- Entre manos y pies…
- El Conjunto de los Números Naturales: enseñanza y aprendizaje del Sistema Decimal
- La motivación por medio de los hechos
- Aritmética: introducción a las operaciones fundamentales
- La Suma
- La Multiplicación
El número natural, a pesar de la imposibilidad de dar una definición lógica de él es una concepción del pensamiento, una "idea" en el sentido platónico del término. Paul Germain
El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada, ni conocer nada. Filolao
Preámbulo
Para dar inicio a esta discusión es necesario indagar desde la raíz del problema, si es que lo que se denomina como discalculia es en sí un problema. Para esto me veo en la tarea de averiguar cómo el niño, desde sus primeros años de vida aprende, y para esto puede que recurra a la Teoría del Aprendizaje Significativo de Ausubel. En primera instancia, los números son las representaciones globales de conjuntos contables. Para esto deberemos cuestionarnos lo que significa un conjunto. Conjunto es colección de elementos. Matemáticamente hablando, un conjunto es un axioma, al igual que la palabra elemento. Al decir un axioma lo planteo como es debido en la Teoría de Conjuntos, establecida con mucha profundidad por George Cantor a finales del siglo XIX.
Los números que conocemos actualmente provienen de los árabes, de ahí que se designen como arábigos. Pero, según muchos individuos que especulan acerca de la discalculia, es un grave problema, ya que el niño no aprende a insertarse en el mundo de los números (y por consiguiente, el del cálculo). Si bien es cierto, la mayoría de las personas manipulan a estos extraños garabatos que representan a un sinnúmero de objetos, ya sea con diferencias cualitativas o similitudes entre las mismas. Pero, si yo le preguntase a un sujeto que sabe con demasía fórmulas y las domina al dedillo qué es lo que significa número para él, seguramente no sabría responderme lo que representan y mucho menos el para qué de las fórmulas mágicas con las que hace malabares. Mi conjetura sería con certeza una verosimilitud, aproximándose cada vez más a lo verdadero cuando compruebe que casi todos no conocen la misteriosa aparición del número como tal. Entonces concluiría, al igual que Sócrates, que ¡nadie sabe nada y sin embargo aparentan saberlo todo!
La definición de número tiene historicidad (al mejor estilo de Heidegger) y con esto, ha pasado por muchas transiciones que lo han llevado al estado actual de perfección universal: La Teoría de los Números. Pero volvamos a los primeros rudimentos del ser humano y la aparición de todo lo que es humano. Del hombre primitivo podremos asegurar: la necesidad de asociación es inherente al hombre, lo que muchos llaman como socialización. Eso hizo que el primitivo sintiera la necesidad de expresar tal inherencia natural por medio de representaciones puramente objetivas: palos, piedras (calculus), huesos, y más tarde: dibujos sobre paredes lúgubres y fascinantes.
Para los primeros habitantes con algún indicio de raciocinio, andar en manadas o tribus era parte de la sobrevivencia, ya que ellos eran escasos y como en el relato bíblico: "la tierra estaba desolada". El caso es que el número nace como una mera consecuencia del hábito diario: provino de la naturaleza, del hombre cazador que seleccionaba determinada cantidad de presa de acuerdo con las exigencias de los otros y del hambre que le invadiera, de la mujer que sembraba y recolectaba los frutos de su cosecha, al mismo tiempo que se encargaba de la educación de sus hijos e hijas.
Después de varios milenios de andar divagando con la sombra nómada, el hombre se adueñó de otro de sus mejores inventos: la agricultura. Ciertamente aquí podremos decir que nace el número para fines prácticos: la distribución de alimentos cosechados, los animales en cierto terreno, en fin, la contabilidad. El conteo o contar es la acción efectuada en el tiempo en la cual se seleccionan objetos de forma sucesiva, de aquí que el humano no pueda visualizar todos los entes que conforman un conjunto de manera simultánea: es necesario verlos como unidad. Entonces la unidad, que ya desde tiempos míticos representaba a los dioses, al designio de los hados, la fuente de todo lo creado. La unidad es parte de una limitada visión, de un enfoque específico, de un perspectivismo restringido, y el absolutismo es un derivado directo de la unidad. La contrapartida de lo Uno vino a ser la pluralidad, las partes del todo. La diversidad y lo relativo son derivados directos de la pluralidad. Bien sabido es que las religiones supieron aprovechar esto. Y entonces los griegos nos hablaron de lo Uno como infinito (Parménides), otro de los conceptos que han dado dolor de cabeza a tantos matemáticos y físicos, ha hecho que los literatos echen a volar su imaginación. Pero el genial Demócrito y su atomismo nos indujeron a un infinito microscópico, de divisiones de una unidad tan pequeña que llegaría hasta un límite: lo indivisible y contable. Los pitagóricos creían que el número conformaba a todo el universo, la perfección estaba en los números conmensurables (racionales) y los cinco poliedros regulares.
Pero el descubrimiento de los números irracionales impactó de lleno, dejando un vacío de agonía para los aseguradores de tal perfección, y algunos se atreven a decir que Pitágoras murió de pena por esto; Zenón de Elea nos dio una de las lecciones más espectaculares con su sin igual paradoja acerca de Aquiles y la Tortuga.
