T: Conjunto de las personas que toman té (observa que ese dato no se da en el problema pero el conjunto está bien formado).
C: Conjunto de las personas que toman café (observa que ese dato no se da en el problema pero el conjunto está bien formado).
F: Conjunto de las personas que no toman nada (Que es los que nos están pidiendo)
Pero además nos hacen mención a los siguientes conjuntos:
T ( L: Conjunto de las 30 personas que toman té con leche.
C ( L: Conjunto de las 40 personas que toman café con leche.
T ( L: Conjunto de las 130 personas que toman té o leche.
C ( L: Conjunto de las 150 personas que toman café o leche.
a) 130 – 80 = 50
b) 80
c) 150 – 80 = 70
d) E = #L + #T + #C + # F – [#(L ( T) + #(L ( C) + #(L ( F) + #(T ( C) + #(T ( F) + #(C ( F) ]+ [#(L ( T ( C) + #(L ( T ( F) + #(L ( C ( F)] – #(L ( C ( T ( F)
250 = 80 + 50 + 70 + #F – [30 + 40 + 0 + 0 + 0 + 0] + [0 + 0 + 0] – 0
250 = 200 + #F – 70
250 – 130 = #F
#F = 120
Haciendo uso de la teoría de conjunto, o con la técnica de modelación con los diagramas conjuntistas tenemos que:
Ahora debemos representar los datos mediante un diagrama de Venn, recuerda que el problema nos habla de 3 conjuntos los que toman café, los que toman té y los toman leche nada más, que hay intersección entre los que toman café con los que toman leche tomando café con leche y entre los que toman leche y los que toman te, que toman té con leche, que son parte del conjunto universo E formado por el total de personas encuestadas.
a) Para determinar cuántas personas tomaban té puro sabemos que 130 tomaban té o leche y como 80 son las personas que toman leche hay que restarle a 130 las 80 personas que toman leche resultando 130 – 80 = 50 personas que solo toman té.
b) Las que toman leche pura tendríamos que son 80.
c) Haciendo el mismo razonamiento que en el inciso a) a las 150 personas que toman café o leche hay que restarle las leche, resultando 150 – 80 = 70 personas que toman café puro.
d) Para determinar las personas que no toman ninguna de las tres cosas en el desayuno sumamos todos los diagramas que tenemos en nuestra representación mediante diagrama de Venn y se lo restamos a 250.
20 + 30 + 30 + 40 + 10 = 130
250 – 130 = 120
R/ No toman nada para el desayuno 120 personas
Ejemplos:
Ejemplo 1:
Marcos tiene 3 camisas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas Marcos puede combinar las camisas y los pantalones?
Solución:
Designemos a las camisas por las letras a, b, c. y a los pantalones por x, y, z, u. si establecemos la distribución que puede hacerse entre las camisas y los pantalones se observa que:
Observe usted que cada muestra formada aparece una y solo una vez. El número total de muestras se obtiene fácilmente sumando todas las combinaciones obtenidas mediante el proceso anterior:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 12
Se puede combinar las camisas y los pantalones 12 veces, porque el número de combinaciones de cada clase es uno.
Ejemplo 2:
¿Cuántas sílabas de dos letras, que comienzan por una consonante, existen en el idioma español?
Solución:
En este caso la aplicación del método aditivo o de conteo hace lenta la labor por el número de muestras que tiene el experimento.
Lo primero es la elección de la primera letra (una consonante) y lo segundo, la elección de una vocal. Como en español existen 24 consonantes y solo 5 vocales, la segunda elección puede ocurrir de 5 formas. En total pueden obtenerse de 24× 5 = 120 sílabas.
El principio multiplicativo puede extenderse a más de dos cosas.
Ejemplo 3:
Si tenemos 6 palomas en 4 pichoneras, es obvio que al pichoneras contienen al menos 2 palomas.
Este principio también es llamado principio de los cajones o del palomar.
Ejemplo 4:
En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150 tomaban café o leche.
a) ¿Cuantas personas tomaban te puro?
b) ¿Cuantas personas tomaban leche pura?
c) ¿Cuantas personas tomaban café puro?
d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?
Solución:
Aplicando el principio se tienen que:
Observa que los primeros que debemos hacer es leer bien el problema para poder interpretar todos los datos que nos dan a continuación vamos a distinguir los conjuntos de los cuales no están hablando en el problema:
E: Conjunto formado por las 250 personas encuestadas.
L: Conjunto formado por las 80 personas que tomaban leche.
T: Conjunto de las personas que toman té (observa que ese dato no se da en el problema pero el conjunto está bien formado).
C: Conjunto de las personas que toman café (observa que ese dato no se da en el problema pero el conjunto está bien formado).
F: Conjunto de las personas que no toman nada (Que es los que nos están pidiendo)
Pero además nos hacen mención a los siguientes conjuntos:
T ( L: Conjunto de las 30 personas que toman té con leche.
