El Instrumental Marginalista en la Economía

Resumen

El presente trabajo, titulado "El Instrumental Marginalista en la Economía", pretende ofrecer una visión panorámica de las teorías económicas a los estudiantes que están algo familiarizados con el cálculo diferencial pues uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada.

El desarrollo del contenido ha quedado dividido en dos capítulos: uno primero en el que se exponen las nociones elementales del cálculo, imprescindible para la póstuma comprensión de sus aplicaciones en la economía y uno segundo que trata precisamente de dichas aplicaciones. El mismo parte de los fundadores y precursores de esta teoría marginalista llevando al lector por un orden lógico e histórico de su surgimiento. Llegado el momento se precisan los puntos de contacto con materias netamente económicas como la Microeconomía y la Macroeconomía, ambas con un fuerte basamento en el cálculo diferencial; pues conceptos como: utilidad marginal, optimización, producto marginal decreciente, teoría de la demanda, teoría de la producción, efecto multiplicador, propensión marginal al consumo, entre otros, encuentran su mejor explicación una vez aplicadas las técnicas del cálculo diferencial.

De gran utilidad pueden resultar al lector las páginas anexadas al trabajo, las cuales cuentan con gráficos, tablas y resolución de ejercicios sumamente necesarios en el cuerpo de las explicaciones.

Summary

This work, entitled "The Marginalistic Instrumental in Economics", aims at providing a comprehensive vision of economic theories to students who are somehow familiarized with differential calculus, because the derivative is undoubtedly one of the thematic groups of Higher Mathematics that is most applied in Economics.

The development of the work is divided into two chapters: the first one deals with the basics of calculus, which is indispensable to understand its applications in economics. The second one precisely refers to those applications, and begins referring to the founders and precursors of this marginalistic theory, with a logic and historic order. In due time, it is explained how this theory is applied to economic subjects such as Microeconomics and Macroeconomics. Both of them are strongly based on differential calculus, because concepts such as: marginal usefulness, optimization, decreasing marginal product, demand theory, production demand, multiplying effect, marginal consumption tendency, among others, are best explained once the differential calculus techniques are applied

The attached pages could be of great use for the reader, as they contain graphics, tables, and solution of exercises that are necessary to provide the explanations.

Objetivo General

• Sintetizar las aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Economía

Objetivos Específicos

• Recopilar información histórica sobre el surgimiento del cálculo deferencial

• Encontrar demostraciones que justifiquen sus disímiles aplicaciones

• Explicar su interconexión con las mencionadas ramas de la economía

• Exponer la esencia del objeto de estudio de cada una de estas ramas

• Demostrar la utilidad práctica del dominio de las derivadas en el análisis económico.

Introducción

La Matemática como ciencia ha proporcionado al hombre la más poderosa herramienta para enfrentar disímiles problemas de la cotidianidad. En el resto de las ciencias del saber humano nos encontramos supuestos y teorías matemáticamente fundamentadas con el fin de proveer una explicación a las relaciones causales entre los procesos y fenómenos específicos de cada especialidad. Está generalizada la tendencia a encontrar algún artículo de Informática, Química, Física, Ciencias Médicas, Farmacéutica, etc. con una demostración o referencia matemática que valide la investigación obtenida.

Una breve pero atenta lectura de casi cualquier libro de economía revela rápidamente que ésta tiene mucha relación con problemas importantes de la vida diaria, tales como inflación, salarios, desempleo, balanza de pagos, tributación, etc. En otras palabras, es tarea interesante y desafiante para la economía el estudio de tales fenómenos con criterio de comprensión para luego suministrar una explicación de ellos. Sin embargo, aunque tal área es estimulante y a la vez vale la pena, la vasta complejidad de la economía industrial moderna la hace hasta cierto punto desalentadora.

Todo experto en la planeación y análisis de inversiones públicas y privadas, procura la óptima rentabilidad a la empresa u organismo donde presta sus servicios, para lo cual necesita aplicar una serie de conocimientos que tienen un fuerte basamento en las matemáticas. Probablemente uno de los conceptos más útiles y aplicables en la Economía sea la derivada de una función. Cualquier curso de matemática superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al área específica del conocimiento desde donde se aborde la temática, en dos partes. De una, la utilización de la derivada en la obtención de soluciones estrictamente matemáticas; a saber: el cálculo de límites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones específicas en la especialidad de que se trate. Dentro de estas aplicaciones, con especial importancia, se manifiesta la aplicación de técnicas del Cálculo Diferencial en diferentes ramas de la Economía.

