Galileo Galilei y el Movimiento Uniformemente Acelerado (página 2)

V=V0 + at. (Para la caída libre)

Galileo advertía que los incrementos de velocidad no eran iguales para iguales distancias recorridas, lo cual se demuestra aplicando la ecuación:

Como existe una dependencia lineal entre la velocidad y el tiempo, Sagredo, hombre culto que forma parte de los tres personajes que dialogan entre sí en la obra de Galileo, expuso a Salviati, personaje que representaba a Galileo, lo siguiente: " como el tiempo es subdivisible hasta el infinito, .. Al ir disminuyendo siempre en tal razón, la velocidad que precede, no hay ningún grado de velocidad tan pequeño,.. Para el que no haya pasado el mismo móvil después de su partida desde el reposo..". Es necesario decir que para Sagredo los instantes de tiempo, cada vez más próximos al primero desde su partida el movimiento es tan tardío que no habría recorrido el móvil.." Una milla en una hora, ni en un día, ni en un año, ni en mil.." El sabio con su maestría característica y persuadido en su yo interno del concepto de infinitesimal, no conocido hasta entonces y aparecido con el cálculo diferencial, posterior a Galileo, replico: "dices parecerte que la experiencia demuestra que apenas el grave ha abandonado el reposo, adquiere una velocidad notable y yo digo que esta misma experiencia pone en claro que los primeros impulsos del grave en caída,.. Son muy lentos y muy tardos.. Dado que la velocidad puede ser aumentada o disminuida sin límites, ¿Por qué razón podrá persuadirme de que en tal móvil, al partir de una lentitud infinita (reposo) entra inmediatamente en una velocidad de 10 grados mas bien que en una de 4, o en esta con preferencia a una de 2, de 1, de ½, o de un centésimo, o en suma, en todas las menores hasta lo infinito?".

Galileo estaba claro al asegurar que un cuerpo sometido a una aceleración y partiendo del reposo no adquiere instantáneamente grandes valores de velocidad, sino que siendo la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo una constante, para tiempos muy pequeños a partir de t=0, el cuerpo solo alcanza pequeños valores de velocidad. He aquí por que nos atrevemos a afirmar que Galileo ya esbozaba el concepto de infinitesimal.

Movimiento Acelerado por Planos Inclinados.

A partir de aquí Galileo realiza un estudio bastante detallado del MUA que efectúa un móvil que desciende por un plano inclinado con respecto a la horizontal y comienza por decir: "acepto que las velocidades de un mismo móvil; adquiridas sobre diversos planos inclinados son iguales, cuando las alturas de esos mismos planos son iguales". Estoes comprobable no solo por las ecuaciones de la Cinemática, sino por algo mucho más general, que tampoco era conocido en los tiempos de Galileo y que es el principio de conservación de la energía mecánica, el cual se cumple siempre que se desprecie la fricción.

Galileo demostraba su afirmación a partir de considerar el ejemplo de un péndulo suspendido de un punto A y que desplazado hasta el punto C se suelta; analiza el movimiento del péndulo sin que en su trayectoria curvilínea el hilo encuentre un obstáculo y después situando clavos en os puntos E y F (Fig.1). Sobre esta situación decía: "la caída por el arco CB confiere al móvil un momentun tal que pueda volverlo a la misma altura por cualquiera de los arcos BD; BG o BI, no obstante no podemos nosotros demostrar con la misma evidencia que sucedería lo mismo, si una bola perfecta debiera descender por planos inclinados según las inclinaciones de los cuerpos de estos mismos

arcos, al contrario, es presumible que al formar ángulos en el punto B esos planos rectos, la bola que ha descendido por el plano inclinado CB, encontrar obstáculos en los planos ascendentes según las cuerdas BD; BG o BI, al chocar con ellas perdería parte de su ímpetu y no podría subiendo llegar hasta la línea CD. Pero removido el obstáculo me parece fácil de comprender que el ímpetu, (que efectivamente adquiere la fuerza con la cantidad de descenso), sería suficiente para volver al móvil a la misma altura". Galileo, aunque utilizaba términos no apropiados, como son: ímpetu

por el concepto de energía cinética, momentun por el concepto de energía, etc., así describe con extrema claridad y exactitud tanto el ejemplo del péndulo, como el de movimiento por el plano inclinado, donde en este último no olvidó ni siquiera la perfección de la bola para evitar pérdidas de energía. Es increíble como el genio de Galileo asocia dos ejemplos diferentes bajo un mismo fenómeno: MUA y como selecciona las variables significativas que describen el fenómeno y lo generaliza, en fin; como aplica al estudio de fenómenos naturales una metodología científica.

