Técnicas de optimización (página 2)

Metodología de las Técnicas de Optimización

Las Técnicas de Investigación de Operaciones aparecen en los años 50, a partir de entonces comienza a desarrollarse la metodología para su utilización.. Sus antecedentes se localizan en las investigaciones de Isaac Newton, George Dantzing, Charnes y Cooper, Ackoff, Churchman y Zimmerman.

Esta metodología se sustenta en los siguientes supuestos:

• alternativa en las decisiones;
• posibilidades de crear una base informática;
• posibilidades mínimas de poder aplicar los resultados.

En este proceso existe una secuencia de pasos para llegar a la obtención de los objetivos propuestos:

• observación e identificación del problema;
• formulación general;
• construcción del modelo;
• generación de una solución;
• prueba y evaluación de la solución;
• implantación;
• perfeccionamiento y desarrollo.

No es conveniente saltar ningún paso.

Observación

Se analiza el fenómeno como tal, las interrelaciones que tiene, las posibles variables, el sistema organizativo bajo el cual se encuentra el fenómeno, se escuchan los criterios de expertos, se analiza el cumplimiento de las premisas fundamentales de las técnicas de optimización, que son:

• Alternativa de decisión.
• Condiciones de linealidad o no.
• Mínimas condiciones organizativas.

Se define conceptualmente cuál es el problema a resolver, se enuncian los objetivos y se establecen hipótesis, se consulta la bibliografía especializada. Se realizan contactos inter-especialistas y por último se elabora una ficha con un pequeño historial resumen de toda la observación realizada.

Formulación

Es un problema secuencial, se empieza con una formulación inicial basado en lo anterior y se perfecciona en la medida en que se plantea el problema y se obtienen las primeras soluciones. Muchas veces el análisis del resultado incide en la formulación. Ésta tiene dos aspectos: general y concreto.

La formulación general se utiliza en publicaciones científicas, en ponencias y eventos.

Un ejemplo de formulación concreta son los estudios de casos y los informes de tesis así como los informes ejecutivos que se entregan a los directivos de empresas una vez culminado el trabajo.

La formulación del problema consta de los siguientes aspectos:

a) Fenómeno que se aborda.

b) Lugar y tiempo.

c) Pequeña descripción de lo que se quiere lograr.

d) Posibilidades de obtener la información y de solucionar el problema.

e) Los objetivos principales y secundarios

Planteamiento Matemático

Es una respuesta a la formulación del problema

I) Planteamiento Matemático General.

El planteamiento matemático general consta de índices, variables, parámetros, restricciones y función objetiva.

Este planteamiento se utiliza en publicaciones, eventos, o cuando se tiene una idea de cómo se podrá modelar un fenómeno dado. El aspecto de las variables, restricciones y función objetivo se trata bajo los mismos lineamientos del planteamiento concreto de trabajo.

Los parámetros se definen con la misma rigurosidad que las variables (cualitativa y cuantitativamente y tiempo). Los índices reflejan las diferentes combinaciones que se pueden dar con las variables.

II) Planteamiento Matemático.

Se utiliza en el proceso de aplicación y al igual que la formulación es secuencial. Puede ser corregido o perfeccionado cuándo se tiene la solución del problema.

Consta de tres momentos:

a) Definición de la variable.- Puede hacerse una a una o de forma general (si la cantidad de variables a definir es grande), y a su vez incluye tres aspectos:

• aspecto cualitativo: ¿qué es la variable?
• aspecto cuantitativo: ¿en qué unidad se mide?
• definición temporal: ¿qué período de tiempo abarca?

La variable representa el elemento incógnito en el problema.

Este momento es esencial en el planteamiento del problema, pues una mala definición de las variables repercute en la solución y proporciona un disparate.

b) Planteamiento de las restricciones. – Lo fundamental de este paso es cuidar la homogeneidad que debe existir entre el término de la derecha y la expresión de la izquierda, la cual está compuesta por varios elementos, los que deben ser homogéneos, para que al sumarse permita una lógica comparación.

En este sentido el signo de la restricción es un aspecto clave. Si se desea que la suma de la expresión de la izquierda sea como mínimo el valor de la derecha, el signo será mayor o igual, también se utiliza el menor o igual si se desea que la expresión de la izquierda sea cuando más el valor de la derecha. Si se aspira a que sean exactamente iguales se utilizará el símbolo de igualdad.

c) Planteamiento de la función objetivo. – Debe reflejar de una forma clara el objetivo del problema. Si es máximo o si es mínimo en muchos casos su planteamiento es relativamente fácil, en otros se llega a través de una secuencia de expresiones algebraicas que finalmente deben hacerse corresponder con el objetivo deseado. En ocasiones, la función objetiva se plantea en forma ponderada de una variable y haciendo caso omiso del valor numérico encontrado al final.