C ( L: Conjunto de las 40 personas que toman café con leche.
T ( L: Conjunto de las 130 personas que toman té o leche.
C ( L: Conjunto de las 150 personas que toman café o leche.
130 – 80 = 50
80
150 – 80 = 70
E = #L + #T + #C + # F – [#(L ( T) + #(L ( C) + #(L ( F) + #(T ( C) + #(T ( F) + #(C ( F) ]+ [#(L ( T ( C) + #(L ( T ( F) + #(L ( C ( F)] – #(L ( C ( T ( F)
250 = 80 + 50 + 70 + #F – [30 + 40 + 0 + 0 + 0 + 0] + [0 + 0 + 0] – 0
250 = 200 + #F – 70
250 – 130 = #F
#F = 120
Haciendo uso de la teoría de conjunto, o con la técnica de modelación con los diagramas conjuntistas tenemos que:
Ahora debemos representar los datos mediante un diagrama de Venn, recuerda que el problema nos habla de 3 conjuntos los que toman café, los que toman té y los toman leche nada más, que hay intersección entre los que toman café con los que toman leche tomando café con leche y entre los que toman leche y los que toman te, que toman té con leche, que son parte del conjunto universo E formado por el total de personas encuestadas.
a) Para determinar cuántas personas tomaban té puro sabemos que 130 tomaban té o leche y como 80 son las personas que toman leche hay que restarle a 130 las 80 personas que toman leche resultando 130 – 80 = 50 personas que solo toman té.
b) Las que toman leche pura tendríamos que son 80.
c) Haciendo el mismo razonamiento que en el inciso a) a las 150 personas que toman café o leche hay que restarle las leche, resultando 150 – 80 = 70 personas que toman café puro.
d) Para determinar las personas que no toman ninguna de las tres cosas en el desayuno sumamos todos los diagramas que tenemos en nuestra representación mediante diagrama de Venn y se lo restamos a 250.
20 + 30 + 30 + 40 + 10 = 130
250 – 130 = 120
R/ No toman nada para el desayuno 120 personas
Ejercicios propuestos:
¿De cuántas maneras se puede escoger una vocal y una consonante de la palabra número?
A la cima de una montaña conducen 5 caminos. ¿De cuántas formas puede subir y bajar un campista utilizando tales caminos? ¿Y si el ascenso y descenso tienen lugar por caminos diferentes?
¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de dominó, de las 28 que hay en una mesa de juego, de forma tal que se puedan aplicar la una con la otra?
En una reunión hay 18 personas. Todas se saludan entre sí y ningún par de personas se saluda más de una vez. ¿Cuántos saludos de manos se dan?
De entre tras ejemplares de un texto de Algebra 2 de Geometría y 2 de Trigonometría hay que escoger un ejemplar de cada uno. ¿Cuántos modos hay de hacerlo?
¿Cuántos números naturales de 4 cifras existen que no contienen la cifra 7?
¿Cuántos números naturales entre 100 y 999 tienen sus cifras diferentes?
¿Cuántos de los primeros 1000 números enteros positivos tienen todas sus cifras diferentes?
¿Cuántos números naturales de tres cifras existen tales que la suma de sus dígitos es 5? ¿Cuáles son?
En una corporación trabajan 67 personas. De estas, 47 dominan el idioma inglés, 35 el francés y 23 ambos idiomas. ¿cuántas personas de la corporación no hablan ni el inglés ni el francés?
De un grupo de jóvenes a 19 les gusta las matemáticas, a 17 las artes plástica, a 11 la historia, 12 prefieren matemática y artes plásticas, 7 historia y matemática, 5 artes plásticas e historia. A 2 les gusta las tres asignaturas y a 5 ninguna de ellas. ¿Cuántos jóvenes hay en el grupo?
al trasmitir informaciones por telégrafo se utiliza el código Morse. En este código las letras, las cifras y los signos de puntuación se representan por puntos y rayas. Por ejemplo, la letra t se representa por un punto (.) y la L por tres puntos y una raya (.-.). Empleando hasta dos signos, ¿Cuántas letras pueden codificarse?
¿De cuántas maneras se puede escoger una vocal y una consonante en la palabra Martí?
¿De cuántas maneras se puede escoger una vocal y una consonante en la palabra Maceo?
En un estante hay tres ejemplares de un texto de español, 7 de matemática y 6 de historia. ¿de cuántas maneras se puede escoger un ejemplar?
Tema 16:
Variaciones, permutaciones y combinaciones
En varias ocasiones hemos mencionado la importancia que tiene, que nuestros docentes desarrollen el pensamiento lógico de nuestros estudiantes, pero también el pensamiento numérico, geométrico, funcional, y el no menos importante el combinatorio.
