8. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de la extensión del concepto de derivada y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada de orden superior)
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Clase Práctica # 6: Derivada de la función inversa. Derivadas de funciones paramétricas e implícitas. Introducción a los problemas de rapidez de cambio.
1. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de la extensión del concepto de derivada y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) Dadas las funciones
Demostrar:
a) Que f tiene una función inversa g.
b) Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en el punto indicado P.
2. (de utilidad del concepto de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) La arista de un cubo se dilata con una rapidez de 2 cm por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen cuando la longitud de cada arista es 20 cm?
3. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de la extensión del concepto de derivada y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
4. (de utilidad del concepto de derivada a la determinación de derivadas de funciones dadas implícitamente y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
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Clase Práctica # 7: Problemas de rapidez de cambio.
1. (de utilidad del concepto de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) Un globo esférico mantiene su forma pero va aumentando su radio como consecuencia de la introducción en el mismo de un gas a presión constante. Se conoce que la rapidez con que cambia el volumen es de 4 cm3/seg, y se quiere determinar la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm.
2. (de utilidad del concepto de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) Una piscina tiene 10m de ancho por 20m de largo y una profundidad de 1m en un extremo y 3m en el otro, siendo el fondo un plano inclinado. Si se vierte agua en el interior de la piscina a razón de 1m3/min. ;¿Con qué rapidez se eleva su nivel cuando este es de 1m en el extremo más profundo?. (Considere el nivel máximo de agua hasta 2 metros). Se debe dibujar el gráfico siguiente
3. (de utilidad del concepto de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) Al arrojar una piedra en un estanque, se forma y propaga lo que se conoce como "rizo" (de hecho se forman varios rizos concéntricos), según se aprecia en la figura.
Supóngase que el rizo en cuestión es perfectamente circular y se desplaza a una velocidad constante de 30cm/seg. ¿Cuál será la velocidad con que cambia área comprendida por el rizo circular cuando el radio de este halla alcanzado la longitud de 100cm?.
4. (de utilidad del concepto de derivada a la solución de problemas de rapidez de cambio) Un campo de baseball es un cuadrado cuyo lado tiene 90 pies de longitud. Una pelota es lanzada por el bateador a lo largo de una línea que pasa por la tercera base con una velocidad constante de 100 pies por segundos.
a) ¿Cuál es la rapidez con que varía la distancia de la pelota a la primera base, cuando la pelota se encuentra a la mitad del camino de la tercera base?.
b) ¿ Cuál es la rapidez con que varía la distancia de la pelota a la primera base, cuando la pelota alcanza la tercera base?.
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Conferencia # 4: Teoremas básicos del cálculo diferencial
Sumario
Teorema de Fermat y extremos absolutos.
Teorema de Rolle.
Teorema de Lagrange o del valor medio del Cálculo Diferencial.
Teorema de Cauchy.
Problema 4.1. (de utilidad del concepto de derivada a la determinación de extremos) (de preparación para la obtención del teorema) Sea la función f(x) definida en un intervalo (a, b) y tal que en un cierto punto c ( (a, b) alcanza su valor máximo o mínimo en ese intervalo. ¿Qué se puede afirmar sobre la tangente en ese punto y sobre el valor de la misma? Sugerencia: realice un esbozo geométrico de esta situación para poder llegar a conclusiones.
Teorema de Fermat
Problema 4.2. (de empleo de recursos heurísticos para la demostración del teorema) Realice la demostración de este teorema. Sugerencia: Sin pérdida de generalidad, suponga que en c, f alcanza su valor máximo, entonces f(x) ( f(c ), para todo x ( (a,b). Diferencie los casos xc y construya convenientemente las derivadas laterales en c.
Demostración.
Observaciones (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
¿Qué ocurre si suprimimos la hipótesis de que el punto sea un punto interior del intervalo? R/ El teorema deja de ser cierto si suprimimos la hipótesis de que el punto sea un punto interior del intervalo, como por ejemplo, y = x, x ( (0,1], que toma su valor máximo en x = 1, y en dicho punto la derivada lateral no se anula.
¿Puede ocurrir que una función alcance su máximo o mínimo en un punto y la derivada no sea nula en ese punto? R/ Sí puede ocurrir, por ejemplo, y = 1 –
en [-1, 1], alcanza su valor máximo en x = 0 y en ese punto no existe derivada.
Definiciones.
Llamamos punto estacionario de f(x), aquel en que la derivada sea cero, es decir, es el conjunto de puntos
(de ampliación de los significados del concepto de punto estacionario) ¿Qué significa esto geométricamente?
R/ la recta tangente es horizontal en este punto.
Llamamos punto crítico de f(x), aquel punto del dominio de f(x) que no pertenece al dominio de la derivada, es decir, son los puntos del dominio de f donde la derivada no exista. El conjunto de puntos críticos es
(de ampliación de los significados del concepto de punto estacionario) ¿Qué significa esto geométricamente?
R/ en este punto la función tiene un pico (las semitangentes por la izquierda y por la derecha son diferentes o la recta tangente es vertical en este punto.