Solución, análisis y corrección de resultados

Teniendo en cuenta el desarrollo de los sistemas informáticos, es posible acceder fácilmente a softwares profesionales para dar solución a los modelos matemáticos diseñados. De igual manera, diseñar sistemas informáticos especiales es otra práctica común en estos tiempos. En este sentido, este punto se ha ido por encima de la formulación y del planteamiento. Una vez obtenida la solución se requiere hacer determinadas comprobaciones que confirmen los resultados. Estas comprobaciones repercuten en la formulación y planteamiento del problema y en la verificación de los parámetros utilizados, los cuales ya han sido determinados previamente mediante una base informática preestablecida, es decir; mediante la estadística o los criterios de un experto incluso mediante las técnicas borrosas.

La solución de un problema no debe ser comentada hasta tanto no se haya verificado la validez y adaptación al campo de aplicación, en caso contrario esto puede ser perjudicial en la introducción de los resultados.

Validación

En la práctica se lleva a cabo mediante los juegos de implementación definidos en la Teoría de Lewin – Shein. Estos juegos se desarrollan simulando algunos de los componentes del sistema bajo estudio, y utilizando como herramienta de simulación los resultados obtenidos (Juego; proceso simulador de resultado).

Introducción de resultados

La introducción implica la estrategia o acción en el sistema que ha sido modelado y que va a tener en cuenta los resultados obtenidos. Claro que la dinámica productiva muchas veces en muy rápida pero para introducir los resultados en la práctica se hacen necesario su seguimiento de manera que se pueda corregir cualquier alteración que surja en el proceso.

Estudios de Casos

Caso 1

Fábrica de Fertilizantes de Nuevitas

Joaquín Hernández, sub.- director de producción de la Fábrica de Fertilizantes de Nuevitas, necesita plantear la combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para elaborar el plan. La fábrica de fertilizantes de Nuevitas es una empresa pequeña de productos químicos que fabrica, entre otros artículos, dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores externos. Cada mes, Hernández tiene que planear la cantidad de cada tipo de fertilizantes que debe producirse. Su plan debe tomar en consideración el costo de los ingredientes, el precio de venta de los fertilizantes y las restricciones impuestas al uso de los recursos de la empresa: mano de obra, materias primas o tiempo de máquina.

Consideraciones de producción

Los dos fertilizantes que se fabrican son las mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo valor se refiere al porcentaje del fosfato que aparece en el producto final y el tercer valor da el porcentaje de potasio.

El fertilizante se estabiliza con un material de relleno que podría ser barro. Por ejemplo, el 5-5-10 está elaborado con un 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante es barro. La empresa distribuidora comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes y está dispuesta a pagar $71.50 por tonelada de 5-5-10 y $60 por tonelada del 5-10-5. Este mes, la disponibilidad y costos de materias primas son 1 100 toneladas de nitrato a $200 por tonelada, 1 800 toneladas de fosfato a $80 cada una y 2 000 toneladas de potasio a $160 cada una. El relleno está disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por tonelada; pero para los otros tres ingredientes sólo se dispone de las cantidades mencionadas antes. No hay restricciones para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de la maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por concepto de mezclado de los fertilizantes. La pregunta que Hernández debe resolver es: ¿Cómo utilizar los recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio) de que dispone, de manera que se obtengan las mayores utilidades para la empresa?

Caso 2

Empresa Cubana de Calzado

La Empresa Cubana de Calzado es una empresa que fabrica zapatos "Exclusivos".

La empresa produce calzados de exportación para caballeros: Zapato tipo Primavera, Botines y Pantuflas de estilo abierto.

El gerente de producción tiene el problema de decidir cuál es el mejor programa de fabricación para el siguiente mes. Para lograr este objetivo debe evaluar que mezcla de fabricación de los tres estilos producirá la mayor contribución a las utilidades, al mismo tiempo que satisfaga diversos requerimientos financieros y de producción. Los datos de la tabla Nº 1 describen la operación de manufactura para la empresa y se recopilaron en meses anteriores de operación. Existe una oferta ilimitada de piel para el fabricante; sin embargo se dispone de un máximo de 1 200 horas de producción durante el siguiente mes. El tiempo de producción cuesta $10.00 por hora; en tanto, el costo por cada unidad de piel es de $4.00.

La empresa hace todas sus ventas a mayoristas, que le pagan de inmediato en efectivo toda la mercancía, por lo cual no tiene cuentas por cobrar. Los precios de venta para cada par de zapatos a los mayoristas son de $60.00, $64.00 y $50.00, respectivamente, para los tres estilos. Los costos fijos para el siguiente mes de operación son de $3 000 y el saldo actual de efectivo es de $16 560.00.

