Las representaciones en didáctica de las matemáticas, por Vicenç Font

Representacionalismo versus no-representacionalismo

La problemática de la representación se puede plantear a diferentes niveles. Por ejemplo, podemos intentar explicar como las teorías científicas sirven para representar parcelas de la experiencia humana y, más en concreto, el papel que juegan las matemáticas para posibilitar esta representación. Ahora bien, en la didáctica de las matemáticas, no se suelen realizar investigaciones de este tipo, sino que mayoritariamente encontramos investigaciones que estudian las representaciones mentales de los alumnos sobre determinados conceptos matemáticos. Estos estudios se plantean la problemática de un sujeto que se representa un objeto matemático y no suelen explicitar el punto de vista epistemológico desde el que se desarrolla la investigación, que mayoritariamente es un punto de vista realista-representacionalista. Por este motivo empezaremos comentando la controversia representacionalismo versus no-representacionalismo. Los conceptos matemáticos se representan en los libros, pizarras, etc. por sistemas matemáticos de signos. Estos signos con soporte material forman parte del mundo real; por tanto, la representación mental de estos signos matemáticos se puede considerar como un caso particular de la representación mental de los objetos del mundo real. Con relación a la representación mental del mundo real, existen básicamente dos alternativas: la "representacional" y la "no-representacional". El representacionalismo parte de los siguientes supuestos: 1) Existe un mundo exterior predefinido 2) Nuestra cognición aprehende este mundo, aunque sea en forma parcial; y 3) La manera de conocer este mundo predefinido es representarnos los rasgos más característicos y después actuar sobre la base de dichas representaciones. Estos supuestos epistemológicos del representacionalismo parten de las dualidades interno/externo y realidad/mente, ya que consideran dos mundos diferentes: el mundo real de los objetos exteriores al sujeto y el mundo mental del sujeto. Dicho de otra manera: presupone que las personas tienen una mente en la que se producen procesos mentales, y que los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas. Por representacionalismo entenderemos toda concepción de los contenidos inmanentes1 que los cree, en principio, compatibles con la posibilidad de ser, al menos en ciertos casos, los representantes mentales homeomórficos de las cosas trascendentes. El término "no-representacional" puede tener significados muy diferentes. Aquí lo utilizaremos en sentido amplio, ya que con él nos referiremos a todos los puntos de vista que cuestionan el representacionalimo. Este cuestionamiento puede ir desde: 1) La negación de todo ser trascendente respecto de los contenidos inmanentes de la conciencia, 2) O bien, atenuadamente, el agnosticismo teórico sobre esta trascendencia, 3) O más atenuadamente aún, el agnosticismo sobre la posibilidad que los contenidos inmanentes de la conciencia sean homeomórficos a objetos trascendentes, sin poner en duda la existencia del mundo trascendente. El representacionalismo se suele relacionar con la metáfora del espejo, y el no-representacionalismo con la de la construcción. En la metáfora del espejo se supone que existe una serie de objetos del mundo real que se reflejan en la mente de las personas, mientras que la metáfora de la construcción considera que las personas construimos y modelamos nuestro mundo de experiencias conjuntamente con las otras personas. En la metáfora del espejo, las categorías del mundo real se reflejan en la mente, mientras que en la metáfora de la construcción se considera que nuestro mundo de experiencias no está categorizado de antemano por "la realidad" sino que se categoriza de una forma u otra a medida que las personas hablan, escriben y discuten sobre él.

La representación no puede estudiarse separadamente de la significación. Esta última se suele considerar como una relación ternaria, analizable en tres relaciones binarias, dos directas y una indirecta. El triángulo de Ogden y Richards (1923) ilustra estas relaciones (figura1) Figura 1 Figura 2 En este triángulo se considera que el objeto ? (A) es el "referente" (significatum), la palabra escrita (acústica) reloj (B) el "significante" (signo o símbolo) y el concepto de reloj (C) el "significado" (referencia). La relación entre B y A es indirecta por medio del concepto. Si consideramos que existe un concepto matemático A en algún mundo platónico, el concepto A sería el referente, B el significante matemático y C el concepto matemático individual del sujeto. De momento, tomaremos como referente una clase general de objetos que se pueden considerar exteriores al sujeto y pertenecientes al mundo de las cosas reales, como por ejemplo la clase de los relojes. De esta manera esquivaremos, de momento, el problema de la existencia de los conceptos matemáticos. Este análisis ternario del proceso de significación plantea muchas cuestiones que pueden generar considerables desacuerdos. Por ejemplo: ¿Qué se entiende por significado del concepto C? ¿Se ha de definir el significante B como una entidad física o mental? ¿ Cuál es el estatus psicológico u ontológico del concepto C? ¿El referente A, es un referente particular, es una clase de objetos, o más bien es un representante prototípico de esta clase? ¿El objeto A genera una imagen mental A´? ¿Si la genera, qué diferencia hay entre el objeto A y su imagen mental A´? ¿Qué relación hay entre el concepto C y la imagen mental A´? etc.

