Kant y la crisis de las matemáticas en la actualidad

INTRODUCCION
El tema que me propongo estudiar en este ensayo, está en relación directa con la influencia en el desarrollo en nuestros días de la matemática y la lógica matemática, por autores de tanta importancia como Gottlob Frege, David Hilbert, y Russell, entre otros, como consecuencia de la publicación de la Crítica de la Razón Pura, de Manuel Kant, que sin lugar a dudas marcó un hito en la historia de la filosofía y en la filosofía de las ciencias, y negar su importancia tanto de sus seguidores, como de sus enemigos sería una labor sin ningún sentido.
Este debate entre las teorías propuestas por Kant en su Crítica, y las opiniones de destacados filósofos y científicos del siglo XX, será el tema principal con el cual espero poder realizar un diálogo, entre dos épocas distantes temporalmente. Este diálogo trata de buscar un lenguaje común que sirva de puente a los innumerables problemas a raíz de las diversas interpretación que se han hecho y se seguirán haciendo sobre nuestro autor.
Uno de los temas sobre los que espero ayudar a despejar la enrarecida atmósfera, que nuestra época nos presenta y que intenta obscurecer las valiosas ideas subyacentes a la Crítica, es mostrar que Kant entendía muy bien las ciencias de su época, en especial la aritmética, la geometría y la física, esto le permitió realizar una síntesis sin igual, entre una objetividad y una subjetividad, y entender que toda ciencia, siempre será ciencia para el hombre, es el hombre el que propone leyes, suma o toma la distancia más corta entre dos puntos. La realidad como tal no tiene leyes, ni las obedece, es esta relación con nuestra subjetividad lo que hace posible todo proyecto científico. Hoy en día, la mecánica quántica, si es valida, se encargará de demostrar esta tediosa concepción de la realidad del mundo que vivimos.
También entraremos a formar parte de la discusión sobre la verdadera naturaleza de los juicios matemáticos, ver si su carácter es analítico como dice la escuela logicista o son juicios sintéticos como nos propone Kant en la Crítica de la Razón Pura. La respuesta a esta pregunta definitivamente corresponde a uno de los más grandes logros del recorrido del pensamiento humano.
Pero al mismo tiempo que la confianza en la solidez del pensamiento matemático venia aumentando, por otro lado, aparecen ciertas interpretaciones, y me refiero a las provenientes de la teoría de conjuntos y el tratamiento del infinito dado por Cantor. Esta confianza creciente descansaba en la aceptación espontánea de ciertas evidencias, unas relativas a la existencia de los objetos matemáticos y otras a los procedimientos lógicos de demostración. En un momento dado, estas evidencias fueron puestas en discusión. Los matemáticos se percataron de la excesiva confianza concedida a la intuición hasta ahora y que las evidencias sobre las que se habían descansado, no debían ser consideradas más criterios inobjetables de verdad.
Este es el interrogante que el pensamiento matemático se había visto obligado a proyectar sobre sus intuiciones primeras, dando lugar a lo que se ha llamado la crisis de los fundamentos de las matemáticas.
El termino crisis no hay que entenderlo, como una situación dramática que afectara a la historia de las matemáticas, comprometiendo así el progreso de la razón. Este examen debe revisar el sistema aceptado de intuiciones consideradas como elementales. Esta revisión no debe afectar a las adquisiciones del pensamiento matemático realizadas hasta la actualidad.
David Hilbert plantea en ese momento la tesis sobre reemplazar los razonamientos intuitivos habituales de las teorías matemáticas por formulas y reglas, las cuales deben ser traducidas a formalismos, de tal manera que toda teoría matemática comprendidas sus demostraciones, razonamientos y las construcciones conceptuales, queden integrados en el edificio de la matemática como constituyentes formales, según el modelo del cálculo lógico.
El punto fundamental en esta propuesta de Hilbert, y que quiero resaltar en este punto del desarrollo de este estudio, es su aceptación de que las consideraciones intuitivas nunca podrán ser eliminadas o evitadas del todo, pensamiento donde se empieza a notar claramente el paralelismo entre las ideas de Hilbert y el del autor, origen de este ensayo.
La crisis antes mencionada, que tuvo lugar a principios del siglo XX, dio origen a tres escuelas: el logicismo de Gottlob Frege y Bertrand Russell, el Formalismo de David Hilbert, y el intuicionismo de Luitzen, Brower y Weyl. Por otra parte a finales del siglo XIX, se empezó a desarrollar también, un nuevo concepto de la lógica tradicional, lógica de mayor amplitud y precisión.
Esta nueva lógica se valió principalmente de formas simbólicas. Gottlob Frege y sus seguidores adoptaron y extendieron las representaciones simbólicas de los razonamientos hasta ahora utilizados por los matemáticos. También debemos recordar aquí el tratamiento dado a lógica por Boole en el the mathematical analysis of logic.
Tal como lo propone Frege y Russell, las matemáticas deben ser consideradas como parte de la lógica. Ellos nos mostraron que todo concepto matemático puede ser derivado de los conceptos fundamentales de la lógica. Siendo las matemáticas una rama derivable de la lógica, sus proposiciones debían ser tautológicas, razón por la cual, y aquí empezamos a entrar en nuestro dialogo de dos épocas, lejos de ser a priori, eran analíticas. La lógica se había vuelto pura, se había matematizado y su alcance también se extendía, pero otro lado se alejaba de la realidad, quedando esta realidad desconectada totalmente del sujeto.
La importancia de Frege, quizás el mas importante lógico desde Aristóteles, ha sido por el hecho de proponer la moderna lógica matemática; su logro más notable es lo que conocemos como la axiomatización de la lógica proposicional. Desde los primeros analíticos no se había producido una revolución parecida en la lógica.
Se trataba que a partir de un número pequeño de axiomas, y haciendo uso de reglas de inferencia, se logren deducir teoremas lógicamente válidos. También Frege se le considera el padre de la lógica de predicados, basada principalmente en el uso de cuantificadores.
La crisis comienza con el Teorema de Gödel. Este teorema supone la conmoción de las distintas filosofías de la matemática de finales del siglo XIX y principios del siglo XX: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer. El teorema provocó una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la matemática y de la filosofía del conocimiento en general.
El Teorema de Gödel está en el contexto del planteamiento que Hilbert hace de los sistemas formales. El programa formalista de éste tiene la pretensión de formalizar toda la matemática clásica. Establece como requisitos y problemas fundamentales de un sistema formal matemático la consistencia y la completitud. Los resultados de Gödel resuelven de modo negativo estas dos cuestiones.
En 1931, Gödel da pruebas de sus descubrimientos en el artículo "Sobre sentencias formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines". Muestra que no hay ningún sistema formal matemático con un número finito de axiomas que sea completo; por el contrario, hay problemas relativamente simples de la aritmética de números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas y reglas.
Gödel demostró, que es posible encontrar una fórmula que no es un teorema si expresa una verdad acerca de los números naturales y es un teorema si expresa una falsedad acerca de los números naturales.
Siguiendo este razonamiento, es posible demostrar que la existencia de esta formula quiere decir que el sistema debe ser inconsistente si es íntegro. Puede ser consistente sólo si no es íntegro y puede ser íntegro solo si es inconsistente.
En este sentido se refleja la incompletitud del sistema. El razonamiento de Gödel mostró que esta conclusión se aplica a cualquier sistema lo suficientemente rico para expresar la teoría de los números naturales, pues en todo sistema así puede construirse alguna fórmula gödeliana. Este resultado asesta un golpe decisivo contra la idea de que la verdad matemática puede identificarse con la deducción de axiomas.
1. FORMALISMO
LA CRISIS EN EL SIGLO XX