Entre manos y pies…
La búsqueda de un patrón para "medir" hizo de las manos, los pies, los codos y cualquier otra parte del cuerpo instrumento para delimitar un terreno desde que se inventó la propiedad privada. Así heredaron los números el sinónimo de dígitos (dedos) y el sistema decimal (mano). Los nativos americanos (mayas) tuvieron la dicha de crear el sistema vigesimal (dedos de manos y pies) y sexagesimal dándonos una exactitud de medición temporal. Los babilonios también utilizaron el sistema sexagesimal (60). Los egipcios se destacan por su habilidad para el conteo de cultivos y distribución de tierras para siembra, pero, precisamente el Nilo los impulsó a ello, tanto así que hay papiros (el de Rhind y Rusia) que indican un conocimiento sobre el Teorema de Pitágoras antes de que este saliera a la luz convencionalmente, y no solo eso: también los chinos tenían una demostración de siglos antes que Pitágoras. Esto es de importancia relevante, ya que se asegura que el Teorema de Pitágoras hizo surgir la incógnita de los irracionales. Pero los irracionales no se quedan allí, Arquímedes con su famoso eureka y los noventa y seis lados de un polígono regular dio una aproximación de la tan famosa constante pi (π). Ahora es parte de los números trascendentes, que son las raíces de una ecuación algebraica sin coeficientes racionales.
El Conjunto de los Números Naturales: enseñanza y aprendizaje del Sistema Decimal.
Ahora haré un énfasis acerca de los números naturales. Se adjetivan como tales porque se supone, surgieron de forma intuitiva, deductiva y natural. Así, el número 1 representa a todos los conjuntos de la forma {x}, es decir, con "x" elementos o único. El cero (0) representa al conjunto vacío ({ }= Ø) o al cual no pertenece ningún objeto. El dos (2) vendría a representar al conjunto {x, y}, es decir {x} U {y} = {x, y}, o como se dice vernáculamente: 1 + 1 = 2.
Así, por pensamiento inductivo podríamos construir el tres (3), cuatro (4), etcétera. La importancia de que el niño en sus primeros años de vida tenga plena interacción con objetos para que los pueda clasificar, primeramente como objetos de juego, luego identificarlos según la clasificación que se le quiera dar: color, forma, tamaño, es decir, por sus caracteres cualitativos. Luego la noción de cantidad tendrá más significado siendo ésta la colección de elementos u entes sin importar sus cualidades, sino su mero agrupamiento. Más tarde el niño por medio del juego manipula los objetos realizando la reunión de estos (suma) y la separación (resta o sustracción). La noción de multiplicación lleva consigo la agrupación de elementos con las mismas características cualitativas siendo esta una especie de derivado de la suma. Así verá que si tiene las letras a y b reunidas en una caja (representando al vacío) :{a, b}, y teniendo tres de estas cajas deducirá que hay en total seis (6) objetos y esto será corroborado cuando todos estén en una misma caja: 2 x 3 = 6. La acción inversa, es decir, tomar los seis objetos y distribuirlos en las tres cajas es la de dividir. Hasta aquí tenemos una "definición" de las "operaciones básicas": suma( + ), resta( – ), multiplicación( x ) y división( / ).
Surge una incógnita: ¿es necesario realizar las operaciones (básicas) a posteriori con números? Es muy fácil tomar unas cuantas piedritas y acumularlas para realizar cálculos, pero si las cantidades son muy considerables, será demasiado penoso para un niño el cargar un saco con piedras. Por esto, los números vienen a reemplazar a los objetos y aquí hablamos de abstracción: el número trasciende al objeto y es abstraído por la capacidad de relación en la estructura cognitiva del niño. Pero, si desde temprana edad el niño no ha tenido una continua interacción con objetos por medio del juego, entonces será muy difícil que se familiarice con los números. Y más aún: realizar operaciones o calcular. Si bien el número es algo específico, viene a ser una generalización de representaciones contables. Pero es menester que el aprendizaje que se tiene sobre ellos sea significativo. Por esto, los niños de primaria que poseen problemas para realizar cálculos sencillos simplemente, o desconocen la relación entre número y objetos, o fueron enseñados a realizar trazos sin ningún significado práctico y mucho más palpable u objetivo. El número por ser una abstracción no puede ser tomado a la ligera como un objeto de estudio sin conocer primero su origen. Éste nació de forma intuitiva pero impulsar su aprendizaje por medio de una enseñanza memorística hace que se le olvide al niño lo que es un número, y la consecuencia es que no hay ninguna importancia en aprender algo que "no es real".
Quizá, atendiendo al behaviorismo: "el estímulo X no producirá la reacción R; el estímulo Y producirá la reacción R (reflejo incondicionado); pero cuando el estímulo X se presenta primero y el estímulo Y (que produce R) inmediatamente después, X producirá en lo sucesivo la reacción R. En otras palabras, el estímulo X podrá sustituir en adelante al estímulo Y", daré un ejemplo particular.
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