Fundamentos para la comprensión de la complejidad y el caos en la organización y la economía (página 3)

10. ATRACTOR

De la misma manera como el caos y la aleatoriedad han conseguido ocultar las leyes que los rigen y escapar al control, del mismo modo también el hombre se las ha ingeniado para desplegar nuevas habilidades y atajos para desvelar el encanto.

Si bien es cierto que todo lo que tenga que ver con caos y aleatoriedad inquieta, es tanto como andar sin sombra, porque asombra, desconcierta y desprecia los modelos habituales, también es sabido que se han hecho incontables intentos para descubrir las leyes que los gobiernan; mas, todos han resultado fallidos; no ha sido posible encontrar fórmulas para domesticarlos. Domar el caos y la aleatoriedad figura entre las grandes empresas que aún enfrenta el hombre de hoy. Apenas se asoman soluciones tranquilizadoras con la teoría de los sistemas dinámicos y las matemáticas asociadas a esos comportamientos han hecho posible encontrar las primeras huellas del eslabón perdido.

Desde comienzos del siglo pasado Jules Henri Poincaré se interesó por descubrir la naturaleza de los sistemas dinámicos y pronto alcanzó a visualizar que los fenómenos naturales son inexorablemente complejos y que las propuestas de las matemáticas tradicionales y la geometría de Euclides no disponían de instrumentos capaces para describir ese tipo de fenómenos y revivió las matemáticas de las metáforas visuales.

Explorándolos reconoció que se trata de fenómenos que no se dejaban domeñar por las matemáticas clásicas y rompiendo la tradición fue capaz de pensar en otras alternativas hasta proponer como nuevo método la topología que, en esencia, sugiere una nueva forma de concebir el mundo; se trata a las claras de una matemática de relaciones, de patrones inmutables o ‘invariantes’.

Cuando intentaba describir las figuras que imaginaba no lograba más que sorprenderse porque las trayectorias formaban una especie de red o malla infinitamente espesa, ninguna de las curvas se cruzaba a sí misma, al tiempo que se replegaban de un modo muy complejo para pasar por los nodos de la red un número infinito de veces. Lo impresionó de tal manera el espectáculo que imaginaba que alcanzó a escribir (Capra, 1999: 144): "Uno queda sorprendido ante la complejidad de esta figura que no puedo ni siquiera intentar dibujar". Lo que realmente intuía es lo que ahora se conoce como "atractor extraño".

Como es de dominio general la solución de las ecuaciones que describen los fenómenos lineales se logra por medio de fórmulas -recurriendo al álgebra o al cálculo diferencial- o a través de la geometría euclidiana. No se corre la misma suerte cuando se trata de las ecuaciones que detallan los fenómenos naturales no-lineales. En estos casos la solución puede alcanzarse numéricamente mediante prueba y error; tanteando hasta obtener los valores que las satisfagan. Acertarlos demanda tiempo y al final se llega solamente a soluciones aproximadas.

Con los computadores modernos este impedimento pasó a la historia, se logran soluciones con gran rapidez y exactitud. El resultado es una extensa lista de valores de las variables que satisfacen la ecuación con los cuales se puede obtener un gráfico que contiene la curva o conjunto de curvas que los representan. Las técnicas disponibles han permitido resolver las enmarañadas ecuaciones no-lineales que describen fenómenos caóticos, identificando de esta forma el orden subyacente tras el aparente caos. Como en tantos otros casos a través de las matemáticas se ha logrado desentrañar comportamientos complejos.

Para poder comprender con mayor claridad las implicaciones del descubrimiento de Poincaré es necesario considerar el concepto de atractor.

Los atractores son entes caprichosos que invaden el mundo de la vida. Están presentes en lugares impensados y sólo bastan pocas prendas para comprobar el gran poder de atracción magnética que tienen, funcionan a manera de imán. Son modelo de atractores en el mundo de la vida: el hogar, la familia, las amistades, el amor y ¿acaso no ha sentido nunca la gran fuerza de atracción que tiene el poder? Y, ¿Qué decir del dinero? Y, ¿los vicios? En toda forma la idea que se quiere vender es que los atractores tienen un encanto que seduce hasta absorber todo cuanto los ronda. Es innegable reconocer que se encuentran en el mundo natural y también en los fenómenos sociales.

