Se da a un niño de edad escolar (entre siete y nueve años) una hoja, se le pone en el pizarrón lo siguiente:
1 + 4 = ?
Efectivamente, el estímulo en este caso es 1 + 4. La respuesta que esperamos es que el niño llegue a un resultado, en este caso, 5. Pero cabe decir que hay casos: que el niño dé una respuesta errónea, por ejemplo 6; que sólo nos dé una combinación: 14 ó 41; que no nos dé ninguna respuesta. Para el último caso, se puede decir que el estímulo "1 + 4" produce la respuesta "5", pero si "1 + 4" no produce reacción alguna estamos ante una conducta que aún no se ha concretado. Para esto sería necesario que el niño estuviese familiarizado con el significado que posee dicha expresión, o sea el estímulo. Pero si para él tiene significado el "1" y el "4" pero no comprende el símbolo "+" y el de igualdad "=" entonces deberá el docente o quién realice éste experimento indagar acerca del desconocimiento de tales símbolos. Tal vez por el desconocimiento de tales símbolos, el segundo caso (respuesta: 14 ó 41) se justifique por sí mismo. Es evidente que el primer caso fue un intento de dar sentido a la expresión, es decir, 6. Pero por motivos de la lógica esto nos llevaría a que 5, que es lo que representa "1 + 4" sea igual a 6: 5 = 6. Entonces estamos ante un problema de definición. Aquí es válido lo que menciona Russell acerca de las matemáticas: "las matemáticas son una ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero". El símbolo (=) en matemáticas es una relación de equivalencia:
- Reflexividad: a = a
- Simetría: Si a = b entonces b = a.
- Transitividad: Si a = b y b = c, entonces a = c.
Para hacer que el niño asimile la igualdad emplearemos frases como: "Juan es igual a sí mismo", es decir, que la igualdad denota identidad. Entonces, "si Juan es Pedro", establecemos que "Juan = Pedro" por medio del verbo "ser". Por tanto, si "Juan = Pedro" entonces su nombre es "Juan Pedro" o "Pedro Juan". Así diremos que "Tengo cuatro (4) piedritas dentro de una caja y quiero agregar una (1) más (+), entonces ¿a qué es igual la cantidad que tengo ahora?" y la respuesta tendría que ser "es igual a cinco (5)". Simbólicamente: 4 + 1 = 5. Entonces surge otra incógnita: ¿será cierto que 1 + 4 = 4 + 1? A esto se le denomina conmutar: se puede variar el orden de los objetos dentro de la caja y el resultado será el mismo. El caso de la conmutatividad de la suma es puesto en práctica mediante este buen ejemplo: como "5 = 5" y además "1 + 4 = 5" y "4 + 1 = 5" se concluye que "1 + 4 = 4 + 1". Se evidencia que es indispensable el uso de la Lógica y de sus elementos para llegar a una "verdad" o tautología. También se le considera una ecuación a la expresión que contenga (=). Pero esto concierne al Álgebra: generalización por medio de fórmulas.
Lo más importante y que jamás debe quedar visto de soslayo es el sistema posicional en el cual se está trabajando, ya que de éste depende la posición de los números. El más difundido en Costa Rica y América entera es el Sistema Decimal. Se sabe que las computadoras están programadas con base en el sistema binario o base dos (2) ya que está estrechamente relacionado con la electricidad y los impulsos que equivalen al cero (0) y al uno (1). También menciono al sistema de base ocho (8) u octagesimal, el sistema hexagesimal (16), el sistema quinario (5), entre otros. El Sistema Base Diez es el objeto de nuestro estudio, ya que es éste el que se enseña en todas las instituciones educativas. Su génesis está dada por el número de dígitos (dedos) que hay en ambas manos. El conjunto de todas las cifras va desde el 0 hasta el 9, y los demás números son puras combinaciones entre éstos. Analicemos el número 16:
16 = (1 x 10) + (6 x 1)
El primer dígito desde la derecha tiene un valor idéntico al de las cifras menores que 10 (unidades), en éste caso: 6. El segundo dígito representa las decenas: 1 x 10 = 10. En las escuelas de primaria se le llama a este proceso notación desarrollada de un número. Una definición un poco más rigurosa sería la siguiente: Sean las ai ε {xεIN / 0≤ x ≤ 9}, i, n ε IN, b ε IN – {0} tales que:
N = anbn + an-1 bn-1+ … + a1b + a0
El número N en base b = 10 o decimal sería entonces:
N = an10n + an-1 10n-1+… + a110 + a0100
Así, en nuestro ejemplo:
16 = 0*10n + 0 10n-1+… + 1*10 + 6*100