El gerente de producción tiene comprometidos los siguientes pedidos para los diferentes estilos: 30 zapatos tipo Primavera, 55 Botines y 32 Pantuflas de estilo abierto.

Tabla Nº 1. Datos de producción para la Empresa Cubana de Calzado.

Pueden venderse todos los pares que se fabriquen durante el mes, que excedan esos pedidos ya comprometidos. Es decir, el movimiento de la producción es tal que todos los zapatos que se fabriquen en un mes determinado se distribuyen durante el mismo y por ello no existen inventarios.

Caso 3

Empresa Cubana Taíno

La Empresa Cubana Taíno perteneciente al SIME fabrica dos tipos de bombas hidráulicas: normal y extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintura y pruebas (control de calidad).

Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la tabla No.1. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50.00 en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es $75.00. Existen disponibles por semana 4 800 horas de tiempo de ensamble, 1 980 de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo de prueba. Por las necesidades mercado es necesario situar cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana al Ministerio de la Agricultura. A los directivos de la empresa les gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente, con el objetivo de maximizar sus utilidades:

Caso 4

La Empresa Cubana de Aisladores Eléctricos

La Empresa Cubana de Aisladores Eléctricos, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción en la planta: horneado, lavado, laminado y pulimento. Sólo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestra en la siguiente tabla: Los costos de las materias primas asociadas con la fabricación de los aisladores son de $5.00 (aplicación general), $6.00 (aplicación especial) y $ 10.00 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: $ 250.00 (horneado), $200.00 (lavado y laminado), y $ 100.00 (pulimento). Los precios unitarios de venta son $25.00, $39.75 y $67.50 para los tres productos, respectivamente. A los directivos de la empresa les gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones, de manera que se maximicen las utilidades por hora.

Tabla1. Tasas de producción: Empresa Cubana de Aisladores Eléctricos.

Caso 5

La Empresa Cubana de Muebles

La Empresa Cubana de Muebles mediante una empresa mixta, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta Nº 1, que es una planta antigua, opera con doble turno (80 horas por semana). La planta Nº 2 es una planta más nueva y no opera en su capacidad total. Sin embargo, dado que los administradores planean operar la segunda planta en un turno doble como el de la planta Nº 1, se han encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta Nº 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno. La tabla siguiente muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en dólares por unidad) en cada planta.

La empresa ha competido con éxito en el pasado asignando un precio de $350.00 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a $275.00 con el objetivo de estar en posición competitiva.

La empresa ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de $2 000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es $2 200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.

Tabla Nº 1. Tiempo (hora) y costo (dólares) Empresa Cubana de Muebles.

Caso 6

Hospital Provincial "Saturnino Lora", Santiago de Cuba

La Dra. Rafaela Carbonell, dietista del Hospital Provincial Saturnino Lora, es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. Ella examina en estos momentos el caso de un paciente al que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir; sin embargo se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mínimos por día; 1 000 unidades del nutriente A, 2 000 del nutriente B y 1 500 unidades del nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia Nº 1 contiene 100 unidades de nutriente A, 400 unidades de nutriente B y 200 unidades de nutriente C. Cada onza de la fuente alimenticia Nº 2 contiene 200 unidades de nutriente A, 250 unidades del nutriente B y 200 unidades del nutriente C. Ambas fuentes alimenticias son algo costosas (la fuente No.1 cuesta $6.00 por libra y la fuente No.2 cuesta $8.00 por libra), por tanto, la Dra. Carbonell desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje al menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos.

Caso 7

Empresa Cubana del Petróleo

La Empresa Cubana de Petróleo comercializa gasolina de dos grados: la especial y regular. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en la tabla No.1.

Tabla Nº 1. Especificaciones de manufactura y precio por barril

Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas regular y especial. Las características de las gasolinas base se muestran en la tabla No.2.

La Empresa Cubana del petróleo se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,00 barriles de gasolina regular por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina especial. A la empresa le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades.

Tabla2. Características de la gasolina base.

Caso 8

Fondo de Inversión de la Empresa del Níkel (MINBAS)

El Ing. Rafael Hernández es un analista financiero para una empresa productora de Níkel. El comité financiero le ha pedido que prepare recomendaciones de inversión para los $2 000,000 del fondo de inversión de la empresa. El comité ha sugerido diversificar las inversiones asignando el fondo entre los siguientes instrumentos: certificados de depósito, bonos de la tesorería, acciones con buen historial, acciones especulativas, bonos de empresas y bienes raíces. El Ing. Hernández ha estimado un rendimiento anual para cada clase de inversión, asimismo, ha desarrollado un factor de riesgo para cada una de ellas, que señala la probabilidad de que el rendimiento real de las inversiones en esa clase sea inferior al rendimiento esperado. Por último, ha elaborado un pronóstico del número promedio de años en que se espera obtener al rendimiento deseado para la clase respectiva de inversión. Esta información se brinda en la Tabla Nº 1.

