Teoría de números aplicado a la Educación Secundaria

1. Breve historia de la teoría de números
2. Teoría de números
3. Teoría de los números en la educación secundaria y propuestas
5. El proceso de resolución de un problema
6. Propuesta: Resolución de problemas
7. Conclusiones

1. Breve historia de la teoría de números

1.1 Prehistoria

Podemos decir que la teoría de números empezó con el matemático griego Diofanto de Alejandría en el siglo III d.c. Diofanto escribió trece libros (siete de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de ecuaciones algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?

Pero la contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de la traducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en 1621 por C.G. Bachet. Esta traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números, Pierre de Fermat.

1.2 Fermat (1601-1665)

Pierre de Fermat es uno de los matemáticos más importantes de la historia. Aunque de hecho no era matemático "profesional" sino juez. Vivió durante la mayor parte de su vida en Toulouse, dedicándose en las horas libres a las matemáticas. Entre los resultados más importantes que obtuvo podemos destacar la invención (junto con Descartes) de las ahora llamadas coordenadas cartesianas, que permiten "traducir" los problemas geométricos a problemas algebraicos.

Pero los resultados que le han hecho más famoso fueron sin duda los que obtuvo trabajando inspirado en el libro de Diofanto, que dieron origen a la teoría de números. Aunque debido a la forma de trabajar de Fermat, que no publico sus resultados en vida y solo divulgaba a través de cartas a sus amigos y colegas, tenemos pocas indicaciones de cuales eran sus métodos para resolver los problemas.

Entre los resultados más conocidos que obtuvo (o anunció) hay:

El llamado "Pequeño teorema de Fermat": Para todo número primo "p" y para todo número natural "a" no divisible por p tenemos que p divide a ap-1-1.

El resultado más famoso de Fermat en la actualidad no es de hecho un resultado suyo, aunque se le denomina el "ultimo teorema de Fermat".

Parte de su fama es debida a la manera como formuló el resultado y también porque se han tardado más de 350 años para darle la razón. La historia empieza después de su muerte en que su hijo publico la edición que tenia Fermat del libro de Diofanto junto con las anotaciones originales de Fermat. En una de ellas, concretamente al margen de la parte en que Diofanto habla de las

ternas pitagóricas, Fermat dejo escrito el siguiente enunciado (traducido al lenguaje moderno):

Para cualquier numero natural n mayor o igual que 3, la ecuación:

A + B = C

No tiene soluciones (naturales) salvo que A, B o C sean cero.

Y añade:

Tengo una demostración maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla.

A partir de ese momento muchos de los matemáticos más importantes de la historia intentaron demostrarlo sin éxito has que recientemente, en 1994, Andrew Wiles consiguió demostrar este resultado; aunque no con los métodos que podía conocer Fermat. Queda aún la duda si Fermat tenía o no la demostración de este Teorema.

Fuente: http://usuarios.lycos.es/teoriadenumeros/historia.html

2. TEORÍA DE NÚMEROS

La teoría de números es una parte del álgebra en la que se estudian las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z), que no arrojan resultados fuera de dicho conjunto. Esta condición hace que por ejemplo las operaciones división y raíz queden fuera, ya que pueden producir resultados no enteros.

la teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades y de las relaciones de los números Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.

La teoria de números contiene una cantidad considerable de problemas que son "fácilmente comprendidos por los no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en varias ramas.

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números la divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las

congruencias.

Son enunciados típicos

El Teorema de Fermat

El teorema de Euler

El teorema chino del resto

La ley de la

reciprocidad cuadrática.

En esta rama se investigan las propiedades de las

funciones multiplicativas como:

La función de Möbius

La función φ de Euler

Las sucesiones de números enteros (los factoriales)

Los números de Fibonacci.

Conjeturas y teoremas relacionados con la teoría de números:

Conjetura de Goldbach sobre si todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.

Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos

Último teorema de Fermat (demostrado en 1995)

Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.

2.1.-Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a·c. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b (o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

Propiedades

Sean a, b, c pertenecen Z:

• 1. 1|a, a|0, a|a.
• 2. Si a|b y b|a, entonces a = ±b.
• 3. Si a|b y b|c, entonces a|c.
• 4. Si a|b, entonces a|bx, para todo x perteneciente Z.
• 5. Si a|b y a|c, entonces a|(bx + cy
• 6. Si a|b·c y mcd(a,b)=1, entonces a|c

2.2.-El Máximo Común Divisor

Ejemplo 4.

Veremos un algoritmo que permite hallar el máximo común divisor de una manera más rápida

2.3Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides es un método eficaz para calcular el máximo común divisor (mcd) entre dos números enteros. El algoritmo consiste en varias divisiones euclidianas sucesivas. En la primera división, se toma como dividendo el mayor de los números y como divisor el otro (se ahorra así un paso). Luego, el divisor y el resto sirven respectivamente de dividendo y divisor de la siguiente división. El proceso termina cuando se obtiene un resto nulo. El mcd es entonces el penúltimo resto del algoritmo.

Definición

Formalmente, si llamemos a, b los enteros iniciales, r1, rn … rn-1 y rn = 0 los restos sucesivos, entonces:

mcd (a, b) = mcd (b, r1), con r1 = a – b·q (q es el cociente de a por b)

En efecto los divisores comunes de a y b son los de a – b·q y b:  

porque si q divide a y b, obviamente divide a – b·q que es una combinación lineal de ambos, y recíprocamente a = (a – b·q) + b·q es una combinación lineal de b y a – b·q. Luego el menor de los divisores comunes es el mismo, y repitiendo la operación:

mcd (b, r1) = mcd (r1, r2) = mcd (r2, r3) = … = mcd (rn-1, rn) = mcd (rn-1, 0) = rn-1.

Esto permite detallar el algoritmo efectivo:

Este algoritmo da como resultado 0 si a y b son nulos, mientras que en matemáticas, el mayor divisor de cero no existe.

2.4 El Mínimo Común Múltiplo

Ejemplo 6.

Determine el mínimo común múltiplo de

Solución.

Note que calcular un mínimo común múltiplo utilizando la definición no es un algoritmo muy eficiente, más adelante se brinda una manera más eficiente de calcularlo.

2.5Teorema de Euler

La expresión

significa que a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, esto es, que ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, a − b es un múltiplo de n.

Ahora bien, un hecho importante sobre módulos de números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo y a es cualquier entero, entonces

Esto fue generalizado por Euler:

Para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, entonces: , donde φ(n) denota función fi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n.

Es necesario señalar que el teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo .

2.6.-Teorema chino del resto

2.7.-Función multiplicativa

En teoría de números, una función aritmética (es decir, definida para n entero) se dice multiplicativa si:

f(1) = 1

f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n son enteros coprimos (no tienen factores comunes).

Ejemplos

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas que son relevantes en la teoría de números son:

φ(n): la función φ de Euler, que cuenta los enteros positivos coprimos con n.

μ(n): la función de Möbius, relacionada con el número de factores primos de los números no divisibles por un cuadrado perfecto.

d(n): el número de divisores positivos de n.

σ(n): la suma de todos los divisores positivos de n.