esta técnica se conoce con el nombre de "criba de Eratóstenes".

El nombre de Eratóstenes está ligado a la criba de números primos que lleva su nombre. Sin embargo, no fue éste, ni mucho menos, su trabajo más impórtame. De hecho, Eratóstenes ha pasado a la historia de la ciencia por ser el primero que calculó las dimensiones de la Tierra. Con los medios técnicos de que se disponía en el siglo III a. C., fue capaz de calcular la circunferencia polar con un error inferior al 1%.

Para encontrar los números primos menores que un cierto n se escriben todos los números naturales hasta n. Se tacha el 1 porque no es un número primo. El primer número que queda sin tachar es el 2 que sí que es primo. Se recuadra y se tacha su cuadrado, 4, y, a partir de él, se cuentan los números de dos en dos y los que ocupan el segundo lugar se tachan. Una vez finalizado el recuento de dos en dos se toma el primer número que queda sin tachar a partir del 2: será e1 3.

Se recuadra, se tacha su cuadrado, 9 y, a partir de él, se cuentan los números de tres en tres y cada tercer número se tacha. A continuación se toma el primer número que queda sin tachar a partir del 3 que será el 5. Se tacha su cuadrado, 25, y contando de cinco en cinco se tachan los números que ocupan el quinto lugar. Se prosigue este proceso hasta llegar a un número primo cuyo cuadrado sea mayor que n momento en el que el proceso habrá terminado. Los números recuadrados formarán la sucesión de números primos menores o iguales que n. Un ejemplo con los números hasta el 100 se muestra debajo.

El método descrito es complejo para el análisis de números muy grandes. Para determinar si un número natural a es un número primo, es suficiente averiguar la divisibilidad de este número con respecto a todos los números primos que no superen a a.

• Si existe algún divisor primo, entonces a es un número compuesto.

• Si no existe, entonces a es un número primo.

Para determinar todos los números primos que no superen a un número dado a, se tachan todos los números que tengan como divisor a alguno de los números p1, p2, p3,…, pn, done pn es el mayor número primo que no supera a a.

Técnica para comprobar si un número es primo

Para comprobar si un número es primo se divide por cada uno de los elementos de la sucesión de números primos, siguiendo el orden de menor a mayor, y constatando que en todos los casos se obtiene resto distinto de cero. El proceso se para en el momento en que al efectuar una de dichas divisiones se obtenga un cociente que sea menor que el divisor. A partir de ahí no hace falta seguir dividiendo y ya podemos decir que el número es primo.

• Si en una división se obtiene resto 0, el dividendo es divisible, no sólo por el divisor de la división, sino también por el cociente de la misma, por tanto es un número compuesto.

• En el momento en que el cociente es más pequeño que el divisor, ninguna división puede dar resto 0, pues si lo diera el cociente sería un divisor del número y eso ya se habría constatado en las anteriores divisiones efectuadas con números primos más pequeños. El número es primo.

Técnica para obtener los divisores y múltiplos de un número

Técnica para obtener los divisores de un número

a) Números con un sólo factor primo: Si la descomposición factorial del número es de la forma p1a1 sus divisores serán 1, p1, p12, p13,…, p1a1. En total a1 +1.

b) Números con dos factores primos: Si la descomposición factorial del número es de la forma p1a1 p2a2 sus divisores se obtienen multiplicando cada una de las potencias de p: 1, p1, p12, p13,…, p1a1 por cada una de las potencias de p2: 1, p2, p22, p23, …, p2a2 . La mejor forma de hacerlo es construir una tabla multiplicativa de doble entrada:

El número total de divisores es (a1 +1)(a2 + 1) .

c) En el caso general, n = p1a1p2a2 p3a3… pmam los divisores se obtienen multiplicando cada una de las potencias de p1: 1, p1, p12, p13,…, p1a1 por cada una de las potencias de p2: 1, p2, p22, p23,…, p2a2; cada uno de esos productos se multiplica por cada una de las potencias de p3: 1, p3, p32, p33,…, p3a1 ; los nuevos resultados se vuelven a multiplicar por las sucesivas potencias del siguiente factor primo hasta que se multiplica por las sucesivas potencias de pm.

En la práctica, con los dos primeros factores primos se construye una tabla multiplicativa de doble entrada; los resultados de esa tabla se llevan a una nueva tabla en la que figuran las potencias del tercer factor primo y así, se van construyendo tablas sucesivas hasta hacer intervenir al último factor primo. El número total de divisores será (a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1)… ( am + 1).