Se procurará entregar las ideas que los describen sosegadamente para desbastar el camino en la asimilación del concepto. De entrada es bueno adelantar que hay tres tipos de atractores: punto atractor fijo, asociado a sistemas dirigidos hacia el equilibrio estable; atractor de ciclo límite que representa oscilaciones periódicas y el atractor extraño que refleja sistemas caóticos. El patrón de los atractores refleja el comportamiento de los sistemas. Naturalmente, se tratará en primer lugar el punto atractor fijo y el prototipo más domesticable se consigue entre los sistemas que exhiben comportamiento periódico y repetitivo y entre estos está el péndulo. Si no intervinieran en el funcionamiento del péndulo la resistencia del aire y la fricción seguiría oscilando indefinidamente. A la larga esos dos factores impiden que continúe su propio devenir.

Es edificante tener en cuenta que no se trata de identificar el recorrido físico del péndulo que como se sabe es de izquierda a derecha y viceversa. Lo que se persigue es identificar la trayectoria –concepto que se definirá más adelante- que gobierna a ese comportamiento. La característica más distintiva de este sistema es que cualquiera que sea la naturaleza del impulso inicial siempre regresará al mismo punto físico. Para conseguir ese objetivo conviene antes afianzar otras nociones.

La proyección de los valores de las variables del sistema en un eje de coordenadas cartesianas se conoce como espacio fase –también llamado espacio de fases- y es el ambiente ideal donde se han dejado desvelar los patrones ordenados que subyacen en los sistemas. El espacio fase resulta -entonces- de proyectar los valores de las variables en tantos ejes cuantas variables sean necesarias para identificar íntimamente el fenómeno. En este espacio un simple punto describe el estado completo del sistema en un momento dado.

El espacio fase es en consecuencia la representación de todo el conjunto de estados posibles que es capaz de exhibir un sistema dinámico. Distíngase, lo que se proyecta no es el recorrido físico del sistema sino la trayectoria, que concretamente es una curva en un espacio matemático abstracto compuesto por todas las variables que se juzguen pertinentes con sus correspondientes valores. Naturalmente, que la representación gráfica del desplazamiento del péndulo en el espacio fase luce diferente al recorrido en el espacio real.

Es evidente que el péndulo oscila de un lado a otro de tal modo que después de cada balanceo completo regresa a su posición inicial. Luego, el recorrido de un sistema periódico regresa siempre al mismo punto del espacio fase sin tener en cuenta qué tan compleja ha sido la senda de retorno. Por lo mismo, con razón se dice que esos sistemas están enjaulados. Este comportamiento también se apreciará en el espacio fase.

.A fin de identificar la trayectoria del péndulo en el espacio fase se definen dos variables: distancia y velocidad, se proyectará sobre el eje de las x la distancia y sobre las y la velocidad. Si el sistema consta de 20 variables, entonces, cada variable tiene su propia coordenada en el espacio fase, de manera que se tendrá un espacio fase con 20 dimensiones.

En casos sencillos, normalmente, se manejan espacios fase de dos dimensiones, más conviene intentar visualizar un espacio de 20 dimensiones para persuadirse que no resulta cómodo comprender tan complicado entramado; por lo mismo, se llama espacio matemático abstracto. Así como la luna solo puede apreciarse mostrando todo su esplendor durante la noche, los atractores pueden visualizarse únicamente en el espacio fase. Curioso fenómeno.

En el caso particular del péndulo, cada estado del sistema estará definido por las dos variables definidas. Cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su recorrido, tanto de ida como de regreso, en esos dos puntos la velocidad es máxima y la distancia en esos dos puntos es cero, es decir x es igual a cero. Así se definen dos puntos sobre el eje de las x. Por el contrario, cuando el péndulo se encuentra en alguna de sus dos posiciones extremas de máxima elevación, la distancia en esos dos puntos –ida y vuelta- es máxima y la velocidad es cero. Así se definen dos puntos sobre el eje de las y con velocidad cero.

