Las representaciones en didáctica de las matemáticas, por Vicenç Font (página 2)

La propuesta formulada por Vinner y Tall de distinguir entre la imagen conceptual y la definición del concepto ha tenido una fuerte resonancia entre los investigadores sobre el pensamiento matemático avanzado. Durante los años 80 y 90 se han desarrollado muchas investigaciones que han intentado estudiar la estructura de la imagen conceptual de los alumnos (o de los profesores) para diferentes conceptos. Uno de los proyectos que más ha trabajado en esta dirección ha sido el proyecto "Procesos de pensamiento matemático avanzado" desarrollado por el Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las CCEE de la UAB. Las investigaciones del grupo de la UAB (Azcárate (1990, 1992, 1995, 1997), Delgado (1998), Delgado y Azcárate (1996), Moreno y Azcárate (1997) y Romero (1996)) han desarrollado y enriquecido tanto la manera de entender la imagen conceptual y la definición del concepto, que podriamos decir que su propuesta de "concept image" es considerablemente diferente de la propuesta inicial formulada por Vinner (1991). Las diferencias entre las dos propuestas, a nuestro entender, son básicamente las siguientes: 1) La investigación está centrada sobre el "concept image". El "concept definition", considerado como un concepto institucional previo, es un objeto que no es el foco principal de la investigación, porque aquello que se investiga es la estructura de la imagen conceptual del alumno. 2) El "concept definition" no se considera como una celda en la memoria de las personas diferente de la del "concept image", sino que se considera como el concepto institucional. Cuando se considera la reconstrucción personal de una definición aceptada por la comunidad matemática, ésta es considerada, de hecho, como una parte del "concept image" de la persona. 3) La utilización de la expresión "esquema conceptual" en lugar de la traducción literal "imagen conceptual" es una manera implícita de reconocer que su propuesta, si bien tiene su origen en el "concept image", no es exactamente lo mismo. 4) Una mayor preocupación para clarificar cuales son los componentes de los esquemas conceptuales. El interés por clarificar la estructura de los esquemas conceptuales y los componentes que proponen, se aproxima mucho a la propuesta de esquema que hace la psicología cognitiva. Además, como lo que interesa son los esquemas en acción, la polémica sobre si existe un formato específico de tipo figurativo, diferente del formato proposicional, que sirve para archivar en la memoria a largo plazo las imágenes mentales, pierde virulencia porque: 1) O bien existe la "imagen mental cosa" archivada en la memoria a largo plazo, 2) O bien la información en formato proposicional archivada en la memoria a largo plazo permite generar la imagen mental como un objeto construido y mantenido brevemente en una amplitud de atención limitada, que es percibida como un producto mental que, si se quiere, se puede proyectar, por ejemplo, sobre una hoja de papel. Es decir, si nos proponemos investigar los esquemas en acción no resulta problemático considerar que las imágenes mentales son uno de los elementos que forman los esquemas. 5) Hay una aceptación implícita de la importancia del contexto como resultado de sus investigaciones. Esto es así porque las investigaciones que ha desarrollado este grupo sobre los esquemas conceptuales de los alumnos determinan sus perfiles, que se pueden considerar como diferentes niveles de campos semánticos personales; es decir, como diferentes niveles en la capacidad de utilizar el concepto en diferentes contextos.

La propuesta de esquema conceptual constituye por una parte un intento de desarrollar la noción de "concept image" en la dirección que propone la psicología cognitiva, y por otra parte, es una propuesta en la que el contexto, al menos implícitamente juega cada vez más un papel más importante.

4.2 El punto de vista de Dubinsky, Sfard y Tall

Las representaciones no se pueden considerar desligadas del proceso de abstracción y, más en general, de los procesos cognitivos movilizados por los contenidos matemáticos. Desde esta perspectiva, en el campo del pensamiento matemático avanzado, se han realizado diferentes investigaciones. Dubinsky (1991 y 1996) ha intentado aplicar, después de una revisión, algunas de las ideas de Piaget al pensamiento matemático avanzado. La principal dificultad que ha encontrado en este intento ha sido que la teoría de Piaget tiene su origen en la manipulación de objetos físicos, pero a medida que el nivel matemático aumenta, se hace necesario construir nuevos objetos, no físicos sino mentales, y manipularlos para construir las ideas matemáticas. Dubinsky (1996) considera que un problema importante en la educación matemática consiste en encontrar sustitutos apropiados para los objetos físicos y cree que los ordenadores se pueden utilizar para este propósito.