El programa de Hilbert, conocido también con el nombre de formalismo, consistió en proponer la doctrina de que los únicos fundamentos necesarios para las matemáticas son:

Su formalización (todo lo que hasta aquí ha constituido la matemática propiamente dicha queda estrictamente formalizado de manera que la matemática en sentido estricto se convierte en un cuerpo de formulas demostrables)
La demostración por métodos finitistas de que el sistema así construido es consistente, es decir que en algún momento dado no se presentará un contradicción que nos lleve a afirmar A y no A. Debemos añadir una disciplina en cierto sentido nueva, una metamatemática que sirve para asegurar la verdad de aquélla, protegiéndola del terror de interdicciones inútiles y de las dificultades creadas por las paradojas. En esta matemática, contrariamente a lo que se hace en los procedimientos de razonamiento puramente formales de la matemática, se aplica un razonamiento intuitivo que se utiliza para establecer el carácter no-contradictorio de los axiomas.

Para Hilbert, el pensamiento matemático posee realmente este privilegio de no conocer límite para su poder. No sólo debemos aceptar la hipótesis de un éxito perpetuamente renovado del pensamiento matemático, sino que podemos estar seguros de que es capaz de resolver todo problema cuyo enunciado no sea contradictorio.

Esta convicción de HIlbert se apoya en su concepción del ente matemático: para él, los objetos matemáticos tienen una existencia independiente del pensamiento y de las construcciones a través de las cuales intentamos descubrirlos y describirlos. Afirmando que todo problema matemático está ligado a la realidad objetiva que trata de estudiar, de tal suerte que esta realidad le es perfectamente visible en todos sus aspectos.

La realidad matemática no estaría situada en un mundo ideal, sino que se identifica con la realidad concreta de los signos. Tenemos aquí la independencia de las matemáticas frente a la lógica.

Escuchemos las palabras de Hilbert a este respecto:

"Reconociendo que existen tales condiciones y que es preciso tenerlas en cuenta, nos encontramos de acuerdo con los filósofos, y en particular con Kant. Éste había enseñado y ello constituye una parte integrante de su doctrina, el que las matemáticas disponen de un contenido que les es asegurado independientemente de toda lógica y que, por tanto, no pueden fundarse en absoluto sobre la lógica, lo que condena por anticipado al fracaso las tentativas de Frege y Dedekind. En realidad la condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos es que se dé algo a la representación, a saber: ciertos objetos concretos, extralógicos, que están presentes en la intuición en tanto que datos vividos de forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento. Para que el razonamiento lógico esté dotado de solidez, es necesario que se puedan abarcar estos objetos con la intuición directa en todas sus partes, como algo que no es susceptible de reducción o cuya reducción no es necesaria. La intuición inmediata debe percibir cómo están ordenados entre sí. Tal es la postura filosófica fundamental que yo considero esencial para las matemáticas y para cualquier especie de pensamiento, de comprensión y de comunicación científica. Particularmente en las matemáticas, el objeto de nuestro examen son los signos concretos mismos, cuya forma se nos manifiesta inmediata y evidentemente, conforme a nuestra posición fundamental permaneciendo perfectamente reconocible"

Al igual que Leibniz, que es considerado actualmente el inspirador de los principios fundamentales del logicismo, Kant lo fue del formalismo (y, debe reconocerse también, de los de la otra gran corriente que inspiró los estudios de fundamentos a principios del siglo XX: el intuicionismo). Kant pensaba que los axiomas de las matemáticas no eran ellos mismos principios lógicos, sino construcciones hechas basadas en la intuición del espacio y del tiempo.

Ahora bien, si la matemática consiste en la descripción de objetos concretos de algún género y sus relaciones, entonces no es posible que surjan inconsistencias ni paradojas en ella, pues la descripción de esos objetos no involucra contradicciones.

Pero, si esto es así, ¿Qué sucede con la noción de infinito actual ? ¿Supone esto que tenemos que abandonar la matemática transfinita de cantor? Hilbert mantuvo que la idea de infinito en matemáticas tenia un papel semejante a una idea de la razón, concepto que Kant había utilizado por ejemplo, para reconciliar la libertad moral y la fe religiosa con la necesidad física.

La idea de infinito es entonces algo que trasciende toda experiencia pero que, en algún sentido la completa, Así, aunque la idea de infinito actual sea algo completamente distinto de la matemática concreta, no por eso es rechazable en el caso de que pueda proporcionar una demostración de consistencia para un sistema que contenga tanto la matemática concreta como la transfinita de Cantor.

Hilbert sugiere una distinción importante entre la aplicación del concepto de infinito en el análisis y el uso que de tal concepto hace Cantor en la teoría de conjuntos.