A partir de los principios anteriores Galileo deriva una serie de proposiciones o teoremas, los cuales demuestra a partir de métodos geométricos y que explican y relacionan características propias de los MUA. En nuestro trabajo analizaremos los primeros cinco teoremas.

Teorema I.- "El tiempo en que un móvil recorre un espacio con MUA a partir del reposo, es igual al tiempo en que el mismo móvil recorrería ese mismo espacio con movimiento uniforme, cuya velocidad fuera subdupla (mitad) de la mayor y ultima velocidad (final) del anterior movimiento uniformemente acelerado".

Galileo lo demuestra como sigue: en la figura, CD es el tiempo de caída de un cuerpo que a partir del reposo (V0=0), alcanza en el punto D un valor de velocidad proporcional a la línea BE. Si se traza por el punto medio de BE (punto F), una paralela a AB, triangulo AEB formado por los incrementos sucesivos de velocidad a partir de V0=0 y hasta V=EB y por otra parte el rectángulo AGFB formado en su lado mayor por el tiempo de la caída y en su base por la mitad de la velocidad final del MUA. Galileo explicaba "el paralelogramo AGFB es igual al triangulo AEB,.. Es pues prudente que serán guales los espacios recorridos en un mismo tiempo por dos móviles, de los cuales uno se mueve con MUA a partir del reposo y el otro con movimiento uniforme de velocidad subdupla de la máxima velocidad del movimiento acelerado". Si a partir del concepto de velocidad V=dx/dt realizamos la integración para hallar la distancia x recorrida por los móviles que describen MUA y MRU respectivamente, tendremos:

Teorema 2.- "Si un móvil con MUA desciende desde el reposo, los espacios recorridos en tiempos cualesquiera, están entre si como la razón al cuadrado de los mismos tiempos, es decir como los cuadrados de esos tiempos".

La demostración realizada por Galileo la describiremos mas adelante, no obstante vale señalar la veracidad de tal teorema, e incluso que el mismo pudiera ser el embrión de la actual relación X=V0t + ½ gt2, ya que si V0 = 0, queda como X = ½ gt2, donde ½ g es una constante, por lo que x = kt2, es decir X es proporcional a t2.

Este teorema presenta dos corolarios, los que analizaremos de inmediato:

Corolario 1.- "Si en tiempos iguales, tomados sucesivamente desde el primer instante o comienzo del movimiento,…, se recorren los espacios HL, LM, MN, NI; estos espacios estarán entre si como los números impares a partir de la unidad, es decir, como 1, 3, 5, 7,..; porque esta es la razón de los excesos de los cuadrados de las líneas que se van extendiendo unas de otras y cuyos excesos es igual a la menor de ellas ,.., por consiguiente, mientras la velocidad se acrece, durante tiempos iguales, según la sucesión simple de los números, los espacios recorridos durante estos tiempos reciben incrementos según la sucesión de los números impares, a contar de la unidad".

La línea AG representa los intervalos iguales de tiempo y la línea HI representa las distintas distancias recorridas en esos intervalos. Posteriormente se construye el triangulo APF formado por los valores de velocidad en los instantes A, D, E, F y que corresponden con 0, DB, EC, FP y que a la vez cumplen con que se incrementan en la misma proporción, tal y como se demostró anteriormente. Las áreas de las figuras ABD, BDCE y CEPF representan las distancias recorridas a partir del reposo, por un móvil con MUA están relacionados entre si, por los números impares 1, 3, 5,.., siempre que se tomen para intervalos iguales de tiempo: "tomados en conjunto los espacios recorridos, el recorrido en tiempo doble es cuádruplo del recorrido en el subduplo; el recorrido en el tiempo triple es nónuplo y en suma, los espacios recorridos están en proporción de la segunda potencia de los tiempos, es decir, como los cuadrados de los tiempos".