Dubinsky considera que, para explicar las diferencias en las conductas de los estudiantes, es necesario formular una hipótesis mentalista, ya que considera que para poder explicar y buscar soluciones a estas diferencias, es necesario desarrollar una teoría sobre los procesos mentales, que pueda explicar lo que está ocurriendo en la mente de los estudiantes: "El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder ante situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo y reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar las situaciones" (Dubinsky, 1996, págs. 32-33). La construcción de acciones, procesos y objetos, la ilustra Dubinsky con la siguiente figura (Dubinsky, 1996, pág. 33):

Figura 4

Una acción es una transformación de objetos que el individuo percibe como algo externo. Un individuo que solamente puede entender una transformación como una acción solamente puede realizarla reaccionando a indicaciones externas que le proporcionen detalles precisos sobre los pasos que tiene que hacer. Por ejemplo, un estudiante que no es capaz de interpretar una situación como una función, a no ser que tenga una fórmula para obtener valores, está restringido a un concepto de acción de una función. En este caso, el alumno no puede hacer muchas cosas con esta función, excepto evaluarla en puntos específicos y manipular la fórmula. Las funciones definidas a trozos, las inversas de las funciones, la composición de funciones, los conjuntos de funciones, la función derivada, etc. son fuente de grandes dificultades para estos alumnos porque no pueden ir más allá de una concepción de acción de una función, y todas estas nociones exigen concepciones de proceso y/o objeto (Breidenbach, Dubinsky, Hawks y Nichols 1992).

Cuando una acción se repite y el alumno puede reflexionar sobre ella, puede interiorizarse en un proceso. Es decir, se realiza una construcción interna que ejecuta la misma acción, pero ahora no necesariamente dirigida por un estímulo externo. Un individuo que tiene una concepción de proceso de una transformación puede reflexionar sobre ella, describirla, y hasta puede llegar a invertir los pasos. A diferencia de la acción, el individuo percibe el proceso como algo interno y bajo su control, en lugar de ser una respuesta a indicaciones externas. En el caso de las funciones, una concepción de proceso permite al alumno pensar la función como algo que recibe una entrada, o más, de valores de la variable independiente, que realiza una o más operaciones sobre las entradas y que da los valores de la variable dependiente como resultado. Por ejemplo, para entender la función f(x) = sen x, es necesaria una concepción proceso del concepto de función porque no tenemos instrucciones explícitas de cómo podemos obtener una salida para cada entrada; para hallar imágenes, un alumno ha de pensar en el proceso que asocia a cada número real su seno. Con una concepción proceso del concepto de función, el alumno puede construir una composición o bien invertir el proceso para obtener funciones inversas.

Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo, realiza aquellas transformaciones (sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él y puede construir de hecho estas transformaciones, está pensando en este proceso como un objeto. En este caso se dice que el proceso ha sido encapsulado en un objeto. En el transcurso de la realización de una acción o un proceso sobre un objeto, suele ser necesario desencapsular el objeto y volver al proceso del cual se obtuvo a fin de usar sus propiedades y manipularlo. Un ejemplo de desencapsulación y encapsulación de procesos en objetos es la manipulación de funciones para hallar la suma, producto, etc. En general la encapsulación de procesos en objetos es extremadamente difícil.

Sfard (1991) considera que los conceptos matemáticos pueden considerarse de dos maneras diferentes: estructuralmente (como un objeto) y operacionalmente (como un proceso) Para Sfard, el paso de la concepción operacional a la estructural implica tres fases: interiorización, condensación y cosificación. Esta última fase es lo que Dubinsky (1991 y 1996) y otros investigadores llaman encapsulación.

Tall (1996), para explicar el papel de la visualización y la simbolización como herramientas mediadoras en el proceso de abstracción y, más en general, en los procesos cognitivos movilizados por los objetos matemáticos, profundiza y desarrolla los tres tipos de sistemas de representación propuestos por Bruner. Según Bruner, hay tres tipos de representaciones: 1) La enactiva: es una manera de representar experiencias anteriores mediante una respuesta motriz adecuada, 2) La icónica: consiste en recrear mentalmente una situación anterior: por ejemplo, si en un viaje hemos visitado un lugar que nos ha gustado mucho, podemos recrear sus imágenes y 3) La simbólica: este tipo de representación va ligada a la competencia lingüística y permite representar las situaciones mediante símbolos. Tall (1996) adapta la clasificación de Bruner a las representaciones utilizadas en el cálculo infinitesimal de la manera siguiente: 1) "Representaciones enactivas ": son acciones humanas que dan la sensación de cambio, velocidad o aceleración, 2) "Representaciones numéricas y simbólicas": son representaciones que puede ser manipuladas manualmente o con computadora (incluyendo la posibilidad de ser programadas por los estudiantes), 3) "Representaciones visuales": son las que pueden ser producidas manualmente de manera aproximada o, más precisamente, con ordenadores dinámicos y 4) "Representaciones formales": son representaciones que dependen de definiciones y pruebas.

