Técnicas de optimización (página 3)

Caso 35

MINAGRI (III)

La empresa de cultivos varios de Baire opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de hectáreas disponibles para cada cultivo. Los datos de la Tabla Nº Uno describen las granjas. Normalmente, la empresa cultiva Tres tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente los cultiva todos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipos para cosechar, existen restricciones sobre el número de hectáreas de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la Tabla Nº Dos reflejan el máximo de hectáreas de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por hectárea) para los respectivos cultivos son: seis, cinco y cuatro.

Las utilidades que se proyectan por hectárea para cada uno de los tres cultivos son $500.00, $350.00 y $200.00, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las cuatro granjas, la empresa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de Programación Lineal para el problema, que permita a la empresa determinar la cantidad (hectáreas) de cada cultivo, que deben plantarse en cada granja, para que se maximicen las utilidades totales esperadas

Tabla Nº Uno

Tabla Nº Dos

Caso 36

Ministerio del Turismo (MINTUR)

La empresa del MINTUR de Santiago de Cuba debe asignar personal a cinco operadores disponibles. El administrador de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de Ingeniería Industrial (véase la siguiente tabla). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima.

Caso 37

CUBAPAPEL

La empresa cubana de papel trabaja para las diferentes empresas productoras de caja de cartón. La empresa fabrica rollo de papel "estándar" de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la empresa reciba pedidos de rollos más angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la empresa ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos:

La gerencia de la empresa desearía determinar el número mínimo de rollos estándar que se requieran para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

ESTUDIO DE CASOS PARA SER RESUELTOS POR EL LECTOR

Caso 38

Cadenas de tiendas "CARACOL"

Una tienda perteneciente a la Cadena "Caracol" tiene una sola caja de salida, atendida por un cajero que también hace las veces de empacador cuando no hay demasiados clientes. Los clientes llegan a la caja según un proceso poissoniano, a una tasa media de 30/hora. El tiempo que el cajero necesita para obtener el monto de las compras de un cliente, empacar la mercancía y cobrar se distribuye exponencialmente, con una media de dos minutos. Siempre que hay tres clientes o más en la caja (incluido aquél a quien se está atendiendo), un segundo empleado de la tienda tiene órdenes de ayudar al cajero a empacar las ventas. Cuando los dos empleados trabajan juntos, el tiempo de servicio para un cliente sigue distribuyéndose exponencialmente, pero con una media de un minuto.

Determínense:

1. el número de clientes que se encuentra simultáneamente en la caja de salida;
2. tiempo que un cliente debería permanecer en la caja de salida, y
3. tiempo que un cliente debería esperar permanecer en la fila, antes de que se calcule el monto de sus compras.

Caso 39

Cadena independiente S.A.

Una tienda que expende tabacos y diarios y que pertenece a una cadena independiente de tiendas atiende a los clientes a razón de un promedio de uno cada 30 segundos, con distribución exponencial. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de tres por minuto, y pueden esperar por el servicio si el dueño está ocupado con otro cliente. Determinado número de clientes deciden no esperar y hacen sus compras en otro lugar. La probabilidad de que un cliente que llega rechace es n/3, donde n es el número de clientes que ya se encuentra en la tienda. Si la ganancia promedio/ cliente es 0.30. ¿Qué ganancias espera perder el representante de la tienda por concepto de clientes que parten y hacen sus compras en otro lugar?

CASO 40

MITRANS

Una oficina estatal de transporte tiene tres equipos de investigación de seguridad, a los que se llama continuamente y cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de la carretera en las cercanías de cada accidente fatal ocurrido en caminos estatales. Los equipos son igualmente eficientes; cada uno destina un promedio de dos días a investigar y realizar el informe de un accidente con el tiempo real aparentemente distribuido en forma exponencial. Según parece, el número de accidentes fatales en caminos estatales, sigue un proceso poissoniano, con una tasa promedio de 300/año. Determine para este proceso L, Lq, W- y Wq- .

MITRANS

Caso 41

Una estación de servicio en un camino real tiene sólo una bomba para despachar gasolina. Los automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa promedio de 10/hora. Aparentemente el tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se distribuye exponencialmente, con una media de 2 min. En la estación cabe un máximo de cuatro automóviles y las leyes locales de tránsito prohíben que los autos esperen en la vía pública.

