La potenciación, los factores primos y la notación cientifica

Introducción

En esta investigación trataremos sobre operaciones matemáticas, como son la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica. El nivel básico en el Sistema Educativo Dominicano orienta la formación integral del niño dominicano y la niña dominicana, al propiciar el desarrollo de sus potencialidades.

Las matemáticas son una materia básica en una educación sólida, no sólo por los conocimientos y técnicas que aportan, sino porque desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como el rigor, las capacidades de abstracción y de resolución de problemas.

Las matemáticas gozan de una presencia destacada en la educación sin embargo, siguen sin ser valoradas suficientemente porque apenas se percibe su papel como base de los avances científicos y tecnológicos.

Por tanto hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).

La ventaja es que sus múltiples aplicaciones pueden facilitar las acciones relacionadas con los textos y la información; además de posibilitar la indagación, la investigación, la creatividad y el auto aprendizaje en forma dinámica.

Metodología

El método utilizado para realizar el presente trabajo, fue el analítico. Pues más que describir, nos concentramos en examinar y estudiar el documento que establece las operaciones matemáticas como son la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica.

Propósitos de la Investigación.

Esta investigación, es de carácter documental, porque las informaciones se obtendrán a través de fuentes documentales tales como libros, revistas, boletines, folletos, e Internet en donde las investigadoras recopilarán toda la información necesaria de otros estudios realizados, para ampliar los conocimientos sobre el tema de la investigación.

Objetivo General.

Analizar los componentes y las características de la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica.

Objetivos Específicos:

• Definir los conceptos de potenciación, los factores primos y de la notación científica.

• Establecer las características de las operaciones matemáticas, como son la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica.

• Identificar las operaciones matemáticas basadas en la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica.

La potencia y sus propiedades

• Origen de las Potencia.

Entre el 400 A. C. y el 200 A. C., los matemáticos de la India, en especial Jaina comienzan el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas. Ellos fueron los primeros en desarrollar los números transfinitos, la teoría de conjuntos, los logaritmos, leyes fundamentales de los índices, ecuaciones cúbicas y cuárticas, sucesiones y progresiones, permutaciones y combinaciones, cuadrados y extracción de la raíz cuadrada y potencias finitas e infinitas.

También pudieron encontrarse cálculos exactos de números irracionales, que incluían raíces cuadradas de números tan grandes como un millón y con once decimales. Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas.

Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas. Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a· a· a ó a3. Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 2 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.

1.2 Potenciación y sus Propiedades.

Definición de potencia: La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» ó «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero. Es decir que:

Donde "a" se llama base y "n" se llama exponente n veces a como factor. El factor

que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base,

se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia  26 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:

A) 23 = 2 • 2 • 2 = 8

B) 32 = 3 • 3 = 9

C) (-6)2 = – 6 • – 6 = 36

D) (-2)5 = -2 • -2 • -2 • -2• -2 = – 32

Aquí podemos concluir que:

• a) Si la base es negativa y el exponente es par el resultado de la potencia es positivo

Ejemplo: ( -7)2 =-7 • – 7 = 49

b) Si la base es negativa y el exponente es impar el resultado de la potencia es negativo

Ejemplo: ( -2)3 = -2 • -2 • -2 = -8

1.2.1 Propiedades de las Potencias.

– Potencia de base entera y exponente natural: Si la base a pertenece al conjunto de los Números

Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3,..n).

– Potencia de base entera positiva: Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

– Potencia de base entera negativa: Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

En resumen:

– Multiplicación de potencias de igual base:

– Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente:

– División de potencias de igual base:

– División de potencias de distinta base e igual exponente:

-Potencia de una potencia: Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1.3 Potencia Distributiva y su relación con otras operaciones matemáticas.