El Comité Estatal de Finanzas de la provincia han indicado que le gustaría tener un período promedio ponderado de inversión de cuando menos cinco años. El comité ha señalado también que el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a 0.20. La ley prohíbe que se inviertan más del 25% de las inversiones estatales en bienes raíces y acciones especulativas. ¿Qué recomendación debe hacer el Ing. Hernández si se pretende maximizar el rendimiento sobre la inversión de $2 000,000?

Tabla 1. Rendimientos esperados y factores de riesgo.

Caso 9

Empresa Avícola Nacional

La Empresa Avícola Nacional ha decidido repartir una determinada cantidad de gallinas para el abastecimiento de carne al sector campesino y en un futuro de huevos. Esta política se debe a que no se distribuirá a las zonas rurales carne y huevos en un futuro próximo.

Se le entregan a cada campesino 100 gallinas y 100 huevos. De acuerdo a la raza entregada y para que se obtenga un aproximado de un 100% de fertilidad cada gallina puede incubar cuatro huevos. Por otra parte el campesino debe mandar también al centro cercano de incubación huevos para incubar.

Cada gallina puede poner en el período 12 huevos. En una primera etapa todos los huevos deben ser utilizados para la reproducción, pues de la producción de pollos que se obtengan se le entregarán a otros campesinos. La relación de beneficio es de tres a uno de los pollos obtenidos por medios de gallinas con respecto a la incubación, debido a los gastos que ocasiona el traslado y energía del centro de incubación y que se le cobra al campesino.

El campesino quiere saber qué política seguir en cuanto a la estructura óptima que debe tener, en gallinas poniendo y en incubación durante tres períodos y si debe o no utilizar el centro de incubación de la zona.

Analice el problema y dé su respuesta.

Caso 10

Planta Mecánica "Taino"

La Planta mecánica Taino enfrenta el problema de determinar qué proyectos de "crecimiento" debe emprender en los próximos 4 años.

La planta tiene una cantidad limitada de fondos para inversiones de capital, por tanto, no puede financiar todos los proyectos.

A cada uno de estos se le a caracterizado determinando su valor presente y el requerimiento (costo) asociado de capital. Cada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los próximos cuatro años. En la siguiente tabla se muestran el valor presente estimado, los requerimientos de capital disponible proyectado para cada uno de ellos.

Tabla1. Valor actual, requerimientos de capital disponibles.

A los administradores de la Planta Mecánica Taino les gustaría desarrollar un plan de asignación de capital que muestre las erogaciones que debe hacer para cada uno de los cuatro años y qué proyectos se deben financiar bajo el plan general.

Caso 11

CUBANACAN S.A. (Estudio de Mercadotecnia)

Considérese el caso de CUBANACAN S.A., organización que ha decidido invertir hasta $38 000 en publicidad para opciones turísticas en Cuba. Algunos estudios de investigación realizados por la empresa han mostrado que el mercado que desea para las opciones turísticas está compuesto en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 años de edad, los que tienen ingresos de $15 000 o más, el grupo de investigación de mercado ha decidido que las características de los clientes tiene una importancia relativa de acuerdo con los siguientes pesos:

Características del cliente Peso

Edad (20-45) 0.45

Ingresos ($15 000 ó más) 0.35

Educación (2 años de universidad) 0.25

Los gerentes del departamento de mercadotecnia de CUBANACAN S.A. han decidido utilizar los servicios de una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un plan que les permita alcanzar al cliente potencial en forma más efectiva.

Después de estudiar las características de los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la empresa considere colocar publicidad en tres revistas de consumo popular en el exterior.

Por brevedad simplemente denominaremos a las revistas A, B y C.

La tabla a continuación señala cuáles son las características de los consumidores de las tres revistas.

Tabla Nº 1. Características de los lectores de revistas: CUBANACAN S.A.

El objetivo no sería maximizar el número de exposiciones para todos los lectores de la publicidad, sino más bien, maximizar el número de clientes potenciales que se exponen a la publicidad. De acuerdo a lo anterior es necesario determinar el número de dólares de publicidad que debe invertirse en cada revista para maximizar la exposición efectiva, y determinar también el número de anuncios que debe colocarse en cada revista.

Caso 12

Hospital Clínico Quirúrgico de Santiago de Cuba

En el Hospital Clínico Quirúrgico de Santiago de Cuba un grupo de investigadores de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales ha detectado una situación referente a la mejor utilización del grupo de enfermeras que posee el hospital, ya que este personal especializado escasea en estos momentos.

