Teoría de números aplicado a la Educación Secundaria (página 2)

2.8.-Función de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

Definición

μ(n) está definida para todos los números naturales n y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos distintos.

μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos distintos.

μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

En principio, se supone que μ(1) = 1.

Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius.

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Polya en grupos combinatorios.

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann. Estas relaciones se explicarán con más detalle en el artículo sobre la conjetura de Mertens.

2.9.-Función φ de Euler

La función φ de Euler indica, para su parámetro m, el número de elementos invertibles en un cuerpo o anillo finito de dimensión m. Su valor se corresponde igualmente con la cantidad de números primos relativos con m menores que m.

Puede definirse como

Φ(m) = cardinal de {n perteneciente N tal que n < m ^ mcd{m, n} = 1 }

Su cálculo puede acelerarse conociendo las siguientes propiedades:

Φ(p) = p – 1 si p es primo,

Φ(pe) = pe (1 – p-1) si p es primo y e es un número natural (ver nota), y

Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) si mcd{a, b} = 1

Demostración de las propiedades:

Evidente, ya que si p es primo todos los números naturales de 1 a p-1 son primos con p.

Los únicos números números entre 1 y pe que NO son primos con pe son los múltiplos de p, que son en total pe-1. Por tanto Φ(pe)=pe–pe-1, de donde se sigue inmediatamente la propiedad.

Empezaremos probando que si p y q son primos distintos entonces Φ(pq)=Φ(p)Φ(q). Los números de 1 a pq serán primos con pq si no son múltiplos de p ni de q. De 1 a pq-1 hay p-1 múltiplos de q y q-1 múltiplos de p, y no hay ninguno común a ambos, ya que MCM(p,q)=pq.

Por tanto Φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq–p–q+1= (p-1)(q-1)=Φ(p)Φ(q)

Para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, entonces:

, donde φ(n) denota función fi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n.

Es necesario señalar que el teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo .

2.10.-Factorial

Para todo n entero natural, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los enteros entre 1 y n:

n! = 1 × 2 × 3 × … × (n − 1) × n

n! = ∏k = 1:n k.

Se impone 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés

Christian Kramp.

Los primeros factoriales son:

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 …

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + … + n × a × bn − 1 + bn

con:

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Existe un equivalente, cuando n tiende al infinito, del factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

n! ≈ √(2πn) (n/e)n.

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción, y por lo tanto permite evaluar n! más rápidamente (aunque en forma aproximada) cuando mayor sea n.

2.11.-Números Primos

Ejemplo 7.

donde   son primos y además  

3. Teoría de los números en la educación secundaria y propuestas

• ¿Qué es lo que se enseña?
• ¿Cómo debería enseñar estos temas?
• En la prueba de Pisa, sanos el penúltimo país en matemáticas en Educación Secundaria

3.1 PROBLEMÁTICA (INTRODUCCIÓN)

Es en la época actual, asignada por el cambio y por muy veloces avances tecnológicos, se percibe cada vez más claramente la necesidad de que los conocimientos matemáticos que reciben los escolares los permitan reconocer la importancia del papel desempeñado por esta disciplina en el mundo en que viven y su poder como herramienta para comprenderlo y desenvolverse mejor en él. Sin embargo, para muchos estudiantes las matemáticas consisten en una serie de rutinas que es necesario ejecutar mecánicamente para responder a preguntas estereotipadas. Rara vez tienen los alumnos ocasión de plantear cuestiones de su interés y la consecuencia de esta clase de enseñanza y aprendizaje es que, buena parte de ellos, son incapaces de aplicar sus conocimientos, más allá de los cálculos y métodos propuestos en los libros de texto.

Es un escenario mundial de economías abiertas y competitivas, donde el conocimiento da la necesidad de la productividad de las personas, resulta muy preocupante un informe sobre los resultados de un Estudio Internacional Comparativo de la Claridad de la Educación, realizado por la UNESCO en 12 países de América Latina, para evaluar el rendimiento estudiantil.

En este estudio, el sistema educativo peruano ocupó el antepenúltimo lugar en cursos de lenguaje y el último en los cursos de matemática: 225 puntos y Cuba 348 puntos.

