Aspectos fundamentales de la programación lineal
2.1 Introducción a la Programación lineal La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Cuando esta mejor alternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se le puede llamar plan o programa. La palabra "programa" se usa comúnmente en el medio del entretenimiento en donde, por ejemplo, los conciertos tienen un programa o listado de la música que se va a tocar. No obstante, no limita el término a los aspectos de entretenimiento. Como se usa aquí, programar significa seleccionar la mejor combinación de actividades.
Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, de centeno u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, puede quererse una libra de pan blanco rebanado y hecho no antes del día anterior. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger la más barata.
Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancadas. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas.
La programación lineal es una técnica determinista, no incluye probabilidades. El objetivo y cada una de las restricciones se deben expresar como una relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal. Para las aplicaciones más reales es necesaria una computadora para resolver el problema.
A pesar de estas limitaciones, la programación lineal, (PL) es una de las técnicas más poderosas y útiles que se presentan en este texto.
El tema de programación lineal es muy extenso. Forma una de las ramas del campo de la programación matemática, como se muestra en la figura 7-1. En este capitulo se hace hincapié en la forma general del problema de programación lineal y en las aplicaciones más comunes. Se presenta el método gráfico de solución, que es aplicable en algunas situaciones limitadas, para ilustrar los conceptos de solución. Al avanzar en el estudio no debe perderse de vista que la meta siempre es la misma: seleccionar la mejor alternativa entre varías.
El problema de programación lineal tiene dos supuestos:
Supuesto 1: Las cantidades de insumos necesarios para una actividad y la efectividad de cada actividad (costo, ganancia).
Siempre serán proporcionales al número de actividades, por ejemplo, supongamos que sembrar una ha de plátanos gasta 3 h/d, sembrar 2 gastará 6, sembrar3 gastará 9, sembrar gastará
Supuesto 2: El supuesto de proporcionalidad solo no garantiza la linealidad.
Se requiere, además que las actividades sean aditivas, por ejemplo:
Sí sembrar 
ha de plátano gasta 
h/d y sembrar 
ha de boniato gasta 
H/d entonces, sembrar los 2 cultivos gastara 
2.1.1 Formulación del problema Construcción del modelo de programación lineal
El objetivo de este epígrafe consiste en exponer los pasos a seguir cuando se procede a expresar matemáticamente la situación que analizamos a través del modelo de programación lineal.
El procedimiento a seguir para la construcción del modelo puede resumirse en la forma siguiente: Paso # 1: Definición de las variables de decisión.
Paso # 2: Construcción del sistema de restricciones. Paso # 3: Construcción de la función objetivo.
A continuación procedemos a explicar cada un de estos pasos.
Definición de las variables de decisión Como hemos dicho la definición de las variables de decisión es el primer paso en la construcción de modelo de programación lineal. Cada variable de decisión se identifica con cada una de las actividades en que se descompone el problema. La definición de las variables de decisión tiene 2 etapas: Definición conceptual y definición dimensional.
Definición conceptual Es aquella que refiere la determinación de las variables, es decir que significa la variable en el contexto del problema.
Cuando se proceda a definir conceptualmente una variable debe tenerse presente el principio de unicidad. La unicidad puede ser de 3 tipos:
Unicidad de origen.
Unicidad de destino.
Unicidad de tecnología. Una misma actividad puede ser definida por diferentes variables en dependencia del criterio de unicidad.
Definición dimensional Una vez precisada la definición conceptual de una variable, es necesario pasar al aspecto cuantitativo de esta definición. Es decir a las unidades de medidas que van a utilizarse para operar con estas variables. No basta con definir una variable por su cualidad, sino que es también necesario expresar esa cualidad en ha, cab, m2, ha , u, kg, t. 2.1.2 Formulación de las restricciones El sistema de ecuaciones y/o inecuaciones (1-2) junto con la condición (1-3) constituye las limitaciones que conforman el conjunto posible de decisiones a tomar ya que en la programación lineal se optimiza la función objetivo sujeta a restricciones que hay que respetar.
Cuando se va a construir una restricción, es conveniente seguir el procedimiento que se expone a continuación.
1. Cerciorarse del carácter limitado de la supuesta restricción y definir en caso de que ella realmente pueda clasificarse como tal:
-la dimensión física de la constante que se colocará en el término independiente (bi).
-signo de la restricción.
Una disponibilidad máxima, con el signo () Una cuota mínima a cumplir con el signo () Un requerimiento exacto (=) 2. Analizar que variable o variables entran a formar parte de la restricción.
Una vez ubicadas las variables correspondientes y con la meta a cumplir, la condición de aditividad de todo modelo lineal es necesario definir como se definirá el cociente de conversión conocido por 
que permitirá adaptar la dimensión de las variables de decisión a la restricción (dimensión de 
). No debe olvidarse nunca que la condición de no negatividad es una condición del modelo, por tanto, siempre es necesario escribirla.
2.1.3 Restricciones de no negatividad La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real no se desearía una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas. De tener un problema en que se quiera que una variable sea negativa, existe una forma para que se cumplan las restricciones de no negatividad. Donde se cumple que:
ó 
2.1.4 La función objetivo Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.
Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:
2.1.5 Ejercicios Ilustrativos (Programación lineal)
1- Una fábrica realiza dos tipos de caramelo para la exportación, los del tipo A arrojan una utilidad en divisas de 40 cts, por caja y los del tipo B de 50 cts, por caja.
Los caramelos se elaboran en tres operaciones: mezclado, cocinado, empaquetado.
La tabla siguiente muestra el tiempo en minutos necesarios para cada caja de caramelo en cada una de las tres operaciones de elaboración:
Durante cada tanda de producción el equipo de mezclado dispone de un máximo de 12 horas/máquinas, el de cocinado a lo sumo 30 horas/máquinas y empaquetado no más de 15 horas/máquinas.
Si todo este fondo de tiempo de máquina puede ser destinado para confeccionar ambos tipos de caramelos, determine cuántas cajas de cada tipo deben producirse a fin de maximizar su ganancia en divisas.
Planteamiento del modelo i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
2-Una empresa fabricante de muebles produce 4 modelos de sillas; cada silla pasa por el departamento de carpintería y luego por el departamento de terminado donde se barniza, tapiza, etc…, la cantidad de madera requerida en cada departamento es la siguiente:
Debido a las limitaciones de capacidad de la planta el dpto de carpintería dispone de 6 000 pies2 de cedro y 4 000 pies2 de pleybox.
Suponiendo que se dispone de cantidades suficientes de materias primas y que todas las sillas producidas pueden ser vendidas, la empresa desea determinar un plan óptimo de producción que maximice la utilidad esperada
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
3- Una empresa produce dos tipos de leche: Condensada y Evaporada. El proceso de producción de ambas leches consta de cuatro departamentos A, B, C y D.
En el Dpto. A, si sólo se procesa condensada la capacidad del mismo es de 500 ton diarias, si sólo se produce evaporada la capacidad es de 750 ton. En el Dpto. B, las capacidades son de 600 y 650 ton respectivamente.
En el Dpto. C, sólo se procesa evaporada y su capacidad es de 550 ton.
En el Dpto. D, sólo se procesa condensada y su capacidad es de 450 ton.
