Una clase con el Polinomio de Taylor

2. Objetivos
3. Aproximación de funciones por polinomios
4. Aproximación local
5. Polinomio de Taylor
6. Fórmula de Taylor
7. Planificación
8. Desarrollo de clase
9. Ejercicios

TAYLOR

1. Los polinomios figuran entre las funciones más sencillas que se estudian en Análisis. Son adecuadas para trabajar en cálculos numéricos por que sus valores se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones. Por lo tanto, cualquier otra función que pueda aproximarse por polinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, las cuales no pueden evaluarse tan fácilmente.

   Veremos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que éstas, en lugar de la función original, pueden emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinómica es suficientemente pequeña.

   Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor.

   Brook Taylor

   Nace en Edmonton, Inglaterra en 1685.

   Fue discípulo de Newton. Continuó su obra en el campo del análisis matemático. Su Methodus Incrementorum Directo et Inversa, la publica en Londres en 1715, donde describe su fórmula, aunque sin demostrarlo, cosa que hizo Mac-Laurin. (aunque esta fórmula era ya conocida por Gregory y Leibniz, pero no la habían publicado). Allí examinó los cambios de variable, las diferencias finitas (las cuales definió como incrementos), y presentó el desarrollo en serie de una función de una variable.

   Tales estudios no se hicieron famoso enseguida, sino que permanecieron desconocidos hasta 1772, cuando el matemático francés Joseph Louis de Lagrange, subrayó la importancia para el desarrollo del cálculo diferencial.

   Publicó también varios trabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los puntos de fuga; sobre los fenómenos de capilaridad, sobre problemas de cuerdas vibrantes y sobre centros de oscilación, a los que ya en 1708 había dado una solución.

   Fallece en Londres en 1731.

2. Introducción

   Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinómicas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También así, darle una visión más amplia al estudiante sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y más centrado en lo práctico y lo necesario para poder realizarse este tipo de cálculos matemáticos, que en el cálculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar.

   En las aproximaciones polinómicas veremos lo sencillo que resulta.

3. Objetivos

   Nos vamos a ocupar aquí de la aproximación local f(x) dada, mediante funciones polinómicas P(x), que se buscarán. Hemos llamado "local" a esta aproximación por que se realiza para valores de x próximos a un punto fijo a; las aproximaciones van a ser tanto mejores cuanto más se acerque x al valor a.

   Para aproximar a f(x), se recurre a las funciones polinómicas, porque como ya hemos explicado, éstas funciones son realmente más sencillas y más adecuadas para los cálculos numéricos. Para ir ganando precisión hay que tomar funciones polinómicas que sean, cada vez, de mayor grado.

   Las mejores aproximaciones se obtienen, si f(x) es suficientemente regular, al tomar para P(x) funciones polinómicas que tienen en x = a las mismas derivadas (primera, segunda, etc,….) que f(x); Éstos, son los llamados polinomios de Taylor en x = a de f(x). Para medir la bondad de estas aproximaciones se necesita conocer algún tipo de acotación del error f(x) – P(x); por ello, obtendremos una expresión de esta diferencia, R(x), que se llama resto o término complementario.

   

4. Aproximación de funciones por polinomios

   Sean, una función f(x) y una función polinómica P(x), donde:

   1. f(a) = P(a)
   2. son n derivables en x = a y se verifica:

   f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a); f’’’(a) = P’’’(a);……..f n(a) = P n(a).

   Entonces P(x) es una aproximación local de f(x) en x = a.

   Tenemos que f(x)-P(x) cuando

   Si comparamos f(x)-P(x) con (x-a); con (x-a)2; con (x-a)3;…….; con (x-a)n ; se dice que P(x) en una aproximación de f(x) de primer orden, de segundo orden, …., de orden n, para si se verifica, respectivamente que:

   

   Resumiendo:

   Dada una función f(x), se dice que otra función P(x) es una aproximación local de orden n de f(x) cerca de un punto x = a si se cumple:

   

   Demostración

   Sea h tal que h =

   Observemos: 1º.- ambas funciones admiten derivada de orden n.