Tall considera que las representaciones simbólicas propuestas por Bruner son al mismo tiempo visuales y simbólicas, por lo cual Tall (1998) amplía la clasificación anterior con una nueva categoría: "Una combinación de 2 y 3 conectando las representaciones simbólicas y gráficas" (Tall 1998, pág. 68). Tall propone un aprendizaje versátil combinando "gestalts" visuales globales y manipulaciones secuenciales de símbolos, y considera que los símbolos en matemáticas son usados de dos maneras diferentes, como un proceso y como un objeto matemático. Gray y Tall (1994) consideran que los símbolos tienen un gran poder para comprimir información y afirman que ellos son el instrumento utilizado para la encapsulación de "procesos" matemáticos en "objetos". Gray y Tall usan el término "procepto" para denotar simultáneamente "proceso" y "concepto". El término procepto se entiende como una amalgama de proceso y concepto, con un símbolo operando dualmente para uno o para el otro. Algunos alumnos ven el simbolismo básicamente como un proceso y otros lo usan de manera flexible como proceso o como concepto, lo cual les da una gran ventaja. Tall (1998) pone ejemplos de tres niveles de proceptos: 1) proceptos tales como 5+4, los cuales pueden tener un proceso de construcción por computación para producir un resultado. Son proceptos que evocan tanto la operación de sumar como el concepto de suma. 2) proceptos tales como 3a+ 2b. Son símbolos manipulables que tienen un proceso de construcción que no puede ser ejecutado hasta que tenga lugar la substitución de valores. Son proceptos que evocan el proceso de evaluación para un valor determinado y el concepto de expresión algébrica. 3) proceptos tales como los cuales tienen un proceso asociado (tender al límite), pero no tienen un método de construcción (como parte integral y permanente) para calcular el valor del límite, aunque pueden también evocar el concepto de límite.

4.3 El punto de vista de Dörfler

Dörfler (1991) explica los procesos de abstracción, generalización y simbolización que intervienen en la formación de los conceptos matemáticos de la manera siguiente. El punto de partida es una acción o un "sistema de acciones" que pueden ser materiales (p.e. dibujar un triángulo en la pizarra), imaginadas (p.e. imaginarse mentalmente la acción de dibujar un triángulo en la pizarra) o simbólicas (pensar mentalmente con palabras que hemos de realizar la acción de dibujar un triángulo en la pizarra); estas acciones siempre son concretas, sus elementos son unos determinados objetos (materiales o ideales). El objetivo, el significado y el curso de estas acciones están dirigidos por la atención que pone la persona sobre determinadas relaciones y conexiones entre los elementos de estas acciones. Esto sucede especialmente cuando planificamos las acciones y cuando las evaluamos de manera reflexiva.

Estas relaciones prueban que hay una cierta regularidad cuando las acciones son repetidas (tantas veces como se considere conveniente). Dichas regularidades se llaman "invariantes de las acciones". Los invariantes de acción que se han observado necesitan, para ser representados, un "sistema de símbolos" que pueden ser verbales, icónicos, algébricos, etc. Estos símbolos solamente sirven para representar los elementos de la acción y en ningún caso se considera su significado en abstracto; es decir, el papel que juegan estos símbolos es el de describir los elementos de la acción. Muchas veces estos símbolos pueden ser substituidos por prototipos que se han utilizado en las acciones, de manera que la persona puede explicar los invariantes de las acciones a partir de un ejemplo prototípico, pero no puede substituirlo por un símbolo. Este proceso que, a partir de la reflexión sobre el sistema de acciones y su simbolización, llega a encontrar relaciones invariantes y las describe simbólicamente recibe el nombre de "proceso de abstracción constructiva". Esto quiere decir que, en este proceso, determinadas propiedades y relaciones son señaladas y la atención se focaliza sobre ellas, lo cual pone de manifiesto que ganan un cierto grado de independencia respecto de los objetos y situaciones con los que inicialmente están asociados. La abstracción constructiva produce un resultado que aparece a partir de la acción y que gana sentido y "existencia" a partir de ella.

En la mayoría de los casos, los elementos de la acción, o bien la misma acción, pueden ser sustituidos por otros elementos sin que ello afecte a los invariantes del sistema de acciones que se ha hallado, ni tampoco a su descripción simbólica. Este hecho determina que los símbolos que se utilizan para representar los invariantes de la acción tengan, de manera gradual, un referente cada vez más amplio. Este proceso recibe el nombre de "generalización extensiva". La sustitución de elementos de la acción inicialmente se hace por elementos muy similares a los de la situación inicial, pero posteriormente los objetos pueden ser sustituidos por otros objetos sin mucha similitud con los de la situación inicial, con lo que los símbolos son utilizados como variables (presentan la propiedad de poder ser sustituidos por objetos diferentes).