Al final resultan definidos en el sistema de coordenadas cuatro puntos, dos sobre el eje de las x y dos sobre el eje de las y. De esta manera queda configurado el espacio fase. Por último si se unen esos cuatro puntos se obtiene una curva cerrada conformando una elipse. A esta curva que describe el comportamiento del sistema en el espacio fase, Briggs y Peat, (1994: 36) y Capra (Op. cit.:146) la denominan "trayectoria" y Lorenz (1995: 42) la designa como "órbita". Está claro, que el atractor es la trayectoria y se le asigna ese nombre porque metafóricamente el punto fijo en el centro del sistema "atrae" la trayectoria.

Tal como puede comprobarse en la práctica los péndulos comunes sufren los efectos de la fricción y la resistencia del aire, factores que conducen a que pierdan velocidad y se detengan a no ser que una fuerza externa lo impida. El proceso de deterioro de una trayectoria u órbita periódica, como se acaba de proceder, es susceptible de ser representado en un espacio fase. Este comportamiento se apreciará en el espacio fase como una curva abierta que se cierra en espiral hacia el centro. Se palpa que la espiral se reducirá al irse deteniendo, metafóricamente hablando los matemáticos dicen que el punto fijo en el centro del sistema de coordenadas "atrae" la trayectoria.

Briggs y Peat (Op. cit.:36), son categóricos: "Como este punto parece atraer trayectorias hacía sí los matemáticos lo llaman ‘atractor’ o ‘punto atractor fijo’ y seguidamente anotan, "Un atractor es una región del estado de fases que ejerce una atracción ‘magnética’ sobre un sistema, y parece arrastrar el sistema hacia sí". Al punto atractor fijo Capra (Op.cit.: 148) le asigna la denominación de "atractor puntual". La situación descrita se aprecia más claramente con el comportamiento de la ecuación que condensa el sistema por cuanto que con cualquier valor que se alimente se generará un valor constante que será precisamente el atractor.

Lorenz (Op. cit.: 42) contribuye a clarificar el concepto de atractor:

En la mente de muchos investigadores, atractor y representación gráfica en el espacio de fase son una misma cosa. En su terminología punto significa estado, y órbita significa secuencia cronológica de estados, de modo que un conjunto de atractores puede ser una colección de puntos. Cuando esta colección consiste en una simple aglomeración, es también el atractor. Cuando se compone de diversas piezas inconexas, y cuando no hay una órbita que pase de una pieza a otra, cada una de las piezas es, por su parte, un atractor.

Se centrará la atención ahora en el atractor de ciclo límite. Se recordará que en el proceso precedente -punto atractor fijo- al péndulo se le imprimía solamente un impulso, circunstancia que conllevaba a que después de cierto tiempo la resistencia del aire y el rozamiento lo detuvieran. En este caso el péndulo recibe impulsos adicionales periódicamente.

La resistencia del aire y la fricción siguen ejerciendo su influencia -frenando-, más el impulso adicional acelera el péndulo y compensa los efectos contrarios de la resistencia del aire y la fricción. A fin de cuentas el péndulo sigue oscilando regularmente generando un nuevo tipo de atractor por cuanto que no está atraído hacia un punto fijo sino que es impulsado a describir una trayectoria cíclica en el espacio fase. A esta trayectoria Briggs y Peat (Op. cit.: 37) le asigna el nombre de ciclo límite o atractor de ciclo límite. Capra (Op. cit.: 148) los denomina "atractores periódicos". Desde otra perspectiva el sistema depredador-presa es un buen prototipo de un ciclo límite.

En este modelo, el comportamiento siempre regresa a su punto de partida por lo mismo la trayectoria se cierra en un ciclo, dando la oportunidad de observar el comportamiento de un ciclo periódico. Pero si en vez de partir de un solo punto de inicio, se dan varios empujones y se consideran todos los posibles puntos de inicio cada uno forjará su propia trayectoria y se generará toda una familia de curvas cerradas.

Es posible, por supuesto, experimentar con todas las trayectorias posibles; más en el propósito de no comprometer la comprensión tan sólo se opta por un número reducido. A esa familia, a ese conjunto de curvas, la distingue Capra (Op. cit.: 152) con el nombre de "retrato fase".

