El aprendizaje de la división de números naturales en los estudiantes de 4to grado en Nicaragua

Misión y visión

Misión

La misión de la escuela Normal 08 de octubre de la costa caribe nicaragüense es formar científicos pedagógico social y culturalmente a los docentes de primaria en la educación intercultural Bilingüe de manera que responda a los planteamientos del sistema educativo autónomo regional SEAR.

Visión

Las y los docentes formados en la escuela Normal 08 de octubre poseen una sólida formación científica, técnica pedagógica y honoristica que les permite ser sujeto de cambio, comprometidos con el fortalecimiento del proceso de autonomía.

La práctica de la interculturalidad, la equidad social y la equidad de género que contribuye a la paz y el proceso de unidad nacional en la diversidad, en autonomía con el medio ambiente y el marco del sistema educativo autonómico regional (SEAR).

Escuela Primeros Pasos

Introducción

El presente trabajo de investigación tiene por tema: Dificultad en el aprendizaje de la división de números naturales en los estudiantes de 4to grado de la Escuela Primero Pasos, durante el primer semestre del año escolar 2012.

El mayor problema que enfrentan los estudiantes de 4to grado ha sido la división, quizás por el poco dominio de las tablas y las otras operaciones aritméticas; como docentes carecemos de diversas estrategias para que las y los estudiantes se apropien de la que mejor dominen.

1.1 Contexto

a) Contexto histórico

La escuela Primeros Pasosubicada en la comunidad El Naranjo Punta Gorda, territorio de Bluefields RAAS Nicaragua. Fue fundada en el año 2006, gracias al apoyo de los habitantes y la profesora Teodora Silva Vivas. Se inició a impartir clases en la Iglesia de Dios con una matrícula de 25 estudiantes de ambos sexos de 1er- 4t0 grado.

Se ocupaban las bancas de la iglesia, se elaboró una pizarra de madera pintada en azul, en mayo de ese mismo año se construyó un aula con techo de hojas, paredes de madera, de suelo, en la finca del señor Reinaldo Sáenz donde permaneció dos años.

En el año 2008, el alcaldito Heberto Calero donó un terreno de 12 manzana , en los cuatro extremos colinda con la propiedad del señor Mauro Alvarado, se inicia con una matrícula de 43 estudiantes en la modalidad multigrado, también se impartía preescolar comunitario a 12 niños.

b) Contexto Áulico

La escuela Primeros Pasosubicada en la comunidad El Naranjo Punta Gorda, consta de una matrícula inicial de 27 estudiantes en la modalidad multigrado, con 14 niños en preescolar comunitario, 5 estudiantes en 1er grado, 5 en 2do, 6 en 3ero, 8 en 4to, 2 en 5to y 1 en 6to.Cuenta con 2 docentes en donde uno se está profesionalizando en la Escuela Normal 8 de Octubre de Bluefields.

La escuela consta de un aula de clases construida de madera, techo de zinc, piso de madera,2 pizarras acrílica,30 pupitres, 3 banquitas para los niños de preescolar, tiene 2 puertas, 4 ventanas, cerca de alambre de púas, postes de madera, una letrina, consta con suficiente material didáctico, el terreno es propio, tiene una directiva escolar integrada por 5 Padres de Familia.

c) Contexto Curricular

La docente Teodora Silva Vivas imparte multigrado en la Escuela Primeros Pasos desde hace 7 años, es Bachiller, estudiante de la Escuela Normal 8 de Octubre de Bluefields, el profesor Efrends González Jarquin atiende preescolar comunitario desde hace cuatro años es bachiller yambos maestros han participado en diferentes capacitaciones que ha brindado el MINED, SERENA, Derechos Humanos y asisten regularmente a los TEPCES que se realizan cada mes, realiza los informes de estadísticas y rendimiento académico.

d) Contexto escolar

La escuela tiene techo de zinc en buen estado paredes de madera en regulares condiciones, piso de madera en buen estado y el terreno está cercado con alambre de púas y postes de madera. Cuenta además con el Programa Integral de Nutrición Escolar (PINE), con el apoyo de algunas instituciones gubernamentales SERENA ADECA y MARENA; también hay apoyo de la alcaldía y de las contribuciones voluntarias de los padres de familia.