Técnica para obtener múltiplos de un número

Para obtener los múltiplos de un número natural a se multiplica sucesivamente el número a por cada uno de los números naturales: 0, 1, 2, 3, etc. Un número tiene infinitos múltiplos.

Christian Goldbach (1690-1764) fue un matemático prusiano que mantuvo una intensa correspondencia con Euler. El 18 de noviembre de 1752 le envió a éste una carta en la que afirmaba la siguiente proposición: «Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos». Cuando se dice aquí «suma de dos primos» se incluye el caso de que sea un número primo repetido dos veces. Por ejemplo:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11

El 16 de diciembre del mismo año, Euler le contestó que había comprobado la conjetura hasta el número 1.000, y en otra carta fechada el 3 de abril de 1753, que había comprobado que el resultado era cierto hasta el número 2.500. Actualmente, la conjetura ha sido comprobada por métodos informáticos para todos los números pares menores de dos mil billones. La conjetura todavía no ha sido demostrada y está considerada por la comunidad matemática como uno de los problemas más difíciles de la historia de la ciencia.

Chen Jingrun (1933-1996), uno de los matemáticos más destacados del siglo XX, ofreció en 1966 el mejor resultado de la conjetura de Goldbach al demostrar que todo número par lo bastante grande puede escribirse como la suma de un primo y un semiprimo (número que es el producto, como mucho, de dos factores primos). Este hecho queda patente en el sello postal con el que la República Popular China distinguió a Chen en el año 1999, y en el cual, sobre la efigie del matemático, aparece su inecuación.

El tío Petros y la conjetura de Goldbach

Éste es el título de una famosa novela de Apostólos Doxiadis en la cual un matemático retirado propone a su sobrino que resuelva un problema de matemáticas. En el ánimo del protagonista está que su sobrino renuncie a estudiar la carrera de matemáticas si durante su periodo vacacional no consigue resolver el problema. Después de todo un verano de grandes esfuerzos, el sobrino desiste y se matricula en derecho. El problema propuesto era la conjetura de Goldbach. Con el fin de generar publicidad para el libro, el editor británico Tony Faber ofreció en el año 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Y, como era de esperar, nadie reclamó el premio.

En los últimos grados de la Educación Primaria los alumnos desarrollan las habilidades que se requieren para la descomposición de los números naturales en factores primos, por ejemplo, al determinar el denominador común. Los números primos juegan un papel importante en la descomposición en factores de los números naturales.

Ilustración de la portada de algunas ediciones del famoso libro de Apostólos Diodaxis, presidida por una concha de nautilus, plasmación en el mundo natural de una espiral logarítmica.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Investigar si el número 221 es o no primo.

Solución:

Por tanto solo basta dividir 221 por los números primos menores que 15 y si no es divisible por ninguno de ellos entonces es primo.

En efecto 221 : 13 = 17 por tanto no es primo.

Ejemplo 2:

Descomponer el número 90 en sus factores primos

90 2

45 3

15 3

5 5

1

Escribimos el número 90, pasamos una raya vertical a su derecha, vemos si es divisible por 2. Como lo es, ponemos el 2 del otro lado de la raya y al mismo nivel del 90. Hallamos la mitad de 90, lo cual da 45. Vemos si este tiene mitad, no la tiene. Vemos si tiene tercera. Como 45 es divisible por 3, ponemos el 3 debajo del 2 anterior y dividimos 45 entre 3. Da 15. Este 15 lo ponemos debajo del 45. Vemos si tienen tercera. Como la tienen, escribimos otro 3 debajo del anterior, sacamos la tercera y obtenemos 5. Vemos si tienen tercera, no tiene. Vemos si tiene quinta. Como que sí tiene quinta, se escribe un 5 debajo del último 3, se divide el número por 5, y queda 1. Ahí termina la operación.

Resulta por tanto: 90 = 2 . 3 . 3. 5 y como 3 . 3 = 32, entonces 90 = 2 . 32 . 5

Ejemplo 3:

Hallar todos los factores del número 3 600

Solución:

Descomponiendo 3 600 en sus factores primos, como hicimos en el ejemplo anterior, encontramos: 3 600 = 24 . 32 . 52

Ahora, para encontrar todos los divisores, formamos el siguiente cuadro, de acuerdo con lo abordado en la conferencia.