La detención del péndulo como se ha anotado se debe a la acción de la fuerza del aire y de la fricción y a este respecto se expresa E. Lorenz (Op. cit.: 51): "A un sistema de dos variables en el que las áreas son continuamente decrecientes, o a un sistema más general en el que los volúmenes multidimensionales del espacio de fase son continuamente decrecientes, esté o no estirándose en una o, quizá, en varias direcciones, se lo llama sistema disipativo. Los sistemas disipativos tangibles generalmente suponen algún proceso físicamente amortiguador, como el rozamiento".

Después de estas acotaciones viene apropiadamente esta idea de Nicolis y Prigigine (Op. cit.: 102-103): "Por el contrario, los sistemas disipativos están en situación de eliminar el efecto de las perturbaciones que actúan sobre ellos y de restituir de este modo el estado de referencia. De este modo se garantiza la predictibilidad y reproductibilidad de este régimen que a partir de ahora llamaremos atractor". Interpretando esta versión se dirá que los atractores, en primer término, eliminan el efecto de las perturbaciones y, segundo, cautivan al sistema a que vuelva al estado precedente.

Los sistemas que tienen esta característica de sofocar las perturbaciones los llaman Nicolis y Prigogine asintóticamente estables (24).

Luego, un sistema será asintóticamente estable cuando tenga la habilidad para extinguir las perturbaciones que lo alteran sin que quede vigente ningún rastro.

Y junto a este concepto aparece el de perturbación que según Nicolis y Prigogine (24), "es todo suceso que se produce de forma casual y que modifica localmente (y poco globalmente) algunas de las propiedades del sistema".

Por último, aparece en el tablado una criatura mágica y veleidosa: el atractor extraño y así se le menciona porque cuando se grafica en el espacio fase exhiben formas sorprendentes, increíbles. De entrada puede parecer un concepto nuevo, más se verá que ya está viviendo con nosotros pero encubierto con otra identidad. El atractor extraño es lo que en la vida común se denomina turbulencia. Algunos científicos creen que la turbulencia y el caos serán con el tiempo tan importantes como la mecánica cuántica y la relatividad.

No es necesario ir muy lejos ni pensar en sistemas demasiado complicados para encontrar ejemplos de sensibilidad a las condiciones iniciales. Un evento que practican los amantes del azar cotidiano es una preciosa joya para ilustrar la naturaleza de los atractores extraños.

Cuando se lanza una moneda al aire en condiciones ideales se puede intentar predecir si cae cara o sello y muy probablemente se llegará a acertar los lanzamientos después de efectuarlos un gran número de veces aplicando las leyes de probabilidad porque se está en presencia de un fenómeno aleatorio. Cuando no se realiza bajo el imperio de las condiciones ideales y se pretende saber si caerá cara o sello, se trata de otro fenómeno, ya que ahora está regido por las leyes del caos; así pues, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales afectarán el resultado final.

Por ejemplo, la posición de los dedos, la velocidad de lanzamiento, el ángulo de lanzamiento, la dirección del viento, la fricción del aire, el coeficiente de rebote del tapete donde caiga, etc. Todos estos factores provocarán resultados que después de realizar el experimento muchas veces el perfil que muestre la moneda al caer será siempre diferente e inmanejable. En concreto, la fase visible de la moneda al caer es extremadamente sensible a las condiciones iniciales.

Se puede simular el experimento configurando la ecuación que relaciona las variables descritas y tomando en cada caso los datos obtenidos es posible dibujar el espacio fase con tantas dimensiones como variables -en este caso 2 porque la moneda tiene dos caras- y se obtendrá una curva; itinerario que ya se ha definido como la "trayectoria". Si se lanza nuevamente la moneda y se toman en cuenta las condiciones iniciales la trayectoria obtenida será semejante a la anterior pero no se entrecruzarán, y se puede continuar realizando el experimento muchas veces. El sistema nunca se repite y cada ciclo cubre una región distinta del espacio fase. Aún cuando en cada intento se obtiene una trayectoria distinta la forma de la trayectoria es completamente similar a la anterior y también lo será las siguiente.

