Evolución y tendencias del constructo Educación Matemática (página 2)

Enseñar a enseñar

En los años 1950, un grupo de destacados matemáticos, tales como: Klein, Hadamard, Castelnuovo, Smith, Moore, Enriques, entre otros, sentían la necesidad de reflexionar sobre los contenidos y fines de la enseñanza de la Matemática, cuyas impresiones se centraban en tornos a estrategias de diseños curriculares escolares como medio cultural intelectual para el desarrollo del pensamiento matemático. Así, por ejemplo, en el Congreso Internacional de la Enseñanza de la Matemática (CIEM) de 1911 celebrado en Milán, se trataron los temas: 1) La Matemática que se deben enseñar a los estudiantes; 2) Lugar del rigor en la enseñanza de la Matemática; y, 3) Integración de la enseñanza de la Matemática (Castelnuovo, 1970).

En el marco de las consideraciones anteriores, se refleja manifestaciones de preocupaciones por parte de los matemáticos profesionales que invitaron a participar otros sectores interesados en las prácticas educativas de la Matemática escolar, en particular, psicólogos y educadores. Entre ese llamado se pueden mencionar a: Piaget, Choquet, Gattegno, Papy, Puig Adan, la cual expresaron en la acta fundacional (CIEM, 1950) lo siguiente:

La Comisión se propone tomar todas las iniciativas que, en el campo de la acción y del estudio, lleven a una mejor comprensión de los problemas planteados por la enseñanza de las matemáticas para su mejoramiento en todos los niveles. El campo de las matemáticas es privilegiado en cuanto existen ya investigadores competentes en el dominio de los fundamentos, de la lógica, de la epistemología, de la historia, de la psicología del pensamiento y de la pedagogía experimental. La Comisión se propone sintetizar las contribuciones que aportan estas disciplinas a su objetivo principal (pp. 1).

La inspiración de las preocupaciones surgía de la comunidad científica de matemáticos profesionales quienes realizaban prestaciones de servicios en las universidades y que además observaban con asombros los avances significativos de la investigación Matemática del siglo XIX, ejemplo en la figuras tales como: Cauchy, Cantor, Weiertrass, Fourier, Gauss, Riemann, Halmiton, Gibbs, Grassman, Galois, Klein, Lie, entre otros, no menos importante. Destacaban un considerable progreso y aporte al acontecer científico del momento y con ello una línea sensibilizada de seguir continuando en esa trayectoria; por consiguiente, en la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de la Matemática, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la Matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Ésta fue la introducción a la conferencia:

Quién entre nosotros no estaría contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? ¿Cuál será el objetivo hacia el que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Despertar el interés en la investigación obligaba atender a los asuntos de formación académica, en concreto, los procesos de enseñanza que se desarrollaban en las prácticas educativas; por ello, era necesario presta atención a los aspectos curriculares de la Matemática escolar y en la dirección que marcaba el núcleo de programa indagatorio de los matemáticos, que para el siglo XX y más específicamente en los años 1950 se centraba en el rigor formal de la estructura algebraica y los avances vertiginosos iniciados por el matemático Babbage, considerado como padre de la computación, además, en materia de análisis numérico y Matemática Discreta, se abrió el camino para la era digital y los procesos algorítmicos.

Por otra parte, el Programa Sputnik fue una serie de misiones espaciales con alto despliegue en el campo científico tecnológico para demostrar la viabilidad de los satélites artificiales en órbita terrestre, dicha empresa estuvo patrocinada por la Unión Soviética a finales de los años 1950. La denominación Sputnik viene del ruso ??????? y su significado es compañero de viaje. Del Programa, las reseñas de mayor cobertura publicitaria, probablemente, fueron Sputnik 1 y 2.

El inmenso asombro del despliegue científico tecnológico producidos por las proezas de la puesta en órbita del Sputnik impacto a los ciudadanos estadounidenses, quienes respondiendo enseguida con el lanzamiento de varios satélites incluyendo Explorer 1; también, aceleró la creación de Aeronáutica Nacional y Administración Espacial, su siglas en inglés NASA, el término Aeronautics viene de la palabra griega "aire" y "navegar". Además, incrementó la inversión por parte del gobierno en la investigación y educación científicas, en especial, la reforma curricular en Matemática. Igualmente, las autoridades educativas de los países como Francia e Inglaterra sostenían a principios de los años 1960 que "sin una fuerte formación en Matemática, el cual incluyera calidad y cantidad, las sociedades no estaría en condiciones de asumir controles tecnológicos sobre los destinos de su progreso." Más aun, el concierto de todas las autoridades educativas a nivel mundial contempló con asombro el desarrollo de los sucesos espaciales lo cual sensibilizó a una comunidad de educadores quienes sintieron la obligación de redimensionar nuevas expectativas en el marco de los eventos emergentes en esa dinámica social; de allí que, los planes de enseñanzas centraban sus temas en aplicaciones tecnológicas, Lietzmann (citado por Freudenthal, 1978).