Cuadro de los factores del número 3 600

En este caso el primer factor es 2 y está elevado a 4. Escribimos, pues 1, 2, 4, 8, 16, que son respectivamente 1, 22, 22, 23, 24, o sea, el 1 y las potencias sucesivas de 2 hasta 24. Pasamos una raya por debajo, como el siguiente factor es 3 y está elevado al cuadrado, sus potencias sucesivas son 31 y 32. Multiplicamos los número que están por encima de la raya primero por 3,lo cual nos da la segunda línea horizontal (3, 6, 12, 24 y 48), luego por 9, lo cual nos da la tercera línea (9, 18, 36, 72 y 144)- pasamos una raya por debajo. El tercer factor es 5 y está elevado al cuadrado. Sus potencias sucesivas son 51 y 52. Multiplicamos todos los números que están por encima de la segunda raya primero por 5 (lo que nos da las líneas horizontales cuarta y quinta y sexta) y luego por 25 (lo que nos da las tres líneas últimas). Como después del 5 no hay ningún otro factor, ahí termina la operación.

Los números escritos en el cuadro son todos los factores simpes y compuestos de 3 600, porque, por la manera de construirlo resulta lo siguiente:

• 1. Todos estos números son divisores de 3 600. Esto se debe a que no hay en ellos ningún factor que n esté en 3 600, y los factores comunes no están en elevados a mayor potencia.

• 2. No hay ningún otros número que sea factor de 3 600. Esto se debe a que aquí están todas las combinaciones posibles con los factores primos de 3 600. Cualquier otro número diferente tendría que tener un factor que no estuviera en 3 600, o uno que estuviera en él elevado a mayor potencia que en el número dado. En ninguno de los dos cados podría ser factor de 3 600

No debes olvidar que:

• 1. No se pasa raya hasta que no termina con todas las potencias sucesivas del factor primo que se esté considerando en ese momento.

• 2. Se multiplica siempre únicamente por los números que están por encima de la última raya trazada. Aunque haya más números por debajo de ésta n se multiplican dichos números. Así, en el ejemplo, al multiplica por 35 no se multiplicó por las 3 filas que empiezan por 5, 15 y 45 respectivamente, las cuales están por debajo de la última raya trazada.

Ejercicios propouestos:

• 1. De los números 24, 31, 27, 36, 42, 53 y 14, formar. Un grupo de cuatro números que no seas primos entres sí, un grupo de cuatro que sean primos entre sí, un grupo de cuatro que sean primos dos a dos.

• 2. Las edades de Pedro y Juan son dos números consecutivos cuya suma es 51. Si Pedro es el menor, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

• 3. Si Enrique tienen un año menos que Basilio y ambas edades suman 103 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

• 4. Las edades de Pedro, Juan y Enrique que son tres números enteros consecutivos, suman 87 años. Si Enrique es el menor y Pedro el mayor, ¿cuál es la edad de cada uno?

• 5. Un comerciante compró el lunes cierto número de sacos de frijoles; el martes compró un saco más de los compró el lunes; el miércoles uno más que el martes y el jueves uno más que el miércoles. Si en los 4 días adquirió 102 sacos. ¿Cuántos compró cada día?

• 6. ¿Qué factor en común tienen 8 y 9; 10, 11 y 12; 84, 83, 82 y 81?

• 7. Hallar el número primo p, sabiendo que p + 2 y p + 4 son números primos.

• 8. Hallar un número n compuesto de los factores primos 3, 5, y 7 sabiendo que 9n, 5n y 7n tienen respectivamente 40, 15 y 12 divisores más que n.

• 9. Encontrar un número n sabiendo que es cuadrado perfecto, que admite 9 divisores (comprendidos él mismo y la unidad) en fin, sabiendo también que si se divide por n da un cociente primo absoluto y resto 9.

• 10. Encontrar dos número teniendo uno, 21 divisores, el otro 10 divisores y sabiendo que su máximo común divisor es 18.

• 11. Encontrar los números primos de cuatro cifras N = mcdu tales que mc, md, du y mu sean también primos y que se tenga c2 = mc + 2du

• 12. Hallar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene un perímetro de 108 m y una superficie de 720 m2

• 13. Encontrar las dimensiones de un rectángulo que tienen 1 m más de largo que de ancho y cuya superficie es de 756 m2

• 14. En una competencia entre varios alumnos cada alumno hace una pregunta a cada uno de los otros. Si se hicieron 210 pregunta en total, ¿cuántos alumnos tomaron parte en la competencia?

• 15. Hallar todos los números naturales de cinco dígitos distintos de cero que son cuadrados perfectos y siguen siendo cuadrados perfectos si se les suprime el primer dígito (de la izquierda); también siguen siendo cuadrados perfectos si se les suprime el primero y el segundo dígito, y lo mismo si se les suprime los primeros tres dígitos.