La reflexión que hacemos sobre el sistema de símbolos que describen los invariantes del sistema de acciones hace que ellos mismos se puedan convertir en elementos sobre los cuales actuar. Es decir, los símbolos se convierten en objetos con los que podemos efectuar acciones, de manera que se convierten en representantes (significantes) de los invariantes del sistema de acciones inicial, sobre los cuales a su vez se puede actuar. Podemos hablar de una separación o autonomía de los símbolos respecto de su referente inicial, que permite que los símbolos se conviertan en objetos que tienen significado a partir de la estructura que los organiza y que aparece a partir de las operaciones que sobre ellos podemos hacer. Llegados a este punto, los símbolos se convierten en "variables con carácter de objetos", es decir, se convierten en símbolos, que tienen un campo de referencia potencialmente ilimitado, organizados en un sistema de signos estructurado. Dicho proceso recibe el nombre de "generalización intensiva" Este sistema estructurado de signos se puede aplicar a otras situaciones diferentes de la inicial, con lo que su referente gana en extensión y volvemos a tener una "generalización extensiva".

4.4 El punto de vista de Duval

Las investigaciones de Duval (1995) sobre las representaciones, según nuestra opinión se posicionan en el punto de vista representacionalista. Duval se formula la pregunta siguiente: ¿Las actividades de aprehensión, conceptualización, razonamiento o comprensión son independientes de la existencia de una pluralidad de registros semióticos de representación? y considera que la respuesta afirmativa implica postular primero algún tipo de existencia para los objetos matemáticos, sin confundir de este modo el objeto matemático con su representación. En segundo lugar, implica postular la existencia de representaciones mentales internas y de representaciones semióticas externas, que están subordinadas a las representaciones mentales internas, y de las cuales son una exteriorización a efectos de comunicación. En definitiva, la respuesta afirmativa implica considerar que la semiosis está dirigida por la noesis, entendiendo por semiosis la aprehensión o la producción de una representación semiótica y por noesis actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto, la comprensión de una inferencia, etc. Duval no está de acuerdo con que la noesis dirige a la semiosis, sino que es partidario de la hipótesis contraria: "no hay noesis sin semiosis, es decir, es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad de la noesis" (Duval 1995, pág. 4).

Duval clasifica las representaciones en conscientes y no conscientes. Por conscientes, entiende aquellas en las que aparece "algo", y por no conscientes, las que se escapan completamente a la percepción del sujeto. A continuación clasifica las representaciones en internas y externas, entendiendo por externas aquellas que son visibles y observables públicamente, y por internas, las privadas que no la son. Duval considera que las representaciones externas son por naturaleza semióticas, ya que se producen mediante un sistema de signos y son accesibles a todos los sujetos capaces de interpretar este sistema de signos. Las representaciones externas tienen diferentes funciones: sirven para comunicar, para objetivar y pueden ser manipuladas. A partir de estas dos clasificaciones, Duval distingue tres tipos de representaciones (Duval 1995, pág. 27).

Figura 5

La distinción entre representaciones externas e internas tal como la formula Duval es aceptada tanto por los no-representacionalistas como por los representacionalistas. Lo que sitúa a Duval en el representacionalismo no es, lógicamente, la clasificación externo/interno en el sentido de público o privado sino la aceptación del punto de vista de la psicología genética que considera que las representaciones mentales son la interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las imágenes mentales son una interiorización de los perceptos.

Si bien hay investigadores posicionados en el representacionalismo que postulan una equivalencia entre representaciones externas e internas (Castro y Castro 1997), Duval se muestra crítico con la suposición que cada representación externa tiene un equivalente en forma de representación interna, ya que considera que esta relación es bastante más compleja. Para Duval, la hipótesis de una correspondencia directa entre las representaciones mentales y las semióticas implica la subordinación de éstas a aquéllas; es decir, supone que la noesis dirige la semiosis. Dos de las razones que da Duval para cuestionar esta hipótesis son: 1) el gran desfase que hay entre las representaciones mentales del sujeto y las representaciones semióticas que produce para expresar sus representaciones mentales y 2) Las representaciones semióticas, a diferencia de las mentales, presentan el grado de libertad necesario para todo tratamiento de la información, pudiendo expresar contenidos diferentes puesto que se sitúan en el plano de la expresión. No así las representaciones mentales que, al situarse en el plano del contenido, son de contenido único. Para Duval, la diversificación de representaciones semióticas de un mismo objeto aumenta la comprensión de los sujetos. Recíprocamente, las representaciones externas (enunciados, fórmulas, gráficas, etc.) son el medio por el cual las personas exteriorizan sus imágenes y representaciones mentales haciéndolas accesibles a las otras personas. Las representaciones externas juegan un doble papel: 1) actúan como un estímulo para los sentidos en los procesos de construcción de nuevas estructuras mentales y 2) expresan la red de significados personales de los sujetos que los usan. Duval remarca la existencia de diversos sistemas de representación ligados a un mismo objeto matemático. Cada uno de estos sistemas tiene potencialidades y limitaciones, por lo que su utilización conjunta es esencial para producir diferentes sentidos o bien para escoger uno de ellos.