Determine:

a) El número promedio de automóviles que se encuentran simultáneamente en la estación;

b) el tiempo promedio que un cliente debe esperar para obtener servicios una vez que logra entrar en la estación;

c) la tasa promedio de pérdida de ingresos por aquellos clientes que se van a realizar su compra a otro lugar cuando la estación está llena, si la venta promedio es de $15.00.

Caso 42

Ministerio de Comercio Interior (MINCIN)

Los clientes llegan a una peluquería con una tasa promedio de 5/h, con los tiempos reales de llegada con distribución de poisson. Hay un peluquero disponible en todo momento y hay cuatro sillas para los clientes que llegan cuando el peluquero está ocupado. El reglamento local de prevención de incendios limita el número total simultáneo de clientes dentro de la tienda, en todo momento, a un máximo de cinco.

A los clientes que llegan cuando la peluquería está llena, se les niega la entrada y se les da por perdido. El tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, pero la media cambia de acuerdo al número de clientes en la peluquería. Conforme se llena la peluquería, el peluquero trata de acelerar el servicio, pero en realidad se vuelve menos eficiente, según se muestra en la siguiente tabla:

Determine:

a) el número promedio de personas que se encuentran simultáneamente en la tienda;

b) el tiempo estimado que un cliente deberá esperar para el servicio y

c) el porcentaje de tiempo que el peluquero permanece ocioso

Caso 43

MINBAS

Una empresa del MINBAS que utiliza la formula clásica CEP ha determinado que se deben colocar seis pedidos por año para sus materias primas y utilizar un inventario de seguridad de una unidad, basado en la siguiente distribución de demanda durante el período de tiempo de anticipación del pedido:

El cargo de llevar el inventario por unidad/ año es de $12.

1. ¿Cuál es el punto de partida?
2. ¿Cuál es el número esperado de faltantes?
3. ¿Cuál es la probabilidad de un faltante?
4. ¿Cuál es el costo implícito/unidad de los faltantes que la gerencia ha supuesto al escoger este inventario de seguridad?

Caso 44

Refinería HNOS. DÍAZ

Sea Dt la demanda mensual de una de las piezas más importantes de la torre de craqueo de la "Refinería Hermanos Díaz" de Santiago de Cuba. De datos históricos se ha obtenido la siguiente distribución de probabilidad Dt:

DEMANDA MENSUAL

Dt para cualquier mes t es una variable no controlable. La variable controlable es el suministro Ot, para cualquier mes t. Sea St el número de piezas utilizadas en el mes t.

Entonces St= Dt ≤Ot

Puesto que es política de la refinería vender a otra refinería del país al costo cualquier exceso de piezas, la utilidad total obtenida en la operación de un mes es:

Precio de venta Número de piezas = $ 20 St

Para resumir debemos simular:

St= Dt si Dt ≤ Ot

St= Ot si Dt > Ot

Utilidad total = 20 St

La refinería está considerando las dos políticas siguientes de pedido.

Política 1 Sea O t = Dt – 1

Política 2 Sea O t = __—Dt -1 + Dt – 2__

2

¿Qué política proporcionará la mayor utilidad?

SOLUCIÓN DE LOS ESTUDIOS DE CASOS

Caso 1

Fábrica de Fertilizantes de Nuevitas

Identificación: Análisis de actividad.

Consideraciones:

1. Se trata de un problema de análisis de actividad.
2. Cómo utilizar recursos escasos para lograr la combinación de dos tipos de fertilizantes, de manera que la empresa obtenga el máximo de utilidades.
3. No está claro cuál es la utilidad por cada tipo de fertilizante, hay que deducirla.