Es casi obvio que a un niño de primaria esto no se le debe presentar para que lo aprenda si todavía está en la etapa de las "tablas de multiplicar". Pero una buena base matemática está determinada por el grado de demostraciones que el alumno realice, es decir, las experiencias previas que ha tenido o una capacidad de resultados empíricos que se "repiten" llegando a dar la impresión de que cumplen una "regla" o "ley". Todas las actividades comerciales están fundamentadas en el sistema decimal, desde comprar una caja con leche hasta pagar el pasaje del autobús. Estas actividades cotidianas deberán ser explotadas por el docente para llevar a cabo un aprendizaje de manera significativa, y así crear puentes cognitivos para avanzar hacia el siguiente nivel. En sus casas los niños "aprenden" (porque les "enseñan") a leer y escribir, por consiguiente, a trazar números y los cuales están acompañados con simbología alfabética. Por el "mal" trazo de los números se ha clasificado a la discalculia (incapacidad para calcular) como una dislexia, ya que, o el niño no "sabe" leer números y por eso los escribe "mal" o "sabe identificarlos pero no puede trazarlos "bien". No está de más agregar las palabras del profesor Bernardo Montero cuando dice que las matemáticas están tan bien hechas que por eso funcionan, y esto es lo que hace la mayoría de la gente: suman y restan, multiplican porcentajes, pagan la renta, contraen deudas, compran lo innecesario… ¡se enseña a las personas a calcular para que desperdicien su dinero!
Mi propuesta está impulsada a descubrir si la discalculia es un problema de aprendizaje o simplemente de enseñanza, y por consiguiente, la discalculia sería un problema concerniente a los profesores y sus métodos de enseñanza. La Teoría Constructivista establece que lo mejor está en el cómo aprende el discente y entre más aprenda y de la mejor manera el docente está realizando una excelente labor: no importa el cómo se enseñe sino el cómo se aprende es la máxima. Aunque yo no esté del todo acorde con el constructivismo y más bien tenga cierta preferencia por la corriente conductista, abogo porque el juego es fundamental dentro del desarrollo intelectual del niño.
Entre los elementos de enseñanza de los docentes de primaria y secundaria hay grandes abismos. La enseñanza primaria hace hincapié al desarrollo de operaciones fundamentales pero partiendo de que los niños ya saben algo acerca de los números.
En el primer grado, se les "enseña" a trazar números, pero se ha perdido el valor del juego como tal, dando mayor importancia a los trazos y el abstractismo y dejando de lado lo que representan concretamente. Se "enseña" que el "1" es "uno" por definición y convencionalismo, sin saber el porqué de su razón de ser. Si un niño no "aprende" a trazar los garabatos como están en el libro (estrategia didáctica tomada muy a pecho) y como los dicta el maestro o maestra entonces es un caso de discalculia, ¡por favor! ¡El problema está en el docente! Si el niño no reconoce semejante jeroglífico es porque no tiene ningún significado para él, su estructura cognitiva no puede asimilarlo porque dentro de esta no hay elementos que se puedan relacionar con el ente desconocido. Es similar al caso en el cual los niños que no saben leer: cuando ven un cartel, en vez de "ver" letras sólo reconocen "hormigas": son todas iguales. Esto se debe a que tienden agrupar lo desconocido en el conjunto de "lo trivial y sin importancia". Cuando se enseña a leer, la letra "a" por ejemplo corresponde a una imagen directa (una ave: paloma, gallina, avestruz, papagayo) o indirecta (recuerdos, fotografías acerca de aves, la palabra "ave"), pero la vocal personificada en un pizarrón viene a sintetizar muchas representaciones, siendo la "a" un fonema. Veamos al respecto lo que nos dice Russell:
Cuando un niño aprende a leer, aprende así mismo a reconocer una determinada letra, la H por ejemplo, sea grande o pequeña, negra o colorada. Sin embargo, aunque varíen todas estas características, su reacción es siempre la misma; siempre dice "H". Es decir, que la característica esencial del estímulo reside en la forma. Cuando mi hijo, poco antes de cumplir los tres años, iba una vez a comerse untado de mantequilla un trozo de pan que tenía tres esquinas, le dije que era un triángulo. (Generalmente se los comía de forma rectangular.) Al día siguiente, sin que nadie se lo preguntara, indicó las piececitas del pavimento del Albert Memorial y las llamó "triángulos". Así la forma del pan con mantequilla, aparte por completo de su comestibilidad, su blandura, su color, etc., era lo que le había impresionado. Esto es lo que constituye la clase más elemental de reacción a la forma. (Russell, 1975, 186)
La motivación por medio de los hechos.