La materia prima fundamental para la elaboración de ambas leches es la leche fresca como la reconstituida. El consumo de leche en una u otra forma es para la leche condensada y evaporada 1.1 y 1 ton por ton de producto terminado, la cantidad de leche disponible en la fábrica diariamente es de 605 ton.
La vitamina D se le adiciona a ambas leches en una proporción de 84 y 70 kg por ton de producto terminado, siendo la disponibilidad de 49 000 kg diarios.
La fuerza de trabajo necesaria es de 373 y 400 horas hombres por ton de producto terminado y la disponibilidad en horas es de 280 000.
El consumo de petróleo es de 10 litros/ton de producto terminado en ambos casos, su disponibilidad es de 6 500 litros diarios.
El producto terminado se vende al precio de 200 y 300 pesos la ton de condensada y evaporada respectivamente.
El problema consiste en encontrar el plan de producción de la empresa que maximice el valor del producto bruto.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
4- Una fábrica produce tres productos, para lo cual dispone de todos los factores productivos necesarios en cantidades que son evidentemente limitadas. Sin embargo, supondremos que sus condiciones de producción, sólo presentan restricciones en cuanto a la capacidad productiva de 3 máquinas que designaremos por M1, M2 y M3.
Además de las restricciones señaladas, la empresa debe regirse a las limitaciones que le presenta el plan, de tal manera que en el 1er producto puede producir a lo más 80 unidades, mientras que en el 2do y 3ro productos debe producir lo menos 40 y 50 unidades respectivamente.
Los coeficientes tecnológicos y las capacidades productivas de los factores limitantes, aparecen en la siguiente tabla:
Máquinas | Producto 1 | Producto 2 | Producto 3 | Disponibilidad en horas | |
M1 | 1 | 4 | 3 | 360 | |
M2 | 3 | 2 | 5 | 480 | |
M3 | 1 | 4 | 2 | 320 | |
Debe determinarse el plan de producción que optimice los ingresos de la fábrica, si los ingresos correspondientes a los productos 1, 2 y 3 son 10, 8 y 12 pesos respectivamente.
Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
5- Una industria desea determinar el programa óptimo para 3 mezclas distintas que han sido hechas con diferentes proporciones de maní, avellanas y nueces.
Las especificaciones de cada uno de ellos son: La mezcla I debe contener como mínimo 50% de maní y 25% de nueces cuando más; la libra de esta se vende a 0.50 centavos.
El segundo tipo debe contener el 25% de maní por lo menos y un 15% de nueces cuando más y se vende a 0.35 centavos la libra.
El tercer tipo no tiene especificaciones y se vende a 0.25 centavos la libra. Sin embargo están restringidas a las cantidades de materias primas que puede conseguir el industrial. Los máximos por período son: 100 libras de maní, 100 de nueces y 60 de avellanas. Cada libra de maní cuesta $0.65, la de nuez $0.25 y $0.35 la de avellana.
Se trata de determinar cuántas libras se deben preparar de cada mezcla de manera que se obtengan el máximo de utilidades posibles.
Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
iii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo.
6- Una fábrica produce dos tipos de enchufes para la exportación: El tipo A y el tipo B.
El tipo A arroja una ganancia neta en divisas de 0.40 por enchufe. El tipo B es de 0.30.
Cada enchufe del tipo A requiere el triple de tiempo de máquina que de el tipo B y si sólo se fabrica el tipo B habría tiempo de máquina suficiente (por día) para hacer 1 000 enchufes diarios.
El abastecimiento de materias primas es suficiente sólo para 800 enchufes al día (A y B combinados).
El tipo A requiere un aislador especial de cerámica del cual sólo disponemos de 400 cada día y el B otro del cual se cuenta con sólo 700 diarios.
Realice el planteamiento matemático.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
7- Un agricultor posee 100 hectáreas de terreno. Una parte del mismo se sembrará de patatas y otra de cereales y una tercera se dejará eventualmente sin plantar.
Se dispone de los siguientes datos:
Plantee el modelo matemático que maximice la ganancia.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
|
8- Se desea distribuir cierta cantidad de productos desde tres fábricas hacia cuatro clientes fundamentales. La capacidad instalada de producción en las fábricas es de 150,80 y 40 toneladas respectivamente. Las demandas de los cuatro clientes es de 90, 70,50 y 60 toneladas respectivamente y los costos de transportación por unidad de producto aparecen a continuación. Los costos de transportación desde la fábrica 1 son de $ 7.21, 4.23, 5.31 y $8.69. Los costos de transportación desde la fábrica 2 son de $6.10, 3.45, 4.40 y 7.23.
Los costos de transportación desde la fábrica 3 son de $8.30, 5.54, 6.35 y $9.57.
Planteamiento del modelo Nota: Este es el problema clásico de transporte.
i) Definición de las variables.
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
9- La fábrica de Ampolletas de vidrio recibe como demanda para su plan operativo mensual (30 días de 8 horas) las siguientes cantidades del producto:
No existen dificultades en cuanto a la tubería de vidrio a utilizar ya que las cantidades existentes están por encima de las necesidades posibles.
La fábrica cuenta con tres máquinas para producir ampulas y otras dos para bacilos, goteros y frascos.
Un horno de temple y un departamento de empaquetado.
Los coeficientes de productividad son los siguientes en unidades por minuto máquina.
La capacidad del horno es de 10 bandejas y el tiempo de permanencia de cada una es de una hora.
La bandeja puede contener 5 000 ampulas de 5 cc ó 2 500 ampulas de 10 cc ó 2 000 ampulas de 15 cc ó 1 500 bacilos ó 4 000 goteros ó 2 000 frascos de 20 cc ó las correspondientes combinaciones.
El departamento de empaquetado cuenta con 50 obreros.
En una hora de trabajo se pueden empaquetar 2 000 ampulas de 5 cc ó 1 200 ampulas de 10 cc 1000 ampulas de 15 cc ó 1 800 goteros ó 1 600 bacilos ó 2 000 frascos de 20 cc por cada obrero.
Los beneficios a obtener por cada 100 unidades son de $1.25, 1.75, 2.00, 1.50, 1.50, 1.20 para las ampulas de 5 cc, 10 cc, 15 cc, bacilos, goteros y frascos de 20 cc respectivamente.
Maximizar los beneficios.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
iii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
Nota: Identifique cada una de las restricciones.
10- Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1 000 de 56 pulgadas de ancho.
Si la papelería tiene rollos de 108 pulgadas de ancho. ¿Cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo de desperdicios de papel?
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
Nota: Es este un problema de corte (son necesarias las combinaciones de corte) Combinaciones posibles Desperdicios
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
11- La sección avícola de la empresa agropecuaria de Las Tunas necesita conocer para sus planes futuros de producción de aves al más bajo costo posible el tipo de pienso o alimento balanceado que deberá dar a su ganado avícola.
La sub-sección de estudios dietéticos informa que en los actuales momentos los productos que pueden conseguirse para la elaboración del pienso son los siguientes: Cáscara de arroz, maíz, harina de pescado, harina de soya y cebada.