Al final se puede observar que siguen un patrón de comportamiento que es lo que en esencia se conoce con el nombre de "atractor".

El atractor extraño se aprecia en el espacio fase y muestra un modelo –patrón- estable que se repite y al cual converge el comportamiento del sistema a largo plazo y si se altera el sistema forzándolo para que se aparte de su comportamiento, tiende a volver a él tan rápidamente como puede. Ian Steward (1991:115-116) puntualiza. "Un atractor se define como … ¡cualquier cosa en la que algo se estabiliza! La esencia de un atractor es que es alguna porción del espacio fase tal que cualquier punto que comienza a moverse en sus proximidades se aproxima cada vez más a él".

Briggs y Peat (1999: 83) presentan de una forma atractiva la idea de atractor extraño: "La actividad de un sistema caótico colectivo, compuesto por una retroalimentación interactiva entre sus muchas escalas o «partes», ha recibido el poético nombre de «atractor extraño»".

La idea principal a tener en cuenta es que el atractor extraño como todos los atractores tiene la característica –según se aprecia en el espacio fase- de conquistar el comportamiento del sistema hasta enjaularlo en un espacio limitado que siempre estará dentro del atractor. Como se especificó el sistema se repite y en cada ciclo cubre una nueva región, a pesar de eso y de que los puntos en el espacio fase se distribuyen aleatoriamente exhibiendo un comportamiento errático, siempre obedecen a un patrón complejo y altamente organizado.

El concepto de atractor extraño se capta de un solo tajo si pensamos en una bandera expuesta al viento. Seguramente no se extenderá contrariando al viento ni permanecerá indiferente a la dirección del viento. Flameará en la misma dirección del viento y las ondas que forman su batir son siempre de la misma forma, unas grandes y otras pequeñas. Los mismos movimientos se observarán una y otra vez o son aproximadamente los mismos una y otra vez, cada vez más próximos entre sí, conformando un conjunto restringido. Es el conjunto de los atractores. En esta tónica, los sistemas se acomodan a los embates del entorno configurando atractores que se repiten incesantemente.

Los atractores extraños observan un comportamiento peculiar, un sistema puede acercarse más y más a algún patrón ideal, sin que nunca lo alcance y sin que nunca se repita a sí mismo. Cada ciclo es generado por la misma ecuación; más cada uno es uno nuevo, una aproximación cercana a su predecesor y a su sucesor, pero nunca precisamente el mismo. En cada intento las condiciones iniciales son diferentes y se reflejan de manera patente en el comportamiento del atractor.

Los atractores extraños son curiosas criaturas. Al fin son atajos que permiten descubrir cierto orden subyacente en el comportamiento. Interesan porque hacen caer en cuenta que "el tigre no es como lo pintan", que el comportamiento caótico desde este punto de vista es muy distinto del aleatorio o errático. Se da por sentado que es posible distinguir entre aleatoriedad o "ruido" y caos, puesto que el comportamiento caótico es aparentemente aleatorio, más en el fondo es determinista y pautado –mesurado, regulado, rítmico-; en contraste, la aleatoriedad no se somete a ningún patrón de ordenamiento. Los atractores extraños ayudan a transformar los datos aparentemente aleatorios en claras formas visuales.

Briggs y Peat (1994: 44) lo puntualizan así: "Los sistemas que lo generan brincan de aquí para allá y no tienen una conducta previsible. Son caóticos. Sin embargo, este desorden tiene una forma. El atractor al que se aferran estos sistemas es una especie de desorganización organizada del espacio de fases, y por ello los científicos lo llaman ‘extraño’".

En este caso lo que sucede es que el sistema no sigue un rumbo determinado, sino que el punto juguetea antojadizamente, vagabundea caóticamente formando una aglomeración de puntos, pero esa aglomeración de puntos tiene una forma, obedece a un patrón. Ese patrón es al que en este caso se llama atractor. A esa estirpe pertenecen el atractor de Lorenz (Op. cit.: 13), el Ueda (169) y el Cartwright-Littlewood (96).

