Las representaciones en didáctica de las matemáticas, por Vicenç Font (página 3)

Tal como hace observar Bunge, dado un símbolo matemático, se pueden esperar diversas interpretaciones pragmáticas según el utilizador, las circunstancias y las metas. Por lo tanto, sólo un subconjunto de las interpretaciones pragmáticas será válido, por lo que se necesita un criterio de validez. Si consideramos, tal como propone la teoría de los objetos personales e institucionales, que el significado personal de un objeto matemático es el sistema de prácticas personales que realiza un alumno para resolver el campo de problemas del cual ha emergido el objeto personal, el criterio de validez es muy fácil de encontrar, ya que lo aporta el profesor. Es decir, el profesorado determina cuáles son las prácticas válidas y corrige las que no lo son. Este criterio de validez se ha formulado en la teoría de los objetos personales e institucionales mediante el constructo "significado a priori de un objeto matemático para un sujeto desde el punto de vista de la institución escolar". Ahora bien, el profesorado (institución) no utiliza cualquier criterio para determinar si una práctica es válida o no lo es, sino que lo hace a partir de una "teoría". Por lo tanto, la interpretación pragmática del significado choca con el problema de "la objetividad de la teoría" que se utiliza como criterio de validez. Si no se puede explicar desde un punto de vista pragmático "la objetividad de la teoría", la interpretación pragmática del significado resulta ser muy limitada. En la teoría de los objetos personales e institucionales se resuelve el problema de la objetividad de la teoría por medio del constructo "significado institucional". Ahora bien, para llegar a aceptar un constructo de este tipo, es necesario dar una justificación muy argumentada, ya que la filosofía, y más en concreto la filosofía de la ciencia, ha necesitado hacer un largo recorrido para llegar a formulaciones de este tipo.

La explicación desde un punto de vista pragmático de "la objetividad de la teoría" es un tema complejo porque la objetividad (certeza o verdad necesaria) es un objetivo que las ciencias pretenden conseguir haciendo abstracción de los utilizadores. La aceptación de la explicación pragmática de "la objetividad de la teoría" sólo es posible si previamente se ha puesto entre paréntesis como mínimo: 1) la suposición que la ciencia nos ofrece copias cada vez mejores de una realidad que tiene sus propias determinaciones, 2) la teoría referencial del significado y 3) la suposición que la actividad constitutiva del sujeto lleva a verdades necesarias. El cuestionamiento de estas tres suposiciones es el resultado de un largo proceso que ha producido un desplazamiento de los estudios sobre la ciencia desde el estudio de las teorías al análisis de las prácticas.

Este desplazamiento ha sido posible gracias a la superación de la división entre el "contexto de justificación" y "el contexto de descubrimiento" propuesta por el positivismo lógico. El contexto de justificación tenía que ver con los criterios metodológicos normativos subyacentes a la ciencia y, consiguientemente, podía ser objeto de análisis "a priori" en el que se involucraba genuinamente el estudio metacientífico, mientras que los procesos de descubrimiento debían ser objeto de los estudios de historiadores, sociólogos y psicólogos de la ciencia, en tanto que interesados en la descripción "a posteriori" de aspectos diversos vinculados a la actividad científica. Ambos centros de interés eran, por lo demás, estancos. En la superación de esta división han tenido un papel destacado el libro de Kuhn "La estructura de las revoluciones científicas" (Kuhn 1962) y el artículo de Quine "Naturalización de la epistemología" (Quine 1969). El primero, que se puede considerar una de las bases del punto de vista llamado "socio-histórico" atrajo la atención de los filósofos de la ciencia sobre el desarrollo histórico de las teorías científicas, mientras que el segundo, que está en la base de lo que se ha venido en llamar "naturalismo" en la filosofía de la ciencia, postula que no es posible disponer en filosofía de ninguna posición ventajosa desde la que puedan realizarse hallazgos "a priori".