El objetivo fundamental del trabajo es, por tanto, ilustrar las aplicaciones generales de la derivada o cálculo diferencial en el análisis económico.

El trabajo queda conformado en 2 capítulos, el primero constituye un bagaje teórico del cálculo diferencial, cuya lectura y certera comprensión permitirán el adecuado entendimiento del contenido desarrollado en el segundo capítulo, referente este a las aplicaciones del cálculo diferencial en la ciencia social objeto de estudio. En este apartado se exponen los puntos de contacto con la Microeconomía y la Macroeconomía a través de la evolución del Pensamiento Económico Universal, o sea, cómo los pensadores se fueron apropiando de los conceptos del cálculo diferencial y los aplicaron al estudio de los fenómenos económicos.

Se busca que el lector tenga la sensación de estar aumentando su comprensión sobre las raíces originales de estos problemas, aun cuando en ocasiones no se estuviera tratando de decir nada nuevo: al fin y al cabo es sólo un esfuerzo en búsqueda de síntesis y claridad más que de originalidad.

Dedicamos nuestro esfuerzo a los estudiantes de la especialidad, pues como protagonistas de la carrera comprendemos la crucial importancia que tiene para el Economista el correcto dominio de los términos marginalistas, los cuales serán usados en muchas materias e incluso en la cotidianidad; de ahí que hayamos pretendido compilarlos en un solo documento legible y de fácil adquisición.

Capítulo 1

Nociones Elementales del Cálculo Diferencial

Historia de su surgimiento

El Cálculo infinitesimal, o simplemente Cálculo es una parte muy importante de la Matemática Moderna y se puede dividir en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral los cuales están relacionados por el Teorema Fundamental del Cálculo. Este teorema consiste en la afirmación de que la derivación e integración de funciones son operaciones inversas.

Aunque en las Edades Antigua y Medieval hubo algunos matemáticos que descubrieron teoremas y fórmulas asociados al Cálculo no fue hasta la Época Moderna que Isaac Barrow y James Gregory probaron el Teorema Fundamental del Cálculo Integral (1675), que sirvió a Sir Isaac Newton[1]y a Gottfried Wilhelm Leibniz[2]para sistematizar un verdadero cálculo de infinitesimales. Cada uno lo desarrolló por su parte y ambos coincidieron en crear las leyes de diferenciación e integración, las segundas derivadas, las derivadas de orden superior, la noción de una aproximación de series de polinomios, la regla de la cadena, la regla del producto, etc.

Luego de estos grandes matemáticos ha habido otros que han enriquecido el Cálculo (Cauchy, Riemann, Weierstrass) y que lo han convertido en una materia más rigurosa y casi omnipresente en los programas universitarios.

Cálculo Diferencial

El Cálculo Diferencial se ocupa del estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama derivación o diferenciación. Para ello es necesario tener claro dos conceptos: el límite y la continuidad de una función.

El límite de una función es un concepto matemático que nos permite analizar el comportamiento de una función cuando su variable independiente tiende a un punto, o sea, cuando toma valores cada vez más cercanos a un punto determinado (entorno reducido). El límite de una función cuando la variable independiente "x" tiende al punto "a" será "L" si existe un entorno reducido de "a" tal que "x" pertenece a ese entorno y de esta forma la variable dependiente "f(x)" pertenece al entorno de "L". O sea,

Los límites se pueden analizar por los valores de la variable independiente que tienden por la derecha o la izquierda ya que hay puntos donde sus límites laterales no coinciden. Y es aquí donde entra el concepto de continuidad, que expresa que para que una función sea continua en un punto sus límites laterales deben ser iguales e iguales también a la función evaluada en dicho punto.

