Introducción a las Propiedades Matemáticas de la Gran Pirámide (página 2)

CAPÍTULO I

LA GRAN PIRÁMIDE

El monumento al misterio

Es la única de las siete maravillas del mundo antiguo que todavía existe, aunque "descascarada" por el egoísmo y la ignorancia de los seres que usaron su recubrimiento para construir edificios más modernos y menos maravillosos.

Ha despertado la curiosidad de todo tipo de personas y en torno a ella se construyeron las más variadas teorías. Para todos los gustos: desde influencia de seres extraterrestres hasta las explicaciones "clásicas", en donde un ejército de hormigas humanas coloca dos millones seiscientos mil bloques de piedra, de un peso promedio de dos y media toneladas métricas, ¡a razón de una piedra cada dos minutos! (Es necesario aclarar que la pila de rocas tenía una altura de ciento cuarenta y ocho metros y el lado del cuadrado base unos doscientos treinta y dos metros; todo ello en un terreno arenoso y con temperaturas de más de cuarenta grados centígrados durante el día. Hasta la construcción de la Torre Eiffel, en 1.889, fue el edificio más alto del mundo)

La primera afirmación que vamos a analizar es la idea directriz que define las proporciones de la pirámide, según refiere Herodoto: "Si se levanta un cuadrado sobre su altura, su superficie corresponderá a la de cada una de las superficies triangulares."

En la figura 1, el segmento AC es un lado del cuadrado base, DO es la base del triángulo de la sección meridiana de la pirámide, BD la apotema y BO la altura.

Figura 1

Tenemos que la superficie del triángulo de una cara de la pirámide, igual a la mitad del producto de la apotema y un lado de la base, debería ser igual al cuadrado de la altura. La apotema puede calcularse aplicando el teorema de Pitágoras; además DO es conocido e igual a la mitad de AC, porque la pirámide es recta y la altura cae en el centro del cuadrado base. Llamemos "y" a AC y "h" a BO; luego:

Calculando la superficie del triángulo e igualando con el cuadrado de h, queda: . Para eliminar la raíz, podemos elevar el conjunto al cuadrado. Aunque esto introduce soluciones extrañas, nos servirá para resolver el problema. De esta forma, tenemos:

Calculamos la altura h en función de un valor dado al lado del cuadrado base:

Aquí se presenta un caso análogo al de las ecuaciones "bicuadráticas" en problemas con una incógnita: la diferencia de cuadrados es igual a otro cuadrado, y2 h2.

La expresión = F es el número áureo, solución real positiva de la ecuación x2 – x – 1 = 0. La raíz del número áureo es la solución real positiva de la ecuación x4 – x2 – 1 = 0. Para las pirámides que cumplen la condición enunciada por Herodoto, el triángulo de la sección meridiana DBO tiene las siguientes medidas:

BO = "y" es el lado de la pirámide.

DB = ; DO = = , M es la sección áurea de DB y MN = .

Éste es un triángulo singular: es el único triángulo rectángulo en el que los lados están en progresión geométrica, siendo la razón . También hay un único triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión aritmética, a saber, el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), según demostró W. A. Price en un artículo de la revista The Field, publicada en Gran Bretaña. Price es el principal defensor de la tesis áurea como criterio constructivo.

El ángulo ODB tiene por coseno a 0,61803398875..; además, @ 0,7861 5137 775… El número es la solución real positiva de la ecuación x2 + + x -1 = 0 y lo es de la ecuación x4 + x2 – 1 = 0. Tenemos que sen2 a = =cos a y tan a = . Las aristas de la pirámide valen = = y sen 72º @ y 0,9510 5651 6295… Esta relación con el ángulo central de un pentágono la examinaremos más adelante.

El ángulo a , que da la pendiente de las caras, resulta igual a 51º 49’ 38,2525 4275.."

Las medidas de una pirámide como la descripta, en función del radio de la circunferencia que inscribe una cara, son las siguientes:

Lado =; apotema =; altura =

Hasta aquí, hemos trabajado en base a la afirmación de Herodoto; pero hay opiniones discrepantes. La mayoría de los investigadores se inclina a favor de un sutil intento de cuadratura del círculo, porque, casualmente, se aproxima a . En la pirámide, la comparación entre las medidas resultantes de ambas posibilidades da una diferencia de unos pocos centímetros; los errores inevitables de toda construcción y la incertidumbre que deja la ausencia del recubrimiento original hacen que los empiristas tengan la posibilidad de elegir la hipótesis que más les satisfaga. Para mí, el testimonio de Herodoto es concluyente; además, la construcción basada en el número áureo es teóricamente exacta y da significado al monumento, mientras que la construcción de una cuadratura basada en una aproximación empírica del valor de p no tiene ningún valor teórico y hasta es carente de sentido. Antes de continuar, estudiaremos un poco el número áureo y la sección áurea.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN

Dividir un segmento en media y extrema razón significa partirlo en dos partes tales que la menor esté con la mayor en la misma relación que la mayor con el todo.