La teoría de los objetos personales e institucionales se ha ampliado últimamente con una teoría de funciones semióticas. Godino y Recio (1998) consideran que las entidades primarias en matemáticas pueden ser de tipo notacional, intensional o extensional y se presentan en la interacción del aula en forma ostensiva. Cada una de estas entidades puede jugar el papel de expresión o de contenido en una función semiótica: (Godino y Recio 1998, pág. 3-3).

Para Godino y Recio, los tres tipos de entidades primarias consideradas (extensionales, intensionales y notacionales) pueden jugar el papel de expresión y contenido en las funciones semióticas, resultando, por lo tanto nueve tipos diferentes de tales funciones. A continuación las ilustraremos con ejemplos muy simples. Si veo la palabra triángulo y la relaciono con el dibujo de un triángulo, se trata de una función semiótica con expresión notacional y contenido extensional. Si veo la palabra triángulo y la relaciono con "figura plana cerrada por tres lados", estoy considerando una función semiótica con una expresión notacional y un contenido intensional. Si veo la palabra triángulo y la relaciono con "ABC", tengo una función semiótica con expresión notacional y contenido notacional. Si leo "figura plana cerrada por tres lados " y lo relaciono con la palabra triángulo, se trata de una función semiótica con una expresión intensional y un contenido notacional. Si leo "figura plana cerrada por tres lados" y lo relaciono con el dibujo de un triángulo, estoy considerando una función semiótica con una expresión intensional y un contenido extensional. Si leo "figura plana cerrada por tres lados con un ángulo recto" y lo relaciono con "figura que se obtiene al dividir un rectángulo por una diagonal", tengo una función semiótica con expresión intensional y contenido intensional. Si veo un triángulo y lo relaciono con "esta figura es un triángulo", se trata de una función semiótica con una expresión extensional y un contenido intensional. Si veo un triángulo y lo relaciono con el dibujo de otro triángulo, tengo una función semiótica con una expresión extensional y un contenido extensional. Si veo un triángulo de vértices A, B y C y lo relaciono con "ABC", se trata de una función semiótica con una expresión extensional y un contenido notacional.

Los ejemplos anteriores son muy simples, pero la producción e interpretación de signos en matemáticas es un proceso muy complejo, ya que cuando vemos, por ejemplo, f(x) no solamente interpretamos esta notación como una función sino que esta notación, entre otros procesos, nos lleva a considerar la variable independiente que se representa por x. Esta focalización en la variable independiente se puede representar de la manera siguiente:

Figura 7

Una expresión f(x) se relaciona con el contenido "función"; este par expresión/contenido es la expresión que se relaciona con el contenido "variable"; este nuevo par expresión/contenido es la expresión que se relaciona con el contenido "variable independiente"; este nuevo par expresión/contenido es la expresión que se relaciona con el contenido notacional x. Podemos considerar la función que relaciona la expresión inicial "f(x)" con el contenido final "x". Esta función relaciona un objeto f(x) con el objeto x, es decir, relaciona un objeto con otro que no es de la misma clase. Este esquema sigue la estructura propuesta por Hjelmslev "Semejante superelevación de códigos representa lo que Hjelmslev ha definido como "semiótica connotativa", cuya forma és: Figura 8

Es connotativa una semiótica en que el plano de la expresión está constituido por otra semiótica. En otros términos, existe código connotativo cuando el plano de la expresión es otro código. En el ejemplo ofrecido más arriba, el contenido de la primera significación (junto con las unidades expresivas que lo transmiten) se convierte en expresión de un contenido ulterior" (Eco 1976, pág. 94 de la edición usada). En Font (2000) se ha aplicado las funciones semióticas a un objeto matemático de una cierta complejidad como es la derivada.

La clasificación de las entidades matemáticas en extensionales, intensionales y notacionales se puede aplicar tanto a las representaciones ostensivas (dominio de lo público) como a las mentales (dominio de lo privado). Es decir, podemos considerar símbolos mentales que actúan como soporte de entidades extensionales, notacionales o intensionales, o bien considerar ostensivos que actúan como soporte de entidades extensionales, notacionales o intensionales. Por este motivo las funciones semióticas son un instrumento que permite el análisis conjunto de la manipulación de ostensivos materiales en un contexto social y del pensamiento que la acompaña.