Definidos a grandes rasgos estos conceptos entonces se puede establecer una noción de la derivada. En muchas ocasiones interesa saber no solamente cómo varía una función al variar la variable independiente, sino también saber con qué velocidad lo hace. La tasa de variación media (tasa media de cambio) de una función es el cociente entre los incrementos de la función y de su variable independiente

, donde es el incremento de la función que corresponde al incremento de la X a partir del punto X0. Se entiende entonces la tasa instantánea de variación (derivada) de una función continua en un punto como el valor límite de la razón de los incrementos de la función y de la variable independiente (correspondientes a ese punto) cuando tiende a cero el incremento de la variable independiente[3]O sea y se interpreta como la variación que experimenta una función cuando su variable independiente varía en un valor muy pequeño (infinitesimal). Si para cada valor de x existe la derivada se puede encontrar una función derivada para todos los valores de la variable independiente.

Se define también la tasa proporcional (relativa) de variación al cociente de la derivada de una función y la propia función las cuales se dan en tantos por ciento.

La derivada tiene una interpretación geométrica muy interesante e importante (Ver Anexo 1). Si se tiene una función f(x) y se traza la recta secante que pasa por los puntos A y B de la misma entonces para un aumento desde x hasta x+ x la función varía en un y el cociente incremental . Si el punto B se desplaza consecutivamente hacia la izquierda del gráfico de manera que se acerca cada vez más al punto A (sin llegar a tocarlo) entonces y . Se tiene una recta tangente a f(x) en el punto A la cual es la derivada de la función en ese punto.

De manera general, la derivada de una función f(x) para cada valor de x, es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a un punto de la curva representativa de la función.

Hasta ahora hemos tratado la derivada de primer orden o primera derivada. Las derivadas de segundo orden o de orden superior se calculan derivando consecutivamente la función tantas veces como se desee (siempre y cuando la función sea "n" veces derivable).

Las derivadas pueden ser aplicadas en la Economía ya que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales[4]es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total. Además muchos de los problemas económicos como se podrá analizar posteriormente son de maximización de funciones. Pero, ¿qué es maximizar una función?

Si se analiza el gráfico de una función (Ver anexo 2) se puede analizar la monotonía que describe la misma. Si los valores de la variable dependiente crecen con el aumento de la variable independiente entonces la función es creciente, y si por el contrario decrece entonces es decreciente. Cuando una función pasa de una monotonía creciente a una decreciente se dice que la función en ese punto de cambio es máxima, y si la monotonía pasa de decreciente a creciente se dice que la función en ese punto es mínima. Precisamente maximizar o minimizar funciones es básicamente encontrar tales puntos de cambio de monotonía los cuales tienen un gran significado económico. Es en este momento que el cálculo diferencial brinda las herramientas para encontrar máximos y mínimos.

Si interpretamos geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado podemos entonces definir que en puntos de máximo o mínimo la recta tangente a estos puntos es paralela al eje horizontal y por tanto su pendiente es cero. Dicho de otra forma, cuando la primera derivada de una función se haga cero entonces se está en presencia de un máximo o de un mínimo.

Por tanto para que un punto en una función sea un máximo entonces a su izquierda la primera derivada debe ser positiva (punto B en el gráfico 2) y a su derecha la derivada debe ser negativa (punto C), mientras que en el punto la derivada es cero (punto A). Análogamente se realiza el análisis para el caso de mínimos teniendo en cuenta que a la izquierda la derivada es negativa a la derecha la derivada es positiva.

Otro tipo de análisis de maximización y minimización es la optimización restringida, o sea, la búsqueda de los máximos y mínimos de una función teniendo en cuenta otra función que la restringe. Por ejemplo el rango de elección de un consumidor acerca de un bien está limitado por cuotas de producción, limitaciones presupuestarias y otras condiciones. Para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

Otro de los conceptos que se deriva del cálculo diferencial con gran aplicación a la Microeconomía y la Macroeconomía es la Elasticidad. Al definir el concepto de derivada se partió de la tasa media de variación que relacionaba las variaciones de la variable dependiente con respecto de la independiente. Pero si esta variación se desea llevar a términos relativos (se dice que las medidas relativas brindan más información que las absolutas) entonces se puede llegar a la definición de Elasticidad:

Capítulo 2:

Aplicaciones del Cálculo Diferencial al Análisis Económico

"La matemática aplicada a la economía no es una rama expresa de la economía sino una aproximación al análisis económico, en la que el economista emplea símbolos matemáticos cuando expone el problema y, además, recurre a teoremas matemáticos conocidos como ayuda en su razonamiento."[5]