Después de la aplicación de la técnica conocida como "Tormenta de Ideas" se detecta la siguiente situación:

El problema sería minimizar el número total que cumpla con la necesidad del hospital a partir de no violar las 8 horas de trabajo continuo como máximo.

Caso 13

Laguna Blanca

Con motivo de la nueva división organizativa de las empresas estatales, al administrador de unas de las fincas de la Granja "Paquito Rosales" de la Empresa de Cultivos Varios de Laguna Blanca se le piden criterios sobre la confección de su plan para el año 1994.

A tales efectos y para simplificar el problema se hace énfasis sólo en que se confeccione el plan tomando como base plátanos y yuca con riego y teniendo en cuenta el suelo tipo A.

El administrador solicita la ayuda de un grupo multidisciplinario, experto en técnicas de optimización para que dé sus criterios al respecto. Después de un análisis basado en las técnicas de dirección se llega a determinar que en la finca se cuenta con las siguientes posibilidades.

¿Cuál sería el planteamiento matemático del problema

Caso 14

Empresa Minera de Cuba

La empresa minera de Cuba desea llevar a cabo una aplicación en la búsqueda del petróleo en el centro y oriente del país. Para eso tiene tres proyectos diferentes.

Ahora, la empresa tiene el problema de determinar qué contratista del exterior llevará a cabo los proyectos.

Se recibieron tres cotizaciones de Francia, Inglaterra y Holanda. Las cotizaciones presentadas por los distintos contratistas se muestran en la siguiente tabla. Las cantidades en las cotizaciones se expresan en decenas de millares de dólares.

Tabla 1. Cotizaciones de mejoramiento de caminos (decenas de millares de dólares).

El problema consiste en determinar cómo asignar los proyectos para minimizar los costos totales de todos ellos. Se asume que a cada contratista se le asignará un solo proyecto.

Caso 15

CITMA

El CITMA de Santiago de Cuba ha recibido un millón de CUC (Pesos Convertibles) para la ejecución de un proyecto de reducción de emanaciones contaminantes. El proyecto implica la instalación de filtros y plantas de reciclaje de desechos en cuatro fuentes de contaminación de la provincia; y existen seis industrias interesadas en él: Fábrica de Cerveza, Fábrica de Cemento, Fábrica de Pastas y Caramelos, Refinería, Molinera y Recapadora. Los datos disponibles aparecen en la tabla siguiente:

Los requisitos a cumplir son:

• Maximizar la reducción de contaminantes
• El tiempo de instalación promedio no debe superar los cinco meses.
• Si se escoge la Fábrica de Cerveza debe escogerse Pastas y Caramelos.
• Entre Refinería y Molinera debe escogerse al menos uno de ellos.

Construya el planteamiento matemático de trabajo.

Caso 16

Agricultura Urbana

El Organopónico "26 de Julio" dispone de 150 hectáreas de tierra que puede dedicar a la siembra de tomate, lechuga, rábano, calabaza y pepino. La fuerza de trabajo disponible asciende a 2 400 horas-hombres y se conoce que es necesario cinco, ocho, siete, seis y cuatro horas-hombres para sembrar una hectárea de cada cultivo. En el caso de la calabaza se necesita una fuerza de trabajo adicional de 1.5 horas, si es que se decide sembrar este cultivo.

En caso de que se decida su inclusión en el plan de siembra, se deben garantizar al menos 550 quintales de tomate y a lo sumo 900 quintales de calabaza. De acuerdo a las normas técnicas, pueden obtenerse 20 quintales de tomate y 35 quintales de calabaza por cada hectárea sembrada.

El órgano de gobierno local exige como restricción que de los tres primeros cultivos sólo pueden incluirse a lo sumo dos de ellos.

Se desea maximizar la ganancia conociendo que las utilidades por hectárea son $ 270.00, $200.00, $340.00, $250.00 y $300.00 para cada cultivo, respectivamente.

Construya el planteamiento matemático de trabajo.

Caso 17

MINAZ

El MINAZ fabrica un producto derivado de la caña que se exporta y tiene una demanda que aumenta y disminuye: La demanda que se ha pronosticado para los próximos cuatro meses es 1 800, 2 200, 3 400 y 2 800, respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, los administradores del MINAZ han encontrado que en algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento; en tanto que en otros meses la empresa no está en posibilidades de cubrir la demanda. La empresa puede fabricar 2 400 artículos por mes, en sus turnos normales. Utilizando tiempo extra es posible fabricar 800 artículos mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de $7.00 por cualquier artículo que no se fabrique durante el turno normal. Los administradores han estimado que se incurre en un costo de almacenamiento de $3.00 por cualquier artículo que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo. Se desea determinar un programa óptimo de producción que minimice el incremento de los costos extra y el almacenamiento. El programa debe satisfacer las demandas.