   2º.- este límite está indeterminado de la forma (0/0)

   A dicho límite le podemos aplicar la regla de L’Hopital (caso 0/0), sucesivamente, por lo menos hasta el orden (n-1).

   

   

5. Aproximación local de una función

   Sea f(x) una función n veces derivable en x = a;

   P(x) un polinomio, con aproximación local de orden n de f(x) cerca de x = a.

   P(x) se llama POLINOMIO DE TAYLOR de grado n de f(x) siendo P(x):

   

   Demostración

   Por Hip. Sabemos que:

   f(a) = P(a); f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a);……..f n(a) = P n(a)

   Expresemos P(x) en forma de potencias de (x – a) con coeficientes indeterminados:

   P(x) = p0 + p1(x – a) + p2(x – a)2 + p3(x – a)3 + p4(x – a)4 +……….+pn(x – a)n (1)

   Hallaremos las derivadas sucesivas de P(x):

   P’(x) = p1 + 2.p2(x – a) + 3.p3(x – a)2 +4.p4(x – a)3 +………………….+ n.pn(x – a)n –1

   P’’(x) = 2.p2 + 2.3.p3(x – a) + 3.4.p4(x – a)2 + ……………….+ (n – 1).n.pn(x – a)n – 2

   P’’’(x) = 2.3.p3 + 2.3.4.p4(x – a) + ……………………..+ (n – 2).(n –1).n.pn(x- a)n – 3

   …………………………………………………………………………………………………….

   Pn(x) = 1.2.3.4……………..(n –3)(n – 2)(n – 1).n

   

   de donde resulta:

   

   Sustituyendo en (1) tenemos:

   

   L.q.q.d

   Recordemos que P(x) es próximo a f(x); es decir: f(x) – P(x) ® 0

   Designemos por Rn(x) la diferencia entre los valores de la función dada, f(x), y del polinomio calculado.

   Rn(x) = f(x) – P(x) Þ f(x) = P(x) + Rn(x).

   Desarrollando, tenemos que:

   

   El término Rn(x) se conoce con el nombre de TÉRMINO COMPLEMENTARIO O RESTO.

   

6. Polinomio de Taylor
7. Fórmula de Taylor

Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además, considere que ƒ(x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a,b). Tal que:

(1)

La ecuación (1) también se cumple sí b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en:

Donde z esta entre a y b. Ésta es la conclusión del teorema del valor medio.

Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

(2)Donde z esta entre a y x.

La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1)-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente.

La formula (2) puede escribirse como:

(3) Donde

(4)

Y

(5) Donde z esta entre a y x

El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x.

Ésta fórmula recibe el nombre de fórmula de Mac Laurin, en honor al matemático escocés Colin Mac Laurin (1698-1746).

PLANIFICACION

PLANIFICACIÓN GENERAL

PLANIFICACIÓN DE CLASE

LA CLASE

1. Trabajaremos en la sala de informática, donde se dispondrá a los alumnos de a tres por computadora atendiendo a las características del grupo y teniendo en cuenta que el docente debe supervisar el trabajo en cada máquina.
2. Apoyándonos en algunas funciones sencillas, veremos brevemente el manejo del software (DERIVE), como ser: graficar funciones, calcular límites, hallar derivadas, etc.
3. Para el desarrollo de la clase se entregará una ficha de trabajo (ficha 1), realizando las actividades en ella indicadas.

Ficha 1 (1ra. Parte)

trabajo en clase

I) Aproximación de funciones por polinomios

A)

B)

1.- ¿Qué observas en los gráficos al ir aumentando el grado de g?

2.- ¿Qué expresión tendrá g n(x)? Escribe g 4 (x) y g 5 (x).

3.- Realiza igual procedimiento para n = 4 y n = 5, que en la parte A)

4.- Grafica simultáneamente ex, g 1 (x),………., g 5 (x).