Se confecciona el siguiente estado:

Hay dos tipos de fertilizante:

Fertilizante 5-5-10

Fertilizante 5-10-5

Para el 5-5-10

Costo del nitrato por ton. (0.05)(200) = $10.00

Costo del fosfato por ton. (0.05)(80) = 4.00

Costo del potasio por ton. (0.10)(160) = 16.00

Costo de los ingredientes inertes (0.80)(10) = 8.00

Costo total, menos mezclado $38.00

Más: Costo de mezclado 15.00

Costo total $53.00

Utilidad: $71.50 – $53.00 = $18.5

Para el 5-10-5

Costo del nitrato por ton. (0.05)(200) = $10.00

Costo del fosfato por ton. (0.10)(80) = 8.00

Costo del potasio por ton. (0.05)(160) = 8.00

Costo de los ingredientes inertes. (0.80)(10) = 8.00

Costo total, menos mezclado $34.00

Más: Costo de mezclado 15.00

Costo total $49.00

Utilidad: $60.00 – $49.00 = $11.00

Definición de las variables:

X1 = Toneladas métricas de fertilizantes 5-5-10 a producir para el siguiente mes.

X2 = Toneladas métricas de fertilizantes 5-10-5 a producir para el siguiente mes.

Planteamiento de las restricciones:

• Disponibilidad de nitrato: 0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100
• Disponibilidad de fosfato: 0.05X1 + 0.1 X2 ≤ 1800
• Disponibilidad de potasio: 0.10 X1 + 0.05 X2 ≤ 2000

Función objetivo: MAX Z = 18.5 X1 + 11X2

Caso 2

Empresa Cubana de Calzado

Identificación: Análisis de actividad.

Consideraciones:

2. Encontrar la mejor combinación de la producción.
3. Maximizar la utilidad.
4. Recursos: * Horas disponibles 1200

* Efectivo $ 16.560

4. Las utilidades hay que calcularlas.

Definición de las variables:

X1 = Total de pares de zapatos tipo Primavera a producir el próximo mes.

X2 = Total de pares de zapatos tipo Botines a producir el próximo mes.

X3 = Total de pares de zapatos tipo Pantuflas a producir el próximo mes.

Planteamiento de las restricciones

• Disponibilidad en horas:

3.5 X1 + 2.5 X2 + 2 X3 ≤ 1200

• Disponibilidad en dinero:

4(3.25 X1 + 4.5 X2 + 2 X3) + 10(3.5 X1 + 2.5 X2 + 2 X3) + 3000 ≤ 16,560

• Demanda:

X1 ≥ 30; X2 ≥ 55; X3 ≥ 32

• No negatividad:

X1, X2, X3 ≥ 0

Función objetivo:

MAX Z = 60 X1 + 64 X2 + 50 X3 – [10(3.5 X1 + 2.5 X2 + 2 X3) + 4.5 X2 + 2 X3) + + 3000]

Caso 3

Empresa Cubana Taino

Identificación: Análisis de actividad

Consideraciones:

1. Se producen dos tipos de bombas: normal y extra grande.
2. El proceso de manufactura implica 3 actividades: ensamblado, pintura y pruebas.
3. Se conocen las utilidades de ventas para cada una de las bombas.
4. Se conoce el tiempo requerido y el disponible para cada actividad.

Objetivo: Maximizar las utilidades por la venta de las bombas normal y extra grande.

Definición de las variables:

X1 =Cantidad de bombas tipo normal a fabricar semanalmente.

X2 = Cantidad de bombas tipo extra grande a fabricar semanalmente.

Planteamiento de las Restricciones:

*De ensamble: 3.6 X1 +4.8 X2 ≤ 4800

* De pintado: 1.6 X1 + 1.8 X2 ≤ 1980

* De prueba: 0.6 X1 + 0.6 X2 ≤ 900

* De producción: X1 ≥ 300

X2 ≥ 180

• No negatividad: X1 , X2 ≥ 0

Función objetivo: MAX Z = 50 X1 + 75 X2

Caso 4

La Empresa Cubana de Aisladores Eléctricos

Identificación: Análisis de la actividad.

Consideraciones:

1. Se fabrican tres tipos de aisladores.
2. Se presentan los parámetros de producción, costos por hora y los precios de cada uno.

Objetivo: maximizar las utilidades por hora.

Definición de las variables:

X1 Número de aisladores de aplicación general a producir por hora.

X2 Número de aisladores de aplicación especial a producir por hora.

X3 Número de aisladores de alto voltaje a producir por hora.