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales[6]es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

Hasta aproximadamente el siglo XIX, las matemáticas casi nunca se empleaban en escritos económicos. Cuando se inició el uso de las matemáticas simples en la literatura económica no fue visto con escepticismo, sino con antagonismo. Por ejemplo, el libro de Cournot titulado "Recherches Sur Les Principes Mathematiques De La Theorie Des Richeses" (1838), no recibió la atención que merecía sino después de pasados muchos años de su publicación. Apenas con los escritos de economistas como Jevons, Walras y Pareto las matemáticas empezaron a encontrar una aceptación creciente. El que se retrasara tanto tiempo la aceptación del análisis marginal refleja tanto la inercia y la resistencia al empleo de las matemáticas, como una doble falta de comunicación: la poca atención prestada a las aportaciones de los que trabajaban fuera de una incipiente comunidad científica que estaba en vías de alcanzar una consideración profesional y la insuficiente información existente dentro de esta comunidad y de una rama nacional a otra. En realidad, el papel de las matemáticas en nuestros días es, y será, el de un instrumento de ayuda para aclarar la teoría económica y desarrollar el análisis económico, en algunos casos servir para dar lugar a nuevos conceptos e instrumentos matemáticos aptos para la resolución de los problemas económicos. Las matemáticas pueden proporcionar una gran ayuda cuando se lleva a cabo el análisis económico, ya sea teórico o empírico.

Específicamente, el Cálculo Diferencial fue muy utilizado por los pensadores económicos del Siglo XIX en su variante marginal, o sea, el uso de la derivación para el análisis marginal. A comienzos de los años 1870, y más exactamente entre 1871 y 1874, tres autores, de diferentes formaciones intelectuales, y trabajando de manera independiente, publicaron trabajos cuyos contenidos son sorprendentemente próximos. Ellos son Stanley Jevons en Inglaterra, Carl Menger en Austria y Leon Walras en Suiza, y se les reconoce como los fundadores del marginalismo. Esta escuela de pensamiento se desarrollará rápidamente, siendo el germen de un ambicioso programa de investigación para la economía que desde entonces ya no se circunscribirá a las fronteras de Inglaterra, y que conoce un éxito tal que puede considerársele como la escuela dominante hasta el nacimiento del pensamiento keynesiano en los años 30.

Esta teoría es una ruptura con el tipo de análisis que provenía de sus antecesores, los clásicos. Pensadores como William Petty, Adam Smith y David Ricardo eran defensores de la Teoría del Valor-Trabajo (el trabajo es la única fuente del valor de las mercancías y está determinado por el Tiempo de Trabajo Socialmente Necesario materializado en estas) ya que analizaban los fenómenos económicos en su esencia, o sea, en la esfera de la producción. Estas teorías clásicas tenían un alto nivel subversivo pues reconocían la existencia de clases sociales y algunas contradicciones entre ellas[7]Se hizo necesario elaborar una teoría que negara estos conceptos de forma solapada e ingeniosa, lo cual fue posible por el uso del instrumental matemático marginalista.

Precursores y fundadores del Marginalismo

Esta ruptura con los clásicos no se dio de manera fugaz sino que fue un proceso que tuvo varios antecesores que aunque fueron ignorados en su tiempo luego sus teorías fueron aceptadas.

• Precursores

• Antoine Augustin Cournot (1801-1877): Ingreso y Costo Marginal, Maximización del Beneficio.

A pesar de algunas tentativas anteriores de matematizar la economía -por ejemplo, el trabajo de William Petty- generalmente se considera que el primer intento exitoso de introducir métodos matemáticos a la economía fue el de Antoine Augustin Cournot (1801-1877) el cual describe la situación de un productor único enfrentado a una demanda de mercado. Cournot plantea, como una evidencia impuesta por la realidad, una función de demanda relacionada inversamente con el precio:

Si el costo marginal aumenta, se dice que los rendimientos son decrecientes (cumplen la Ley de los Rendimientos Decrecientes de los Factores de Producción); estos son crecientes si el costo marginal es decreciente. La noción de costo marginal es particularmente valiosa en la medida puede servir de criterio de juicio para decisiones en relación con opciones no independientes o sobre elecciones arancelarias.