Mientras en el análisis nosotros operamos con lo infinitamente grande o lo infinitamente pequeño únicamente como conceptos limites, es decir con lo que habíamos denominado como infinito potencial, para el caso de la teoría de los números trabajamos con la totalidad de los números como una unidad completa, en otras palabras como un infinito real. Cantor abrió un universo nuevo para todos los matemáticos con la introducción de los números transfinitos.

Sin embargo, la introducción de tales números exigía extender la validez de los métodos deductivos utilizados hasta ahora para obtener resultados importantes en el manejo ya sea de los números naturales o el de los reales. No tardaron como hemos mencionado anteriormente, en aparecer antinomias que obligaron a revisar con atención por un lado los métodos deductivos y por el otro, la extensión que de dichos métodos se pretendía adelantar.

EL postulado formalista aparece envuelto por cierto aire de contradicción. Esta impresión parece provenir de dos fuentes: por un lado el aparente supuesto de que sólo son posibles tres tipos de proposiciones:

Los enunciados de la matemática pura son lógicos
Los enunciados de la matemática son sintéticos a priori en el sentido Kantiano.
Los enunciados de la matemática son empíricos.

Y por otro lado este aire de contradicción se completa por la convicción aparente que se ha demostrado que la primera posibilidad no podía sostenerse y que la segunda debía descartarse por demasiado oscura e inapropiada a la variedad de los diversos sistemas matemáticos. En el fondo se está postulando el hecho de que las proposiciones de la matemática pura sean empíricas.

Hilbert había buscado reunir todos los símbolos disponibles de la lógica con el fin de empezar a armar el rompecabezas de su sistema (recordemos símbolos como ~ para la negación, o -> para la implicación) de tal forma que todos los axiomas se expresaran como fórmulas o colecciones de símbolos. Hilbert se prepara así para decirnos que entendía él por una prueba matemática realmente objetiva.

Esta prueba consistirá: La afirmación de alguna fórmula; la afirmación de que esta fórmula implica a otra fórmula; la afirmación de la segunda formula.

Una secuencia de tales pasos en que la fórmula final afirmada es consecuencia de los axiomas precedentes o lo que es equivalente, esta conclusión constituye la prueba del teorema. A una fórmula según la propuesta de Hilbert, si y solo si, puede ser obtenida como la última de una secuencia de fórmulas, tal que cada fórmula es o un axioma dentro del sistema formal o es ella misma derivada utilizando algunas de las reglas validas de deducción.