Planteamiento de las restricciones:

* De Horneado: 0.02 X1 + 0.025 X2 + 0.04 X3 ≤ 1

* De lavado y laminado: 0.025 X1 + 0.05 X2 + 0.10 X3 ≤ 1

* De pulimento: 0.04 X1 + 0.05 X2 + 0.10 X3 ≤ 1

* No negatividad: X1, X2, X3 ≥ 0.

Función objetivo: MAX Z = 6 X1 + 12.5 X2 + 17.5 X3

Caso 5

La Empresa Cubana de Muebles

Identificación: Análisis de la actividad.

Consideraciones:

1. Producción de dos tipos de escritorios: Ejecutivo y Secretarial.
2. Dos plantas diferentes.
3. Se conoce el precio de venta.
4. Se conocen el tiempo y costo de producción.
5. Hay disponibilidad de tiempo y financiera.

Objetivo: maximizar la utilidad.

Definición de las variables:

Xij = Tipo de escritorio i a producir en la planta j por semana. Donde i = 1,2 j = 1,2

Planteamiento de las Restricciones:

• Disponibilidad de tiempo:

7 X11 + 4 X21 ≤ 80

6 X12 + 5 X22 ≤ 50

• Disponibilidad de recursos:

250 X11 + 260 X12 ≤ 2 000

200 X21 + 180 X22 ≤ 2 200

• No Negatividad: Xij ≥ 0; А i, j

Función objetivo: MAX Z = 350 (X11 + X12) + 275 (X21 + X22) – (250 X11 + 260 X12) – (200 X21 + 180 X22)

Caso 6

Hospital Provincial "Saturnino Lora", Santiago de Cuba

Identificación: Problema de dieta.

Consideraciones:

1. Se trata de obtener una dieta óptima utilizando dos fuentes de alimentos que contienen tres tipos nutrientes.
2. Se conocen los costos unitarios de los alimentos.
3. Se conocen los requerimientos nutritivos mínimos por día.

Objetivo: Minimizar el costo de la dieta que satisfaga los requerimientos nutritivos establecidos.

Definición de la variables:

Xj = Cantidad de onzas de la fuente alimenticia i que se requiere por día.

Planteamiento de las Restricciones:

* Nutriente A: 100 X1 + 200 X2 ≥ 1000

* Nutriente B: 400 X1 + 250 X2 ≥ 2000

* Nutriente C: 200 X1 + 200 X2 ≥ 1500

* No negatividad: X1, X2 ≥ 0

Función Objetivo: MAX Z = 0.375 X1 + 0.5 X2

Caso 7

Empresa Cubana del Petróleo

Identificación: Problema de mezclas.

Consideraciones:

1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce: el octanaje, presión de vapor, disponibilidad y costo por barril.
2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben cumplir ciertas especificaciones.

Objetivo: Maximizar las utilidades.

Definición de las variables:

Xij = Barriles de gasolina base tipo i para producir gasolina comercial tipo j en una semana.

Planteamiento de loas Restricciones:

• De octanaje:

Regular: 108 X11 + 90 X21 +73 X31 ≥ 80

Especial: 108 X12 + 90 X22 + 73 X32 ≥ 100

• Presión de vapor:

Regular: 4 X11 + 10 X21 + 5 X31 ≤ 9

Especial: 4 X12 + 10 X22 + 5 X32 ≤ 6

• Disponibilidad de gasolina base:

Tipo1: X11 + X12 ≤ 32 000

Tipo2: X21 + X22 ≤ 20 000

Tipo3: X31 + X32 ≤ 38 000

• De demanda de gasolina regular:

X11 + X21 + X31 = 30 000

• No negatividad:

Xij ≥ 0; А i,j

Función objetivo: MAX Z = 21(X11 + X21 + X31) + 24(X12 + X22 + X23) – [22(X11 + X12)+ 20(X21 + X22)+19(X31 + X32)]

Caso 8

Fondo de Inversión de la Empresa del Níkel (MINBAS)

Identificación: Selección de Cartera de Inversión.

Consideraciones:

1. Se deben invertir los $2 000 000
2. El riesgo no debe ser superior a 0.20
3. El período promedio debe ser cuando menos cinco años y cuando más puede invertirse el 25% de la cartera de bienes raíces y acciones especulativas.