La combinatoria constituye uno de los núcleos centrales de la matemática discreta, o conjunto de conceptos y métodos matemáticos que estudia los problemas en los que intervienen conjuntos discretos y funciones definidas sobre los mismos. En Batanero, Godino y Navarro-Pelayo (1994) se clasifican los diversos tipos de problemas combinatorios como de existencia, recuento, enumeración y optimización, justificándose el papel relevante que la combinatoria desempeña dentro de la matemática discreta. Podemos decir que en la actualidad la combinatoria es un amplio campo de las matemáticas con investigación activa y numerosas aplicaciones teóricas y prácticas en campos como la geología, química, gestión empresarial, informática e ingeniería (Grimaldi, 1989). Los problemas combinatorios y las técnicas para su resolución tienen y han tenido también profundas implicaciones en el desarrollo de otras ramas de las matemáticas como la probabilidad, teoría de números, teoría de autómatas e inteligencia artificial, investigación operativa, geometría y topología combinatorias. Además, Heitele (1975) la incluye entre las ideas estocásticas fundamentales.
Pero, aparte de este interés matemático de los problemas combinatorios, que puede justificar su consideración como tópico curricular, debemos tener en cuenta las reflexiones e investigaciones realizadas desde el campo de la psicología sobre la influencia del razonamiento combinatorio en el desarrollo del pensamiento formal.
Los esquemas cognitivos combinatorios son considerados por Piaget como un componente esencial del pensamiento formal, con una importancia comparable a los esquemas de la proporcionalidad y de la correlación, los cuales emergen simultáneamente en los sujetos a las edades de 12 a 13 años. Según Inhelder y Piaget (1955) el razonamiento hipotético deductivo opera por medio de las operaciones combinatorias que se aplican sobre un conjunto de posibilidades que deben examinarse y enumerarse hasta llegar a una conclusión. Alcanzado el periodo de las operaciones formales los adolescentes descubren espontáneamente procedimientos sistemáticos de enumeración y recuento combinatorios, por lo que serían capaces de resolver problemas combinatorios sencillos sin ayuda de la instrucción.
Piaget e Inhelder (1951) estudian la influencia que tienen los esquemas combinatorios en la formación de los conceptos de azar y probabilidad. Establecen una relación entre razonamiento combinatorio y probabilístico y lo justifican en el hecho de que una escasa capacidad de razonamiento combinatorio reduce notablemente la aplicación del concepto de probabilidad, en el sentido clásico de Laplace, a casos muy sencillos o de fácil enumeración
Piaget e Inhelder afirman que, durante la etapa de las operaciones formales, el niño adquiere la capacidad de usar procedimientos sistemáticos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, variaciones y combinaciones de un conjunto dado de elementos.
Fischbein (1975) destaca igualmente la importancia de los contenidos combinatorios y los compara, a nivel de esquema mental, con la proporcionalidad y la correlación y sitúa su aprendizaje a partir de los 12 años aproximadamente.
Analiza los resultados obtenidos por Piaget e Inhelder en el estadio de las operaciones formales y llega a varias conclusiones:
1. El desarrollo de la capacidad combinatoria se realiza de una forma gradual desde los 12 años (combinaciones), pasando por los 13 años (variaciones) para llegar, por último, a los 14 años (permutaciones) pero no se desarrolla completamente en esta etapa.
2. Discrepa con Piaget en lo que se refiere al periodo de tiempo que transcurre entre el aprendizaje de combinaciones y permutaciones por parte del niño.
Posteriormente Fischbein ha seguido interesado en el razonamiento combinatorio. En Fischbein y cols. (1991) estudia los factores que afectan a los juicios probabilísticos en niños de 9 a 14 años, así como la evolución con la edad de los sesgos en el razonamiento probabilístico.
El objetivo principal de esta investigación era la preparación de materiales curriculares para la enseñanza de la probabilidad.
Para el trabajo de las variaciones, las combinaciones y las permutaciones se pueden utilizar variados materiales didácticos, entre ellos: textos, láminas, objetos concretos e incluso programas tecnológicos (software). Las variaciones son aquellas formas de agrupar las elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: influye el orden en que se colocan, y al permitir que se repitan los elementos, se puede hacer tantas veces como elementos tenga agrupación.
Existen dos tipos:
Definición 1: Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p[17]
Son las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndose de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elementos como si están situados en distinto orden. |
El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
Definición 2: Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p.
Son las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elementos como si están situados en distinto orden. |
El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:
Ejemplo 1: ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos que componen el número 24756?
En este problema tenemos como elementos a los dígitos 2, 4, 7, 5, 6; en total 5 elementos y debemos formar muestras de 3 elementos diferentes, es importante destacar el hecho de la no repetición de los elementos las muestras.
Formemos algunas muestras del experimento.
247, 724,245.