La opción epistemológica "representacionalista", presupone que las personas tienen una mente en la que se producen procesos mentales y que los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas. La opción representacionalista presupone que tanto el referente como el significante tienen un equivalente en la mente del sujeto que los utiliza. A partir de este postulado el triángulo de Ogden y Richards se transforma en el pentágono de la figura 2. En este pentágono B´, A´ y C se consideran, en un sentido amplio, representaciones mentales, B se considera una representación externa de A, mientras que A se considera un objeto exterior al sujeto. Desde este punto de vista, la mente se considera como un espejo en el que se reflejan los objetos del mundo exterior, existiendo una relación de tipo especular entre el objeto exterior (B y A) y su representación mental ( B´ y A´). Para Saussure la línea discontinua que une B´ y A´ en la figura 2 es una relación indirecta que depende de la combinación de B' y C en la mente del sujeto: "El signo lingüístico no une una cosa y un nombre, sino un concepto y una imagen acústica (…) Llamamos signo a la combinación del concepto y de la imagen acústica" (Saussure, 1916, págs 110-111 de la edición usada). En la terminología de Saussure, el par B'/C es el signo, B' el significante y C el significado.

Conviene clarificar los diferentes sentidos que implícitamente estamos dando, de momento, al término representación. Por una parte, estamos considerando la representación como un objeto, mental (B´ A´ , C) o real (B); y, por otra parte, la estamos considerando como un proceso de exposición de un cierto objeto con la ayuda de otro objeto, es decir, como una relación entre dos objetos. Esta relación puede darse entre objetos del mismo mundo -por ejemplo cuando consideramos que B representa A (objetos del mundo exterior) o que B´ representa A´ (objetos mentales) – o entre mundos diferentes, cuando consideramos que A´(objeto mental) representa A (objeto exterior). Estas dos maneras de entender el proceso de representación tienen una carga ontológica muy diferente. La relación entre objetos del mismo mundo (relación horizontal) es una manera débil y bastante admitida de considerar la representación, ya que se refiere a todo aquello que se puede interpretar a propósito de otra cosa. Este es el concepto de representación como "interpretación", pues nada es a propósito de otra cosa si no la interpreta en cierta manera. La relación entre objetos de mundos diferentes (relación vertical) es una manera mucho más fuerte de entender la representación, ya que presupone una realidad exterior y su correspondiente imagen mental, así como una determinada manera de entender la percepción, el lenguaje y la cognición. La versión débil de representación (relación entre objetos del mismo mundo) es aceptada tanto por los representacionalistas como por los no-representacionalistas. Con relación a la versión fuerte (relación homeomórfica entre objetos de mundos diferentes) el no-representacionalismo se muestra, como mínimo, agnóstico, mientras que para el realismo representacional es la hipótesis básica.

Intersubjetividad

La versión "fuerte" de representación -relación homeomórfica entre objetos de mundos diferentes- es problemática y tiene como trasfondo una reflexión filosófica centrada en la relación sujeto-objeto. La superación de la reflexión focalizada en la relación sujeto-objeto se ha conseguido en la filosofía actual por medio de la "intersubjetividad" cuya irrupción progresiva en la filosofía actual se ha producido a partir de les últimas obras de Husserl (1954), el segundo2 Wittgenstein (1953), la fenomenología social (Schutz 1932), la sociología del conocimiento (Berger y Luckmann 1966), la teoría de la acción comunicativa de Habermas (1981), los paradigmas de Kuhn (1962) etc. Podemos decir que la intersubjetividad, tanto para la fenomenología como para la hermenéutica, que tienen sus orígenes en Husserl y Heidegger, como para la filosofía lingüística y la teoría de la ciencia, que tiene sus orígenes en el segundo Wittgenstein, es una noción clave. Pero también lo es para la dialéctica y la filosofía de la práctica, que tiene sus orígenes en el marxismo.

