Comprensión de problemas matemáticos en estudiantes Matemática – Física

Resumen

La investigación aborda un tema de gran actualidad, relacionado con la comprensión de problemas, contenido este en el cual se ha podido determinar un grupo de insuficiencias como son: el reconocimiento de lo dado y lo buscado en problemas, así como el establecimiento de relaciones. Durante el proceso investigativo se emplearon diferentes métodos teóricos, empíricos y estadísticos que posibilitaron tanto las indagaciones empíricas sobre el tema, como el proceder metodológico a seguir y la valoración de los datos que se obtenían en los diferentes momentos. A partir de la determinación de la contradicción existente entre los objetivos formativo a de la carrera Matemática–Física en cuanto a esta problemática y la carencia de ejercicios suficientes para el tratamiento a este contenido tanto en los libros de texto, es que se procedió a la elaboración de ejercicios variados, que tienen presente el tratamiento a los diferentes elementos que se ofrecen en determinadas situaciones y problemas. El resultado alcanzado con la puesta en práctica de los ejercicios propuestos demuestra su efectividad, pues se logró mayor independencia en las formas de operar, así como un elevado interés por los resultados que se obtienen, tanto colectiva como individualmente, al confirmar avances en los elementos esenciales que contribuyen al desarrollo de la comprensión de los problemas.

Introducción

La Matemática es una de las ciencias más antiguas y, a lo largo de los años, ha sido utilizada con fines diversos. Esta ciencia es extraordinariamente dinámica y cambiante, a tal punto que sus conceptos primarios sufren transformaciones relativamente rápidas y hasta su propia concepción, aunque de modo más lento, experimenta cambios tangibles. La Matemática es un fenómeno cultural universal, pues cualquier civilización crea una Matemática.

En la medida en que se transformó la sociedad, la Matemática experimentó un crecimiento exponencial, planteando nuevos retos para enseñarla y aprenderla. En el finalizado siglo XX, con la denominada "Revolución Científico–Técnica", la correspondiente evolución didáctica alcanzó una velocidad sin precedentes, así que el abordaje de la realidad actual no es tarea sencilla.

En el ámbito educativo iberoamericano coexisten una amplia variedad de enfoques y corrientes, afines a la enseñanza de las ciencias y en especial a la Matemática. A título de ejemplo se puede mencionar el "Constructivismo", la "Enseñanza Problémica", la "Enseñanza por Problemas" y la "Etnomatemática", por solo citar algunas. Es una regularidad que, tanto las concepciones más radicales como las más eclécticas, preconizan el logro de un aprendizaje significativo; para ello se sirven, principalmente, de problemas matemáticos.

Halmos expresó su convencimiento de que "los problemas son el corazón de la Matemática"[1] Así, en vista de que el contenido determina el método, de esta metáfora se infiere que también los problemas son "el corazón" de la Didáctica de la Matemática. Es justo destacar que, la tarea de comprender problemas, puede llegar a ser muy difícil.

En Cuba, con las transformaciones del enfoque metodológico, los maestros se plantean dos interrogantes fundamentales: ¿cómo lograr que los estudiantes comprendan y resuelvan sus propios problemas? y ¿cómo evaluar el desarrollo de los procesos psicológicos asociados? Ciertamente existen dificultades, pues no sólo los estudiantes están lejos de saber plantearse problemas, sino que los propios docentes (en general) carecen de recursos y motivación para incorporar esta tarea a su actividad pedagógica.

A fin de deslindar el problema, es necesario observar primero una seria dificultad que experimenta una estructura cíclica. En efecto, de forma general, el estudiante no recibe una enseñanza que lo lleve a asumir una actitud activa, inquisitiva y perseverante ante la comprensión de un problema, pues el maestro no lo hace de manera implícita ni explícita. Este mismo estudiante matricula en la carrera de Matemática- Física, donde se enfrenta a problemas tanto matemáticos como físicos que no logra resolver, porque realmente no logran comprenderlo.