Además, factores de alcance mundial, tales como: 1) el contexto político e histórico de la posguerra; 2) la ideología y filosofía de la Matemática; 3) la influencia de los matemáticos en la educación superior; y, 4) la atmósfera de producción intelectual de eventos científicos y tecnológicos. Señalaron líneas de alarmas para reflexionar sobre el producto que se esperaba de los procesos educativos formales con respecto a lo que se tenía. Entonces, las autoridades educativas de varios países sentían la preocupación de llevar a cabo un cambio curricular importante en la enseñanza de la matemática escolar. Esto fue definiendo un movimiento denominado matemática moderna o la nueva matemática.

Sus bases filosóficas se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en 1959. En el transcurso del mismo, el famoso matemático francés J. Diudonné lanzó el grito de "abajo Euclides" y propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter deductivo de las proposiciones lógico-matemáticos y que partiera de unos axiomas básicos en contraposición a la enseñanza de la geometría imperante en aquellos momentos (Geometría Euclidiana). En ese mismo seminario la intervención de otro matemático francés, G. Choquet va en el mismo sentido: "… disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde estudiar los principales conceptos del álgebra, como son la relación de orden, la estructura de grupo, la de anillo". Estas dos intervenciones se pueden considerar muy influyentes en el sentido que dio inició a un movimiento renovador, enseñar a enseñar, pues en primer lugar, dibuja el enfoque estructural formal que ha de caracterizar la enseñanza de la Matemática y, en segundo, apunta hacia el contenido más apropiado para su enseñanza. La idea en principio parecía bastante lógica y coherente. Por un lado se pretendía transmitir a los estudiantes el carácter y el estilo lógico-deductivo de la Matemática y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y los conceptos de relación-función de la Matemática superior.

Como hecho particular y vinculado con la exposición anterior, el ambiente en Latinoamérica (países del continente americano de habla español, portugués y francés) experimentaba la ausencia de una sólida comunidad científica en Matemática, situación que hizo la entrada de la reforma enseñar a enseñar, aún más fácil, porque las universidades se involucraban satisfactoriamente y los eventos de promoción social hacían que la Matemática moderna gozará de niveles de aceptación altos frente sus educadores. Los estudiantes graduados en Matemática continúan sus estudios de postgrado en los Estados Unidos y Europa y volvían a sus países de origen llenos de energías para activar los mecanismos curriculares que dieran lugar a contenidos bien conocidos: introducción a la teoría de conjunto, simbolismo moderno, enfoque algebraico de la geometría y en sentido general la construcción algebraica del sistema axiomático. Dado este contexto, se llevo a cabo el Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM), celebrado en Colombia 1961, su primer presidente fue el matemático Marshall Stone y Luis Santaló, Stone científico estadounidense que impulso considerablemente el desarrollo matemático en el continente Americano y además fue fiel partidario del programa de investigación grupo Bourbaki y Santaló matemático de origen español y radicado en Argentina. El Comité fue un agente directo en la reforma de Educación Matemática con representante en todas partes del continente. El CIAEM llegó a convertirse en un verdadero puente institucional entre el Norte y el Sur del continente americano en lo que se refiere a las matemáticas y su enseñanza. El espíritu y la mística que generó la reforma enseñar a enseñar entre los matemáticos contribuyeron mucho a formar nuevos estilos de relaciones entre los profesionales de toda la región y a fortalecer su espacio académico en las universidades.