Según la definición, pedimos que se cumplan las relaciones ; o bien, . De la igualdad de los productos de extremos y medios, e igualando a cero, se obtiene la ecuación [1]. De ella se deduce que: 1º) dado A, ; 2º) dado B, . El primer enfoque corresponde en la práctica a realizar lo siguiente: dado un segmento, prolongarlo hasta que el primero sea su sección áurea; o sea, encontrar un segmento mayor tal que el dato esté en media y extrema razón con el producto. En este caso, el valor es el número áureo, la longitud del segmento obtenido, tomando como unidad al dato. La segunda consigna es inversa a la primera: dado un segmento, encontrar su sección áurea. Aquí, el valor es la sección áurea del segmento tomado como unidad. En ambos casos, estos valores son los coeficientes por los que hay que multiplicar los datos para obtener las soluciones pedidas, en caso de no poder tomar los datos como unidades.

Estos números tienen propiedades algebraicas notables, cuyo estudio profundo daría para escribir un libro; entre ellas: .

En el proceso anterior transformamos la ecuación [1] en otras con una incógnita, dándole el valor unitario a una de las incógnitas. Para cada caso, hay un par de valores reales, uno mayor y otro menor que cero. También es posible calcular los dos valores positivos simultáneamente como par de soluciones de la ecuación . De la ecuación cuártica (y bicuadrática) se obtienen las cuatro soluciones reales.

CONSTRUCCIÓN Y APROXIMACIONES

El núcleo del problema de construir con regla no graduada de un solo borde y compás la sección áurea o el número áureo, consiste en la construcción de la raíz cuadrada de cinco; ya que sumar o restar la unidad a un segmento y hallar su mitad no tiene inconveniente. La raíz cuadrada de cinco se obtiene como la diagonal de un rectángulo de base 2x y altura x (o viceversa), donde x es la unidad de medida. El rectángulo también se puede dibujar dividiendo en dos partes iguales un cuadrado de lado 2x.

Un rectángulo como el descrito sirve como representación del límite de la serie, como muestra la figura 4.

Tanto las pulgadas egipcias, como las inglesas y muchas otras medidas antiguas, se subdividen en fracciones de denominadores 2k. Justamente, el rectángu-lo que aquí aparece acostado, contiene una diagonal que forma un ángulo de cotangente 2, una de las inclinaciones sugeridas por Moreux para la Gran Pirámide. La geometría sagrada antigua permitía nada más que mediaciones y duplicaciones. Hasta el Renacimiento, las operaciones aritméticas eran realizadas de esta manera por expertos. La introducción de la numeración de posición simplificó las cosas al punto de hacer accesibles las operaciones al común de la gente.

Para puede tomarse una muy buena aproximación racional con : <10-5. El número , es una mejor aproximación con <10-11. Asimismo, cualquiera de las dos fracciones propias anteriores sirve para aproximar a la sección áurea con los errores indicados. La fracción impropia es el valor aproximado de la raíz cuadrada de cinco, con error inferior a 10-11.

Tanto los dos números dorados como la raíz cuadrada de cinco pueden ser descriptos teóricamente por fracciones continuas infinitas:

Hay otras expresiones con un número infinito de pasos:

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1.917.

Pese al gran valor teórico de los procesos infinitos, el hombre no es capaz de trasladar a la práctica más que magnitudes finitas. Si para obtener un valor cualquiera es menester seguir un número interminable de pasos, es obvio que acortando ese proceso se obtendrá otro valor, tan próximo al primero cuanto más larga sea la cadena de cálculos. En el caso de las fracciones continuas, cortando la secuencia en algún punto, y resolviendo las operaciones indicadas hasta el corte, se obtendrá un número racional que lleva los nombres de "convergente", "fracción reducida" o, simplemente, "reducida". Las reducidas se numeran según el orden creciente desde el valor de menor aproximación; o sea, el primer elemento de la cadena. Las reducidas impares son menores que el valor teórico que se intenta representar y las pares son mayores. Esto ocurre sólo si la fracción continua es simple; esto es, si sus numeradores son todos iguales a la unidad. La fracción continua simple siempre converge. Cada par de valores acota inferior y superiormente el número buscado y la longitud del intervalo decrece a medida que se calculan reducidas más avanzadas. Cuando las fracciones continuas representan a la sección áurea y el número áureo, las reducidas tienen numeradores y denominadores pertenecientes a la Sucesión de Fibonacci, como puede verse en el cuadro de la siguiente página. La quinta reducida para la fracción continua que representa a la raíz cuadrada de cinco es <10-5.