Caso 18

Política de Inversiones de CUBANACAN

CUBANACAN S.A. desea invertir $ 600 000 (CUC) de acuerdo a un análisis de alternativas para colocar ese capital. La inversión Tipo Uno está disponible en cada uno de los próximos seis años y se espera que produzca un rendimiento de 28%, por cada peso invertido, al momento de su vencimiento, al final de tres años. La inversión Tipo Dos también está disponible en cada uno de los próximos seis años: esta inversión rendirá $1.16 por cada peso convertible invertido y vence al final de dos años. La inversión Tipo Tres está disponible sólo al principio del segundo año y rinde $1.50 al final del cuarto año por cada peso convertible invertido. La inversión Tipo Cuatro está disponible en cualquier momento después del tercer año y produce un rendimiento del 40% al final de dos años. La oportunidad final de inversión, la Tipo Cinco, está disponible sólo una vez, al principio del año Uno. Esta inversión rendirá $ 1.45 por cada peso convertible invertido, pero no vence sino hasta principios del año Cinco. Cuando las inversiones vencen están disponibles para reinversión. A la organización le gustaría determinar el programa de inversiones que maximice el rendimiento de la inversión total para un período de seis años (es decir, al final del sexto año).

Caso 19

SEDER Universitario

La entrenadora del equipo de Baloncesto de la Universidad de Oriente desea completar el equipo representativo del centro, escogiendo a cuatro jugadores entre seis candidatos. Los datos de cada aspirante son:

Requerimientos del problema

Garantizar que los seleccionados tengan un promedio de edad no superior a los 19 años

Seleccionar al menos 1 y a lo sumo 2 defensas

Si se selecciona a Eduardo debe incluirse también a Santiago y viceversa

Maximizar la estatura total

Caso 20

Fábrica del Ministerio de la Industria Básica (MINBAS)

Una planta produce 5 tipos de rotores para motores eléctricos. El almacén de la planta puede guardar hasta 300 rotores de tipo I, ó hasta 350 del tipo II ó hasta 400 del tipo III ó hasta 375 del tipo IV ó hasta 250 del tipo V.

Al iniciar la producción de cada tipo de rotor, ocurre un gasto de fijo $ 100 para los de tipo I, III y V y un gasto fijo de $ 120 para los de tipo II y IV.

El costo de un rotor es de $4.00, $5.50, $6.20, $8.00 y $ 11.50 para los tipos I, II, III, IV y V respectivamente. Elabore el modelo matemático que minimice el costo.

Caso 21

FAR

El comando estratégico de bombardero de occidente recibe instrucciones de interrumpir la producción de tanques del enemigo. El enemigo tiene cuatro plantas claves situadas en diferentes ciudades y la destrucción de una de ellas produce efectivamente la paralización de la producción de tanques.

Existe una aguda escasez de combustibles que limita la cantidad a 48 000 galones para una misión: cualquier bombardero debe tener, en caso de ser mandado a una ciudad, una cantidad de combustible suficiente para ir y volver, más 100 galones de reserva.

La ubicación de las plantas y su vulnerabilidad al ataque para bombardeos del tipo1 y 2 es:

¿Cuántos bombarderos de cada tipo deben despacharse y cómo deben ser distribuidos en cada planta para maximizar la posibilidad de éxito?

Caso 22

Empresa de Bebidas y Licores

La Empresa de Bebidas y Licores recibe determinadas especificaciones para fabricar tres tipos de ron para exportar a Inglaterra.

Para ello cuenta con tres rones bases de diferentes añejamientos: A, B y C. Estos rones base se mezclan de acuerdo con especificaciones que limitan al máximo y el mínimo de A y C en cada mezcla, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Las cantidades disponibles de cada uno y sus precios son:

Establezca el programa de producción que maximiza las utilidades.

Caso 23

MINTUR

El equipo de psicólogos del MINTUR realiza una investigación de mercado en el exterior sobre la posibilidad de viajar a Cuba. A tales efectos, el equipo de Turoperadores contratados le asigna cuotas de visitas, las cuales se detallan a continuación; así como la posible probabilidad de respuesta en diferentes horas del día y la noche, y su duración en minutos.

¿Cómo se deben distribuir las visitas entre los tres tipos de unidad familiar y las distintas partes del día, a fin de que se cumplan las cuotas señaladas y se maximice la posibilidad de respuesta?