Tema 14:

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Definición 1: Divisor:

Definición 2: Divisor o factor común de varios números

De todos los divisores comunes a varios números el menor siempre será la unidad, cualesquiera que sean los números. En cuanto al mayor divisor común, no podrá ser mayor que el menor e los números, pues un número no puede ser divisor de otro menor que él.

Por consiguiente, el menor de los divisores comunes a varios números no hay que buscarlo: es siempre 1. Por otra parte, esos divisores comunes tienen un límite superior (el menor de los números) del cual no pueden pasar. Siempre será posible, como veremos, determinar el mayor de esos divisores comunes, que es el que se llama máximo común divisor.

Definición 3: Máximo común divisor.

El máximo común divisor se escribe abreviadamente m.c.d. El máximo común divisor de varios números a, b, y c se indica así: m.c.d. (a, b, c).

Método para hallar el m.c.d.

Los métodos prácticos para hallar el m.c.d. son 3: por inspección, por descomposición en factores y por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides)

Método para hallar el m.c.d. de varios números por inspección

Método para hallar el m.c.d. de varios números por descomposición en factores

Este método es el mejor siempre que no haya grandes dificultades para descomponer los números dados en sus factores primos.

Método para hallar el m.c.d. por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides)

El método de las divisiones sucesivas es el mejor cuando presenta dificultades la descomposición en factores de los números dados.

El procedimiento del m.c.d. es muy útil para el cálculo con fracciones. Si se tuviera por ejemplo, que simplificar fracciones, entonces sería necesario determinar el m.c.d. del numerador y del denominador para dividir ambos términos de la fracción por ese número.

Definición 4: Múltiplo de un número.

Definición 5: Múltiplo común

El número de múltiplos comunes a varios números dados es infinito, porque si multiplicamos un múltiplo común de varios números por otro número cualquiera, el producto será también un múltiplo común de esos varios números.

Así, como consecuencia: no se puede encontrar el mayor múltiplo común de varios números. En cambio, un múltiplo común de varios números no puede ser menor que el mayor de ellos, pues un número no puedes ser múltiplo de otro mayor que él.

En resumen, no es posible hallar el mayor múltiplo común, porque los múltiplos comunes de varios números no tienen límite superior. Ahora bien, esos múltiplos comunes tienen límite inferior (el mayor de los números) por debajo del cual no pueden descender. Siempre será posible, como veremos, determinar el menor de esos múltiplos comunes, que es el que se llama mínimo común múltiplo.

Definición 6: Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo se expresa abreviadamente por: m.c.m. El m.c.m. de varios números cualesquiera a, b y c, se expresa brevemente así: m.c.m. (a, b, c).

Estudiaremos 3 métodos: por inspección, por descomposición en factores y por divisiones sucesivas.

Método para hallar el m.c.m. de varios números por inspección

Método para hallar el m.c.m. de varios números por descomposición en factores

Los factores pueden tomarse en cualquier orden, pero es costumbre escribirlos de menor a mayor

Método para hallar el m.c.m. por divisiones sucesivas.

El método de las divisiones sucesivas es el mejor cuando presenta dificultades la descomposición en factores de los números dados.

Estos procedimientos son utilizaos, por ejemplo, para determinar el denominador común en las operaciones de adición y sustracción con fracciones.

La relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales, se establece en el siguiente teorema. Mediante esta relación, es posible determinar el m.c.m. dado el m.c.d. y viceversa.

Teorema 1: Teorema referido al producto del m.c.m y el m.c.d.

Generalizando:

Ejemplo 1:

Resumimos a continuación algunas propiedades de la relación de divisibilidad, enunciadas como teoremas en el texto "Teoría elemental delos números, ecuaciones y combinatoria de S. Marx.

• Si dos números naturales distintos de 0 son primos, entonces el m.c.m. de estos números es igual a su producto.

• Para todo número natural n se cumple: m.c.d. (0, n) = n, m.c.d. (1, n) = 1 y m.c.m. (1, n) = n

• Para cualesquier número naturales a, b y c se cumple: Si el m.c.m. (a, b) = 1 y b (a . c, entonces b(c

¿En qué consiste la diferencia entre división y división con resto?