Los puntos de vista filosóficos que tienen como trasfondo el concepto de intersubjetividad entienden las matemáticas como una producción realizada socialmente y no necesitan postular ningún mundo trascendente para explicar la existencia de los objetos matemáticos, ya que puede explicar la construcción de los objetos matemáticos a partir del mundo de la vida y a partir de la intersubjetividad. Entre los enfoques que ofrecen una visión social de las matemáticas destaca el "constructivismo social". Ernest (1998) explica la actividad matemática a partir del constructivismo social. Este punto de vista filosófico aplicado a las matemáticas se basa en: 1) La lógica del descubrimiento matemático propuesta por Lakatos (1976) basada en la prueba y la refutación. Aunque no queda suficientemente explícito en las "Pruebas y Refutaciones" de Lakatos (1976) que este autor considere que las matemáticas proceden por negociación, o que la heurística sea la esencia de las matemáticas en lugar de los resultados, el constructivismo social así lo ha considerado y ha interpretado que Lakatos propone una visión de las matemáticas basada en la negociación y la aceptación. 2) Los trabajos de Wittgenstein (1953 y 1978). Su crítica al análisis referencial del significado permitió reconocer las bases subjetivas y sociales de la certeza que se obtiene al seguir una regla matemática o lógica, porque la certeza y la necesidad de las matemáticas derivan de la aceptación de unas "reglas de juego" que se encuentran en una "forma de vida" socialmente preexistente. 3) La interpretación de la objetividad como intersubjetividad. El conocimiento objetivo se entiende como un conocimiento social, cultural, público y colectivo y no como un conocimiento personal, privado o construcción individual ni tampoco como un conocimiento externo, absoluto o trascendente. Dicho de otra manera, no se considera que la intervención constitutiva del sujeto en el acto de conocimiento lleve a verdades necesarias ni que la objetividad dependa de la adecuación del conocimiento a un mundo trascendente.

4) La interpretación de las matemáticas como algo básicamente conversacional. El constructivismo social entiende las matemáticas como algo básicamente lingüístico, textual y semiótico, pero inmerso en el mundo social de la interacción humana.

La "intersubjetividad" es el trasfondo filosófico que permite defender posiciones no-representacionalistas en relación con los objetos matemáticos. Los puntos de vista no-representacionalistas permiten considerar una solución al problema de la existencia de los objetos matemáticos del siguiente tipo: los objetos matemáticos personales de un sujeto serían construcciones mentales (dominio de lo personal) que pueden ser materializadas en sistemas de signos (experiencias materiales de las personas que pertenecen al dominio de lo público) y que, por medio de la intersubjetividad, se presentan objetivamente en el mundo de la vida.

En este trabajo consideraremos como posiciones no-representacionalistas en sentido amplio a todas aquellas que postulan un solo mundo de experiencias fenoménicas, aunque lo consideren dividido en diferentes esferas. Desde este punto de vista serían no-representacionalistas, por ejemplo, la propuesta de un único mundo formulada por Puig (1997) "Las matemáticas están, por tanto, en el mismo mundo de fenómenos que organizan: no hay dos mundos sino uno que crece con cada producto de la actividad matemática. Los fenómenos que organizan los conceptos matemáticos son los fenómenos de ese mundo que contiene los productos de la cognición humana y en particular los productos de la propia actividad matemática." (Puig 1997, pág. 67). Así como las propuestas del constructivismo radical "en cambio, los mundos físicos y subjetivos se piensan mejor como dominios diferentes de la experiencia" (Kaput 1991, pág. 59). O la propuesta fenomenológica de Viggiani-Bicudo (1998) "Les entidades matemáticas, de acuerdo con el punto de vista fenomenológico, son objetos ideales. Se constituyen por medio de la intuición esencial o eidética. Ahora bien, esta idealidad excede esta esfera y, por medio de la intersubjetividad, se presentan objetivamente en el mundo de la vida, y así se presentan a la conciencia" (Viggiani-Bicudo, 1998, pág. 481) En cambio, consideramos como realista representacional la propuesta de Vergnaud (1990): "(…) La solución epistemológica es, en principio, bastante simple: la construcción del conocimiento consiste en la progresiva construcción de representaciones mentales, implícitas o explícitas, que son isomórficas a la realidad para algunos aspectos y no lo son para otros." Vergnaud (1990, pág. 22).