A pesar de la elevada preparación de los claustros, no hay evidencia de acciones dirigidas a estimular el proceso de formulación de problemas al nivel de carrera. Sólo en el plan de estudio actual se ha planteado el objetivo "Enseñar a comprender y resolver problemas relacionados con diferentes aspectos de la realidad económica, política y social y donde se manifiesten las relaciones ciencia-tecnología-sociedad-ambiente, utilizando contenidos de la física y la matemática, sobre la base de la aplicación de procesos de pensamiento, procedimientos y estrategias de trabajo y el aprovechamiento de las tecnologías de la información y las comunicaciones, que promuevan el desarrollo de la imaginación, de modos de la actividad mental, sentimientos, actitudes y valores acordes con los principios de nuestra sociedad."[2] Sin embargo, la literatura no registra experiencias sobre cómo el futuro profesional puede aprender a comprender problemas, ni mucho menos de cómo puede aprender a enseñar a hacerlo.

Finalmente, el egresado pasa a formar parte de aquellos profesores que iniciaron este comportamiento cíclico. Surge así la necesidad de romper la cadena por algún lugar. A juicio de la autora, la cadena debe romperse en el transcurso de sus cinco años de carrera, pues el maestro en formación es más susceptible al cambio, en su modelo de actuación, que el maestro en ejercicio.

Todo el análisis anterior conduce, en síntesis, a un importante problema científico: ¿Cómo favorecer el proceso de comprensión de problemas en los estudiantes de la carrera Matemática–Física?

Desarrollo

En Cuba, se le brinda esmerada atención al tratamiento de los problemas matemáticos. Comienzan a trabajarse desde el primer grado, y deben favorecer en los estudiantes tres capacidades básicas: la identificación, la formulación y la solución de problemas; las dos primeras constituyen medios fundamentales para el fin esencial que se persigue en la escuela, o sea, que los estudiantes lleguen a resolver problemas.

Por esta razón, el proceso de enseñanza-aprendizaje está dando pasos de avances en el perfeccionamiento de la clase en este aspecto; por ser esta la forma de organización que más impacto tiene en los estudiantes, dado su carácter planificado, sistemático y organizado.

La solución de problemas, es una de las actividades que más requiere de la inteligencia y a la que más utilidad práctica se le da en el transcurso de la vida; de ahí que es una exigencia del modelo de clase actual aplicar ejercicios de este tipo, en la que intervienen diferentes procesos del pensamiento como son: la comprensión, la concentración, la memoria, la generalización y la abstracción; por lo que se le ubica en el segundo nivel de desempeño cognitivo, si la vía de solución es conocida para la mayoría de los escolares, y en el tercer nivel de desempeño cognitivo, si la vía de solución es desconocida para la mayoría de estos.

La palabra problema, en el lenguaje común: es aquel ejercicio en el que ofrecen datos, que se utilizarán para encontrarle solución y respuesta a una pregunta. Para el maestro esta palabra debe tener un significado más preciso: un problema representará una situación nueva.

Muchos autores han definido a través de los tiempos lo que es un problema matemático. Lo han hecho desde diferentes puntos de vista: práctico, social, psicológico y metodológico, entre ellos: Celia Rizo Cabrera, Luis Campistrous, Labarrere, Jungk, Juana Albarrán Pedroso, entre otros.

En esta investigación, es asumida la definición de problema, que desde el punto de vista metodológico se adapta a las condiciones de la escuela primaria actual, y que declara Albarrán Pedroso: "Tarea con cierto grado de complejidad que debe resolver el escolar para la cual no existe, no se conoce o es difícil de aplicar un algoritmo de solución, lo que requiere busque dentro de los conocimientos que posee los que le sirven para encontrar la vía para resolverlo." [3]

En un sentido amplio, la anterior definición considera que un problema es una tarea compleja que debe resolver el escolar, relacionada con cualquiera de los contenidos matemáticos en la que hay que aplicar una serie de pasos para llegar a resolverla.