Ya en la primaria se realizan ejercicios sobre la divisibilidad, en los cuales los alumnos deben decidir, utilizando tablas, si un número a es o no divisible por otro número b. Las decisiones se fundamentan oralmente (por ejemplo: 7 no es divisible por 3, porque 7 = 2 . 3 + 1). Las condiciones previas para la división con resto se preparan en segundo grado y la introducción formal se realiza en tercer grado, después se introduce y se utiliza el término resto. Los ejercicios correspondientes, se formulan así;

Efectúa las divisiones con resto: 3 : 2, 7 : 4, 17 : 4 y 29 : 3

La división, como operación inversa de la multiplicación, puede realizarse en N, solo imponiendo algunas restricciones. En este sentido la división es una correspondencia unívoca desde N x N {0} sobre N, es decir, a cada, es decir, a cada par ordenado (a; b) ( N x N {0}, con b(a, s ele hace corresponder exactamente un número c ( N, tal que se cumple: b . c = a.

A diferencia de esto, la división con resto siempre es realizable en N. esta es una correspondencia unívoca de N x N {0} sobre N x N, es decir, a cada par ordenado (a; b) ( N x N {0} se le hace corresponder exactamente un par ordenado (q; r) ( N x N, tal que se cumple: a = b . q + r, con r < b.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Hallar el m.c.d. de 180, 240 y 1 400

Solución:

Descomponiendo los números dados en factores primos se tiene que:

180 = 22 . 32 . 5

240 = 24 . 3 . 5

1 400 = 23 . 52 . 7

Aplicando la definición m.c.d. tenemos que m.c.d. (180, 240, 1 400) = 22 . 5 = 20

Ejemplo 2:

Hallar el m.c.m. de 442, 884 y 962

Solución:

Descomponiendo en factores primos tenemos:

884 = 22 . 13 . 17

962 = 2 . 13 . 37

Prescindimos del 442 a partir de que 442 . 2 = 884

Aplicando la definición m.c.m. tenemos que m.c.m. (442, 884, 962) = 22 . 13 . 17 . 37 = 32 708.

Ejercicios propuestos:

• 1. Conociendo el mínimo común múltiplo 480 de dos números, su máximo común divisor 40 y uno de ellos 120, calcular el otro.

• 2. Hallar el menor número que dividido por 9, 12 y 15 da resto 5

• 3. Cierta compañía tiene tres buques para el servicio Habana. New York. El primero parte de la Habana cada 10 días, el segundo cada 12 días y el tercero cada 15 días. Si el 1ro de mayo salen juntos, ¿en qué fecha volverán a salir nuevamente?

• 4. Si los alumnos de un colegio se colocan de dos en fondo sobra 1, si se distribuyen en filas de a tres también sobra 1, lo mismo sucede cuando se distribuyen en filas de a 4, de a 5, o de a 6, por último colocados en filas de a 7 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos hay?

• 5. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que necesito para comprar un número exacto de trajes a $30, $45 o $50 cada uno si quiero que en cada caso me sobren $25?

• 6. Tres galgols arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?

• 7. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pude llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten, la 1rz 12L/min, la 2da, 18 L/min y la 3ra, 20 L/min.

• 8. Tres aviones de una misma ciudad, el 1ro cada 8 días, el 2do cada 10 días y el 3ro cada 20 días. Si sales juntos de ese mismo aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuáles serán las 2 fechas más próximas en que volverán a salir juntos? )el año no es bisiesto)

• 9. Se tienen tres cajas que contienen 1 600lb, 2 000 lb y 3 392 lb de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja?

• 10. Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $4 500, en otro $5 240 y en el tercero $ 6 500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible. ¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada rollo?

• 11. Se quieren envasar 16 kg, 253 kg y 207 kg de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿cuánto pesa cada pedazo de plomo? Y ¿Cuánto cabe en cada caja?

• 12. Una persona camina un número exacto de pasos andando 650 cm, 800 cm y 1 000 cm. ¿Cuál es la mayor longitud de cada paso?

• 13. ¿cuál es la longitud de una regla con la que se puede medir exactamente el largo y el ancho de una sala que tienen 850 cm de largo y 595 cm de ancho?

• 14. Compré cierto número de trajes por $2 050. Vendí una parte por $15 000, cobrando por cada traje lo mismo que me había costado. Hallar el mayor valor posible de cada traje y en supuesto, ¿cuántos trajes me quedan?

• 15. Se tienen tres extensiones de 3 675, 1 575 y 2 275 m2 de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea el menor posible?

Tema 15:

Principios de la teoría combinatoria

En varias ocasiones hemos mencionado la importancia que tiene, que nuestros docentes desarrollen el pensamiento lógico de nuestros estudiantes, pero también el pensamiento numérico, geométrico, funcional, y el no menos importante el combinatorio

El desarrollo del pensamiento combinatorio es un trabajo arduo y de mucha paciencia; en este sentido juega un gran papel el sistema de impulsos que se tenga como resorte para enseñar la combinatoria. En no pocas ocasiones; al terminar de recibir un tema sobre combinatoria, los estudiantes no poseen las armas suficientes para enfrentarse por sí solos a la resolución de problemas, porque el sistema de impulsos en la apropiación de estos conceptos ha sido insuficiente.