Desde el punto de vista no-representacionalista, todos los procesos de representación actúan sobre experiencias de las personas, y por representación se entiende cualquier experiencia, material o mental, X que representa a otra experiencia Y, material o mental (versión débil de la representación). Si consideramos esta versión débil de la representación como un proceso (el verbo representar), se puede considerar una función en la que las antiimágenes (el dominio) pueden ser una experiencia cualquiera de las personas: un objeto material, una palabra, una gráfica, una fórmula o un dibujo escritos en un papel, un texto escrito, etc. (esfera de lo público) o bien cualquier objeto concreto, palabra, gráfica, fórmula, dibujo, texto etc. pensado o imaginado (esfera de lo privado). Igualmente, el recorrido puede estar formado por: una palabra, una gráfica, una fórmula o por dibujos escritos en un papel, un texto escrito (esfera de lo público) o bien por cualquier objeto concreto, palabra, gráfica, fórmula, dibujo, texto etc. pensado o imaginado (esfera de lo privado). Si consideramos la representación como un objeto (el resultado del proceso), éste será una experiencia formada por una expresión que se presenta propiamente a la conciencia y por un contenido, que en muchos casos está presente solamente de manera indirecta. Si la expresión forma parte de la esfera de lo material, hablaremos de representaciones públicas (o externas, si por externa entendemos que forma parte de la esfera de lo público), mientras que si forma parte de la esfera de lo mental, hablaremos de representaciones privadas (o internas, si por interna entendemos no-pública). El punto de vista que considera la representación como una relación entre experiencias de las personas (físicas o mentales) lo podemos encontrar en la didáctica de las matemáticas en los trabajos de Kaput (1991) y Brown (1996 y 1997).

Las representaciones mentales en la psicología cognitiva

Mientras que el no-representacionalismo pone entre paréntesis la versión fuerte de la representación (relación homeomórfica entre objetos de mundos diferentes), la ciencia cognitiva postula que la mente opera con representaciones mentales, algunas de las cuales son representaciones homeomórficas de objetos exteriores4. De acuerdo con este punto de vista, las personas tendríamos un conjunto (probablemente infinito) de representaciones mentales que se pueden agrupar en tres tipos: 1) Las que la persona considera externas (las representaciones internas que son el resultado de la codificación de estímulos externos), 2) Las propiamente internas y 3) Las representaciones internas que sirven para realizar representaciones consideradas externas (representaciones internas que se pueden descodificar produciendo respuestas en el medio exterior). Los estímulos externos producen las representaciones ostensivas, que son las que consideramos como representaciones externas. En estas representaciones, además de los estímulos externos, influye el marco cognitivo de la persona formado por representaciones propiamente internas. La persona puede combinar representaciones internas con representaciones activadas por estímulos exteriores produciendo así una representación que se puede descodificar produciendo respuestas en el medio exterior, las cuales producen estímulos externos.

Si consideramos la clasificación anterior en un contexto social, tenemos que el primer tipo de representación y el tercer tipo son socialmente compartibles. Por ejemplo, un profesor, siguiendo una representación del tercer tipo, dibuja en la pizarra una tabla de una función y el alumno genera una representación del primer tipo. Cuando decimos que estas representaciones mentales son socialmente compartibles, queremos decir que el profesorado y el alumnado dialogan sobre ellas como si fuesen exteriores. Muchos autores hacen referencia a las representaciones del tipo 1 y 3 como "significante", y al conjunto de conexiones que el alumno puede establecer con otras representaciones del tipo 2 como "significado".

A partir de estos supuestos epistemológicos, la psicología cognitiva ha estudiado cuáles son estas representaciones mentales y muy especialmente, como se almacenan en la memoria secundaria (a largo plazo) las representaciones del tipo dos (las propiamente internas). A diferencia del conductismo que, al menos en su versión más radical, era un programa de investigación antimentalista, que se centraba especialmente en el estudio del aprendizaje, mediante teorías basadas en el análisis de los estímulos y las respuestas (representaciones del tipo 1 y 3), la psicología cognitiva, y más concretamente el programa de investigación que recibe el nombre de "procesamiento de la información", en la medida en que se ocupa del estudio de las representaciones mentales, ha generado "teorías de la memoria" (representaciones del tipo 2). La tesis básica de la psicología cognitiva es que la cognición consiste en la manipulación de representaciones (símbolos que se refieren a algo). Las representaciones de tipo 2 (las propiamente internas) se consideran símbolos con una cierta corporeidad5 (palabras pensadas, evocación de objetos, imágenes mentales, etc.), que representan algo. La psicología cognitiva no dice que si abrimos la cabeza de una persona y le observamos el cerebro encontraremos pequeños símbolos, sino que postula un nivel simbólico para la cognición, aunque acepta que estos símbolos son emergentes de la actividad cerebral. Dicho de otra manera, la psicología cognitiva supone un nivel neurobiológico (1º nivel) del cual emergen los símbolos (2º nivel), los cuales, a su vez, representan algo (3º nivel).