Naturalmente, es prudente formalizar el alcance de la turbulencia. Dice Briggs y Peat (Op. cit.: 52): "La turbulencia surge porque todos los componentes de un movimiento están conectados entre sí, y cada uno de ellos depende de todos los demás, y la realimentación entre ellos produce más elementos". Prigogine (1994: 15) también resalta el concepto:

Pero los físicos y matemáticos conocen ahora otro tipo de atractor que no permite prever un comportamiento regular. Dichos atractores no corresponde a un punto, como en el estado de equilibrio, o a una línea, como en el ciclo límite, sino a un conjunto denso de puntos, lo bastante denso como para que sea posible encontrar puntos en cualquier zona del mismo, por pequeña que esta sea. Se trata de un conjunto al que se puede atribuir una dimensión «fractal».

Por la misma razón, también se les conoce como atractores fractales.

No hay mecanismos para predecir la diversidad de comportamientos en el mundo de lo sistemas no-lineales. Lo único que puede aguzar los sentidos es que se comportan combinando el determinismo con la aleatoriedad. Como ya se ha adelantado los sistemas caóticos tienen la característica particular de ser muy sensibles a las condiciones iniciales es lo que se denomina "sensibilidad a las condiciones iniciales". Cambios sin importancia en las condiciones iniciales generan con el tiempo consecuencias espectaculares en el estado final del sistema.

En la teoría del caos este tipo de comportamiento -lo descubrió Edward Lorenz- se conoce como "efecto mariposa", porque metafóricamente hablando, el aleteo de una mariposa en la Patagonia puede desatar una amenazadora tormenta en las costas Caribes. Otro tipo de fenómeno es el llamado "efecto veleta" (Balandier, 1999: 177) porque genera corrientes de apariencia errática y cualquier tentativa de explicación a través de la racionalidad resulta infructuosa. Con todo si se siguen con atención es posible descubrir el atractor que los domina, porque generalmente se trata de series inconexas, que están desligadas, aparecen y desaparecen; hay que seguirles el rastro detenidamente para lograr identificar su estructura.

A pesar de todo cuanto se ha dicho hasta ahora no se puede afirmar que la teoría del caos no este en capacidad de ofrecer predicciones. Se podrán hacer; en todo caso, estarán más íntimamente relacionadas con las características cualitativas del comportamiento del sistema, que con los valores de las variables identificables en un momento determinado.

El enfoque sin ninguna duda desvertebra la sabiduría tradicional e inaugura el cambio de cantidad a cualidad que caracteriza al pensamiento sistémico. Mientras las matemáticas convencionales privilegian cantidades y fórmulas, la teoría de sistemas dinámicos se contenta con tener bajo la mira a la cualidad y el patrón.

Un sistema no-lineal puede tener atractores caóticos, extraños o no caóticos. Lo atractivo está en que todas las trayectorias en una determinada región de espacio fase, desembocarán antes o después en un mismo atractor y la región recibe el nombre de "cuenca de atracción". De modo que el espacio fase de un sistema no-lineal tiene diferentes cuencas de atracción, cada una de ellas con su propio atractor. Por esa razón el análisis cualitativo de un sistema dinámico consiste en identificar los atractores y cuencas de atracción del sistema y clasificarlos según sus características topológicas. El resultado es un dibujo dinámico del sistema completo llamado "retrato fase", ya comentado.

Los sistemas no-lineales en los que pequeños cambios en los parámetros no alteran el retrato fase los denominó Stephen Smale (Capra, Op. cit.: 153)), "estructuralmente estables"; en cambio, en los que pequeñas alteraciones en los valores de los parámetros pueden generar cambios radicales en las características básicas del retrato fase, los denominó "estructuralmente inestables". En este régimen los atractores pueden desaparecer o intercambiase y nuevos atractores pueden aparecer súbitamente. Los puntos críticos de inestabilidad se denominan "puntos de bifurcación", porque como ya se estableció son puntos en la evolución de los sistemas en donde aparece repentinamente un desvío que encamina el sistema en una nueva dirección. Matemáticamente, los puntos de bifurcación marcan cambios súbitos en el retrato fase del sistema.