Las mismas de antes, pero además:

Solo se pueden sumar potencias que tengan igual base, salvo que realicemos previamente la potencia, así:

1.3.3 Multiplicación (Producto de Potencias): Si tenemos que multiplicar dos potencias que tienen la misma base te basta escribir la misma base y como exponente escribes la suma de los exponentes:

Si las bases no son iguales no se deben sumar los exponentes. Primero calculas una potencia y después la segunda, luego la siguiente si es que hubiere, y al final, multiplicas los resultados que has ido obteniendo:

1.3.4 División: Para dividir potencias que tengan la misma base, se restan los exponentes. Recuerda, para multiplicar se suman los exponentes, para dividir, se restan:

• Dividir potencias de base diferente: Para dividir potencias que no tienen la misma base, calculas el valor de cada una y divides sus cocientes:

Factores primos

2.1 Máximo Común Divisor (MCD): El Máximo común divisor, de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Para el cálculo del máximo común divisor:

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

Es decir que el m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12, donde 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12

2.2 Mínimo Común Múltiplo (MCM): Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo:

1. Se descomponen los números en factores primos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo:

72 = 23 · 32

108 = 22 · 33

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1080

2160 es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 y 60. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12, donde m. c. m. (12, 36) = 36.

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejercicios:

1- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

12 = 22 · 3

18 = 2· 32

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h.

2- Un viajero va a Santiago de los Caballeros cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Santiago de los Caballeros. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Santiago de los Caballeros?

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.

3- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

4- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

A = 30 · 50 = 1500 dm2

m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado

A b = 102 = 100 dm2

1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas

5- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

La notación científica

3.1 Origen de la notación científica: Arquímedes, el padre de la notación científica. El primer intento de representar números demasiado grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo.

El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Un número se escribe en notación científica de la forma: x donde M es un número entre 1 y 10; y n es un número entero.

• 100 = 1

• 101 = 10

• 102 = 100

• 103 = 1 000

• 104 = 10 000

• 105 = 100 000

• 106 = 1 000 000

• 107 = 10 000 000

• 108 = 100 000 000

• 109 = 1 000 000 000

• 1010 = 10 000 000 000

• 1020 = 100 000 000 000 000 000 000

• 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

• 10–1 = 1/10 = 0,1

• 10–2 = 1/100 = 0,01

• 10–3 = 1/1 000 = 0,001

• 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

• 10-12 = 1/1 000 000 000 000 = 0,000 000 000 001

• 10-15 = 1/1 000 000 000 000 000 = 0,000 000 000 000 001

• 10-17 = 1/ 1 000 000 000 000 000 00 = 0,000 000 000 000 000 01

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029.

3.2 En multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes. Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017

3.3 En División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo:

3.4 En Suma: Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes, dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 – 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 – 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 – 0,06 ×105 = 3,14 ×105

3.5 En Resta: Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben restan los coeficientes, dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplo:

5×105 – 3×105 = 2×105

Ejercicios:

-Escribe en notación científica la distancia de la Tierra al Sol, que es de 149680000000 m.

a. 1,4968 x 1011 m

b. 1,4968 x 1012 m

c. 14,968 x 1010 m

d. 1,4968 x 10-11 m

-Escribe en notación científica el diámetro de un átomo de hidrógeno, que es de 0,0000000002 m.

a. 2 x 10-11 m

b. 2 x 1010 m

c. 2 x 10-9 m

d. 2 x 10-10 m

¿Cuál es el mayor de estos números?

a.    1,06 x 10-6

b.   1,55 x 10-6

c.  -1,65 x 106

d.    1,5 x10-6

Resuelve la siguiente operación escribiendo previamente en notación científica los términos que intervienen en ella: 20000000 x 320000 =

a.  6,4 x 1012

b.  64 x 1013

c.  64 x 1012

d.  6,4 x 1013

Planificación Mensual de Matemática (Mes de Agosto) Año escolar 2014-2015

Profesoras: Alicia Sosa y Escarlín Margarita Ynoa. Curso: 4to. de Básica

Conclusión

Al finalizar esta investigación tratamos el tema de las operaciones matemáticas como son la potenciación y sus propiedades, los factores primos y la notación científica. Las potencialidades y capacidades de los niños y las niñas se desarrollan de manera progresiva. Existen importantes teorías que dan cuenta de esa progresión enfocando aspectos distintos.