En particular, al aprendizaje de los problemas los estudiantes se enfrentan desde los primeros grados. Su complejidad aumenta, a medida que aumentan los conocimientos matemáticos. En este proceso desarrollan un papel esencial los significados prácticos de las cuatro operaciones de cálculo.

En el trabajo con los problemas, es fundamental que el docente considere entre otros aspectos, que el estudiante esté motivado por los problemas, que aprenda a distinguir un problema de otro tipo de ejercicio y que aprenda cómo proceder para la solución de este tipo de ejercicio.

Existen diversas clasificaciones de problemas. Al respecto se reconocen las tres clasificaciones que se corresponden con los diferentes grados de dificultad. Han hecho referencia Luis Campistrous Pérez, Celia Rizo Cabrera y Daniel González, los que coinciden en plantear las siguientes:

1- Paso del texto al modelo intuitivo: esta se refiere a la interpretación del texto y su tránsito a la modelación de esquema. Tiene tres niveles de complejidad:

• No hace falta modelar.

• Sale mediante un modelo inmediato y cálculo.

• El modelo es complejo.

• Estructural: La dificultad depende de la estructura aritmética del problema, teniendo en cuenta la cantidad de subproblemas y operaciones que intervienen en la solución. Por el nivel de dificultad se distinguen en:

• Problemas simples

• Problemas compuestos (Independientes, Dependientes)

3 – Por su lenguaje.

• Directo.

• Indirecto o complejo

La comprensión de estas clasificaciones posibilita que el docente comprenda y reconozca el tipo de problema al que se enfrentarán sus estudiantes y en correspondencia con ello, así será la preparación que garantizará en los mismos. Estas requieren de una preparación consecuente para su tratamiento.

Varios autores han hecho referencia a la estructura externa de los problemas a partir de presupuestos teóricos asumidos. Esta investigación abordará la que refiere Daniel González:

• "Datos: Magnitudes, números y relaciones matemáticas.

• Condiciones: Relaciones matemáticas no explícitas entre lo dado y lo buscado, significado práctico de las operaciones matemáticas y la estructura.

• Pregunta: La incógnita, lo que hay que averiguar."[4]

En la investigación, es asumido el programa heurístico general declarado por Albarrán Pedroso. Este posibilita dirigir la enseñanza de la resolución de problemas y la orientación de la realización de acciones para aprender a resolverlos.

Este programa heurístico posibilita además la comprensión de dichos problemas. El mismo tiene sus antecedentes en el programa heurístico declarado por Host Müller que, ofrece un sistema de procedimientos e indicaciones, parcialmente ordenados, para la realización de las acciones del escolar en correspondencia con las del maestro, al solucionar cualquier tipo de ejercicio matemático.

El programa heurístico general "… constituye para el docente el instrumento universal de dirección, y para el escolar, por supuesto, en forma más sencilla y abreviada, el fundamento completo de orientación en el trabajo con ejercicios, sobre todo con los que tienen carácter de problema."[5]

De esa afirmación, se infiere que la utilización del programa heurístico general es ineludible en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, en específico, si se trata del trabajo con problemas.

El programa citado consta de cuatro etapas generales cada una se subdivide en etapas parciales y en cada una de estas etapas parciales o subetapas se ofrecen preguntas e indicaciones para las acciones que deben realizar los estudiantes al resolver un problema.

La primera etapa, "Orientación hacia el problema

La segunda etapa, "Trabajo con el problema",

En el tratamiento a los problemas, se debe destacar que para cada nivel existen en los programas horas clases para trabajar este elemento del conocimiento. No obstante, es imperioso precisar que, no puede existir un aprendizaje eficaz en la resolución de problemas, si no están desarrolladas las habilidades necesarias e imprescindibles para su comprensión.

Al referir la comprensión de problemas en segundo grado, es necesario que se realice un análisis detallado de las habilidades, al considerar, que en este caso se está en presencia de una habilidad específica de la Matemática, que tiene gran trascendencia en todas las esferas de la vida del individuo. Es por ello que se abordan determinados elementos teóricos al respecto.