Vale la pena apuntar que es conveniente caer en cuenta que no se debe confundir la estabilidad del atractor como una representación gráfica del sistema, con la inestabilidad del sistema. El sistema puede ser inestable pero la representación gráfica de su trayectoria siempre será regida por un patrón que de hecho le concede estabilidad al atractor. En resumen, el atractor es un concepto que trata de explicar cómo cualquiera que sea el comportamiento del sistema tiene una tendencia a estabilizarse.

La sensibilidad de los parámetros en economía la dibuja certeramente Ormerod (Op. cit.: 228):

Una razón importante para el fracaso relativo de las técnicas lineales al analizar los datos es la siguiente: si un sistema subyacente no lineal genera una serie de datos, el impacto del sistema en su conjunto de un pequeño cambio en el valor de una de sus variables puede depender de los valores que todas las variables del sistema adopten en el momento en que tiene lugar el cambio. Se trata de la misma idea del concepto de sensibilidad a las condiciones iniciales expuesto anteriormente, … .

11. FRACTAL

No se había terminado de asimilar el concepto de atractor extraño cuando prorrumpió independientemente de la teoría del caos la llamada "teoría fractal" orientada a describir las caprichosas estructuras de los atractores extraños. El creador fue Benoit Mandelbrot quien comenzó estudiando fenómenos naturales irregulares. Particularmente son los que labran las ficciones caprichosas, arbitrarias, desarticuladas e irracionales de los mapas de las naciones.

A las matemáticas orientadas a estudiar dichos fenómenos les acuñó el nombre de "fractal", del latín fractus, irregular, quebrado, -"un lenguaje para hablar de nubes"- para describir y analizar la complejidad del mundo natural.

La propiedad más sorprendente de estas formas fractales es que sus patrones característicos se encuentran repetidamente en escalas descendentes, de modo que sus partes, en cualquier escala, son semejantes en forma al conjunto. El prototipo más representativo es un trozo de coliflor. Hay múltiples ejemplos de auto semejanza en la naturaleza: rocas en montañas que se asemejan a pequeñas montañas, bordes de nubes que repiten el mismo patrón una y otra vez.

Mandelbrot inicialmente no estableció la semejanza entre la geometría fractal y la teoría del caos, aún cuando pronto reconoció que trataba de describir los mismos atractores extraños que tanto impacientaron a Poincaré. Por lo mismo, a los atractores extraños se les define como trayectorias en espacio fase que exhiben geometría fractal. Otra característica que vincula la teoría del caos con la geometría fractal es el cambio de cantidad a cualidad. Como ya se comentó no es posible predecir los valores de las variables que describen un sistema caótico en un momento determinado, en oposición, se pueden predecir las características cualitativas del comportamiento del sistema.

De igual manera, es imposible calcular la longitud o área exactas de una figura fractal, pero se puede definir de modo cualitativo su grado de "mellado". Se comprenderá intuitivamente este concepto si se advierte que una línea quebrada sobre un plano llena más espacio que una línea recta.

El grado de mellado tiene algunas propiedades que Mandelbrot denominó dimensión fractal. El grado de mellado -figura dentada- se puede medir tomando como referencia un número entre 1 y 2 que caracterice el grado de dentado de la figura. Cuanto más quebrada la línea, más se acercará su dimensión fractal a 2. Cuanto más abrupto el perfil de costas y montañas mayor será su dimensión fractal. Estos conceptos adquirirán sentido o plena lucidez, cuando se aborden los aspectos prácticos de los negocios.

Para aterrizar el concepto de fractal basta traer a la mente cualquier gráfica que represente, por ejemplo, las ventas de una empresa o el comportamiento del PIB de un país.

La principal técnica para construir fractales es la iteración, que consiste en la repetición de cierta operación aritmética una y otra vez. La iteración no-lineal:

x → kx (1 – x),

describe el crecimiento de una población y es aparentemente muy simple, no se alcanza a presentir su comportamiento, más al final es origen de una gran complejidad. El proceso de iteración consiste en multiplicaciones repetidas de x por el parámetro k elegido. Cada paso se denomina "iteración" y de cada uno se obtiene un resultado que a la vez sirve de entrada al siguiente, -bucle de realimentación-; es tanto como decir que el efecto de una iteración sirve de causa a la siguiente, se cumple un proceso de realimentación (feedback). La realimentación se da cuando la salida de un sistema le sirve a su vez como entrada.