Método para encontrar el valor máximo y el mínimo (extremos absolutos) de una función en un intervalo cerrado.
Problema 4.3. (de utilidad de los conceptos de derivada, punto estacionario y punto crítico a la determinación de extremos) Sea f(x) definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b] (compacto). ¿En qué puntos de dicho intervalo puede existir el valor máximo y mínimo absoluto de la función?
Solución: Estos pueden ser:
1) Los puntos estacionarios del interior del intervalo, es decir, el conjunto de puntos
2) Los puntos críticos del interior del intervalo, es decir, el conjunto de puntos
3) Los extremos del intervalo x = a, y x = b.
Entonces, el valor de máximo absoluto de f es la mayor imagen de los puntos considerados en 1), 2) y 3) y el mínimo absoluto de f es la menor imagen de los puntos considerados en 1), 2) y 3).
Problema 4.4. (de utilidad de los conceptos de derivada, punto estacionario y punto crítico a la determinación de extremos y de ampliación de la colección de elementos conocidos de estos dos últimos conceptos) Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo que se pide:.
Problemas de extremos
En la vida se presenta una amplia gama de problemas en los que se requiere maximizar o minimizar determinada magnitud que depende de otra (o de otras).
En estos problemas se requiere hallar el valor máximo o mínimo de una función (función a optimizar) en un cierto conjunto de valores permisibles, dentro de las condiciones del problema para las variables. Este conjunto suele ser un intervalo, aunque no necesariamente cerrado, puede ser infinito.
En general, el método es el que se emplea para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado, pero cuando el intervalo no sea cerrado, se analiza la tendencia de la función hacia los extremos del intervalo.
Ejemplo. (de utilidad de los conceptos de derivada, punto estacionario y punto crítico a la solución de problemas de extremos) (pág. 62 y 63)
Se desea cercar un campo en forma rectangular, uno de cuyos lados está formado por la orilla de un río (consideramos la ribera del río recta). El lado correspondiente al río no será cercado. Si el campo debe tener 800 m2, halle las dimensiones que éste debe tener para que el gasto de cerca sea mínimo.
Solución: Insistir en los pasos a seguir al resolver problemas de extremos:
Figura de análisis + datos
Sean, y la longitud a lo largo del río, x la otra dimensión y L la longitud total de cerca.
Respuesta: Por tanto las dimensiones del rectángulo son 20 cm y 40 cm.
Teorema de Rolle
Problema 4.5. (de utilidad del concepto de derivada a la determinación de extremos) (de preparación para la obtención del teorema) Sea la función f que cumple: f(x) es continua en [a, b], f(x) es derivable en (a, b), f(a) = f(b) ¿Qué se puede afirmar sobre la existencia de puntos estacionarios de la función? Realice un esbozo geométrico de esta situación.
Solución:
Ver Demostración (pág. 68)
Problema 4.6. (de valoración de la calidad del teorema obtenido) Ponga ejemplos que ilustren la suficiencia y la no necesidad de las hipótesis
Observación. Si además de las hipótesis del teorema de Rolle se cumple que f(a) = f(b) = 0, ¿qué se puede afirmar sobre la relación entre los ceros de la función y los de su derivada?
R/ Entonces entre dos ceros de la función f(x) existe un cero de la función derivada.
Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial o teorema de Lagrange.
Problema 4.7. (de utilidad del concepto de derivada a la determinación de valores intermedios) (de preparación para la obtención del teorema)
Observe que el teorema se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a) y (b, f(b)) y la pendiente de la recta tangente en el punto x = c de la función y = f(x) son iguales.
Problema 4.8. (de empleo de recursos heurísticos para la demostración del teorema)
Realice la demostración de este teorema. Sugerencia: construya convenientemente la función:
y verifique que satisface las hipótesis del teorema de Rolle.
Demostración La función F(x) cumple las hipótesis del teorema de Rolle y se tiene que
(de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Escribiremos el teorema de Lagrange utilizando el lenguaje de los incrementos.
(de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Esta última expresión es exacta en comparación con la expresión aproximada obtenida cuando se introdujo el concepto de diferencial.
Visualización con el Paquete Mathematica: Visualizacion Teo Lagrange.nb
Aplicaciones del teorema de Lagrange
Se deja como ejercicio obtener la tesis de los siguientes teoremas y demostrarlos:
Problema 4.9. (de utilidad del concepto de derivada) Si f(x) es derivable en el intervalo (a,b) y 
para todo x de (a, b), entonces f(x) es ___________________.
Problema 4.10. (de utilidad del concepto de derivada) Si dos funciones f(x) y g(x) son derivables en el intervalo (a, b) y 
para todo x de (a, b), entonces la relación algebraica que existe entre f y g es: ________________________.
Ejercicio. Estudiar los ejemplos resueltos de las páginas 74 y 75.