La propia sección dietética informa que cualquier combinación de alimentación deberá contener un 22% de proteína y un 16% de grasas, estas cantidades serán las mínimas que permiten garantizar un adecuado crecimiento de las aves. A continuación se detallan los porcentajes que contienen de proteína y grasa cada uno de los productos enumerados, así como el costo por quintal de cada uno:
El departamento económico de la empresa solicita su cooperación brindando la anterior información. A fin de que usted le asesore la mejor combinación, completando los requerimientos mínimos que se planteen permita el menor costo posible.
Planteamiento del modelo (Problema de dieta)
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
12- En la granja avícola hay en cierto momento 1 000 gallinas y 3 200 huevos.
Durante un período cualquiera una gallina puede ser dedicada a empollar 4 huevos o poner 6 huevos.
El administrador de la granja desea usar las gallinas y los huevos durante un sólo período y venderlos todos al final del período.
Si los huevos se venden a 0.06 y las gallinas a 0.85. ¿Cómo podría emplear las gallinas en el período para maximizar su ingreso?
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
13- Supongamos que se cuenta con dos alimentos, pan y queso, cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones:
? Un Kg. de pan contiene 2 000 calorías y 50 grs. de proteínas.
? Un Kg. de queso contiene 4 000 calorías y 200 grs. de proteína.
Supongamos que una dieta normal requiere cuando menos 6 000 calorías y 200 grs. de proteína diariamente.
Por lo tanto si el Kg. de pan cuesta 0.06 ctvs y 0.21 el queso. ¿Qué cantidades de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requerimientos de la dieta normal, gastando la menos cantidad de dinero?
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
14- La empresa de transporte dispone de $400 000.00 para la compra de nuevos equipos, y está considerando tres tipos de vehículos.
El vehículo A puede transportar 10 ton y se espera que promedie 35 millas por hora, su costo es de $8 000.00.
El vehículo B tiene una capacidad de 20 ton y se espera que promedie 30 millas por hora, su costo es de $13 000.00.
El vehículo C es un modelo modificado del B, tiene su sitio para que duerma el chofer, lo cual reduce su capacidad a 18 ton y eleva su costo a $15 000.00.
El vehículo A requiere una tripulación de un hombre por turno y si se opera durante dos turnos por día puede trabajar un promedio de 18 horas por día.
Los vehículos B y C requieren una tripulación de 2 hombres por turno c/uno, pero mientras que B puede trabajar 18 horas por día en dos turnos, C puede promediar a 21 horas diarias en dos turnos.
La empresa dispone de 150 chóferes al día y tendrá muchas dificultades para obtener tripulaciones adicionales. Las facilidades de mantenimiento son tales que el número total de vehículos no puede exceder de 30.
La empresa quiere que usted la asesore en el planteamiento del problema que resuelva ¿Cuántos vehículos de cada tipo deberán comprarse, si se desea hacer máxima su capacidad por día?
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
15- Cierto animal debe consumir diariamente cuando menos:
0.4 kgs de componente A
0.6kgs de componente B 2 kgs de componente C
1.7 kgs de componente D
El alimento M cuesta $10.00 el kg y el alimento N cuesta $4.00 el kg.
¿Qué cantidad de alimento M y N se debe utilizar diariamente por cabeza de ganado para realizar la alimentación adecuada y menos costosa? Las componentes por kg están dadas en la tabla que sigue, además se han agregado en la tabla las cantidades previstas a ingerir diariamente por cada animal.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
16- Una fábrica elabora dos tipos de cinto de piel, A y B. El cinto tipo A es de mejor calidad que el de tipo B. La utilidad del de tipo A es de $0.40 y la del tipo B es de $0.30. Cada cinto del tipo A requiere el doble de tiempo para su confección que los del tipo B, la fábrica podría elaborar 1000 cintos diarios.
La oferta de piel es suficiente solo para 800 cintos diarios combinando A y B.
Los cintos del tipo A requieren una hebilla especial de las cuáles sólo se pueden obtener 400 diarias y los cintos del tipo B requieren de una hebilla de las cuales se disponen 700.
Se desea maximizar la producción bruta.
Planteamiento del modelo
i) Definición de las variables
ii) Sistema de restricciones
iii) Función Objetivo
2.1.6 Problemas propuestos 17- Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios, y libreros deberá fabricar con el objetivo de optimizar sus recursos disponibles. Su programa de ventas de acuerdo con pedidos anteriores implica la necesidad de producir al menos 40 mesas, 130 sillas y 30 escritorios y no más de 10 libreros. En estos productos se utilizan necesariamente dos tipos diferentes de madera contándose con 1500
de madera del primer tipo y 250
del segundo tipo. Respecto al primer tipo de madera cada artículo requiere de 5, 1, 9,12
de madera respectivamente. Con respecto al segundo tipo de madera, cada de madera del tipo 2 permite producir dos mesas ó 3 sillas ó 4 escritorios ó un librero. Una mesa requiere 3 horas hombres para ser fabricada, una silla dos horas hombres, un escritorio 10 horas hombres y un librero 8 horas hombres. Para realizar el trabajo total se cuenta con 800 horas hombres disponibles. El fabricante obtiene una utilidad de $12 por mesa, $5 por silla y $15 por escritorio y $10 por librero.
17.1 Plantee el modelo de tal forma que se maximice la ganancia.
18- La empresa de confecciones textiles se dedica a producir dos productos fundamentales para el consumo social, para la producción de estos productos la fábrica dispone del consumo de tres materias primas fundamentales. Por cada unidad producida del producto 1 se consumen 3
6
y 9de materia prima respectivamente, por cada de materia prima del tipo 1 se elabora cuatro unidades del producto 2. Por cada unidad producida del producto 2 se necesitan 0.25
yde materia prima respectivamente.
Para la elaboración de los productos la Entidad cuenta con y de telas respectivamente. La capacidad de almacenaje de los productos 1y2 es de 100t y 300t respectivamente. Para la elaboración de dichos productos se cuenta con 1200horas hombres y por cada hora hombre se fabrican 40unidades del producto A y 60 unidades del producto B. La producción del producto A se espera que constituya el 60% de la producción de B. Se espera obtener una utilidad de $10.00 por cada unidad del producto A y $ 15.00 por cada unidad del producto B.
18.1 Plantee el modelo de tal forma que se maximice la ganancia.
19- El poligráfico de Las Tunas se dedica a la producción de libretas y de libros para los ministerios de Educación y el de educación superior, para la conformación de estos productos depende fundamentalmente de dos materias primas fundamentales. Se espera de acuerdo al comportamiento de la demanda de los dos últimos años que la producción de libretas para los dos ministerios sea a lo sumo 1000000 y 750000 respectivamente. La entidad cuenta con un almacén el cual tiene capacidad para almacenar 100000 libretas y 300000 libros. Se cuenta con una tonelada de la materia prima A y con 2 toneladas de la materia B , para producir una unidad de libreta con destino a Educación superior se insumen 0.05 t de materia prima A y 0.10 para producir un libro, para el ministerio de educación cada libreta producida necesita 0.03t y cada libro 0.07de materia prima A. Por cada libreta y libro para educación superior se insumen 0.02t y 0.05t de materia prima B respectivamente. Por cada unidad producida de libreta y libro para el Ministerio de Educación se necesitan 0.04t y 0.03t respectivamente. Se cuenta con 500 horas hombres para la producción de libros y 800 horas hombres para la producción de libretas. Por cada hora hombre se elaboran 100libretas para educación superior y 200 para Educación. Por cada hora hombre se elaboran 50 libros para educación superior y 250 para Educación. Se obtendrán utilidades por valor de $12 por unidad de libreta y $15.00 por unidad de libros.