Constituye una de las principales convicciones de la escuela intuicionista, el que las matemáticas forman una actividad totalmente autónoma y autosuficiente. Se considera que sus métodos e intuiciones no son susceptibles de las garantías que los logicistas y los formalistas profesan proporcionar. Las matemáticas no necesitan de un apoyo de una lógica extendida o de una formalización rigurosa, esta idea sólo puede ser sostenida allí donde no se le ha entendido correctamente.
Podemos decir que la escuela intuicionista fue anticipada por Kant, todas las percepciones involucran una interacción entre el que percibe y el objeto percibido. La mente organiza estas percepciones utilizando las intuiciones puras del espacio y el tiempo. El espacio y el tiempo no existen objetivamente, son contribuciones del sujeto que conoce. Todo conocimiento empieza por la experiencia, más no todo se origina en ella, diría Kant.
Kant sostenía que las leyes de los números, como las de la geometría euclidiana, son a priori y sintéticas. Aunque Kant no expresa su punto de vista con respecto a la filosofía del número de una forma explicita como lo hizo con respecto a la filosofía del espacio, dijo lo bastante como para dejar en sus lectores la impresión, de que nuestro conocimiento de los números se basa en una conciencia del tiempo como forma pura de intuición y en la conciencia de la mente de su propia capacidad para repetir el acto de contar una vez tras otra.
Tanto los formalistas como los intuicionistas, Hilbert y Brouwer, reconocen la influencia de la filosofía de la matemática de Kant y van en contra de la tradición leibniziana, según la cual todas las proposiciones matemáticas son analíticas en el sentido de que su verdad o falsedad, pueden derivarse de los principios de la lógica.
Tanto Brouwer como Hilbert consideran las teorías matemáticas como sintéticas, en el sentido de una clasificación mutuamente exclusiva de las proposiciones en analíticas y sintéticas.
Sin embargo, la tesis de Brouwer del carácter sintético de la matemática es muy distinta de la de Hilbert y más cercana a la de Kant. Según Kant, los axiomas y teoremas de la aritmética y la geometría son sintéticos a priori, están basados en las intuiciones puras del espacio y del tiempo. Brouwer acepta totalmente la posición kantiana, y la considera como el elemento fundamental de la propuesta de Kant.
El objeto de estudio de la matemática intuicionista, son objetos y construcciones no perceptivos, intuidos, los cuales son autoevidentes introspectivamente. Brouwer no apela ciertamente a la inspección de objetos externos, sino a la introspección directa.
Las Construcciones intuitivas se dejan aprehender como universales y necesarias sin la aplicación de la noción de exactitud y, por consiguiente, sin el empleo de principios lógicos. El problema quizás radique, en que ni la metamatemática, ni la matemática intuicionista pueden admitir proposiciones acerca de infinitudes reales, pudiendo admitirlas sólo sobre infinitudes potenciales.
El primer acto del intuicionismo separa por completo la matemática del lenguaje matemático, en particular de los fenómenos del lenguaje que describen la lógica teórica, y reconoce que la matemática intuicionista es esencialmente una actividad sin lenguaje de la mente, que tiene su origen en la percepción de un movimiento del tiempo, en este sentido la matemática es esencialmente independiente no sólo del lenguaje sino de la lógica.
Podemos decir que el programa intuicionista consiste en practicar la matemática intuicionista, que consiste en crear o construir objetos matemáticos, y estos objetos construidos tienen sólo una existencia matemática. No tiene por objeto, en cambio, mostrar la legitimidad de tales construcciones, ya sea mediante la lógica o un programa de formalización. Ya que estas son de por sí legitimas y son autoevidentes. La matemática es para el intuicionista la construcción de entidades en la pura intuición, y no la promesa de semejante construcción o la encuesta acerca de si ésta es, o no posible.
El matemático formalista y el matemático intuicionista pretenden lo mismo, el que sus proposiciones no son proposiciones de la lógica. Son acerca de una materia de estudio que primero se produce y construye y luego se describe. Entonces no son analíticas, sino sintéticas. Las construcciones del formalista pueden efectuarse en el mundo físico, y las del intuicionista en la mente. Las proposiciones del formalista son sintéticas y empíricas, y las del intuicionista son sintéticas y no empíricas, esto es a priori. Los intuicionistas consideran las construcciones matemáticas como experiencias intersubjetivas, y su evidencia inmediata como intrínseca.
Uno de los grandes problemas con que se encuentra el intuicionismo, es la posibilidad de la existencia de relatos contradictorios en experiencias presuntamente autoevidentes. Este tema lo utilizan los mismos intuicionistas contra la tesis kantiana de que los teoremas de la geometría euclidiana son proposiciones sintéticas a priori, puesto que son informes de construcciones evidentes en sí mismas en el medio intuitivo del espacio como tal, sin elementos sensibles.
Esto Brouwer lo rechaza. Pero acepta en cambio, el postulado de Kant según el cual los teoremas de la aritmética son expresión de construcciones autoevidentes en el tiempo. Lo que para él descarta el carácter sintético a priori de la geometría euclidiana, no es la posibilidad lógica de construir geometrías no-euclidianas, posibilidad de la cual el propio Kant se daba cuenta, sino la discutible autoevidencia de unas construcciones que respaldan presuntamente la geometría euclidiana y no otra. Es posible que el descubrimiento de geometrías no-euclidianas haya sido una de las causas que condujeron a la negación de esta autoevidencia, pero lo cierto es que no la implicaba.
Los informes contradictorios a propósito de construcciones autoevidentes socava la seguridad de la matemática intuicionista. Como fue el caso de la teoría de conjuntos y el manejo del infinito. Por lo que se refiere a las antinomias, la principal dificultad está no tanto en que ocurran, sino en que nunca se puede estar firmemente seguro sobre cuando puedan volver a aparecer. La dificultad radica en el hecho de que uno de los objetivos y postulados del intuicionismo es el de desterrar de la matemática la inseguridad.
El plan de buscar un terreno firme a través de la congruencia lógica, equivaldría a considerar a los intuicionistas como formalistas interesados en formalismos de otra clase que los de los hilbertianos. Esto implicaría la conversión al formalismo por parte de los intuicionistas. Esto es incompatible con su punto de vista de que la matemática es una actividad, carente de lenguaje, de construcciones autoevidentes. Lo autoevidente se entiende como aquello que ni necesita una prueba posterior, ni tampoco la admite.
La explicación intuicionista de los teoremas de la matemática como informes de construcciones autoevidentes, se apoya en última instancia de una concepción autoevidente de la verdad matemática. Por razón de las graves incursiones que los argumentos de informes contradictorios han efectuado en la teoría kantiana de una intuición pura del espacio y del tiempo y en la teoría moderna de las construcciones intuitivas, el intuicionismo moderno no puede considerarse como una filosofía satisfactoria de la matemática pura.
Nos encontramos a menudo con el deseo de poder combinar las motivaciones y tesis intuicionistas con la precisión formalista. Como consecuencia es esta acción mutua, la división estricta de los matemáticos y los filósofos en logicistas, formalistas e intuicionistas, división que nunca fue muy real excepto para los protagonistas o lideres de las diferentes escuelas, y es muy probable que pierda mucho de su importancia a futuro y se convierta más bien en un artificio exclusivamente pedagógico.
INTUICIONISMO