Definición de las variables:

Xj = Proporción de la cartera que se invierte en el tipo de inversión j, en el período que se designe.

Xj toma variable entre 0 y 1.

Como no se especifica el monto para algún tipo de inversión, da un monto total.

Planteamiento de las Restricciones:

• De inversión total: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1
• Del factor riesgo: 0.02 X1 + 0.01 X2 + 0.38 X3 + 0.45 X4 + 0.07 X5 + 0.35 X6 ≤ 0.20
• Período de inversión: 8 X1 +2 X2 + 5 X3 + 6 X4 + 2 X5 + 4 X6 ≥5
• Legal: X4 + X6 ≤ 0.25
• No negatividad: Xj ≥ 0, j = 1,2,3,4,5,6

Función objetivo: MAX Z= 0.085 X1 + 0.09 X2 + 0.085 X3 + 0.143 X4 + 0.067 X5 + 0.13 X6

Caso 9

EMPRESA AVÍCOLA NACIONAL

Identificación: Análisis de actividad.

Consideraciones:

1. Hay gallinas y huevos.
2. Las gallinas tienen dos objetivos: poner huevos y utilizarlos para reproducir.
3. El huevo tiene un solo objetivo: para incubar.

Definición de las variables:

Xt = Cantidad de gallinas incubando en el período t.

Yt = Número de gallinas que ponen huevos en el período t.

Zt = Número de huevos que se incuban en el período t.

t = 1, t = 2, t = 3

Planteamiento de las Restricciones:

Para t = 1: 4X1 + Z1 = 100

X1 + Y1 = 100

Para t = 2: 4 X2 + Z2 = 12Y1

Para t = 3: 4 X3 + Z3 = 12Y2

No negatividad: Xt , Yt , Zt , ≥ 0, t = 1,2

Función Objetivo: MAX Z=3 (4 X1 + 4 X2 + 4 X3) + Z1 + Z2 + Z3

Caso 10

Planta Mecánica "Taíno"

Identificación: Portafolio de inversión.

Consideraciones:

1. Se busca asignar capital para los proyectos de crecimiento durante los próximos 4 años.
2. Hay limitación de recursos.
3. Se conoce el valor presente estimado y lo que requiere cada proyecto en los siguientes años.
4. Se conoce la disponibilidad de fondos.

Objetivo: Maximizar el valor presente.

Definición de las variables:

Xj = Valor proporcional que indica la medida en que financia el proyecto j.

Xj = 1 Indica que el proyecto se financia completamente.

Xj < 1 Señala que se somete a análisis su solución.

Planteamiento de las restricciones:

• Requerimiento de capital por año:

Año 1: 30,000 X1 + 12,000 X2 + 30,000 X3 + 20,000 X4 ≤ 65,000

Año 2: 40,000 X1 + 8,000 X2 + 20,000 X3 + 30,000 X4 ≤ 80,000

Año 3: 40,000 X1 + 20,000 X3 + 40,000 X4 ≤ 80.000

Año 4: 30,000 X1 + 4,000 X2 + 20,000 X3 + 10,000 X4 ≤ 50,000

● No Negatividad: Xj ≥ 0

Financiamiento fraccionario de un proyecto:

0 ≤ Xj ≤ 1 j = 1, 2, 3, 4

Función Objetivo: MAX Z = 180,000 X1 + 20,000 X2 + 72,000 X3 + 80,000 X4

Caso 11

CUBANACAN, S. A (Estudio de Mercadotecnia)

Identificación: Problema de Mercadotecnia.

Consideraciones:

1. La variable consiste en determinar el número de dólares de publicidad que debe invertirse en cada revista.
2. Determinar el número de anuncios que debe colocar en cada revista.
3. Se cuenta hasta con $38 000.00 dólares para invertir en publicidad y una determinada estructura de los clientes por edad, ingreso, educación.
4. Y también se cuenta con una información complementaria de la cantidad de lectores por revista y restricciones en cuanto al número máximo y mínimo de anuncios y el costo por anuncio.
5. El eje del problema es determinar cómo distribuir los $ 38 000 entre las tres revistas de tal manera de lograr la mayor efectividad de los anuncios.