En ese sentido, en nuestro país, es común escuchar comentarios respecto a que la escuela secundaria no prepara eficazmente para la universidad y que la matemática que el alumno aprende en el colegio resulta una herramienta bastante endeble como base para los cursos de ciencias de la enseñanza superior; pero, ¿está el estudiante debidamente preparado para la solución de problemas de aplicación matemática en situaciones cotidianas?. Sabemos que la resolución de problemas matemáticos es imputable porque está relacionada con muchas de las actividades que cada día se presentan a las personas en su desempeño en el trabajo, en el hogar, en el consumo de bienes, en sus necesidades de transporte, e, incluso, en el cumplimiento de sus obligaciones ciudadanas, por ejemplo en el pago de impuestos, es decir lo que podemos llamar problemas de la vida cotidiana.

Nos interesa estudiar si, al menos, los conocimientos que los alumnos reciten durante sus estudios secundarios son utilizados eficazmente en los problemas de la vida diaria; es decir: ¿Prevalece y han sido bien asimilados los conocimientos matemáticos de la secundaria para que las personas puedan realizar sus actividades cotidianas en nuestra sociedad? ¿Qué problemas sencilla son resuelta con los conocimientos matemáticos que tienen los alumnos al egresar la secundaria?.

Para contestar a estas interrogantes se realzó una investigación: Marzo (2001) darse una prueba de conocimientos a alumnos egresados de educación secundaria 2000 en base a la currícula. Los resultados demostraron que los de Educación Secundaria no aplican los conocimientos matemáticos a la solución de problemas de la vida diaria, ya que el rendimiento logrado en la prueba aplicada es deficiente, es decir, los alumnos no saben efectuar operaciones con fracciones, ignoran el concepto de ganancia y costo, no recuerdan las equivalencias en los sistemas de medidas, no pueden interpretar correctamente los datos de un plano arquitectónico, no conocen el concepto de valor relativo de un número, ni el concepto de órdenes en el sistema de numeración decimal y no realizan una lectura cuidadosa del contenido de lo reactivos.

Debe darse una aplicación a situaciones reales de trabajo y otras actividades. Esto es importante para una sociedad que necesidad desarrollar la capacitación y calificación de sus miembros.

En base al programa curricular de matemática, por la entidad norteamericana "Nacional Council of Teachers pf Mathematics" (NCTM): en base 30 puntos (90 minutos) para evaluar la educación matemática de los colegios secundarios en lo que se refiere al manejo de problemas de la vida diaria. Todos estos puntos figuran en los programas curriculares vigentes. Presento los más importantes para la teoría de números.

2. Cálculos: Puede Ud, sumar, restar, multiplicar y dividir correctamente números enteros, fracciones y decimales.
3. Raíz cuadrada: ¿Puede Ud. Encontrar la raíz cuadrada de un número por medio de tablas o efectuando la operación?
4. Números relativos: ¿Comprende Ud. El significado de números relativos y puede usarlos?
5. Fórmula. ¿Sabe Ud. El significado de una fórmula y puede Ud. Escribir una regla aritmética como si fuera una fórmula, y subsistir valores dados en ellas a fin de encontrar el valor de uno de sus elementos o una de las incógnitas?
6. Aritmética comercial: ¿Está Ud. Matemáticamente condicionado para una satisfactoria adaptación a un trabajo inicial en negocios, por ejemplo, tiene idea de cómo llevar una contabilidad elemental, cambios, y la aritmética aplicada a los problemas más comunes de la vida diaria?.

Ejemplo:

1. 1. (3 + 1/2) ? 5/3 ? 1 : 5/6

      (16,32 ? 0,045) ? 2,5(5,25 + 0,0987 +0,103)

   2. Dar el resultado con aproximación de centésimo de:
   3. Sin realizar la operación ¿Cuál es el resultado aproximado de: (14 + 0,003 + 6) x 9?
2. Efectuar:
3. Si en una granja hay tres patos por cada dos gallinas y se sabe que entre patos, patas y gallinas se tiene un total de 235 gallinas se tiene un total de 235 gallinas ¿Cuántos patos y cuantas gallinas hay?
   1. Escribirlo en su forma polinómica
   2. Dar valor relativo de las cifras 4 y 0
4. Dado el número 46075

De lo anterior podemos "deducir las causas del bajo rendimiento con respecto a la aplicación de la teoría de los números, es decir, en matemáticas general".