El descubrimiento de las paradojas asociadas a la teoría de conjuntos, al observar que se puede establecer una relación uno a uno entre los números naturales y el subconjunto de los números pares, dándonos esto la evidencia que los dos conjuntos son iguales, en contraposición a lo que siempre hemos pensado que un subconjunto debería ser menor que el conjunto de donde se origina, y la posibilidad que existieran otras paradojas aun no detectadas, causó que los matemáticos tomaran en serio el problema de la consistencia.
La escuela del logicismo, en abierta batalla en contra de las escuelas del intuicionismo y el formalismo, llega con una tesis original afirmando sin ningún remordimiento que todas las matemáticas son derivables de la lógica. Por el año 1900, las leyes de la lógica eran aceptadas por la mayoría de matemáticos como un sistema de verdades. Y si esto es cierto, las matemáticas también deberían poder ser un sistema de verdades irrefutables.
Como habíamos mencionado anteriormente, La tesis que las matemáticas son derivables de la lógica puede rastrearse al filósofo y matemático Leibniz. Leibniz distinguió entre verdades de la razón o verdades necesarias, de aquellas verdades de hecho o verdades contingentes.
Una verdad posee necesidad cuando su opuesto implica una contradicción. Que Dios existe, que todos los ángulos rectos son iguales, etc. son verdades que poseen necesidad. Así, concluye Leibniz, debido al hecho que en las matemáticas encontramos verdades necesarias, ellas deben ser derivables de la lógica, cuyos principios son también necesarios y se mantienen verdaderos en todos los mundos posibles.
Como curiosidad podemos anotar, que Leibniz no llevó esta propuesta a la realidad, y tuvieron que pasar unos dos cientos años para que otros se unieran a esta iniciativa. Richard Dedekind, afirmó tajantemente, que los números no son derivados de las intuiciones del espacio y del tiempo, sino que son emanaciones de las leyes puras del pensamiento. Es desde los números que nosotros ganamos los conceptos de espacio y tiempo.
Finalmente Gottlob Frege, que como mencionamos anteriormente, contribuyó muchísimo al desarrollo de la lógica matemática y fue notablemente influenciado por Dedekind, toma a cuestas, la tarea de desarrollar la tesis logicista. Frege creía que las leyes de las matemáticas son analíticas.
Kant por su parte, en la Crítica de la razón pura, nos propone que la proposición 7+5=12, no es posteriori. Pero ¿por qué no puede decirse que es analítica? ¿Por qué no puede decirse que en ella el predicado está ya incluido en el sujeto? Kant responde: porque el concepto de la suma de siete y cinco no encierra más que la reunión de ambos números en uno sólo.
Por mucho que analicemos aquella reunión de siete y cinco, no encontraremos en ella el número doce. Hay que salir de estos conceptos, ayudándose de la intuición que les corresponde, por ejemplo, los cinco dedos o cinco puntos y así, poco a poco añadir en el transcurso del tiempo las unidades del cinco al concepto de siete. Para convencerse de ello, basta con aumentar el valor de los números en cuestión. Entonces se advierte claramente que, por muchas vueltas que le demos, por el mero análisis del concepto de dos sumandos, no se encuentra el número único que constituye su suma.
Kant concluye que los juicios de la aritmética no son analíticos, en franca oposición a la tesis de Frege; en ellos interviene necesariamente un factor nuevo: el recurso a la intuición pura del tiempo, intuición que constituye la forma a priori de la sensibilidad; condición fundamental de la posibilidad de todos los juicios en la aritmética.
Sucede algo similar en el caso de la geometría. Por ejemplo la siguiente proposición: La línea recta es la más corta entre dos puntos. En la opinión de Kant, no se trata de una proposición analítica, sino sintética. El concepto de línea recta no está relacionado con magnitud, sino sólo con cualidad.
El concepto de lo más corto es adicional y no puede extraerse por ningún tipo de análisis del concepto de línea recta. La geometría construye sus figuras sobre el fondo de la intuición del espacio como campo posible de esta construcción.
De modo similar a lo que ocurría en la aritmética, la intuición pura del espacio, intuición que constituye la forma a priori de la sensibilidad externa, y que subyace como condición de posibilidad en todos los juicios de la geometría.
Pero dejemos por un momento a Kant, y veamos con más detalle la propuesta que la escuela logicista nos quiere hacer. Junto con Frege, en los albores de 1900, Russell también estaba convencido que las leyes fundamentales de las matemáticas podían ser derivadas de la lógica, resolviendo así el problema de la consistencia. La idea perseguida era poder llegar a una matemática perfecta que no dejara ni la mínima posibilidad de presencia a la duda.
Russell conocía por supuesto el trabajo de Peano, quien había derivado los números reales desde los axiomas sobre todos los números, y también conocía el trabajo de Hilbert, proponiendo un conjunto de axiomas para todo el conjunto de números reales. Sin embargo Russell tenía una seria preocupación y era el hecho de que la postulación de diez o quince axiomas sobre los números, no garantizan la consistencia y verdad de los axiomas. Whitehead advirtió que no puede haber prueba formal de la consistencia de las premisas lógicas a partir de ellas mismas.
Una seria posición filosófica crítica a la posición del logicismo, es que, si su posición es correcta, entonces todas las matemáticas son meramente formales, una ciencia lógico-deductiva, cuyos teoremas siguen las leyes del pensamiento. Pero cómo es posible que tal elaboración deductiva, con orígenes en el pensamiento, pueda explicar y predecir una gama muy grande de fenómenos naturales; esta inquietud no queda resuelta aun por la escuela del logicismo.
El famoso científico Poincaré, fue también un duro crítico de la posición logicista, argumentando que consideraba esta aproximación, una manipulación estéril de símbolos lógicos. La pregunta que subyace a todos los planteamientos anteriores es: ¿Por qué el mundo obedece ciertas proposiciones matemáticas o ciertas leyes descritas por fórmulas matemáticas? Continuará siendo ésta, una pregunta que intentaremos responder en las conclusiones de este trabajo.
EL TEOREMA DE GÖDEL Y EL FORMALISMO
Respecto al formalismo de Hilbert, Gödel demostró los límites internos de los sistemas formales. La matemática es inagotable desde cualquier sistema formal: siempre contendrán verdades matemáticas indecidibles. El método axiomático es de fecundidad limitada.
Las afirmaciones aritméticas son irreductibles a las de un sistema formalizado (tanto si sus axiomas son lógicos como si son una sistematización de axiomas lógicos y aritméticos). Como señala Morris Kline, El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto ya que entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema.
Y explícitamente dice W.V. Quine:
El descubrimiento de Gödel constituyó una sacudida a la concepción clásica. Se suponía que la misma naturaleza de la verdad matemática era su demostrabilidad. Pero no es así.
LOGICISMO
Estos resultados también son decisivos para el intuicionismo de Brouwer. Aunque de algún modo ya habían sido vistos por éste -razón por la que se extrañaba de la gran importancia que se les había dado- sin embargo, el mérito de Gödel está en haber construido unas pruebas formales claras para mostrar la existencia concreta de proposiciones indecidibles a partir del sistema formal que incluye la aritmética elemental. Del mismo modo probó que la consistencia no puede demostrarse dentro del sistema. Por tanto, el trabajo les hizo ver de qué modo el uso apropiado de métodos formales podía llevar a conclusiones precisas que ellos sólo podían ver en parte y de forma imprecisa.
EL TEOREMA DE GÖDEL Y EL INTUICIONISMO
EL TEOREMA DE GÖDEL Y EL LOGICISMO.