19.1 Plantee el modelo de tal forma que se maximice la ganancia.
20- El combinado Lácteo de Puerto Padre se dedica a la elaboración de leche fresca y Yogurt, para la elaboración de los mismos se necesitan dos tipos de materia prima: Nacional e importada. Se cuenta con un total de 100000libras de materia prima nacional y 300000 libras de materia prima importada, por cada unidad de leche fresca se necesitan 1.5 libras de materia prima nacional y 0.4 libras de materia prima importada, por cada unidad de yogurt se necesitan 0.7libras de materia prima nacional y 1.2 libras de materia prima importada. Se espera de acuerdo a la demanda del municipio que se produzcan 20000litros de leche y 12000 litros de yogurt. Este proceso industrial pasa por dos máquinas por lo que la cantidad de horas máquinas previstas para A es de 400horas y para la B 600horas , por cada litro de leche producido se insumen0.05 horas en la máquina A y 0.12horas en la máquina B . Por cada horas en la maquina A y B se procesan 25litros y 30 litros de yogurt respectivamente. Se espera que los costos para la entidad sean por cada unidad producida de leche de $ 0.15 y de yogurt $0.75.
20.1 Plantee el modelo de tal forma que se minimice el costo.
21-Considerando que la empresa "Pedro Valdés" dedicada a la producción de confecciones femeninas.
Plantee las restricciones del modelo lineal que permita elaborar el plan de producción de forma tal que se maximice la ganancia, teniendo en cuenta las siguientes restricciones:
i) Se cuenta con una disponibilidad máxima de 10 000m de tela y cada metro de tela permite elaborar 1.5 blusas de mujer ó 1.2 sayas de mujer ó 2 blusas de niñas ó 0.8 pantalones ó 1.3 overoles.
ii) Por razones organizativas la empresa elabora 2 blusas de niña por cada blusa de mujer.
iii) La demanda de los overoles es a lo sumo 1 500, mientras que de las demás confecciones el mercado absorbe todas las que se produzcan.
iv) La ganancia por cada blusa de mujer es de $10.00, por cada saya de mujer $12.00, por cada saya de mujer $ 15.00, por cada pantalones $25.00 y por cada overol $20.00.
21.1 Plantee el modelo de tal forma que se maximice la ganancia.
22- Considere que el establecimiento X perteneciente a la unión de empresas del MINAL desea establecer su plan de producción de forma tal que se minimicen los costos. Además se debe tener en cuenta las siguientes limitaciones, por lo que a usted se le pide plantear las restricciones que permitan lograr el objetivo trazado por el establecimiento.
i) Debe utilizar su fuerza de trabajo en un mínimo de 1 420 horas hombres y cada hora hombre permite elaborar 10 latas de compotas ó 8 latas de conserva de vegetales ó 10 latas de puré de tomate ó 6 latas de frutas en conserva.
ii) Cuenta con un almacén en el que pueden almacenarse 1 000 latas de compota ó 500 latas de conserva de vegetales ó 100 latas de puré de tomate ó 500 latas de frutas en conserva o las correspondientes combinaciones.
iii) Las demandas para las compotas y el puré de tomate debe ser satisfecha en un mínimo de 10 000 y 20 000 latas respectivamente.
Por cada lata de conserva de vegetales debe producir 3 latas de frutas en conserva.
Por cada compota el costo de producción es de $0.10, por cada lata de conserva de vegetales es de $0.15, por cada lata de puré de tomate es de $0.30 y por cada conserva de frutas $0.25.
22.1 Plantee el modelo de tal forma que se minimice el costo.
23- Una fábrica de autos y camiones consta de los departamentos siguientes:
I- Armado de motores.
II- Estampado de planchas metálicas.
III- Montaje de autos.
IV- Montaje de camiones.
El Dpto. I puede armar 33 300 motores de autos ó 17 600 motores de camiones o las correspondientes combinaciones de motores entre ambos vehículos siempre y cuando no se excedan la capacidad.
El Dpto. II puede estampar 25 000 planchas de autos ó 30 000 planchas de camiones o las correspondientes combinaciones entre ellas.
El Dpto. III puede montar hasta 22 500 autos y el Dpto. IV hasta 15 000 camiones.
Cada auto deja una utilidad de $300.00 y cada camión de $250.00.
¿Qué cantidad de autos y camiones deben producirse para obtener el máximo de utilidades? 24.- Una fábrica dedicada a la producción de los artículos A, B, C y D desea establecer su plan de producción para el próximo semestre.
Estos artículos son procesados por dos departamentos. En el Dpto. I se dispone de una capacidad mínima de 1000 horas y en una hora se pueden procesar 3 unidades de A ó 3.5 de B ó 5 de C ó 4.5 de D o las combinaciones correspondientes.
La disponibilidad máxima en el Dpto. II es de 500 horas y cada artículo insume 20, 30, 45 y 50 minutos respectivamente.
La demanda del artículo A debe ser satisfecha en un mínimo de 10 000 unidades y si la producción nacional no alcanza se puede cubrir con importaciones, lo que representa un gasto de $20.00 por unidad.
Los costos por unidad son los siguientes:
La fábrica cuenta con un almacén en el cual pueden almacenarse 30 000 unidades de A ó 20 000 de B ó 40 000 de C ó 70 000 de D o las correspondientes combinaciones.
Se pide plantear el modelo lineal que minimice los costos.
25-De acuerdo a las características que posee la empresa "Mártires de Barbados", dedicada a la producción de artículos varios, defina las variables del modelo lineal que permita elaborar el plan de producción. La empresa elabora 4 artículos denominados A, B, C y D respectivamente, tanto para la producción nacional como para la exportación. Los productos A y B se elaboran en dos de los establecimientos con rendimientos diferentes y los productos C y D se elaboran solo en un establecimiento.
26-La fábrica Hermanos Almeijeiras produce 3 tipos de productos A, B y C con el objetivo de satisfacer la demanda de la población, así como las necesidades del comercio exterior (CE).
El producto A puede ser producido en 2 equipos cuyas productividades son distintas. El costo por unidad para el producto A elaborado en el equipo I es de $3.50, pero cuando este se produce en el equipo II su costo se incrementa en un 5%. Su producción solo es destinada para satisfacer la demanda de la población a un precio de $100.00 por lotes de 100 unidades.
El producto B es producido con dos materias primas diferentes. El producto B que es producido con materia prima I tiene un costo por unidad de $2.75 y el producido con materia prima II tiene un costo de $3.00. Esta producción puede ser destinada tanto para satisfacer las necesidades de la población como para el CE a un precio por unidad de $12.00 y $14.00 respectivamente.
La producción de C puede ser destinada tanto para satisfacer la demanda de la población como para el CE a un precio por unidad de $14.00 y $16.00 respectivamente. Su costo de producción es de $5.00 por unidad. Se pide:
1) Definir las variables de decisión.
2) Definir la función objetivo que permita maximizar la ganancia.