En estas condiciones el productor buscará maximizar su beneficio, lo que obtiene derivando el beneficio total con respecto al precio e igualando a cero (condición de máximo de una función). Las condiciones necesarias aseguran que se trata efectivamente de un máximo. El productor debe entonces producir una cantidad tal que de acuerdo con la función de demanda permita igualar el coste marginal con el ingreso marginal. Además este último es equivalente al precio del mercado por lo tanto el productor producirá hasta donde el precio de mercado sea igual al Costo Marginal de producir la última unidad.

• Jules Dupuit (1804-1866): Utilidad Absoluta y Relativa; Excedente del Consumidor

Jules Dupuit (1804-1866) encuentra el análisis de la utilidad subjetiva, de la demanda y del excedente del consumidor, lo cual lo convierte en un "padre fundador" del marginalismo. Para Dupuit, la utilidad es subjetiva; varía en función de los individuos. Se debe distinguir entre la utilidad absoluta, que para Dupuit es el precio que el consumidor está dispuesto a pagar por una unidad de un bien, y la utilidad relativa que es la diferencia entre la utilidad absoluta y el precio de compra. Por ejemplo, dice Dupuit, un consumidor que aceptaría pagar 30 francos cuando el precio de venta es 20 obtiene "una especie de beneficio" de 10, que es la medida de la utilidad relativa. Pero como dice Dupuit: "cada consumidor otorga el mismo una utilidad diferente al mismo objeto de acuerdo con la cantidad que puede consumir", y esta estimación de unidades sucesivas es decreciente según la cantidad consumida. De este modo. Dupuit enuncia, la ley de decrecimiento de la utilidad marginal, que él asimila inmediatamente a una curva de demanda, ya que escribe el precio al que el consumidor está dispuesto a comprar el bien con la cantidad comprada.

• J. H. Von Thunen (1783-1850): Principios Fundamentales de la Teoría de la Productividad Marginal

J. H. Von Thunen (1783-1850) aplica razonamientos que se califican de marginalistas a una economía agrícola. Sus contribuciones se refieren a las teorías de la producción y la distribución para lo que utiliza constantemente el cálculo en el margen. Desarrolla la noción de "excedente del productor" y los principios fundamentales de la teoría de la productividad marginal, o sea, el salario del último trabajador empleado es igual a su productividad marginal. Además, como los trabajadores son intercambiables, el salario del trabajador marginal es igual al salario de todos los trabajadores. Para el capital, el razonamiento es exactamente el mismo: el capital prestado se remunerará de acuerdo con la productividad de la última unidad utilizada.

• Hernan Gossen (1810-1858): Las leyes de H. Gossen

Hernan Gossen (1810-1858) se dedica al estudio de la teoría de la utilidad. Algunas de las características fundamentales del marginalismo se encuentran en Gossen. En primer lugar el papel del Cálculo Diferencial el cual ayuda a analizar los fenómenos económicos. En segundo lugar, Gossen aborda el problema económico bajo el ángulo de la satisfacción de las necesidades en el marco de un comportamiento individual racional. El problema fundamental consiste en saber cómo maximiza el individuo su satisfacción. Para abordar esta cuestión, Gossen extrae una primera ley de la experiencia cotidiana: la satisfacción suplementaria obtenida del consumo de un bien disminuye progresivamente a medida que la cantidad consumida aumenta (Ley de la Utilidad Decreciente o Ley de la Saturación de las Necesidades). Esta cantidad es nula cuando se alcanza la saciedad[8]Una segunda ley expresa el modo en que puede alcanzarse la máxima satisfacción: no se pueden satisfacer todas las necesidades hasta la saciedad, entonces, Gossen establece que el máximo de satisfacción se obtiene cuando las satisfacciones marginales obtenidas de los diferentes bienes se igualan entre sí (Ley del Equilibrio del Consumidor o Ley del Equilibrio de las Utilidades Marginales)[9].

Una implicación importante de las leyes de Gossen se encuentra en su análisis del trabajo. El trabajo, que crea indirectamente satisfacciones por el ingreso que procura, está acompañado de desutilidad debida a su molestia. De ello resulta que hay que trabajar hasta el punto en que la satisfacción procurada por los ingresos del trabajo (utilidad del salario) es igual a la desutilidad marginal del trabajo. Este es considerado una de los Postulados Neoclásicos acerca de la Ocupación.