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 58- 79)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del estudio independiente
1. Ejercicios 1,2, 3,4,5,6,7 págs. 67 y68
2. Ejercicios (1 – 9), pág. 78
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Clase Práctica # 8: Teoremas básicos del cálculo diferencial. Problemas de extremos.
1. (de aplicaciones del teorema de Rolle) Analizar si es posible aplicar el teorema de Rolle
2. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Hallar los máximos y mimos absolutos de las funciones siguientes, en el intervalo indicado.
3. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van a cortar cuatros cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para obtener una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo volumen posible?
4. (de aplicaciones del teorema de Lagrange) Comprobar que la función f(x) satisface las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [a, b] que se indica. Hallar todos los números c entre a y b que cumpla el teorema del valor medio
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Clase Práctica # 9: Problemas de extremos.
1. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Hallar el punto más cercano y más alejado de la parábola y = 4 – x2 al punto (0;1)
2. (de aplicaciones del teorema de Fermat) ¿Como ha de cortarse en dos trozos un alambre de longitud s para que, formando con uno de ellos un cuadrado, y con el otro una circunferencia, sea máxima la suma de las áreas de estas dos figuras.
3. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que resulta de tomar dos vértices sobre el eje X y los otros dos sobre las rectas y = 2x y 3x+y = 30 de tal forma que el rectángulo quede inscripto en el triángulo formado por las rectas y el eje X.
4. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Ejercicio 8 de la pág. 115.
5. (de aplicaciones del teorema de Fermat) Ejercicio 10 de la pág. 115.
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Conferencia # 5: Regla de L`H䰩tal – Bernoulli. Polinomio y serie de Taylor.
Sumario
Indeterminaciones de la forma 0/0.
Indeterminaciones de la forma (/(.
Otras formas indeterminadas
Fórmula de Taylor
Otras formas del resto
Serie de Taylor y aplicaciones
(de preparación para la obtención del teorema) Existen límites con formas indeterminadas que no pueden ser resueltos o son muy complejos de resolver utilizando recursos estudiados como: la descomposición factorial, el empleo de la conjugada de expresiones con radicales, las funciones equivalentes, límites notables, etc, como:
¿Cómo proceder en estos casos?
Existen varios teoremas que constituyen casos particulares de los resultados que publicó el matemático francés L" Hospital (1661-1704) en su manual de cálculo diferencial y sus aplicaciones a la geometría de 1696 "Análisis Infinitesimal", después de haber recibido por correspondencia dicho resultado enviado por Bernoulli, verdadero descubridor de dicho teorema.
Indeterminaciones de la forma 0/0
Teorema: Supongamos que f y g satisfacen:
(Ver demostración en la página 80)
Observaciones sobre la valoración de la calidad del teorema obtenido
Observe que el teorema reduce el cálculo de límites indeterminados de la forma 0/0 al cálculo del límite del cociente de sus derivadas.
El teorema es válido en el caso de límites en un punto, es decir, no sólo para límites laterales.
La cuarta hipótesis es muy importante, pues La regla de L`H䰩tal no puede ser aplicada cuando el límite
Si sucede que al aplicar la regla de L`H䰩tal vuelve a dar indeterminado de la forma 0/0 y se cumplen las hipótesis del teorema esta se puede volver a aplicar.
Problema 5.1. (de aplicaciones del teorema obtenido) Calcule los siguientes límites:
Observación: (de preparación para la obtención del teorema) La regla de L` H䰩tal puede ser extendida al caso en que el límite se tome cuando la variable x tienda a + (, – ( o (.
Teorema. Supongamos que f y g satisfacen:
(Ver demostración en la página 83)
Problema 5.2. (de aplicaciones del teorema obtenido)
Observación: (de preparación para la obtención del teorema) La regla de L`H䰩tal puede ser aplicada también al caso en que la forma
Indeterminaciones de la forma (/(
Teorema: Supongamos que f y g satisfacen:
(Ver demostración en la página 84)
Problema 5.3. (de aplicaciones del teorema obtenido)
Otras formas indeterminadas
Problema 5.4. (sobre la valoración de la calidad del teorema obtenido) Las formas indeterminadas 0.( y ( – ( pueden ser llevadas, fácilmente a 0/0 ó (/(. ¿Cómo puede lograrse esto?
Solución:
Problema 5.5. (sobre la valoración de la calidad del teorema obtenido)
Problema 5.6. (de aplicaciones del teorema obtenido) Calcule los siguientes límites:
Solución:
Fórmula de Taylor
(de preparación para la obtención del teorema) Por las facilidades que brinda el trabajo con polinomios, en ocasiones resulta necesario aproximar funciones no polinómicas con polinomios (llamados polinomios de Taylor, matemático inglés (1685-1731)) o determinar series de potencias que converjan a dichas funciones (llamadas series de Taylor).
Problema 5.7.
Solución: (en elaboración conjunta)
Determinemos cuáles deben ser los coeficientes del polinomio
para que se cumplan las condiciones expresadas anteriormente.