Las fracciones continuas simples suelen abreviarse escribiendo entre paréntesis el valor entero, el signo de punto y coma, y la sucesión de los denominadores entre comas. Por ejemplo: .

Estas fracciones distan de ser meros "entretenimientos matemáticos" o formas "rebuscadas" de expresar cosas de otra manera más simples. Tienen gran utilidad en la resolución de ecuaciones diofánticas de segundo grado; especialmente, las mal llamadas ecuaciones de Pell que, en realidad, fueron estudiadas por Brouncker, pero Euler atribuyó erróneamente a John Pell (1.610, 1.685). Las soluciones a estas ecuaciones, cuya forma es , con D no cuadrado perfecto, sirven para resolver las ecuaciones cuadráticas más generales en dos incógnitas, reduciendo cualquiera de ellas a la forma descripta más atrás mediante sustituciones de las variables; por lo que el estudio de éstas es suficiente para liquidar todo lo referente a los problemas cuadráticos en dos incógnitas.

Las potencias de utilizan también como coeficientes a los números pertenecientes a la Sucesión de Fibonacci y otros que pertenecen a una sucesión recurrente de ley similar, pero con distintos primeros dos elementos. Sin embargo, los cocientes de los términos de esta sucesión y todas las sucesiones aditivas recurrentes de orden dos tienden al mismo límite.

El elemento an de la sucesión 1, 3, 4, 7, 11, 18, … se calcula de manera muy parecida al homólogo de la sucesión de Fibonacci: . Las potencias de las otras tres raíces de se construyen análogamente, excepto los signos.

Dada una potencia natural de , la potencia inmediatamente anterior, en el orden natural creciente, es su sección áurea. O sea, es sección áurea de . Inversamente, cada potencia de es la sección áurea de la potencia inmediatamente anterior: es sección áurea de .

Suele llamarse "espectro" de un número racional "R" a la sucesión de enteros [R], [R1], [R2], …, [Rn], tales que ellos son los denominadores de la fracción continua simple equivalente a R. Existe una notable interpretación geométrica de esta sucesión, que paso a describir:

1. Primero se construye un rectángulo de base igual a la unidad y altura R.
2. Procedemos a dibujar en el rectángulo todos los cuadrados de lado unidad que podamos.
3. En el rectángulo residual, aplicamos el mismo procedimiento anterior, pero ahora los cuadrados se reducen a la dimensión menor del rectángulo residual.
4. Repetimos este proceso hasta cubrir totalmente el rectángulo original.

Este proceso es aplicable a todo número racional y agota la superficie del rectángulo en un número finito de pasos. La cantidad de cuadrados contenidos en cada uno de los sucesivos rectángulos nos indica el valor del término correspondiente del espectro de R. Cuando R es un número irracional, el proceso es interminable.

Si construimos el espectro del número áureo, los cuadrados que iremos encontrando tienen lados cuyos valores son potencias de , la sección áurea. Cada uno de esos lados es la sección áurea del lado del cuadrado anterior. Las dos diagonales trazadas son: la menor, el lado de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de radio unitario; la mayor, una diagonal de ese pentágono y el lado del pentagrama o estrella de cinco puntas resultante, desde tiempo inmemorial el símbolo de la magia y de lo oculto.

AD = BC = 1

AB = CD =

AC =

EC =

EF =

FG =

HI =

es sección áurea de = 2 sen 72º; o, lo que es igual a sen 36º = cos 54º es sección áurea de sen 72º = cos 18º. También tenemos que:

Figura 5.

y .

LA SECCIÓN ÁUREA Y EL NÚMERO ÁUREO EN GEOMETRÍA EUCLIDIANA

En algunos casos interesa indicar el valor del lado de un polígono regular en función del radio de la circunferencia en la que se inscribe. Para el pentágono, por ejemplo, tenemos que una diagonal vale:

En la expresión [*] define un triángulo rectángulo: la diagonal de un pentágono es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos a la unidad y el número áureo. La siguiente otro con los catetos iguales a la raíz cuadrada de dos y la raíz del número áureo. Si obtenemos la sección áurea de esta última expresión, tenemos que: . Este es el valor por el que hay que multiplicar el radio para obtener la longitud del lado de un pentágono, que es igual a dos veces el seno de 36º. O sea, el lado de un pentágono resulta de multiplicar el radio por la sección áurea de dos veces el seno del ángulo central: . También podemos decir que el seno del ángulo central de un decágono es la sección áurea del seno del ángulo central de un pentágono. La sección áurea de una diagonal de un pentágono es el lugar exacto por donde pasa otra diagonal. El lado de un pentágono es la menor de las diagonales de un decágono. La prolongación de los lados de un pentágono crea una figura estrellada que se denomina pentagrama; sus diagonales dibujan otro pentagrama inscripto que resulta invertido con el que circunscribe al pentágono.