2. La carencia de integración de la matemática que, casi siempre, se enseña como una disciplina independiente.
3. Una enseñanza mecánica que no procura un aprendizaje experimental activo seguido de una organización educativa del conocimiento adquirido.
4. La presión por el cumplimiento de posprogramas, por los exámenes y su calificación, que obliga al profesor a abordar nuevos temas sin haber realizado el número suficiente de aplicaciones y de trabajos prácticos que aseguren el aprendizaje de todo el alumnado.
5. El descuido de las diferencias individuales en la enseñanza matemática. No todos los alumnos aprenden el mismo ritmo.
6. La insuficiente preparación de los alumnos para interpretar correctamente la lectura de los problemas propuestos.

• No debe olvidarse que uno de los principales objetivos de la enseñanza matemática es la formación del pensamiento abstracto y de la capacidad deductiva, en tal sentido la terminología del método axiomático y el empleo de las propiedades debe incorporarse a la experiencia personal del alumnado.
• 6) No descartamos el contenido curricular actual porque es razonable para la aplicación cotidiana.

7) Las necesidades de un libro o proyecto la teoría correcta y práctica que le de valor de matemática ala teoría de números: "N", "Z": es decir aportar ideas para el aula, métodos y formas de presentación, secuencialización y fundamentación de los contenidos aritméticos. Por lo tanto integrar esta parte de teoría de números al proceso de renovación educativa, en calidad pragmática y científica.

3.2 DISEÑO CURRICULAR BÁSICO

3.2.1 Primer Grado de Secundaria

Conjuntos

1. Noción de conjunto. Pertenencia
2. Inclusión e igualdad
3. Conjuntos: Referencial, vacío y unitario
4. Unión, intersección, diferencia de conjuntos
5. Producto cartesiano de conjuntos
6. Noción de función y operación

3.2.2 El sistema N, de los números naturales

1. Los números naturales
2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Relaciones menor y mayor
5. La ecuación x + a = b. sustracción, propiedades
6. Multiplicación, propiedades, múltiplo y submúltiplo
7. Potenciación. Propiedadades.
8. Sistema de numeración decimal.
9. División Propiedades
10. Sistema de numeración decimal.
11. División propiedades
12. La división Euclidiana
13. Divisibilidad, números primos y compuestos
14. Criterios de divisibilidad
15. Máximo divisor y mínimo común múltiplo
16. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.3 El sistema Z, de los números enteros

2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Opuesto de un número entero
5. La ecuación x + a = b
6. Relaciones menor y mayor
7. Valor absoluto
8. Sustracción, propiedades
9. Multiplicación, propiedades
10. Potenciación, propiedades
11. División
12. Radicación
13. Desigualdades, propiedades
14. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.4 Sistema Q, de los números racionales

2. Números racionales
3. Igualdad
4. Adición
5. Opuesto de un número racional
6. Valor absoluto
7. La propiedad de densidad.
8. Multiplicación, propiedades
9. Inverso de un número racional
10. La propiedad distributiva.
11. Sustracción y división, propiedades
12. Potenciación con exponente entero.
13. Expresión decimal de un número racional
14. Expresiones decimales periódicas y números racionales.
15. Generatriz de una expresión decimal periódica
16. Ecuaciones e inecuaciones

3.2.5 El sistema R, de los números reales

1. Expresiones decimales no periódicas y números irracionales. Numéricas
2. Igualdad
3. Adición, propiedades
4. Relaciones menor y mayor. Propiedades
5. Valor absoluto
6. La recta real
7. Multiplicación. Propiedades
8. Inverso de un número real.
9. La propiedad distributiva
10. Sustracción y división. Propiedades
11. Potenciación. Propiedades
12. Desigualdades
13. Ecuaciones e inecuaciones
14. Radicación, Razones y proporciones aritméticas y geométricas.
15. Porcentaje
16. Regla de tres, de interés y de mezcla.