De todo lo anterior resulta el teorema:
Teorema:
Problema 5.8. (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Por su forma de obtención, obsérvese que el polinomio de Taylor es único para cada función en un punto
¿Cómo puede escribirse esta fórmula en notación incremental?
Solución: La fórmula de Taylor puede ser escrita en forma incremental, poniendo
Ejemplo: (de aplicación del teorema) (ejemplo resuelto en la página 95) Obtenga el desarrollo por la fórmula de Taylor de la función
Otras formas del resto
(de valoración de la calidad del teorema obtenido) La fórmula de Peano para el resto, es muy útil cuando sólo es necesario conocer su orden infinitesimal, cuando sea necesario profundizar en el comportamiento del término del resto es conveniente otras fórmulas.
Ejemplificación con el Mathematica: Taylor.nb
Serie de Taylor
Problema 5.9. (de preparación para la obtención del teorema) Teniendo en cuenta el polinomio de Taylor obtenido anteriormente, ¿Cuál será la serie de Taylor asociada a una función?
Solución:
(de valoración de la calidad del teorema obtenido)
De la relación,
se infiere que para que la serie de Taylor converja a la función f(x) en el intervalo considerado es necesario y suficiente que el resto tiende a cero cuando n tiende a (. Es decir, el estudio de la convergencia de la serie de Taylor a la función que la genera se reduce al análisis del resto de dicha serie.
Ejercicio (de aplicación del teorema) (Ver ejemplo, pág. 99)
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 80- 119)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del Estudio independiente
Se orienta el Seminario # 1 (a ser expuesto y evaluado después de la clase práctica # 11): Obtención de desarrollos de Taylor a partir de otros conocidos. Cálculo de límites aplicando el desarrollo de Taylor.
1. (de aplicación del teorema) Ejercicios 6(a-s) pág. 91
2. (de aplicación del teorema) Ejercicios 8, pág. 113
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Clase Práctica # 10: Regla de L"H䳰ital
1. (de aplicación del teorema de L" Hospital-Bernoulli) Calcule los siguientes límites, analizando en cada caso, que transformaciones algebraicas son necesarias para aplicar la Regla de L"H䰩tal y donde es aplicable la misma.
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Clase Práctica # 11: Fórmula de Taylor.
1. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie de Taylor)
a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado.
b) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado con resto de Lagrange.
c) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar el intervalo de convergencia con suma f(x).
d) Para n = 9, estimar e y calcular la precisión de la aproximación
2. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie de Taylor)
a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado.
b) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado con resto de Lagrange.
c) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar el intervalo de convergencia con suma f(x).
d) Para n = 2, encontrar el polinomio de Taylor de f(x) en (/3.
e) Estimar cos 61o y calcular la precisión de la aproximación
3. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie de Taylor)
a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado con resto de Lagrange.
b) Encontrar la serie de Taylor de f(x) en el punto indicado y determinar el intervalo de convergencia con suma f(x).
4. (de aplicación de los teoremas del polinomio y la serie de Taylor)
a) Encontrar la fórmula de Taylor de f(x) en el punto indicado con resto de Lagrange.
b) Estimar ln(1.1), para n = 4 y calcular la precisión de la aproximación
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Seminario # 1: Obtención de desarrollos de Taylor a partir de otros conocidos. Cálculo de límites aplicando el desarrollo de Taylor.
(Estos ejercicios han sido clasificados en su orientación)
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Conferencia 6: Extremos locales o relativos de una función
Sumario:
Extremos relativos (locales) de una función. Definición.
Sobre la monotonía de una función.
Criterio de la primera derivada.
Criterio de la segunda derivada.
(de preparación para la obtención de los teoremas relativos a la monotonía y convexidad de funciones)
En ocasiones resulta necesario representar funciones que no son de las conocidas hasta el momento, por ejemplo:
Problema 6.1 Representar gráficamente la función
Uno de los aspectos más importantes a determinar es la monotonía (intervalos donde la función crece o decrece), los puntos del dominio donde la función cambia la monotonía (extremos locales), la convexidad (intervalos donde la función es cóncava o convexa), los puntos donde cambia la convexidad (puntos de inflexión), las rectas hacia donde la función se acerca tanto como se quiera (asíntotas), etc.
Por tanto, la solución del problema 6.1 se irá abordando paulatinamente en la medida en que se vayan introduciendo las herramientas necesarias para llevar a cabo estos análisis.
Extremos relativos (locales) de una función
Comenzaremos definiendo qué entenderemos por extremos relativos (locales) de una función.
(de generalización conducente a la definición)
Definición.
(de preparación para la obtención del teorema) Teniendo en cuenta el teorema de Fermat ¿qué relación puede establecerse entre la existencia de un extremo relativo en x0 y el valor de la derivada en dicho punto?
Como consecuencia inmediata del teorema de Fermat, se obtiene:
Teorema: (de determinación de condiciones necesarias para el concepto) Condición necesaria para la existencia de extremos locales.