 Las matemáticas como hemos vistos, son una materia básica en una educación sólida, no sólo por los conocimientos y técnicas que aportan, sino porque desarrollan cualidades esenciales en el estudio, como el rigor, las capacidades de abstracción y de resolución de problemas. Las matemáticas gozan de una presencia destacada en la educación sin embargo, siguen sin ser valoradas suficientemente porque apenas se percibe su papel como base de los avances científicos y tecnológicos.

Por tanto hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). La ventaja es que sus múltiples aplicaciones pueden facilitar las acciones relacionadas con los textos y la información; además de posibilitar la indagación, la investigación, la creatividad y el auto aprendizaje en forma dinámica.

Finalmente, gracias a la UTE, miles de adultos pueden retomar sus estudios sin afectar su trabajo laboral y en si mejorar uno mismo como ser humano. Es por tanto que nos queda la satisfacción de haber realizado un trabajo conciso que nos arrojó luz sobre la base teórica y la aclaración de varios aspectos prácticos relacionado con dicho tema.

Recomendaciones

Al Estado Dominicano:

– Eliminar el pago de aranceles fiscales (Itebis), en base a todo lo relacionado con el uso de Hardware y Software, para abaratar los costos de las computadoras, debido a que las computadoras no son artículos de diversión, sino de educación.

– Eliminar el cobro de los impuestos, por el uso del internet, debido a que en los países del primer mundo, han entendido el valor agregado del uso de esta tecnología, para el desarrollo de las telecomunicaciones.

– Desarrollar más salas o centros informáticos tanto en cada escuela y/o liceo de la República Dominicana.

– Incentivar concursos, para la creación del desarrollo de la tecnología didáctica (Matemática), a través de software interactivos.

– Establecer que cada libro de matemática, deberá ser editado tanto en formato físico, como digital, como de audio, con un formato de interface interactiva, para incentivar la lectura.

– Facilitar el uso de Table, para cada estudiante Dominicano, para que el Estado pueda ahorrar tanto la impresión de libro fiscos, como de mascotas o cuadernos.

A los Estudiantes:

– Dar un correcto uso a la tecnología de información, adaptando su uso a la vida diaria.

A la Universidad de la Tercera Edad:

– Crear la base tecnológica, en la biblioteca para que cada estudiante tenga las facilidades adecuadas a cada carrera o profesión, por ejemplo en el caso de educación, crear Seminarios-Talleres, sobre el uso de los programas básico en todo los aspectos como son: Microsoft Office Word, Microsoft Office Excel, Microsoft Office Access y por ultimo Internet. Adaptando cada programa, con problemas a ser aplicado a la vida diaria.

Bibliografía

• Ley General de Educación 66-97, 1era. Edición, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito Nacional, República Dominicana.

• Castillejo, J. L (1994), El Currículum en la Escuela Infantil, Aula XXI, editorial Santillana, Colombia.

• Geroge J, (2000), Poner: Análisis del Currículo, 2da. Edición, editora Emma Ariza H, y Mc Graw- Hill, México.

• Ministerio de Educación, (2013), Diseño Curricular Nivel Inicial, Versión preliminar. Serie Innova, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito Nacional, República Dominicana.

• Ministerio de Educación, (2009), Fundamento del Currículum, Tomo I. Serie Innova, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito Nacional, República Dominicana. Págs.

• Ministerio de Educación, (2000), Propuesta Curricular del Nivel Inicial, Serie Innova, Editora Corripio, Santo Domingo, Distrito Nacional, República Dominicana.

• Zabalza, Miguel A, (2000), Diseño y Desarrollo Curricular, 8va. Edición, editora Narcea, Bogotá, Colombia.

• Suhit, G. (2012) Seminario de ingreso Matemática. Buenos Aires, Argentina.

• Agrasar, M. y otros. (2013). Matemática 9. Ed. Longseller. Buenos Aires,Argentina.

• Fuentes de Internet:

• www.cajondeciencias.com

• http://cidead.cnice.mec.es

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2014.