El lado de un decágono es la sección áurea del radio. Hay una relación entre los lados del decágono, del hexágono y del pentágono inscribibles en una misma circunferencia: ; los tres conforman un triángulo rectángulo. Otras ternas que generan triángulos rectángulos son:

. También tenemos las siguientes relaciones:

No sólo en geometría euclidiana plana se encuentra a los dos números áureos, sino también en los sólidos platónicos y otros semi-regulares; en general, en todos aquellos en los que intervenga la raíz cuadrada de cinco o números derivados.

LA SECCIÓN ÁUREA Y EL NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA

Los dos números áureos y los enteros pertenecientes a la sucesión de Fibonacci se encuentran en muchos organismos vivos. Por ejemplo, en la distribución de las inflorescencias, donde es común encontrar dos espirales en las que los objetos que las componen suman números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci, cuyos cocientes tienden a .

Algunas cosas son casi indiscutibles y otras no; en este campo ciertas mentalidades aceptan algunas cosas y otras las rechazan. Entre las que a mí me parecen de aceptación inequívoca se halla la distribución de las hojas o ramas de una planta.

Para que las hojas o las ramas de una planta, colocadas en hélice ascendente sobre la rama o el tronco, tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas según un ángulo constante igual a Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1.875.

Hay dos grandes obras en las que encontrar muchos datos acerca de estos números, ambas agotadas en las librerías, pero presentes en bibliotecas importantes: La Divina Proporción, Luca Paccioli, Editorial Losada, Buenos Aires, 1.946; Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes, Matila Ghyka, Editorial Poseidón, Buenos Aires, 1.953.

CAPÍTULO II

Propiedades de la cara

Entre los más famosos hombres que se dedicaron a investigar la Gran Pirámide se encuentran Charles Piazzi-Smyth (1.819 – 1.900), Sir William Matthew Flinders Petrie (1.853 – 1.942), el abate Théophile Moreux (1.867 – 1.954), el coronel Richard Howard Vyse (1.784 – 1.853) y los matemáticos W. A. Price, Jarolimek y K. Kleppisch. Los tres primeros realizaron mediciones que no concuerdan entre sí y fueron partidarios de la hipótesis "p " (sostenían que los constructores habían intentado una cuadratura del círculo y no tomaban en cuenta una construcción basada en el número áureo).

Para Petrie, el lado de la pirámide mide 230,516 metros; lo que da una altura máxima de 146,610 metros, para la hipótesis . Moreux mide 232,170 metros (altura 147,662 metros) y Piazzi-Smyth 232,805 metros (altura 148,066 metros). Si tomamos un valor de 3,1415926 para el número pi, las alturas aumentan 14,2 cm; algo insignificante si se lo compara con las medidas del edificio y, además, falta la punta. Basados en mediciones no es posible elegir entre una y otra hipótesis.

Los dos estudios matemáticos más serios son: "Der Mathematische Schlussel zu der Pyramide des Cheops", de Jarolimek (Viena, 1.890) y "Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis", de K. Kleppisch (editado por Oldenburg, Munich, 1.921). Ambos matemáticos fueron partidarios de la hipótesis áurea; lo que no me parece casual por su actividad, ellos estaban más acostumbrados a las ideas que a los hechos experimentales. (Ver segunda parte)

Si bien respeto todas las posturas intelectuales, en la suposición de un intento de cuadratura me parece ver un prejuicio respecto de los pueblos de la antigüedad. Se pretende un progreso gradual del conocimiento desde grupos de salvajes simiescos hasta la actualidad, con una aceleración del progreso desde el Renacimiento. Me recuerda a la actitud del adolescente que considera a su padre un tonto que no entiende nada.

Existe una lamentable tendencia a despreciar u ocultar cualquier idea, conclusión o evidencia que asigne a los antiguos más conocimiento que el que permite el orgullo de la clase intelectual de los últimos tres siglos. Es común encontrar comentarios como el que sigue, debido a Paul Couderc: "Las Pirámides suponen constructores con una técnica para entonces muy notable, pero es inútil tratar de descubrir en la orientación, situación y dimensiones, maravillosos conocimientos secretos. Con los rudimentarios instrumentos que poseían y de los que, por lo general, extrajeron todo el partido posible, los antiguos no pudieron hacer sino observaciones mediocres, y es burlarse del lector no advertido darle a entender que los faraones conocían veinte decimales del número , las nebulosas espirales y, quizá, el análisis espectral." ("Las Etapas de la Astronomía", EUdeBA, Cuadernos de EUdeBA nº 63, Buenos Aires, 1.965)

No discuto que el análisis matemático realizado en este trabajo es propio de esta civilización y no de la egipcia. No prueba que los egipcios lo hayan realizado de la misma manera; pero, de alguna forma, hay resultados mínimos indispensables que debieron obtener, aunque, quizás, con una técnica muy diferente a la nuestra, pero de efectos equivalentes.