La motivación juega un papel digno de elogio dentro de las estrategias didácticas que ha de realizar el educador. Para mí es mucho más ameno leer acerca de la vida de grandes matemáticos y personajes famosos a través de todos los tiempos. Así puedo relacionar el Teorema de Pitágoras con Pitágoras y su secta religiosa, el Teorema de Tales con el acontecimiento de las sombras respectivas entre la pirámide de Kéops y el báculo de Tales, La integral de Riemann con su geometría esférica y la Teoría de la Relatividad General de Einstein, la Teoría de Conjuntos con la locura de Cantor inducida por Kroenecker, la afirmación de que las ecuaciones algebraicas de quinto grado son irresolubles por medio de radicales y la muerte del revolucionario Galois a los veintiún años de edad, la disputa entre ingleses y alemanes representada por Newton y Leibniz, fundadores del cálculo infinitesimal, la fascinante historia del príncipe de las matemática K. F. Gauss ante un problema de sumatoria a la edad de siete años, etcétera.
Lo que intento expresar es que la historia es un motivador que puede ser utilizado por los maestros para indicar que las matemáticas son interesantes y además promueve el aprendizaje por medio de evocaciones y relatos, algunos de manera fantástica.
Con la historia se incentiva el interés y se promueve la curiosidad, y entre más variadas e interesantes se vuelvan los alumnos cuando olviden alguna "fórmula" tomarán el recuerdo de los relatos para llegar a lo olvidado. Aquí se evidencia que hubo aprendizaje significativo. La memorización fomenta el olvido, ya que en ésta las fórmulas y definiciones carecen de significado, no es posible recordar algo que no es relevante y que no haya impactado en la atención del niño. Es imposible que la memorización ayude a que los niños aprendan, simplemente son autómatas que reaccionan ante un estímulo, a esto se llama mecanicismo. Hasta el campeón mundial de memorización ha declarado por medio de la televisión y la Internet que sus métodos para recordar son los de relacionar lo que ya observó con imágenes de fácil comprensión, es decir, lo que ya sabe y conoce.
También hay que tomar en cuenta la situación en la cual se encuentra el aprendiz (el término no es despectivo) ya sea económica o moralmente. Si el alumno no quiere aprender hay que buscar un modus operandis para la motivación del mismo, siempre insistiendo en el juego: dominó, ajedrez, damas, juegos de azar, juegos de transacciones monetarias ficticias, adivinanzas matemáticas, cuadrados mágicos, cubo de Rubik, conteo de números en forma sucesiva: de dos en dos, de tres en tres, etc. Éstos preparan al niño para la resolución de conflictos e intereses personales y de manera colectiva.
Aritmética: introducción a las operaciones fundamentales.
Propongo que la Teoría de Conjuntos es la que vendría a llenar la vacuidad que incursionó desde hace muchos años hasta hoy. Desde que mi memoria existe, no recuerdo que en la escuela se me haya introducido alguna enseñanza clara y concisa acerca de los conjuntos numerables. Se que antes las escuelas dentro del currículo nacional enseñaban tal teoría de una forma muy básica, pero más apegada a la realidad. Pero como las carreras mandan y el trabajo aprieta, a los niños se les enseña sin importar lo que aprenden (¿o sea nada?) a procesar fórmulas para fines meramente monetarios. Se vuelven automáticos al pagar el pasaje y recibir el vuelto, y si el chofer tiene problemas con el cálculo el cliente se queja y por eso llevan consigo la tablita de cobros. Se ha perdido el verdadero valor de las matemáticas degradándolas como monstruos difíciles de aprender, y hasta se atreven a tacharlas de inservibles: ¿para qué sirven las matemáticas? Me indagó un estudiante de secundaria que elegiría la carrera de Sociología. Me quedé pensante y concluí que las matemáticas son como la Filosofía, ¡no sirven para nada! Pero mi satisfacción es navegar entre mares de abstracción y sublimidad infinita, sentir placer cuando leo y siento que soy parte de otro cosmos. Además algunos le llaman tecnología a la aplicación de las Ciencias Matemáticas, otros la insultan con el adjetivo de progreso. En Matemáticas se demuestra, se busca una verdad que no está al alcance de lo palpable, los matemáticos son personas que dedican cuerpo entero y amores ocultos en busca de una realidad que no sea tan evidente.