27-La empresa productora de artículos para el hogar elabora 3 tipos de artículos A, B y C, los cuales pueden ser elaborados con materia prima nacional o importada.
Para los artículos elaborados con materia prima nacional se dispone de un máximo de 4 000 kg y cada artículo insume 5, 8 y 6 kg respectivamente. Se tiene una disponibilidad máxima de materia prima de importación de 2 800 kg y con 1 kg pueden elaborarse 2 unidades del artículo A ó 4 del B ó 5 del C o las correspondientes combinaciones.
La demanda del artículo A debe ser satisfecha en al menos 358 artículos y por cada unidad producida del artículo B deben elaborarse 10 del A.
Existe un único almacén que puede almacenar hasta 600 unidades de A ó 500 de B ó 400 de C o las correspondientes combinaciones.
Plantee el modelo matemático que maximice el nivel de producción.
28- El director de la fábrica D desea determinar cuál debe ser su plan de producción óptimo diario, mediante un modelo matemático, contando para ello con la siguiente información:
? La fábrica procesa 3 variedades de conserva que denomina A, B y C, siendo parte de la última destinada a la exportación y otra parte al consumo nacional.
? La materia prima principal es el Jurel, del que se dispone diariamente de 8 ton, conociéndose según las normas técnicas que cada lata de conserva A debe contener 4 kg, cada lata de conserva B 5kg y cada lata de conserva C 7 kg.
? Para llenar las latas se tienen dos máquinas que laboran dos turnos de 8 horas cada una, pudiendo cada máquina llenar 90 latas en una hora sin importar la variedad que sea.
? En caso de producir la variedad C ha de ser en cantidades no mayores al millar de latas ni inferiores a las 450 latas.
? Para equilibrar el plan de producción es necesario garantizar que por lata de la variedad C que se produzca para la exportación se deben producir 4 latas para el consumo nacional.
? Los costos y el precio de cada lata, según la variedad y el destino se ofrecen en la siguiente tabla:
Plantee el modelo matemático que maximice las utilidades.
29- La empresa procesadora de frutas Habana, elabora pulpa de piña, mango y plátano con el objetivo de satisfacer la demanda de la población y el COMEX.
La materia prima (frutas) no solo es adquirida a Acopio sino también mediante compras a los pequeños agricultores, siendo notablemente diferentes los precios de adquisición según fuente.
Para el presente año debe considerarse que el plátano y el mango suministrado por Acopio serán comprados a un precio de $100.00 y $200.00 la ton de fruta correspondiente, mientras que cuando son compradas a los pequeños agricultores éstos se incrementan en un 50%.
La piña solo será comprada a Acopio a un precio de $300.00 la tonelada. A continuación se muestran los precios a los que la empresa comercializa su producción:
Nota: Considere despreciable el costo de procesamiento y que 1 kg de fruta=1 kg de pulpa.
Defina las variables de decisión y la función objetivo que maximice las utilidades.
30-El taller H-3 perteneciente a la industria básica se dedica a la producción de 4 tipos de piezas de repuesto que denotaremos I, II, III y IV y se desea programar sus producciones mensuales de forma tal que minimice sus costos teniendo en cuenta las siguientes limitaciones:
El proceso productivo de piezas está sujeto a tres operaciones en los departamentos de Fresado, Taladrado y Ensamblado. A continuación se muestran los tiempos de operación de cada pieza así como la capacidad productiva en horas de los Dpto.
Las piezas III y IV deben ser recubierta por un compuesto químico de protección cuyo insumo por pieza es de 0.04 y 0.03 litros respectivamente. Este compuesto químico se obtiene a partir de 2 materias primas restrictivas denotadas MP-1 y MP-2. Los insumos de MP-1 y MP-2 por litro de producto químico se muestran en la tabla siguiente:
Las disponibilidades son de 9 y 11 litros de MP-1 y MP-2 respectivamente.
De la pieza I deben elaborarse como mínimo 25 y de la pieza II como máximo 30.
El taller cuenta con un almacén para almacenar la producción de las piezas, que permite almacenar 50 piezas I ó 100 piezas II ó 40 piezas III ó 25 piezas IV o las correspondientes combinaciones.
Los costos por pieza de cada tipo son: $1.80 para la pieza I; $2.50 para la pieza II; $1.68 para la III y $1.75 para la IV.
30.1 Se pide construir el modelo lineal.
31- La Corporación Súchel. S.A está planeando su programa de producción para fin de año: en particular, quiere saber cuántos juguetes "clásicos" y cuántos "de moda" debe producir. Un clásico lleva 10 horas de tiempo de moldeo más 6 horas de tiempo de máquina, mientras que uno de moda ocupa 5 horas de tiempo de moldeo y 7 horas de maquinado. La contribución de un clásico es de $8.00 y la de uno de moda es de $6.00. Con 40 horas de tiempo de moldeo y 32 horas de tiempo de máquina disponibles, ¿cuántos clásicos y cuántos de moda deben fabricar para maximizar la contribución total? 32- El ICRT está planeando una campaña de anuncios con un presupuesto de $2 500.00. Está considerando dos medios: anuncios de 100.00 en el radio o comerciales de $200.00 en televisión. Cada anuncio en el radio llega a una audiencia de 12 000 personas; cada comercial en televisión lo ven 20 000 personas. El ICRT quiere maximizar la audiencia total, pero también está preocupada por dos grupos específicos dentro de esa audiencia: mujeres entre 21 y 35 años y hombres mayores de 40. Quiere llegar por lo menos a 10 000 de estas mujeres y 800 de los hombres. Los medios de difusión han proporcionado los siguientes datos:
¿Cómo debe el ICRT gastar el presupuesto de la campaña? 33- Un fabricante de camisas está tratando de decidir cuántas camisas debe producir durante el mes próximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varían en las horas de mano de obra que requieren, en la contribución en la ganancia y en las ventas potenciales que el departamento de comercialización estima. Los datos se dan en la siguiente tabla:
Se dispone de un total de 7 500 horas de mano de obra.
El fabricante pretende maximizar la contribución total en la ganancia.
34- La empresa de productos alimenticios de Las Tunas se dedica a la producción de tres tipos de dulces diferentes, para la realización de los mismos se necesitan tres ingredientes y estos se hacen en diferentes proporciones. Los ingredientes son: Harina, Azúcar y chocolate. Se cuenta con 1200 kgs de Harina, 1500 kgs de Azúcar y 600 kgs de chocolate para la elaboración diaria de los distintos dulces. El dulce 1 está constituido por un 30% de chocolate, El dulce 2 tiene un 40% de harina y el dulce 3 tiene un 35% de azúcar. Se desea minimizar los costos de cada uno de estos ingredientes, el costo por cada unidad de ingrediente comprada para los distintos tipos de dulces es el siguiente: el costo de la harina es de $0.23, 0.32, 0.45 respectivamente, él del azúcar $ 0.15, 0.18 ,0.21 y el del chocolate $0.45, 0.60 y 0.52.