Es decir: Si el tiempo se duplica la distancia recorrida se cuadriplica y si el tiempo se triplica, la distancia recorrida se nonuplica. Otra vez entonces Galileo vuelve a plantea que X es proporcional a t2, lo que constituye una de las características más sobresalientes del MUA. Aquí podría especularse que si bien Galileo no planteo ecuaciones matemáticas que relacionaran las diferentes magnitudes físicas que caracterizan al MUA, las conocía, sabía que eran sus dependencias y en última instancia podría estar en principio, en posibilidades de establecer tales ecuaciones.

Ahora Salviati expone uno de los principios que caracterizaba a Galileo y a su modo de explicar los fenómenos naturales y por el cual se dice que el sabio italiano era, sino el precursor, al menos un asiduo a la experiencia como forma de corroborar la teoría, manera de pensar de total vigencia e importancia suprema, que por desgracia no estuvo presente siempre en todos los antiguos hombres que trataron de establecer teorías o regulaciones sobre fenómenos naturales: "es conveniente hacer en las ciencias que aplican demostraciones matemáticas a los fenómenos naturales, como lo hacen los perspectivos, los astrónomos, los músicos y otros, quienes con experimentos sensibles confirmaban sus principios, que son los fundamentos de toda la siguiente estructura". Veamos ahora el experimento propuesto por Galileo para corroborar que X es proporcional a t2 y obsérvese su genialidad a la vez el cuidado en tener presente el más mínimo detalle.

Se propuso un tablón de l2 codos de largo por ½ codo de alto y tres dedos de ancho; en el centro de su ancho se construyó un canal derecho, liso y pulido de un dedo de ancho, por el cual se dejaría deslizar una bola de bronce, durísima, redonda y pulida; debido a que el tablón estaba inclinado 1 o 2 brazas. Se dejaba caer la bola y se registraban los tiempos que demoraba en recorrer el tablón. Aquí vale destacar que los tiempos eran medidos mediante un cubo lleno de agua suspendido en lo alto y de cuyo fondo, mediante un pequeño conducto, salía el agua que era recogida en un vaso y pesada en una sensible balanza, es decir os intervalos de tiempo se hacían corresponder con los pesos del agua contenida en el vaso, lo que denota genialidad a la hora de plantear el experimento. Así mismo Galileo relata que se repetía el experimento muchas veces para "medir con exactitud el tiempo, en el cual jamás se encontraba una diferencia ni siquiera de la décima parte de una pulsación".

Aquí aparece otra característica que está dada por la repetibilidad del experimento, buscando confiabilidad en los resultados. Una vez hallado el tiempo total de bajada de la bola por el plano inclinado (tt), se procedía de igual forma, pero dejando que la bola solo recorriera la cuarta parte de la longitud del tablón (ta). De esta forma se podían comparar los resultados del tiempo y las distancias, hallándose que:

Esto se repitió para diferentes distancias, (½, ¾,.) y se hicieron más de 100 veces para cada una de ellas y para diferentes inclinaciones del tablón, resultando siempre que X es proporcional a t2.

Aquí solo puede criticarse al experimento de Galileo que no aprovechó la experiencia descrita para constatar que los incrementos de la velocidad en un mismo intervalo de tiempo (la aceleración de bajada de la bola) dependía de la inclinación del tablón y que aumentaba con ella hasta su valor máximo cuando el ángulo era de 900; por lo demás esta propia experiencia puede ser realizada al abordar la enseñanza de este contenido dada la forma clara con que se obtiene la dependencia entre la distancia recorrida y el tiempo en un MUA:

Corolario II.- "Si a partir del comienzo del movimiento se toman dos distancias cualesquiera, recorridas en intervalos cualesquiera, los tiempos de las mismas serán entre sí, como cualquiera de ellas a la distancia media proporcional entre las mismas"

Ahora se observa, como rasgo característico de todo investigador, o de la forma en que debe presentarse un contenido, como Galileo avanza de lo simple a lo complejo, de lo fácil a lo difícil, como va complicando sus propias hipótesis, buscando relaciones cada vez mas complejas; pero que en última instancia también son caracteristicas del fenómeno estudiado.