Resulta fácil observar el cumplimiento de las características correspondientes a las variaciones sin repetición
Dos muestras difieren:
O en el orden de sus elementos (247, 724)
O por lo menos un elemento. (247 y 245)
Los elementos no se repiten en la misma muestra.
Comprobado que el elemento combinatorio presente en el problema sin dudas, es variaciones sin repetición podemos determinar fácilmente la cantidad de elementos del conjunto (N=5) y la cantidad de elementos que tienen las muestras (p=3).
Aplicando la fórmula para el cálculo y efectuando los mismos obtenemos:
Definición 3: Permutaciones.
Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
|
El número de permutaciones sin repetición, de n elementos distintos, es: Pn = n!
Definición 4: Permutaciones con repetición
Se llama permutación con repetición de m elementos donde el primer elementos se repite a veces, el segundo b veces, el terceto c veces, … (m = a + b + c + … = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que:
|
El número de permutaciones con repetición, de n elementos, es:
Ejemplo 2:
¿De cuántas maneras se pueden colocar las figuras blancas (dos caballos, dos torres, dos alfiles, el rey y la reina) en la primera fila del tablero de ajedrez?
Haciendo un análisis podemos comprobar que se trata de un experimento sobre permutaciones con repetición de n = 8 elementos agrupados en subgrupos m1=2, m2=2, m3=2, m4=1 y m5=1de elementos iguales.
En el ejemplo anterior hemos imaginado los elementos que forman las permutaciones colocados ordenadamente en línea recta. Hubiera sido lo mismo imaginarlos situados en una curva abierta; pero las condiciones varían si los situamos en una curva cerrada porque el orden que se establece entre sus elementos es relativo:
No cambia si se efectúa una rotación de modo que cada elemento ocupe el lugar del otro.
A este tipo de permutaciones se les llama permutaciones circulares o cíclicas. En las permutaciones circulares los elementos se consideran distribuidos sobre una circunferencia.
Las permutaciones circulares pueden identificarse si el análisis de situación mencionada conlleva a la confección de una curva cerrada, fijando uno de los N elementos y permutando los N -1 restantes, tal y como se hace en las permutaciones sin repetición. Para formar las permutaciones circulares de N elementos; basta fijar uno de ellos y elegir uno de los dos sentidos posibles en la curva, permutando de todas las formas posibles los N -1 elementos.
El número de permutaciones circulares de N elementos se calcula mediante la fórmula:
Pc(n)= (n -1)!, n es un número natural mayor o igual que 1.
La diferencia entre las variaciones y las combinaciones es, que en las combinaciones el orden en que se toman los elementos no importa:
Ejemplo 3:
En un departamento docente hay 8 personas. Deben extraerse tres para participar en un evento. ¿De cuántas maneras se puede realizar la selección?
Designemos a las personas por a, b, c, d, e, f, g, h.
Formemos algunas muestras del experimento.
Muestra 1: a, b, c
Muestra 2: c, b, a
Muestra 3: a, b, d
Las muestras 1 y 2 no difieren en el orden: son las mismas personas.
Se trata de un experimento sobre combinaciones.
N=8, p=3.
Ejemplos:
Ejemplo 1:
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos que componen el número 24756?
Solución
En este problema tenemos como elementos a los dígitos 2, 4, 7, 5, 6; en total 5 elementos y debemos formar muestras de 3 elementos diferentes, es importante destacar el hecho de la no repetición de los elementos las muestras.
Formemos algunas muestras del experimento.
247, 724,245.
Resulta fácil observar el cumplimiento de las características correspondientes a las variaciones sin repetición
Dos muestras difieren:
O en el orden de sus elementos (247, 724)
O por lo menos un elemento. (247 y 245)
Los elementos no se repiten en la misma muestra.
Comprobado que el elemento combinatorio presente en el problema sin dudas variaciones sin repetición podemos determinar fácilmente la cantidad de elementos del conjunto (N=5) y la cantidad de elementos que tienen las muestras (p=3).
Aplicando la fórmula para el cálculo y efectuando los mismos obtenemos
V (5,3)=5x4x3=60 números de tres cifras.
Ejemplo 2:
Determine el número de palabras (con sentido o no) que se pueden obtener con las letras de la palabra amor.
Solución:
Formemos algunas muestras de este experimento aleatorio: amor, roma, ramo.
Como puede observarse, se cumple que:
Las muestras difieren únicamente en el orden de sus elementos.
En todas las muestras del experimento aparecen los 4 elementos del conjunto.(N=p=4)
Los elementos no se repiten en las muestras.
Se trata de una permutación de 4 elementos.
Luego: P (4)=4x3x2x1=24 palabras.
Ejemplo 3: Permutaciones circulares.
¿De cuántas formas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa?