Definición de la variables:

X1 = Cantidad de dólares que se deben invertir en la revista A, en el período que se analiza.

X2 = Cantidad de dólares que se deben invertir en la revista B, en el período que se analiza.

X3 = Cantidad de dólares que se deben invertir en la revista C, en el período que se analiza.

Planteamiento de las Restricciones:

• Disponibilidad en efectivo: X1+ X2 + X3 ≤ 38,000
• Sobre el máximo de anuncios: (X1 /500) ≤ 36

(X2 /750) ≤ 40

(X3 /800) ≤ 45

• Sobre el mínimo de anuncios que se deben hacer:

(X1 /500) ≥ 9

(X3 /800) ≥ 5

• No Negatividad: X1 , X2 , X3 ≥ 0

Función Objetivo:

Para maximizar la exposición efectiva (la efectividad que tenga la revista).

• Hallar primero el índice de lectura:

Índice de la lectura de la revista A: (0.40) (40) + (0.35) (60) + (0.25) (30) =0.445

Índice de lectura de la revista B: (0.40) (70) + (0.35) (50) + (0.25) (20) = 0.505

Índice de la revista de la lectura C: (0.40) (60) + (0.35) (40) + (0.25) (60) = 0.530

• Lectores por revistas:

Revista A: (0.445) (789 000) = 351 105

Revista B: (0.505) (940 000) = 474 700

Revista C: (0.530) (1 250 000) = 662 500

Maximizar la exposición efectiva (un dólar que invierta produzca la mayor cantidad de lectores).

Esto se calcula dividiendo la cantidad de lectores entre el costo de un anuncio.

Exposición efectiva: Cantidad de lectores por anuncio y por peso.

Revista A: (351 105)/ 500 = 702 Lectores por dólar.

Revista B: (474 700)/ 750 = 633

Revista C: (662 500)/ 800 = 828

MAX Z = 702 X1 + 633 X2 + 828 X3

Caso 12

Hospital Clínico Quirúrgico de Santiago de Cuba

Identificación: Planificación de Calendarios.

Consideraciones:

Los horarios (turnos) de 4 horas.

1. Hay una necesidad de enfermeras, un máximo y un mínimo en cada horario.

Objetivo: Minimizar el número total de enfermeras que cumpla con la necesidad del hospital, a partir de no violar las 8 horas de trabajo continuo como máximo.

Definición de las variables:

Xt = Número de enfermeras comenzando a trabajar en el turno t.

t= 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Xt Variable Entera

Planteamiento de las Restricciones:

• Sobre el máximo y el mínimo de enfermeras en cada turno.

150 ≤ X6 + X1 ≤ 170

120 ≤ X1 + X2 ≤ 135

160≤ X2 + X3 ≤ 165

90 ≤ X3 + X4 ≤ 120

30 ≤ X4 + X5 ≤ 40

60 ≤ X5 + X6 ≤ 75

• No Negatividad Xt ≥ 0

Función Objetivo: min. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Caso 13

Laguna Blanca

Identificación: Análisis de actividad.

Consideraciones:

1. Confeccionar el plan 1994 de una empresa agrícola, el plan tiene que maximizar el valor de la producción.
2. Se ofrecen indicadores: rendimiento, fuerza de trabajo y riego.
3. Se conocen las disponibilidades.
4. La empresa produce dos tipos de vianda: plátano y yuca.

Definición de las variables:

X1 = Producción de plátano en t para el año 1994.

X2 = Producción de yuca en t para el año 1994.

Restricciones:

• Disponibilidad de tierra: 0.033 X1 + 0.04 X2 ≤ 70
• Disponibilidad de fuerza de trabajo: X1 + 1.6 X2 ≤ 2 500
• Riego en octubre: 30 X1 + 26 X2 ≤ 57 900
• Riego en noviembre: 40 X1 + 34 X2 ≤ 115 200
• No Negatividad: X1 , X2 ≥ 0

Función Objetivo: MAX Z = 6.06 X1 + 4.5X2

Caso 14

Empresa Minera de Cuba

Identificación: Selección del personal.