• Fundadores del Marginalismo

• La vertiente anglosajona del marginalismo: Stanley Jevons(1835-1882) y el grado final de utilidad

Ya entre los fundadores de la escuela marginalista encontramos a Stanley Jevons (1835-1882) que consiguió reunir los elementos separados de la teoría de la utilidad en una teoría coherente del valor y del intercambio en su principal obra (Theory of Political Economy, 1871) sobre la que se asienta la revolución marginalista. Tal fue el éxito de esta que en 1879, varias décadas después de la muerte de Gossen, se reimprimió su libro como si se tratase de una obra reciente y fue acogido por el mercado como una gran novedad. Según Jevons la economía es tan matemática como la física. Como las cantidades se pueden considerar sujetas a variaciones continuas, la herramienta básica es el cálculo diferencial. Por lo tanto, la ciencia económica no puede limitarse a traducir simplemente los hechos observados en expresiones algebraicas. Después de descubrir a Cournot, Jevons, por ejemplo, le reprocha el trazar las curvas de demanda sin establecer sus fundamentos. Hay que establecer, dice él, las leyes últimas del valor de cambio (leyes sobre las que reposan las funciones matemáticas) y es aquí donde el aporte de Jevons es fundamental.

Jevons, deliberadamente anticlásico, expresa que (si para los clásicos el valor es objetivo y nace de la actividad económica en su conjunto) el valor es subjetivo y nace de la relación del individuo con sus necesidades.

Jevons distingue cuidadosamente entre la utilidad total proveniente de un bien y la utilidad asignada a una porción del mismo y define el "grado final de utilidad"[10]. Si "u" es la utilidad total debida al consumo de "x" bien. Así, la fracción du/dx, será el grado de utilidad correspondiente a la cantidad del bien x. El grado de utilidad será él mismo una función de x (función derivada). La expresión grado final de utilidad significa el grado de utilidad de la última adición posible de una cantidad muy pequeña o infinitamente pequeña al stock existente. Establece entonces la relación existente entre el grado final de utilidad y la cantidad consumida del bien de manera que redescubre la primera ley de Gossen: las unidades suplementarias consumidas aumentan cada vez menos la utilidad total, o sea, el grado final de utilidad varía inversamente con la cantidad. Matemáticamente du/dx disminuye cuando aumenta x. Análogamente establece una relación entre estas variables de manera global: el coste de producción determina la oferta, la oferta determina el grado final de utilidad y este determina el valor.

Jevons plantea también el concepto de Relación Marginal de Sustitución[11]El valor de cambio de un bien expresa simplemente la circunstancia de su intercambio en una cierta relación contra cualquier otro bien. De ello resulta que el valor de cambio es un precio relativo.

Ahora bien, Jevons explica cómo alcanza el consumidor el máximo de satisfacción.

Al resolver ese problema de optimización restringida se llega a la igualdad planteada por Jevons y si su resultado se sustituye en la restricción presupuestaria se pueden hallar las demandas de cada bien en cuestión en función de los precios y la renta.

• John Bates Clark: Utilidad Marginal Decreciente y Productividad Marginal del Trabajo

John Bates Clark (1847-1938) al igual que Jevons y a Menger descubrió independientemente el concepto de "utilidad marginal" y el principio de "utilidad marginal decreciente". Clark estudió la productividad marginal del trabajo y las maquinas y cómo se determinan tanto los salarios como las ganancias de las empresas respectivamente.

• La escuela austriaca: Carl Menger (1840-1921) y las tablas de intensidad

Carl Menger (1840-1921) fue el fundador de la Escuela Austríaca. Al igual que Jevons, Menger sitúa al individuo en el centro del sistema económico y da una noción del bien económico que es la más aceptada dentro de la Escuela Marginalista además de clasificarlos en necesarios o de lujo y en sustitutivos y complementarios[12]Es uno de los descubridores del concepto de utilidad marginal y la Ley de la Utilidad Marginal Decreciente". Menger avanzó a proponer que la economía puede o debe ser una disciplina deductiva, basando sus "leyes" y generalizaciones en premisas que se sabe son ciertas.