34.1 Modele el problema de programación lineal.
35- La empresa de gastronomía del municipio Jesús Menéndez se dedica a la producción de productos alimenticios, para ello espera producir tres tipos de mantecados diferentes de acuerdo a distintos tamaños, Estos reelaboran con azúcar, harina y un saborizante. La entidad cuenta 1200 libras de saborizante, 5000 libras de harina y 2700 libras de azúcar. Él mantecado tipo 1 cuenta con un 12% de saborizante, el mantecado 2 cuenta con un 40% de harina y el mantecado 3 cuenta con 35% de azúcar. Los costos por unidad de ingredientes son los siguientes: por cada libra de saborizante se gastan $0.12, 0.17 y 0.32 respectivamente, cada libra de azúcar tiene un costo de $0.30 ,0.35 y 0.41 respectivamente, la libra harina es comprada por valor $ 0.70, 0.68 y 0.82. 36.1 Modele el problema de programación lineal.
36- La industria pesquera del municipio de Colombia elabora tres tipos de enlatado de sardinas para la exportación los ingredientes son puré de tomate. Aceite de soya y sardinas. Se procesan diariamente 5 toneladas de puré y 12 toneladas de sardinas y se tiene disponible 4 toneladas de aceite. La fábrica espera producir 10000 unidades de enlatado 1, 20000 unidades de enlatado 2, y 45000 de enlatado 3. En enlatado 1 tiene un 25% de puré, el enlatado 2 un 30% de aceite y el enlatado 3 un 60% de sardinas. Los costos de cada uno de los ingredientes por unidad es el siguiente: Cada tonelada de sardina cuesta $250 ,300 y 320 respectivamente; cada tonelada de puré tiene un valor de $120, 150 y 270.
El aceite cuesta a tonelada $125, 214 y 250 respectivamente.
36.1 Modele el problema de programación lineal.
2.2 Solución gráfica a los problemas de programación Lineal
Para la solución gráfica partiremos de la solución gráfica del sistema de inecuaciones formado por (1,2) y (1,3); una vez hallada la región que constituye la solución del sistema puede ver que la región esta constituidas por infinitos puntos y que es una región convexa, es decir que no tiene huecos y por tanto todos sus puntos extremos están en los bordes exteriores de la región. 
El resultado más importante de la programación lineal estuvo en demostrar el que el valor de que hace máxima o mínima el valor de la función objetivo que está precisamente en uno de los puntos extremos de esa región.
¿Cómo hallar entonces la solución posible donde la función objetivo alcance el óptimo?
Una vía seria evaluar todos los puntos extremos en la función objetivo y escoger el que proporcione a Z un mayor valor si estoy buscando un máximo o el menor si estoy buscando un mínimo.
Todo método en busca de la solución de un problema de programación lineal tiene el mismo fundamento; pero unos son mejores que otros, y decimos que un método es mejor que otro si este nos permite movernos más rápido hacia la solución optima, por ejemplo: existe un método mejor que evaluar todos los puntos en z y es: cómo podemos para cualquier valor fijo de 
Representa una recta es decir para cada valor de z obtendré una recta diferente pero cuya pendiente no depende de dicho valor; por tanto todos tienen la misma pendiente lo que significa que todos son paralelos. Si el problema es de máxima debemos encontrar la recta cuyo valor de z es mayor, bastaría con trazar una recta y ver en que sentido crece (z) y trasladar la recta en ese sentido y detenerse en él último punto donde la recta tope la región de solución.
Si el problema fuera de mínimo tendría que determinar al trasladar a z en que sentido ella decrece y trasladarla en ese sentido hasta detenerme en el último punto donde la recta toque la región.
Hallar gráficamente la solución del siguiente problema de programación lineal.
Paso2: Encontrar las coordenadas de los puntos extremos: Existen puntos cuyas coordenadas están explícitamente en el gráfico y son los puntos extremos que están sobre los ejes de coordenada en este caso
Paso 3: Dibujar una de las rectas y determinar en que sentido crece.
Para dibujar una recta damos un valor cualquiera a z, el que más nos guste o simplemente el que nos proporcione los intercepto más cómodos de localizar, por ejemplo, la recta en este caso es 
Los valores de z que nos proporcione los intercepto más cómodos son los múltiplo enteros de 2 y 1 tomemos –2.La recta a trazar será Para determinar en que sentido crece nos movemos hacia la derecha y evaluamos. Si crece en ese sentido para un valor, crecerá siempre en ese sentido y si decrece para un valor decrecerá siempre en ese sentido, como evaluando para (0,0) z = 2*0+0=0. Creció el valor de z lo que quiere decir, que si movemos la recta paralela a la que dibujamos, hacia su derecha el valor de z seguirá creciendo. Repitiendo esto continuamente el último punto donde la recta topa la región es en
por tanto, este es el punto donde la función objetivo alcanza su valor máximo, que será Como pudiéramos comprobar para 3 variables la solución gráfica seria muy difícil de encontrar y en n dimensiones con n>3 será imposible por tanto tendremos que acudir a otro procedimiento.
2.2.1 Ejercicios propuestos
37- Planteamiento del modelo
i) Sistemas de restricciones
ii) Función Objetivo
38. Planteamiento del modelo
i) Sistemas de restricciones
ii) Función Objetivo
39- Planteamiento del modelo
i) Sistemas de restricciones
ii) Función Objetivo
40-
Planteamiento del modelo
i) Sistemas de restricciones
ii) Función Objetivo
2.3 Teoría de la Dualidad (Conversión del primal al dual) La dualidad en programación lineal, su concepto y significado .Tras formular el problema dual de un problema de programación lineal, se establece la relación matemática entre ambos. Se emplean diversos ejemplos para ilustrar el importante concepto de la dualidad. Dado un problema de programación lineal, denominado problema primal, existe otro problema de programación lineal, denominado problema dual, íntimamente relacionado con el. Se dice que ambos problemas son mutuamente duales. Bajo ciertas hipótesis, los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor óptimo de la función objetivo, y por tanto se puede resolver indirectamente el problema primal resolviendo el problema dual. Esto puede suponer una ventaja computacional relevante.
Definición 4.5 (problema dual). Dado el problema de programación lineal Minimizar Z = cT x Sujeto a Ax = b x = 0 su problema dual es maximizar Z = bT y Sujeto a AT y = c y = 0 Donde y = (y1,. . ., ym) T se denominan variables duales. Se denomina al primer problema primal, y al segundo, su dual. Obsérvese que los mismos elementos (la matriz A, y los vectores b y c) configuran ambos problemas. El problema primal no se ha escrito en forma estándar, sino en una forma que nos permite apreciar la simetría entre ambos problemas, y mostrar así que el dual del dual es el primal.
Nota: La dualidad es una relación simétrica, esto es, si el problema D es el dual del problema P, entonces P es el dual de D .Para comprobar lo anterior, se escribe el problema dual anterior como un problema de minimización con restricciones de la forma =. Minimizar Z = .bT y Sujeto a .AT y = .c y = 0 (4.21) Entonces, su dual es maximizar Z = .cT x Sujeto a .Ax = .b x = 0 (4.22) Que es equivalente al problema primal original.
Nota: Como puede observarse, cada restricción del problema primal tiene asociada una variable del problema dual; los cocientes de la función objetivo del problema primal son los términos independientes de las restricciones del problema dual y viceversa; y la matriz de restricciones del problema dual es la transpuesta de la matriz de restricciones del problema primal. Además, el problema primal es de minimización y el dual de maximización.