Problema 6.2 (de valoración de la calidad del teorema obtenido) Existen funciones en los que falla la hipótesis f(x) es derivable en
por tanto el conjunto de puntos donde la función puede alcanzar extremos locales no es solo el de los puntos estacionarios. ¿En qué conjuntos de puntos del dominio, puede alcanzar una función sus extremos locales?
Solución
El problema de la determinación de los puntos de extremos locales de una función f(x) se debe hacer atendiendo a los dos conjuntos de puntos siguientes:
Problema 6.3 (de aplicación del teorema obtenido)
De donde se obtiene que:
El punto x = 2/3 es un punto estacionario y el punto x = 1 es un punto crítico, estos son los posibles puntos de extremos relativos.
(de preparación para la obtención del teorema de la condición suficiente de extremo) ¿Cómo determinar si son máximos o mínimos locales?
Observación: (de valoración de la calidad del teorema de Fermat) Observe que el teorema de Fermat es una condición necesaria de extremos pero no es suficiente, por ejemplo, la función f(x) = x3 en x = 0 tiene un punto estacionario y no es un extremo de la función.
Condición suficiente de extremos relativos
Problema 6.4 (de preparación para la obtención del teorema de la condición suficiente de monotonía) Observe en el gráfico expuesto anteriormente que en los puntos de extremos locales se produce un cambio de monotonía de la función, lo que equivale a decir que son aquellos puntos en que se produce un cambio de signo de la pendiente de la recta tangente a la curva antes y después del punto de extremo. ¿Cómo puede enunciarse analíticamente una caracterización de la monotonía de la función atendiendo a las pendientes de las rectas tangentes en los intervalos de crecimiento y decrecimiento?
La solución de este problema conduce al teorema
Teorema. (Sobre la monotonía de una función)
Problema 6.5 (de empleo de recursos heurísticos para la demostración del teorema) Realice la demostración de este teorema. Sugerencia: tenga en cuenta la definición de monotonía de una función, y utilice convenientemente el teorema de Lagrange.
Demostración:
Observación: (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Por tanto, estamos en condiciones de resolver el problema:
Problema 6.6 (de preparación para la obtención del teorema de la condición necesaria y suficiente de monotonía) ¿Cómo puede enunciarse un teorema que constituya una condición necesaria y suficiente para la monotonía?
La solución de este problema es el teorema:
Teorema: Condición necesaria y suficiente de monotonía
Condiciones suficientes para la determinación de extremos locales
Problema 6.7 (de preparación para la obtención del teorema de la condición suficiente de extremo) Utilizando los resultados anteriores se puede formular una condición suficiente utilizando la primera derivada para la determinación de extremos locales de una función. ¿Cómo quedará enunciado este resultado? Ilustre geométricamente el mismo.
La solución de este problema es el teorema:
Teorema: Condición suficiente para la determinación de extremos locales. (Criterio de la primera derivada)
Observaciones. (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Este criterio no requiere la existencia de la derivada en el propio punto
En el caso de una función discontinua en el punto
puede suceder que este punto sea de máximo o de mínimo o no ser extremo relativo.
Problema 6.8 (de aplicación del teorema obtenido) Utilizando el teorema anterior. Analice la existencia de extremos locales de las funciones siguientes (realice un esbozo de la función atendiendo a estos resultados)
El punto x = 2/3 es un punto estacionario y el punto x = 1 es un punto crítico, estos son los posibles puntos de extremos relativos.
Problema 6.9 (de preparación para la obtención del teorema de la condición suficiente de extremo) Nótese que al trazar las tangentes al gráfico de la función f en los puntos de cierta vecindad de un punto de mínimo local x0, si las observamos de izquierda a derecha, estas se hacen cada vez más crecientes, ¿qué significado analítico tiene este resultado geométrico? Ilustre geométricamente y formule el teorema relativo a este resultado.
Utilizando los resultados anteriores se puede formular una condición suficiente utilizando la segunda derivada para la determinación de extremos locales de una función. ¿Cómo quedará enunciado este resultado? Ilustre geométricamente el mismo.
La solución de este problema es el teorema:
Teorema: Condición suficiente para la determinación de extremos locales. (Criterio de la segunda derivada)
Problema 6.10 (de empleo de recursos heurísticos para la demostración del teorema)
Realice la demostración de este teorema. Sugerencia: tenga en cuenta la definición de f䴨x) por el límite del cociente incremental, utilice convenientemente las hipótesis y diferencie los casos pertinentes de acuerdo al signo de (x.
Demostración:
Observación: (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
El criterio no es aplicable cuando siendo un punto estacionario,
0 o cuando no exista.
Ejemplo: Emplee el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos de la función:
Problema 6.11 (de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Elabore un ejemplo donde no decida el criterio de la 2da derivada.
Solución:
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 121- 135)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del estudio independiente
1. Ejercicios 1,2, 3,4,5,6 págs. 135 y 136
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Clase Práctica # 12: Extremos locales.
1. (de aplicación de los teoremas obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de monotonía y extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada, monotonía y extremos) Calcule los máximos y mínimos locales de f(x) en su dominio de definición, determine dónde f es creciente o decreciente y realice un esbozo del gráfico de f.