4.5 Los puntos de vista de Kaput y de Brown

Kaput (1987, 1991 y 1992) es uno de los autores cuyas investigaciones sobre los sistemas de representación cuestionan el punto de vista realista representacionalista. Kaput (1991) renuncia a lo que en este trabajo hemos llamado la versión fuerte de la representación y solamente considera la versión débil "(…) Considero la como la de una experiencia por otra(..)" (Kaput 1991, pág. 53). Este autor considera que la capacidad que tienen las personas para trabajar con objetos y procesos muy elaborados se basa en la interacción entre dos fuentes de organización de su mundo de experiencias: 1) las estructuras mentales con las que organiza su mundo de experiencias, y 2) su habilidad para utilizar medios materiales en la organización de sus experiencias. Kaput considera el mundo de experiencias de las personas dividido en dos esferas: 1) las experiencias materiales, que son observables y 2) las experiencias mentales, que son hipotéticas. Las dos actúan conjuntamente en los procesos de representación, tal como se ve en el diagrama siguiente (Kaput 1991, pág. 57). Figura 6

Kaput considera que el nivel inferior de este esquema es lo que normalmente se considera "significante" y el nivel superior "significado". La flecha que apunta hacia arriba en esta figura corresponde a dos tipos de procesos: por una parte a la lectura activa y, por otra, a los procesos menos activos, menos controlados conscientemente, que comportan la evocación de fenómenos mentales a través de los materiales físicos. Con esta flecha se indica el uso de objetos materiales como base de la cognición. La flecha que apunta hacia abajo corresponde a la proyección de las estructuras mentales en el medio material para comunicar, manipular, demostrar, etc. En la parte inferior del diagrama tenemos los sistemas de notación ostensivos que Kaput entiende como un sistema de reglas para 1) identificar o crear signos, 2) para operar con ellos y 3) para determinar relaciones entre ellos (especialmente de equivalencia). Los ostensivos no tienen por qué ser cadenas de letras o dígitos, sino que pueden incluir gráficos y diagramas, o bien objetos físicos. Los tipos de acciones pueden variar según el tipo de sistema de notación considerado.

Las investigaciones de Brown (1996 y 1997) se basan en la fenomelogía social de Schutz. Brown, siguiendo a Schutz, también considera la representación como una relación entre dos fenómenos que pueden ser materiales o mentales: > (Brown 1996, pág. 133). Schutz, siguiendo a Husserl y también a Peirce, distingue entre aquello que se presenta propiamente a la conciencia (appresenting) y aquello con lo que se relaciona (appresented), que muchas veces solo está presente simbólicamente. Para referirse a las situaciones en las que actúa el par "appresenting- appresented", Schutz utiliza la expresión "appresentational situations". Brown ha aplicado el punto de vista de Schutz a las "appresentational situations" matemáticas y considera cuatro esquemas para explicar cómo las personas relacionan las acciones con sus resultados: 1) El esquema "apperceptual". Los objetos son vistos como objetos en si mismos sin ninguna referencia. Por ejemplo, la expresión x2 + y2 = 1 es vista como un conjunto de letras sin ningún otro significado. 2) El esquema "appresentational" permite ver el mundo como un mundo de signos. Por ejemplo, la expresión x2 + y2 = 1 se considera como la representación de un círculo. 3) El esquema "referencial" comprende el conjunto de imágenes mentales relacionadas con la expresión x2 + y2 = 1. Este esquema permite las analogías y las metáforas y la expresión x2 + y2 = 1 es vista como un círculo. 4) El esquema "interpretacional" permite la relación entre el mundo de las apariencias superficiales y el que yo imagino que existe, que puede ser diferente del de otra persona. Por ejemplo, las imágenes mentales que los expertos relacionan con los símbolos algébricos son muy diferentes en el caso de los principiantes. En este ejemplo, el esquema interpretacional se puede considerar que comprende el conjunto de estrategias personales para relacionar las imágenes mentales con los símbolos algébricos observados.

Duval, según nuestra opinión, se mueve dentro del representacionalismo, mientras que Kaput y Brown lo hacen en el no-representacionalismo7. Si bien creemos que los puntos de vista de Duval, Kaput y Brown pueden ser diferentes en el nivel 1 de la tabla de la figura 3, los tres enfoques coinciden bastante en los niveles 2,3 y 4 de la tabla de la figura 3, ya que todos ellos se centran en la esfera de las experiencias materiales (nivel 2), en la de las experiencias mentales (niveles 3 y 4) y en la relación entre ambas esferas. Los tres consideran que las representaciones semióticas ostensivas (sistemas de notación en la terminología de Kaput y sistemas de signos en la de Brown) permiten: 1) expresar y comunicar (estructuras y operaciones mentales), 2) manipular (transformaciones de representaciones) y 3) objetivar (los sistemas semióticos independizan las producciones de los sujetos de los propios sujetos).