En lo que atañe a la Gran Pirámide, hay que entender que si el monumento tenía función funeraria (yo no termino de aceptarlo), la concreción de la obra debía hacerse en un lapso de no más de veintidós años. En ese tiempo hubo que proyectar el edificio, preparar y acopiar el material y concretar la obra; lo que no deja espacio para la improvisación, el tanteo y las contramarchas. En los largos corredores de la Pirámide no hay marcas de negro de humo atribuibles a los constructores en ninguna parte. ¿Cómo iluminaron el interior de los pasadizos para poder trabajar? Los toscos espejos de bronce pulido dejarían en la oscuridad a los obreros después de una tercera o cuarta reflexión. ¿Quién se burla de quién?

Otro edificio notable, el Partenón, fue construido con medidas sutiles que evitan ilusiones de óptica que resultarían antiestéticas para un observador. Las columnas y otras superficies fueron deformadas a propósito para hacer que se vean paralelas y rectas cuando, si realmente lo fueran, parecerían no serlo. Esto hace intervenir pequeños ángulos de 2,61 a 2,65 segundos de arco, para que las tres vistas principales del edificio resulten ópticamente perfectas. ¿Imagina al arquitecto gritándole a un artesano con un cincel en un andamio: "¡un poco más, que lo veo torcido!"? Las correcciones ópticas del Partenón fueron descubiertas recién en 1.837.

No es necesario que los conocimientos técnicos adecuados estuvieran en poder de la civilización que encargó y financió el proyecto. No debemos rechazar, a priori, que existiera un grupo de constructores de templos que aplicara sus conocimientos al servicio de reyes y sacerdotes y que los fueran heredando a sus sucesores; de alguna manera precursores de los talleres secretos de albañiles de la Edad Media y que desembocaron en la Masonería Operativa primitiva.

Leyendas de una edad de oro, de la Atlántida y otras similares podrían tener mucho de cierto y dar cuenta de un conocimiento parcial y penosamente reconstruido, después de un cataclismo que destruyó una civilización anterior tan adelantada como la nuestra, aunque diferente (Ver nota al final del capítulo). Si los antiguos tenían tan poca sabiduría y técnicas tan toscas, ¿cómo es posible que nosotros, en la cumbre del desarrollo intelectual de la especie, no nos pongamos de acuerdo con las medidas de la base?

El triángulo ACD de la figura cinco es la mitad de una cara. Si "m" designa al lado del cuadrado base, la arista vale , la altura de la cara es y la altura de la pirámide . El rectángulo que define la mitad de la cara es un rectángulo áureo, llamado así porque el cociente de sus lados es igual a . Sencillos cálculos trigonométricos permiten conocer las medidas de los ángulos del triángulo que forma una cara: los dos ángulos iguales que corresponden al lado del triángulo que está sobre la base de la pirámide miden 58º 16’ 57,092 118 740 380 832 829 948 696 815 930 …" y el ángulo del vértice superior, 63º 26’ 5,815 762 519 238 334 340 102 606 368 139 …". En el rectángulo áureo de la figura 5, el ángulo ACD es exactamente la mitad de este último ángulo, idéntico al ángulo BCE. El triángulo menor es semejante al mayor y el cociente de la superficie del menor sobre la del mayor es la sección áurea.

El ángulo ECA, que completa el recto, es igual a 26º 33’ 54,184 237 …". El ángulo del vértice superior también resulta ser el que forman la diagonal de un rectángulo igual a un doble cuadrado y uno de sus lados menores. Esa diagonal es proporcional al número raíz cuadrada de cinco y los lados proporcionales a la unidad y el número dos.

Desde muy antiguo casi todos los templos utilizan el doble cuadrado en el trazado de su planta y en otros desarrollos verticales; esto también se aprecia en las catedrales góticas y otros templos más modernos. En algunos casos suele utilizarse el triple cuadrado, asociado a la raíz cuadrada de diez. En la figura seis se ilustran estas propiedades.

Figura 6.

El corredor de entrada es un telescopio meridiano natural que permite la observación de la estrella polar. Nuevamente, los estudiosos no logran acuerdo en sus medidas de la inclinación del corredor con respecto al horizonte: Moreux dice 26º 10’; Piazzi-Smyth, 26º 18’ 10"; Petrie, 26º 31’ 23". Pero Kleppisch sugiere un ángulo tal que su tangente sea 0,5; o sea, el ángulo de 26º 33’ 54,184 237 …" que nace "naturalmente" del doble cuadrado y el rectángulo áureo de la construcción anterior.