3.2.6 Polinomio

2. Monomios y polinomios. Grado de un polinomio.
3. Adición y sustracción de polinomios.
4. Productos notables.
5. Multiplicación y división de polinomios. División sintética.
6. Cocientes notables
7. Casos de factorización.
8. Ecuaciones lineales y cuadráticas.

4. PROPUESTAS PEDAGÓGICAS

4.1 ESTILOS DE ENSEÑANZA:

La matemática como actividad posee una característica fundamental: La Mate- matización. Mate matizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.

Según Treffer hay dos formas de matematización: La matematización horizontal y la matematización vertical.

La Matematización Horizontal: Nos lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

La Matematización Vertical: Consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones.

4.2 CONSTRUCTIVISMO:

Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma. El estilo estructuralista basa sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado.

Según este modelo a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. Ese fue y sigue siendo el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva en sobremanera la componente vertical.

4.3 MECANICISMO:

El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un reglas.

A los alumnos se les enseña las reglas y ellos deben aplicarlas a los problemas que son similares a los ejemplos previos.

Raramente se parte de problemas reales o cercanos conjunto de al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como origen de los conceptos y procedimientos, y se da mucha importancia a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. Ayuda en las operaciones aritméticas y algebraicas.

4.4 EMPIRISMO:

Alumnos adquieren experiencias y contenidos Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.

Según este modelo los alumnos aprenden mas cuando se trata de conocimientos que aplica en la realidad. como la aritmética, la geometría, etc.

4.5 REALISTA:

El estilo parte así mismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en el empirista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc.

El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno, así, las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos.

4.6 LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: 

La heurística tenía por objeto el estudio de las reglas y de los métodos de descubrimiento y de la invención. La heurística moderna, inaugurada por Polya (1945) trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones típicamente útiles en este proceso.

¿Qué es un problema?

Polya lo definió: Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.

Krulik y Rudnik: Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cuál no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma

4.7 UN PROBLEMA DEBE SATISFACER:

• Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.
• Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.
• Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.

5. El proceso de resolución de un problema

Para Geoge Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:

Comprender el problema

¿Cuál es la incógnita?

¿Cuáles son los datos?

Concebir un plan

¿Se ha encontrado con un problema semejante?

¿Conoce un problema relacionado con este?

¿Podría enunciar el problema de otra forma?

¿Ha empleado todos los datos?

Ejecutar un plan

¿Son correctos los pasos dados?

Examinar la solución obtenida

¿Puede verificar el resultado?

¿Puede verificar el razonamiento?

Las fases anteriores caracterizan al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía de la hacino. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de escribir la manera de actuar de un resolutor ideal.

Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los alumnos, la resolución de problemas de matemáticas?

Los trabajos de Schoenfeld (1945), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutotes reales de problema: Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.

Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.

Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.

Control: aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella.

Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco el poco éxito en al resolución de problemas de los resolutotes reales. Así, cuando a pesar de conocer las heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo p procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución.

Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento el marco teórico, las creencias.

Por último están las heurísticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.

Las heurísticas son las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.

Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heurísticas. Entre las más importantes cabría citar:

Buscar un problema relacionado.

Resolver un problema similar más sencillo.

Dividir el problema en partes.

Considerar un caso particular.

Hacer una tabla.

Buscar regularidades.

Empezar el problema desde atrás.

Variar las condiciones del problema.

Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis.

Buscar un problema relacionado es una sugerencia heurística, pues se señala una dirección de trabajo, y sobre todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.

Considerar un caso sí se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado, formular un problema relacionado con él Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heurísticas. (Tal observación parte de una nota marginal de Polya) (Polya, 1962 vol 2 p.84))

Por último, hacer una tabla se podría considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heurísticas.

La característica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante.

En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heurísticas es el control de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La característica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.

Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en servicio para la resolución del problema.

Son decisiones ejecutivas:

• Hacer un plan
• Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos
• Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema
• Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona
• Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.

Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar. El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con el que aquí tratamos.

Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.

Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:

¿Qué estoy haciendo?

¿Por qué lo hago?

¿Para qué lo hago?

¿Cómo lo usaré después?

Lo mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.

La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución.

Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre ellas cabe destacar:

• Inflexibilidad para considerar alternativas.

Cuando una y otra vez faltan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo.

• Rigidez en la ejecución de procedimientos.

Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación, aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.

• Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.

Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?

• El efecto "túnel".

Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se está realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de una acción.

Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1998) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las decisiones ejecutivas y de control como las heurísticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.

Un modelo para la ocupación con problema (Miguel de Guzmán, 1991, p.80)

Familiarízate con el problema.

Trata de entender a fondo la situación

Con paz, con tranquilidad a tu ritmo

Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo.

Búsqueda de estrategias.

Empieza por lo fácil

Experimenta

Hazte un esquema, una figura, un diagrama

Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada

Busca un problema semejante.

Inducción.

Supongamos el problema resuelto

Supongamos que no.

Lleva adelante tu estrategia

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior.

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

Revisa el proceso y saca consecuencias de él.

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más simple.

Mira hasta dónde llega el método.

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.

6. Propuesta: Resolución de problemas

"En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas"

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)

Tenemos tres maneras de interpretar lo anterior:

1. Enseñar para resolver problemas

1. Proponer a los alumnos mas problemas ("llenarles de problemas")
2. Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y las ciencias.
3. Dar problemas que promuevan la investigación (de qué otra manera puedo resolver el MCD)

1. Enseñar sobre la resolución de problemas

1. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas (explicar detalladamente y darles pautas, métodos, etc.)

1. Enseñar vía resolución de problemas

1. Enseñar matemáticas a través de problemas para:

• Desarrollar la capacidad de razonamiento.
• Aplicar la teoría previamente expuesta.
• Resolver cuestiones que la vida diaria plantea.

Una propuesta didáctica

"Nuestras creencias sobre qué es matemática influye en la forma en que la enseñamos"

Mecanicismo:

Transmitir conocimiento acabado, abstracto y de una manera expositiva. Define, en abstracto y da procedimientos.

Planteamos una propuesta:

Considerar la matemática como algo en constante creación. Las estructuras matemáticas se amplían. Entonces no bastará la exposición. Habrá que hacer partícipes a los alumnos del propio aprendizaje. Nos preguntamos ¿cómo?

Respondemos: Dando significado a lo que se enseña. Hay que convencer a los alumnos de que la teoría de números (y en general la matemática) es interesante y no solo un juego para los más aventajados.

Los problemas y la teoría deben mostrarse a los estudiantes como relevantes y llenos de significado.

Para los maestros:

Debemos preguntarnos

¿Qué aprenden los alumnos?

¿Cómo enseñamos?

¿Cómo aprenden los alumnos?

Polya en una de sus citas menciona:

"?si pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello".

7. Conclusiones

1. La teoría de números no es un estudio concluido. Se siguen estudiando muchos aspectos de ella por grandes estudiosos.
2. Es importante que se conozcan las propiedades de la teoría de números porque constituyen un avance en el accionar no sólo racional sino también científico del hombre.
3. Un educador debe conocer los aspectos más esenciales dentro de la teoría de números. Saber que es de vital importancia que sus alumnos adquieran no sólo nociones sino conceptos de teoría de números.
4. Es trascendental, a su vez, que el profesor maneje didácticas bien trabajadas para la aprehensión total del alumno.

Bibliografía

Fuente:

Fuente: Portal del Ministerio de Educación

Fuente: Portocarrero Ochoa, Dora Cristina. Los conocimientos matemáticos de egresados de educación secundaria y los problemas humanos que requieren aplicación matemática.

Fuente: Gómez Alfonso Bernardo. Numeración y cálculo. Editorial Síntesis

Fuente: www.wikipedia.org

Nombres:

Marlon Agreda Naquiche

Jacqueline Ignacio Arias

Aquiles Chepe Romero

Marco Muñoz Mejía

Luis Ccopa Luque

Ronald Límaco Cusi

Perú, Lima, Ciudad Universitaria, 17 de Julio de 2006