Galileo continúa su análisis diciendo: "pero habiendo sido demostrado que los espacios recorridos están en razón de la segunda potencia de los tiempos,…, y siendo la razón del espacio VS al espacio ST segunda potencia de la razón VS a SX, es decir, siendo la misma que la que tienen los cuadrados VS y SX, es evidente que la razón de los tiempos de los movimientos por SV, ST es como la de los espacios o de las líneas VS, SX" lo cual es demostrable según:

Todo esto demuestra que no solo el pleno dominio que poseía Galileo del MUA, sino que era capaz de relacionar matemáticamente las magnitudes que lo caracterizan. Mas adelante Galileo retoma el ejemplo del plano inclinado de ángulo variable y comienza a considerar, (con los conceptos de su época) la variación que experimenta la aceleración con dicho ángulo; aunque aquí cabe alertar que Galileo no logra dar gran claridad del concepto de aceleración y aunque conoce el fenómeno de la atracción gravitatoria, no lega a precisar el término de aceleración de la gravedad; así como tampoco logra definir la aceleración como los cambios que experimenta la velocidad en un intervalo de tiempo; no obstante es certero su análisis y llega a resultados correctos como es el caso de que la línea perpendicular es por donde el móvil mayor "aceleración" y por ende mayor velocidad con respecto a otros móviles que se mueven por trayectorias inclinadas, para intervalos iguales de tiempo.

Galileo afirmaba: "Comencemos por considerar que los momentos o velocidades de un mismo móvil son diversos sobre diversas inclinaciones de planos y que la máxima se efectúa por la línea elevada perpendicular sobre la horizontal". Hasta aquí solo se habla de la palabra momento y es necesario corregir que se trata de iguales distancias con diferentes inclinaciones, de manera de que en: V2 = V02 + 2aX, mientras que si consideramos V0 = 0, entonces V = 2aX = ka

Continúa Galileo: "por ello el ímpetu, la disposición, la energía, o si se quiere el momentun de descenso, es disminuido en el móvil por el plano infraopuesto, sobre el que ese móvil se apoya y descansa". Gran cantidad de palabras para expresar que por ser g un vector dirigido verticalmente hacia abajo, cualquier movimiento por un plano inclinado en ángulo ? con la horizontal estará sometido a solo una componente de esa aceleración y que corresponde con (g sen ?), lo que pone de manifiesto que Galileo, como dijimos, no tiene claro el concepto de aceleración.

Veamos la explicación que da a su anterior afirmación, la cual es plausible: "Digo que el ímpetu del grave, para descender, es máximo y total cuando éste desciende pro DA y menor todavía cuando lo hace por EA y así va sucesivamente disminuyendo por la dirección mas inclinada FA, hasta quedar por fin extinguido en la horizontal CA, donde el móvil se halla indiferente al movimiento o al reposo,.. Así como es imposible que un cuerpo..se mueva naturalmente hacia arriba, alejándose del centro común donde tienden todas las cosas graves, así también es imposible que él se mueva espontáneamente, si con tal movimiento, su propio centro de gravedad no se acerca al antedicho centro común y por ello completamente privado de inclinación, el ímpetu o memento de dicho móvil será nulo".

Evidentemente Galileo poseía con claridad el concepto de atracción gravitatoria, aun cuando faltaban algunos años para que Newton formulara esta ley, y el concepto de equilibrio indiferente, y la explicación a por qué por la perpendicular BA es movimiento era más rápido se puede considerar plausible.