La Aritmética es el primer portal que muy pocos pueden traspasar, los demás sólo se quedan afuera. Fue llamada la Ciencia de los Números (aríthmos). Se dice que Pitágoras inventó las tablas para multiplicar. Éstas son aprendidas en los primeros años de pupilaje. Pero hay libros en los cuales se dio mayor relevancia a los dibujitos y los colores que el contenido acerca de los números, hay incluso algunos que no deberían ser mencionados como matemáticos.
La Suma.
Analicemos la definición que propone el DRAE:
Suma. (Del lat. summa). f. Agregado de muchas cosas, y más comúnmente de dinero. || 2. Acción y efecto de sumar. || 3. Lo más sustancial e importante de algo. || 4. Recopilación de todas las partes de una ciencia o facultad. || 5. Mat. Resultado de añadir a una cantidad otra u otras homogéneas. || 6. Operación de sumar. || en ~. loc. adv. en resumen. || ~ y sigue. expr. U. para indicar que, sumadas las cantidades que se anotaron en una plana, continúa la suma en la plana siguiente. || 2. coloq. Denota la repetición o continuación de algo.
Haré notar que no hay una claridad en lo que "significa" precisamente "suma". Una definición matemática que responda al vacío que dejan las definiciones convencionales puede ser descubierta por el niño. Por ejemplo: se da a un niño una caja, que anteriormente definimos como "0". Cuando la caja está "vacía" decimos que en ella no hay elementos u objetos. Pero el niño podrá indagar acerca de lo siguiente: ¿qué sucede si yo tengo dos cajas? Entonces ya las cajas no vendrían a representar al vacío. Entonces hablaremos de vacío únicamente cuando nos refiramos a "contenido", es decir, lo que haya dentro de la caja. Ahora, que hemos despejado algunas ambigüedades procederemos a "definir" la suma como la "reunión de elementos dentro de una misma caja". Anteriormente mencioné que las características cualitativas de los elementos deben ser obviadas, pero más adelante, cuando el niño aprenda a distinguir los elementos por sus diferencias los clasificará en clases, siendo éstas: color, forma, sabor, tamaño, peso, etc. Pero por ahora dejaremos dicha cuestión. Comencemos entonces por un caso particular: "José tiene dos caramelos y Marta le regala uno más, ¿cuántos caramelos tiene ahora José?". Se asume que el verbo "tener" implica pertenencia, en el caso de José puede llamársele "el conjunto de los caramelos de José" y podemos representarlo como una "J". Sea entonces J = {a, b}, siendo a y b los caramelos de distinto sabor. Entonces Marta tiene un confite c, y lo agrega a J:
{a, b} U {c}
En conjuntos, "U" representa la "unión". Pero hay un inconveniente a la hora de realizar una operación entre conjuntos como la siguiente:
{a, b} U {a} = {a, b}
En éste caso, como {a} es subconjunto de {a, b} entonces la "reunión" es {a, b}. Pero esto será aclarado de inmediato: sustitúyase "U" por el símbolo "+":
{a, b} + {a} = {a,b,a}
Esto es por si el confite que le regala Marta a José es de la misma clase que el confite sabor "a". Al símbolo "+" le llamaremos una relación dentro del conjunto de los números Naturales a aquella que:
- Es cerrada: Si a y b son elementos del conjunto de los Números Naturales, entonces a + b también está en el conjunto de los Números Naturales. Por ejemplo, como 1 está en N (naturales) y 2 también, entonces 1 + 2 está en N, es decir "3 pertenece a N".
- Es conmutativa: Si a y b son elementos de N, entonces a + b es igual (=) a b + a. Por ejemplo, 1 + 3 = 3 + 1. Popularmente se dice que "el orden no altera el resultado": esto es conmutar.
(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)
- Es asociativa: Si a, b y c son elementos de N, entonces (a + b) + c = a + (b + c). Ejemplo: (1 + 2) + 3. El paréntesis ( ) nos indica cuál operación habremos de realizar "en primera instancia": así pues, se efectúa 1 + 2 = 3. Como 1 + 2 = 3, entonces (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. Ahora veamos el caso 1 + (2 + 3): efectuamos 2 + 3 = 5. Entonces 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. Por reflexividad de "=" tenemos que 6 = 6, y por tanto,
- Posee un elemento neutro: Para todo número natural "a" se tiene que:
a + 0 = a
y a 0 (cero) se le llama "elemento neutro de la suma". Así tenemos que 6 + 0 = 6. Por cierto, el elemento 0 es único. Para que el niño comprenda lo que significa el cero más concretamente, volvamos al ejemplo de las cajas: cuando suma cinco lápices a una caja, es decir, los introduce dentro de ésta, entonces tendrá cinco (5) lápices dentro de una caja. Simbólicamente: 0 + 5 = 5.