2. (de aplicación de los teoremas obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)
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Clase Práctica # 13: Extremos locales.
1. (de aplicación de los teoremas obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)
2. (de aplicación de los teoremas obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada y extremos)
a) Un mínimo relativo en x = 2.
b) Un mínimo relativo en x = 3.
c) Demuestre que la función no puede tener un máximo relativo para ningún valor de a.
3. (de aplicación de los teoremas obtenidos sobre las condiciones necesarias y/o suficientes de monotonía y extremos, sobre la utilidad de los conceptos de derivada, monotonía y extremos)
4. (de la utilidad del concepto de extremo a la demostración de desigualdades) Demostrar las desigualdades siguientes, utilizando la teoría sobre extremos locales.
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Conferencia # 7: Convexidad y punto de inflexión del gráfico de una función. Asíntotas. Esquema para la discusión del gráfico de funciones.
Sumario
Convexidad del gráfico de una función.
Punto de inflexión.
Asíntotas.
Trazado del gráfico de una función.
Convexidad del gráfico de una función
Problema 7.1 (de comparación de objetos particulares, análisis de rasgos comunes, abstracción de los no comunes, síntesis de rasgos esenciales, generalización a otros objetos, obtención de la definición) ¿Cuándo podemos decir que el gráfico de una función es convexo (abre hacia arriba), o cóncavo (abre hacia abajo) en un intervalo? Compare la posición relativa del gráfico de la función con los segmentos de secantes y tangentes a la función en dicho intervalo. Apóyese en representaciones gráficas convenientes.
La solución de este problema conduce a la definición:
Definición
Problema 7.2 (de obtención de la definición de función cóncava (convexa)) Exprese el resultado relativo a la secante analíticamente.
Problema 7.3 (de obtención de una caracterización de función cóncava (convexa)) Obtenga una caracterización analítica de este concepto. Note que al trazar las tangentes al gráfico de la función f en los puntos de un intervalo donde la función es convexa, si las observamos de izquierda a derecha, estas se hacen cada vez más crecientes, ¿qué significado analítico tiene este resultado geométrico? Ilustre geométricamente y formule el teorema relativo a este resultado.
(de preparación para la obtención del teorema) Utilizando este resultado se puede formular una condición necesaria y suficiente utilizando la segunda derivada para la determinación de la convexidad de una función. ¿Cómo quedará enunciado este resultado?
La solución de este problema es el teorema:
Teorema: Condición necesaria y suficiente para la determinación de la convexidad de una función.
(Ver demostración en pág. 138 y 139)
Problema 7.4 (de aplicación del teorema obtenido) Analice la convexidad de las siguientes funciones
Obsérvese que si consideramos un intervalo que contenga al punto x = 1 en su interior, entonces y" cambia de signo en ese intervalo y por tanto la gráfica de y = f(x) no tiene la convexidad definida en ese intervalo.
Punto de inflexión
A continuación consideremos los puntos donde la gráfica de la función cambia la dirección de su concavidad, los cuales reciben un nombre especial: punto de inflexión.
Definición.
(obtención de una caracterización analítica del concepto punto de inflexión) ¿Qué quiere decir esto analíticamente?
Problema 7.5 (de ampliación de la colección de elementos conocidos y de utilidad del concepto de derivada) En las funciones del ejercicio anterior, analice la existencia de los puntos de inflexión
Nota: (de valoración de la calidad de la caracterización obtenida) Este criterio puede aplicarse también cuando no exista la derivada segunda en el punto
Problema 7.6 (de preparación para la obtención del teorema de la condición necesaria de punto de inflexión para funciones dos veces derivables) Por tanto, estamos en condiciones de seleccionar la tesis correcta del siguiente teorema:
Solución: La tesis correcta es la b)
(Ver demostración por reducción al absurdo en pág. 142)
Problema 7.7 (de ampliación de la colección de elementos conocidos de los conceptos función convexa y punto de inflexión y de aplicación de los teoremas relativos a las condiciones necesarias y/o suficientes de convexidad y puntos de inflexión)
Determine los puntos de inflexión y el tipo de convexidad de la curva de Gauss Realice un esbozo de su gráfico.
Solución:
Criterio de la tercera derivada
También existe un criterio de la tercera derivada para analizar la existencia de puntos de inflexión.
Teorema:
Criterio de la derivada n-ésima. (Criterio general)
Problema 7.8 (de preparación para la obtención del teorema del criterio de la derivada n-sima) Generalice los resultados obtenidos hasta el momento: criterio de la segunda derivada para la determinación de extremos y criterio de la tercera derivada para la determinación de puntos de inflexión y formule el criterio de la derivada n-esima para la determinación de extremos y puntos de inflexión.
La solución de este problema es la obtención del teorema:
Teorema: Criterio de la derivada n-ésima. (Criterio general)
Ver ejemplo resuelto pág. 147.