La labor del profesor es importante en este sentido porque al destacar las características que tienen los conceptos definidos o propiciar una adecuada descripción o caracterización de estos, está garantizando el éxito en el proceso de enseñanza.

Este texto ha tenido la intención de destacar el tratamiento dado a los conceptos combinatorios con la finalidad de fijarlos convenientemente dando especial atención al proceso de identificación de estos, sobre todo, cuando estamos en presencia de problemas.

Existen, desde luego, algunas tendencias a tratar de algoritmizar el trabajo con problemas combinatorios proponiendo sucesiones de indicaciones para su solución, pero; cuando estas indicaciones tienen un marcado carácter heurístico, activan aún más el proceso de aprendizaje. El éxito en la enseñanza de la combinatoria radica esencialmente en el sistema impulsor que se utilice para fijar estos conceptos. Este, sin dudas, ha sido el carácter que se ha intentado imprimir al presente texto. De haberlo logrado; el objetivo se habrá cumplido.

La combinatoria es una sección de las Matemáticas que resulta útil para diversos representantes de variadas especialidades. Con los problemas combinatorios deben enfrentarse los biólogos, físicos, químicos, los matemáticos, lingüistas, ingenieros y muchos otros usuarios.

El estudio de la combinatoria constituye la base que sostiene el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones prácticas.

Vamos a exponer con un lenguaje simple la combinatoria y los métodos para resolver los problemas que sobre este tema se proponen.

Vamos a exponer las Reglas Generales de la combinatoria, los Principios Aditivo y Multiplicativo. Se definen estos conceptos y se describen, enfatizando en las características que permiten identificarlos en el trabajo práctico, Se hace especial énfasis en el tratamiento que debe dárseles a los conceptos combinatorios definidos y en su aplicación a la solución de problemas.

Respetando el rigor matemático en el tratamiento de los conceptos; el objetivo principal de este es el de analizar bajo ciertos puntos de vista la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en los problemas y mostrar algunas formas para resolverlos.

La parte de las matemáticas que estudia los problemas sobre cuántas o cuáles combinaciones (bajo ciertas condiciones) pueden realizarse con determinados objetos se denomina combinatoria.

Los historiadores sitúan el surgimiento de la combinatoria en los albores del siglo XVI; y se acunó casi exclusivamente en la aristocracia de la época; pues esta sociedad, generalmente ocupaba su tiempo en juegos de azar en los cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Jugando a los dados o las cartas se ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Jugando a los dados o las cartas se ganaban o perdían brillantes, prendas valiosas, caballos de pura raza, etc. En este tiempo se encontraban difundidos diversos tipos de loterías en las cuales ocupaban sus días los caballeros y damas de la época.

Es comprensible pues, que en sus inicios, los problemas tratasen fundamentalmente sobre juegos de azar; tratando de averiguar de cuántas formas podrían obtenerse sucesos favorables en un determinado número de pruebas. Así por ejemplo se trató de averiguar de cuántas maneras se podía extraer un número específico al arrojar varios dados o de cuántas maneras se podía extraer dos reyes de una baraja de 52 cartas.

Estos y otros juegos fueron el motor impulsor de la combinatoria y las probabilidades; teoría que se desarrolla paralelamente a esta.

La historia recoge el nombre de Tartaglia como uno de los pioneros en la combinatoria. Este célebre italiano confeccionó una tabla que mostraba todas las formas en que pueden caer "n" dados; pero no previó que una misma suma de puntos podía obtenerse de diferentes formas ( por ejemplo 4+1+3= 4+2+2).

El estudio teórico de la combinatoria se considera un hecho a partir del año 1600 (siglo XVII) cuando los franceses Blas Pascal y Fermat comenzaron a recoger muestras de experimentos que realizaban en las mesas de juegos y a registrarlos estadísticamente para estudiar las leyes y regularidades bajo las cuales se regían.

Un papel particularmente importante lo jugó aquí el problema sobre la división de una apuesta; propuesta a Pascal por un amigo suyo llamado Meré; jugador apasionado por demás.