La Multiplicación:
Gozamos de elementos para especificar la multiplicación. Supóngase que Rafael posee 3 cajitas que contienen 3 unidades de postales cada una:
A = {a, b, c}, B = {d, e, f}, C = {g, h, i}
Entonces, A + B + C = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Siendo un poco más preciso: 3ê 3 = 9, que representa el número de postales reunidas en una cajita única. El símbolo "ê " representará una relación dentro de N, que satisface lo siguiente:
- Es cerrada: Si a y b son elementos de N, entonces aê b también está en N. Por ejemplo, 2 está en N y 3 también está en N, por tanto, 2ê 3 = 6 está en N.
- Es conmutativa: Si a y b elementos de N, implican que aê b = bê a. Además, esto se cumple sí y sólo sí "a no es igual a 0" (a ≠ 0) y b ≠ 0. (Esto será aclarado dentro de un momento.) Por ejemplo, si 2ê 3 = 6, y 3ê 2 = 6, entonces 2ê 3 = 3ê 2.
- Es asociativa: Similar a la suma: (aê b)ê c = aê (bê c). Así (2ê 3)ê 4 = 2ê (3ê 4) = 24. En el primer miembro, (6)ê 4 = 24, y en el segundo: 2ê (12) = 24.
5ê 1 = 5; 1ê 7 = 7; 0ê 1 = 0
Concluyendo que "todo número natural multiplicado por 1 es igual a sí mismo".
- Elemento Neutro: Para todo a en N se tiene que: aê 1 = a. Graficando:
- Elemento absorbente: Hasta aquí no ha habido mucha dificultad. Pero, ¿cómo explicar a un niño que 0ê a = 0, para todo número en N? ¿No conseguiría llegar el docente a decir que la caja vacía "absorbe" a todo lo que se le introduzca, aunque esto parezca demasiado plausible y justificado? Pero el docente sabe que la demostración de teoremas no es parte de la estructura cognoscitiva del niño en edad temprana.
El niño, durante la escuela primaria y hasta el tercer grado es enseñado para que realice tales operaciones, acudiendo a métodos casi mágicos como son las tablas para multiplicar, que muchas veces los padres son impositores de tal sistema de memorización, hasta da un poco de lástima escuchar a tantos niños que repiten como si esto fuese un rosario. Y si el horror fuera de poco provecho, al entrar hacia el cuarto grado, cuentan algunos repitentes que hay un abominable ogro desconocido y aplastante etiquetado como "la división". La tragedia se dio con la aparición de "la resta" o "sustracción", sacada como de la manga cual artilugio macabro, tal vez prorrogándose porque los papás contraen deudas y a eso le dicen "pérdidas" que es como una "suma negativa". No está demás rememorar esos tiempos acerca de conversiones de metros a kilómetros, de grados Fahrenheit a Centígrados, de Horas a Segundos, de dolores de cabeza y notas deprimentes.
Dentro del ámbito de educación primaria lo fundamental es el dominio de las cuatro operaciones. Sin este bagaje el alumno verá al final del horizonte un sinnúmero de odiseas, y esto es lo que se vende: si no te lo aprendes tienes asegurado el fracaso, te estancarás y no podrás escalar hasta la cima de la jerarquía del "conocimiento". Es de esperar: en el umbral de la secundaria la desorientación convierte el revoltijo de "conocimiento" memorístico en vértigo, llega el punto del olvido y muy pocos son los sobrevivientes cuando el telón cae, para embarcarse con rumbo al país de la educación superior. Muchos "quieren" ser ingenieros, economistas, contadores, estadistas, abogados, y los que no quieren ver ni en pintura matemáticas se arrojan hacia las carreras sociales.
Es hora de enfrentar lo que la mala educación matemática trae consigo: el "cálculo" es parte de la nueva vida capitalista, está en manos de los educadores del área Matemáticas el no crear seres "discalcúlicos" en masa: éste es el gran reto.
Mario Alejandro De Leon Urbina
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