Solución:
Designemos a las personas por las letras a, b, c, d, e, f, g, h y formemos algunas muestras del experimento
En ambos casos fijamos un elemento y permutamos los restantes: se trata de una permutación circular de 8 elementos.
Pc (8) = (8-1)!= 7!= 5040
Ejemplo 4:
¿De cuántas maneras se pueden colocar las figuras blancas (dos caballos, dos torres, dos alfiles, el rey y la reina) en la primera fila del tablero de ajedrez?
Solución:
Haciendo un análisis similar al del ejemplo anterior podemos comprobar que se trata de un experimento sobre permutaciones con repetición de N= 8 elementos agrupados en subgrupos N1=2, N2=2, N3=2, N4=1 y N5=1de elementos iguales.
Pr (2, 2, 2, 1,1) = 8! / (2!x2!x2!x1!x1!) = 5040
Ejemplo 5:
De una caja que contiene 4 bolas de diferentes colores se extrae una muestra de 3 bolas (una a una), devolviendo cada bola a la caja antes de extraer la siguiente. ¿Cuántas muestras se pueden extraer?
Solución
En este experimento las muestras están constituidas por la extracción de tres bolas, una a una, devolviendo cada bola a la caja antes de realizar la extracción de la siguiente.
Denotemos a las bolas por b1, b2, b3, b4 y formemos algunas muestras.
Muestra 1: b1b2 b3
Muestra 2: b3 b2 b1
Muestra 3:b1b1b2
Las muestras corresponden a las variaciones con repetición.
N=4 (cantidad de elementos del conjunto)
p=3 (cantidad de elementos que hay en cada muestra)
Vr (4,3)=43=64 muestras.
Ejemplo 6:
En un departamento docente hay 8 personas. Deben extraerse tres para participar en un evento. ¿De cuántas maneras se puede realizar la selección?
Solución:
Designemos a las personas por a, b, c, d, e, f, g, h.
Formemos algunas muestras del experimento.
Muestra 1: a, b, c
Muestra 2: c, b, a
Muestra 3: a, b, d
Las muestras 1 y 2 no difieren en el orden: son las mismas personas.
Se trata de un experimento sobre combinaciones.
N=8, p=3.
C (8, 3) = 8! / 3! (8 – 3)!= 56 maneras.
Ejemplo 7:
¿De cuántas formas puedo escoger dos bolas de un conjunto de seis, entre las que hay tres rojas y tres azules?
Solución
Si usamos el muestreo de las particiones del conjunto en subconjuntos de dos bolas, podemos obtener algunas muestras del experimento
Las muestras no difieren en el orden entre sus elementos.( muestras 3 y 4)
Los elementos se pueden repetir en las muestras.( muestras 1 y 2)
Se trata de un experimento sobre combinaciones con repetición.
N=6 p= 2
Cr (6, 2)= (6+2 -1)! / 2!(6-1)!=7! / 2! 5!=21 formas de escoger 2 bolas.
Ejercicios propuestos:
1. Cuatro chicos son enviados al director del colegio por alborotar en clase. Para esperar su castigo, tienen que alinearse en fila ante la puerta del despacho. ¡Ninguno quiere ser el primero, desde luego!. Suponemos que los niños se llaman Andrés, Benito, Carlos y Daniel (los llamaremos A, B, C y D. ¿De cuántas formas posibles se pueden alinear?.
2. En una caja hay cuatro fichas de colores: dos azules, una blanca y una roja. Se toma una ficha al azar y se anota su color. Sin volver la ficha a la caja, se toma una segunda ficha y se anota su color. Se continúa de esta forma hasta que se han seleccionado, una detrás de otra, las cuatro fichas. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer la selección de las fichas? Ejemplo: Se pueden seleccionar en el siguiente orden, Blanca, Azul, Roja y Azul.
3. Disponemos de tres cartas iguales. Deseamos colocarlas en cuatro sobres de diferentes colores: Amarillo, Blanco, Crema y Dorado. Si cada sobre solo puede contener, a lo sumo, una carta. ¿De cuántas formas podemos colocar las tres cartas en los cuatro sobres diferentes? Ejemplo: Podemos colocar una carta en el sobre amarillo, otra en el blanco y otra en el crema.
4. Un niño tiene cuatro coches de colores diferentes (Azul, Blanco, Verde y Rojo) y decide repartírselos a sus hermanos Fernando, Luis y Teresa. ¿De cuántas formas diferentes puede repartir los coches a sus hermanos? Ejemplo: Podría dar los cuatro coches a su hermano Luis.
5. En una urna hay tres bolas numeradas con los dígitos 2, 4 y 7. Extraemos una bola de la urna y anotamos su número. Sin devolver a la urna la bola extraída, se saca una segunda bola y se anota su número; sin devolverla a la urna, se saca una tercera bola y se anota su número. ¿Cuántos números diferentes de tres cifras podemos obtener? Ejemplo: el número 724.