Ejemplo. (de aplicación de los teoremas anteriores)
Como n = 5, la función posee en el punto x = 0 un punto de inflexión.
Asíntotas
Intuitivamente, se conoce que una recta asíntota es aquella hacia la cual el gráfico de la función se acerca tanto como se quiera.
Problema 7.9 (de comparación de objetos particulares, análisis de rasgos comunes, abstracción de los no comunes, síntesis de rasgos esenciales, generalización a otros objetos, obtención de la definición) Teniendo en cuenta que la asíntota puede ser de uno de dos tipos:
Vertical: si tiene ecuación x=x0
No vertical: si tiene ecuación y=mx+b (la cual incluye la asíntota horizontal cuando m=0 y las oblicuas cuando m(0)
¿Cómo puede llegar a definirse con rigor analítico los conceptos de asíntota vertical y asíntota no vertical?
Sugerencia: En el caso de la vertical analice el comportamiento que debe tener f a la derecha o a la izquierda de x=x0 y en el caso de las no verticales, analice el comportamiento que debe tener la diferencia entre la imágenes de la función y la recta cuando x tiende a +( o a -(. Ilustre geométricamente cada situación.
Solución
La solución de este problema conduce a las definiciones:
Definición. Asíntota vertical
Definición. Asíntota no vertical
(de determinación de condiciones necesarias y/o suficientes) Método práctico para determinar las asíntotas
Recíprocamente, si los límites anteriores existen, la recta y = mx + b es una asíntota a la curva y = f(x).
Problema 7.10 (de ampliación de la colección de elementos conocidos del concepto asíntota y de utilidad del concepto de derivada)
Construcción del gráfico de una función.
El comportamiento de una función y la construcción de su gráfico puede realizarse siguiendo los pasos siguientes:
1) Determinar el dominio de la función, la simetría, periodicidad y demás características de la función.
2) Determinar los puntos de discontinuidad y clasificarlos.
3) Determinar las asíntotas.
4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
5) Determinar los extremos relativos de la función.
6) Determinar los intervalos de convexidad y los puntos de inflexión
7) Trazado del gráfico de la función.
Por tanto ya estamos en condiciones de resolver completamente el Problema 6.1
Representar gráficamente la función
que revisaremos en la próxima clase.
Orientación de la bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 136- 174)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del estudio independiente
1. Ejercicio 1(a,b,c,d) pág.157 y 158
2. Ejercicio 1(a,b,c,d) pág.170
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Clase Práctica # 13: Convexidad y punto de inflexión
1. (de utilidad y ampliación de la colección de elementos conocidos de los conceptos estudiados, de aplicación de los teoremas estudiados) Determine dominio, intervalos de monotonía y convexidad, extremos y puntos de inflexión, asíntotas y trace el gráfico de las funciones siguientes:
2. (de utilidad y ampliación de la colección de elementos conocidos de los conceptos estudiados, de aplicación de los teoremas estudiados)
Valoración de la factibilidad de la investigación por criterio de especialistas
a) Selección de los especialistas.
Para la determinación de la pertinencia de una serie de aspectos y subaspectos propuestos que avalan la calidad del trabajo desarrollado, no solo en el diseño de la estrategia, sino en la planificación prevista ara su ejecución y control, seleccionamos un grupo de 7 especialistas integrado por profesores de los departamentos de Matemática de varias universidades de Cuba y de Angola.
Aunque existen variadas formas para objetivar la selección de los especialistas, decidimos realizar la misma por medio de una serie de criterios que exponemos a continuación:
Ser profesores de alguna de las disciplinas matemáticas de algún CES de Cuba o de Angola.
Tener por lo mínimo 10 años de experiencia como profesores.
Poseer conocimientos de Geometría Plana, Álgebra Elemental, Lógica y Análisis Matemático en una o varias variables.
Haber impartido el tema Cálculo Diferencial de funciones reales en alguna carrera universitaria.
Estar de acuerdo en colaborar con la investigación.
Autovalorarse con una puntuación entre 7 y 10 puntos (de una escala de 10, como valor máximo) en cuanto a su nivel de conocimiento sobre el tema.
Los especialistas seleccionados autovaloran que poseen un conocimiento alto sobre el tema que se trata, como muestra el hecho de que 5 especialistas se autocalifican con 9 puntos sobre su conocimiento del tema, 1 con 8 y 1 con 7, de una escala de 10 puntos posibles como valor máximo. Esta autovaloración fue obtenida por medio del 綠del instrumento.
b) Características del instrumento de consulta a los especialistas.
El mismo cuenta con seis epígrafes, cuyos títulos son: 籮 Diseño de la investigación, 粮 Establecimiento del sistema de acciones, 糮 Propuesta de implementación de la estrategia, 紮 Planificación del control de la implementación del sistema de acciones, 絮 Consulta a los expertos 綮 Autovaloración acerca de su competencia como experto sobre el tema consultado, 緮 Autovaloración acerca de las fuentes que le permiten argumentar sus criterios, 縮 Datos generales del experto, y, 繮 Otras consideraciones.