5.- CONCLUSIONES

DESARROLLO EN CLASE

Nos vamos a ocupar aquí de la aproximación local f(x) dada, mediante funciones polinómicas P(x), que se buscarán. Hemos llamado "local" a esta aproximación por que se realiza para valores de x próximos a un punto fijo a; las aproximaciones van a ser tanto mejores cuanto más se acerque x al valor a. Para aproximar a f(x), se recurre a las funciones polinómicas, porque como ya hemos explicado, éstas funciones son realmente más sencillas y más adecuadas para los cálculos numéricos. Para ir ganando precisión hay que tomar funciones polinómicas que sean, cada vez, de mayor grado.

Las mejores aproximaciones se obtienen, si f(x) es suficientemente regular, al tomar para P(x) funciones polinómicas que tienen en x = a las mismas derivadas (primera, segunda, etc,….) que f(x); Éstos, son los llamados polinomios de Taylor en x = a de f(x). Para medir la bondad de estas aproximaciones se necesita conocer algún tipo de acotación del error f(x) – P(x); por ello, obtendremos una expresión de esta diferencia, R(x), que se llama resto o término complementario.

Hagamos un ejemplo siguiendo el trabajo realizado en la ficha:

Sea f:f(x) = ex Donde f’(x) = ex; f’’(x) = ex;……..; f n(x) = ex.

Si x = 0 tenemos: f(0) = 1; f’(0) = 1; f’’(0) = 1;……….f n(0) = 1.

Y consideremos la función polinómica de primer grado g1:g1(x) = 1+x

En x = 0 tenemos que: g1(0) = 1 y g’1(0) = 1

Por lo tanto vemos que g1 coincide con f en x = 0, así como sus respectivas derivadas en el mismo punto.

Siguiendo la ficha, gráficamente obtenemos:

la gráfica de g1 es la recta tangente a f en el punto (0,1)

Ampliando la gráfica próxima al punto (0,1)

Consideremos ahora, una función polinómica de segundo grado g2

g2 : g2 (x) = donde g2(0) = 1; g’2(0) = 1; g’’2(0) = 1

Graficando:

El dibujo nos muestra que la gráfica de g2 se aproxima mejor a la curva de ex que (x+1) en las proximidades de (0,1).

Ampliando la gráfica en esa misma zona, es más claro.

Podemos intentar aún mejorar la aproximación utilizando polinomios que coincidan con f y sus derivadas terceras y de órdenes superiores.

Sea g3 : g3 (x ) =

Graficando:

Y ampliando, vemos que casi "coinciden"

Por lo tanto, es fácil comprobar que el siguiente polinomio

coincide con la función exponencial y sus n primeras derivadas en el punto x = 0.

Este es el trabajo que realiza Taylor.

Siguiendo con nuestro ejemplo, para n = 4 y n = 5 tendríamos:

y respectivamente.

Cuyas gráficas son:

Donde se evidencia lo ya afirmado: al aumentar el grado del polinomio, su gráfica se aproxima mejor a la curva de ex, próximos al punto (0,1).

Dibujando todas las gráficas juntas (la función ex, en rojo)

Se nota claramente que el polinomio de grado 5 es el que más se aproxima a f alrededor del punto (1,0).

Ficha 2 (2ra. Parte)

trabajo en clase

Aproximación local de una función

EJERCICIOS

1.- Sean las siguientes funciones:

f : f(x) = e 2 x y g : g(x) = 2×2 + 2.sen x

1. Hallar derivadas sucesivas de f y g hasta orden 3. Calcular en cada caso valor en x = 0. (usar DERIVE)
2. Analizar el orden de aproximación local cerca de x = 0 entre la funciones f y g .

2.-Dada f : f (x) =

Comprobar que existe una función polinómica P(x) / P(x) = ax2 + bx + c donde esta es una aproximación local de orden n = 2 en el punto 1.

3.- En un exótico país existe un famoso ídolo, cuya parte visible de sus ojos son dos preciosas piedras de gran valor.

Un ladrón pretende robar las piedras, sustituyéndolas por dos pequeñas esferas del mismo color, que vistas desde fuera, se parezcan lo más posible a las piedras verdaderas, para de esa manera no causar pánico en los devotos del mencionado ídolo.

Estas piedras tienen forma de elipsoide de revolución, cuya sección recta es una elipse, que tiene por ecuación 4×2 + y2 = 4. La parte visible es una pequeña zona próxima al punto A(0,2).