Otra notable coincidencia se encuentra en la cara de la Gran Pirámide: dividiendo ésta en dos partes iguales, desde el punto medio de la base al vértice superior, cada parte resultante es el triángulo rectángulo formado por la reunión de los lados de un hexágono, un decágono y un pentágono inscribibles en una misma circunferencia, que encontramos en el capítulo anterior. También hay algunas propiedades interesantes con respecto al ángulo del vértice superior: éste es igual a la reunión del ángulo central de un octógono y la mitad del ángulo más agudo del triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5) y a la suma del ángulo de la inclinación del corredor de entrada (tangente = 0,5) y la totalidad del mismo ángulo agudo del triángulo sagrado egipcio. Con respecto a la inclusión de un octógono, hay una observación interesante: cuando calculamos el coseno de la mitad de un ángulo, interviene siempre el ángulo central de un octógono. En efecto: . Esto es lo mismo que decir que la expresión es la diagonal de un cuadrado que tiene por lado a . En mi trabajo anterior, "Números Triangulares y Tópicos de Teoría de Números", vimos la relación entre las letras del alfabeto hebreo y las figuras geométricas planas regulares, además de la presencia de dos octógonos, un eneágono y un polígono de dieciocho lados en el Tetragrámaton, el conjunto de cuatro consonantes que se utilizaba en el Israel antiguo para escribir el nombre de Dios. Intuyo que hay alguna relación matemática entre la Pirámide, el triángulo sagrado egipcio, el nombre de Dios y otras construcciones u objetos matemáticos con denominaciones sagradas, que permitirían la construcción, mediante regla no graduada de un solo borde y compás, de un ángulo de un número de grados no múltiplo de tres ni de sus sucesivas mediaciones.

Esto daría por tierra con el Teorema General de Ciclotomía de Gauss, del año 1.801, porque permitiría la construcción de cualquier ángulo de un número entero de grados y las trisecciones de muchos ángulos, ahora consideradas imposibles por medios cuadráticos. Matemáticamente esto sería una revolución, pero puede haber mucho más: quizás abra las puertas del dominio de las interacciones débiles (en el ámbito de la física nuclear) por medio de bajas energías; una tecnología que nuestra civilización todavía no pudo lograr.

En la figura siete vemos las ubicaciones de estas tres figuras con respecto a la cara de la pirámide y uno de los dos doble-cuadrados.

Figura 7.

Otra cosa digna de ser mencionada es que las aristas que van desde la base al vértice superior coinciden con las diagonales de un pentágono; implícitamente en cada cara pueden ubicarse cuatro estrellas de cinco puntas o pentagramas, como se muestra en las figuras "ocho a" a "ocho d". Considerando al triángulo de cada cara sobre un plano, todo termina ahí; pero, como las caras están ubicadas en el espacio, las diferentes posiciones de estos pentagramas mencionados sugieren cuatro sólidos de revolución sobre una pirámide, como se puede ver en las figuras "nueve a" a "nueve e". Para mí es indudable que el monumento tiene significado mágico.

Los sacerdotes egipcios practicaban la alta magia; pero el verdadero significado mágico del complejo es tan avanzado como las fórmulas matemáticas que manejaba Einstein en su teoría del campo unificado. Este significado está completamente fuera de mi alcance y del de muchas personas con conocimientos más profundos que los míos en la materia.

Si hay algún conjunto de personas vivas que puedan comprender cabalmente el significado mágico de la construcción y los efectos que produce sobre la materia o el espíritu, dudo mucho que su número supere la docena y, seguramente, sus conocimientos están resguardados por un juramento de silencio. Con todo, (y esto es especulación pura) creo que el edificio procesa algún tipo de energía oscilante. Esto podría justificar el hecho de que se encuentre en el meridiano y en el paralelo que cruzan más tierras, y en un lugar que corresponde a la culminación del Sol en el cenit sobre el vértice de la Gran Pirámide en las fechas que corresponderían a los equinoccios de un gran ciclo de 31.756 años, causado por el movimiento del ángulo que forman el plano de la eclíptica y el plano del ecuador terrestre. Este ángulo varía por la superposición de dos movimientos, debidos a la precesión del polo de la eclíptica y el corrimiento del eje mayor de la eclíptica o línea de los ábsides, que producen que la inclinación del eje de la Tierra varíe cíclicamente de 23º 25’ 57" a 35º 25’ 47". Esto coincide con una teoría del "año cósmico" formulada por Drayson.

Figura 8 a

Dos estrellas sobre una de las aristas. El segmento AB puede ser considerado como un eje de giro para un sólido de revolución.

Figura 8 b. Las cuatro estrellas sobre una cara.

El ángulo CAE mide 8º 33’ 54,18423748…". La línea AD divide este ángulo en dos partes iguales de 4º 16’ 57,09211874…"

Figura 8 c. Sólido de revolución en una arista. Vista lateral en corte.