Los acontecimientos anteriores, impulsó una didaxología muy propia a las condiciones de la Matemática Moderna, conocido más tarde como el Estructuralismo Formal de la Matemática o simplemente Estructuralismo. El Estructuralismo dio comienzo a la renovación del currículo escolar en la necesidad de adecuar la formación Matemática al desarrollo científico y tecnológico de las principales ciudades occidentales, la misión histórica era involucrase en la enseñanza preuniversitaria y además establecer un puente adecuado con la educación superior. Matemáticos de profesión dictaban directrices en qué enseñar y cómo presentar esos contenidos, llamó la atención el trabajo de Bourbaki, formados por notables matemáticos y motivados por la algebrización de la Matemática. Consecuentemente, la tarea de organizar los contenidos a enseñar se podría englobar a través de dos gigantes estructuras: la estructura algebraica y la estructura topológica. Cada una se dividía en subestructuras. Por ejemplo: la algebraica se dividía en grupos, anillos, módulos, cuerpos, etc.; la topológica en grupos, espacios compactos, espacios convexos, espacios normados, etc. Ambas estructuras se unían estrechamente a través de la estructura de espacio vectorial.

El Estructuralismo planteó un esquema de enseñanza tradicional clásico

cuyo discurso descansa en el rigor de los argumentos tratado mediante un formato expositivo magistral, el cual organiza la sistematización de los contenidos en una estructura cohesiona en el razonamiento deductivo; por lo tanto, la navegación y exploración de la Estructura Matemática tiene un hilo conductor en las implicaciones lógicas finito-consistente. La manipulación de los símbolos en los procedimientos y los algoritmos permitía fijar el significado en su semántica y sintaxis, el sentido en el manejo del código simbólico se convierte en una herramienta para los pensamientos creativos, cuya operación de no contradicción está encarnada en los encadenamientos de proposiciones formales finitas. La reflexión de estos encapsulados constituyen la conciencia de su contenido y significado: el objeto matemático formalizado.

Pues bien, la esencia de su Epistemología se reduce a: 1) la Matemática es independiente a la mente humana, el sujeto no la inventa sólo la descubre en su contexto de acción; 2) el descubrimiento no se hace mediante la experiencia sensible del mundo físico sino mediante el contacto de los entes ideales de la estructura. En definitiva, es un modo de proceder que personifica la posición filosófica del Formalismo, cuya postura es la reflexión del objeto matemático descubierto en el dinamismo de sus encadenamientos lógicos, previamente validos por implicaciones. Las transformaciones que modifican la estructura Matemática deben sustentarse en ciclos creativos de implicaciones que los estudiantes deben activar y descubrir en los encadenamientos lógicos, una labor de naturaleza consciente que demanda creatividad, imaginación y alta competencia en el manejo de las proposiciones y los entes ideales.

El Formalismo convierte a la Matemática en un fin para sí mismo, porque lo verdaderamente esencial es el producto de logro en el avance consistente de su estructura. El aspecto ontológico se basa en la creencia de encontrar un algoritmo de condición natural el cual representa un patrón formal consistente a descubrir, pista de sus inicios estén arraigados en las posturas de Hilbert (citado por Ángel, 2001) el cual sostenía que la existencia de los elementos no deben tomarse como verdades, lo que se discute son sus relaciones definidas en el curso de sus descubrimientos. Hacer de la consistencia un estilo de vida es disciplinar una posición ante la vida; de allí que, es comprensible la postura de vida en Galileo Galilei (1564-1642) sobre el mundo exterior, para él la cosmología del universo es un libro abierto donde la naturaleza de su entendimiento reposa en un código de comunicación que se conviene, es el lenguaje matemático como la forma de hacer la lectura ante lo sensible y con ello develar el secreto de su funcionamiento. Aprender a codificar, descodificar, procesar y comunicar el código matemático, es aprender Matemática; de modo que, su aprendizaje estará dirigida a enseñar el sentido hermenéutico de esa lectura.

Aprender Matemática en el contexto enseñar a enseñar es un esfuerzo de actividad mental para desentrañar, develar y comprender el contenido, significado y método de la Matemática de modo a priori y, en tanto que la Matemática es un cuerpo fuertemente cohesionado con proposiciones que dan cuenta de una lógica conceptual sobre las implicaciones libre de contradicciones. En ella se encierra un círculo hermenéutico. El todo recibe en el sentido de las partes y las partes sólo pueden comprenderse en relación al todo. Desde esta óptica, el sentido representa la capacidad dar significación del todo con las partes y las partes constituyendo al todo. Por ello es que, la Matemática se comprende a luz de las formalizaciones de un conjunto de leyes descubierta en el seno de su misma estructura. La estructura reposa en un conjunto de componentes básicos y simples que permitirán la construcción del edificio lógico que se va levantando mediante reglas que mantiene cohesionado todas las proposiciones con respecto a su totalidad, como entes ideales subordinados a los sistemas de transformaciones que desemboca dentro su frontera. Al respecto, Hilbert (citado por Angulo, 2002) formula:

Cuando miramos de cerca una teoría matemática advertimos siempre que unas pocas y determinadas proposiciones del dominio de referencia, hacen el fundamento para la construcción del encasillado especial de los conceptos y tales proposiciones alcanzan para construir según principios lógicos el encasillado total de toda la estructura (pp. 21).