Diversos han sido los autores que han definido el concepto de habilidad, entre los que se destacan: Petrovsky, Talízina, Álvarez de Zayas y muchos otros. Al realizar una valoración de esas definiciones, se aprecia coincidencia al considerar que la habilidad se desarrolla en la actividad, con la sistematización de las acciones subordinadas a un fin consciente, lo cual no implica sólo la repetición y su reforzamiento; sino también el perfeccionamiento de las mismas mediante la sistematización de las acciones.

Se asume la definición de Mercedes López López en su libro ¿Sabes enseñar a describir, definir y argumentar?, quien define las habilidades como: "… un sistema complejo de operaciones necesarias para la regulación de la actividad por lo que están presentes en el proceso de obtención de la información y de la asimilación de los conocimientos, así como en el uso, expresión y aplicación de los conocimientos."[6]

Es posible asumir la misma al considerar que las habilidades son necesarias para la regulación de la actividad; además, están presentes, tanto en la obtención de la información, como en la asimilación de los conocimientos; y estas se ponen de manifiesto en la aplicación de dichos conocimientos.

Comprender un problema aritmético es mucho más, es un proceso activo de construcción de significados por parte escolar, el cual depende mucho de los saberes o experiencias que sobre el tema en cuestión posea este, es decir, si sabe identificar los datos y analizar si sobran o faltan; si puede interrelacionarlos; si ha podido resolver problemas similares, hacer gráficos que esclarezcan la situación, e incluso, determinar cuál es la operación aritmética que permite su solución.

Disímiles han sido las definiciones de comprensión dadas por diversos autores. En esta investigación se asume la definición ofrecida por Rosalio Mañalich, quien la concibe como: "… un proceso intelectual e interactivo (texto / lector / contexto) mediante el cual el sujeto obtiene, procesa, evalúa y aplica la información a partir de su conocimiento previo, experiencia, grado de motivación sobre el asunto que contiene el texto…".[7]

Esta definición es asumida porque comprender un problema es un proceso que requiere esfuerzo intelectual, es decir, la ejecución de operaciones mentales; necesita también, de la interacción con el enunciado del problema y entre los estudiantes con el fin de analizar la información que ofrece: lo que se da, lo que hay que hallar. Asimismo, es un proceso en el que hay que tener en cuenta lo que saben los estudiantes acerca del mismo, el nivel de complejidad del problema, el tipo de problema, etc.

Se comprende un problema cuando se ha comprendido su enunciado, cuando se es capaz de determinar las relaciones que se establecen entre los datos que aporta, si se cuestiona si son suficientes o innecesarios, si se puede formular el problema de otra manera o representar en un gráfico o esquema de la situación, se elabora un plan de solución y, por supuesto, se está entonces en condiciones de llegar a resolverlo de forma satisfactoria.

Proceder metodológico a seguir para la utilización de los ejercicios

Los ejercicios propuestos se han diseñado a partir de la necesidad que existe de que los estudiantes comprendan problemas. Para la instrumentación de los mismos, se pueden emplear las diferentes posibilidades que brinda el proceso docente educativo.

Debe tenerse en cuenta se tomarán como base los contenidos adquiridos en los grados anteriores, en lo que a la solución de problemas respecta, con el propósito de contribuir al comprensión de problemas.

Los ejercicios quedan debidamente justificados, pues en las indagaciones empíricas realizadas, se pudo constatar que las actividades que aparecen en los libros de texto, están dirigidas fundamentalmente a solución de problemas como finalidad y no se sistematizan las acciones u operaciones que contribuyen a su comprensión.

Los problemas que se han incluido en los ejercicios se corresponden con las dificultades de cálculo, además se da tratamiento a los problemas típicos del nivel preuniversitario. Se sugiere que para su tratamiento, se tenga en cuenta fundamentalmente el orden en que aparecen los ejercicios, pues se han organizado en correspondencia con las acciones y operaciones que se deben desarrollar para la comprensión de problemas.