El Teorema de incompletitud significa para el logicismo de Russell y Whitehead el fracaso de su intento de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética. Pone de manifiesto que la verdad matemática es de amplitud mayor que la verdad lógica y, por tanto, la irreductibilidad de la matemática a la lógica. W. y M. Kneale (1961) señalan el desafío del resultado gödeliano a la identificación que hace Russell entre matemática y lógica.

Escribe Russell en el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy:Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática.

W. y M. Kneale comentan:

Desde Gödel, parece razonable responder que la lógica no se extiende más allá de la teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica…. carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática.

La importancia de la noción Kantiana de espacio estuvo dentro de la contienda entre David Hilbert y Gottlob Frege, donde la balanza parece haberse inclinado más por el tema de la aplicabilidad de sus conceptos, que el tema lógico. Y es precisamente a través de la referencia espacial, o temporal incorporada, como la geometría o la aritmética, resultan aplicables a la naturaleza, considerada ésta como la totalidad de los fenómenos externos.
Es a través del espacio que la geometría se convierte en la base a una física experimental con predicciones y la aritmética, su soporte estructural. Éste último tema es el que pensamos debatir a continuación como fundamento a la posibilidad de los juicios sintéticos a priori de la geometría y de la aritmética, lo cual nos permitirá esclarecer el debate sobre si las matemáticas son construcciones puramente lógicas, conjuntos de axiomas formales, o intuiciones, o quizás una combinación de lo sensible o empírico, con las intuiciones puras.
Antes de continuar con nuestra argumentación miremos lo que nos dice Kant sobre el espacio y el tiempo:
"Por medio del sentido externo nos representamos objetos como fuera de nosotros y todos ellos en el espacio. En él es determinada o determinable su figura, magnitud y mutua relación. El sentido interno, mediante el cual el espíritu se intuye a sí mismo o intuye su estado interno, no nos da, es cierto, intuición alguna del alma misma como un objeto; pero, sin embargo, es una forma determinada, bajo la cual tan sólo es posible una intuición de su estado interno, de modo que todo lo que pertenece a las determinaciones internas es representado en relaciones de tiempo. Exteriormente no puede el tiempo ser intuido, ni tampoco el espacio, como algo en nosotros."
Sobre el espacio:
"el espacio es una representación necesaria a priori, que está a la base de todas las intuiciones externas. No podemos nunca representarnos que no haya espacio, aunque podemos pensar muy bien que no se encuentren en él objetos. Es considerado, pues, el espacio como la condición de la posibilidad de los fenómenos y no como una determinación dependiente de éstos, y es una representación a priori que necesariamente está a la base de los fenómenos externos."
Y más adelante sobre el tiempo nos dice:
"El tiempo es una representación necesaria que está a la base de todas las intuiciones. Por lo que se refiere a los fenómenos en general, no se puede quitar el tiempo, aunque se puede muy bien sacar del tiempo los fenómenos. El tiempo es pues dado a priori. En él tan sólo es posible toda realidad de los fenómenos. Estos todos pueden desaparecer, pero el tiempo mismo no puede ser suprimido."
La pregunta que queremos tratar de responder ahora, es, ¿qué son conceptos por construcción? ¿Cómo es qué, aun cuando son dados previamente a la experiencia se pueden aplicar a ella? Ya que es evidente, que no pueden estar como las construcciones hilbertianas, desprovistos de significados sensibles y desconectados de la realidad. ¿Cómo puede un concepto ser completamente a priori, esto es, de mi propia invención, y no obstante estar relacionado con una realidad que yo no invento y que está dada objetivamente como algo real?
La verdadera cuestión, nos dice Allison es si es posible que los juicios sintéticos posean igualmente fundamentos no empíricos. En tanto que son sintéticos no pueden tener una fundamentación puramente conceptual o lógica; en tanto que son conocimiento a priori no pueden ser fundamentados en la experiencia.
Por lo tanto, el problema de lo sintético a priori consiste en explicar cómo es posible que la fundamentación extraconceptual y extralógica de un juicio sea no empírica. Una forma equivalente de plantear el problema es preguntar cómo es posible el conocimiento más allá de un concepto dado independientemente de toda experiencia del objeto pensado a través de ese concepto.
La geometría por ejemplo, puede aplicarse a la realidad física, porque trata de una calidad constitutiva de todos y cada uno de los objetos físicos, cual es el de tener figura o forma.
Concluimos así que la geometría se refiere a las calidades extensas de los objetos y que, por lo tanto, puede ser desarrollada con independencia de la existencia fáctica, empírica de los objetos, en la medida en que el espacio es algo dado a la mente como una noción en la que podemos determinar y construir todo tipo de figuras y formas.
Este mismo razonamiento lo podemos aplicar a la aritmética considerando la cantidad como parte constitutiva de los objetos en el tiempo, entendido el tiempo como algo dado en la mente a priori.
Veamos un ejemplo con el fin de aclarar las ideas anteriores, el juicio: la suma de los tres ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos, al ser sintético, debe fundarse de una u otra manera, en la intuición de un triangulo; y al ser a priori, no puede fundarse en la intuición (imagen) de un triangulo particular.
Su posibilidad descansa sobre la existencia de una intuición no empírica o pura del triangulo, en una representación singular que, no obstante, puede alcanzar la universalidad conceptual que hace que el concepto sea válido en relación con los triángulos. Aquí radica lo interesante y fundamental de la propuesta kantiana, y que propone enfrentarse a una concepción fría y analítica de las matemáticas como veremos mas adelante.
Así que podemos decir, que lo esencial de la matemática es que ella puede construir sus conceptos previamente a cualquier aprehensión empírica de ellos. Se sigue, entonces que cualquier tipo de construcción de conceptos que sea factible y que anticipe eventos espacio-temporales ha de ser considerada como matemática.
Podemos tener gracias al espacio y el tiempo, intuiciones sensibles no empíricas. Estamos en condiciones de obtener significado y evidencias sensibles sin la ayuda de la experiencia perceptiva.
A esto Kant lo llama intuiciones puras, que a pesar de su carácter puro a priori, siguen siendo condicionadas sensiblemente y no son de tipo intelectual. Kant considera la anterior afirmación, que la existencia de hechos sensibles intuitivos no empíricos, como quizás su mayor logro intelectual, en el desarrollo de la Crítica de la Razón Pura.
En el apéndice de los prolegómenos Kant nos dice: El espacio e igualmente el tiempo, juntamente con todas sus determinaciones, puede ser conocido por nosotros a priori, porque, igualmente que el tiempo, está dado en nosotros antes que toda observación o experiencia como forma pura de nuestra sensibilidad y hace posible toda intuición de la misma, por consiguiente, también de todos los fenómenos. Así pues, el espacio y el tiempo, en conexión con los conceptos puros del entendimiento, (ciencia natural pura) prescriben a priori sus leyes a toda la experiencia posible, la cual igualmente, proporciona el criterio más seguro para distinguir en ella la verdad de la apariencia.
Estamos aquí ante la verdadera justificación de cómo son posibles los juicios sintéticos a priori en la física y en la matemática. El espacio y el tiempo no tienen un origen empírico, pertenecen al idealismo trascendental kantiano, este conocimiento a priori permite la realidad objetiva, y es gracias a ésta relación entre los a priori del espacio y del tiempo, que es posible que exista una ciencia de los fenómenos de la naturaleza, y con esto, la discusión de las matemáticas como una construcción lógica y formal, empieza a perder su consistencia ante la mirada del creador de la crítica.
KANT ENTRE FREGE Y HILBERT; REALIDAD DE LOS JUICIOS SINTETICOS A PRIORI EN LA MATEMATICA.
CONCLUSIONES

Quiero en estas conclusiones tratar de mostrar una perspectiva de lo que sería responder a la pregunta sobre la posibilidad que tienen las matemáticas de someter la autoridad de la naturaleza. Hasta ahora hemos trazado el desarrollo de las diferentes escuelas, que en el fondo todas coinciden en explicar la naturaleza original que tienen las matemáticas en la compresión del mundo que nos rodea.