4.6 La teoría antropológica

Desde la teoría antropológica propuesta por Chevallard (1992) también se han realizado estudios sobre los sistemas de representación (Bosch 1994, Bosch y Chevallard 1999). La teoría antropológica toma como punto de partida un universo en el que todo es objeto. Las personas, las instituciones, las cosas materiales, los pensamientos de la persona, las nociones que se utilizan en una institución, etc. son objetos. Los objetos y las relaciones entre ellos emergen como resultado del trabajo humano (actividad). Las personas, instituciones, los otros objetos y las relaciones entre ellos existen porque hay trabajo humano. Los objetos (institución o persona) pueden crear con su actividad nuevos objetos, que se consideran existentes en el sentido que hay una relación entre la persona (o la institución) y el nuevo objeto. La existencia de los objetos no se considera de manera absoluta, sino como el resultado de la relación entre dos objetos.

Otra característica importante de la teoría antropológica es que considera de manera unitaria el conjunto de existentes del universo que uno quiere estudiar, descartando a priori las distinciones y aproximaciones que nos sugiere la cultura. En particular, no se distingue los objetos matemáticos de los no matemáticos. Los objetos de una institución y las relaciones entre ellos emergen de un sistema de "prácticas" realizadas por los miembros de la institución. Las prácticas consisten en la utilización de una "técnica" que moviliza determinados objetos y puede hacer emerger otros nuevos. La palabra técnica se utiliza en la teoría antropológica como una "manera de hacer". Dentro de una institución las "tareas" son aquellas actividades que los sujetos de la institución pueden y deben de hacer. Por lo tanto, la actividad dentro de una institución consiste en la realización de tareas que pueden estar articuladas en un sistema. A cada tarea le corresponde, como mínimo, una técnica, y al sistema de tareas un sistema de técnicas. Una técnica solamente puede vivir en una institución si hay un discurso (logos), llamado "tecnología", que la justifica y la hace comprensible. La institución dedica una parte de su actividad a construir el marco tecnológico que permite controlar y justificar las técnicas institucionales. La existencia de una técnica en una institución está parcialmente condicionada por la existencia de una tecnología que la justifique y explique y, aún más, por la posibilidad de invocar una "teoría" que garantice la validez de la tecnología.

Según la teoría antropológica, la vida cotidiana de una institución es el resultado de su historia. La génesis institucional de un tipo de tareas y del sistema de trabajo (técnicas, tecnologías, teoría) no se puede disociar de las génesis personales correspondientes a los sujetos de la institución: para que emerja un sistema de trabajo es necesario que, simultáneamente, emerja para el sujeto el universo de objetos y de relaciones que la institución pretende hacer vivir. Los medios de la actividad matemática son un complejo de objetos determinados por las técnicas utilizadas en la resolución de tareas. Se dividen en dos categorías: la de los objetos ostensivos y la de los no-ostensivos. Se considera objeto ostensivo a todo objeto que pueda presentarse al sujeto humano como una realidad perceptible; no-ostensivos son los objetos que habitualmente llamamos "conceptos", "nociones", "ideas", etc. Los no-ostensivos son ostensibles (pueden ser mostrados por ostensivos). La actividad humana (y también la matemática) requiere para su realización una pluralidad de registros ostensivos: el registro de la oralidad, el del trazo o del grafismo, el de la gestualidad y el de la materialidad (objetos ostensivos que no pertenecen a ninguna de las categorías anteriores). En la actividad humana, los complejos de objetos ostensivos activados se distribuyen siempre entre diferentes registros, sin que podamos, generalmente, ver funcionar ni tan siquiera uno de ellos de manera autónoma respecto de los otros. A los objetos no-ostensivos que viven en una institución se les asocia un conjunto más o menos preciso de objetos ostensivos, mediante los cuales pueden ser evocados o invocados (un nombre, cierto número de grafismos, de gestos, etc.). Del mismo modo, los objetos ostensivos también pueden tener un nombre, es decir, otro objeto ostensivo asociado que permite ciertas manipulaciones. De la misma manera que existen interrelaciones entre los objetos ostensivos y los no-ostensivos, también los objetos ostensivos están relacionados entre sí. La antropología cognitiva postula que en toda actividad humana hay una coactivación de objetos ostensivos y no-ostensivos, aunque considera difícil establecer en cada caso cuáles son los objetos no-ostensivos activados porque no existe ninguna asociación de objetos ostensivos y no-ostensivos que esté unívocamente determinada: el recurso a objetos no-ostensivos es necesario, pero el recurso a tal o cual objeto en particular no lo es. Solamente restringiéndonos a un conjunto muy pequeño de actividades en el seno de una institución en un periodo determinado, se puede encontrar en algunos casos un avance del sistema de instrumentos ostensivos sobre el sistema de no-ostensivos (falta un concepto); y en otros casos el fenómeno inverso, provocado por la ausencia de ostensivos (falta una notación que permita un mejor rendimiento).