Figura 8 d. Vista de una cara con los dos sólidos de revolución sobrepuestos.

Figura 9 a. Los cuatro sólidos de revolución sobre la pirámide, vista orbital en 3D.

Figura 9 b. Otra vista orbital en 3D.

Figura 9 c. Otra vista orbital desde un ángulo diferente.

Figura 9 d. Vista orbital en 3D por detrás de la base. Detalle de los sectores de los sólidos de revolución virtuales que quedan "bajo tierra".

Figura 9 e. Vista isométrica sudeste.

Nota final: "Algunas de las creencias y leyendas que la Antigüedad nos ha legado están tan universal y profundamente arraigadas, que nos hemos habituado a considerarlas casi tan viejas como la misma Humanidad. Sin embargo, nos sentimos inclinados a investigar hasta qué punto la coincidencia de muchas de estas creencias y leyendas es fruto de la casualidad, o bien hasta qué punto podrían ser el reflejo de la existencia de una antigua civilización, desconocida e insospechada, y todos cuyos otros vestigios hubiesen desaparecido." Sir Frederic Soddy (1877 – 1956; Premio Nobel 1921)

CAPÍTULO III

La "pirámide plana"

Algunos llaman "pirámide plana" a la figura que resulta de "volcar" las cuatro caras sobre la base mediante un movimiento de "bisagra", con cada eje de giro ubicado sobre un lado del cuadrado que sirve de planta al edificio. Los geómetras llaman a esta acción "abatimiento".

Figura 10.

En la figura diez vemos las cuatro caras abatidas sobre la base. Además del cuadrado de la base, se distinguen otros tres; de los cuales los cuadrados ABCD y EFGH tienen sus lados proporcionales a los números y , respectivamente (para el lado de la base proporcional a 2). Los cuatro ángulos agudos que se abren desde los cuatro vértices del cuadrado base, y cuyas aberturas contienen los lados del cuadrado EFGH, nuevamente son de 26º 33’ 54,184742…"; para mí, la más probable de las inclinaciones del corredor de la entrada.

Figura 11. Pentagramas sobre la "pirámide plana".

Si volcamos conjuntamente con cada cara las cuatro estrellas de cinco puntas o pentagramas que se hallan en su mismo plano, obtenemos la intrincada imagen de la figura once. Tanto el dibujo de la figura diez como éste se aproximan más a los símbolos que suelen dibujarse en el piso para la práctica de la alta magia Para el lector no informado, permítaseme explicar algunas cosas acerca de esta práctica. Se distingue entre la hechicería y la magia.

Para lograr sus fines, el hechicero manipula la materia; se vale de objetos, sustancias químicas y otras cosas tangibles. El mago, en cambio, utiliza su espíritu; se vale de rezos, invocaciones y símbolos más abstractos. La práctica de la alta magia recurre a construcciones geométricas y al "recitado" de fórmulas verbales. En la alta magia, el ritual involucra a una tríada: número, sonido y forma. No sólo es importante lo que se dice, sino cómo se dice; adquieren valor no sólo las palabras, sino su entonación y ritmo.

Existe un dogma que "explica" el por qué de las acciones que lleva a cabo el mago, pero yo no soy capaz de dar todavía una explicación científica racional a todo esto. No obstante, mi actitud inicial no es despreciar ni burlarme de lo que no conozco o no entiendo; antes bien, observo con atención, prudencia y respeto. Hasta tanto no tenga premisas suficientes, no emito juicio, ni a favor, ni en contra, de la validez de ciertas explicaciones. Dada la prohibición bíblica de involucrarse en estas prácticas (Levítico 19: 26 y 19: 31), aconsejo enfáticamente al lector no participar de ninguna actividad de este tipo; inclusive para el lector agnóstico o ateo, esto es cualquier cosa menos un juego. Y no olviden que "la curiosidad mató al gato".En cuanto a la vinculación de sonidos con formas, hay una observación interesante.

En las proporciones de las construcciones geométricas, en algunas leyes físicas o astronómicas (como la ley de Bode) y en las proporciones de las construcciones arquitectónicas, se hallan a menudo acordes musicales mayores y menores. Inversamente, en la música hay implícitamente construcciones geométricas. Si fuera posible determinar la correspondencia exacta entre ciertos conjuntos de sonidos y algunas figuras geométricas (esto no puede hacerse arbitrariamente), se podrían "ver" las grandes sinfonías y las grandes óperas. De las imágenes obtenidas, seguramente podrían derivarse interesantes teoremas y, quizás, también mensajes de otra naturaleza. La música, formulada especialmente para ello, no sólo produciría estados de ánimo, sino que podría introducir ciertos mensajes subliminales o disparar algunos procesos mentales. Los antiguos hablaban de la "sinfonía de las esferas" o la "sinfonía cósmica" y no era una licencia poética. Aunque no afirmo nada, llamo la atención del lector al hecho de que, desde Einstein, el universo es una síntesis geométrica y todo parece, además, reducirse a fenómenos ondulatorios. (Ver notas al final del capítulo)

Para terminar, les cuento una anécdota vinculada al tema. Cuando vi la película "En nombre de la rosa", me sorprendió una escena en la que un monje queda atónito cuando observa que Sean Connery lee un libro con la vista, en vez de en voz alta, como los demás. Reconocí inmediatamente un fondo mágico en todo esto. Para el punto de vista mágico antiguo, la palabra era una potencia, debía ser enunciada para que cobrara efectividad.