Galileo buscó una relación entre "el cambio de ímpetu" y la inclinación de los planos, planteando que: "la línea FC, por la cual es máximo el ímpetu del grave,.., se inquiere que proporción tiene ese momento respecto al del mismo móvil por el plano inclinado FA; digo que tal proporción es la inversa de dichas longitudes". Lo cual es totalmente cierto, ya que:

Aquí aparecen tres importantes conclusiones de Galileo:

l.- "Es evidente que el ímpetu de descenso de un grave será tan grande como sea la resistencia o fuerza mínima para impedirlo o contenerlo". Que no es otra cosa que los cambios de velocidad, o sea la aceleración, es tan grande para un mismo móvil, como sea de pequeña la fuerza de resistencia o fricción, ya que el móvil se encuentra bajo los efectos de la atracción gravitatoria, lo que constituye un enunciado particular de la segunda ley de Newton, lo cual revela la grandiosidad de la mente de Galileo.

2.- "El movimiento del móvil G subiendo de A hacia F está compuesto del componente horizontal AC y del componente vertical CF", que no es otra cosa que el principio de independencia del movimiento, aplicado al movimiento plano.

3.- "Si se ha de dar equilibrio, es decir, reposo entre estos móviles (H y G), los momentos, las velocidades o su proporción al movimiento, o sea, los espacios que ellas recorrerían en un mismo tiempo deben corresponder inversamente a sus propias gravedades".

Teorema 3.- "Si sobre un plano inclinado y sobre otro vertical, que tengan la misma altura, marcha un móvil, a partir del reposo, los tiempos de los descensos serán entre si, como las longitudes del plano inclinado y el vertical". Aquí volvemos a lo mismo,

Corolario: "Los tiempos de los descensos por los planos inclinados de diverso modo, con tal que tengan la misma altura, son entre si como las longitudes de los mismos planos". Véase aquí una extensión o generalización de la conclusión anterior.

Teorema 4.- "Los tiempos de los descensos sobre los planos de igual longitud, pero desigualmente inclinados, son entre si como la raíz cuadrada de la razón inversa de las alturas de los mismos planos".

Teorema 5.- "La razón de los tiempos de los descensos sobre planos que tienen inclinaciones y longitudes diversas; así como también alturas desiguales, se compone de la razón de las longitudes de los planos y de la raíz cuadrada de la razón de sus alturas, tomadas inversamente".

Estamos frente a una excelente generalización de los teoremas 3 y 4 aplicados a un modelo más general, que plantea que las alturas y las longitudes de los planos no son iguales; no obstante Galileo persiste en la relación entre los tiempos, buscando una ecuación o relación de igual forma; pero que incluya todas las variantes.

Es evidente que esta obra "Diálogos acerca de dos nuevas Ciencias", no constituye en si misma un texto actualizado para la enseñanza de la Física; pero tampoco es indudable que su estudio nos permite incursionar en la sabiduría de un hombre, que como muy pocos, supo adelantarse a su propia época.

Conclusiones

Durante el estudio de esta parte de la obra "Diálogo acerca de dos nuevas Ciencias" de Galileo Galilei, se pone en evidencia algunas de las características de este genial Físico que a nuestro modo de ver no solo le confiere actualidad, sino que le asigna un gran valor como hombre de ciencia.

Destaca en la figura de Galileo su extremada osadía como filósofo, no solo al luchar contra viejas y antiguas teorías, sino también por el enfrentamiento que realiza a su propia época y e particular a la temible inquisición. Su metodología al enfrentar y desentrañar un fenómeno natural puede asegurarse que coincide con una metodología científica, siendo capaz en cada análisis de seleccionar las magnitudes significativas que lo caracterizan, buscando la relación entre ellas y avanzando en el estudio de simples proposiciones a otras mucho mas complejas, todas demostradas con los recursos matemáticos de su época y en ocasiones con conceptos aún no establecidos; pero que formaban parte de sus propias concepciones. Otro aspecto a resaltar en la personalidad científica de Galileo fue el empleo de la experiencia como forma de corroborar las nuevas teorías, y aunque no fue un cuidadoso experimentador, lo que le valió de poco en las discusiones acerca de sus teorías, si es innegable su gran genialidad al concebir la forma de realización de tales experimentos. En algunas partes de su obra se refleja su criterio respecto a hasta donde llega el objeto de estudio de la Física y que corresponde a otras ciencias; observándose que Galileo confiere el papel de: "arrancar y sacar de las canteras los mármoles, en los cuales después los artistas y escultores, hacen aparecer maravillosas imágenes,…"