Estas valoraciones, encontró apoyo e influencia en Piaget, quien pensó que la clave del desarrollo del pensamiento humano era la superación de etapas genéticas estructurales, no solo en la sociogénesis sino también en la psicogénesis. Fundando la Epistemología Genética cuya tesis se enfoca en la actividad de conocer la realidad del sujeto como un interacción constante entre la influencia directa de los conocimiento previos y la forma de actuar en situaciones nuevas de aprendizaje; consecuentemente, el aprendizaje se basan en la voluntad del sujeto en incorporar, asimilar, adaptar y adecuar el nuevo material, pero al mismo tiempo se modifica el sujeto en cuestión, pues aumenta la complejidad de sus estructura cognitiva.

La lectura del lenguaje matemático se traduce en navegar y explorar por los sistemas formalizados de su estructura, adquirir su contenido, método y significado, requiere de un proceso que permita reconstruirla según las normas de transformación instrumental, las cuales no son otro cosa que las cadenas de implicaciones lógico-matemáticas que edifican la estructura en sí. En consecuencia, "enseñar a enseñar" es un acto consciente sobre unas reglas de manipulación en objetos abstractos para sincronizar la armonía de su significado, es decir, el estudiante que desea aprender Matemática debe manipular con conocimiento de causa ciertas reglas para crear implicaciones consistentes, ese ciclo creativo puede ser estimulado por unos sujetos de mayor experiencia en el uso de esas reglas y en la creatividad de enfrentar situaciones de retos.

El proceso de enseñanza tiene un formato expositivo cuya relación de contacto es la transmisión de información entre sujetos de mayor experiencia (profesor) y con relación a otros menos expertos (estudiantes). Así mismo, el formato expositivo anula el proceso de acompañamiento, no es mediador en los procesos de aprendizaje del otro y no se detiene a reflexionar en la carga sentimental del proceso humano. Es muy importante destacar, la carga afectiva no se desconoce, sencillamente no es objeto de atención ni de estudio. Además, presenta a la Matemática como una ciencia robusta de rigor formal que permite hacer lecturas en las consistencias de sus proposiciones y para aprenderla es menester emular las acciones y recomendaciones de los sujetos expertos, consecuentemente, estos sujetos expertos las exponen bajo una organización magistral, de forma progresiva y gradual, facilitando la composición definitiva de su episteme, mas que actos reflexivos constituyen prácticas solidas de su desempeño, es "enseñar a enseñar".

En conclusión, el acto supremo de aprender está subordinado a las condiciones de la enseñanza, se puede aprender siempre y cuando el sujeto experto escenifique y facilite el contenido de lo que se debe aprender. El facilitar se convierte en presentar ejemplificaciones de proposiciones matemáticas que permitan exponer el rigor expositivo del discurso formal. Y, aprender se convierte en procesos que deben incubar esas acciones con la esperanza de reproducir ciclos creativos que exhiban desempeño iguales o superiores a los sujetos expertos, quienes facilitaron su contenido, método y significado. Enseñar a enseñar es facilitar estrategias en aras de que el enseñado muestre lo facilitado.

Referencias bibliográficas

1.- ÁNGEL, M. (2001). Estrategias para aprender Matemática. Tesis Doctoral, Universidad Nacional de Matanza, Buenos Aries, Argentina.

2.- ANGULO, P. (2002). Efecto de la estrategia metodológica condicionamiento Piter (EMCOPI) en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el cuarto semestre de ingeniería mecánica. Trabajo de grado de Magíster, UC. Valencia, Carabobo

3.- CASTELNUOVO, E. (1970). Didáctica de la Matemática. México: Editorial Trillos, 2da edición en español.

4.- GASCÓN, J. (1998). Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Recherches en Didactique des Mathématiques. Vol 181, n° 52, pp 7-54.

5.- FRANCES, D. (2005). El papel de la educación frente a los desafíos de las transformaciones científicos-tecnológicas. Revista de Tecnologías Educativa, Vol XII, n° 4. Santiago de Chile.

6.- FREUDENTHAL, H. (1978). Fenomenología didáctica en las estructuras matemáticas. México: Cinvestav 2001.

Autor:

Pedro J. Angulo L.