La escuela cuenta con las modalidades Preescolar Comunitario, toda la primaria en la modalidad multigrado y todos los niveles de educación de adulto. El personal docente está integrado por dos maestros uno atiende preescolar comunitario y educación de adulto y una maestra que atiende multigrado. Actualmente consta de una matrícula de 32 estudiantes de primero a sexto grado, diez estudiantes de preescolar y siete de educación de adulto.

Planteamiento del problema

a) Descripción del problema

La dificultad de aprendizaje de la división de números naturales es un problema de mucha preocupación porque afecta la calidad de la educación y baja el rendimiento académico de los estudiantes. Con la finalidad de lograr un aprendizaje significativo en los educandos y poder encontrar alternativa de solución, nos planteamos la siguiente interrogante

b) Definición del problema

¿Cuáles son los factores que dificultanel aprendizaje de la división de números naturales en los y las estudiantes de 4to grado de la escuela Primeros Pasos durante el primer semestre del año escolar 2012?

1.3 OBJETIVOS:

Objetivo General

Analizar los factores que intervienenen el aprendizaje de la división de números naturales en los estudiantes del 4to grado de la escuela Primeros Pasos ubicada en la comunidad El naranjo Punta Gorda municipio de Bluefields durante el primer semestre del curso escolar 2012.

Objetivos Específicos.

Identificar los factores que dificultanel aprendizaje de la división de números naturales en los estudiantes de 4to, modalidad multigrado de la escuela Primeros Pasos ubicada en la comunidad El Naranjo Punta Gorda, municipio Bluefields durante el primer semestre del curso Escolar 2012.

Determinar las estrategiasmetodológicas para ejercer el cálculo mental y escrito en la división para los estudiantes de 4to grado de la modalidad multigrado de la escuela Primeros Pasos ubicada en la comunidad Punta Gorda, municipio Bluefields durante el primer semestre del año lectivo 2012.

• Proponer estrategias de aprendizaje que faciliten el proceso enseñanza de la división de números naturales de los estudiantes del cuarto grado de la modalidad multigrado de la escuela Primeros Pasos.

1.4 JUSTIFICACION.

El tema dificultad de aprendizaje en la división de números naturales se ha considerado un problema que necesita solución inmediata; porque deja como consecuencia un bajo rendimiento académico por la mala calidad de la enseñanza-aprendizaje y lo más lamentable un mal trabajo en los futuros profesionales.

Se eligió la división porque nos parece más interesante, ya que al comparar el algoritmo de esta con el de la suma, resta y la multiplicación nos damos cuenta de que el de la división presenta mayor dificultad; primero porque para poder realizarlo utilizamos la multiplicación y la resta. Además la división puede ser exacta o inexacta con cociente entero o decimal, pero lo más difícil e importante es el sentido que el estudiante pueda darle al algoritmo.

Debido a que la comunidad, maestros, estudiantes y padres de familia de la escuela Primeros Pasos de la comunidad El Naranjo Punta Gorda están interesados en mejorar esta situación se realizó esta investigación para detectar las causas que originan esta dificultad y proponer estrategias que darán solución a la problemática que se plantea. Este trabajo investigativo beneficiara a estudiantes docentes y padres de familia que estén dispuestos a superar la calidad de la educación poniendo en práctica las recomendaciones que aquí describimos.

Marco teórico

Evaluación individual

2.1Planteamientos teóricos de los pensadores sobre la división de números naturales

– Piaget

Divisibilidad

a) Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a·c. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b (o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división elucídela (entera) de 6 entre 4 no es cero.

b) Primos y compuestos: Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos

c) La formación del concepto de número "…es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación…". Por ejemplo: cuando agrupamos determinado número de objetos o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de conservación, de la cantidad y la equivalencia término a término.

Repetir verbalmente la serie numérica: uno, dos, tres, cuatro, etc., no garantiza la comprensión del concepto de número. Para ayudar a los niños a la construcción de la conservación del número se debe planificar y desarrollar actividades que propicien el canteo de colecciones reales de objetos.

Euclides

a) Teoría de números

Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.

b) Tipos de enteros

Si a, b y c son números enteros tales que a = b. c, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son submúltiplos o factores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina submúltiplo propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2 incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus submúltiplos propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus submúltiplos propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos submúltiplos son 1 y 3, es deficiente; y 12, cuyos factores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante.

c) Números primos

Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ¹ ±1) es primo si sus únicos factores son ±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto o plano si a = b.c, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y 12 = 2 × 2 × 3.

El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 ×… × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier submúltiplo de q distinto de 1, y por tanto cualquier submúltiplo primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.