Decir que los objetos ostensivos permiten evocar o invocar ciertos objetos asociados -ya sean ostensivos o no-ostensivos-, es lo mismo que decir que funcionan como signos suyos, ya que permiten representarlos. Para la antropología cognitiva, los ostensivos actúan como instrumentos de la actividad y, por lo tanto, tienen una valencia instrumental. Los objetos ostensivos, además de valencia instrumental, la tienen también semiótica. Las posibles utilizaciones de un objeto ostensivo en actividades diferentes hacen que su valencia semiótica esté siempre abierta, pudiendo evocar o representar diferentes objetos, según el tipo de actividad que se considere. Al ser movilizado en una técnica concreta es cuando adquiere su semioticidad efectiva. Decir que los objetos ostensivos tienen valencia instrumental y valencia semiótica no supone que podamos fijarla a voluntad, ya que tienen una instrumentalidad y valencia semiótica localmente estabilizada (en la historia de las instituciones). En una institución donde las actividades que se realizan evolucionan muy rápidamente -como, por ejemplo, en una clase de matemáticas- se producen variaciones locales de la instrumentalidad y semiticiocidad de los instrumentos ostensivos a un ritmo acelerado. La antropología cognitiva considera que los ostensivos no tienen sentido (en contra de lo que habitualmente se considera) sino que producen sentido por medio de determinados usos. Los objetos ostensivos que forman un sistema están sometidos a ciertas reglas formales de uso que permiten articular ciertos objetos ostensivos entre ellos, realizar ciertas combinaciones y transformaciones posibles, etc. Estas reglas producen ciertas restricciones sintácticas (relaciones entre ostensivos no permitidas) y relaciones entre ostensivos que pueden ser utilizadas en un futuro, aunque actualmente no sean útiles. Además del nivel de sintaxis, hay que tener en cuenta el nivel semántico (los objetos no ostensivos que se asocian a los ostensivos manipulados) y el nivel pragmático (prácticas efectivas en las que se utiliza el sistema de ostensivos considerados).

La antropología cognitiva considera el pensamiento, en tanto que manipulación de símbolos mentales, como un caso particular de manipulación de ostensivos. Este punto de vista elimina los símbolos mentales al postular solamente dos categorías de objetos: los ostensivos y los noostensivos. Esto solamente se puede conseguir englobando en el término "ostensivo" tanto los objetos intersubjetivos (dominio de lo público) como los símbolos mentales (dominio de lo privado). > (Bosch 1994, pág. 49). Conviene remarcar que con este punto de vista, el término "ostensivo" pasa de ser "fenómeno material" a ser "fenómeno mental". En efecto, por "ostensivo" se entiende normalmente aquello que se puede mostrar, aquí y ahora, a otra persona, aquello intersubjetivo". Es evidente que las palabras pensadas o las imágenes mentales de una persona no son ostensivas en este sentido. Ahora bien, ¿Qué tienen en común las palabras escritas en un libro o las palabras pensadas? Lo que tienen en común es que en los dos casos se presentan directamente (propiamente) a la conciencia, en ambos casos son "fenómenos". Ahora bien, mientras que los fenómenos materiales se pueden mostrar a otro directamente, los mentales han de pasar previamente por los materiales para poder ser mostrados a otro, solamente se pueden mostrar indirectamente (impropiamente).

4.7 La dimensión pragmática-semiótica de la representación.

El punto de vista referencial sobre la representación se puede formular así: "algo" representa "algo". Desde este punto de vista un signo matemático representa un objeto matemático. Este punto de vista relega al usuario de las matemáticas y las contempla como "conocimiento sin sujeto cognoscente" ya que lo que interesa son los productos de la actividad matemática y no las prácticas de los matemáticos. Los estudios sobre la actividad matemática de tipo naturalista (Kitcher 1983; Kitcher y Aspray 1988) y los histórico-sociales (Wittgenstein 1978; Ernest 1998; Restivo 1992, etc.) desarrollados en los últimos años han desplazado el centro de interés desde las teorías matemáticas como productos acabados hacia la actividad matemática entendida como una práctica social en un doble sentido: por un lado, en cuanto es aprendida de otras personas, y por otro, porque está formada por reglas que se siguen habitualmente.