La anteriormente mencionada crisis de las matemáticas, no debe tomarse como un fracaso absoluto del ser humano, sino entender el camino de la razón humana con sus altos y sus bajos.

Un camino que no es precisamente una línea recta, sino un caminar, pero quizás sin un destino o una meta predeterminada, pero este camino justifica el gran esfuerzo hasta ahora realizado, por encontrar respuesta a los grandes problemas que plantea la filosofía de las matemáticas.

Definitivamente y de acuerdo a una intuición previa a este estudio, El trabajo filosófico de Kant, y más precisamente en lo concerniente al tema de las ciencias dentro de su filosofía, es sin lugar a dudas una de las contribuciones más grandes que se hayan hecho a la construcción del saber humano. Su filosofía seguida por muchos y criticada también, es punto de salida y quizás de llegada también, para todos lo que quieran entender la problemática de las ciencias modernas y en especial de las matemáticas, en nuestro mundo moderno. Sin Kant la síntesis de un racionalismo excesivo, con un empirismo sensacionalista, no hubiera sido nunca posible.

Mentes brillantes como las de un Albert Einstein, Kurt Gödel, Gottlob Frege, Werner Heissenberg, sin lugar a dudas nos muestran que el conocimiento sólo se puede dar en una síntesis entre lo objetivo y lo subjetivo, entre lo a priori y lo a posteriori, entre la intuición y el entendimiento, sólo de esta síntesis será posible hablar de conocimiento, solo de la unión de las dos se da el mundo tal como siempre lo hemos conocido.

Andrzej Mostowski, uno de las más prominentes y trabajador activo del programa de fundamentación propone muy atrevidamente que las matemáticas son una ciencia de la naturaleza. Sus conceptos y métodos tienen su origen en la experiencia, y cualquier intento de fundamentarla sin su ayuda, estarán destinadas al fracaso.

Quizás más sorprende es la afirmación de Weyl, un intuicionisca de cabo a rabo, el cual sostiene que la solidez de las matemáticas sólo puede ser juzgada por la aplicabilidad al mundo físico. Weyl ciertamente trata a las matemáticas como una ciencia. Sus teoremas, como los de la física moderna, deben tener una correspondencia con la realidad, como forma de asegurar su consistencia.

Willard Van Orman Quine, un comprometido logicista, quien hizo esfuerzos no exitosos para simplificar los Principia de Russell-Whitehead, también ha propuesta la tesis de una solidez basada en el mundo físico. En un articulo de 1958 titulado The philosophical Bearing of Modern Logic, nos dice que debemos ver la teoría de conjuntos y las matemáticas en general, de la misma manera en que vemos las porciones teóricas de la ciencia natural, como un conjunto de hipótesis que deben ser comprobadas o refutadas no por la vía de la razón pura, sino a la luz de los datos empíricos en las ciencias naturales.

Von Neumann, quien hizo contribuciones fundamentales al formalismo y la teoría de conjuntos, también realizó una propuesta para salir de problema provocado por la crisis de la matemática. En un famoso articulo The Mathematicia, argumenta que aunque las diferentes propuestas provenientes del formalismo, intuicionismo y logicismo, no hayan tenido éxito en justificar y fundamentar las matemáticas, la mayoría de matemáticos la usan de todas formas. De tal manera que si estamos dispuestos a aceptar las ciencias naturales en su solidez y elegancia, deberíamos también estar en la capacidad de aceptar el sistema clásico de las matemáticas.

Aun Russell, quien en 1901, admitía claramente la solidez del edificio de construcciones de verdades de las matemáticas, el cual hasta ese momento permanecía inamovible, en 1914 no tuvo más remedio que admitir que la geometría aplicada es sintética, aunque no es a priori.

Gödel, en 1950 nos sorprende al decir: que la función del proceso de fundamentación, es comparable a la utilización de hipótesis en las teorías físicas. El llamado proceso de fundamentación teórica o lógica para la teoría de los números, es explicatorio y no ofrece como tal una fundamentación.

Aunque las recomendaciones de los antes mencionados líderes, que las aplicaciones a la ciencia deban ser utilizadas como guías y sirvan a manera de pruebas de los preceptos matemáticos. Ellos también reconocen que el poder de las matemáticas para predecir y explicar los fenómenos físicos ha aumentado últimamente, este servicio a la humanidad no debería ser abandonado, por la búsqueda de una fundamentación sólida a las matemáticas.

Las más grandes creaciones de la física de los pasados cien años, sean quizás la teoría electromagnética, la teoría de la relatividad, y la mecánica quántica, todas ellas utilizan asiduamente las matemáticas modernas para estudiar al mundo físico, formulando leyes y conceptos que parecieran no basarse en la realidad, y sin embargo así, se logran obtener conclusiones que pueden ser interpretadas físicamente y además comprobada su exactitud por el experimento.

Albert Einstein, en sus Sidelights on Relativity (1921) dice:

Tenemos aquí un acertijo que ha afectado a los científicos de todas las épocas. ¿Como es posible que las matemáticas, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia humana, se ajuste tan perfectamente a la realidad? ¿Puede la razón humana sin la experiencia descubrir usando sólo el pensamiento las propiedades de la realidad?

Si las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas, y si son ciertas, no se refieren a la realidad.

Una de las modernas explicaciones a este acertijo de la naturaleza, viene de nuestro filósofo Kant, con el cual terminamos este ensayo. La mente da forma a nuestros conceptos de espacio y tiempo. Vemos en la naturaleza lo que nuestra mente nos predetermina para ver.

La explicación kantiana del por qué las matematicas funciona bien en la realidad, ha sido desarrollada por Alfred North Whitehead, y también por Brouwer en un articulo publicado en 1923. La idea fundamental es que las matemáticas no son absolutamente independientes de los fenómenos de la realidad, son más bien un elemento de nuestra propia forma de concebir el fenómeno.