Obtención del problema dual Un problema de programación lineal de la forma (4.19) tiene asociado un problema dual que puede formularse según las reglas siguientes:
Regla 1. Una restricción de igualdad en el primal (dual) hace que la correspondiente variable dual (primal) no esté restringida en signo.
Regla 2. Una restricción de desigualdad = (=) en el primal (dual) da lugar a una variable dual (primal) no negativa.
Regla 3. Una restricción de desigualdad = (=) en el primal (dual) da lugar a una variable dual (primal) no positiva.
Regla 4. Una variable no negativa primal (dual) da lugar a una restricción de desigualdad = (=) en el problema dual (primal).
Regla 5. Una variable primal (dual) no positiva da lugar a una restricción de desigualdad = (=) en el problema dual (primal).
Regla 6. Una variable no restringida en signo del problema primal (dual) da lugar a una restricción de igualdad en el dual (primal).
2.3.1 Ejemplo (problema dual).
El dual del problema de programación lineal minimizar Z = x1 + x2. X3 Sujeto a 2×1 +x2 = 3 x1 .x3 = 2 x3 = 0 Es maximizar Z = 3y1 + 2y2 2y1 +y2 = 1 y1 = 1 .y2 = .1 y1 = 0 (4.24) Para obtenerlo se aplican las reglas anteriores de la forma siguiente:
Regla 1. Puesto que la segunda restricción del problema primal es de igualdad, la segunda variable dual y2 no está restringida en signo.
Regla 2. Puesto que la primera restricción del problema primal es de desigualdad =, la primera variable dual y1 es no negativa.
Regla 3. Puesto que la tercera variable primal x3 está restringida en signo, la tercera restricción dual es de desigualdad =.
Regla 4. Puesto que las variables primales primera y segunda x1 y x2 no están Restringidas en signo, las restricciones duales primera y segunda son de igualdad.
Aplicando las mismas reglas, se puede obtener el problema primal del dual, lo que se muestra a continuación:
Regla 1. Dado que las restricciones primera y segunda del problema dual son de igualdad, las variables primales primera y segunda x1 y x2 no están restringidas en signo.
Regla 2. Dado que la tercera restricción del problema dual es de desigualdad =, la tercera variable primal x3 es no negativa.
Regla 3. Dado que la primera variable dual y1 está restringida en signo, la primera restricción primal es de desigualdad =.
Regla 4. Puesto que la segunda variable dual y2 no está restringida en signo, la segunda restricción primal es de igualdad.
2.3.2 Ejercicios propuestos
Transforme del primal al dual y defina las variables del dual
41-Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
ii) Sistemas de restricciones
iii) Función Objetivo
42-Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
iii) Sistemas de restricciones
iii) Función Objetivo
43-Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
ii) Sistemas de restricciones
iii) Función Objetivo
44-
Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
ii) Sistemas de restricciones
iii) Función Objetivo
45-Planteamiento del modelo
i) Definición de variables
ii) Sistemas de restricciones
iii) Función Objetivo
2.4 El problema de transporte La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de problemas para los cuales existen métodos de solución especiales. Dos de estas dos subclases se conocen como problemas de transporte y problemas de asignación. Cualquiera de los métodos generales de solución de PL, como el método símplex o el algebraico, puede servir para resolver estos problemas. Pero se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertas características de los problemas, Entonces, el método del transporte y el método de asignación son sólo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de PL.
El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobrevivencia de una empresa. Este capítulo no cubre todo el campo del transporte ya que es demasiado extenso. Más bien se hace hincapié en una clase especial de problemas de transporte y en cómo pueden resolverse. Después se verá que estos mismos métodos pueden usarse para resolver problemas que no tienen relación con el transporte.
¿Qué significa problema de transporte? En la figura 10-1 se muestra una situación típica. Supóngase que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta tiene una capacidad limitada y cada almacén tiene una demanda máxima. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero el costo de transporte varía con las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte.
Los problemas de asignación en realidad son un caso especial del problema de transporte. Aquí sólo puede mandarse una unidad de cada origen a cada destino. En efecto, cada origen se "asigna" a un destino. Los problemas pequeños de este tipo pueden resolverse con sólo enumerando todas las posibilidades y escogiendo la menos costosa. En problemas más grandes puede utilizarse el método del transporte o el método de asignación, que todavía es más sencillo. Ambos tienen amplias aplicaciones en los negocios debido a que, como se verá, tratan directamente con las tareas de organización del trabajo y la distribución de los bienes.
2.4.1Características de un problema de transporte La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura "de-hacia": de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles.
Puede formularse un problema de transporte como un problema de PL y aplicarse el método símplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienen características matemáticas únicas. Para visualizar esto, escríbanse las relaciones de PL para el ejemplo de la figura 10-1
.
Representa 
la cantidad que se manda de la fábrica al destino En forma análoga, 
es el costo de mandar una unidad de
Si hacia 
El objetivo es minimizar los costos totales de transporte. La función objetivo de PL es, entonces, minimizar la suma de los costos de transporte para las 12 rutas. Las restricciones van de la capacidad limitada de cada planta a la demanda de cada almacén. Esto significa que la cantidad total que se manda desde la fábrica 
debe ser igual que su capacidad 
Análogamente, se debe satisfacer la demanda de cada almacén. ¿Qué tiene esto de especial? Nótense los coeficientes en cada restricción; todos son 1 o cero (para las variables que no aparecen). Esto siempre es cierto para un problema de transporte. Otra característica es que si se suman las constantes del lado derecho para los orígenes el total es el mismo que al sumar las de los destinos (). Lo que resulta es que, debido a estas características únicas, es posible que haya un método más sencillo de solución, a saber, el método del transporte.
Es necesario examinar otra característica de la formulación de PL. Se tiene un total de siete restricciones: una para cada origen y cada destino. Sin embargo, una de ellas es redundante. Realmente se necesitan sólo seis restricciones. La razón es que se sabe que la cantidad total que se manda desde todas las fábricas debe ser igual que la cantidad total que se recibe en todos los almacenes. Supóngase que se omite la restricción del cuarto almacén. Al resolver el problema se sabe cuánto se mandó de cada fábrica a los tres primeros almacenes y la cantidad total que se mandó desde las fábricas. Se sabrá entonces que la diferencia entre estas dos cantidades se tuvo que mandar al cuarto almacén.
Esto lleva a la regla general de que el número de restricciones independientes siempre será una menos que la suma del número de orígenes y el número de destinos. Recuérdese que para cualquier problema de PL el número de variables en la solución final no puede exceder el número de restricciones independientes. Esta regla es muy importante al resolver problemas con el método del transporte.
2.4.2 Solución de un problema de transporte El método del transporte en realidad no es un método, sino varios. Sin embargo, existe una estrategia general. Primero, se construye una matriz de transporte y después se encuentra una solución inicial. Esta solución inicial puede ser óptima o no.
La única manera de saberlo es probándolo y existen varias técnicas para hacerlo. Si la solución no es óptima, se revisa y la prueba se repite. En cada iteración la solución estará más cerca del óptimo.
Se examina esta estrategia por partes, una a la vez, comenzando con la matriz de transporte.