Aunque hay infinitos números de primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.

Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.

Bertrand Russell

a) Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una e) Propiedades de la División de Números Naturales.

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el número que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos.

Polya

El profesor debe ayudar a sus estudiantes a aprender a dividir, pero ¿cómo hacerlo? La heurística de Polya sugiere cómo, a través de interrogantes específicas y de acuerdo a las propias respuestas de los estudiantes. A su vez, la heurística puede sustentarse en las aplicaciones del enfoque del procesamiento de la información y en la semiótica. Cuando los estudiantes resuelven problemas matemáticos procesan información y lo hacen centrados en los símbolos matemáticos y sus significados. Van desde el problema planteado hasta su resolución mediante una secuencia de comportamientos que se explican mediante los esquemas utilizados por ellos. Cuando el profesor comprende tales esquemas está en mejores condiciones para conducirlos, para colocarlos en situaciones de aprendizaje que faciliten la construcción de conceptos cada vez más profundos y, también, de procedimientos exitosos.

Existen dos clases de propósitos escolares en el aprendizaje de la división, unos planteados a priori, en términos curriculares, atendiendo al plan y programas de educación primaria y otros planteados de facto, en términos de los criterios de evaluación de cada profesor y con cada alumno. En este sentido se distingue un propósito planteado de un propósito logrado. Y aunque entre estos últimos exista una diferencia muy leve al fin sería una diferencia que los profesores deben advertir para una mayor comprensión de su labor docente.

Alicia Ávila (1994)

Define estas estrategias de la siguiente manera:

a) Estrategias descriptivas.

– En ellas, los niños utilizan representaciones gráficas o repartos objetivos para resolver los problemas.

b). Estrategias constructivas.

– En éstas, los niños ya no dibujan para simular el acto de repartir uno a uno los objetos que indica el problema, ni efectúan sumas donde cada uno de los sumados corresponde al divisor. La longitud de los cálculos motiva a los niños a buscar formas de facilitarlos y algunos logran hacerlo, utilizando múltiplos o duplicando.

C). Prueba del cociente hipotético. En esta estrategia como su nombre lo dice, el niño va probando Hipótesis que él mismo crea con base en sus conocimientos de la multiplicación; centra su atención en encontrar el factor que lo lleve a obtener en la multiplicación un resultado igual al dividendo en el caso de la división exacta.

Alejandro RodríguezGarcía. Congreso 2006

Se identifican diferentes situaciones de aprendizaje también se realiza detalladamente el significado del algoritmo de la división en particular. La enseñanza de la división se asume como un ejercicio de vinculación entre concepto y procedimiento, y no exclusivamente como una secuencia simple y típica de conductas encadenadas de educación primaria, vinculando un modelo pedagógico heurístico, con una teoría semiótica.

Tienen un lugar privilegiado:

a) La simbolización, como actividad mental de representación y de aplicación simbólica, y b) la mediación del profesor, como medio para facilitar en los estudiantes ese proceso de simbolización.

La organización de actividades curriculares de apoyo sólo tiene dos estrategias o formas básicas para su diseño:

1) Centradas fundamentalmente en el contenido.

2) centradas en el estudiante.

La primera estrategia, centrada en el contenido, establece a priori una secuencia de actividades considerada idónea para lograr el dominio de tareas específicas, sean éstas simples o complejas.

Desde esta perspectiva eldenominado análisis de tarea resulta un medio apropiado para trabajar con elestudiante. La tarea del profesor consistirá, entre otras cosas, en administrargradualmente las características de las situaciones de aprendizaje y conducir alestudiante hacia el dominio de la tarea solicitada, desde sus componentes mássencillos hasta sus formas más complejas.

La segunda estrategia, centrada en el estudiante, establece a posterioriunasecuencia de actividades en función del tipo de error observado en el desempeño del estudiante. En este sentido el análisiscognitivo–conductualesuno de los medios apropiados para conducir al estudiante hacia el logro de un mejor desempeño escolar.

Figura 1. Diversas representaciones de una operación directa de división.

____

a) 4 25 b) 25 — 4 = c) 25 / 4 = d) 25 entre 4 =

No en todas estas variantes se acostumbra utilizar el signo = (igual a). Porejemplo, en la variante a no se utiliza tal signo. En muchos casos este tipo dedivisión se entiende como una tarea de búsqueda del número enterocorrespondiente al cociente, sin obtener decimales. En este sentido un alumnopuede responder que 25 entre 4 es igual a 6. Este procedimiento implica unconcepto de división que identifica a esta operación con un reparto de unidades.