Es decir, el estudio de las formas mas sencillas del movimiento y los objetos mas simples, correspondiendo a las Ciencias Técnicas, a partir de estos resultados, interpretar y aplicarlos a formas mas complejas,. Por último, destaca sobremanera la extraordinaria genialidad de Galileo, tanto para demostrar sus teorías como para establecerlas, de ahí que resulte correcto catalogarlo como un gigante de las ciencias dentro de su época, sobre los hombros del cual otros genios que le sucedieron pudieron pararse para como él propio Galileo dijera: "explorar rincones mas remotos".

Bibliografía

Galileo Galilei. Diálogos acerca de dos nuevas Ciencias. Traducido por José San Román Villasante. Argentina 1945 (Tomado de un libro italiano de 1898)

Síntesis Curricular Autor

1.1 Nombre y Apellidos: Antonio O. Pérez de Prado Santa María.

1.2 Lugar y fecha de nacimiento: Cárdenas, l4 de diciembre de 1947. Cuba.

1.3 Categoría Docente: Profesor Auxiliar

1.4 Categoría Científica: Master en Ciencias de la Educación Superior, mención docencia universitaria e investigación educativa.

1.5 Dirección Particular: Calle 129 Edificio 13 plantas 2 piso 9 Apto.4 entre 200 y 202 Peñas Altas, Playa, Matanzas, Cuba.

Teléfono particular 0053 45 261132.

Email:

Graduado de la carrera profesoral, sección básica, en Física y Química, en el Instituto Pedagógico Enrique José Varona de la Universidad de la Habana, en 1967 y de la carrera profesoral, de nivel superior, en la especialidad de Física, en el Instituto Superior Pedagógico de Matanzas en 1977. Desde 1978 hasta la fecha ha recibido diferentes cursos y estudios de post grado, de la especialidad y vinculados a la esfera educacional, dentro y fuera del país, titulándose en 1999 como Master en Ciencias de la Educación Superior, ha estado vinculado y ha dirigido diferentes tareas y temas de investigación, obteniendo un logro científico en 1995, ha publicado diferentes artículos en revistas de carácter nacional y fue miembro del colectivo de autores de dos textos de Pedagogía y de varias monografías didácticas, ha impartido diferentes cursos y entrenamientos de post grado y es profesor de Tendencias Pedagógicas Contemporáneas en la maestría en Ciencias de la Educación Superior, impartiendo la asignatura en diferentes versiones de nuestra Universidad, en la Universidad de Ciego de Ávila y en países como Brasil, Colombia y Venezuela, ha sido tutor de tres tesis y profesor de la asignatura Gestión Universitaria y el Rol del Profesor en la Maestría de Amplio Acceso.

Comenzó su vida laboral en 1967 como funcionario de las oficinas centrales del Ministerio de Educación, en 1969 pasa a la Dirección Provincial de Educación de Matanzas, como inspector provincial de Física, en 1973 comienza a trabajar en el Instituto Superior Pedagógico de Matanzas, donde fue profesor, asesor y jefe del Dpto. de Física y en 1976 pasa a la Sede Universitaria, actual Universidad de Matanzas, donde se ha mantenido durante todos estos años como profesor, impartiendo Física en las diferentes especialidades de Ciencias Técnicas y en Agronomía, así como ha ocupado diferentes responsabilidades de carácter metodológico y de dirección. En el curso 2003 -2004 fue jefe de Colectivo de Física en la Universidad de las Ciencias Informáticas de Ciudad de la Habana y desde julio del 2006 hasta febrero del 2008 impartió diferentes asignaturas de Física General y Didáctica de la Física en la Escuela Superior Pedagógica de Lunda Norte, de la Universidad Agostinho Neto de Angola.

Fecha de confección: febrero del 2010

Autor:

Antonio Pérez de Prado