La actitud apresurada del hombre actual es la de calificar estas acciones como tonterías, supercherías de las mentes ignorantes de entonces. ¿Qué diferencia puede haber entre leer "con la vista" y en voz alta? La única posible –dirán con cara de doctos- es que de una forma actúa solamente la memoria visual y, de la otra, también la auditiva. ¡Ajá! ¿Sólo eso?

¿Está seguro…? Yo no lo estoy tanto. La lectura en voz alta elimina completamente el ritmo alfa, aún para el individuo cuyo electro-encefalograma pertenece al tipo P extremo.

Tanto en la hechicería como en la magia hay lo que podríamos llamar "una escala cultural". Ciertas formas mágicas son producto de mentes poco desarrolladas, de individuos de escasa sabiduría. Como ejemplo, podemos citar el "Culto del Cargo", una forma primitiva de magia imitativa que desarrollaron unos nativos que vivían tal como creemos lo hacían los hombres del neolítico.

En medio de la Segunda Guerra Mundial, esta tribu encontró de pronto a los hombres blancos y comenzaron a observarlos con curiosidad ávida. Los militares plantaban antenas de radio, colocaban las cajas que contenían el transmisor y el receptor sobre mesas y se sentaban a hablar frente a ellas. Posteriormente llegaban unos enormes aviones, de los que descargaban equipos y todo tipo de pertrechos. En los contactos que se produjeron más tarde con estas primitivas personas, algunos soldados les obsequiaron chocolates, espejos, peines, comida enlatada y otros objetos comunes para nosotros; pero que para esta gente resultaban tesoros maravillosos que –literalmente- venían del cielo. Cuando la guerra terminó, los soldados se marcharon y, con ellos, la llegada de tesoros. Poco tiempo después comenzaron a construir mesas con ramas y hojas. Sobre ellas colocaron cajas armadas de la misma manera, y plantaron largas cañas a manera de antenas. En su sencilla lengua comenzaron a pedir "a los dioses" que les mandaran esos tesoros que salían de las entrañas de esos pájaros enormes y ruidosos, pero nada llegó. Trataron de "hacer lo mismo" que esos misteriosos blancos, pero no les dio resultado. Sin embargo, se creó un culto que duró un tiempo considerable y que podría ser un tiempo largo en tanto estos seres no desarrollen su mente para comprender lo que les ocurrió.

En realidad ignoro si hoy subsiste ese culto, si esa tribu desapareció o si fue "absorbida" por nuestra civilización. En ciertos ritos mágicos elementales, en la hechicería de poca monta y en las supersticiones lo que subyace es ignorancia; objetivamente, ignorancia. No digo esto con desprecio hacia quienes tienen pobreza intelectual, pero honestidad; hacia quienes se comportan sin engaño hacia los demás, creyendo en lo que hacen. Hay una colección enorme de ritos y costumbres que no sirven para nada y una constelación de timadores que se aprovechan de la ignorancia ajena para vivir sin trabajar. Pero no hay que poner todo en el mismo saco. Como contrapartida hay, también, un conocimiento secreto y profundo de ciertas técnicas que no son para ignorantes y que operan eficientemente sobre realidades que la ciencia no admite oficialmente. A ellas han accedido y se han dedicado hombres de la talla de Roger Bacon, el abate Juan Tritemo, Giordano Bruno y hasta Newton. Al igual que Bergier, digo: "no creo en todo, pero todo debe ser revisado" (Y agregaría: sin preconceptos).

"La arquitectura es música congelada" Matila Gyka duda en atribuir esta frase a Novalis o a Schelling. Para mayor confusión, busqué en Internet la frase encomillada y figura como pronunciada por el filósofo alemán Arthur Schopenhauer.

"La matemática es un verdadero arte, que puede colocarse junto a las artes plásticas y a la música… Sobre todo, está relacionada con las grandes arquitecturas dórica y gótica, etc. La arquitectura de los grandes templos egipcios constituye un tratado mudo de geometría…y el análisis matemático es a la inversa una arquitectura del más alto estilo." Oswald Spengler (La Decadencia de Occidente)

Carlos Alberto Carcagno

Ramos Mejía, Provincia de Buenos Aires.