Con relación a los símbolos mentales, los psicólogos cognitivistas mantienen una larga polémica que ha generado una abundante literatura a favor y en contra. En Johnson-Laird (1987), Pylyshyn (1983) y Anderson (1983) se puede encontrar una exposición de esta controversia. Hay psicólogos que creen que en la memoria a largo plazo existen imágenes espaciales, mientras que otros se sitúan en el extremo contrario y niegan que tales imágenes mentales se guarden en la memoria en un formato figurativo diferente del formato proposicional, porque consideran que la imagen no está archivada como tal en la memoria, sino que se produce cuando se recupera y se codifica en formato gráfico, el formato proposicional guardado en la memoria. Esta polémica tiene su raíz en el hecho que la imagen mental es una representación mental del objeto, mientras que las proposiciones son representaciones mentales que nos permiten decir cosas del objeto. El hecho que la imagen mental nos dé un conocimiento "de…" y que las proposiciones nos den un conocimiento "que…" ponen de manifiesto que estamos considerando dos tipos de representaciones distintas, y parece lógico suponer que se almacenan en la memoria en dos formatos diferentes (lingüístico y figurativo). Los psicólogos cognitivos han estudiado de manera más completa la representación proposicional que las imágenes mentales.

El "procesamiento de la información" es un programa de investigación que se basa en la aceptación de la analogía entre el funcionamiento de la mente humana y el funcionamiento de un computador6, y se ha centrado, fundamentalmente, en el estudio de la memoria. Concretamente, analiza como se organiza nuestra representación proposicional en la memoria a largo plazo. Para realizar este estudio se han propuesto dos representaciones hipotéticas sobre la manera de organizar en la memoria nuestro conocimiento proposicional: las redes semánticas y la teoría de los esquemas. Las redes semánticas son representaciones hipotéticas de nuestras estructuras de conocimiento que permiten explicar las reglas de uso de los conceptos y las relaciones entre ellas. Por esto son útiles para estudiar al mismo tiempo los procedimientos y sus principios subyacentes. Los nódulos y las relaciones son las partes fundamentales de la red, la cual puede contener muchas afirmaciones, cada una de ellas en la forma nódulorelaciónnódulo. Actualmente se ha pasado de las redes a unidades de conocimiento más extensas: los esquemas, que han tenido una notable aceptación y han sido usados en diversas áreas de investigación, pero el prototipo entre las diversas teorías de los esquemas es la teoría proposicional desarrollada por Norman, Rumelhart y sus colaboradores, la cual permite explicar al mismo tiempo el "saber qué" y el "saber cómo".

El marco de referencia psicopedagógica de la enseñanza no universitaria del estado español es un conjunto de teorías y explicaciones que, si bien mantienen entre sí discrepancias importantes en numerosos puntos, participan de una serie de principios comunes o, al menos, no contradictorios. Este marco de referencia según Coll (1989) está delimitado por lo que podemos denominar enfoques cognitivos en un sentido amplio: a) La teoría genética de J. Piaget y de sus colaboradores de la Escuela de Ginebra, b) La teoría de la actividad en las formulaciones de Vygotsky, Luria, Leontiev, y en sus desarrollos posteriores (Wertsch, Forman, Cazden, etc.), c) La teoría del aprendizaje verbal significativo de D. Ausubel y su prolongación en la teoría de la asimilación de R.E. Mayer, d) La teoría del procesamiento de la información (teoría de los esquemas) i e) La teoría de la elaboración de M. A. Merrill y Ch. M. Reigeluth. A partir de estos enfoques, se ha formulado la propuesta constructivista que inspira la enseñanza no universitaria. El constructivismo considera la estructura cognitiva del alumno como un conjunto de esquemas, los cuales son modificados de acuerdo con la teoría de la equilibración de Piaget. Para los psicólogos constructivistas, un esquema es la representación que posee una persona en un momento determinado de su historia sobre una parcela de la realidad (Coll 1983). Pero ¿cuáles son los elementos que incluyen estos esquemas? Por ejemplo, para Miras (1993) son los siguientes: conceptos, procedimientos, hechos, explicaciones, normas, actitudes y experiencias personales. Si bien no se dice explícitamente que las imágenes mentales y la evocación de experiencias no forman parte de los esquemas, tampoco se hace referencia explícita a ellos como elementos integrantes del esquema.