6. Cuatro niños (Alicia, Berta, Carlos y Diana) van a pasar la noche a casa de su abuela. Esta tiene dos habitaciones diferentes (salón y buhardilla) donde poder colocar a los niños para dormir. ¿De cuántas formas diferentes puede la abuela colocar los cuatro niños en las dos habitaciones? (Puede quedar alguna habitación vacía). Ejemplo: Alicia, Berta y Carlos pueden dormir en el salón y Diana en la buhardilla.
7. Un grupo de cuatro amigos, Andrés, Benito, Clara y Daniel, tienen que realizar dos trabajos diferentes: uno de Matemáticas y otro de Lengua. Para realizarlo deciden dividirse en dos grupos de dos chicos cada uno. ¿De cuántas formas pueden dividirse para realizar los trabajos? Ejemplo: Andrés-Benito pueden hacer el trabajo de Matemáticas y Clara-Daniel el trabajo de Lengua.
8. Una maestra tiene que elegir tres estudiantes para borrar la pizarra. Para ello dispone de cinco voluntarios: Elisa, Fernando, Germán, Jorge y María. ¿De cuántas formas puede elegir tres de estos alumnos? Ejemplo: Elisa, Fernando y María.
9. El garaje de Ángel tiene cinco plazas. Como la casa es nueva, hasta ahora solo hay tres coches; el de Ángel, Beatriz y Carmen que pueden colocar cada día el coche en el lugar que prefieran, si no está ocupado. Este es el esquema de la cochera: 1 2 3 4 5 ¿De cuantas formas pueden Ángel, Beatriz y Carmen aparcar sus coches en la cochera? Ejemplo: Ángel puede aparcar su coche en el aparcamiento número 1, Beatriz en el número 2 y Carmen en el número 4.
10. María y Carmen tienen cuatro cromos numerados del 1 al 4. Deciden repartírselos entre las dos a partes iguales. ¿De cuántas formas se pueden repartir los cromos? Ejemplo: María puede quedarse con los cromos 1 y 2 y Carmen con los cromos 3 y 4.
11. En un bombo hay cuatro bolas numeradas con los dígitos 2 , 4 , 7 y 9. Elegimos una bola del bombo, anotamos su número y la devolvemos al bombo. Se elige una segunda bola, se anota su número y la devolvemos al bombo. Finalmente se elige una tercera bola y se anota su número.¿Cuántos números de tres cifras podemos obtener? Ejemplo: Se puede obtener el número 2 2 2.
12. Disponemos de cinco cartas, cada una de ellas tiene grabada una letra: A , B , C , C , C . ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar en la mesa las cinco cartas, una al lado de otra formando una hilera? Ejemplo: Pueden estar colocadas de la siguiente forma A C B C C .
13. Se quiere elegir un comité formado por tres miembros: Presidente, Tesorero y Secretario. Para seleccionarlo disponemos de cuatro candidatos: Arturo, Basilio, Carlos y David. ¿Cuántos comités diferentes se pueden elegir entre los cuatro candidatos? Ejemplo: Que Arturo sea presidente, Carlos sea tesorero y David sea secretario.
14. Un niño tiene doce cartas: 9 de ellas son los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Las tres restantes son las figuras: sota, caballo y rey. ¿De cuántas maneras se pueden alinear cuatro de las doce cartas con la condición de que siempre estén seleccionadas las tres figuras? Ejemplo: sota caballo rey 1.
15. Seleccionar 5 dígitos con reemplazamiento y colocarlos posteriormente para formar un número de 5 cifras ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse utilizando los dígitos 1 , 2 , 4 , 6 y 8, si cada uno de ellos debe contener exactamente dos ochos? Ejemplo: 8 8 1 2 4.
Exámenes:
Examen 1:
1. Diga verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justifique los falsos.
a) ___ Dos conjuntos son equipotentes si y solo si tienen la misma cantidad de elementos.
b) ___ Un conjunto cuyos elementos no pueden ser contados es un conjunto finito.
c) ___ El complemento de un conjunto A es la diferencia entre el conjunto universo y el conjunto A.
d) ___ En el conjunto A = {(, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}, se puede decir que {1, 2} ( A.
e) ___ A x B = {(a; b)(a ( A}.
2. Complete los espacios en blanco de forma tal que se obtenga una proposición verdadera.
a) El conjunto que no tiene elementos se denomina ____________.
b) Si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos e iguales entonces los conjuntos son ______________.
c) Si un conjunto tiene 4 elementos entonces su conjunto potencia tiene __ elementos.
d) Dado el conjunto A = {1, 2, 3} y el conjunto B = {x ( N( 0 ( x ( 5} considerado como conjunto universo, entonces Ac = {_________________}.
e) En la operación diferencia de conjuntos se cumple que A B ____ B A.