Los estudios naturalistas y los histórico-sociales sobre las matemáticas han puesto de manifiesto que la significación no se agota en el plano semántico ya que hay que considerar al usuario. La contemplación del usuario conlleva la dimensión pragmática de la representación. Los orígenes de esta dimensión pragmática se pueden encontrar en la semiótica de Peirce, la cual estudia la relación entre un interpretante y los signos en el marco de una teoría comprehensiva de éstos. El punto de vista pragmático se puede formular así: "algo" representa "algo" para "alguien". Esto nos lleva a la dimensión intencional de la representación, ya que la producción o la interpretación de un signo como representante de un objeto se realiza por medio de un interpretante. El estudio del componente intencional requiere la introducción del sujeto como término irreducible de significación. Desde esta perspectiva, el significado no es inherente al objeto sino que se construye en el proceso de interpretación de manera no arbitraria ya que está vehiculado por la intersubjetividad. El hecho de considerar al interpretante permite postular una teoría de la significación de los objetos matemáticos compatible con la máxima pragmática de Peirce para captar el significado de las ideas que utilizamos: " consideremos los efectos prácticos que creemos que podrían producirse por el objeto de nuestra concepción. La concepción de todos los efectos es la concepción completa del objeto (CP, 5.402)". (citado en Ibarra y Mormann, 1997, pág 277).

La manera pragmática de entender el significado se encuentra en la base de la teoría de los "objetos personales e institucionales" formulada por Godino y Batanero (1994) y desarrollada en Font (2000). Estos autores consideran tres niveles de significado: 1) Significado personal de un objeto matemático. Es el sistema de prácticas personales que realiza una persona para resolver el campo de problemas del cual ha emergido el objeto personal , 2) Significado institucional de un objeto matemático. Es el sistema de prácticas asociadas al campo de problemas del cual ha emergido el contenido institucional y 3) Significado a priori de un objeto matemático para un sujeto desde el punto de vista de la institución escolar. Es el subsistema de prácticas personales asociadas a un campo de problemas que son consideradas en la institución escolar como adecuadas y características para resolver estos problemas.

Esta manera de entender el significado se basa en la suposición que los sistemas matemáticos de signos ostensivos que se manipulan en el aula adquieren significado para los alumnos al ser usados en el aula. Desde este punto de vista, diremos que un alumno ha comprendido un determinado contenido cuando lo usa de manera competente en diversas prácticas. Se entiende pues, la comprensión y el significado, básicamente, como una capacidad que tiene el alumno y no tanto como un proceso mental que se produce en su mente cuando usa el contenido matemático. La capacidad se traduce en prácticas que son evaluables públicamente, mientras que el proceso mental es una experiencia privada de la persona. Dicho de otra manera: optar por una visión pragmática del significado implica focalizar el interés en las prácticas públicas y dejar en segundo plano el interés por los procesos mentales de las personas (que como mucho se pueden considerar prácticas privadas). El punto de vista pragmático, llevado al extremo, puede implicar situarse en el anticognitivismo y nos puede llevar a dejar de lado todas las aportaciones que ha hecho la psicología cognitiva. Conviene remarcar que éste no es el caso de la teoría de los objetos personales e institucionales ya que en esta teoría se tiene en cuenta las aportaciones que ha hecho la psicología cognitiva sobre los procesos mentales.

De entrada puede parecer que el punto de vista pragmático sobre el significado no es el adecuado en matemáticas. Así lo cree Bunge: "Aun así, todas las interpretaciones pragmáticas de los símbolos matemáticos son adventicias, pues el objeto de la matemática es abstraer de utilizadores y circunstancias a fin de lograr a la par la universalidad y la libertad respecto de su compromiso con los hechos" (Bunge 1973, pág. 71 de la edición usada). Bunge pone el siguiente ejemplo para ilustrar las interpretaciones pragmáticas en matemáticas: Una interpretación estricta de la expresión "z*", donde z designa un número complejo, es ésta: "z*" significa la parte real de z. (Esta regla de designación podría ser reemplazada por una definición). En contraste, una interpretación pragmática del mismo símbolo es ésta: "Todo el que se enfrenta con el símbolo "z*" debe invertir el signo de la parte imaginaria de z". Una segunda interpretación pragmática de "z*" se da bajo la forma de regla o prescripción: "Para computar z* a partir de z, inviértase el signo de la parte imaginaria de z". Una tercera lectura pragmática del mismo símbolo sería una instrucción capaz de ser puesta en su computador de suerte tal que posibilite el manejo del símbolo. Toda interpretación pragmática de un símbolo lógico o matemático puede concebirse como una instrucción para el manejo (v.g. cómputo) del símbolo de modo efectivo." (Bunge, págs. 71-72). Bunge, en su crítica a las interpretaciones pragmáticas de los sistemas de signos matemáticos, hace algunas observaciones muy interesantes sobre las condiciones para que la interpretación matemática de un signo sea válida.