Caso 24

MINBAS

El problema es elaborar un plan óptimo de electricidad que minimice cierta función económica cuyos componentes son el costo total de las inversiones más los gastos de administración actualizados con la tasa de interés del mercado, y que satisfaga en cualquier momento el consumo, es decir, que proporcione cuando menos las tres magnitudes que a continuación se señalan:

a) La potencia garantizada, medida por hora, de los consumos durante las horas hábiles de los días de trabajo en invierno, que es 1.692 megavatios.

b) La potencia máxima, medida por hora, de los consumos durante las cuatro horas de máximo consumo diario de los mismos días hábiles en invierno, que es de 2.307 megavatios.

c) Satisfacer como máximo la energía anual consumida, que es de 7.200 miles de megavatios por hora.

Para satisfacer el consumo, se emplean diferentes tipos de instalaciones con las siguientes características:

Por otra parte, se cuenta con los datos siguientes:

1. Tasa de interés: 8% anual
2. Valor del combustible para un kilovatio hora $ 0.13.

Caso 25

Balance Sectorial

Se conocen los siguientes datos técnicos y económicos de la economía del municipio San Luís:

• El sistema comprende tres sectores: (1), (2) y (3). Las industrias (1) y (2) poseen dos tecnologías alternativas para producirse el mismo producto.
• Los coeficientes de insumo en pesos convertibles, de bienes y servicios, de las actividades que comprende el sistema son las siguientes:

• Los precios en divisas de las exportaciones e importaciones son:

• Capital y mano de obra especializada necesarios por unidad de producción:

• Demanda final interna que se debe satisfacer:

• Las deudas que pueden contraerse en divisas internacionales ascienden a 50 unidades monetarias como máximo.
• Se ha determinado una disponibilidad de 1 200 horas-hombre para mano de obra especializada.

Plantear y resolver el modelo de programación lineal para minimizar el requerimiento de capital.

Caso 26

CEATEM

El director de una empresa de abastecimiento a vehículos automotores, en Santiago de Cuba recibe piezas para después distribuirlas a diferentes unidades de venta en la provincia. Cada mes puede vender cualquier cantidad que quiera siempre que no sobrepase la existencia al principio del mes y también puede comprar todo lo que necesita para entregar al final del mes, con la condición de que su existencia total no exceda de 500 artículos, Para los siguientes seis meses, tiene el pronóstico de costo y precios de venta, libres de error, que se detallan a continuación:

Si actualmente tiene una existencia de 200 unidades, ¿Cuál debería ser su política?

Caso 27

INDER

El Instituto Nacional de Deportes y Recreación (INDER) decide crear una empresa mixta para fabricar tres tipos de abrigos para la exportación: deportivo, formal y ejecutivo. Debido a la naturaleza competitiva de esta actividad y a la gran demanda de mano de obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. Los gerentes de la empresa consideran que una medida importante para satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles trabajo de tiempo completo, aún cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas pérdidas. Los gerentes esperan que la demanda de sus productos siga siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podría ser necesario operar en tiempo extra.

Las tres líneas de abrigos se fabrican en dos departamentos. La siguiente tabla es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres líneas son $100.00 $150.00 y $250.00, respectivamente. Los gerentes han determinado que a un nivel normal de producción los costos variables son de $70.00, $80.00 y $100.00, por abrigo, respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2.00 por hora, por encima del salario normal, para el departamento Nº Uno y $3.00 para el Nº Dos. Los materiales extra pueden adquirirse a un costo de $2.00 por yarda, por encima del costo normal.

Requerimientos de recursos, mano de obra y materiales.

La gerencia de la empresa ha pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1 000 unidades por semana, y la demanda de las otras dos líneas es de 500 y 200 unidades, respectivamente. El nivel de equilibrio de producción es de 100 unidades del producto uno (deportivo) y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos.

Para analizar el problema, se han identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas:

1. Utilizar toda la capacidad de producción disponible, es decir. No debe existir tiempo muerto en ningún departamento.
2. Alcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada unas de las líneas de productos.
3. Dado que es probable que exista escasez de mano de obra en el departamento Dos, y dado que puede enviarse personal en tiempo extra a ese departamento, el tiempo extra aquí puede ser mayor que en el departamento Uno. Sin embargo, el tiempo extra del departamento Dos debe estar limitado a 600 horas.
4. Alcanzar una meta de utilidades semanales de $20 000. 00
5. Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta deben utilizarse ponderaciones distintas para reflejar la contribución unitaria normal a las utilidades.

Caso 28

INDER (II)

El INDER ha creado una empresa que fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B, y C para la exportación. El proceso de manufactura de las raquetas pasa a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere tres horas de tiempo de producción en la operación Nº Uno. En la operación Nº Dos la raqueta A requiere Dos horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere cuatro horas y la C, cinco. La operación Nº Uno tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación Nº Dos tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia del INDER ha proyectado que la demanda de la raqueta tipo A no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para ésta será, en total de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7.00 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la empresa busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo estándar de programación lineal.