Consideraciones:

1. Serie de proyectos (3).
2. Contratistas.
3. Se conocen los costos que cada contratista pide por el proyecto.

Objetivo: El problema consiste en seleccionar a los contratistas que minimicen los costos para la realización del proyecto.

Definición de las variables:

Xij = Selección del contratista i al proyecto j.

i = 1,2,3 j = 1,2,3

Planteamiento de las Restricciones:

• Cada contratista debe elegir un proyecto.

X11 + X12 + X13 = 1

X21 + X22 + X23 = 1

X31 + X32 + X33 = 1

• Cada proyecto solo puede ser ejecutado por un solo contratista:

X11 + X21 +X31 = 1

X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X24 = 1

• No Negatividad: Xij ≥ 0 ; ∆ ij

Función Objetivo:

Min. Z = 28 X11 + 32 X12 + 36 X13 + 36 X21 + 28 X22 +30 X23 +38 X31 +34 X32 +40 X33

Caso 15

CITMA

Identificación: Evaluación de proyectos.

Consideraciones:

1. Se deben seleccionar cuatro fábricas de un universo de seis para concretar el proyecto
2. Variable binaria
3. Se conocen las disponibilidades de tiempo y de recursos financieros
4. Exclusión entre variables

Objetivo: El problema consiste en seleccionar las cuatro fábricas, entre las seis que se proponen, de tal manera que se maximice la reducción de contaminantes, considerando las restricciones de tiempo, de presupuesto y de exclusión entre las variables.

Definición de variables:

XJ = Selección de la fábrica j j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 0 ≤ XJ ≤ 1 XJ = Entera

X1 = Seleccionar la Fábrica de Cerveza

X2 = " " " Cemento

X3 = " " " Pastas y Caramelos

X4 = " " Refinería

X5 = " " Molinera

X6 = " " Recapadora

Planteamiento de las restricciones.

Restricción para la disponibilidad de presupuesto:

200X1 + 300X2 + 250X3 + 350 X4 + 100X5 + 150X6 ≤ 1 000 000

Restricción de disponibilidad de tiempo:

90X1 + 120X2 + 80X3 + 150X4 + 60X5 + 60X6 ≤ 180

Si se escoge la Fábrica de Cerveza debe escogerse la Fábrica de Pastas y Caramelos

X1 – X3 ≤ 0

Entre Refinería y Molinera debe escogerse al menos uno

X4 + X5 ≥ 1

Función Objetivo

MAX Z = 28X1 + 35X2 + 30X3 + 40X4 + 20X5 + 25X6

Caso 16

Agricultura Urbana

Identificación: Programación en Enteros. Cargo Fijo. Alternativa de producción.

Consideraciones:

1. Hay restricciones con los recursos (disponibilidad de tierra y de tiempo).
2. Hay gastos fijos de tiempo para la producción de determinados productos.
3. Hay alternativas de producción
4. Se deben considerar variables auxiliares de carácter entero (binarias).

Objetivo: El problema consiste en designar qué cantidad de tierra (en hectáreas) se debe asignar a la producción de cada tipo de cultivo, para que, considerando los elementos restrictivos, se maximicen las ganancias.

Definición de variables:

X1 = Hectáreas de tierra dedicadas a la producción de tomate

X2 = " " " " " lechuga

X3 = " " " " " rábano

X4 = " " " " " calabaza

X5 = " " " " " pepino

δ1 = Variable auxiliar binaria, asociada a la variable esencial X1

δ2 = Variable auxiliar binaria asociada a la variable esencial X2

δ3 = Variable auxiliar binaria asociada a la variable esencial X3

δ4 = Variable auxiliar binaria asociada a la variable esencial X4

X j ≥ 0

0 ≤ δ j ≤ 1 y Entera

Planteamiento de las restricciones

Disponibilidad total de horas-hombre:

5X1 + 8X2 + 7X3 + 6X4 + 4X5 + 1,5 δ4 ≤ 2 400

Disponibilidad total de tierra:

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 150

Restricciones de ligadura (Cota superior) entre las variables esenciales y auxiliares:

X1 ≤ 150 δ1

X2 ≤ 150 δ2

X3 ≤ 150 δ3

X4 ≤ 150 δ4

Restricciones para el cumplimiento de los planes de producción condicionales:

X1 ≥ (550/20) δ1

X4 ≥ (900/35) δ4

Restricciones de carácter excluyente entre tipos de producciones:

δ1 + δ2 + δ3 ≤ 2

Función objetivo:

MAX Z = 270.00X1 + 200.00 X2 + 340.00 X3 + 250.00 X4 + 300.00 X5

Caso 17

MINAZ

Identificación: Producción e Inventario.