Si bien a la mayoría de las personas les parece bastante evidente que para contestar ciertas preguntas, especialmente aquellas que implican espacio y tiempo, se ha de usar algún tipo de imagen que tenemos archivada en la memoria, hay pocos estudios sobre el formato en el que se guardan las representaciones visuales en la memoria a largo plazo. Hay psicólogos que creen en la existencia en la memoria a largo plazo de imágenes espaciales que contienen información rica y densa, dispuesta de manera bi o tridimensional y que puede ser inspeccionada por un mecanismo perceptivo interno que extrae información para ofrecerla al "ojo mental". En cambio, otros se sitúan en el extremo contrario y niegan que tales imágenes mentales estén guardadas en la memoria en un formato figurativo diferente del formato proposicional, porque consideran que la imagen no está archivada en la memoria a largo plazo como tal, sino que se produce al recuperar, y codificar en formato gráfico, el formato proposicional guardado en la memoria. La polémica no es si existe la capacidad para formar y utilizar imágenes mentales, sino si hay un formato específico de tipo figurativo, diferente del formato proposicional, que sirve para guardar en la memoria a largo plazo las imágenes mentales; así como tampoco se discute la existencia de imágenes mentales en la memoria sensorial inmediata. Dicho en otros términos: la polémica es si existe la "imagen mental cosa" archivada en la memoria a largo plazo como una fotografía o un dibujo y no si existe la función que permite formar imágenes mentales. Otra manera de formular la polémica sería la siguiente: ¿Conviene ampliar el contenido de los esquemas archivados en la memoria a largo plazo con un conjunto de imágenes mentales engarzadas al esquema? O bien ¿Basta considerar que los esquemas de formato proposicional permiten crear imágenes mentales, y también recordar experiencias en formato espacial y no sólo descripciones verbales de estas experiencias?

Si bien la mayoría de las personas cree que tiene imágenes mentales, es difícil decir con exactitud qué son. Consideremos el caso de la imagen mental de triángulo. Podemos distinguir un primer nivel que es el dibujo de un triángulo en un libro que estamos mirando. Un segundo nivel es el recuerdo del dibujo del triángulo que hemos visto anteriormente en una página de un libro. En este caso creo que puedo ver el triángulo y estoy seguro, por ejemplo, que es rectángulo. Un tercer nivel sería considerar la imagen de un triángulo que no sea el recuerdo directo de una experiencia anterior, es decir que intentemos imaginar un triángulo en una hoja en blanco. En este caso la imagen ha de ser la de un triángulo concreto, por ejemplo con base horizontal. Un cuarto nivel sería la posibilidad de tener la imagen mental de un triángulo general, una especie de imagenplantilla que sirviese para cualquier triángulo, es decir, una especie de clase de equivalencia de todas las figuras del nivel anterior. Es evidente que el primer nivel, la percepción directa de un triángulo no es lo que normalmente se entiende por imagen mental, mientras que el cuarto nivel resulta difícil de diferenciar del concepto de triángulo y de la capacidad para determinar qué figura es o no es un triángulo. Por lo tanto, los ejemplos paradigmáticos de imágenes mentales de triángulo son el nivel dos y tres, mientras que el primer y el cuarto estarían en la frontera de lo que se puede considerar una imagen mental. El primero porque, al ser un percepto, se puede considerar como la "cosa en mi" que, al ser inmanente, se podría llamar imagen, y el cuarto porque resulta difícil de diferenciar del concepto de triángulo. Por lo tanto, si nos limitamos a los ejemplos paradigmáticos (niveles 2 y 3), no podemos hablar con propiedad de la imagen mental de triángulo sino de un conjunto de imágenes mentales de triángulos: rectángulos, escalenos, de base horizontal, equiláteros, etc. relacionadas entre sí.

La psicología cognitiva utiliza básicamente tres criterios para decidirse por una de las dos opciones siguientes: 1) La información se almacena en la memoria a largo plazo en formato proposicional y 2) Existe un código de representación en la memoria a largo plazo de tipo dual, que implica representaciones de tipo gráfico, juntamente con otras en formato proposicional, en igualdad de condiciones. El primer criterio es que el constructo teórico ha de servir para explicar las entradas y salidas de la facultad cognitiva estudiada, es decir, ha de explicar las conductas de las personas. Este primer criterio es demasiado tosco para inclinarnos a favor de alguna de las dos opciones anteriores, porque ambas explican la función imaginativa de las personas. El segundo, exige que los constructos sean coherentes con las capacidades del sistema nervioso del individuo, pero no es muy útil en este caso porque el sistema nervioso tiene la capacidad de formar conceptos e imágenes. El tercer criterio es un refinamiento del primero; consiste en considerar que si dos constructos explican la misma conducta, pero uno la explica, por ejemplo, con dos procedimientos, y el otro solamente con uno, podemos esperar que en igualdad de todas las otras condiciones, los dos procedimientos tarden más en dar una respuesta. Por lo tanto, un estudio de los tiempos que tardan las personas en responder nos permitirá decidirnos por uno de los dos constructos. Los estudios experimentales basados en el tercer criterio no permiten decidirse claramente por ninguna de las dos alternativas anteriores, por lo que la discusión sobre el formato en el que se archiva en la memoria a largo plazo la información, continúa abierta entre los psicólogos cognitivos. Por lo tanto, en principio se pueden formular, como mínimo, dos propuestas de esquema diferentes. La primera corresponde a aquellos que consideran que un esquema contiene: conceptos, procedimientos, hechos, explicaciones, normas, actitudes y experiencias personales en formato proposicional y se abstienen de considerar que el esquema incorpore imágenes mentales o recuerdos en formato visual. La segunda, corresponde a aquellos que postulan que los esquemas, además de conceptos, procedimientos, hechos, explicaciones, normas, actitudes y experiencias personales, contienen imágenes mentales y recuerdos en formato gráfico. Podríamos decir que la primera opción peca de prudente, y la segunda de atrevida, al postular la existencia de imágenes mentales en la memoria a largo plazo.