Debe considerarse que lo antes declarado no implica que todos los estudiantes tengan que resolver el 100% de los ejercicios, estos serán seleccionados por el docente en correspondencia con el diagnóstico que se posea tanto del grupo, como de cada estudiante en particular, para así dar atención a las diferencias individuales. Ello garantizará en alguna medida que se logre transformar la situación inicial, a partir de asignar a cada cual las que necesita resolver. Resulta esencial que se tenga en cuenta también la zona de desarrollo potencial y que a partir de ello se ofrezcan niveles de ayuda.

Se debe prestar especial atención a determinados aspectos que contribuyen considerablemente al desarrollo de la comprensión de problemas. En este sentido, es necesario que el docente evalúe constantemente los avances que se experimentan, así como, las dificultades presentadas en la solución de cada ejercicio.

Un elemento esencial lo constituye garantizar que en todo momento el aprendizaje adquiera un adecuado significado y que se asuma este desde una posición reflexiva, donde desempeñan un papel esencial las relaciones que se establecen entre las diferentes acciones.

Se sugiere que durante la ejecución y el control se utilicen diferentes formas como son: el trabajo en parejas y en equipos, debido a las potencialidades que ambos tienen, en la asimilación consciente de los contenidos y la formación de rasgos del carácter como la honestidad, el autocontrol, la valoración, autovaloración y el compañerismo y así de esta manera lograr la socialización del aprendizaje.

Los ejercicios se estructuran en cinco grupos, a partir de las acciones que deben realizar los estudiantes para comprender el enunciado de los problemas y a su vez, cuenta cada ejercicio con varios incisos:

Objetivos de los cinco grupos de ejercicios:

• 1. Valorar la importancia de la lectura y relectura de los enunciados de los problemas.

• 2. Identificar lo dado y lo buscado en los problemas mediante la lectura y relectura de los enunciados.

• 3. Identificar lo dado y lo buscado en los problemas mediante la lectura y relectura de los enunciados.

• 4. Reconocer si los datos determinan la solución de problemas dados.

• 5. Reconocer si los datos determinan la solución de problemas dados.

Resultados obtenidos con la aplicación del sistema de ejercicios

Con el propósito de conocer antes de la aplicación las opiniones del personal con experiencia, respecto al sistema de ejercicios, se realizó una encuesta a 15 docentes, todos con más de 10 años de experiencia. De ellos 9 con título académico de Máster, 6 Licenciados en Matemática. Todos los docentes encuestados emitieron elementos positivos sobre las situaciones que se ofrecen en los problemas y la estructura y organización de los ejercicios, en este sentido expresaron que las situaciones narradas en los problemas resultaban interesantes en correspondencia con el nivel y las características de los estudiantes de la carrera, así como que el sistema estaba debidamente organizado para los fines con que había sido concebido.

Durante aplicación de los ejercicios, se desarrolló como método empírico, la observación participante que posibilitó constatar tanto los avances, como los desaciertos que los estudiantes experimentaban con respecto a los indicadores considerados en la investigación para medir la variable comprensión de problemas.

Fue posible apreciar los avances que experimentaban en cuanto al reconocimiento tanto de lo dado, como de lo buscado. Con respecto a determinar si sobraban o eran suficientes los datos, se suscitaban determinadas discusiones en el grupo, a partir de que los estudiantes exponían sus elementos y en ocasiones llegaban a reconocer sus errores.

Este método, posibilitó además apreciar cómo los estudiantes intercambiaban entre ellos, al buscar niveles de ayuda en otros compañeros con más habilidades desarrolladas al respecto. Trazaban sus propias estrategias de trabajo, entre las que se encuentra el trazado de esquemas para poder relacionar lo dado con lo dado o lo dado con los elementos buscados.