El mundo natural no es totalmente objetivo en su presencia. Es una construcción humana basada en las sensaciones recibidas, y las matemáticas son el mayor instrumento encargado de hacer esta organización. Las matemáticas describen el mundo físico en la forma como nosotros lo conocemos. Tratamos de abstraer de la complejidad del fenómeno, un sistema cuyas propiedades sean susceptibles de ser descritas matemáticamente. Este poder de abstracción es el responsable de la sorprendente descripción matemática de la naturaleza. Vemos lo que nuestra óptica matemática nos permite ver.

Y terminamos diciendo en armonía con Kant:

"Los juicios matemáticos son todos ellos sintéticos. Esta proposición parece haber escapado hasta ahora a los analíticos de la razón humana y hasta hallarse en directa oposición a todas sus sospechas, aunque es cierta irrefutablemente y muy importante en sus consecuencias. Pues habiendo encontrado que las conclusiones de los matemáticos se hacen según el principio de contradicción, persuadiéndose de que también los principios eran conocidos por el principio de contradicción; en lo cual anduvieron errados, pues una proposición sintética, si bien puede ser conocida por medio del principio de contradicción, no lo es nunca en sí misma, sino sólo presuponiendo otra proposición sintética de la cual pueda ser deducida."

FIN

ANEXO I

El método axiomático, utilizado con éxito tanto en Álgebra como en geometría, representaba el ideal griego del conocimiento científico. El más antiguo ejemplo, y al mismo tiempo el más conocido, de teoría axiomática están en los elementos de Euclides.

El sistema de axiomas establecido por Peano para la aritmética elemental constituye otra aplicación simple del método axiomático.

Una sucesión ilimitada de variables individuales: X, Y, Z y estas mismas letras afectadas de índices (estas variables representan números enteros cualesquiera, jugando el papel de objetos individuales en relación a los predicados);
Una constante individual: 0
Una variable predicativa: Φ (esta variable representa una propiedad cualquiera de los enteros)
Un predicado de un solo argumento (que se aplica a un solo objeto): ser un número entero;
Dos predicados de dos argumentos (que se aplican a un par de objetos): sucesivos de y =.

Los axiomas del sistema son los siguientes:

0 tiene la propiedad de ser un numero entero
No existe ningún X tal que X tenga la propiedad de ser un numero entero y que 0 sea el sucesivo a X (dicho de otra forma: 0 no puede seguir a ningún número entero)
Si X tiene la propiedad de ser un numero entero, e Y es sucesivo a X, entonces Y tiene la propiedad de ser igualmente un número entero (dicho de otra forma: el predicado sucesivo a permite reconstruir la sucesión de enteros partiendo de 0.)
Entonces Z1=Z2. (Dicho de otra forma un número tiene un solo sucesivo)
Si X=Y y si Z1 es sucesivo a X, y Z2 es sucesivo a Y,
Si 0 tiene la propiedad Φ, y si cualquiera que sea el numero X, basta con que X tenga la propiedad Φ para que el sucesivo a X tenga la misma propiedad, entonces, cualquiera que sea el número entero Z, Z tiene la propiedad Φ. Este es el conocido principio de inducción, que dice que si una propiedad es cierta para 0, y siendo cierta para el siguiente número, entonces es cierta para cualquier número.

ANEXO II

(Donde se muestra en las mismas palabras de Gödel, quizás uno de los mas grandes matemáticos del siglo pasado, la influencia de Kant en la filosofía y ciencias en la actualidad)

"… it turns out that in the systematic establishment of the axioms of mathematics, new axioms, which do not follow by formal logic from those previously established, again and again become evident. It is not at all excluded by the negative results mentioned earlier that nevertheless every clearly posed mathematical yes-or-no question is solvable in this way. For it is just this becoming evident of more and more new axioms on the basis of the meaning of the primitive notions that a machine cannot imitate.

"I would like to point out that this intuitive grasping of ever newer axioms that are logically independent from the earlier ones, which is necessary for the solvability of all problems even within a very limited domain, agrees in principle with the Kantian conception of mathematics. The relevant utterances by Kant are, it is true, incorrect if taken literally, since Kant asserts that in the derivation of geometrical theorems we always need new geometrical intuitions, and that therefore a purely logical derivation from a finite number of axioms is impossible. That is demonstrably false. However, if in this proposition we replace the term "geometrical" – by "mathematical" or "set-theoretical", then it becomes a demonstrably true proposition. I believe it to be a general feature of many of Kant's assertions that literally understood they are false but in a broader sense contain deep truths. In particular, the whole phenomenological method, as I sketched it above, goes back in its central idea to Kant, and what Husserl did was merely that he first formulated it more precisely, made it fully conscious and actually carried it out for particular domains. Indeed, just from the terminology used by Husserl, one sees how positively he himself values his relation to Kant.

"I believe that precisely because in the last analysis the Kantian philosophy rests on the idea of phenomenology, albeit in a not entirely clear way, and has just thereby introduced into our thought something completely new, and indeed characteristic of every genuine philosophy – it is precisely on that," I believe, that the enormous influence which Kant has exercised over the entire subsequent development of philosophy rests. Indeed, there is hardly any later direction that is not somehow related to Kant's ideas". On the other hand, however, just because of the lack of clarity and the literal incorrectness of many of Kant's formulations, quite divergent directions have developed out of Kant's thought – none of which, however, really did justice to the core of Kant's thought. This requirement seems to me to be met for the first time by phenomenology, which, entirely as intended by Kant, avoids both the death-defying leaps of idealism into a new metaphysics as well as the positivistic rejection of all metaphysics. But now, if the misunderstood Kant has already led to so much that is interesting in philosophy, and also indirectly in science, how much more can we expect it from Kant understood correctly?" [The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy, Gödel 1961]

Rodrigo Ferrer

Ingeniero eléctrico Universidad de Los Andes Bogotá Colombia

Especialización en redes y gerencia de sistemas de información

Educación continuada Historia de la ciencia Cambridge University UK

Actualmente realizando la maestría en filosofía universidad Javeriana Bogotá Colombia