Vamos hallar el radio (r) que habrían de tener las esferas para conseguir engañar lo mejor posible a los adoradores del ídolo. (Ejercicio explicado en clase).

Resolución

Sean E : y C :

ecuaciones explícitas de la elipse y circunferencia respectivamente.

1. Graficar la elipse y la circunferencia.
2. Completar

Obs: Usar DERIVE

Soluciones

1)

f(x) = e2x – 1 f ’(x) = 2e2x f ’’(x) = 4e2x f ‘’’(x) = 8e2x

g(x) = 2×2 +2senx g’(x) = 4x + 2cosx g’’(x) = 4 – 2senx g’’’(x) = – 2cosx

Por lo tanto, en x = 0, estas funciones sucesivas, valen:

f(0) = 0 f ’(0) = 2 f ’’(0) = 4 f ’’’(0) = 8

g(0) = 0 g’(0) = 2 g’’(0) = 4 g’’’(0) = -2

Como f(0) = g(0); f ‘(0) = g’(0); f ‘’(0) = g’’(0) f ‘’’(0) ¹ g’’’(0). Resulta que g(x) es una aproximación local de orden 2 de f(x) cerca de x = 0.

2)

Se ha de verificar que: f(1) = P(1); f’(1) = P’(1) y f’’(1) = P’’(1)

Ahora:; ; ;

P(x) = a + bx + cx2; P’(x) = b + 2.cx; P’’(x) = 2c

Se debe verificar que: 2 = a + b + c; -1 = b + 2c; 1 = 2c

Resolviendo el sistema tenemos que: a = 7/2; b = -2 y c = 1/2

Entonces:

P(x) =

3)

Obs) Notar que se toma los ejes cambiados, para facilitar la resolución del ejercicio.

Resolución

La sección recta de la esfera es una circunferencia que deberá pasar por el punto (0,2) y habrá de tener su centro en el punto (0, 2 – r), donde r es su radio.

La ecuación de la circunferencia es:

x2 + (y – 2 + r)2 = r2

Para que el engaño se note lo menos posible, hay que conseguir que la circunferencia se aproxime lo más posible a la elipse 4×2 + y2 = 4 en las cercanías del punto x = 0; y = 2. Esto se consigue si, además de pasar ambas por dicho punto, sus respectivas derivadas (primera y segunda) también son iguales.

Calculando tenemos:

En la Elipse: 4×2 + y2 = 4;

Para derivar podemos llevar la ecuación de la elipse a la forma explícita donde al ecuación de la elipse la llamaremos E(x).

donde y

Tenemos: E(0) = 2, E’(0) = 0; y E’’(0) = – 2

En la circunferencia: x2 + (y – 2 + r)2 = r2

De similar forma que en la elipse, llevaremos la ecuación de la circunferencia a su forma explícita, llamándola C(x).

; y

Donde: C(0) = 2; C’’(0) = 0 y C’’(0) =

Sabemos que E(0) = C(0); E’(0) = C’(0) y que E’’(0) = C’’(0)

Entonces: -2 = Þ r =

Ficha 3 para el alumno (3ra. Parte)

trabajo domiciliario

Polinomio de Taylor

1. 1. Hallar el polinomio de Taylor, de grado n, en x = a, de la función f(x) en los siguientes casos:

   f(x)	a	n	Polinomio de Taylor
   xex	1	2
   cosx	p /4	3
   Lx	1	4
   xsenx	p /2	3
   tgx	p /4	3
   Ö (x)	1	4

   Utiliza DERIVE 5 y gráfica conjuntamente cada función con su polinomio de Taylor. ¿Qué observas en cada gráfica?

2. Hallar desarrollo de Mac Laurin, de grado n, en x = a, de la función f(x) en los siguientes casos:

3. Calcular

recurriendo al desarrollo de Mac Laurin, de grado 2, de las funciones determinadas por el numerador y denominador del límite en cuestión.

Trabajo realizado por el Profesor

Carlos Loyarte

Este se aplica en una clase de 6º grado de Secundaria, Opción Ingeniería.

La Bibliografía es infinita.

ROCHA – URUGUAY