Síntesis y reflexiones finales

1) La clasificación de las representaciones en externas e internas se puede considerar en dos sentidos diferentes. El primero, que es poco problemático, consiste en considerar como representación externa aquello que es visible y público, mientras que las representaciones que no son accesibles a las otras personas se consideran internas. El segundo sentido, que tiene una carga ontológica muy fuerte, consiste en considerar que los objetos exteriores tienen una copia especular en la mente de las personas.

2) Consideramos que toda experiencia está cargada de teoría y que los conceptos que la forman se presentan en un contexto intersubjetivo de forma ostensiva. No podemos hablar, por ejemplo, de la derivada sin utilizar representaciones ostensivas ni podemos interpretar el ostensivo f ´(a) sin el concepto de derivada en un punto. Dicho de otra manera: todo acto de conocimiento intersubjetivo, moviliza un conjunto de ostensivos y de no-ostensivos. Esto no implica, no obstante, que no podamos distinguir el caso particular del caso general si nos situamos en un juego del lenguaje en el que, cuando se dice que el ostensivo "f ´ (a)" es muy pequeño se entiende que nos interesa el aspecto individual, prescindiendo del general, mientras que cuando se habla de la derivada en un punto utilizando el ostensivo "f ´(a)" prescindimos del aspecto particular y nos centramos en el aspecto general. Desde esta perspectiva, consideramos que la manera de entender la abstracción, la generalización y la simbolización que propone Dubinsky o la que propone Dörfler, informan sobre las reglas del "juego de lenguaje" que permite prescindir de lo particular y centrarse en lo general.

3) En las prácticas públicas se manipulan dos clases de objetos: ostensivos y no-ostensivos. Estos objetos se pueden clasificar en: intensionales, notacionales y extensionales, cada uno de los cuales puede jugar el papel de expresión y de contenido en las funciones semióticas.

4) Consideramos que, en la situación en la que se encuentra actualmente la didáctica de las matemáticas, puede ser más rico para esta disciplina tratar "la manipulación de símbolos mentales" como una esfera con una cierta autonomía respecto de la "manipulación de ostensivos materiales". Una esfera, por cierto, sobre la cual la psicología cognitiva ha realizado aportaciones importantes. Ahora bien, aceptar que en estos momentos puede ser útil tratar la manipulación de símbolos mentales como una esfera autónoma respecto de la "manipulación de ostensivos materiales" no quiere decir situarnos en el otro extremo: considerar que el pensamiento, entendido como proceso de manipulación de símbolos mentales que tienen lugar en la mente, es la causa de la "manipulación de ostensivos materiales". Aceptar esta última posición implica que la "noesis" dirige a la "semiosis" (en la terminología de Duval, 1995). Lo que proponemos es: 1) Considerar que la "manipulación de ostensivos materiales" se realiza en un contexto social de interacción y va acompañada de "pensamientos en los que se manipulan símbolos mentales" (y no necesariamente es causada de manera mecánica) y 2) Explorar la posibilidad que las funciones semióticas sean un instrumento que permita el análisis conjunto de la "manipulación de ostensivos materiales" en un contexto social y del "pensamiento" que lo acompaña. 5) Desde un punto de vista pragmático, el conjunto de prácticas que puede realizar en un momento determinado el alumno es lo que se entiende por significado del objeto (concepto, idea, no-ostensivo, etc.) personal del alumno en este momento. El significado entendido de esta manera se puede parcelar en diferentes clases de prácticas más específicas que son utilizadas en un determinado contexto y con un determinado tipo de notación produciendo un determinado sentido. Un cambio de notación puede activar un sentido diferente, es decir un subconjunto de prácticas públicas y privadas, que puede facilitar o dificultar la resolución de la actividad. En la producción de nuevo sentido también juegan un papel importante los procesos analógicos y metafóricos.

6) Generalmente los objetos matemáticos se representan mediante notaciones diferentes que ayudan a producir diferentes sentidos. Cada una de las notaciones ayuda a producir sentido, pero no produce todos los sentidos. Por lo tanto, comprender un objeto matemático requiere utilizar diferentes notaciones y convertir (traducir) una representación en otra.