2.4.3Construcción de la matriz de transporte En la tabla 10-1 se muestra la forma general de una matriz de transporte, A cada origen corresponde un renglón y a cada destino una columna. La capacidad de cada origen se muestra al final del renglón y la demanda de cada destino se escribe abajo de la columna correspondiente. Estas capacidades y demandas se conocen como condiciones de frontera.
2.4.4Ejercicios Propuestos (Problemas de Transporte)
46- Una empresa posee 3 almacenes con las siguientes cantidades de un producto homogéneo:
A: 150 unid, B: 40 unid y C: 80 unid para un total de 270 unid. Además se conoce de 4 establecimientos que demandan las siguientes cantidades de esos productos:
Establecimiento #1: 90 unid, Establecimiento #2: 70 unid, Establecimiento #3: 50 unid, Establecimiento #4: 60 unid, para un total de 270 unid.
Los costos unitarios de transportar el producto aparecen en la siguiente tabla:
cij : centavos.
La empresa desea que usted la asesore en la forma de distribuir los productos, es decir seleccionar las cantidades que deben ser transportadas para cada destino o unidad y que el costo de transportación sea mínimo.
47. Una empresa que opera tres fábricas, abastece a cuatro clientes de un producto homogéneo. Para el próximo año la, tabla que sigue muestra las cantidades que habrán de producirse en cada fábrica, las necesidades de los clientes y los costos de transporte de cada fábrica a cada cliente por unidad de embarque. Se desea hallar el plan óptimo de distribución que minimice el costo de transporte.
48. La empresa de línea Mambisa posee 20 barcos de pequeño calado andando en tres puertos del país, teniendo 10 barcos en Ciudad habana, 5 en Santiago de Cuba y 5 en Cienfuegos. Se le comunica que deben situar para transporte de mercancía, 8 barcos en Baracoa, 7 en Guantánamo, 3 en Bahía de Nipe y 2 en la Isla de la Juventud. La Empresa desea distribuir sus naves de forma que el gasto total de combustible sea mínimo.
La tabla de costo por viajes es la siguiente:
49. Se quiere darle publicidad a un determinado producto por parte de la radio, la prensa y la TV. Esta publicidad se hace mediante cuatro orígenes hacia cuatro destinos, el número de inscriptores del periódico Granma Internacional es de 35000 y de 30000 al Juventud Rebelde Internacional. El número de oyentes de Radio Habana Cuba es de 20000 y de TV. Cubana Internacional es de 80000.
La demanda de los grupos de mercado es el siguiente: de 17-24 años 40000, de 25-45 años 55000, de 46-65 años 50000, de 65 y más 20000.
Los costos de publicidad del producto por cada 1000 personas están en la siguiente tabla:
a) La empresa desea minimizar los costos de transportación 50. En la siguiente tabla se dan las capacidades de tres fábricas junto a las demandas de cuatro almacenes y los costos unitarios de transporte. Se quiere minimizar el costo total de transportación de los productos desde las fábricas hasta los almacenes.
51. La dependencia central del Mincin Las Tunas cuenta con dos almacenes fundamentales para la conservación de la canasta básica para los municipios Manatí, Puerto Padre, Jesús Menéndez y el municipio cabecera. Estos Almacenes cuentan con una capacidad de 1200t y 1500t de productos alimenticios. La demanda de cada municipio es de 500t, 900t, 400t y 900t respectivamente. Los costos unitarios de conservación por unidad de producto son los siguientes: Desde el almacén número uno hasta los diferentes destinos son de $0.70, 0.75, 0.92 y 0.25 respectivamente. Desde el segundo almacén $0.68, 0.75, 0.93y 0.30 respectivamente. 51.1 Plantee el modelo matemático que minimice los costos.
52. Se desea minimizar los costos de transportación provenientes del almacén del Central Majibacoa hasta las distintas áreas cañeras, el central cuenta con seis áreas cañeras que demandan diariamente 500Kgs, 600, 800, 600,900 y 700Kgs de alimentos, para ello el almacén tiene capacidad para 10000Kgs diariamente. Los costos unitarios de transportación por unidad de producto alimenticio son de $0.23, 0.36, 0.45, 0.87, 0.32 y 0.45 respectivamente.
52.1 Plantee el modelo matemático que minimice los costos.
53. La Empresa Vascal perteneciente al municipio Las Tunas posee 3 almacenes centrales y suministran sus productos a la región norte, centro y sur del territorio. Estos almacenes tienen una capacidad de conservación de 1000t, 4000 y 7000t respectivamente, las tres regiones se abastecen de 4000t cada una para suplir sus necesidades básicas .Los costos unitarios de transportación son desde el almacén 1 hasta los distintos destinos de $1.25, 1.05 y $ 2.00 respectivamente, desde el almacén 2 hasta los distintos destinos de $1.30, 1.23 y $2.05, desde el almacén 3 hasta los distintos destinos de $1.40, 2.15 y $ 3.10 respectivamente.
53.1 Plantee el modelo matemático que minimice los costos.
El presente Laboratorio de ejercicios tuvo como objetivo de que el mismo sirva de material docente a la asignatura Investigación de Operaciones I, la cual sirve para impartir en las especialidades de Ciencias Económicas en nuestras Universidades. Con el propósito de seleccionar y ordenar los temas, se ha tratado que en la presentación de los mismos prevalezca la sencillez en las explicaciones, las cuales van acompañadas de numerosos ejemplos. El contenido de este texto abarca las materias que componen la Investigación de Operaciones I. El estudio del mismo permitió acometer su aplicación a problemas de índole económica que se manifiestan en la práctica. Es de vital importancia en los momentos actuales para los profesionales que desempeñan su labor en el campo de la economía dominar los métodos matemáticos cuantitativos qué permiten la optimización de los problemas económicos. Consideramos que con los nuevos retos, motivados por el desarrollo de la Universalización de la enseñanza el presente material constituye una contribución al fortalecimiento del proceso de enseñanza aprendizaje.
Colectivo de autores del Dpto. modelación económica. Programación Matemática I Editorial ENPES. Ciudad de la Habana.1985.
Rodríguez. R y otros. Programación Matemática tomo I y II. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. 1992.
Felipe. P y Otros .Programación Matemática Tomo I y II. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana .1982.
Gauge y Watson. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en administración. Editorial McGraw- Hill. 1982
Colectivo de Autores. "Introducción a la Investigación de Operaciones 1, Editorial Félix Varela, La Habana, 2005.
Arnold, B., Castillo, E., and Sarabia, J. M., Conditional Specification of Statistical Models, Springer-Verlag, New York, 1999.
Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas, Gazmuri, P. Ediciones Universidad Católica, Santiago, 1995.
En Internet:
[1] http://www.monografias.com/trabajos12/decis/decis.zip. "La toma de decisión y su puesta en práctica".
[2] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/intro.htm. "Teoría de la Decisión".
[3] http://www.e-estrategia.com.ar/ediciones/edicion0031/administracion.asp "La técnica del Árbol para la Toma de Decisiones"
[4] http://www.investigacion-operaciones.com/
Autor:
Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.
Página Web: yuniorandrescastillo.galeon.com
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Twitter: [arroba]yuniorcastillos
Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2014.
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