3. Sean los conjuntos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto P formado por los tres primeros números primos.
a) Escriba en notación tabular el conjunto P.
b) Escriba en forma descriptiva un conjunto M equipotente con Q ( S.
c) Represente gráficamente S (P( Q)
d) Compruebe que P ( (S ( Q) = (P ( S) ( Q.
4. En una encuesta realizada a los 20 alumnos de un aula en la que todos practican manifestaciones culturales, se encontró que 12 alumnos tocan piano, 10 tocan violín y 7 alumnos practican otras manifestaciones que no son piano ni violín. ¿Cuántos alumnos practican tanto piano como violín?
5. Dados los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2}
a) Forme el producto cartesiano A x B
b) Forme un subconjunto no vacío R del producto cartesiano A x B.
Examen 2:
1. Diga si la conclusión que se obtiene del siguiente razonamiento es verdadera o falsa: "Si Alfonso estudia aritmética, entonces también estudia lógica o álgebra. Alfonso no estudia aritmética. Alfonso estudia aritmética, o lógica, o algebra. Luego, Alfonso estudia algebra."
2. Analiza las palabras no monosílabas que contiene este pensamiento martiano: "…el único camino abierto a la prosperidad constante y fácil es el de conocer, cultivar y aprovechar los elementos inagotables e infatigables de la naturaleza."
a) Forme un conjunto A en notación tabular con todas las palabras llanas.
b) Escribe el conjunto en notación constructiva.
c) Diga un elemento que pertenezca al conjunto y uno que no pertenezca.
d) ¿Qué relación existe entre el conjunto A y el conjunto B de todas las palabras que contengan c?
e) Halle A ( B, A B
f) Escribe el producto cartesiano A x A.
g) Forme una correspondencia unívoca F ( A x A
h) ¿Es dicha correspondencia una función? Argumente.
3. En las clases de Historia de Cuba has aplicado la relación "… ocurrió primero que…" definida en el conjunto de los hechos históricos, ¿Es esa una relación de orden o de equivalencia? Fundamenta.
4. En un grupo, 7 alumnos prefieren la Matemática, 8 la Lengua Española, 10 otras asignaturas y hay 4 que les gusta la Matemática y la Lengua Española a la vez. ¿Cuántos alumnos tiene el grupo?
5. Ana tienen 12 blusas y 8 sayas.
a) ¿De cuántas maneras puede Ana vestirse para irse para la escuela?
b) ¿Y si ahora tuviese 15 blusas y 10 sayas?
c) ¿Y si ahora tuviese m blusas y n sayas?
Examen 3:
1. Calcula:
2. Con 600 tabletas de madera de 8 cm por 20 cm se cubrió el piso de una habitación. Si se hubieran usado tablas de 12 cm por 40 cm habríamos necesitado _________ tablas.
b). Para embolsar la cosecha de 300 hectáreas de cereal que rindieron 1,2 toneladas por hectáreas se necesitaron 3600 bolsas. Para embolsar la cosecha de 360 hectáreas del mismo cereal que rindieron 900 kilogramos por hectárea se necesitarán ____ bolsas del mismo tamaño.
3. En una hoja está escritos siete números enteros positivos diferentes. El resultado de la multiplicación de los siete números es el cubo de un número entero. Si el mayor de los números escritos en la hoja es N, determine el menor valor posible de N. muestre un ejemplo para ese valor de N y explique porque no es posible que N sea menor.
4. ¿Qué número se obtiene si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los números 30, 54, 18 y 12?
5. Un pastelero dispone de 7 ingredientes para armar sus tortas, ¿cuantas tortas distintas de 3 ingredientes (sin que se repitan los ingredientes), podría hacer?
Autor:
Lic. Wilmer Valle Castañeda
[1] Invitarlos al leer ?El juego de la l?gica de Lewis Carrol, el autor de Alicia en el Pa?s de las Maravillas, donde expone de un modo ameno y muy interesante alguno de los conocimientos que sobre l?gicas nosotros vamos a estudiar.
[2] Los conectivos l?gicos son ciertas conjunciones y palabras (y, o; si? entonces?; ?exactamente cuando?; etc
[3] Ludwig Wittgenstein (Viena 1889-Cambridge 1951), nacionalizado brit?nico en 1938. Estudi? Ingenier?a Mec?nica en Berl?n, posteriormente investig? Aeron?utica en Manchester. La necesidad de entender mejor las matem?ticas lo llev? a estudiar sus fundamentos. Dej? Manchester en 1811 para estudiar l?gica matem?tica con Russell en Cambridge. Escribi? su primer gran trabajo en l?gica, Tractatus logico-philosophicus, durante la primera guerra mundial, primero en el frente ruso y luego en el norte de Italia. Env?o el manuscrito a Russell desde un campo de prisioneros en Italia. Liberado en 1919, regalo la fortuna que hab?a heredado de su familia y trabaj? en Austria como profesor en una escuela primaria. Volvi? a Cambridge en 1929 y fue profesor en esta universidad hasta 1947, a?o en que renunci?. Su segundo gran trabajo, Investigaciones filos?ficas fue publicado en 1953, es decir, dos a?os despu?s de su muerte. Otras obras p?stumas de Wittgenstein son: Observaciones filos?ficas sobre los principios de la matem?tica(1956), Cuadernos azul y marr?n(1958) y Lecciones y conversaciones sobre est?tica, sicolog?a y fe religiosa (1966).