El problema consistía en la siguiente: si se lanzaba una moneda; el campeonato continuaría hasta que un jugador ganase 6 partidos; pero se interrumpiría cuando uno ganase 5 y el otro 4. ¿Cómo dividir entonces la apuesta? Era evidente que la razón 5:4 no era justa. Pascal resolvió el problema aplicando algunos métodos combinatorios y además propuso un método de solución para el caso general, cuando a un jugador le quedaran "r "partidos hasta ganar y al otro jugador le quedaran "s "partidos. Una solución similar a este problema fue dada por Fermat.

El desarrollo posterior de la combinatoria se encuentra ligada a los nombres de matemáticos famosos como Jacobo Bernoullí, Leibniz y Euler.

Sin embargo; para estos, también el rol fundamental lo constituyeron las aplicaciones a los distintos tipos de juegos.

Ya en los últimos años, la combinatoria entró en un período de intenso desarrollo relacionado con el crecimiento general del interés hacia los problemas de la matemática discreta.

Los métodos combinatorios son usados para resolver problemas de transporte, problemas sobre confección de horarios, planes de producción y la mecanización de estas así como para determinar las características genéticas en la obtención de razas de animales en laboratorios.

La combinatoria es utilizada para confeccionar y descifrar claves, así como para resolver problemas de la teoría de la información. Y también; ¿por qué no? Para decidir en un futuro no muy lejano la forma más eficaz de conservar la vida en nuestro planeta.

Reglas generales de la combinatoria.

Los problemas combinatorios se clasifican según la cantidad de operaciones que se necesite efectuar para resolverlos en:

Problemas combinatorios simples: los que se resuelven mediante una sola operación combinatoria.

Problemas combinatorios compuestos: los que se resuelven aplicando más de una operación combinatoria.

En la matemática discreta existen problemas que se resuelven aplicando determinadas fórmulas (según la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en ellos) pero la mayoría puede resolverse mediante dos principios generales:

El Principio Aditivo o Regla de la Suma.

El Principio Multiplicativo o Regla del Producto.

El Principio Multiplicativo generalmente se asocia con el procedimiento utilizado en los primeros años escolares para encontrar la cantidad de elementos que contiene determinado conjunto; de ahí que la mayoría de los maestros lo reconozcan como "Método de Conteo".

Como a menudo el número de combinaciones o arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto admite que en cada elección aparezca una y solo una clase de combinaciones, entonces el Principio Aditivo se puede expresar de la manera siguiente:´

Definición 1: Principio Aditivo

Nota: Se entiende como clase a todos los subconjuntos que se forman con los elementos del conjunto en cuestión.

A través del análisis y solución del siguiente ejemplo puede apreciarse la aplicación de este método.

Ejemplo 1:

Marcos tiene 3 camisas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas Marcos puede combinar las camisas y los pantalones?

Designemos a las camisas por las letras a, b, c. y a los pantalones por x, y, z, u. si establecemos la distribución que puede hacerse entre las camisas y los pantalones se observa que:

Observe usted que cada muestra formada aparece una y solo una vez. El número total de muestras se obtiene fácilmente sumando todas las combinaciones obtenidas mediante el proceso anterior:

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 12

Se puede combinar las camisas y los pantalones 12 veces, porque el número de combinaciones de cada clase es uno.

El principio aditivo" permite conocer la composición de todas las muestras de un experimento" cuestión que resulta importante sobre todo en los primeros grados de la enseñanza por la contribución que hace en la esfera del desarrollo del pensamiento combinatorio en los escolares.

Lógicamente "su inconveniencia radica en que es racional su aplicación sólo en casos en que el número total de muestras que componen el experimento no sea muy elevado".

El ejemplo anterior puede ser abordado haciendo otros análisis, en los cuales se puede llegar a conocer el número total de muestras que componen un experimento sin necesidad de formar cada una de las muestras que los integran. En este sentido enunciaremos el siguiente principio.

Definición 2: Principio Multiplicativo.

En este principio se afirma que si dos sucesos ocurren uno después del otro, el número total de formas en que pueden ocurrir ambas, se obtiene multiplicando el número de formas del primero por el número de formas del segundo.

Ejemplo 2:

¿Cuántas sílabas de dos letras, que comienzan por una consonante, existen en el idioma español?

En este caso la aplicación del método aditivo o de conteo hace lenta la labor por el número de muestras que tiene el experimento.

Lo primero es la elección de la primera letra (una consonante) y lo segundo, la elección de una vocal. Como en español existen 24 consonantes y solo 5 vocales, la segunda elección puede ocurrir de 5 formas. En total pueden obtenerse de 24× 5 = 120 sílabas.

El principio multiplicativo puede extenderse a más de dos cosas.