Consideraciones:

1. Demanda conocida en un horizonte de planificación a 4 meses.
2. Costo de tiempo extra conocido.
3. Costo de almacenamiento conocido.
4. Producción desconocida. (Puede hacerse en tiempo normal o tiempo extra).

Objetivo: Determinar la cantidad de unidades que deben fabricarse durante el tiempo normal y el tiempo extra para minimizar los costos totales.

Definición de variables:

Xj = cantidad de artículos a producir en tiempo normal en el mes j.

Yj = Cantidad de artículos a producir en el tiempo extra en el mes j.

Zj = Cantidad de artículos a almacenar en el mes j.

Planteamiento de las restricciones:

• El número total de unidades que se fabriquen en los turnos normales o extras, menos el inventario en el mes j debe satisfacer la demanda.

Mes 1: X1 + Y1 – Z1 = 1 800

Mes 2: X2 + Y2 +Z1 -Z2 = 2 200

Mes 3: X3 + Y3 + Z2 – Z3 = 3 400

Mes 4: X4 + Y4 + Z3 = 2 800

• De la capacidad de producción en tiempo normal:

X1≤ 2 400 X2 ≤ 2 400 X3 ≤ 2 400 X4≤ 2 400

• De la capacidad de producción en tiempo extra:

Y1 ≤ 800 Y2 ≤ 800 Y3≤ 800 Y4 ≤ 800

• No Negatividad: Xj , Yj , Zj ≥ 0 j=1,2,3,4

Función Objetivo: min. Z= 7 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 3(Z1 + Z2 + Z3 + Z4)

Z4 = 0 Ya que no debe quedar nada en el tiempo normal.

Caso 18

Política de Inversiones de CUBANACAN

Identificación: Cartera de inversión.

Consideraciones:

1. Hay una restricción por cada período.
2. La clave del problema es saber que los fondos disponibles para la inversión en cualquier año depende de las acciones que se hayan emprendido en años anteriores.

Objetivo: Obtener el rendimiento máximo de 600 000 dólares al final del período.

Definición de las variables:

Xij = Tipo de inversión i a realizar en el periodo j.

Planteamiento de las Restricciones:

• Año 1: El dinero total que se invierte en las inversiones 1, 2, 5, 6 sea igual al total del dinero disponible.

X11 + X21 + X51 + X61 = 600 000

• Año 2: El dinero total que se invierte en las inversiones 1, 2, 3, 6 al principio del año 2 es igual a lo que no se invierte en el año 1.

X12 +X22 + X32 +X62 = X61

• Año 3: El total de dinero que se invierte en los tipos 1, 2, 6 a principio del año 3 debe ser igual al dinero no ocupado en el año 2 más la inversión producida en el tipo 2 que se realizó en el año 1.

X13 +X23 +X63 = X62 + 1.16X21

• Año 4: El total de dinero que se invierte en los tipos 1, 2, 4, 6 a principio del año 4 debe ser igual al dinero no ocupado en el año 3 más las inversiones que vencieron al año 3.

X14 + X24 +X44 +X64 = X63 +1.28 X11 +1.16 X23

• Año 5: El total de dinero que se invierte en los tipos 2, 4, 6 al principio del año 5 más las inversiones que terminan en el año 4 excepto la inversión del tipo 3 en el año 2.

X25 + X45 + X65 = X64 +1.45 X51 +1.28 X12 +1.16 X24

• Año 6: X66 = X14 + X45 + X25 + X65
• No Negatividad: Xij ≥ 0 ⊬ i,j

Función Objetivo: MAX Z = 1.28 X14 +1.4 X45 +1.16 X25 + X66