[4] Augustus De Morgan (Madras 1806-Londres 1871). Naci? en la India, donde su padre trabajaba en la East India Company, aunque realiz? sus estudios en el Trinity College, donde obtuvo el grado de cuarto wrangler. Al negarse a pasar el indispensable examen religioso no consigui? plaza en Cambridge ni en Oxford, a pesar de haber sido educado en la Iglesia de Inglaterra, en la que su madre esperaba que se hiciese pastor. A consecuencia de ello, De Morgan se vio nombrado profesor de matem?ticas, a la temprana edad de 22 a?os, en la reci?n creada Universidad de Londres, m?as tarde University College de la misma universidad, donde ensen? de manera continua, excepto durante breves per?odos a consecuencias de sucesivas dimisiones provocadas por casos de reducci?n de la libertad acad?mica. De Morgan fue siempre un defensor de la tolerancia intelectual y religiosa, as? como un profesor y escritor excepcional. Era ciego de un ojo, de nacimiento, lo cual puede explicar algunas de sus inofensivas excentricidades, tales como su odio a la vida rural, su negativa a votar en las elecciones y su renuncia a solicitar el ingreso en la Royal Society. A De Morgan le encantaban los acertijos, rompecabezas y problemas ingeniosos, muchos de los cuales aparecen coleccionados en su libro Budget of Paradoxes, que es una deliciosa s?tira sobre los cuadradores del c?irculo publicada despu?s de su muerte por su viuda. De Morgan fue uno de los precursores de la l?gica matem?tica y en 1847 public? L?gica formal o el c?lculo de inferencia.
[5] Recuerda que las proposiciones se denotan con letra min?scula.
[6] Los razonamientos probables son de naturaleza inductiva, por eso no se han distinguido como una categor?a aparte dentro de los razonamientos reductivos, como hacen algunos autores.
[7] Ver Lis G. L?gica matem?tica, teor?a de conjuntos y dominios num?ricos.
[8] Ferro Garc?a, Rafael y coautor. Formaci?n de categor?as pict?ricas a trav?s de las relaciones de equivalencia. Universidad de M?laga. Publicado en Psicothema 2005. Vol. 17, n? 1, pp. 83-89 ISSN 0214 – 9915 CODEN PSOTEG. www.psicothema.com
[9] Existen libros como ?El diablo de los n?meros?, ?Malditas matem?ticas? , El gran Juego? y ?Cu?nta geometr?a hay en tu vida! De Carlos Frabetti. ?los diez magn?ficos y La sorpresa de los n?meros Anna Cerasoli. ?odias las matem?ticas? De Alejandra Vallejo ? N?jera. ?Vitaminas matem?ticas y Geometr?a cotidiana? de Claudi Alsina. ?El se?or cero? de Isabel Molina. ?El rostros humano de las matem?ticas, de varios autores. ?Alucina con las mates? por Johnny Ball y ?La selva de los n?meros y las hijas de Tuga? de Ricardo G?mez.
[10] Agila Rodr?guez M.Sc Ramos, Guibet Gonz?lez M.Sc Idania Caridad. Algunas consideraciones acerca del tratamiento de las sucesiones num?ricas en la ense?anza primaria. Revista Edusol, vol. 3. 2009. Cuba.
[11] Ib?dem
[12] Posada, M. E. (2005) Interpretaci?n e Implementaci?n de los Est?ndares B?sicos de Matem?ticas. Gobernaci?n de Antioquia. p. 51.
[13] Ib?dem
[14] El sistema de numeraci?n que hoy empleamos, se le conoce con el nombre de sistema decimal o de base 10: con los diez d?gitos podemos representar cualquier n?mero, cada uno de ellos tiene un valor relativo el cual depende de la posici?n que ocupa. La propiedad fundamental de este sistema es el siguiente: Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior; inversamente cada unidad contiene diez veces la unidad inmediata inferior. Ejemplo: 5 354 = 5 ??10 3 + 3 ??10 2 + 5 ??101 + 4 ??10 0
[15] Campistrous P?rez, Luis y Rizo Cabrera, Celia. Aprende a resolver problemas aritm?ticos.
[16] #A = card (A)
[17] Es lo mismo decir tomados p a p.
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