Las variantes a y b presentan una configuración horizontal pero el ordenamiento del dividendo y del divisor son invertidos. En este punto resulta indispensable que los estudiantes reconozcan una cantidad de otra en términos de la palabra utilizada para referirlas, una como dividendo y otra como divisor. Puede ocurrir que coloquen los numerales en posiciones inapropiadas. Por ejemplo, ala y b presentan una configuración horizontal pero el ordenamiento del dividendo y del divisor son invertidos. En este punto resulta indispensable que los estudiantes reconozcan una cantidad de otra en términos de la palabra utilizada para referirlas, una como dividendo y otra como divisor. Puede ocurrir que coloquen los numerales en posiciones inapropiadas.

I. Situaciones de aprendizaje

Por situaciones de aprendizaje entendemos estructuras típicas en laorganización de actividades a realizar y son importantes porque son partefundamental en la enseñanza. Para el caso del aprendizaje de la división nosreferiremos a dos situaciones de aprendizaje relativamente exclusivas de laenseñanza de las matemáticas:

1) Operaciones directas.

2) Problemas planteados verbalmente.

Operaciones directas

Como profesor uno puede diseñar o seleccionar un conjunto de operaciones directas de división para observar el desempeñorepresentar simbólicamente la operación solicitada así:

Figura 2. Posición inapropiada de dividendo y divisor.

Atendiendo a una configuración horizontal de izquierda a derecha, en cierto sentido semejante al orden en que escuchó las cantidades. Otras veces, los alumnos antes de escribir, preguntan "¿cuál va dentro de la casita?".

El detalle antes descrito destaca la importancia del lenguaje referencialde los estudiantes para distinguir el dividendo y el divisor, palabras fonéticamente similares.

Otro punto asociado a esta forma de presentar las operaciones de división es el relativo a su complejidad. Dividir 4628 entre 2 resulta en principio más fácil que dividir la misma cantidad entre 7. Algunos profesores basan su opinión en el reconocimiento de que la tabla de multiplicar del 7 es más difícil de recordar que la tabla del 2. Esta idea subyace al concepto de división como operación inversa a la de multiplicación. En mi opinión resulta más apropiado comprender la relación entre estas dos operaciones aritméticas como un ejemplo de transformación simbólicamás que como un ejemplo de operación inversa. Es decir, cuando se expresa una división: "32 entre 8" como una relación entre cantidades que puede expresarse también mediante una multiplicación: "8 x ___= 32", se busca en ambos casos una tercera cantidad: el 4, en la división como cociente y en la multiplicación como factor.

Desde el punto de vista del procesamiento de la información, la actividad mental necesaria al realizar una división incrementará su carga cognitivaen tanto la memoria de trabajo active mayores requerimientos. Dividir 4628 entre 2 implica la obtención de la mitad de la cantidad o la cantidad de cada dígito, esto es2314, sin embargo dividir la misma cantidad entre 9 obliga a reagrupar los dígitos. Así, primeramente tendríamos que seleccionar 46 como cantidad a dividir entre 9 y el primer dígito del cociente será 5. Dado que 9×5 son 45 nos

"sobraría" 1. Posteriormente al "bajar el 2", tendríamos que dividir ahora 12 entre 9 y así sucesivamente, de acuerdo al procedimiento convencional de la división de los dígitos. Así, primeramente tendríamos que seleccionar 46 como cantidad a dividir entre 9 y el primer dígito del cociente será 5. Dado que 9×5 son 45 nos "sobraría" 1. Posteriormente al "bajar el 2", tendríamos que dividir ahora 12 entre 9 y así sucesivamente, de acuerdo al procedimiento convencional de la división.En este sentido la cantidad y la calidad de los dígitos que componen aldividendo y al divisor se pueden utilizar como indicadores de cierto grado dedificultad para cada operación de división solicitada a los estudiantes. Otraestrategia es el registro de aciertos y tiempo de respuesta, de acuerdo a si unaoperación de división determinada fue resuelta acertadamente en un altoporcentaje y en un tiempo de respuesta menor.