La aplicación del instrumento solo se realiza por vía correo electrónico, por lo que, con el objetivo de encaminar a los especialistas en su análisis y facilitar su valoración sobre la propuesta, fue necesario realizar una explicación sobre el problema científico que nos lleva a proponernos e implementar la estrategia didáctica, los aportes teóricos y prácticos de la misma, entre otros aspectos, que constituyen en su conjunto, componentes del diseño de la investigación (estos se relacionan en 籩.
Está claro que los principales aspectos a valorar por los especialistas son los relativos al diseño de la estrategia sobre las fases de orientación, ejecución y control, por lo que también se incluyen en el instrumento en los epígrafes 粬 糠y 紮
El epígrafe 絠es el más importante del instrumento, pues es donde los especialistas valoran la pertinencia de los subaspectos (explicados en epígrafes anteriores) incluidos en una serie de aspectos propuestos, mediante una escala de 1 (no adecuado) a 5 (muy adecuado).
c) Interpretación de los resultados.
En el anexo 4 se muestra una tabla de frecuencias relativas sobre las opiniones de los especialistas.
Una valoración matemática de estos resultados demuestra que los aspectos y subaspectos considerados poseen alta pertinencia en cuanto a su consideración y forma de medición, pues se aprecia que ninguno de los especialistas estimó a ninguno de los aspectos considerados como poco adecuado o inadecuado.
Para realizar una valoración matemática de estos resultados, confeccionamos la variable P, tal que
donde Ci es el valor numérico asignado a la categoría y ni es su frecuencia, de esa forma, para cada aspecto o subaspecto se tiene que 7 ( P ( 35. Estos valores de P están contemplados en la última columna de la tabla del anexo 4 y son susceptibles de ser considerados como datos continuos, a los que se les pueden determinar medidas de la estadística descriptiva que ofrezcan una caracterización sobre la manera en que los especialistas valoraron la calidad del diseño de la estrategia .
De la cual puede interpetarse que, en todos los aspectos, P se manifiesta mayor o igual que 27.
Media = 32.3125, como promedio, lo que significa que los expertos valoran en alta pertinencia los aspectos considerados, pues la media es "cercana" al valor máximo de P.
Moda = 32, valor que más se repite, como se aprecia, es alto.
Desviación = 1.30600351, los valores de P se concentran cercanos a la media obtenida, sin una varianza considerable.
Con esto puede afirmarse que los especialistas consideran como muy adecuada la propuesta en general.
Se ha cumplido el objetivo de nuestra investigación, pues se ha diseñado una estrategia didáctica basada en la resolución de problemas que, como se demuestra a través de los resultados obtenidos durante su valoración por consulta a expertos, puede contribuir a perfeccionar los procesos de que intervienen en el tratamiento de conceptos y teoremas matemáticos.
El programa heurístico general que se emplea, recoge como elementos novedosos, la construcción de árboles de problemas debidamente dosificados para garantizar la participación de los estudiantes en los procesos didácticos que se derivan de los grandes problemas a resolver que consisten en: la realización del proceso de formación (desarrollo, generalización) de un concepto matemático y la realización del proceso de obtención (demostración, valoración y aplicación) de un teorema.
El sistema de acciones propuesto en el diseño de la estrategia es suficiente para abordar el tratamiento de una amplia gama de conceptos y teoremas matemáticos, aunque durante su implementación, debe adaptarse de forma eficiente y creadora al contenido escogido.
El sistema de acciones propuesto puede contribuir, por medio de una adecuada implementación con estudiantes, al logro de un aprendizaje activo, mediado y significativo de los conceptos y teoremas del Cálculo Diferencial.
Debido a los resultados derivados de esta investigación y a la experiencia acumulada en la labor docente del autor, se proponen las siguientes recomendaciones:
Implementar la estrategia diseñada al tratamiento de otros conceptos centrales del currículo del Licenciado en Educación, especialidad Matemática.
Realizar colectivos de carrera encaminados a acordar cuáles pueden ser los conceptos y teoremas susceptibles de ser tratados con la estrategia propuesta y qué acciones de la misma pueden llevarse a cabo a través de los diferentes años de la carrera.
Utilizar la estrategia en cursos de preparación de profesores en dos sentidos, primero, para llevar a cabo los procesos del tratamiento conceptual de conceptos matemáticos del postgrado, segundo, como recurso metodológico a poner en práctica en el aula de clases. La utilización de esta estrategia en la superación de profesores es un valioso recurso de superación postgraduada que puede contribuir a dar un vuelco favorable al tratamiento de conceptos y teoremas matemáticos en la enseñanza superior, como muestran los resultados obtenidos con su aplicación en una muestra de profesores del municipio de Placetas que cursan la Maestría en Matemática Aplicada que oferta el dpto de Matemáticas de la UCLV.
Alonso, I. (2000). La resolución de problemas matemáticos. Una alternativa didáctica centrada en la representación. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Universidad de Oriente. Cuba.
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