Ejemplo 3:

"Los números 2, 3, 4 y 5 se pueden multiplicar unos por otros en diferente orden. Escribe todas las posibilidades que hay considerando el 2 como primer factor".

En este caso tenemos 3 sucesos diferentes. El primero consiste en colocar al segundo factor del producto (considerando el orden de izquierda a derecha); para lo cual existen tres posibilidades, el segundao colocar el tercer factor, para lo que podemos contar con una posibilidad. En función del principio multiplicativo tendremos que los números pueden multiplicarse de 3×2×1 = 6 maneras diferentes.

Resulta claro observar que fácilmente pueden obtenerse todas las muestras que componen este experimento.

En ocasiones pueden aplicarse ambos métodos para resolver determinados problemas.

Ejemplo 4:

¿Cuántos números de dos o de tres cifras no repetidas pueden formarse con los dígitos del 1 al 4?

Aplicando el Principio Multiplicativo; para determinar todos los números de 2 cifras no repetidas llegamos al planteamiento: 4×3 = 12 números de 2 cifras no repetidas. Análogamente para determinar la cantidad de números de 3 cifras no repetidas obtenemos (4×3) ×2= 24 números.

Aplicando a continuación el Principio Aditivo se obtiene:

12+24= 36 números de dos o de tres cifras no repetidas.

La combinatoria permite la aplicación de varados métodos de análisis para la solución de problemas; es decir, usando la técnica de la modelación.

El poder modelar, es decir, reproducir las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado de un problema, despejadas de elementos innecesarios o términos no matemáticos que hacen difícil la comprensión, es una capacidad muy importante en la resolución de problemas.

Una de las formas de modelar los problemas es mediante esquemas gráficos que permiten al alumno hacer visibles los elementos que componen el enunciado y las relaciones que se establecen entre ellos y, en muchos casos, facilitan "descubrir" la vía de solución o la respuesta del problema.

La forma de hacer modelos es muy personal, pues depende de la manera propia de interpretar el problema; sin embargo, hay algunas ideas generales que deben ser enseñadas a los alumnos y que de ejercitarse adecuadamente, pasarán a formar parte de los recursos técnicos a utilizar en la solución de problemas, cuando consideren necesario hacerlo.[15]

Los modelos más utilizados son los lineales, los tabulares, los conjuntistas y los ramificados. (prientar su profundización).

En el siguiente ejemplo se muestra una forma en la que puede resolverse un problema.

Ejemplo 5:

Para hacer un viaje desde la ciudad A hasta la ciudad B pueden utilizarse 3 ómnibus y para ir desde la ciudad B hasta la ciudad C sólo 2. ¿De cuántas formas diferentes se puede viajar desde la ciudad A hasta la ciudad C?

El siguiente diagrama muestra la forma en que puede realizarse el viaje.

En este diagrama cada segmento representa un viaje entre dos de las ciudades señaladas en el problema.

Para realizar el viaje completa es necesario seleccionar dos segmentos. Puede observarse con claridad que existen tantas posibilidades como segmentos hay entre la ciudad A y la C; es decir 6.a este resultado se llega fácilmente aplicando el Principio Multiplicativo.

En la práctica no es necesario utilizar un diagrama como este; pero si se hace; ayuda a la comprensión del problema, que en casos más complejos resulta esencial. Este tipo de diagrama se conoce como Diagrama de Árbol (o ramificado) porque cada punto se ramifica en la misma forma en que lo hace un árbol.

Definición 3: Principio de Dirichlet o de los cajones

Este principio sirve en ciertas ocasiones para responder la pregunta ¿Existe un elemento con una propiedad dada?, el principio solo dice que el objeto existe, el principio no indica la forma de determinar al objeto o el número de ellos.

Ejemplo 6:

Si tenemos 6 palomas en 4 pichoneras, es obvio que al pichoneras contienen al menos 2 palomas.

Este principio también es llamado principio de los cajones o del palomar.

Definición 4: Principio de las inclusiones y exclusiones

Ejemplo 7:

En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150 tomaban café o leche.

a) ¿Cuantas personas tomaban te puro?

b) ¿Cuantas personas tomaban leche pura?

c) ¿Cuantas personas tomaban café puro?

d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?

Solución:

Aplicando el principio se tienen que:

Observa que los primeros que debemos hacer es leer bien el problema para poder interpretar todos los datos que nos dan a continuación vamos a distinguir los conjuntos de los cuales no están hablando en el problema:

E: Conjunto formado por las 250 personas encuestadas.

L: Conjunto formado por las 80 personas que tomaban leche.