La división 25/4, por su parte tiene una configuración vertical, adopta la forma de un quebrado. Esta representación semiótica está más cercana a una concepción de división como fragmentación, como segmentación de un todo. El resultado de tal división es igual a 6.25, esto es, a seis enteros veinticinco centésimos. Para aquellos profesores que consideran que los decimales aún no deben ser objeto de enseñanza, esperarían como respuesta de sus alumnos una expresión como: "25 entre 4 es igual a 6". En este caso el residuo tiene una presencia efímera, es decir, ahí está pero no parece tan importante.

En fin, ante esta variedad de situaciones de aprendizaje la pregunta obligada es: ¿los profesores utilizan esta diversidad de situaciones de aprendizaje deliberadamente con el propósito de que sus estudiantes adquieran un concepto más amplio de la operación de división? Muy posiblemente los profesores no revisen en detalle esta cuestión porque seguramente su pensamiento está orientado hacia otras cuestiones.

Hacer esto último es entrar a la resolución de diversas incógnitas de los alumnos de acuerdo al camino que hayan elegido para intentar resolver la división y ello incrementa la carga cognitiva de la labor docente, haciendo más pesada la demanda de atención hacia el desempeño de sus estudiantes.

¿Qué se requiere para afrontar las situaciones de aprendizaje?

Saber conceptual (saber qué)

La instrucción se identifica con la adquisición de conocimientos por asignatura.

Ya sean horarios de clase o libros de textos, se identifican grandes campos de conocimiento, uno de ellos sin lugar a dudas ha sido el campo de las matemáticas.

Desde esta perspectiva aprender matemáticas es aprender un conocimiento que adopta la forma de proposiciones. Un ejemplo simple de ello es afirmación: "dos más dos son cuatro", este es un conocimiento que debenadquirir los estudiantes de primer grado de primaria y así como este conocimiento específico otros más relativos a los números, sus operaciones y relaciones.

De la visión antes descrita se desprenden diversas formas de evaluación que se identifican con la verificación de un dominio del conocimiento, ya sea definiéndolo o aplicándolo correctamente. Otro elemento presente en elaprendizaje de las matemáticas es relativo a la transformación del objeto deestudio que representa el número. Esto es, saber realizar procedimientos paratransformarlo, ya sea aumentando o disminuyendo su valor como respuesta auna regla identificada con una operación aritmética. Muestra en la figura 5:

Figura 3. Aplicación del algoritmo de la suma al caso 23 + 18 + 24.

También la división tiene su algoritmo y los estudiantes de tercer y cuarto grado de primaria tienen la tarea de aprendérselo. A diferencia de otros algoritmos que siguen un desarrollo de derecha a izquierda, el algoritmo de la división sigue un curso de izquierda a derecha. Más un residuo de 2 unidades: 16 = 7 x 2 + 2.

Cuando un procedimiento admite aplicaciones a una variabilidad grande de situaciones, entonces se convierte en un algoritmo. Sin embargo, desde otra perspectiva, se plantea como estrategia distinta a la aplicación de un algoritmo la búsqueda en cierta medida divergente de otros caminos hacia la solución de los problemas matemáticos. Dicha perspectiva la identificamos con Polya (1965), quien desarrolla lo que es el planteamiento y la resolución de problemas. Cuando ante un problema el individuo creativo selecciona una demuchas vías posibles para resolverlo, se coloca ante una tarea de indagación compleja y no se limita al seguimiento de pasos de carácter ortodoxo.

¿Qué desea el profesor aprendan sus estudiantes y cómo entiende lo que ocurre en clase?

Pero de todos los detalles implícitos y explícitos en el trabajo al realizar divisiones ¿qué desea el profesor que los estudiantes realmente aprendan? Y ¿qué verifica el profesor hayan aprendido? La comprobación del logro en los estudiantes resulta una tarea compleja para el profesor, más aún si se trata de un grupo escolar numeroso.

Entre la situación de los alumnos ocurre la interacción pedagógica que pretende responder de aprendizaje planteada por el profesor y las diversas formas de conducir al estudiante de la situación inicial a otra posterior que implique un conocimiento aprendido, ya sea referido auna diferencia conceptual o a la realización de cierto procedimiento.

Planteamientos curriculares y expectativas de los docentes

El plan y los programas de estudio vigentes contienen, en lo correspondiente a matemáticas, varios elementos directamente vinculados con el aprendizaje delas divisiones. Se sugieren actividades y propósitos específicos. Sin embargo, por otra parte, también cada profesor hace su propia interpretación del programa. Para algunos profesores lo esencial es la disminución de errores en el desempeño de sus alumnos al realizar éstos operaciones de división.