El proceso de proyectar sobre un eje -en este caso- las iteraciones se denomina "cartografía". Si k = 3 y a la variable x se le asignan valores que van desde 0 a 1 y, luego, se proyectan estas iteraciones sobre un segmento que tenga como longitud la unidad, los números entre 0 y 0,5 se cartografían como números entre 0 y 0,75 y los números entre 0,5 y 1 se cartografían sobre el mismo segmento pero en orden inverso. La iteración de esta cartografía originará operaciones repetidas de estirado y replegado, semejantes a las que efectúa un panadero con su masa, razón suficiente para denominarla "transformación del panadero". El proceso es un prototipo de los rebeldes procesos no-lineales altamente complejos e impredecibles, conocidos técnicamente como caos, (Capra, Op. cit.:140-142).

Las iteraciones pueden obedecer a distintas funciones y en todas, la característica distintiva es la presencia de operaciones repetidas de estirado y replegado. El proceso de iteración que conduce a la transformación del panadero, la característica matemática común a los atractores extraños, se revela como la característica matemática central que vincula la teoría del caos con la geometría fractal. A través de las "falsificaciones fractales" que son modelos generados por computador se han logrado acabados de plantas, árboles, montañas, líneas costeras, copos de nieve y trazado de un rayo, con un parecido sorprendente a las formas reales de la naturaleza.

No es de olvidar que iterando un simple dibujo de líneas a varias escalas, se ha logrado generar complejas formas de la naturaleza. Con estas nuevas técnicas matemáticas, los científicos han conseguido construir modelos muy precisos de una gran variedad de formas naturales irregulares, descubriendo al hacerlo la aparición generalizada de fractales. Mandelbrot logró la culminación de la geometría fractal al descubrir una estructura matemática que, aún siendo de una enorme complejidad puede ser generada con un procedimiento iterativo simple.

En todo fractal es conveniente identificar si se trata de series conexas o inconexas. Las conexas guardan la compostura en un espacio determinado; pero, las inconexas están desligadas, aparecen y desaparecen. Hay que seguirles el rastro detenidamente para lograr identificar su estructura.

La geometría fractal al igual que la teoría del caos ha obligado a científicos y matemáticos a revisar el concepto mismo de complejidad. En la matemática clásica, fórmulas simples corresponden a formas simples y fórmulas complicadas a formas complicadas. En las matemáticas de la complejidad, la situación es completamente distinta. Ecuaciones sencillas pueden generar atractores extraños enormemente complejos y reglas sencillas de iteración dan lugar a estructuras más complicadas de lo que jamás se podría imaginar. Mandelbrot lo ve como un nuevo y apasionante desarrollo de la ciencia, (Capra, Op. cit.: 167).

Estos ejemplos a los que se podrían sumar muchos otros muestran que a lo largo de la historia intelectual, las matemáticas nunca han estado separadas de otras áreas del conocimiento y la actividad humanas. La teoría de la complejidad está demostrando que las matemáticas son mucho más que fórmulas, que la comprensión del patrón es crucial para el entendimiento del mundo vivo que nos rodea y que todas las cuestiones de patrón, orden y complejidad son esencialmente matemáticas.

No es posible cerrar estas ideas sin hacer énfasis en que es esa característica tan típica de los fractales de ser estructuras auto-similares que se repiten a diferentes escalas, lo que resulta de interés en el análisis de procesos complejos tanto en la naturaleza como en la sociedad, la economía y las organizaciones.

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JESÚS ALVAREZ RODRÍGUEZ

Ingeniero Industrial. Universidad Industrial de Santander. Postgrado en Elaboración y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Económico. Convenio OEA-Universidad de Cartagena-Atlántico-CETREDE. (Brasil). Máster en Administración de Empresas. Convenio OEA-INSORA.(Universidad de Chile). Especialista en Teoría, Métodos y Técnicas de Investigación Social. Convenio Universidad de Cartagena-ICFES, 2001. Profesor de pre y postgrado en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Cartagena, Asesor de empresas. Cartagena de Indias, Colombia.

Fecha: octubre de 2005

Categoría: Administración