Actualmente el papel que juegan las imágenes visuales y la capacidad de visualización en la comprensión de los contenidos matemáticos ha sido objeto de estudio por parte de investigadores procedentes tanto del campo de la psicología como del campo de la didáctica de las matemáticas (Bishop 1996; Bosch 1994; Castro y Castro 1997; Davis 1993; Dreyfus 1994; Fischbein 1993; Gorgorió y Jones 1997; Gray y Tall 1994; Guzmán 1996; Presmeg 1986 y1999; Tall 1996 y 1998; Zimmermann y Cunningham 1991). Estos estudios se han realizado desde marcos teóricos diferentes y en algunos casos enfrentados.

Las representaciones en la didáctica de las matemáticas

Hasta ahora hemos utilizado el término "representación" con dos sentidos diferentes. Por una parte hemos considerado la representación como un objeto y, por otra, como una relación. También hemos visto, en la controversia representacionalismo versus no-representacionalismo, como esta relación se puede entender de diferentes maneras, desde una relación homeomórfica entre objetos de dos mundos diferentes (versión fuerte) hasta una relación entre objetos del mismo mundo (versión débil). A continuación analizaremos diferentes maneras de entender las representaciones en la didáctica de las matemáticas.

Para la psicología cognitiva, la cognición consiste en la manipulación mental de representaciones (símbolos que se refieren a "algo"). Los símbolos mentales se consideran con una cierta corporeidad (palabras pensadas, evocación de objetos, etc.). Los objetos representados por los símbolos mentales pueden ser objetos no-ostensivos (conceptos, ideas, etc.) y objetos ostensivos (con soporte material, intersubjetivos en el sentido que se pueden mostrar a otro). Los objetos ostensivos que forman parte de las experiencias materiales de las personas, de acuerdo con el punto de vista realista representacionalista, se consideran perceptos (representaciones personales de objetos reales exteriores al sujeto). Los no-ostensivos se consideran como objetos personales del sujeto. En el proceso de instrucción se pretende que estos no-ostensivos personales se correspondan con unos no-ostensivos objetivos, lo cual plantea el problema de la naturaleza de estos no-ostensivos objetivos, ya que si no tenemos una idea clara de lo que son los objetos matemáticos, difícilmente podremos evaluar si una persona los ha aprendido. Con relación a la naturaleza de estos no-ostensivos objetivos hay básicamente dos posiciones: 1) Considerarlos objetos con una existencia independiente de las personas y 2) Considerarlos objetos institucionales, que son el resultado de una construcción social. En el primer grupo incluimos tanto el platonismo como el Mundo 3 de Popper (1972), el cual consiste en admitir la existencia de un conocimiento sin sujeto cognoscente. En el segundo grupo, los no-ostensivos objetivos son considerados emergentes de las prácticas realizadas en una institución.

Estas diferentes clases de objetos se pueden dividir en dos mundos: 1) El de las experiencias posibles de las personas donde se sitúan los ostensivos, los símbolos mentales, los objetos no ostensivos personales y los institucionales que de ellos emergen, y 2) El mundo objetivo hipotético donde hay que situar los objetos reales y los no-ostensivos objetivos que existen con independencia de las personas. Cada uno de estos dos mundos se puede dividir en dos esferas. El mundo de las experiencias del sujeto se puede dividir en la esfera de lo material y la de lo mental, mientras que el mundo objetivo se puede dividir en realidad e ideas platónicas (conocimiento objetivo). Según cual de estas esferas eliminemos, según cual enfaticemos y según como las combinemos, tendremos opciones epistemológicas muy diferentes. Estos dos mundos y las diferentes esferas se pueden ilustrar con el siguiente esquema:

Figura 3

En la mayoría de investigaciones sobre las representaciones en didáctica de las matemáticas no se distingue entre los niveles 1 y 2, y se considera que los objetos ostensivos (nivel 2) son las representaciones externas y también se considera que los niveles 3 y 4 son las representaciones internas. Las representaciones externas podemos clasificarlas en dos grandes grupos: las digitales, discretas, de carácter alfanumérico, la sintaxis de las cuales viene descrita por una serie de reglas de procedimiento, y las representaciones analógicas, continuas, de tipo gráfico o figurativo, la sintaxis de las cuales viene dada por reglas de composición y convenios de interpretación. Según cómo nos posicionemos en la polémica que mantienen los psicólogos cognitivos con relación al tipo de formato en que son archivadas las representaciones internas en la memoria a largo plazo, la clasificación anterior se puede ampliar a estas últimas.

Muchas investigaciones han tenido (y tienen) por objetivo el estudio de estas representaciones internas porque consideran que la comprensión de los alumnos está relacionada con el incremento en el número de conexiones entre diferentes tipos de representaciones internas, lo cual se puede conseguir estableciendo conexiones y traducciones entre diferentes tipos de representaciones externas. Aunque el objetivo de las investigaciones sean las representaciones mentales de los alumnos, estas no se pueden considerar separadamente de las representaciones externas, ya que los dos tipos de representaciones se influyen mutuamente en la actividad de cognición. Algunas de estas investigaciones solamente hacen un análisis sincrónico de las representaciones mentales de los alumnos; otras más interesantes llegan a estudiar la evolución diacrónica de las representaciones mentales de los alumnos como consecuencia de la instrucción.

En el campo de la investigación en didáctica de las matemáticas se han realizado muchas investigaciones para precisar el término "representación" y para estudiar el papel que juegan las diferentes representaciones en el proceso de comprensión de los contenidos matemáticos (Brown 1996 y 1997; Kaput 1987, 1991 y 1992; Janvier 1987; Duval 1995; Romero y Rico 1999). La mayoría están de acuerdo en que la naturaleza de las representaciones matemáticas ostensivas influye en el tipo de comprensión que genera el alumno, y, recíprocamente, el tipo de comprensión que tiene el alumno determina el tipo de representación ostensiva que puede generar o utilizar. La terminología que normalmente se usa en este tipo de investigación proviene de la lingüística, de la fenomenología y de la semiótica. En la terminología que ha generado la lingüística, las representaciones serían los significantes que están en lugar de los significados, es decir, los sistemas matemáticos de signos que se utilizan para representar los contenidos matemáticos. En semiótica se utilizan los términos "expresión" y "contenido" de un signo (o función semiótica). Cuando una persona interpreta o comprende un signo, actúa el par expresión/contenido, o sea, la expresión remite a un contenido. La función semiótica se puede considerar una función que a una expresión le hace corresponder un contenido.

4.1 Definición e imagen conceptual

Mientras los psicólogos cognitivos discutían cuáles eran los elementos contenidos en los esquemas archivados en la memoria a largo plazo, dentro del campo del pensamiento matemático avanzado se formuló una propuesta de esquema que tiene unas características propias. Vinner (1991) considera que cuando escuchamos o vemos el nombre de un concepto, algo es evocado en nuestra memoria. Aquello que evocamos no es la definición del concepto sino aquello que él y Tall llaman "concept image" (Tall y Vinner 1981). Vinner considera que (Vinner 1991, pág 68). Vinner postula la existencia de dos celdas diferentes en nuestra estructura cognitiva. Una celda es para la definición del concepto y la otra es para la imagen conceptual. Puede haber alguna interacción entre las dos celdas, aunque también se pueden formar de manera independiente.

Vinner considera que a la definición del libro le corresponde una definición personal, mientras que los ejemplos y símbolos del libro generan sus imágenes mentales respectivas. Estas imágenes mentales son consideradas los elementos que forman la imagen conceptual, juntamente con todas las propiedades y procedimientos que caracterizan el concepto (Tall y Vinner 1981). Otra característica es que Vinner (1991) considera dos celdas en nuestra memoria, pero no especifica si se refiere a la memoria a largo plazo. La falta de definición sobre este tema y la manera de considerar la relación entre la definición del concepto y la imagen conceptual nos lleva a considerar que Vinner se interesa básicamente por las relaciones entre ellas cuando se activan para realizar alguna tarea. Otra característica es el papel secundario que juega el contexto. Si bien en la propuesta de imagen conceptual de Vinner se tiene en cuenta la importancia del contexto, porque considera que según el contexto se evoca una parte u otra de la imagen conceptual (Vinner 1991 y Tall y Vinner 1981), este no tiene el papel central que le dan otras propuestas.