Menger construyó su tabla de intensidad de necesidades como una resucitación a la segunda ley de Gossen (Ver Anexo 4). En las columnas aparecen las necesidades satisfechas de los bienes 1, 2, etc., por un bien aplicable para distintos fines (el dinero por ejemplo). Las necesidades están en orden decreciente de izquierda a derecha. Las cifras de cada columna expresan el decrecimiento de la intensidad con la satisfacción. Esta tabla permite definir una lógica para la elección del consumidor. Así, en primer lugar se elegirá una unidad del bien 1 (Intensidad 10), después en otro paso una unidad del bien 2 y una unidad suplementaria del bien 1, luego una unidad del bien 3, otra del bien 2 y otra del bien 1. El proceso se detiene cuando se agote el ingreso. Este procedimiento equivale a la maximización de la utilidad, ya que conduce a la máxima intensidad de la satisfacción. De esta forma se debe distribuir el bien aplicable entre sus posibles usos de forma que las utilidades marginales sean iguales para todos ellos. Por otra parte sucesivas dosis de un mismo bien económico provocan que en vez de aumentar la utilidad total en cada paso lo que hace es disminuir, por tanto se debe detener el consumo de sucesivas dosis cuando todas las necesidades estén satisfechas con el mismo nivel de utilidad (paso 6 de la tabla).

Esta tabla no es una aplicación directa de las derivadas pero su interpretación deduce el comportamiento marginalista de los agentes.

• La escuela de Lausana: León Walras: Equilibrio General

Si bien estos autores anteriormente analizados dieron todas las nociones y explicaciones del análisis marginalista, sin duda León Walras (1834-1910) logró una formalización del problema económico que adquirió gran importancia. Al igual que Jevons comparte la insistencia en el uso del lenguaje matemático económico para explicar dos supuestos básicos: toda unidad económica tiende a maximizar su utilidad y la demanda de cada bien debe igualar su oferta (equilibrio general).

Utilizando la curva de demanda de Cournot descubrió que esta solo es aplicable estrictamente al intercambio de dos bienes, pero que en el caso de más de dos bienes ofrece únicamente una aproximación. Por su parte, al principio se limitó a deducir con toda exactitud la curva de oferta de uno de los bienes a partir de la curva de demanda del otro; al llegar aquí, dedujo los precios de equilibrio de cada uno de ellos a partir del punto de intersección de sus dos curvas. Partiendo de estas, que se refieren a las cantidades totales de los bienes considerados en el mercado en cuestión, determinó la demanda individual y las curvas de utilidad para las cantidades correspondientes a cada unidad económica particular, llegando así al concepto de utilidad marginal, pilar fundamental de su sistema.

La importancia de Walras radica en que fue el primero en intentar construir, mediante un sistema de ecuaciones, un modelo completo del equilibrio general de los precios y de los cambios. Este equilibrio se define como una situación tal en la que ni los consumidores ni los productores tengan interés en modificar las cantidades de bienes y servicios que demandan o que ofrecen en los diversos mercados, lo cual permite considerar esta situación como una situación normal, que únicamente podrá ser modificada por la intervención de causas exteriores al sistema de cambios.

En la construcción del modelo, Walras utiliza el instrumental matemático aplicado a la ley de igualación de las utilidades marginales ponderadas de los bienes con los precios de los productos. Para expresar matemáticamente los factores de los que depende la oferta de bienes, utilizó la teoría de los servicios productivos de Jean-Baptiste Say. Considerar las cantidades de servicios ofrecidos en la situación de equilibrio como funciones de los precios de los bienes y servicios, basándose en una ley igual a la precedente (la venta de una unidad de un servicio comporta para su poseedor una privación de utilidad).

La oferta de servicios es una función del precio de estos. Walras supone que las cantidades de servicios productivos necesarios para la fabricación de una unidad de cada bien son magnitudes determinadas a las que denomina coeficientes de fabricación. Para este análisis recurrió a una ecuación de producción ["équation de fabrication"] con rendimientos constantes a escala de la forma Q = ?(T, P,K, …) y, como era de esperarse, en el proceso de minimización de los costos unitarios de producción llegaría a la teoría de la productividad marginal: "En estado de equilibrio, cuando el coste de producción y el precio de venta son iguales, los precios de los servicios son proporcionales a las derivadas parciales de la función de producción, es

decir, a las productividades marginales"(Walras, 1900, 589).De esta forma puede decir que existe una relación precisa entre los precios de equilibrio de los diversos bienes y las cantidades demandadas de los diferentes servicios.