Caso 29

SIME

El Ministerio para la Industria Sideromecánica (SIME) fabrica piezas de metal para motores tipo Tainos. Las piezas se fabrican en procesos de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen cuatro tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral de tipo Uno contiene cuatro onzas de plomo, dos de cobre y dos de hierro colado por libra. Una libra de mineral de tipo dos contiene dos onzas de plomo, seis de cobre y seis de hierro colado. Por último el mineral de tipo cuatro contiene dos onzas de plomo, tres de cobre y ocho onzas de hierro colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $20.00, $30.00, $60.00 y $50.00 respectivamente. A los directivos del SIME le gustaría mezclar los minerales de manera que satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricación. Defina las variables de decisión y plantee el modelo apropiado de Programación Lineal (PL). El mineral tipo 3 tiene 3, 4, 7.

Caso 30

Ministerio de la Agricultura (MINAGRI)

La empresa de semillas produce tres tipos de turrones que se venden a mayoristas, los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son Normal, Especial y Extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son:

Maní: $0.90 por libra.

Pasas: $1.60 por libra.

Algarrobo: $1.50 por libra.

Los requerimientos de las mezclas son:

Normal: Igual al 20% del total de todas las mezclas

Especial: cuando menos 20 % de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos.

Extra: cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní.

Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1 000 libras de maní, 2 000 de pasas y 3 000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2 000.00 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades.

Caso 31

Empresa del petróleo y sus derivados

Los supervisores de la producción de la refinería de petróleo de Cienfuegos deben programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso Uno, durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso Dos, durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso Uno genera 4 000 galones de gasolina y 1 750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso Dos genera 3 500 galones de gasolina y 2 500 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1 200 barriles de petróleo nacional y 1 800 barriles de petróleo importado. Los contratos de venta exigen que se fabriquen 28 000 galones de petróleo para consumo doméstico. La contribución a las utilidades por hora de operación para los procesos Uno y Dos son $1 000 y $1 100, respectivamente.

A usted se le plantean las siguientes interrogantes:

1. Plantee un modelo de Programación Lineal para determinar el programa de producción que maximice la contribución total. Asegúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción.
2. La Comisión Nacional de Energía puede emitir un dictamen que limite la producción total de gasolina a no más de la mitad del petróleo que se fabrique para uso doméstico. ¿Qué restricción debe añadirse al modelo para plantear esta condición?

Caso 32

Empresa de Aeronáutica Civil

La empresa de Aeronáutica Civil opera un avión que combina pasajeros y carga entre los aeropuertos de la Habana, Santiago, Bayamo y Tunas. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas.

El avión tiene tres bodegas: inferior, media y superior. Debido a las limitaciones en el espacio de las bodegas, no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje.

No deben llevarse más de 40 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior. Sin embargo, no deben llevarse más de 60 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas.

Las utilidades por el transporte son de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior $10 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos necesarios. Plantee un problema de Programación Lineal para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades.

Caso 33

MINAGRI (II)

La Empresa de Cultivos Varios de Palma Soriano tiene 130 hectáreas en las que producen tres artículos: frijol, maíz y maní. Los productos de la empresa son para consumo de sus miembros y para ventas al exterior. La empresa está organizada de tal manera que debe satisfacer primero las demandas de sus miembros antes de realizar ventas al exterior. Todos los excedentes de producción se venden al precio del mercado. La siguiente tabla resume, para cada producto, durante la temporada de cultivo, el rendimiento proyectado por hectárea, el número de quintales (qq) que los miembros solicitan, la demanda máxima del mercado (qq), y la utilidad estimada por qq. Plantee un modelo de Programación Lineal para el problema, que permita a la empresa determinar el número de hectáreas que deben asignarse a cada producto para que se maximicen las utilidades.

Caso 34

CUBATAXIS

CUBATAXIS es una empresa cubana dedicada al servicio de transportación de turistas. La misma acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de vehículos entre el aeropuerto de la Habana y el centro de la ciudad. Antes del servicio de estos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del servicio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a la baja inversión que se requiere para reemplazar todos los vehículos existentes, se están considerando tres tipos de vehículos: vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La empresa ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestran en la siguiente tabla. El consejo de administración de la empresa ha autorizado $500 000 para la adquisición de vehículos. Se ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la empresa no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento, puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeños y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellos. Un autobús pequeño es equivalente a Una y 1/2 vagoneta y cada autobús grande equivale a Tres vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.