7) Consideramos que las tres clasificaciones básicas para entender los procesos de representación son: Ostensivo versus no-ostensivo

Esta distinción se ha de tomar en sentido intersubjetivo: se puede mostrar a otro directamente versus no se puede mostrar directamente, solamente por medio de ostensivos.

Las palabras pensadas o los recuerdos (símbolos mentales) se presentan propiamente a la conciencia pero no son ostensivos. Esto nos lleva a la distinción: Propiamente versus Impropiamente

Esta distinción se ha de tomar en el sentido siguiente: se presenta directamente a la conciencia (propiamente) versus se presenta indirectamente a la conciencia (impropiamente). Los signos matemáticos (ostensivos o pensados) se presentan propiamente. Los objetos matemáticos sólo se presentan impropiamente. La otra distinción básica es: Extensivo versus Intensivo (Ejemplar / Tipo) Estas tres clasificaciones actúan cuando, por ejemplo, en un libro vemos f(x). Por un lado es ostensivo y se presenta propiamente a la conciencia. Por otro lado, según el juego de lenguaje que consideremos, se puede considerar como un ejemplo de función (extensivo) o bien como la clase de funciones (intensivo) o bien como un signo (propiamente) que está en el lugar de "algo" (la clase de funciones, o la función particular) que está presente impropiamente.

Notas finales

1 Por "trascendente" entendemos que permanece fuera de toda experiencia posible, entendida ésta en sentido kantiano, como aquella que queda más allá del espacio y del tiempo. Es decir, la "cosa en sí" que ultrapasa los límites del conocimiento humano. Por "inmanente" entendemos aquello que cae dentro de los límites de la experiencia posible.

2 El "Tractatus" y "Las Investigaciones" son las primeras obras de Wittgenstein que fueron publicadas. Dadas las marcadas diferencias de estilo y contenido que hay entre ellas, se fue extendiendo la idea que Wittgenstein había desarrollado dos filosofías diferentes: la del primer Wittgenstein y la del segundo. La publicación póstuma de las obras escritas en los años 30 muestra, según Kenny (1973), que esta visión es demasiado simple, ya que hay muchas conexiones entre estas dos obras, así como muchos supuestos comunes. A pesar de ser conscientes de la simplicidad de la idea del primer y segundo Wittgenstein, la continuaremos utilizando.

3 Utilizamos el término "ostensivo" en el sentido que se puede mostrar a otro directamente. Por ejemplo, la fórmula de una función que el profesor escribe en la pizarra y el alumno ve directamente.

4 De hecho, se puede considerar la existencia de dos tradiciones cognitivas diferentes. Una, la dominante, de naturaleza mecanicista y asociacionista, representada actualmente por el "procesamiento de la información", que considera que las representaciones son homeomórficas a la realidad. Y otra, más constructivista, que tiene sus orígenes en la psicología europea (Piaget, Vygostky, la Gestalt,…) que pone en cuestión la representación como correspondencia homeomórfica porque considera que la mente humana juega un papel muy activo en la construcción de estas representaciones y, en algunos casos, llega a cuestionar la versión fuerte de la representación (Varela 1990).

5 Utilizamos el término corporeidad porque, al no poderse mostrar a otros, no son ostensivos. Ahora bien, con el término corporeidad queremos indicar que estos símbolos mentales son contenidos propios de la conciencia que son casi-ostensivos (palabras pensadas, evocación de experiencias vividas, imágenes mentales, etc.).

6 "(…) Según esta idea, el hombre y el computador son sistemas de procesamiento de propósitos generales, funcionalmente equivalentes, que intercambian información con su entorno mediante la manipulación de símbolos. Según esta concepción, tanto el ser humano como el computador son verdaderos "informívoros"(…), son sistemas cognitivos cuyo alimento es la información; y aquí la información tiene un significado matemático muy preciso de reducción de la incertidumbre" (Pozo 1993, pág. 43).

7 La interpretación de Duval como realista representacionalista y la de Kaput y Brown como no representacionalistas es personal y puede ser controvertida.

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