Pero quizás debido a que este intento fue tardío dentro de su trabajo científico, Walras nunca incorporó una teoría completa de la productividad marginal en el modelo de producción: "He preferido no introducir la teoría de la productividad marginal en mi teoría general del equilibrio económico, ya suficientemente complicada por sí misma, por temor a que resulte demasiado difícil de asimilar en su conjunto" (Walras, 1900, 589).

• Alfred Marshal: Equilibrio Parcial

Es muy probable que Alfred Marshall (1842-1924) haya sido el economista que de manera aparentemente simple, barrió de golpe una buena parte de los conceptos de la Economía Política Clásica. Ahora, la esencia de un sistema económico no consistía en la producción de bienes sino en la satisfacción. Se tornó innecesaria la búsqueda de una medida invariante de valor y, por ello, desapareció una de las problemáticas terminológicas mayores de la Economía Política Clásica. La medida del valor era la que el público manifestaba en sus actos de compra. También sirvió para cerrar otros debates en torno a conceptos que no hemos aludido, como los bienes materiales e inmateriales, el trabajo productivo y el improductivo.

Frente a esta pérdida de conceptos, surgieron o se consolidaron otros. Marshall propuso una visión general de varios conceptos que integraron un equilibrio parcial o microeconómico. Marshall reintroduce algunos conceptos clásicos bajo la forma de "agregados" (por ejemplo: Demanda Agregada). Marshall fue el responsable por el cambio del nombre de la disciplina de economía política a economía. Otorgó más importancia al concepto de Relación Marginal de Sustitución que al de Utilidad.

La idea general de que el valor se determina en el punto de equilibrio entre demanda y oferta se va extendiendo hasta descubrir todo un sistema copernicano, gracias al cual todos los elementos del universo económico se mantienen en su lugar mediante contrapesos e interacciones mutuas. La teoría del equilibrio económico se consolidó y se convirtió en un instrumento de pensamiento eficaz gracias a dos poderosos conceptos subsidiarios: la marginalidad y la sustitución.

El concepto de marginalidad se extendió más allá del original campo de la utilidad para describir el punto de equilibrio en condiciones dadas de todo factor económico que pueda ser susceptible de pequeñas variaciones respecto a un valor dado, o en su relación funcional a un valor dado. La noción de sustitución se introdujo para describir el proceso mediante el cual se restablece o alcanza el equilibrio. La idea de sustitución marginal no era aplicable únicamente a las alternativas de consumo, también existían dichas alternativas entre los factores de producción. Este modo de proceder obtuvo resultados extraordinariamente fecundos.

En la provisión de términos al pensamiento económico por parte de Marshall, es de destacar la explícita introducción de la noción de Elasticidad de la demanda. Para Keynes (1972), se trata de un concepto sin cuya ayuda la teoría del valor y la de la distribución no podrían avanzar.

Se ha visto que la única ley universal relacionada con el deseo de una mercancía por parte de una persona es aquella que establece que este disminuye, en igualdad de circunstancias, con cada aumento de su provisión de dicha mercancía; pero esta disminución puede ser lenta o rápida. Si es lenta, el precio que la persona dará por la mercancía no bajará mucho a consecuencia de un aumento considerable en la provisión del mismo, y una pequeña baja de precio originará un aumento comparativamente grande en sus compras (muy sensible al cambio); pero, si es rápida, una pequeña baja de precio solo causará un aumento muy pequeño en sus compras (poco sensible al cambio). En el primer caso, su disposición a comprar la mercancía se expansiona bajo la acción de un pequeño aliciente: la elasticidad de sus necesidades, podemos decirlo así, es elástica. En el segundo, el aliciente adicional que le proporciona la baja en el precio apenas es causa para que su deseo de comprar aumente: la elasticidad de su demanda es inelástica. Si una caída del precio, por ejemplo, de 16 a 15 peniques por libra de té aumentase mucho sus compras, un alza en el precio de 15 a 16 peniques igualmente las disminuirá considerablemente. Es decir, que cuando la demanda es elástica ante una baja de precio, también es elástica ante un alza.