Una vez aplicado el sistema, se aplicó una prueba pedagógica final con el propósito de constatar su efectividad para la comprensión de problemas. Tanto el diseño como la manera de evaluar los indicadores, estuvieron en correspondencia con los de la pruebas pedagógica inicial

Los resultados obtenidos en esta prueba pedagógica permiten confirmar la existencia de avances en todos los indicadores evaluados para medir la variable comprensión de problemas, respecto a la prueba pedagógica inicial

Se constataron avances en cuanto al reconocimiento de los datos y las incógnitas, las relaciones entre los datos, las incógnitas, lo dado y lo buscado.

Como es posible apreciar, con el análisis de los resultados obtenidos en este instrumento, encuesta al personal con experiencia, se pudo corroborar una vez más la factibilidad del sistema ejercicios propuestos para la comprensión de problemas en los estudiantes de la carrera Matemática-Física.

Conclusiones

La determinación de los fundamentos teórico-metodológicos existentes en la literatura consultada sobre el aprendizaje de la resolución de los problemas en el nivel superior, la comprensión de los mismos en la carrera y las tareas docentes como vía para ello, revelaron la existencia de varias concepciones y experiencias positivas acerca del tema. Se reconocen las etapas del programa heurístico general, específicamente la comprensión del enunciado y la determinación de la vía de solución; así como las acciones y operaciones a desarrollar por los estudiantes. El diagnóstico realizado posibilitó constatar la existencia de dificultades en la comprensión de problemas, en los estudiantes de la muestra seleccionada, entre dichas dificultades se pueden citar las relacionadas con la determinación de lo dado y lo buscado. Los sustentos teórico-metodológicos obtenidos en la literatura consultada, así como el resultado del diagnóstico inicial, permitieron elaborar el sistema de ejercicios propuesto para la comprensión de problemas, en los estudiantes de la muestra seleccionada, entre las que se encuentran la variedad, el nivel creciente de dificultad. Los resultados alcanzados con la puesta en práctica del sistema se ejercicios, justifican su validez para contribuir a la comprensión de problemas, en los estudiantes de la carrera Matemática-Física. Se lograron avances en la comprensión de los enunciados, como elemento necesario para llegar a la determinación de la vía de solución.

Bibliografía

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Autor:

MSc. Yanelis Díaz Núñez

MSc. Arlenis Martínez Ortega

MSC. Anayen Reyes González

Institución: Universidad Agraria de la Habana Facultad de Ciencias Pedagógicas

[1] Halmos, P. (1980) The heart of the mathematics. American Mathematical Monthly, Vol. 87, p. 524.

[2] MODELO DEL PROFESIONAL,Plan de Estudio ?D?.CARRERA DE LICENCIATURA EN EDUCACI?N MATEM?TICA ? F?SICA (Soporte Digital)

[3] ALBARR?N PEDROSO JUANA V. Las formas de trabajo heur?stico en el proceso de ense?anza-aprendizaje de la Matem?tica escolar. En Did?ctica de la Matem?tica en la Escuela Primaria._La Habana: Ed. Pueblo y Educaci?n, 2005. _ p.28.

[4] GONZ?LEZ GONZ?LEZ, D. Una propuesta did?ctica para los maestros primarios sobre la formulaci?n de problemas matem?ticos. En Did?ctica de la Matem?tica en la Escuela Primaria._La Habana: Ed. Pueblo y Educaci?n, 2005. _ p.104.

[5] ALBARR?N PEDROSO JUANA V. Las formas de trabajo heur?stico en el proceso de ense?anza-aprendizaje de la Matem?tica escolar. En Did?ctica de la Matem?tica en la Escuela Primaria. La Habana: Ed. Pueblo y Educaci?n, 2005. _ p.24.

[6] MERCEDES L?PEZ L?PEZ ?Sabes ense?ar a describir, definir y argumentar? __La Habana: Ed. Pueblo y Educaci?n, 1990. __ p. 2.

[7] MA?ALICH, ROSARIO.: Taller de la palabra._ La Habana: Ed. Pueblo y Educaci?n, 1999._ p.36.