Mientras los estudiantes construyen su conocimiento en torno a las matemáticas, en la interacción entre profesores y alumnos se construye realmente el currículo.

Cuando un profesor al solicitar a sus estudiantes dividir 223 entre 3 y plantea. Una pregunta, por ejemplo: "¿cuánto es 3 x 7?", con el propósito de verificar un contenido requerido para lograr la solución a la operación planteada (un qué), al mismo tiempo les modela la verificación de un paso previo a la respuesta.

Interpretaciones de enseñar la división a través de la resolución de problemas

Leticia Téllez Hernández

Por la investigación documental realizada por AliciaÁvila (Ávila 1998) podemos conocer cómo ha sido laenseñanza oficial de las matemáticas en educación primariaa partir de 1944 a 1986. En dicha investigación se enseña cómo a través de todas las reformas que ha habido. En México, se ha tenido el propósito de ir innovando la enseñanza de las matemáticas. En 1993, se inicia una nueva reforma en educación primaria. En relación a matemáticas se tiene como principal cambio el enfoque didáctico "Este enfoque coloca en primer término el planteamiento y resolución de problemas como forma de construcción de los conocimientos matemáticos" (SEP, 1993: 52), también en los libros de texto de matemáticas encontramos un nuevo concepto de aprendizaje en México, se ha tenido el propósito de ir innovando la enseñanza de las matemáticas. En 1993, se inicia una nueva reforma en educación primaria. En relación a matemáticas se tiene como principal cambio el enfoque didáctico "Este enfoque coloca en primer término el planteamiento y resolución de problemas como forma deconstrucción de los conocimientos matemáticos".

(SEP, 1993: 52), también en los libros de texto de matemáticas encontramos un nuevo concepto de aprendizaje con el que se pretende superar la memorización de definiciones, reglas y fórmulas, que muchas veces no significaban nada para el alumno. Hoy se preconiza el aprendizaje significativo.

Y continúa señalando que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser pensada en dos niveles:

• Un nivel "externo": ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento, y cuáles son los límites de este campo?

• Un nivel "interno": ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?) (Charnay, 1944).

Los problemas en los que se utiliza una división zonal menos de dos tipos: aquellos en los que se reparte una cantidad en partes iguales, sobrando lo menos posible y aquellos en los que se necesita saber cuántas veces cabe una cantidad en otra.

Se ha encontrado que los niños utilizan estrategias propias antes de manejar el algoritmo de la división. Se han reportado entre otras las siguientes: descriptivas, constructivas y prueba del cociente hipotético, hasta llegar a la división convencional.

Análisis comparativo de los planteamientos teóricos de los diferentes autores

2.1 Según los aportes de los pensadores, Piaget, Euclides, la investigación realizada por una organización de maestros (IREM.PUCV) y el estudio realizado por Leticia Téllez para que un número sea divisible entre otro debe haber un tercer numero entre el cual también sea divisible cuyos divisores pueden ser primos o compuestos; primos si tienen solo dos divisores y compuestos si tienen más de dos divisores. La cantidad de primos es infinita, pero son cada vez más escasos y también se dice que los números primos cuya diferencia es 2 ej.: 5, 7 se denominan primos gemelos, estos son conocimientos que el alumno necesita tener muy claro para enfrentar los problemas de aprendizaje de la división de números naturales.

2.2 Analizando los aportes de los pensadores Alicia Ávila, Polya y Bertrand Russell nos damos cuenta que el concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas y se conoce cuando se relaciona la cantidad en series numéricas tanto simbólicas como literales; es decir que para dar a conocer un conjunto numérico a los niños se debe planificar y desarrollar actividades que propicien el conteo de colecciones de objetos reales.

2.3 En la teoría de Piaget y Euclides se nos dice que los números se menciona la clasificación de los enteros: si a, b y c son números enteros tales que a = b. c, a es múltiplo de b o de c y b mientras que b y c son submúltiplos de a o factores de a. Los enteros positivos se denominan números perfectos cuando es igual a la suma de todos sus submúltiplos.

Ej.28 = 1+2+4+7+14. Un entero es imperfecto cuando no es igual a la suma de los submúltiplos y pueden ser deficiente si la suma es menor que él. Ej. 9 (1, 3). O superante si la suma de los submúltiplos es mayor al entero. Ej. 12 (1,2, 3,4,6).